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地质雷达二维有限差分法正演与偏移 作者：昊华( 地球探测与信息技术) 指导教师：宋维琪教授 摘要 首先以麦克斯韦方程组为出发点，着重于对麦克斯韦的两个旋度方 程的分析，运用k s y e e 氏的空间网格模型，并利用中心差商代替微商， 把空间连续变量离散化，把电磁场进行规约化，得出二维空间t m 极化 的时域有限差分方程，即所要推导的地质雷达正演模拟方程；同时推导 出了m u r 二阶吸收边界；并讨论了激励类型的选取和激励源的设置；为 了保证算法的精确性和计算的稳定性，对二维空间的t m 电磁波( 雷达波) 进行数值稳定性分析及数值色散问题的讨论，推导出了数值稳定性条件 表达式和理想色散关系；设置不同模型，研究地下介质的电导率与介电常 数差异对地质雷达的作用，实现模型正演；并且推导地质雷达波动方程， 研究讨论位移电流与传导电流在数值上的关系；推演并得到地质雷达方 程的改进方程：利用坐标变换和对称隐式差分格式离散地质雷达改进的 波动方程，从而得到时域有限差分偏移方程，并且设计程序并对模型模 拟结果进行偏移处理，证实采用改进的波动方程有限差分偏移能够将绕 射很好的归位，再对实际资料用传统的波动方程差分偏移和改进的波动 方程差分偏移进行处理，分析比较处理后的结果，可以看出经本文提出 的改进的波动方程差分偏移的对实际资料的处理能力更强。 关键词：地质雷达，有限差分，正演，偏移 n g p r2 dt i m e d o m a i nf i n i t e - d i f f e r e n e ef o r w a r da n d m i g r a t i o n w u h u a ( t e c h n o l o g yo f g e o p h y s i c se x p l o r a t i o na n di n f o r m a t i o n ) d i m c m rb yp r o f e s s o r ：s o n gw e i q i a b s t r a c t b a s e do nm a x w e l le q u a t i o n s ，w ea r ea b l et od i s c r e t et h es p a t i a lc o n t i n u o u s v a r i a b l e s ，a n dt or e g u l a r i z et h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ，b ye m p h a s i z i n gt h ea n a l y s i sq f t w o r o t a t i n ge q u a t i o n so ft h em a x w e l le q u a t i o n s ，u s i n gk 。s y e es p a t i a l 鲥dm o d e la l o n g w i t hs u b s t i t u t i n gt h ec e n t r a ld i f f e r e n c ef o rd i f f e r e n t i a lc o e f f i c i e n t f o l l o w i n gt h ea b o v e p r o c e s s i n g , t h e2 - ds p a t i a lt mp o l a r i z e df i n i t e d i f f e r e n c et i m e - d o m a i ne q u a t i o nh a s b e e nd e r i v e d ，n a m e l y ，t h et a r g e te q u a t i o n so fg p rf o r w a r dm o d e l i n g m e a n w h i l e ，w e a c q u i r et h em u rl 2n o r ma b s o r p t i o nb o u n d a r ya n da n e c e s s f u l l ya n a l y z et h ea p p r o a c ho f c h o o s i n g o f i n c i t e m e n t t y p ea n ds e t t i n g o f i n c i t i n g s o u r c e s i n o r d e r t o a n s u f e t h e p r e c i s e a n ds t a b i l i t yo ft h ea l g o r i t h m s ，w ed e r i v et h ee x p r e s s i o n so fc o n d i t i o n so fd a t as t a b i l i t y a n di d e a l i z e dd i s c r e t i o nr e l a t i o n s h i pf r o mt h ea n a l y s i so fn u m e r i c a ls t a b i l i t yo f2 - d s p a t i a lt me l e c t r o m a g n e t i c ( r a d a rw a v e ) a n dt h ed i s c u s s i o no f t h ep r o b l e mo f n u m e r i c a l d i s c r e t i o n ；c o n s t r u c t i n gd i f f e r e mm o d e l ，r e s e a r c h i n gt h ee f f e c to fe l e c t r i c - c o n d u e t i v h y r a t i oa n dd i s t i n c t i o no fd i e l e c t r i cc o n s t a n tt ot h eg p rt or e a l i z ef o r w a r dm o d e l i n g ；t o d e d u c eg p rw a v ee q u a t i o n s 。a n de x p l o r et h en u m e r i c a lr e l a t i o n s h i po fd i s p l a c e m e m v e r s u sc o n d u c t i v i t y ；t h e nt od e r i v et h eg p rv a r i a n te q u a t i o n s ；a f t e rd i s p e r s i n gw h i c h w i t hc o o r d i n a t et r a n s f o r m i n ga n df o r ms y m m e t r i c a lu n e o n s p i c u o u sd i f f e r e n c e ，w e i i i e x t r a c tt h et i m e 。d o m a i nf i n i t e - d i f f e r e n c em i g r a t i o ne q u a t i o n s ，a l s od e s i g np r o g r a m st o p e r f o r mm i g r a t i o np r o c e s so ns i m u l a t i o nr e s u l tt od e m o n s t r a t et h ev a r i a n tw a v ee q u a t i o n f i n i t e d i f f e r e n c em i g r a t i o ni sa b l et os a t i s f a c t o r i l y r e c o v e rt h ed i f f r a c t i v ew a v et ot h e o r i g i n a ls i t e s u b s e q u e n t l y , w ec o n d u c tt h ep r o c e s so fm i g r a t i o nw i t hs i m p l i f i e dw a v e e q u a t i o nf i n i t e - d i f f e r e n c ea n dv a r i a n tw a v ee q u a t i o nf i n i t e - d i f f e r e n c em e t h o d o l o g yo n t h ep r a c t i c a ld a t a , a n dm a k ea c o m p a r i s o nt oc o n c l u d et h a tf i n i t e d i f f e r e n c em i g r a t i o no f v a r i a n tw a v ee q u a t i o nr e f e r r e dt oi nt h i sa r t i c l ei sm o r ee f f e c t i v et ot h ep r a c t i c a ld a t a k e yw o r d s ：g p r , f i n i t e - d i f f e r e n c e ，f o r w a r d ，m i g r a t i o n i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名：厶一辞，j 月4 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) p ，缉，1 月争日 矽t 6 年陟月0 日 ， 中国秆油人学( 华东) 硕七论文第l 章前言 第1 章前言 地质雷达通过发射天线定向发送高频电磁波( 1 m h z 2 g h z ) 雷达波，雷达波在介质中传播时，当遇到存在电性差异的介质 或目标体，雷达波便发生反射，返回地面后由接收天线接收。在对 接收到的雷达波进行分析和处理的基础上，根据所接收的雷达波波 形、强度、电性及几何形态进行分析，从而达到对目标体探测的目 的。 h u l g m e y e r ( 1 9 0 4 ) 首先使用电磁信号来确定地下金属目标体的 存在。l e i m b a c h 和l o w y ( 1 9 1 0 ) 在一项德国专利中第一次描述了用 电磁波来定位埋藏的物体。h u l g m e y e r 第一次使用脉冲技术确定地 下物体的结构，他指出：地表下任何介电常数的变化将导致电磁波 的反射。这一结论奠定了目前地质雷达工作的物理基础。但受半导 体技术、无线电技术的发展水平的局限，直到六十年代末期，阿波 罗登月计划的实施及研究月球表面岩性地质构造的需要给地质雷达 技术的发展带来了新的动力。上世纪八十年代以来，m n n a na p 等 许多学者先后作了大量的理论及实验工作，为这一技术的进步奠定 了基础，而且随着半导体材料技术、微电子技术及计算机技术的发 展，在世界范围内掀起了一股地质雷达技术研究热潮。 国内关于地质雷达研究相对于国际环境稍显滞后，直到2 0 世 纪八十年代我国j 开始这个领域的借鉴式研究。经过二十多年的发 展，现在地质雷达在国民的生产建设等方面己经发挥会出越来越大 的作用叫“1 。 中国4 i 油人q - ( 华身、) 硕十论文第1 章前言 时域有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n e et i m e d o m a i nm e t h o d 简称 f d t dm e t h o d ) 是求解电磁问题的一种数值技术。它是在1 9 6 6 由k s y e e “”第一次提出的。f d t d 法直接将有限差分式代替麦克斯韦 时域场旋度方程中的微分式，得到关于场分量的有限差分式，用具 有相同电参量的空间网格去模拟被研究体，选取合适的场初始值和 计算空间的边界条件，可以得到包括时间变量的麦克斯韦方程的四 维数值解。通过博里叶变换可求得三维空间的频域解。 3 0 多年来f d t d 法历经了一个蓬勃发展的过程。最初是用它 来求解令属体上的散射问题，用的是笛卡儿坐标系，使空间单元网 格早直角六面体。上世纪7 0 年代末期，随着f d t d 技术的发展， 首先需要解决的是有限计算空间的无反射截断问题，早期采用的一 种方法是加大边界与散射体之间距离，以在边界上构成外向行波， 这种方法精度不高、计算空间亦大。直到将波方程的二阶近似用以 处理边界上的场值，得到了较好近似的吸收边界条件，才将这个问 题的解决向前推进了一大步。在直角坐标系中用f d t d 技术进行模 拟时，光滑曲线形媒质表面将呈锯齿形状，这可能产生沿面的表面 波，加大了数值色散误差，解决这个问题的有效方法是“共形”技 术的提出，这包括：或是使用曲线坐标系使媒质表面与坐标曲线共 形，或是在直角坐标系中改变煤质介面上的网格形状，使二者共形， 利用并形网格明显提高了计算精度。在一类电磁问题中。当媒质结 构尺寸比网格尺寸小时( 如细线、窄槽或薄介质层等) ，将使f d t d 模拟变得很困难。近来相继出现以麦克斯韦方程的回路积分形式建 立相应f d t d 算法式，f d t d 与其他方法( 如积分方程法或矩量法) 的混合技术，以及媒质参数的网格平均技术等，均提供了解决这类 2 中国f l 油人学( 华东) 硕十论文第1 章前言 特殊问题的途径“”“”。f d t d 法的特点是很易得到被研究体的近场 值，但不易一次直接得到远场值。8 0 年代初期提出的利用等效原理 将频域近场变换为远场是解决这个问题的好方法o ”“”，9 0 年又将此 技术发展到时域“”。这二种路径给求解散射问题和天线问题提供了 强有力的工具。值得提出的是，早期f d t d 方法中没有计及媒质的 色散特性，即假定被研究媒质的电参数是与频率无关的。实际上自 然界中有很多媒质的电参数具有很强的色散特性，近几年已开始注 意研究色散媒质中的f d t d 算法，为解决这一电磁领域内难题铺平 了道路。上述几方面问题的进展有力推动了f 啪技术的发展和应 用，使它在解决复杂形体结构和多种媒质并存的一类问题中占有重 要的一席之地。今天，它不仅在电磁散射、电磁兼容预测、生物电 磁学中得到卓有成效的应用，而且在天线、微波技术、光电子学等 的应用中愈益受到重视。 f d t d 法在地质雷达中的应用不及其在天线、微波技术、光电 子学等方面的应用，1 9 9 7 年r o g e rl r o b e r t s 和j e f f r e yj d a n i e l s “酊 应用f d t d 法研究地质雷达的正演问题，其后许多学者都开始做这 方面的工作了，我国学者也做了不少这方面的正演工作。 偏移技术是地球物理学发展的主要处理技术。目前，地震偏移 中无论是理论还是技术都相当成熟。人们在应用地质雷达偏移时， 过多的依赖于地震的思想，很多时候都时完全忽略了地下介质的电 阻率( 或电导率) 对地质雷达波的衰减作用。在现有工作尝试中， 鲜有人提及地质雷达波动方程中的传导电流项的作用。应用有限差 分法进行地质雷达偏移的工作更不多见，存在的也只是针对雷达波 动方程的简略方程。 中国z i 油大学( 华东) 硕十论文第1 章前言 本文研究的目的直接从麦克斯韦基本方程出发，应用时域有限 差分法进行模型正演，从正演模型中结果中分析研究介质介电性， 电导性对地质雷达纪录的影响。以正演的为依据，从介质的物理特 性的角度详细分析地质雷达波波动方程位移电流项和扩散电流想的 关系特点。从而得出雷达变异波动方程有限差分偏移的求解特点， 并且在此基础除上进行有限差分偏移处理试验性研究。其意义：在 正演中直接从麦克斯韦基本方程出发，这样最本质的把握了地质雷 达的特性；对地质雷达改进的波动方程的有限差分法，为地质雷达 数据偏移处理提供了一种新的思路。 第一章简要介绍了地质雷达的相关概念，以及时域有限差分法 的应用与发展。 第二章主要在y e e 氏网格剖分的基础上，从二维t m 极化应用差 分法推导建立地质雷达二维有限差分方程，从理论上研究讨论此差 分方程解的相关条件，包括方程解的稳定性条件，二阶吸收边界条 件，以及激励源的选取。 第三章进行模型正演，并研究讨论不同正演纪录形成的原因， 得到在不同电性参数情况对地质雷达信号不同程度的影响。 第四章进行偏移处理的研究。从电磁波二维波动方程出发，研 究讨论原始差分方程中的位移与扩散的联系，并在此基础上推导提 出一种新的改进的差分偏移的解式。并且应用此方法进行实际资料 的处理。 第五章总结全文得到结论，以及不足，并提出下一步研究注意 的问题。 随后是参考文献与致谢。 4 中国4 l 油人学( 华尔) 硕十论文第2 章时域有限筹分法基本理论 第2 章时域有限差分法基本理论 本章介绍时域有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n 简记 为f d t d ) 的基本知识，主要有三方面内容。( 一) 建立了直角坐标 系中f d t d 算法的基本方程式，它是用有限差分式替代时域麦克斯 韦方程对时问和对空| 日j 的微分而得到的。( 二) 讨论支持f d t d 算 法的若干基本条件。它包括使数值解稳定的条件，使有限网格空间 边界上呈近似无反射状态的吸收边界条件和激励源的设冒问题。 ( 三) 讨论与应用f d t d 法有关的基本问题，包括讨论该数值技术 产生误差的诸因素，以及有关f d t d 数值求解的步骤等。 2 1 麦克斯韦方程 麦克斯韦方程是电磁场问题求解的最基本的方程，在时间域和 空间域内求解 f l 磁问题的一个很方便很直接的途径是直接运用麦 克斯韦方程，因此简述一下包含有不同形式煤质参数的麦克斯韦方 程的微分、积分和修币形式是很必要的。 对于任意媒质，麦克斯韦方程的微分形式是 v x 7 ：罢+ 了( 2 - 1 ) 西 v x i ：一譬( 2 - 2 ) a v c j 8 = 0 ( 2 3 ) 中国i i 油人学( 华东) 硕十论文第2 章时域有限差分法基本理论 v d 2 p ( 2 - 4 ) 式中面是电场强度( v m ) ；面是电通密度( c m ：) ；万是磁场 强度( a m 2 ) 百是磁通密度( w b m 2 ) ；了是电流密度( a m 2 ) ： p 是电荷密度( c m 2 ) 。式( 2 一1 ) 中a 可磊+ 了表示总电流密度， 它包括位移电流密度。和传导电流密度了。 在真空或自由空间中，i 和一d 及百和百它们日j 存在简单的比例 关系，即 b = 风h d = 气e ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) 式中胁= 4 x x l 0 4 ( h m ) 是真空中的磁导率；岛= ( 3 6 石) 一1 x l o 9 f m ) 称为真空中的介电常数( 或真空的电容率) 。在一般各向 同性媒质中具有简单关系式 b = p h d = 占e 且和g 分别是介质的磁导率和介电常数。 ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) 当介质是友好均匀介质时，对于这类的电磁场闯题，一般是引 入假想的磁荷密度，这使得问题相对易于理解，相应的麦克斯韦方 程( 2 1 ) ( 2 - 2 ) 中需引入磁荷密度。从而麦克斯韦方程修正为： v 。百：罂十了。，了。：矗 ( 2 9 ) o t 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章时域有限差分法基本理论 v 。面：一罂一了。，了。：厨( 2 1 0 ) 讲 v _ = p o( 2 1 1 ) 矾d = 成 ( 2 1 2 ) 式中以，厶，b 和成分别是电流密度，磁流密度，电荷密度 和磁荷密度。s 是磁电阻率( q m ) ，他对应的损耗。引入使得麦 克斯韦第一第二方程变成对称形式。在无源介质中，反= o 耜 岛= 0 。在无电损耗的媒质中可令盯或s 等于0 。 2 2 地质雷达二维f d t d 基本方程 先将麦克斯韦的旋度方程在直角坐标系中展成六个标量场分 量的方程，再将问题空问沿轴向分成很多网格单元，每个单元长度 作为空间变元，相应得出时间变元。用有限差分式表示关于场分量 对空间和时间变量的微分，即可得到f d t d 基本方程。 2 2 1 标量麦克斯韦方程 设研究的空间是无源的，并且媒质参数j 、占、仃、j 不随时 间而变化，在直角坐标( j ，y ，z ) 中，麦克斯韦方程 v 。厅：擎+ 了 ( 2 一1 3 ) 西 。 7 中国 油大学( 华东) 硕十论文第2 章时域有限筹分法基本理论 驴面0 b ( 2 - 1 4 ) 0 t 转化为下列六个标量方程： 等一誓：h f 一0i e ， (2_15)ot砂瑟 lj 1“”7 警一等= ( 珈 协 警一等= ( 昙) 臣( 2 - 1 7 ) 誓号= ( 珈( 2 - 1 8 ) 等一警= ( 刚否a ) h ，( 2 - 1 9 ) 等一鲁= ( 刚昙 以( 2 - 2 0 ) 当不考虑磁损耗时，令s = 0 ，则以上方程与麦克斯韦方程等效。 上述六个方程构成了完整三维问题的情形。假设，被研究模型沿一 个轴向不变化，不妨沿孑向不变化( 二维情形) ，亦即是全部场分量 e z 的偏导数善= 0 ，则上述方程组简化为二组独立的杯量方程组， “ 一组称为横磁模t m ，另一组为横电模t e 。 二维简化情形的方程组有如下两种极化形式： 1 t m 极化( 旦：0 、：0 ) a z 譬等：卜割丘(2-21)y i 畜2 【甜西严 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章时域有限差分法基本理论 等一( w 昙 皿( 2 - 2 2 ) 等= 一h 昙) q ( 2 - 2 3 ) 2 ，t e 极化( 昙= o ，置= o ) 应 等却+ 缸 z 。， 警= ( 扣 c z z s ， 等一警邛+ 缸 伢z o ， t m 、t e 极化构成目前地质雷达应用的最基本的电磁理论。介 于两种极化方式的一致性，或者对称性，因而只需研究某一种极化 方式。本文就是选用二维t m 极化做为讨论研究电磁基础。 图2 - 1 基本空间单元上场分量图 9 中国材油大学( 华东) 硕十论文第2 章时域有限差分法基本理论 2 2 2 二维地质雷达方程的f d t d 解 y e e “”于1 9 6 6 年首先提出了一种空间电磁波场网格剖分，习惯 上成为y e c 氏网格剖分法。根据这种剖分思想，离散二维空间场， 如图2 1 所示。将麦克斯韦三个标量方程( 2 - 2 1 ) ( 2 2 3 ) 中场 分量对坐标和时问的偏导数用有限差分式来表示式。根据图中离散 剖分网格的特点，对二维t m 极化情形下的基本做法是，将问题空 间沿坐标轴向上分成很多网格单元，用血、缈分别表示单元沿二 个轴向的长度，用，表示时间增量。网格元顶点的坐标似，) 可记 为 ( 五y ) = ( f 缸，j a y ) 任意一个空l b j 和时间的函数可表示为 p ”( f ，j ) = p ( i a x ，j a y ，拄缸) 这里f ，为整数。其次，用中心有限差分式来表示函数对空间 和时间的偏导数，这种差分式具有二阶精度，其表示式为 翌罂：型业弛箬幽+ d ( 帕( 2 - 2 7 ) 缸缸 、。 翌竽：型盟鬯竺盟+ o ( a t 2 ) ( 2 - 2 8 ) a 一- 研t 为了实现空间坐标的差分计算，并考虑到电磁场在空间相互正 交和铰链的关系，在基本网格单元上三个场分量的位置如图2 一l 所 示。考虑到在时i 、日j 上e 和h 有半个时州步的变化，引入妻的中间步 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章时域有限差分法基本理论 极化为例( 昙= o 、h z = 0 ) ) l 一兰一 疏，+ 争+ 赤 ，2 ( f ，+ i j 二1 圩j2 0 ，+ + 寻 二 s ( f ，+ 去) r 二 ( f ，+ 去) l 一d ! 一 ， 2 2 ( i ，+ 妄) j 一【盟掣】 (229)l + s ( j + l z ) a t 2 1 2 ( ij + l z ) 缈 1 。9 s ( i + 亡，j ) a t 彰气_ 1 圳2 1 2 巫z ( i + l j ) 硝咖+ 南。 2 ( f + 妄，- ，) 而赫学】 ( 2 - 3 0 ) l 一c r ( i , j ) a t 矽l ( f 。礤噬( f 卅 2 8 ( i ，) 1 + 盯( f ，j ) a t 2 6 ( i ，朋)。壁娑 中国“油人学( 华东) 硕= ：论文第2 章时域有限差分法基本理论 + j i ( f ，j i 1 ) 一彰+ j 4 - 丢) + 兰l 】 ( 2 3 1 ) 掣 从方程式( 2 - 1 9 ) ( 2 3 1 ) 中可以看出，在任意时间步上空间网 格任意点上的电场值取决于三个因素：( 1 ) 该点在上一时间步的电 场值；( 2 ) 与该电场正交平面上邻近点处在上一时间步上的磁场 值；( 3 ) 介质的电参数s 和盯。磁场值有相似情形。因此在任意给 定的时问步上，场量的计算可以一次一点的进行。 2 3 解的稳定条件 应用f d t d 算法时，随着时间步的增长，保证算法的稳定性是 一个很重要的问题。数值解是否稳定主要取决于时间步长f 与空间 步长( 蛾缈，血) 闻的关系。 为方便起见，考虑一个无损耗空间o r = 0 ，s = 0 ，取磁场矢量 的规则化值( 即佰石日哼h ) ，则可将麦克斯韦方程重写为 。h ：! 丝 c 西 。e ：一三塑 ca f 其中。：，1 - 心耻 将( 2 - 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 两式合并，并令矿= 何+ 归，得 刃矿：三旦矿 。 c 钟 v = h + j e f 2 ( 2 - 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 - 3 4 ) ( 2 3 5 ) 中国石油大学( 华东) 硕十论文第2 章时域有限差分法基本理论 考虑f 列本征僵f , - j 趑 旦y ：2 v ( 2 3 6 ) j c v x y = 2 v ( 2 3 7 ) 将式( 2 - 3 6 ) 对时间的偏导式写成差分式得 v n + 1 1 2 _ v - 1 1 2 ：a 矿( 2 3 8 ) 定义q = v ”v ”“2 为解的增长因子，代入式( 2 3 8 ) 解出q 9 = a 等 ，+ a 等 “2 ( 2 - 3 9 ) 数值计算的稳定性要求，对于网格空间全部可能的模式下，式l q l l 成立。这导致 r e ( a ) = o 、i i m ( a ) 卜丢 ( 2 - 4 0 ) 任意网格空问模式用下式表示 矿( ，朋，门) = e x p ( t ，x + 以，妙+ 也，a z ) ( 2 4 1 ) 定义 a j 2 s i n ( t a x 2 1 一 苏k x a j 2 s i n ( 砖a y l 2 ) 咖一y 旦：丝墅f 生竺! 型 色 z 考虑这些数值式，则式( 2 - 3 7 ) 变为 1 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章时域有限差分法基本理论 乏掣，掣，一s i n ( k a z 2 ) 矿( ，m ， ) = x ( 1 ，m ，盯) ( 2 4 2 ) 上式叉乘后，写出关于x 、y 、z 分量的方程如下： - 2 c s i n ( k 。y a y 2 ) y ：+ 塑警幽巧哦vz 7 塑警型屹+ 型a x 屹= 彬 缸 1 7 掣巧+ 掣纠e 式中圪、k 得v 坐标分量。上式是关于、以的齐次线 性方程组，其有解的充要条件是其系数行列式等于o ，由此可以得 五z ：4 。zf 兰塑掣a x + 掣+ 掣 c z a 。， i 2 广i 对于全部可能的t 、缸和t r e ( a ) = 0 l i r a ( 刮 0 时，预定源存在的网格点处，将被赋 予源的场值，这种场源值将随时间步的增加沿着网格空间传播，并 作用于被研究的媒质上，造成散射、吸收等物理现象。这种场的建 立、传播、散射或吸收等物理过程需要相当长的时间才能达到稳定。 当源不存在时，将只能得到网格各点上场的零解。正如闭合的导波 系统那样，当无外界源激发时，该系统内任意点上的场值均为零。 因此源的讵确设置是f d t d 运算的必要条件。 2 5 1 激励源的类型 在关于f d t d 求解的问题中，可以设置各种类型的源、这些源 可以按不同的形式和性质来分类。 从空间分布来看，有：面源、线源、点源等。典型的面源有常 见的平面波源。在研究柱面波的问题时，常设置线源。从频谱特性 来看，有工作于一个频率上的周期变化的连续波源，亦可以是占有 较宽频谱的波源。 从源的时变特点看主要有二大类。一类是随时间周期变化的时 谐源。另一类是对时间呈冲击函数形式的波源，后者时变源包括矩 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章时域有限差分法基本理论 形脉冲、高斯脉冲、上升余弦形脉冲和核电磁脉冲等形式。从源处 场的性质看，又可分为e 型和h 型源。即在源面上仅赋值予电场量 或磁场量，在目前主要采用的电磁波激励源有以下几种 ( 1 ) 时谐型正弦： p = s i n ( 2 石) ( 2 6 5 ) ( 2 ) 高斯脉冲： 驴= e - ( 一7 2( 2 6 6 ) 式中矗是出现最大值的时间，r 与脉冲宽度有关， ( 3 ) 上升余弦脉冲： p 2 l c 。s ( 2 厅五力 。 九曲的波才能在 网格中传播，而九凡m m 的波将被扼止。这是一种数值低通滤波效 应，它是算法的又一固有属性。 上述数值色散能够引起脉冲传播的失真。对于很窄的时变脉 冲，具有很宽的频谱，其较高频谱分量的传播速度比低端频谱分量 中国石油大学( 华东) 硕七论文第2 章时域有限差分法基本理论 的要慢，而且很高频谱分量又被扼制，这是造成脉冲传播失真的原 因。对于有限宽度的时变脉冲，数值色散效应使脉冲的延时期展宽， 相对慢速传播的高频成分形成脉冲下降的后沿和尾巴部分。为了限 制脉冲传播的失真效应，应选择网格尺寸使得脉冲频谱的主要成 分均满足其波长大于1 0 a 。在这种情况下，不论波在网格中传播方 向如何，主要频谱成分数值相速的变化均小于1 。 2 7f d t d 数值解步骤 在以上讨论f d t d 数值法基本知识的基础上下面将f d t d 数值 解的求解步骤归纳如下： 1 将时域麦克斯韦方程组中的两个旋度方程展成其坐标分量 式，用中心有限差分式替代各场分量对空间、对时间的偏导计算， 得到f d t d 基本方程式。 2 决定空间网格基本单元尺寸缸、缈、z 。这三个轴向的单 元尺寸可以相等，亦可以不等，视研究的具体问题而定。一般单元 尺寸大小的选择应考虑到下列因素：( 1 ) 能较好地拟合任意被研究 的空间媒质；( 2 ) 尽可能减小网格空间数值模的数值色散。为了减 小数值色散，应满足九。 1 0 a ，a = m i n ( a x ，缈，& ) 是被研究媒质 空间的最小波长值( 对应最高频率) 。减少单元尺寸会减小数值色 散误差，但这又引起计算存贮量的加大，需权衡利弊、折衷处理。 3 选择时间步长，。a r 应选择必须满足数值计算稳定这一要 求，其判别式为 中国石油大学( 华东) 硕七论文第2 章时域有限差分法基本理论 f ! 一；：! ：一 u + 上a y ：+ 上a z 2 a y a z c 。是问题空间中工作模的最大波相速。一般选取a t = 1 ( 盈。) ， 是缸，缈和心中最小的值。 4 决定问题空间的大小。应考虑下列因素：( 1 ) 能将被研究的 媒质“装入”：( 2 ) 边界条件的设置需在每一个轴向上占用约4 个 单元；( 3 ) 信号源的设置位置；( 4 ) 连接边界的设置( 将总场与散 射场分区域) 。 5 沿网格空日j 的外表面设置吸收边界条件。 6 选用和设置激励源。 7 决定运算的总时间步数。 设t 0 时，时变脉冲源场值等于零，脉冲的持续期为 3 t a t 。由于它包含一定宽度的频谱，应使主要频谱部分的信 号达到稳定状态，特别应使低端频谱信号达到稳定状态，所需的总 时间一般比乃大得多。可以用逐渐增加时间步使得计算结果收敛的 方法来决定所需时间步的最小值。 8 根据公式和边界条件以及模型设置进行计算 在计算时应该涉及如下诸因素：( 1 ) 空间网格点的场分量值； ( 2 ) 计算空间各网格单元电参数的赋值；( 3 ) 时域计算时，需存 储某些空间场点上的时域信息即时间步数；( 4 ) 由计算的场值推演 派生而得所需参数的空间、时间分布等。 在f d t d 计算预测时，应尽可能减少存储量，节省计算时间， 中国石油人学( 华东) 硕十论文第2 章时域有限差分法基本理论 以提高计算效率 小结 本章在麦克斯韦方程的基础上，推导出二维时域t m 极化形势 下的有限差分格式，讨论了差分方程组解的可行性，和求解时应该 注意的问题即空间步长和时间步长的对应关系与联系。并且讨论推 导二维m u r 吸收边界条件。并且对激励源的选择做了讨论。通过对 比s i r 2 0 0 0 型对空采收的雷达波比较确定了子波的选取。还对模型 装入进行了讨论。其后讨论了差分解的理论上的空间色散和数值色 散。最后总结得出时域有限差分法计算的主要步骤以及必须注意的 问题。 中国4 釉人学( 华4 、) 硕十论文第3 章地质宙达一维时域有限筹分止演 第3 章地质雷达二维时域有限差分正演 在第二章中，详细讨论分析了地质雷达有限差分正演的算法， 包括网格剖分、边界条件以及波源的类型与设置。本章主要在第二 章的基础上，进行模型模拟。藉此研究探讨地下介质的介电性与导 电性对雷达波信号的影响。 3 1 地下介质的电磁参数 真空中的电磁波速也就是光速的定义是c = 告，其中岛、胁 q 6 0 分别是真空中的介电常数与磁导率。在实际应用的过程中，介质的 磁导，一般不赋予变化，也就是磁导率为常值。电导率的变化确实 会因介质的不同而产生不同，这主要体现在电磁波在各种不同介质 中传播的速度办不同，总体的情况是介质的介电性或相对介电常数 愈大则波速愈小，也就是单位穿透的时间愈长。表3 一l 中统计了各 种常见的介质的相对介电常数，而且初略估计了在该介质中雷达波 的传播速度。其的估计函数是v = c l o 其中，c 是真空中的电磁波 速，占。是介质相对介电常数，从中我们可以看出水的介电常数最高， 雷达波在水中的传播速度最慢。介质的富水程度也对介质的介电性 有很大的影响，比如湿混凝土的相对介电常数为干混凝土的相对介 电性数值的两倍，而湿粘土的相对介电常数为干粘土的6 倍多。一 般地下浅层介质多以粘土和有机土壤为主。介电常数的变化范围也 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章地质雷达二维时域有限差分正演 比较大。 表3 - 1 介质相对介电常数与速度 单位双程相对介单位双程相对介电 介质 旅行时 电常数 介质 旅行时 常数 ，坫1 7 螂m 水 5 98 1 冰渍岩 2 2 2 2 冰 1 34 泥煤