（控制理论与控制工程专业论文）灰色系统序结构的研究.pdf

华中科技大学博士学位论文 摘要 随着社会的进步及科技的发展，人类已完全进入了信息时代。信息时代的到来， 导致了人们所涉及的系统越来越复杂。如何从杂乱无章的信息中寻找规律，达到解 决问题的目的，一直是人们追求的目标对于少数据、不确定性系统的研究更是如 此。这为灰色系统理论的产生提供了良好的契机。该理论虽然产生的时间不长，但 已建立起整套完整的理论基础、切实可行的方法基础、形式多样的实践基础和辨 证唯物的哲学基础体系。 本文从数学科学的角度出发，对灰关联空间、灰关联空间的序结构、拓扑结构、 灰生成、灰建模及一些领域的灰预测作了深入的研究，得到了一些重要的成果。 为了更全面地掌握灰色系统理论在研究及应用领域的发展及动态，本文首先分 别系统地综述了该理论在灰关联分析、灰生成运算及模型方面的成果，对于这些成 果所采用的方法及所处的地位作了详尽的评述；分析了灰色系统理论的研究路线、 技术路线及将信息、知识、智慧结合的方法。 灰色关联空间是灰色系统理论的基础，它是讨论系统中因子之间关系、性质的 总体框架。也就是说要对给定的系统进行分析，必须明确影响系统的因子是什么， 只有完全彻底地了解因子，才能对系统作出正确的分析。在这一方面，本文讨论了 因子空间的构成途径及因子关系论，将因子纳入到空间体系之中；研究了灰关联空 间的序结构、拓扑结构以及关联扩展空间、生成关联空间等内容。 在灰生成方面，首先分析了序列的类型及生成方式，把生成纳入到矩阵体系中 进行考虑，通过矩阵之间的运算及矩阵的逆，达到累加、累减生成的目的；将累加 生成运算划分为线性与非线性两部分，分析了构成两类生成的条件；通过抽象传统 累加生成的规律及性质，给出了广义累加、累减生成运算，并研究了序列的生成与 凸性之间的关系。 为了丰富灰生成的内容，定义了反向累加生成运算。在能量系统，累加生成表 示系统的储存能量过程，与之相反，反向累加生成是释放能量过程，该运算有深刻 的物理背景及应用价值。同时，对反向累加生成序列的性质作了深入的研究。 在生成空间方面。通过定义生成基矩阵，研究了累加生成与反向累加生成空间， 华中科技大学博士学位论文 对这两类空间的构成条件及性质作了详尽地分析：同时，把序列的数据预处理方式 作为一个整体来考虑。 在灰预测方面，给出了区间预测及拓扑预测的方法。对于区间预测，基于序列 的级比性质，通过对级比序列的分析，按照一定的准则将原始序列进行分组，使每 一组序列处在同一个层次，由分组序列建立的非等间隔模型的解，确定原始序列的 预测范围；对于拓扑预测，由序列构成拓扑的含义，采用不同的基曲线，得到不同 的交点序列，通过对交点序列的建立模型及分析，达到认识未来波形发展的趋势。 系统的行为特征有时表现为实数值序列，有时表现为灰元序列。通过灰数的运 算法则，对于离散及连续型灰元序列，采用上限序列、下限序列及适中序列的手段， 讨论了它们的关联分析。灰元序列的灰度较之实数值序列更大，因此，对灰元序列 的分析应该全面、系统，从不同角度、不同途径来考虑问题，只有这样，才能真实 地反映问题的实质。 对于灰色模型来说，目前研究的大多是线性模型。对于非线性模型，其解的存 在性难以确定，即使知道模型有解，解的表达式也不好求出。本文介绍了几类可以 化为线性模型的灰色非线性模型，讨论了非线性模型的参数辩识，研究了一类非线 性g m ( i ，1 1 模型的求解问题。 本文在灰色系统理论的一些领域作了较深刻的研究，取得了一些理论和方法上 的成果。同时，也存在着一些问题，如新模型的建立及应用，非等间隔序列的关联 分析，一般非线性灰色模型的求解，更有效的数据预处理方式等等。这些问题本文 研究的不彻底，在以后的工作中有待于进一步解决。 关键词：灰色系统灰色生成关联分析生成空间灰色模型 灰色预测矩阵序结构 i i 华中科技大学博士学位论文 a b s t r a c t a l o n g w i mt h es o c i a la d v a n c e m e n ta n ds c i e n t i f i cd e v e l o p m e n t w eh a v ec o m ei n t o i n f o r m a t i o nt i m e st h a tm a k e st h es y s t e mf r o me a s yt oc o m p l e x i t y h o wt os e a r c ht h em l e o f s y s t e mf r o md i s o r d e r l ya n du n s y s t e m a t i ci n f o r m a t i o n i no r d e rt os o l v ep r o b l e m si st h e p e o p l e sp u r s u i n ga i m a ta l lt i m e s ，s oa st ou n c e r t a i n t yw i t hl i r l ed a t es y s t e m ，i tp r o v i d e s f a v o r a b l ec h a n c et ot h ed e v e l o p m e n to ft h eg r e ys y s t e mt h e o r y a l t h o u g ht h ep r o c r e a n t t i m eo ft h et h e o r yi sn ol o n g e r , i th a sf o r m e di n t e g r a t e da c a d e m i cf o u n d a t i o n ，a c t u a l f e a s i b l em e t h o db a s e ，m u l t i f o r mp r a c t i c ee l e m e n t sa n dp r a c t i c a la n dr e a l i s t i cp h i l o s o p h y b e d r o c k f r o mt h e p o i n t o fv i e wo fm a t h e m a t i c s ，t h e g r e yr e l a t i o n a ls p a c e ，o r d e ra n d t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fg r e yr e l a t i o n a ls p a c e ，g r e yg e n e r a t i n go p e r a t i o n ，g r e ym o d e l i n g a n dg r e yf o r e c a s t i n gi ns o m ea r e a sa r es t u d i e d ，al o to f i m p o r t a n tr e s u l t sa r eo b t a i n e di n t h i sp a p e r i no r d e rt os h o wt h en e w d e v e l o p m e n t so f t h eg r e ys y s t e mt h e o r y , f i r s t ，t h ep a p e r r e s p e c t i v e l ys u m m a r i z e st h ea c h i e v e m e n t so fg r e yr e l a t i o n a la n a l y s i s ，g r e yg e n e r a t i n g o p e r a t i o na n dg r e ym o d e l s i n t h em e a n t i m e ，i ta n a l y s e st h e i rm e t h o d sa n dt h e i rs c i e n t i f i c s i t u a t i o n i ta l s os u l t i s u pt h et h e o r y s r e s e a r c hc o u r s e s ，t e c h n i q u ew a ya n dh o wt o c o n j o i n ti n f o r m a t i o n , k n o w l e d g e a n dw i s d o mi n t oaw h o l e t h eg r e yr e l a t i o n a l s p a c ei s t h ef o u n d a t i o no ft h e g r e ys y s t e mt h e o r y , i ti s t h e c o l l e c t i v i t yf r a m et od i s c u s st h er e l a t i o n sa n dp r o p e r t i e sa m o n gs y s t e m sf a c t o r s ，i no t h e r w o r d s ，i no r d e rt os t u d yas y s t e m ，w em u s td e f i n i t e l yk n o ww h a tf a c t o r si n f l u e n c et h e s y s t e m n oo t h e rt h a nd r a s t i c a l l yk n o w i n gt h ep r o p e r t i e so ff a c t o r s ，t h es y s t e mc a r lb e a b s o l u t e l yp r e d o m i n a t e d i nt h i sa s p e c t ，t h es t r u c t u r ep a s s e s a n df a c t o rr e l a t i o na r e d i s c u s s e d ，a l s o ，t h ef a c t o r so fs y s t e ma r ef a l l e ni n t os p a c ea r c h i t e c t o n i c m e a n w h i l e ，t h e o r d e rc o n f i g u r a t i o n , t o p o l o g i c a ls t r u c t u r ea n dr e l a t i o n a l e x p a n d i n gs p a c e ，g e n e r a t i n g r e l a t i o n a ls p a c eh a v e b e e ns t u d i e d f o rt h eg r e yg e n e m t i n go p e r a t i o n ，f i r s t ，w ea n a l y z et h et y p e so fs e r i e sa n dt h e i 华中科技大学博士学位论文 g e n e r a t i n gm a n n e r s ，t h eg e n e r a t i n go p e r a t i o n i s e x p r e s s e db y m a t r i x sf o r m t h e a c c u m u l a t e da n di n v e r s ea c c u m u l a t e dg e n e r a t i n ga r ec o m p l e t e db yt h eo p e r a t i o n sa m o n g m a t r i xa n di n v e r s em a t r i xr e s p e c t i v e l y i nt h es a m et i m e ，t h ea c c u m u l a t e dg e n e r a t i n g o p e r a t i o n i sd i v i d e di n t ol i n e a ra n dn o n l i n e a r p a r t s ，o b t a i n e d t h ec o n s t i t u t i v e q u a l i f i c a t i o n s o ft w oo p e r a t i o n s b yt a k i n go u tt h er u l e sa n dp r o p e r t i e so ft r a d i t i o n a l a c c u m u l a t e d g e n e r a t i n go p e r a t i o n , w e h a v e g i v e n t h ed e f i n i t i o n so f g e n e r a l i z e d a c c u m u l a t e da n di n v e r s ea c c u m u l a t e dg e n e r a t i n go p e r a t i o na n ds t u d i e dt h er e l a t i o n b e t w e e n g e n e r a t i n ga n dp r o t r u d i n gt e n d e n c y i no r d e rt oe n r i c ht h ec o n t e n t so f g r e yg e n e r a t i n g ，t h eo p p o s i t e d i r e c t i o n a c c u m u l a t e dg e n e r a t i n go p e r a t i o ni s g i v e n i ne n e r g ys y s t e m ，a c c u m u l a t e dg e n e r a t i n g d e s c r i b e st h ep r o c e s so fd e p o s i t e de n e r g y , t h eo t h e rw a yr o u n d ，t h eo p p o s i t e d i r e c t i o n a c c u m u l a t e d o p e r a t i o n d e s c r i b e st h ep r o c e s so fr e l e a s e se n e r g y t h eo p e r a t i o nh a s p r o f o u n dp h y s i c sb a c k g r o u n d a n d a p p l y i n gv a l u e t h ep r o p e r t y o f t h i so p e r a t i o nh a sb e e n d i s c u s s e da l s o a sf a ra s g e n e r a t i n gs p a c e ，b yt h ed e f i n i t i o n o fg r o u n dm a t r i x ，t h i sp a p e rh a s e s t a b l i s h e dt h ea c c u m u l a t e dg e n e r a t i n ga n do p p o s i t e d i r e c t i o na c c u m u l a t e dg e n e r a t i n g s p a c e ，t h es p a c e sf o r m i n gc o n d i t i o na n dp r o p e r t i e sa r ec o n s t r u e d , m e a n t i m e ，t h e m a n n e r o f d a t e sp r e t r e a m a e n ti sc o n s i d e r e da sai n t e g e r f o rg r e yf o r e c a s t i n g ，t h ei n t e r v a la n dt o p o l o g i c a lf o r e c a s t i n gm e t h o d sa r eo b t a i n e d ， t h e ya r cb a s e du p o nt h ec l a s sr a t i oo f s e r i e s t h eo r i g i n a ls e r i e si sd i v i d e di n t od i f f e r e n t g r o u p sa c c o r d i n g t od e f i n i t er u l e st h a tm a k et h ep o i n t si nt h es a m eg r o u pt oh a v eo n ea n d t h es a r n ea d m i n i s t r a t i v e l e v e l s b y t h es o l u t i o no fn o n - e q u i g a pm o d e l ，o b t a i n t h e f o r e c a s t i n gr a n g e o fr a ws e r i e s f o rt o p o l o g i c a lf o r e c a s t i n g ，u s e sd i f f e r e n tg r o u n dc u r v e s t oc a l c u l a t et h es e r i e so f p o i n to fi n t e r s e c t i o n ，t h e n ，s e t su pg r e y m o d e la n d a c q u i r e st h e d e v e l o p i n gt e n d e n c y o ff u t u r ew a v e t h eb e h a v i o rc h a r a c t e r ss o m e t i m e sr e p r e s e n tr e a ln u m b e rs e r i e s ，o t h e rt i m e s ，g r e y e l e m e n ts e r i e s b yt h eo p e r a t i o no fg r e yn u m b e ra n du s i n gu p p e rl i m i t ，l o w e rl i m i ta n d m o d e r a t es e r i e s ，t h eg r e yr e l a t i o n a la n a l y s i si si n v e s t i g a t e d t h eg r e yd e g r e eo fg r e y e l e m e n ts e r i e si s l a r g e rt h a nt h a to fr e a ln u m b e rs e r i e s ，s ot h a t , w em u s ts y s t e m a t i c i v 华中科技大学博士学位论文 c o n s i d e r p r o b l e m sf r o m d i f f e r e n tp o i n to f v i e w , o n l y i nt h i sw a y , t h e p r a c t i c a lm a t t e r c a r l b er e f l e c t e d a sr e g a r d sg r e ym o d e l ，m a n yp e o p l eg i v em o r ea t t e n t i o n st ol i n e a rm o d e l f o r n o n l i n e a rm o d e l ，i t se x i s t e n c eo fs o l u t i o nc a l l 。tb ee a s i l y f o u n d e d ，e v e nt h o u g hi ti s o b t m n e d ，t h ee x p r e s s i o ni sd i f f i c u l t yt or e s e a r c h i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c eaf e wk i n do f n o n l i n e a rm o d e l si h a tc a l lb e c o n v e n e di n t ol i n e a rf o r m s ，a tt h ee n d ，d i s c u s st h es o l u t i o n o f ak i n do f n o n l i n e a r g m ( 1 ，1 ) m o d e l p r e l i m i n a r yr e s e a r c h e sa r es t u d i e di ns o m ea r e a so nt h eg r e ys y s t e mt h e o r yi nt h i s p a p e r b u tm a n yp r o b l e m ss t i l le x i s t ，s u c ha sn e wg r e ym o d e l i n ga n di t sa p p l i c a t i o n ，t h e r e l a t i o n a la n a l y s i st on o n e q u i g a ps e r i e s ，s o l v i n gt oc o m m o n l yn o n l i n e a rg r e ym o d e la n d m o r ee f f e c t i v ed a t e s m a n a g e m e n te t c ，w es h a l lc o n t i n u es t u d ya tt h e s ea r e a si nt h e f u t u r e k e y w o r d s ：g r e ys y s t e m g r e yg e n e r a t i n g r e l a t i o n a la n a l y s i s g r e y m o d e l g e n e r a t i n gs p a c eg r e yf o r e c a s t i n g f o r e c a s t i n g o r d e r - s t r u c t u r e v 华中科技大学博士学位论文 1 文献综述 千百年来，人类为认识客观世界而不断地探索。但是，由于人的认识是一个无 限的过程，因此对许多事物或系统的认识是不完全的，也是若明若暗的，这种系统 信息的不完全性、不确定性即为灰性。我国著名学者邓聚龙教授在2 0 世纪7 0 年代 末、8 0 年代初创立了灰色系统理论，这是邓教授系统思维和系统思想在科学方法论 上的具体体现，具有重要的科学意义和深远的学术影响。 灰色系统理论研究的对象是“少数据、不确定性”系统，系统的行为一般是以 序列的形式表示出来的。序列是数字布置的一种形式，如何对数字布置方式进行加 工、处理，找出可利用的信息，是研究该系统的关键。 灰色系统理论作为研究信息不完全、不确定系统的学问，其理论基础是灰朦胧 集【1 】l 方法基础是系统科学和数学科学；实践基础是系统工程应用；哲学基础是马 克思主义认识论和实践论。 灰色系统理论是研究不确定性问题的方法论上的创新。方法论和方法是两个不 同层次的问题。方法论是关于研究事物所遵循的途径和路线，在方法论指导下是具 体方法问题，而且方法也不止一个。方法论不对，具体方法再好，也解决不了根本 问题。从近代科学到现代科学，处理不确定性问题的理论也不少，例如成熟的模糊 数学理论( 1 9 6 5 ，l a z a d e h ) 及经典的概率与数理统计理论。概率与数理统计解决 “大样本不确定性”问题，它的途径必然是大样本量的追求，只有在无数多次的实 验下，才能定义概率；模糊集理论解决“认知不确定性”问题的基础是经验，即隶 属度函数需要凭经验给出：而灰色系统理论是为解决现实世界中大量的“少数据不 确定性”问题应运而生的。从方法论层次来看，它对“少数据不确定性”系统研究 的指导作用主要体现在l 1 ) 研究路线 灰色系统理论采取了从整体到部分，再由部分到整体，把宏观和微观结合起来， 从不同方位、不同角度来研究问题。也就是说，灰色系统理论的思维方式是多视角。 对于少数据不确定性问题，由于是有限维的，不可能象概率与数理统计理论那样重 复再现，也不可能象模糊数学那样外延量化，只能从多角度、多方位来挖掘系统的 华中科技大学博士学位论文 内在规律。 灰模型的建立过程就是这样。经典的数学模型大都是用微分方程来表示的，它 适合连续可微的对象。对于不确定性系统的行为特征一序列，首先是不连续的，更 谈不上可微性。再者，微分方程属于无穷信息空间，而有限序列是有穷信息空间 2 】。 因此，用序列作微分建模时，首先从序列的角度了解一个真正的微分方程模型应该 满足哪些条件，然后分析现有序列是否满足这些条件，对那些可以近似地满足微分 模型构成条件的序列，建立近似的微分方程模型。 2 ) 技术路线 灰色系统理论的依据是信息覆盖 3 】，依靠信息覆盖去描述、分析、综合、处置 信息不完全、不确定的灰对象。信息覆盖的内涵是指用一组信息去包容、覆盖给定 的命题，也就是利用已知的、不同方面的一些定量描述，通过灰生成手段来研究系 统的性质，最终给出定性分析，找出现实规律，从而达到从实验、理论到研究的回 答。例如要研究一个人的健康状况，首先找出与健康有关的因素，如血压、心跳、 体温等等，也就是说如果利用这些信息来构成一个集合，那么用这个集合就可以大 体上描述这个人的身体情况。当然，集合的构成因素越多，问题的描述就越详细， 从这种意义上来说，集合的信息覆盖了这个人的健康状况。因此，通过研究集合的 因素形态，就可以达到认识一个人健康状况的目的。 3 ) 实现信息、知识、智慧的不断深化 信息、知识、智慧是三个不同层次的问题。有了信息，未必有知识，有了信息、 知识也未必有智慧，信息的综合可以获得知识，信息、知识的综合可以获得智慧。 灰色系统理论在研究“少数据不确定性”问题时，首先挖掘系统的有用信息，用信 息覆盖来描述系统，通过对信息的分类、加工及处理，找出系统的内部规律，使人 们掌握研究事物的知识，获得开发系统的智慧。 在自然科学、数学科学等这些“精密科学”中，是用严密的逻辑推理、精确的 物理、化学和生物实验来证明和验证经验性判断的正确与否，从而得出科学结论。 但这种方法对一些系统问题就不完全适宜，如社会系统中的问题，因为它既不能从 简单的逻辑推理能得出结论的，也不能直接进行社会实验。这就需要有新的方式来 完成这个过程。灰色系统理论处理的过程是按照胚胎集一发育集一成熟集一实证集 这个顺序来完成的【4 】，也就是运用辨证思维的方式，从实验到理论再到研究的过程。 华中科技大学博士学位论文 用模型和模型体系来描述系统是系统定量研究的有效方式。这种方式在自然科 学、系统科学中被广泛运用。在系统科学中，对简单系统、大系统、简单巨系统的 研究，几乎完全是基于数学模型。但需要指出的是，对系统建立模型，必须紧密结 合系统实际，要基于对系统的真实了解，依据实际数据，提炼出系统内部的某些内 在定量联系，将系统描述出来。为此，甚至借助予经验知识的帮助，而不是追求数 学上的完美，这是一个经验与科学知识相结合的过程，因为数学上的完美性，并不 一定代表系统的真实性。灰色模型是灰色系统理论的重要内容之一，不同于“白因 白果率”的经典模型，它是少数据基于灰因白果率、差异信息原理、平射原理的建 模 1 】，它既不是一般的函数模型，也不是完全的差分方程模型，或者完全的微分方 程模型，而是具有部分差分、部分微分性质的模型。模型在关系上、性质上、内涵 上具有不确定性【2 】。 在数据与信息体系、指标体系、模型体系的支持下，灰色系统理论依据信息认 知原理、解的非唯一性原理、白化原理、灰性不灭原理、最少信息原理，对少数据 不确定性系统进行分析，使得信息、知识、智慧之间不断深化，从而达到认识、解 决问题的目的。 灰色系统理论刚一诞生，就受到国内外学术界和广大实际工作者的极大关注， 不少著名学者和专家给予充分肯定和支持，许多学者纷纷加入到灰色系统理论的研 究行列，以极大的热情开展理论探索及在不同领域中的应用研究工作。本章将分别 系统地综述该理论在灰生成、灰生成空间、灰模型、灰分析等几个方面的成果及其 最新理论发展。 1 1 灰生成 所谓灰生成，就是一种对原始序列的变换【5 6 】，通过变换，改变数据的层次性、 可比性及极性。灰生成总体上可分为两大类：第一类是累加、累减生成；第二类是均 值化、初值化、区间值化和极性变换生成。其中，累加、累减生成是最具核心的生 成。由于第二类生成是固定化的，也就是说可变成分较少，因此，现有的成果中涉 及到的不是很多。灰色系统理论研究的是少数据、不确定性的系统，由于数据少， 就不可能象概率统计等经典的不确定性分析理论那样，从大样本中找规律，况且有 些系统可以获得大样本数据，但有些系统由于人们的认识问题，存在的时间问题等 华中科技大学博士学位论文 等，不可能获得大样本量。只要是系统，就有其规律性，如何从系统有限的行为数 据中寻找出其规律，是研究该系统的出发点，或者切入点。对于杂乱无章的数据， 通过累加生成，可以改变其光滑性，可以得到非常明显的规律，即具有灰指数率， 由此可以建立灰色模型或进行系统分析，通过模型的求解，达到认识系统及预测未 来。因此，累加生成不单单是数据的一种变换，还是数据的升华，把数据上升到更 高的层次。正因为灰生成具有如此重要的作用，所以，许多学者针对该问题的研究 花了不少的心血【7 】【8 】。以序列的类型来分，涉及的内容概括起来有如下四个方面： 1 ) 非平缓数据序列 我们把变化幅度较大、增长较快的序列称之为非平缓数据序列。针对该类序列， 文献 9 1 i 正明了对递增序列( 其中x ( 1 ) p ) 进行对数变换，令变换后的数据列为 秒( 七) = l n x ( k ) ) ，则该数据列表现出比较平缓的现象。而文献 1 0 l 1 1 是用幂函数 变换方法，变换函数为： f = 扛( 七) 】- o ( 1 g ，t 1 ) ， 同时，也讨论了对数函数一幂函数的复合变换： f _ 1 n x ( k ) 7 。 文 1 7 1 提出了灰色压缩生成，即令x r 2 ，若从联到雕上的算予p 满足： i i 悯ix mv x 掣， 则称p 为聪上的灰色压缩变换。该文献的结果包含了上述三种变换，实际上，对数 变换、幂函数变换、对数幂函数变换都是压缩变换，该类变换就是缩小数据列的变 化幅度，降低其随机性，从这种意义来讲，该文给出了更一般的结论，具有普遍性。 文 1 2 1 1 3 1 2 丕_ 讨论了选用尸的条件。 除此之外，文献【1 4 】提出了相除法： 咚( 七；1 , 2 ，九) ； x ( k + 1 、 4 。 文( 1 5 】【1 6 】给出了平移变换对数据的作用，文【1 7 】还对平移变换从理论上探讨对数据 列特性的影响及对灰色建模的意义。 文献【1 6 】提出平移变换方法的结论是：对递增数据列进行平移变换，也会使变换 4 华中科技大学博士学位论文 后序列的光滑度加强，对于预测精度来说，变换前后是一样的，事实上， x ( 七) = x 。( 七) 一c ，曼( 七) = 量。( 七) 一c ， a x ( k ) = x ( ) 一主( i ) = 【x 。( 七) 一c 】一【量。( 七) 一c 】 = x 。( 七) 一i 。( 七) = a x 。( ) 文献【1 8 对摆动序列给出了一种处理方式，称之为三角变换。变换如下： 令f l ，f 2 满足下列条件， = 耕( 七) ，训= 塑m ，m = 峄x 九k ) ， y ( k ) = r 2 i ( 七) ，y ( ) = a r c s i ny ( k ) + 2 k z r m ， 则( 0 ，f 2 ) 称为三角变换。由变换的构造可以看出，如果原始序列x o 是非增的，y ( 七) 必是单调递增的。实际上，上述变换包括两个步骤：第一步是所有的点都除以最大 值，使得l i ( 七) 峰l ；第二步是进行三角变换，i ( i ) = s i n y ( k ) 。为了保证y ( k ) 的递增 性，y ( k ) 加上了递增项2 七础，显然，随着k 的增大，y ( k ) 的递增性就变得十分明 显。该文献的可取之处还在于模型误差与还原误差相差不大，这是十分难得的。 以上讨论的生成方法的出发点是改变原始序列的光滑性。这些方法实际上是对 原始序列的预处理，对处理的序列进行累加生成，然后建立模型或进行系统分析。 这些文献都用一定的实例说明其方法的可行性，的确，针对文献中给定的例子，依 据他们的方法建立的模型，具有较高的预测精度。但共同存在的问题是：可否有通用 性? 问题恰恰相反，许多实例已经表明一种方法对某一种问题有效，但对另一种问题 却失之偏颇，也就是说这些方法有它的局限性，没有普遍性意义。再就是，通过数 据的预处理，对累加序列z 【建立的模型，其预测值为主( ”，可能曼( 1 与x 的拟合精 度较高，但通过累减生成，蒋经过数据预处理的逆变换，由量还原为曼0 1 时， 曼o 与x 的差别可能会相当大。实例表明，对数变换后数据列 y ( 七) ) 的模型精度t e 原 始序列 x ( ) ) 的模型精度要高，但将 y ( ) ) 的预报还原为 x ( 七) ) 的预报时，预报误 差却大的多，之所以如此，原因在于： 设y ( 七) 的预报误差为a y ( t ) ，即 a y ( 七) = _ y ( ) 一多( t ) ， 则对还原预报有 华中科技大学博士学位论文 x ( 七) = x ( 七) 一量( 七) 2 e y ( 一e ，( ) = e y ( ( i e 鲫) = x ( k ) o p 由+ 1 ) ， 因此，该方法不具有普遍性。 这是问题之一。问题之二是：这些方法的出发点是改造原始序列的光滑性，但序 列的光滑性是建立灰色g m ( 1 ，1 ) 模型的充分条件，而非必要条件。即序列光滑可以 建立模型，但并不是光滑度越大，建立模型的精度就越高，在这方面，文献 1 7 】给 出了实际例子加以说明。另外，对一些问题的研究，并不是模型的精度越高就越好。 因此，如果一味地为改造序列的光滑性而找些变换方法，实际上是一种误区。但 这并不是说该类问题的研究毫无意义，问题是从哪个角度出发，如果从问题的整体 来考虑，从方法上升到理论，明确数据处理的原则、机理，意义就十分明确。在这 类问题的研究过程中，出现了一批好的成果，文献【7 就是其中一例，该文提出了缓 冲算子的概念： 设x 为系统行为数据序列，d 为作用于x 的算子，x 经过算子d 作用后所得 序列记为 x d = ( x ( 1 ) d ，x ( 2 ) d ，- ，x ( n ) d ) ， 称d 为序列算子，称皿为一级算子作用序列。 如果序列算子满足在该文中定义的所谓缓冲算子三公理，即不动点公理、信息 充分利用公理、解析规范化公理，则称之为缓冲算子。缓冲算子包括弱化算子和强 化算子两类，在这里，弱化算子与上述的压缩算子的作用相似，都是使变换后的序 列增长速度减缓或振幅减小；与之相反，强化算子的作用是使变换后的序列增长速 度加快或振幅增大。因此，缓冲算子的理论性更强，应用面更广，形成了一套完整 的体系，同时，给出了缓冲算子的构造方法： 1 x ( k ) d = - ；i 【x ( _ j ) + x ( 七+ 1 ) + + x ( ”) 】， 玎一丘十i 则当x 为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，d 皆为弱化算子； 娴d = 盟型气筹塑， 则当x 为单调增长序列、单调衰减序列时，d 皆为强化算子。 华中科技大学博士学位论文 这方面的研究及应用还在继续，较新的文献【1 9 】一方面应用了上述构造缓冲算 子的方法，对建立狄色g m ( i ，1 ) 模型的步骤进行了改进；另一方面，构造了一个 新的算子： i x ( t ) = x ( 七) ，k = 1 , 2 ，n 一1 ， - ( 2 埘叼m 峨吣) ：安蒜， 是用未来时刻序列发展的估计值( 百分比) 与最后一个时刻序列级比的差值来处理序 列最后一个数据，2 为估计值，建立称之为影响因子的g m ( i ，1 ) 模型。 数据预处理方面最新的结果是邓聚龙教授在文献【6 中给出的，该文献从差异信 息的角度出发，对采用方根序列、平移序列、对数序列的理论依椐及准则作了详尽 的阐述。在这里，令 a 。( x ) = ix ( t ) 一x ( k i ) i 为x 在k 点的差异信息， 占，( 七) 爿1 一仃，( 量) l 为x 在k 点级比偏差，级比偏差的倒数称为平滑信息，平滑信息越大，序列的光滑 度越大。就对数序列来说，只有当 等鸭 时，才有6 。( ) 瓯( 七) ；对方根序列，要求 等； 对平移序列，平移量应满足非负，只有这样，数据处理才有意义。 总之，数据处理的原则是：通过处理后的序列，其级比盯。( 七) 应尽量靠近1 ，也 就是万。( ) 应尽可能小：数据处理的机理是：选择合适的处理序列y ，使差异信息 。( d 与变换数据y ( ) 之比尽可能小。在此原则及机理下，对数变换不应只取一次， 可以取y ( 女) = i n “x ( ) ，通过选取合适的m 于平移变换，应选取q + 作为合适的平移值， 使j 。( ) r 模型【1 7 】：x o ( 七) + 口= 1 ( 七) = “( 七一去+ c ： 上 该模型又被称为时变模型。 g l m ( 1 ) 模型【5 1 ：x 嘞( ) + 竺单：“； k g t m 模型 5 2 1 ：工u ) + 口( f ) = ( f ) = u ( t ) ； g t m 模型就是通常所说的变系数灰色g m ( 1 ，1 ) 模型。由于模型的待辩识参数变为t 的函数，使得参数的识别更难，且参数的初始值口( 1 ) 及b o ) 难以确定。 g n i m 模型 5 3 】：x ( 0 1 ( 七) + ( 巧0 1 ( 七) = “，i 1 ( 竹) = x ( 门) ； g o m 模型【5 4 ：盖( o ( 七) + c 牙1 ( 七) = “，三1 ( 七) = 三1 ( | i ) + c ； g m ( 3 i t ，1 ) 模型 5 5 】：口【2 ( x 1 ( 七) ) + 口i 口1 ( x 1 ( 七) ) + 口2 = 1 ( 七) = b l k + 6 0 ； d g m 模型【5 6 】：x 1 ( 七+ 2 ) + a x 1 ( 七十1 ) + b xc t ) ( 七) = 0 。 上述模型都是由g m ( 1 ，1 ) 模型的灰微分方程变形而来。从这些文献提供的实际 例子来看，模型具有较高的精度，为解决实际问题提供了一定的方法。 除此之外，还有许多文献是讨论白化背景值的选取问题，例如文献从【5 7 】到【6 3 都是研究这类问题。在g m ( i ，1 ) 模型中，x ( t + 出) 与x ( r ) 为导数等的背景值，z o ( ，) 1 6 华中科技大学博士学位论文 为白化背景值。在这里，白化背景值取得是背景值的均值。这些文献中改变背景值 的作法一般是对背景值加上权重系数、考虑折线的斜率因素、利用黄金分割法和利 用数学软件求出相应的值等等。 不管是依靠改变灰微分方程还是重置背景值来构造新的灰模型，必须注意建立 的模型要满足下述灰建模的三条件： ( 1 ) 结构条件：具有x c ”上信息浓度最大的灰导数。 ( 2 ) 材料条件：灰导数x ( o ( 七) 的白化背景值与灰导数成分满足平射。 ( 3 ) 品质条件：灰导数白化背景值位于单调增的背景集中。 否则建立的模型不是灰微分方程模型，不属于灰色系统理论范畴。也就是说，并不 是一个数学等式就可以称之为灰色模型，它是基于灰因白果律、差异信息原理、平 射原理的建模。 3 ) 发展的灰模型 对灰色模型而言，讨论最多的是线性模型。对于非线性模型，由于解的存在性 及解的表达式问题较难解决，因此研究起来比较复杂。文献【6 4 】讨论的是如下模型： x 0 ) ( 七) + a x 1 ( 七) “= b ， 方法是先用压缩映像原理证明解的存在性，然后利用r u n g e k u t t a 法求出问题的数 值解。我们在第九章给出了问题的不同解法。 时滞问题现实中存在的较多，即系统在t 时刻的输入不仅影响系统在t 时刻的输 出及其变化率，也将影响到t 时刻以后系统的输出及变化率。如何用灰色模型来描 述该类问题，是十分有意义的。文献【6 5 】研究了带有时滞的g m ( 1 二2 ) 模型： x 。1 ( 七) + 蕊f 1 ) ( 后) = 6 l x r ( 七) + b l + 。x ! 1 ) ( k - r ，) ， 1 =