（土木工程专业论文）钢索受力动力检测理论与试验研究.pdf

摘要 摘要 钢索作为种高效地承受拉力的构件，在工程结构中已大量使用。为了在 施工和结构监测的过程中准确获得钢索的内力，出现了许多索力测试方法，其 中振动法是被广泛使用的方法之一。振动法是根据钢索所受的拉力与其自振频 率之间的关系，由实测的自振频率值间接推算出索力的方法。 本文针对振动法主要进行以下研究： 阐述了本文的研究背景及意义，综合国内外研究成果，总结了多种索力测 量方法，分析了使用振动法测量索力的优势及尚存的不足之处。 系统综述了索的自由振动的基本理论，并从基本理论出发分析了索的垂度、 抗弯刚度、边界条件、附加集中质量等因素对索的振动的影响。 提出一组索力计算豹简化公式，及通过频率识别索的刚度和边界的方法， 通过算例验证了此方法对于备类索尤其是刚性索的索力测量可得到较好的结 果。讨论了本文索力简化计算方法的误差敏感性，并提出减小误差影响的建议。 通过试验验证7 本文提出的索力简化计算方法的有效性和实用性。 关键词：索力，频率，振动法，参数识剐 a b s t r a e t a b s t r a c t c a b l e ，o n eo ft h ec o m p o n e n t sw h i c hc a ne f f e c t i v e l yb e a rt h et e n s i l ef o r c e ，h a s b e e nw i d e l yu s e di ns t r u c t u r e s ，m a n ym e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e dt om e a s u r et h e c a b l et e n s i o nd u r i n gs t r u c t u r a lc o n s t r u c t i o na n dd e t e c t i o np r o c e s s ，a n dv i b r a t i o n m e t h o di so n eo ft h eu n i v e r s a l l yu s e dm e t h o d s b a s e do nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t e n s i o na n df r e q u e n c i e so ft h ec a b l e ，v i b r a t i o nm e t h o dc a ne s t i m a t et h ec a b l et e n s i o n i n d i r e c t l yt h r o u 曲t h en a t u r a lf r e q u e n c i e s t h ew o r kp r e s e n t e di nt h i sp a p e rf o c u s e so ns e v e r a lf o l l o w i n ga s p e c t s t h er e s e a r c hb a c k w o o da n ds i g n i f i c a n c eo f t h i sp a p e ra r ee x p o u n d e d b a s e do n t h er e v i e w i n ga n ds u m m a r i z i n gt h ee x i s t i n gs t u d ya c h i e v e m e n t sa n dc o m p a r i n g d i f f e r e n tm e t h o d so nc a b l et e n s i o nm e a s u r e m e n t , t h ea d v a n t a g e sa n dp r o b l e m so f v i b r a t i o nm e t h o da r ci n d i c a t e d t h ep r i n c i p l eo fc a b l el i n e a rv i b r a t i o ni sp r e s e n t e d a n db a s e do nt h ep r i n c i p l e ， t h ei n f l u e n c eo fs a g ，f l e x u r a lr i g i d i t y , b o u n d a r yc o n d i t i o na n dl u m p e dm a s so nt h e n a t u r a lf r e q u e n c i e sa l ed i s c u s s e d p r a c t i c a lf o r m u l a sc o n s i d e r i n gf l e x u r a lr i g i d i t yo fc a b l ea r ed e d u c e d ，a n da m e t h o dt oi d e n t i f yt h ef l e x u r a lr 主g i d j t ya n db o u n d a r yu s eo fn a t u r a lf r e q u e n c i e si s p r o p o s e d c a s es t u d yp r o v e st h a tt h em e t h o di s c o r r e c ta n dp r a c t i c a lf o rv a r i o u s c a b l e s ，e s p e c i a l l ys u i t a b l ef o ri n f l e x i b l ec a b l e t h es e n s i t i v i t yo ft h i sm e t h o dt o f r e q u e n c i e se r r o r si ss t u d i e da n ds o m ea d v i c e f o rr e d u c i n gt h es e n s i t i v i t ) ri sg i v e n ad y n a m i ct e s ti sc o n d u c t e dt ov a l i d a t et h ep r a c t i c a lf o r m u l a sa n dt h em e t h o do f i d e n t i 母i n gt h ef l e x u r a lr i g i d i t ya n db o u n d a r y k e yw o r d s ：c a b l et e n s i o n ，f r e q u e n c y , v i b r a t i o nm e t h o d ，p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文：学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：撕蕴 淤辱rf 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在0 年解密后适用 本授权书。 精撕签名：弘炉学位论文作者签名：触蓉 _ h 。5 年6 月日即年f 月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：浆哥堇 枷口岁年石月f日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 工程结构中的索 广义上说，“索”是受拉构件的统称。我国是最早将索作为结构单元应用于 工程中的，早在公元前2 8 5 年，我国就出现了悬挂竹索桥梁【l l 。西方工业革命产 生了由铁绞线和钢绞线等新型高强材料组成的索。此后，索作为一种轻巧且能 高效地承受拉力的结构构件，被广泛她应用于斜拉桥、悬索桥、桅杆结构、大 跨屋面、玻璃幕墙等结构中。 索由索体和锚具两部分组成，索体一般用高强度钢筋、钢丝或钢绞线制作， 也可以是钢管、钢棒或型钢。应用最多的两种形式是f 2 j ： 1 ) 钢丝索( 图1 1 a ) ；将若干根钢丝，平行并拢、扎紧、穿入套管，就成为 平行钢丝束；将钢丝同心同向作轻度扭转，扭转角2 。4 。，再挤裹索套作防护， 就成为半平行钢丝束。目前普遍使用的是0 5 或m 7 钢丝。 2 ) 钢绞线索( 图1 1 b ) ：钢绞线的标准强度已达到1 8 6 0 m p a ，用钢绞线制 作钢索可以进一步减轻索的重量。索中的钢绞线可以平行排列，也可以集中后 再加轻度扭绞，形成平行钢绞线索或半平行钢绞线索。 ( a ) 钢丝索( b ) 钢绞线索 图1 1 常见的索截面形式 索是只能承受拉力的柔性构件。具有明显的几何非线形特性，较小的应力 变化就会产生很大的位移，而且索会产生松弛和应力损失。 正是由于这些特点，索力的测量在结构施工期和使用期内都具有重要意义。 在索结构的张拉施工中需要准确测量索力，通过控制索力的变化保证整体结构 的形状和内力分布满足设计要求。另一方面，当已建成的结构需要评估结构的 安全性和耐久性时，对结构变形敏感的索力值就成为一个重要的诊断指标，而 第1 章绪论 且钢索往往易由于腐蚀、疲劳等原因发生损伤，产生松弛，作为结构中的重要 构件，索的破坏将可能给整体结构带来灾难性的后果，因此索结构的检测中也 必须准确实时地测量索力。 1 2 索力检测方法简述 目前对于索力检测方法的研究主要针对桥梁结构。 工程结构检测方法可分为两大类，即静态检测方法和动力检测方法，索力 检测的方法也可类似划分。 1 2 1 静态检测方法 静态检测方法主要有如下几种： 压力表测定法【2 】【3 】 拉索使用液压千斤顶张拉，由于千斤顶的张拉油缸中的液压和张拉力有直 接的关系，所以只要测定张拉油缸豹液压，就可求得索力。使用0 3 - 0 5 级的精 密应力表，并事先通过标定，求得应力表所示液压和千斤顶张拉力之间的关系， 则利用应力表测定索力的精度也可达到1 也。 由液压换算索力的方法简单易行，是在施工过程中控制索力最实用的一种 方法，但对于已张拉完毕的索就不适用了。 压力传感器测定法【2 】【3 】 张拉时，千斤顶的张拉力通过连接杆传到拉索锚具，如果在连接杆上套 个穿心式的压力传感器，张拉时处于千斤顶张拉活塞和连接杆螺母之问的传感 器，在受压后就输出电讯号，于是可在配套的二次仪表上读出千斤顶的张拉力。 采用专门设计制作的传感器，精度可达o 5 一1 0 。如需长期测定索力，也可以 将穿心式传感器放在锚具和索孔垫板之间，进行在线监测。 然而，压力传感器的售价相当高，特别是大吨位的传感器就更贵，自身重 量也大。而且压力传感器的输出结果存在较大漂移，使其在结构长期监测中的 可靠性不够。 三点弯曲法1 4 j “三点弯曲法”是将钢索张力测定器上的三点( 般为滚轮) 与钢索被测 表面接触，强迫索段产生局部变形，见图1 2 。在c 轮相对于a 、b 两轮向下压 2 第1 章绪论 紧的过程中，产生位移信号d 和压紧力信号p ，根据材料力学的原理可推导出索 力t 的计算式。 图1 2 “三点弯曲法”原理示意图 根据“三点弯曲法”原理设计已设计出夹持式钢索张力测定器( 专利号： 8 8 1 0 7 2 4 1 9 ) ，可用于起重设备、客货运索道、悬索式屋顶等结构的索力测量。 但由于仪器体积、可麓加的横向力大小等因素的限制，这种方法应用斜拉桥等 大型结构会有一定困难。 其他方法 曾有研究者将应变计置于钢索中直接测量，但这种方法并不可靠。 另有“静态线形法”同，在测得索上三点的相对位置后。通过求解基于拉索 静力平衡导出的方程，得到索力。这种方法从理论上讲是可行的，但实施起来 会遇到较多的实际问题。 还有“磁通量法”嘲。通过索中的电磁传感器测定索中的磁通量变化，再根 据索力、温度与磁通量变化的关系确定索力，这种方法在国外已有相关的报道 和应用实例。 1 2 ，2 动力检测方法 振动法 动力检测方法是根据结构的动力响应来识别结构的当前状态，是振动的反 问题在实际工程中的种应用，具体到索力测量的问题上，就是目前广泛应用 的振动法，也称为“频率法”，根据索的振动信号判定其自振频率后，反求出索 力值。 索力与频率之间存在着一定的关系，晟简单的关系就是“张紧的弦”的公 式嘿 片；4 m l ，2 f f( 1 1 ) 3 第l 章绪论 式中，日是索的拉力，m 是索的线密度，是索的计算长度，厶是索的第n 阶自振频率。 根据测定拉索振动频率的不同方法，振动法一般又可分为共振法和随机振 动法【3 】。采用共振法测量时要对索施加人工激振，使索作单一的基频振动，然后 测得频率。共振法的缺点是测量结果的准确性与操作者得经验有关，一般人在 短时间内往往激不出纯基频振动，而且随着大跨结构的发展，很多索已不可能 用人工激振来获得理想的振态。于是，在工程实测中，随机振动法更为常用。 实际结构中的索并不处于绝对静止的状态。而是时刻发生着环境随机振动，这 是一种混杂了各阶频率的不太明显的振动，运用随机振动法时，可将传感器用 夹具或绑带固定在拉索上，利用频谱分析仪对索的随机振动信号进行现场分析， 一般可得到前凡阶振动频率。现有的仪器及分析手段，测定频率的精度可达到 o 0 0 5 i 赴 2 1 。 振动法测定索力适用于已张拉完成的索，设备可重复使用，仪器也同趋小 型化，携带、安漩方便，测定结果可行，因此应用非常广泛。 振动波法州 振动波法是通过测定敲击索时产生的振动波的传递速度来实现的。对于有 一定张力日而张紧在两支承点问的索，敲击一支承端附近使其产生振动，振动 波将沿弦线传递，碰到另一端的障碍便反射回来，形成驻波形式的振动。振动 波沿线密度为p 的弦线的传播速度v 与索张力之问有如下关系： h = p v 2 ( 1 2 ) 这就是振动波法测索力的基本公式，这种方法已被用来测定高压输电线、 矿井提升机和架空索道等的张力，但对于跨距较短，直径较大，振幅较小，频 率较高的索，振动波的传播情况很难分辨，使用起来相当困难。 1 3 振动法测索力的研究现状 常用的振动法采用受拉的弦或者梁模型来模拟索，利用模型在不同边界下 的频率方程，得到索力与频率之间的关系【9 】f ”l 。 根据弦理论推导出的索力计算公式( 1 1 ) 因其形式简单，意义明确，目前仍广 泛使用1 3 j j i 2 j ，若仅仅是为了粗略估计索力，检验拉索的安全，应用此公式就 可以满足要求，但若要通过测量索力获得整体结构的受力状态，则要求索力测 4 第1 章绪论 量的误差尽可能小。 从公式( 1 1 ) 可以看到，索力值日一定时，索的各阶自振频率值是一个等差 数列其差值就是索的基频。因此公式( 1 1 ) 又可转化为 h = 4 m 1 2 a f 2 ( 1 3 ) 这就是频差法的公式。其中a f 为以h z 为单位的相邻阶频率的差值。 频差法的优势在于可以通过高阶频率的差值来推算基频值，在现场环境振 动实测时高频部分谱的峰值往往比较明显，而且高阶频率受垂度的影响较小， 频差法在很大程度上弥补了公式( 1 1 ) 忽略垂度的影响而导致的误差。 在此基础上，又出现改进的新基频法【1 3 】【1 4 】。其基本原理是先从频谱图中选 择处幅度最大的频率值二，假设它是索的第, 阶频率，则算出假设的基频，1 = f n l n 。按照弦理论，其它各峰值对应的频率应该是厂的整数倍，因此如果各个 比值 矿，办扩， 矿，都非常接近整数或与最近的整数之差不超过o 0 5 ， 则可认为此，就是基频 若不满足上述条件，则说明厶不是第n j 阶频率，可将 n 咖一或减一再试，重复这一过程直到找出基频厂为止。若始终找不到合适的疗， 则说明信号中干扰太大，可适当放宽限制( 例如将各个比值与最近整数之差放 到0 0 6 或更大) 。 新基频法的主要优点是降低了实测时的各种干扰对频谱图中相邻频差的影 响。因为选择的石是频谱中幅值最大的，受干扰的影响一般也较小，而基频是 厶再除以 求得，误差又可以缩小h 倍。 以上公式均未考虑索的抗弯刚度髓对于相对细长的索误差不大，而对于 较短的索，抗弯刚度还是需要被考虑。考虑日时，索近似于一轴向受拉的梁， 可根据梁的自由振动方程求解。当索两端铰按时，可得到 丑：4 m 1 2 f 左1 一下n 2 t r 2 e l ( 1 4 ) 以j f 当索两端固按时，无法直接求得频率的显武解，只能通过数值解法求得近 似解，为了实测方便，一些近似的实用公式被提出。h i r o s h iz u i l l 5 】给出了一个近 似解。对于小垂度的索，索力与一阶频率有如下近似关系： 5 第1 章绪论 h = 4 ，行“，r t 一2 2 。暑一。s s 0 ( 暑) 2 ) o ，s 孝， 4 删 o , 6 5 1 1q 1 2 卜如，s ， 4 删 o8 2 , l o 辑2 卜圳 对于较大垂度的索，索力与二阶频率有如下近似关系： h = 4 m c 疋，y t 一4 4 。丢一t t o ( 丢 2 ；$ 。毒， 4 脚，) 2 1 0 3 - 6 3 3 争s 跏0 7 s 孝$ 6 0 ，s ， 4 ，纷c ，r 。s s z s s 0 ( 丢 2 ；c 。孝s ， 对于特别长的索，索力与高阶频率有如下近似关系： 日= 砉毗，) 2 1 - 2 2 0 鲁1 ；( 2 眺善， ， 其中， c = 序一居 ( 1 8 ) 这组公式综合考虑了索的抗弯刚度和垂度，但由于亡的值与索力h 有关， 还必须反复迭代才能判别出适用的公式。 宋一凡【。6 1 提出动力计算长度的概念，将两端固支的索振动模型等效成两端 铰接的模型，获得索的二阶动力计算长度公式 匕2 面赢五而f 而磊瓦了丽7 “9 辄= 和, 0 1 0 1 9 k 序棚索两糊面之愀蝴( 1 9 ) 代入( 1 4 ) 式即可求解索力。 6 第1 章绪论 以上的解析方法只考虑索的两端铰接或固接这两种简单的边界情况，对于 需考虑索的抗弯刚度，同时边界条件又复杂的情况，有限元方法是一个不错的 选择。常见的有限元模型有：铰接直杼单元和曲线单元【1 ”d 8 。 有限元法可以充分考虑索的非线性即索的大变形、垂度、弯矩和轴力的 组合效应等，能比解析法更全面地反映索的振动特性，但有限元方法只能用于 求解给定拉力时索的振动特性这正问题，对于已知振动特性反算索力这一反 问题时，还需结合解析理论推导的简化公式及各种优化算法。 许俊1 1 9 1 1 2 0 提出个结合有限元计算的方法：根据实测的频率，先利用不考 虑抗弯刚度的计算公式h = 4 m 1 2 2 2 ，算出索力初值，然后将略小于此初值的索 力输入考虑索的抗弯刚度、实际边界条件的有限元程序，算出该索的前几阶频 率，如果算出的频率与测出的不符，则调整索力，直到算出的前几阶频率与测 出的频率差值最小为止，取这时的索力为测量索力。 g a n gz h e n 9 1 2 1 1 进一步把索力尼索的抗弯剐度剧，索长，质量, l 都作为 未知量，结合有限元程序，利用优化算法同时变化各未知量的值，来寻找到最 接近实测频率的索力值。 1 4 目前存在的问题 国内外关于索力检测的研究成果已很多，其中不少测试方法已应用于实测 并取得较好的结果，而振动法仍是检测索力时最常用的方法，在振动法的应用 中，有一些闯题需引起注意： 1 ) 索的计算模型与实际的铜索总是存在一定误差，如计算模型中一般认为 索的抗弯刚度、索长等参数是已知量，而实际结构中索抗弯刚度的值较难准确 获得，而且因存在各种不同的边界条件，索长的取值一般也是靠经验方法，这 些参数的准确性都将影响索力识别的精度。 2 ) 实测时一般采用环境随机振动测试，受量测环境、仪器的影响，实测数 据的随机性较大，实测时有必要使用几种不同的计算方法作为相互补充和验证。 3 ) 振动法计算索力实用公式均是由各种理论模型简化推导而来，有不同的 适用范围，需要根据实际情况选取合适的方法。 4 ) 目前国内外的研究多针对斜拉桥与悬索桥结构，研究对象多为单索形式， 而房屋建筑结构中有更复杂的索桁架、索网、整体张拉等结构形式，已有方法 7 第t 章绪论 是否适用还有待研究。 1 5 本文研究的内容 本文的主要工作包括： 1 、论述本文的研究背景及意义，综合国内外研究现状，总结多种用于测量 索力的方法，分析振动法的可行性、有效性及尚存的不足之处。 2 、系统地介绍关于单索的自由振动的基本理论 3 、讨论索的垂度、抗弯刚度、边界条件、附加集中质量等因素对索的振动 影响。 4 、提出一组索力计算的简化公式，以及识别索的刚度和边界的方法，对于 大多数索尤其是刚性索的索力测量可得到较好的结果。 5 、通过试验对本文提出的索力识别方法进行验证。 8 第2 章单索线性振动理论综述 第2 章单索线性振动理论综述 2 1 单索静力模型 基于连续化假定的悬索结构分析方法是一种经典的方法，通过对从结构中 截取的微元中力的平衡和变形的研究建立微元的力的平衡方程、变形方程和物 理方程，从而得到变形协调方程田】。h m a xi r v i n e 7 1 ，j w l e o n a r d 2 3 】等在著作中 详尽讨论了这种分析方法。 假定匀质索悬挂于等高支座上，在自重作用下产生一定挠度，如图2 1 所示， 其静力平衡方程为 丢( 丁= 。 芸( r 韭d s l ) 血+ 吣= 。 图2 1 索的静力模型 式中，r 为索的轴向拉力，m g 为索的单位长度自重。 用日表示索的弦向拉力，式( 2 1 ) 可化为 9 ( 2 1 ) 第2 章单索线性振动理论综述 h ：丁d x ：常量 d 5 一 日鲁d 一懈赛dx z u 工 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 解上式即得悬链线方程 垆啷t t l c h f l m 2 g l 、l t h i n 趴g ( 1 2 一x ) c ：勋 当垂跨比小于1 8 时，可做以下近似： d s d x( 2 6 ) 于是，根据( 2 2 ) 式，可得 日t( 2 7 ) 即认为弦向张力h 就等于我们所关注的索力值。 此时( 2 2 ) 式的解为一抛物线 y = 普m 州 眩s ， 7 2 l ，ifjl 1 6 9 1 年j a m e sb e r n o u l l i 等人最早发表了索在自重作用下。的曲线是悬链线这 一结论。到1 7 9 4 年，f u s s 在设计悬索桥时发现，如果假定索的重量沿跨长而不 是沿索本身均匀发布，则索的静力曲线为抛物线。抛物线索从此受到重视，不 仅因为其简单，而且因为在很多实际情况下，索的垂跨比很小，相当大部分的 荷载是沿跨长均匀分布的，所以在实际应用中，一般均按抛物线计算。 2 2 考虑索垂度不考虑索抗弯刚度的理论 1 8 世纪上半叶，两端固定的张紧的弦的振动理论由b r o o kt a y l o r ， d a l e m b e r t ，e u l e r 和d m f i e lb e r n o u l l i 提出，但弦理论没有考虑索的垂度及弹性 1 0 、，l，jj = oj一 业如 ，ft + 0 j 喜i 缸 ，l 叉 愕 一 = 生甜 h 得 22入 代 第2 章单索线性振动理论综述 变形影响，1 9 7 4 年，i r v i n e 撇弃了索不可伸长的假定，提出了考虑索弹性变形的 振动理论阱】，这是一个重大突破，解决了小垂度( 垂跨比小于1 8 ) 的索的动力 特性问题，他的研究成果至今仍是分析索的线性振动的经典解析方法。 这一理论在分析时假定：索材料符合h o o k e 定律；索是小垂度的，采用抛 物线模型；索在静力平衡位置附近作微幅振动。 如图2 2 所示模型。可建立索的运动方程 昙卜r 糕+ 亲) = 聊拿 去p 十文苦+ 塞 = 埘雾一馏 球+ r ( a 西w 枷窘 ( 2 9 ) 式中，“、v 、w 分别是面内纵向、面内竖向和面外的运动分量，f 是由于振 动引起的索力增量。 署8 ，+ t ，参卜 h 一芦p t r + t 避拶+ 善8 h ) 警豳 图2 2 索的振动模型 第2 章单索线性振动理论综述 堂长坍 唾；= 聊窘j 。 占=警芸+磊dy磊dv+三(芸)2+三2ft,坐dsl2jd ddd2 d2d c ：m ， sssx s | = 云 ( 2 1 2 ) 掣鱼c o x 韭d x 眩 戤苏 告= 詈f 七) d x 泣- 4 ， 尉日a 、 t ：i ( 慧 3 m ? l + ；( 警 2 旺 q = 盟1 v 旦r a ( 萨l ，2 一，3 一) ( 2 一1 6 ) q2 一f l 萨l ，j 0 j 1 2 第2 章单索线性振动理论综述 皖吐咖( 罕 c 椰， 眨 2 ) 索的平面内振动 若不考虑垂度影响，没有索力增量h ，可解得平面内振动的频率为 竽鲁( 川，3 一) ( 2 21 8 ) 织。2 、f ： l 雅2 l ，_ 2 j ( ) 这就是经典的张紧弦理论的解。 若考虑垂度引起的振动时索力增量h ，索平面内振动可分为反对称振动和对 称振动分另求解。 a ) 反对称振动 由( 2 1 5 ) 式可得索在作反对称振动时索力增量h = o ，因此容易解得面内反 对称振动的频率和振型为 = 孚鲁( 垆1 2 3 ) ( 2 1 9 ) 2 丁、i 垆1 2 ，“) ( 2 1 ” 瓦= 趣s 竽) c 州玢， 旺z 。， b ) 对称振动 此时， o ，引入边界条件v ( o ) - - - v ( o = o ，用分离交量法并求解( 2 1 0 ) 的第 一式，得振型为 铲= 等) 击 1 一劬( 譬) 蜘肛一c 。s 胁 c 2 捌， 其中 肛等 ( 2 2 2 引入变形协调方程( 2 1 4 ) 消去h ，得到求解平面内对称振动频率的超越方 程 1 3 第2 章单索线性振动理论综述 其中 ( 2 、2 4 ) 2 3 考虑索垂度及抗弯刚度的理论 考虑索的抗弯刚度后，索就近似于一轴向受拉梁，与上一节的推导类似， 假定索的垂跨比很小，忽略索在轴向的振动，用抛物线代替悬链线来表示索的 形状。对如图2 3 所示的索模型及坐标系，建立平面内竖向振动的运动方程： 日掣一掣枷，扩0 2 y 掣= 。 眩z s ， 缸缸。缸。a 式中，h 是索力， ( 0 由于振动引起的索力增量，脚是索的抗弯刚度，m 是 单位长度索的质量。 j 。一忙芝：壹i ：一- 二一二一+ 一 j ，_ 图2 3 拉索模型 索的形状可用以下抛物线方程表示： ：4 d ，2x ( ，- x ) (226)y 2 6 = ，2x v l 2 式中，d 为索跨中的垂度，其大小介于简支粱在均布荷载下的挠度和无抗弯 刚度的理想索的垂度之间，即 三m g r d 盟( 2 2 7 ) 3 8 4 倒g 爿 将( 2 2 6 ) 式代入( 2 2 5 ) 式，可得： 1 4 一2 。 ，l d 一 熊 塑皿 、， f一， 匀 型 丁 旯 ， 狮 第2 章单索线性振动理论综述 e f 掣一h 积 分离变量，令 + m 掣= f 8 d 砸) ( 2 2 8 ) “书，r ) = 铲g k “ ( ，) = “ 则方程( 2 2 8 ) 的解为 铲g ) = a s i n ( a x ) + 口c o s 陋) + c s i n h 恤) + d e o s h ( 胁) + p 式中，a 、b 、c 、d 为待定系数， 口2 = g + ，7 ”一f 2 卢2 = 0 4 + ，4 y ”+ f 2 r2 ：旦 ，2 竺竺 | e i 8 d 7 ， 8 2 m c _ a 2 1 2 若索两端铰支，边界条件为 在_ x - - - o 删处， 咖，等= 。 ( 2 2 9 a ) ( 2 2 9 b ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 a ) ( 2 3 1 b ) ( 2 3 l c ) ( 2 3 l d ) ( 2 3 1 e ) ( 2 t 3 2 ) 将( 2 3 0 ) 式代入( 2 3 2 ) 式，求得系数、b 、c 、d ，再代入变形协调条件( 2 1 4 ) 式消去i ，可得到频率方程： ( 西s h 佃) 一1 ) 2s i n h 2 ) ( c o s h 妇) 1 ) 2 3s i r t h ( 3 1 ) 3 口3s i r d a ( o ) 掣 ( 2 3 ， a 3r 7 三。= ( 妄) 3 出a ， t + ；( 孚) 2 c z 3 。， 1 5 、，k ，一 亟掰 a n】 翌， i l 丝尉帆式 第2 章单索线性振动理论综述 点为索的抗拉刚厦。 若索两端固支，边界条件为 在捌，x = l 处，矿：0 ，粤：0( 2 3 5 ) 可得频率方程【2 5 】： p 等一降) 寄= o 晓，s ， z i ，jf 讲1 2 其中 ，= 2 妒 1 一c o s ( t w ) c o s h 仞) 】一b2 一夕2s i n 妇) s j l l l l 锄) ( 2 3 7 a ) q = 2 a s i l l l l 归) f c o s 妇) - q + 2 警血似粒。s h 归) - q ( 2 3 7 b ) r = p 2 c o s h ( f l ) s i n ) 一2 s i n ( a ) + 2 冬s 证积轴s 似) 一1 】( 2 3 7 e ) 疗 方程( 2 3 3 ) 和( 2 3 6 ) 均为超越方程，可用迭代法求解。 如果忽略垂度的影响，从方程( 2 2 8 ) 中略去h ( ，) 一项后，解的一般表达 式为： 雌) ；一咖缸) + 口c o s ( 瓣) + c s 讪纽) + d c o s h ( , & ) ( 2 3 8 ) 其中，a 、曰、c 、d 为特定系数。 代入铰接的边晃条件( 2 3 2 ) 式有： a s i n ( a ) + c s i n h ( f l ) = 0 一a s i n ( 翻) + cs i n h ( i 甜) = 0 b + d = 0 一直+ d = 0 ( 2 3 9 ) 若矿g ) 不恒为零，则耐= 肋。n ：- 1 , 2 ，3 ，。根据( 2 3 1 ) 式中口的表达式 即可推出两端铰接且具有一定刚度的索的频率与拉力间的关系式： 肚捌2 ( 鲁 2 一竽 4 。， n 为频率的阶数。如果还忽略索的抗弯刚度，方程( 2 2 8 ) 的解为： 1 6 第2 章革索线性振动理论综述 ：捌：陋1 2 l 月j ( 2 4 1 ) 这与经典的张紧弦理论计算公式( 1 1 ) 相吻合，可以看到，弦理论求解的 索力值与考虑抗弯刚度后求解的索力值相比要偏大，用于短索就会出现显著的 误差。 代入固接的边界条件( 2 3 5 ) 式则有： a s i n ( a ) + b c o s 似) + c 声s i n h 妇) + p 芦c o s h ) = 0 4 c o s ( c d ) + b c o s o d ) + c f l c o s h ( f 1 1 ) + d f l s i n h ( f 1 1 ) - - 0 曰+ d = 0 一b + d = 0 ( 2 4 2 ) 令方程组( 2 4 2 ) 的系数行列式等予零，就得到频率方程： 2 妒( 1 一c o s ( a ) c o s l l c 甜) ) + 2 一口2 ) s i n ( c d ) s i n h ( , f 1 1 ) = 0 ( 2 4 3 ) 方程( 2 4 3 ) 是超越方程，需用迭代法求解。 1 7 第3 章影响索力测量的若干因素讨论 第3 章影晌索力测量的若干因素讨论 3 1 垂度的影响 在2 2 节提到的参数 名= ( 科甏 n ， 由两项组成f 7 】，第一项( 等) 2 反映索的几何参数，第二项甏反跌索的弹 性参数。它的值控制着方程( 2 2 3 ) 的根。索力h 越大时，索的垂度越小，铲 的值也就越小。 当, t 2 一o 时，索的垂度趋近于零，索趋近于张紧的弦，方程( 2 2 3 ) 的根为 僻l = 2 n - 1 ) , 疗 ( 衅l ，2 ，3 ) ( 3 2 ) 当o r 4 矿时，索的一阶对称频率低于一阶反对称频率。振型接近于正弦 曲线。 当2 2 = 4 时，索的一阶对称频率等于一阶反对称频率，这是一个“模态超 越”的临界点。( 2 2 = 1 6 矿也是一个类似的临界点，此时索的二阶对称频率等于 二阶反对称频率。) 当4 矿q 2 m 时，索的一阶对称频率高于一阶反对称频率。 当 2 一时，索力日很小或点w 值非常大，索可被视为是不可伸长的，方程 ( 2 2 3 ) 的根为 谁州过卜矿毋j 渖艟， s ， 表3 1 列出了铲不同时，根据无垂度的张紧弦理论方程( 2 1 8 ) 计算的频率 甜。( n = 1 , 3 ，5 ) 与方程( 2 2 3 ) 的计算值c o ( n = 1 ，3 ，5 ) 之间的相对误差。 i 8 第3 章影响索力测量的若干因素讨论 表3 1 弦理论频率值d 。与考虑垂度影响的频率值。间的相对误差 2 h c o s l ) q0 3 一q 3 ) ( 0 30 ；一c o 。5 ) 棚， 0 10 4 l o o 0 51 9 9 o 0 3 o 13 8 6 0 0 5 o 0 1 31 0 3 9 o 。1 6 o 0 2 51 5 7 2 o 2 6 o 0 3 1 02 5 6 6 0 5 6 o 0 7 4 兀25 0 o o 3 0 2 0 3 0 1 0 06 1 5 0 1 3 7 9 1 0 4 3 0 06 4 4 2 3 6 2 5 1 1 9 8 6 5 0 4 3 9 0 0 2 7 9 7 从表3 1 中可以看出： 1 考虑索的垂度后计算出的频率值变大，索垂度的存在可以被看作增加了 索在平面内的刚度； 2 垂度对基频影响较大，对高阶频率的影响越来越小； 3 无论矛取何值，在某个较高的阶数后，垂度的影响裁可以忽略。 参数铲只影响方程( 2 2 3 ) ，即索的平面内对称振动，对于反对称振动，也 就是偶数阶振型，即使垂度很大，影响也很小【l 卅。 有统计表明世界上超过9 5 的斜拉桥拉索的r 值小于3 1 1 26 1 。在这个范围内， 索的垂度对基频的影响可达到1 0 0 , 6 ，但对第三阶频率的影响就明显减小至2 ， 因此在索力测量时选用2 阶以上的频率值，一般就可忽略垂度的影响。 3 2 抗弯刚度的影晌 索抵抗横向变形的刚度由两部分组成，一部分是物理剐度，即抗弯刚度彤， 另一部分是因张力产生的几何刚度。对于大部分正常使用中的索，几何刚度 明显大于物理刚度，但对于旄工中索力还不是很大的索，或者较短较粗的索， 物理刚度的影响就不应被忽略。 1 9 第3 章影响索力测量的若干因素讨论 为反映抗弯刚度的影响，i r v i n e 最早提出了无量纲参数f ， 孝= 序 。， 物理h t j 度对总刚度贡献越大，f 值就越小。 为了讨论固接边界条件下抗弯刚度的影响，再引入一个无量纲参数”j 玑2 老 。5 其中 rf 日 ，m 。西v i ( 3 6 ) 这是根据张紧弦的理论计算的第聆阶自振频率。 于是方程( 2 4 3 ) 转化为： 善s i n 耐s i n h + 2 n m 7 。( 1 一c o s 谢c o s h i l l ) = 0 ( 3 7 ) 其中 耐；击膊 = 击同+ ， ( 3 g a ) ( 3 8 b ) 对于方程( 3 7 ) ，给定某个亡就可通过迭代法求得对应的。图3 1 给出了 前四阶频率的的求解结果。 2 0 第3 章影响索力测量的若干因素讨论 图3 1 抗弯冈目度对前四阶频率的影响 由图3 1 可以看到： 1 随着f 值的增大，值越来越接近于1 ，即抗弯刚度对频率的影响越来越 ，j 、； 2 当弘6 0 时，抗弯刚度对索频率的影响达到5 以上，实际工程中的很多 短索都属于此范围，计算索力时若忽略抗弯刚度将出现较大的误差：当乒，2 0 0 时，不论是否考虑了抗弯刚度，计算出的频率值几乎相等，因此对此类索可忽 略抗弯刚度的影响； 3 对同一亡值，频率阶数，f 越高，粕值也越大，可见抗弯刚度的影响会随 着频率阶数的提高而增大。 3 3 边界条件的影响 在考虑索的抗弯刚度的情况下，就必须考虑索的边界条件，上一章中的 ( 2 4 0 ) 和( 2 4 3 ) 式分别给出了铰接和圆接两种边界条件下的索力和频率的关 系，而实际索的边界是介予铰接和固接之间的。 2 l 第3 章影响索力测量的若干因素讨论 。建bk | h 一一( 9 一一- 日 7 i， k 一j 图3 2 两端弹性嵌固边界的索的模型 假定索两端边界为弹性嵌固( 如图3 2 ) ，两端有弹性转动约束b ，则边界条 件表达式为： 在例处，渊 一e 霉= o ( 3 9 a ) 在州处，铷 箬+ e 等= 。 ( 3 9 b ) 由此得到频率方程： 鼢) 2 + ) 2 f + k ：陋) 2 一向) 2 蜘m 妇) s i n h 橱) + 2 k 2 似x 弛- - c o s 向) c o s h ) 】 + 2 k ) 2 + 锄) 2 协s i i l 向) c o s h 归) 一耐c o s 似) s 妯倔) 】= o ( 3 1 0 ) 其中 髟：型( 3 1 1 ) k 值是一个弹性嵌固系数，变化范围为0 - - 。o ，k = 0 表示铰接边界，k = o o 表示 固接边界。 再将( 3 5 ) 式对的定义代入方程( 3 1 0 ) ，得到 ( 善4 + 4 n 2 石2 ，7 ：善2 + k 2 善) s i n o s i n h f l + 2 n n r 。k 2 ( 1 一c o s a c o s h f l ! ) 删f + ( 孚弘s i n ( a ) c o s h ( f l ) 咖( a ) s i n h 1 ) l = 。 1 2 对于方程( 3 1 2 ) ，给定一组k 和亡就可求得对应的枷。 图3 3 分别给出了方程( 3 1 2 ) 对前四阶频率的求解结果。图3 4 是玑 ( h = l ，2 , 3 ，4 ) 在k = 0 和k = o o 的情况下的相对误差。 第3 章影响索力测量的若干因素讨论 第3 章影响索力测量的若干因素讨论 图3 3 不同边界条件下的f 一目曲线 图3 4 庐o 和胆一时求得的目。的相对误差 图3 3 ，图3 4 显示出： 1 边晃条件对前四阶频率均有影响，k 取1 0 0 0 0 0 时的曲线与k = o 。的曲线 已基本重台，可将足1 0 0 0 0 0 时的边界都认为是固接边界； 2 边界条件对前四阶频率的影响程度基本相同； 第3 章影响索力测量的若干因素讨论 3 f 值越小时，边界条件的影响越大，尤其当芎 8 0 时，不仅应区分铰接和 固接两种边界条件，还有必要考虑介于这两者之间的弹性约束的边界条件。 3 4 集中质量的影晌 索的频率不仅与索力值有关，也受索自身重量的影响，上一章的振动理论 均假定索是均质的，索的自重是均布荷载，若索上附加有额外质量，如传感器、 悬挂物等，索的自振频率必然会受影响，以下对影响程度进行讨论。 为简化推导，这里忽略索的垂度及抗弯刚度。假设在索上某点x = f 处有一 集中质量m 此时索内拉力由增加至疗，则索的振动方程为： k + 砸咱j , 矿0 2 y 一疗窘= o ( 3 1 3 ) 式中的6 g f ) 为狄拉克函数 令y 0 ，r ) = 以) s m ( 蝉+ u ) 代入上式，则有 t + 铷一f 帕+ 掣= 。 上式中 a ：辈 ( 3 1 5 ) 月 若仍，0 ) 为索上无集中质量时的第朋阶振型，则假设附加集中质量后的振型 为 沁) = 6 ，g ) ( 3 1 6 ) 将( 3 1 6 ) 代入( 3 1 4 ) ，有 a + 等s 瞧m 塾掣= 。 上式两边乘以仇g ) 。在区间o - i 上积分，得 西 t + 鲁a g f 瞧九g h g ) d x + 壤k 尘羔黪。g ) d x = 。c ， 第3 章影响索力测量的若干因素讨论 程。 根据振型的正交性，有 f g 溉g ) d 石= 0 ，当肌疗 挚 凶d x 絷三： 上式中， 口。：塑“ 日 表示未附加集中质量时的第村阶频率系数。 将( 3 1 9