（应用数学专业论文）几类奇异微分方程组边值问题正解的存在性.pdf

摘要 本文主要研究了几类具有p - l a p l a c i a n 算子型奇异方程和方程组两点边值问题以及一 类非线性二阶三点方程组边值问题正解的存在性。本文共分为五章： 第一章，简述了问题产生的历史背景和现阶段的主要研究成果。 第二章，主要运用l e g g e t t - w i l l i a m s 定理研究了一类形如 i ( 妒p ( “) ) + 厂o ，“) = 0 ，0 t 1 ； l “( o ) = 彳，“( 1 ) = b 的奇异p - l a p l a c i a n 方程至少存在三个正解的问题。 第三章，主要利用乘积空间拓扑及不动点定理研究了一类形如 l ( 伊p ( “) ) 。+ f ( t ，“，v ) = 0 ，0 f 1 ， ( 妒p ( v ) ) 。+ g ( t ，“，d = o ，0 t 1 ， i “( 1 ) = “( o ) = v ( 1 ) = ，。( o ) = 0 的奇异p - l a p l a c i a n 方程组一个正解及两个正解的存在性问题。 第四章，利用锥上的不动点定理研究了一类形如 l “( f ) + a ( t ) f ( t ，“，1 ，) = 0 0 t 1 lv 。( f ) + b ( t ) g ( t ，u ，v ) = 0 0 o ，o ，y 0 ，万0 。通过运用锥 上的不动点定理获得了此类方程存在多个正解的充分条件。 2 0 0 5 年，姚庆六研究了下列一维非线性p l a p l a c i a n 方程 ( 矿。( 。( f ) ) ) + h ( t ) f ( t ，c o ( t ) ) = 0 , 0 o ，卢o ；厂：【o ，1 xr + xr r + 是连续的。 通过应用积分方程及不动点指数定理，获得了此类方程至少存在一个正解的充分条件。 2 0 0 8 年，李华，仉志余研究了如下一类带p l a p l a c i a n 算子的两点边值问题 j ( 九( 工。( 州+ g ( ) 饨，蛾x 。( ) ) ( o f 1 ) 1 工( o ) 一b ( x 。( o ) ) = 0 ，x ( 1 ) + b ( x ( 1 ) ) = 0 正解的存在性，其中，0 ) = l s l p - 2 s ，( p 1 ) ，g ( f ) 在f = 0 , 1 处奇异，函数b ，b 均全连续， b 0 ，b ( 工) 1 ) ，a i ( f ) ( i = 1 , 2 ) 在t = 0 ，1 处奇异， a l ，b ，( f = 1 , 2 ) 为定义在( - - - o o ，+ o o ) 上的连续非减函数，通过研究获得该类方程组存在三个 正解的条件。 2 0 0 9 年，柴国庆研究如下一类p l a p l a c i a n 算子型奇异方程组边值问题 船激裟裟三。0 吲叫， ) ) 。+ 口2 ( f ) g ( z ( f ) ，) ，( f ) ) = 一r ”7 ix ( o ) 一展( x 。( o ) ) = 0 ，x ( 1 ) + 4 ( 工( 1 ) ) = 0 【y ( o ) 一尾 。( o ) ) = 0 ，y ( 1 ) + 疋o ( 1 ) ) = 0 其中砟( s ) - - i s i ，_ 2 s ，0 1 ) ，届o ，瞑o ，i - - - 1 ，2 ， 2 ( 1 - 1 3 ) ( 1 1 4 ) f ，g c ( 【0 ，+ ) 2 ， o ，删) ， 第一章绪论 a ，c ( ( o ，1 ) ，( o ，却o ) ) o = 1 , 2 ) ，利用适当的方法研究得出此类方程组存在强正解的条件。 2 0 0 7 年，沈文国，宋兰安研究了超线性条件下奇异二阶微分方程三点边值问题 i x l ( t ) + f ( t ，x o ) ) = 0t ( o ，1 ) i x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = j | 2 x ( ，7 ) 正解的存在性，这里的r ( 0 ，1 ) 是一个常数，f c ( ( o ，1 ) “o ，o o ) ， o ，) ) ，即厂在t = o ，1 处可以是奇异的，应用锥上的不动点定理，给出了此类方程存在c 【0 ，1 正解的充分必要条 件。 2 0 0 9 年，姚庆六研究了如下一类奇异二阶三点边值问题 ( f ) + h ( t ) f ( t ，甜( 呦= 0 ，0 t l i “( o ) = 0 ，伽( 叩) = u ( 1 ) 正解的存在性，其中0 r l 1 ，0 a t 1 ，h f 0 ，1 nc ( o ，1 ) ，并且允许f ( t ，“) 在u = 0 处奇异，利用锥上的g u o - k r a s n o s e l s k i i 不动点定理获得了此类方程一个正解的存在性 定理。 2 0 0 8 年，刘亚亚，夏大峰等研究了下列奇异非线性二阶三点方程组边值问题 i “( f ) + a ( t ) f ( t ，u ，v ) = 0 ，0 t l j v 。o ) + 6 ( 力g ( f ，u ，功= 0 ，0 t 1 h ( o ) = v 。( o ) = 0 i “( 1 ) + a 孔( r 1 ) = v ( 1 ) + 口1 ，。( ，7 ) 正解的存在性，其中0 0 ，使得对任意五，而d ，若 性一屯i i o ，v x a ，v ，t 2 x ，当p ( t l ，t 2 ) 万，；f f x ( t 1 ) - x ( t 2 ) l 占。 在这里，工= z ( f ) c ( x ) 作为x 上连续函数必是一致连续的，若对某一族连续函数，一 致连续定义中的5 = a ( e ) 对族中每个函数都适合，这族函数就是等度连续的。 引理1 【4 3 1 ( a r z e l a - a s c o l i 定理) 设z 是紧度量空间。则acc ( x ) 是列紧集的充要条 件是彳为c ( x ) 中范数有界的等度连续函数族。 引理2 4 2 1 设彳：虿瓦全连续，且存在非负连续凹泛函口( 劝满足：口( x ) - b l l ， v x ，又设存在0 d = 0 ，当x p ( a ，a ，b ) 时，有a ( a x ) a ： 2 ) 当x 虿时，酬血0 6 时，有口( 厶) 口； 其中p ，a ，6 ) 表示集合缸iz p 口口 ) ，6 ) ，这里o 口 d ，且口 3 ) - 1 1 1 1 ，v u k n o n ，；i i a i “0 ，v u k n o p , ： 则彳在k n ( _ 2 f 2 。) 中至少有一个不动点。 引理4 【4 2 1 设e ；是b a n a c h 空间，k 为e 中的一个锥，对p 0 ，定义 k p = 仁e ：l l x l l _ p ) ，又设f ：巧专k 是紧算子， o k p _ 1 ：，f ( 工) 工，则 ( i ) 如果对x 脚印，n - l l r 叫l ，则f ( ，印，k ) = 1 。 5 第二章一类奇异边值问题三解的存在性 2 1 引言 第二章一类奇异边值问题三解的存在性 鉴于p l a p l a c i a n 边值问题广泛的数学与物理应用背景，近年来对它的研究非常的 活跃( 见文【l 1 9 】) ，对于具有p - l a p l a c i a n 算子型奇异边值问题也有很好的结果( 见文 【7 - 1 9 】) 。研究这类方程的一般方法有k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，拓扑度理论，s c h a u d c r 不 动点理论，上下解方法，打靶法等，但利用这些方法得到的大多是一个解或两个解的情况， 而关于三个解的结果并不多见。 文【3 】利用范数形式的锥拉伸与压缩不动点定理，讨论了一类p - l a p l a c i a n 方程 l ( y ，( “) ) + 矽( f ，“) = 0 ，0 t 1 ， f ( t ，“) ： 0 ，1 】 0 ，o o ) 一 0 ，o o ) 连续，参数五0 。 文【1 l 】利用l e g g e t t - w i u i a m s 定理，建立了一维奇异p - l a p l a c i a n 非线性边值问题 l ( 9 ( “。) ) 。- i - 口( f ) 厂( “) = 0 ，0 t 1 ，口( f ) 在t = o ，1 处奇异， 厂c ( 【o ，) ，【o ，) ) 。 根据上述的结论，一个自然的问题：若f ( t ，“) 在t = 0 ，1 处奇异，且不能分解为口( 力与 连续函数厂似) 乘积的形式，而在其它给定的条件下，利用l e g g e t t w i l l i a m s 定理是否可以 得到其三个正解的存在性。 本章致力于这一问题的解决，即讨论如下形式的边值问题 j ( 9 ，( “) ) + 厂( ，“) = o ，o 1 ，f c ( ( o ，1 ) x o ，o o ) ， o ，o 。) ) 。 设e 是实肋刀口幽空间。显然，c o ，1 】在范数m l s u p u ( t ) l i0 f 1 ) 下也是一个 b a n a c h 空间，且设p 是e 中的一个锥，令 p r = & pj h i ，) ，僻= xe el l x i - - ，) ，毒 x e u x l _ ，- ) 考虑尸上一个非负连续凹泛函a ( x ) ( 见定义5 ) ，即口：p 一 0 ，c o ) 连续，并且满足 6 第二章一类奇异边值问题三解的存在性 a ( t x + ( 1 - t ) y ) t a ( x ) + ( 1 - t ) a o ) ，v x ，y p ，0 t 1 以下用以口，口，6 ) 表示集合扛i 工只口口( 功，i k l - ，其中o 口 6 ，易知只口，口，6 ) 是有界凸闭集。 2 2 主要结果( 一) 针对本蕈所研冗的边值问题( 2 - 1 1 ) ，定义算子t ：p c 【0 ，1 】如下 r u ( t ) = 肪( f j s 删( r ) ) d r ) a s 。 其中是9 p 的反函数，即( 妒，) = ，万1 + 吉= 1 。 显然，t 的定义是合理的，且边值问题( 2 1 1 ) 有解就相当于算子t 有不动点，另外 i i r ”l l = t u ( 1 ) = 触( f 竹，”p ) ) d r ) a s 下面给出两个假设条件： 1 ) 厂c ( ( 0 ，1 ) 0 ，o o ) ， 0 ，o o ) ) ； 2 ) x c v u ( t ) 0 ，有 j ：厂p ，“o ) ) t i t ，j ：( r 厂( ，“( ，) ) d r ) d s 定理2 2 1 假设条件1 ) 、2 ) 成立，若存在0 d a 口3 ( f ) ( 刍，- l ； 其中 口，( f ) c ( ( o ，1 ) ， o ，) ) ，j ：口，o ) d r o ，聊= 胁口：( ，) d r ) a s 0 ， j | = r ( a 3 p ) d r ) d s 0 则边值问题( 2 1 1 ) 至少有三个解“，“，和“，并满足 7 第二章一类奇异边值问题三解的存在性 i a , l l u ，0 c lg a ( u ，) o 是常数，且满z l l u l l - u ，“e d 。对v 甜d ，由 假设条件1 ) 、2 ) 得 f u l = t u o ) = j ：( f j s ( ，“o ) ) d r ) a s g 改t ( d ) 在c o ，1 中是有界的。 对v 掰d ，当o f 2 0 ，使得e ，( ，“( ，) ) 办 0 ，使得厂p ，“。( ，) ) m ，则有 t u 。( f ) = j ：( f 厂( ，( ，) ) 办) 出j ：( j = 厂( r ，“。p ) ) a t ) a s ( m ) 再由l e b e s g u e 控制收敛定理知 0 死。一死。0 = m a x t u 。( t ) - t u 。( f ) l j ：k ( f 厂( ，“。( ，) ) 办一( f 厂( ，“。( ，) ) 咖p _ o 第二章一类奇异边值问题三解的存在性 从而i i t u 。一2 k o i l 一0 ，故r ：p 专p 是连续的 所以根据引理1 得出a ：p 哼p 是全连续映射。 当0 盯d 时，由条件( i ) 知 0 死0 = j ：( f 厂( ，“( ，) ) 毋) 西 j ：伤删( 寺川d r ) d s = 万d 肌i ( r 口，p ) d r ) d s = d 口) 0 当“e ( a ，口，6 ) 时， 且由口( x ) 的定义知口口 ) f l u l l - n ( 胁，) 9 川d r ) d , 9 第二章一类奇异边值问题三解的存在性 = 昙n ( 州，) d r ) a s = 口 ( 2 2 3 ) 即引理2 的条件1 ) 成立。 最后我们来验证引理2 的条件3 ) 成立。当“p ( a ，a ，c ) r t u b 时，有a u ( t ) sc ， f 万，1 】。由式( 2 2 3 ) 可知，a ( r u ) = r u ( a ) a ，即引理2 的条件3 ) 成立。 综上所述，引理2 的所有条件都满足，故边值问题( 2 1 1 ) 至少有三个解，从而定理 得证。 用定理2 2 1 的证明方法，我们同样可以得到p - l a p l a c i a n 边值问题 肛( “) ) + 们，“) = o ，o 1 ，( 2 “) 一【o ) = u 0 ) = 0 ， 三个解的存在性定理，易知非线性边值问题( 2 2 4 ) 有解等价于算子 五甜o ) = f9 。( j ：厂( ，“驴) ) d r ) a s 有不动点，且有下列定理成立。 定理2 3 2 设厂c ( ( o ，1 ) x o ，) ， o ，o o ) ) ，若存在0 d a b c 使得 1 当o ”d 时，巾，“) 口3 0 ) ) 川； 其中口r ( f ) c ( ( 0 ，1 ) ， 0 ，) ) ，并满足 j ：口，( o a t 0 ，? r l - - ( j ：口：p ) d r ) a s 0 ， 拈e ( r a 3 0 ) d r ) a s 0 。 则边值问题( 2 2 4 ) 至少有三个解，”2 和“3 ，并满足 i i t , 18 口，i b ，8 d 且口( 甜，) t l 。 此定理的证明过程同定理2 2 1 ，这里不作详细介绍。有兴拇的读者可以自行证明。 l o 第二章一类奇异边值问题三解的存在性 2 3 主要结果( 二) 对于2 2 节所研究的边僵问题，着边界条件不为零，应用同样的定理是否可以得出此类 问题三个解的存在性定理。 文 1 4 】利用锥上的不动点定理建立了一维p - l a p l a c i a n 方程 i ( y p ( “) ) + 口( f ) 厂( “) = 0 ，0 o 。本节讨论如下 形式的边值问题 肛斗加，“) = o ，o 1 ；f c ( ( o ，1 ) o ，) ， o ，叫) ；彳，b 0 显然，本节是对上节的拓展，当a = b = ol jf ( t ，“) = 口( f ) 厂 ) 时即为文1 1 1 中的情况， 因此本章所研究的问题具有一般性。 对于本节所讨论的边值问题( 2 3 1 ) ，定义算子t ：p c 1 【0 ，1 为 t u ( t ) = 彳+ j ：9 。( 9 p ( 曰) + j ：p ，“( r ) ) d r ) d s 显然，t 的定义是合理的，且边值问题( 2 3 1 ) 有解等价于算子r 有不动点，另外 i i r “l l = t u ( o = 彳+ j ：9 9 ( 矿p ( 召) + f 厂9 ，“( ，) ) a t ) a s 下面给出两个假设条件： 1 ) f c ( ( o ，1 ) 【o ，o o ) ， 0 ，) ) ，a ，b 0 ； 2 ) 对v u ( t ) 0 ，有 j ：们，俐出 ，胁( r 竹，“( ，) ) d r ) a s 定理2 3 1 设假设条件1 ) 、2 ) 成立，若存在0 d 口 b c ，乍ia + 2 q - 1b i a ， 使得 1 ) 5 0 痤删，厂。乒) 口3 ( f ) 粤) p l ； 其中 口，( f ) c ( ( o ，1 ) ，【o ，) ) ，i ：a , ( t ) d t o ，肌= j ：( f 口：( ，) 办) 凼 0 ， 阳h 七2 上伊g ( 上a 3 ( ，) 咖) 凼 0 则边值问题( 2 3 1 ) 至少存在三个正解蚝，甜2 和“3 ，并且满足 i 口，i dr a ( u ，) 口。 证明同样，令 p = 恤( f ) u ( t ) e d o ，1 ，“( f ) o ) ，口( x ) 2 勰x ( f ) 显然口( 石) 是尸上的一个非负连续凹泛函，并且口( 工) 0 4 ，v xe p 。参照上节证明全连续 算子的方法，不难得出t ：p p 也是全连续的。 当0 “d ，由条件1 ) 知 l 孔l = 彳+ ( 9 ，( b ) + r 厂( ，“( ，) ) 咖) 出 = 彳+ j ：( 9 p ( b ) + j = 厂p ，“( r ) ) 办) 9 。1 凼 彳+ j ：2 叮。1 b + ( f ( ，“( ，) ) 办) 纠弘 = 彳+ 2 9 1 b + 2 9 1 j ：9 叮( f 厂( ，“( ，) ) 办) 凼 吾甜。1 胁胁，白川咖协 = 吾+ 軎2 纠胁胁岫，幽 = d c ( 2 3 2 ) 当d “c ，由定理中的条件2 ) 同理可得0 死l 口) g 当“p ( a ，a ，6 ) ，且由口( 工) 的定义知 口口( “) - 胁脚，饼1 办熵 = 要r 9 。( 口，( ，) d r ) d s = 口 ( 2 3 3 ) 即引理2 的条件1 ) 成立。 当u p ( a ，口，c ) 且死 b 时，有a u ( t ) c ，t 【万，1 】。由定理中的条件3 ) 与式 ( 2 3 3 ) 的证明过程可知 a ( t u ) = 死( 万) 口 即引理2 的条件3 ) 成立。 综上所述，引理2 的所有条件都满足，故边值问题( 2 3 1 ) 至少存在三个解，从而定理 得证。 同样，也可以类似得到p - l a p l a c i a n 边值问题 f ( 砟( “) ) + 厂( f ，”) = 0 ，0 t 1 1 甜( o ) = 彳，甜( 1 ) = 口 三个解的存在性。 1 3 第三章一类奇异方程组两点边值问题正解的存在性 第三章一类奇异方程组两点边值问题正解的存在性 3 1 引言 对于微分方程组边值问题的研究也非常活跃并已取得很多很好的结果( 见文 2 9 - 4 0 ，但 所研究的方程组边值问题主要集中为以下两类： ( i ) 非线性项为a i ( t ) f i ( u ，1 ，) 的形式( 见文 3 1 3 3 ，3 7 - 4 0 ) ，其中a i ( f ) 在t = o ，l 处奇异， f = 1 , 2 ： ( 妨非线性项为非奇异的形式，即形如f t ( t ，u ，v ) 的形式( 见文【2 9 - 3 0 ，3 4 - 3 6 1 ) ，其中 f i ( t ，u ，v ) ( 【0 ，1 x o ，o o ) 2 ，【0 ，o o ) ) ，f = 1 , 2 。 由上面所研究问题的形式，我们自然会产生一个疑问，若石( f ，u ，1 ，) 在t = 0 , 1 处奇异， 且不能分解为a i ( f ) 与连续函数z ，1 ，) 的形式时，这样的方程组解的情况会是怎样的呢? 文【3 l 】研究了如下一类二阶算子方程组 i ( ，( x ( f ) ) ) 。+ m ( f ) 厂( x ( f ) ，y ) ) = 0 ，0 t l ， ( 矽，。) ) ) + 靠( f ) g ( 工( f ) ，y ( f ) ) = 0 ，0 t 1 , 1 p + 1 9 2 l ，删5 缈p - 1 。且厂，g 满足下列条件： ( 1 ) f ，g c ( ( 0 ，1 ) 【0 ，o o ) 2 ， 0 ，) ) ；对v ( 甜，1 ，) e o ，o 。) 【0 ，o o ) ，有 j ：厂( f ，“( f ) ，v ( f ) ) 出 ，j ：q o i ( ，甜( ，) ，1 ，( ，) ) 办) 凼 ； j 2g ( t ，“( f ) ，v ( f ) ) 出 0 ，9 p ( “。( f ) ) 和9 pv 。( f ) ) 均在 0 ，1 上绝对连续且满足( 3 1 1 ) 式。 方程组( 3 1 1 ) 等价于以下积分方程组 p = 胁胁纵，) ，v ( ，渺油( 3 1 2 ) i ，l ) = j f ( 上g ( r ，“( ，) ，( ，) ) 出) 凼 记 彳 ，v ) ( f ) = i l9 。( j ：( ，“( ，) ，v ( ，) ) a t ) a s 曰 ，1 ，) ( f ) = f l9 9 ( r g ( ，“( ，) ，y ( r ) ) a t ) a s f ( u ，v ) ( f ) = ( a ( u ，v ) ( f ) ，s ( u ，v ) ( f ) ) 设 e = c ( 【o ，1 】， o ，) ) ，x = e xe ，删= 哪啦( f ) l ，1 i ( u ，v ) 9 - - i l u l l + h 显然x 是一个b a n a c h 空间。令 k = ( “，v ) l ( “，d 石，“( f ) + ，( f ) ( 1 - 0 ( 1 u + l k l ) ) 则k 是x 中一个锥。 3 2 主要结论 引理3 2 1f ：k k 是全连续的。 证明设 ，1 ，) k ，显然，对v f 0 , 1 】，a ( u ，1 ，) ( f ) 0 ，a ( u ，v ) ( 1 ) = 0 且 i 陋 ，1 ，) 9 = 彳 ，v ) ( o ) = j ：伊。( j ：厂驴，”( ，) ，v 妒) ) d r ) d s 令 u c t ) = a ( u ，v ) ( t ) - ( 1 - t ) 0 a ( u ，叫l ， 则对v f 0 , 1 】，有【，( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = 0 ，u ”( f ) 0 ，从而u ( f ) 0 ，v te o ，1 ，即有 4 ( “，d ( f ) ( 1 - t ) l l a ( u ，v ) 0 同理可证 第三章类奇异方程组两点边值问题正解的存在性 8 ( u ，v ) ( f ) ( 1 一f ) i i b ( “，v ) l l 从而对v ( u ，v ) k ，有 a ( u ，v ) ) + 召( ”，v ) 0 ) ( i - t ) ( j a ( u ，v ) l l + l l b ( u ，v ) 1 1 ) 故 ，似，功( f ) = ( 彳 ，1 ，) ( f ) ，b ( u ，1 ，) ( r ) ) k 即f ( 芷) ck 。下面利用引理l ( a r z e l a - a s c o l i 定理) 证明f 是全连续算子，不妨先证算子 a ( u ，) ( f ) 是全连续的。 设dc k 是任一有界子集，令m o 是常数，且满足i 陋，v ) 0 m ， ，1 ，) ed 。对 v ( u ，叻d ，由f ，g 满足的条件( 1 ) 、( 2 ) 得 0 彳 ，v ) l l = 彳似，v ) ( 1 ) = j ：9 。( r 厂( ，“( ，) ，1 ，( 厂) ) 西) a a ( d ) 在c i o ，1 】中是有界的。 x 于v ( u ，) d ，当0 t l t 2 o ，使得j 厂( ，“( ，) ) 办 0 ，使得厂( ，甜。( ，) ，p ) ) 膨。 a ( u n 1 ，n ) ( f ) = 1 1 ( r 厂( 懈。( ，) ，( ，) ) 办) 凼 j ：( r 厂( ，( ，) ，( ，) ) 办) 凼 似) 0 ，x , j v t ( 0 , 1 ) ，当“+ ， 且时，有 厂( f ，“，v ) ( 9 以+ v ) ) ，- l ，其中p 为一常数，且满足o p 1 2 。令 q 。= 缸，v ) l ( “，1 ，) x ，忖，v ) 0 日。时，有 f ( t ，u ，( c o ( u + v ) ) 川，其中c o 为一常数，且满足2 ，取日，= m a x 2 h x ，2 h o ) 令 1 7 第三章一类奇异方程组两点边值问题正解的存在性 q ：= ，v ) l ，d x ，i i ( u ，v ) 8 吼) 注意到当( “，1 ，) k ，以及k 的定义，我们得到在f o ，丢】时，有 1 剞( “，v ) 1 1 “( f ) + v ( f ) - i i ( u ，v ) l | 故当 ，1 ，) k n a q 2 时，有 i i a ( “，v ) l l = h ( j ：m ，甜( ，- ) ，v ( r ) ) d r ) d s f ( r ( + v ) ) ，- 1 办) 凼 丢叫j ，v ) o 丢l l ，v ) o 类似的，由g 。= 0 0 ，可取到与上面公用的日2 ，可推出 l i s ( u ，v ) l i 铡( “，v ) 0 ，v ( “，力kn 讹： 从而，当 ，功kn 讹2 时，有 l l f ，v ) l l = l l ( a ( u ，v ) ，b ( u ，v ) ) l = l l a ( u ，v ) 0 + l p ，v ) 0 ，v ) l ( 3 2 2 ) 由式( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 及引理3 知，f 在k n ( q 2 f 2 1 ) 中至少存在一个不动点 ，1 ，。) ， 即方程组( 3 1 1 ) 至少有一组正解 ，1 ，) ，且满足日。 0 ，) l | 0 ，v t ( 0 , 1 ) ，当0 0 ，对任葸的tg ( o ，1 ) ，当“+ v 月2 时，有 厂( f ，“，d ( 旯 + v ) ) 川，其中五为一常数，且满足旯1 2 。 以下分两种情况进行讨论： ( 1 ) 厂有界，此时存在l , z 0 ，使得对任意的( r , u ，v ) ( ( 0 ，1 ) 【0 ，o o ) 2 ) 有 卅鸬v ) ( 汀，取n 2 - - w i 雄跏” q ：= ( “，v ) l ( “，v ) x ，i i ( u ，v ) l l m a x 2 h l ，日2 ) ，使得 厂( ，“，d f ( r ，“。，。) ，v ( u ，d ：0 l l ( u ，v ) l l 日， 成立。令 q ：= ( “，di ( “，1 ，) z ，v ) i | 也) ， 则当似，) kn 锄2 时，且由“+ ，h 2 时，有 f ( t ，u ，1 ，) ( 旯( “+ v ) ) p 一1 ( 上面已证) ，我们得出 州) 0 = j ：( i is ( 删( ，) ，y ( r ) ) 咖) 凼 j ：妒，( j i 厂( ，“。( ，) ，v 。( 厂) ) a r ) d s j ：吼( 旯 。+ v 。) ) 川办) 幽 2 u 。+ v 。0 旯( 0 “。i i + l l v o l l ) = 旯l | ( ，v 。) i l 寻马= 丢o ，力。 综合以i - _ 讨论知，壬诊哪种惰演，都有 1 9 第三章一类奇异方程组两点边值问题正解的存在性 彳( “，v ) ( f ) 吉1 ( u , v ) l l ，v ( u ，v ) kn a - 2 ： 类似的由g o = ，可取到与上面公用的日3 ，同理可推出 召 ，1 ，) ) 去l i ( “，1 ，) i i ，v ，功kn a q ： 从而，对v ( u ，1 ，) 足n m 2 ，有 l i v ( u ，v ) l l = 肛( “，d ，b ( u ，v ) ) 0 = “，v ) l l + l l b ( u ，v ) l i - - i i ( u ，v ) l i ( 3 2 4 ) 由式( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 及引理3 知，f 在kn ( n 2 q 1 ) 中至少存在一个不动点 ，1 ，) ， 即方程组( 3 1 1 ) 至少有一组正解 + ，1 ，) ，且满足日l 。，对。i | ( “，d o z ，有厂o ，“， ( 圭z ) 一，g ，“，y ， ( 圭z ) 一； 则方程组( 3 1 1 ) 至少存在两组正解( “l ， v 1 ) 和 2 ，1 ，2 ) ；且这两组正解满足 o l i ( u 。，m ) l i i ：，v ：) i l 证明由( i ) f o = o o ，则存在d ( 0 ，i ) ，对v t ( o ，1 ) ，当0 “+ 1 ，d 时，有 f ( t ，“，v ) ( m + v ) ) p 1 ；其中m 为一常数，且满足m 2 。设 q ，= ( “，v ) k ：i i ( u ，v ) l j i ，对任意的f ( 0 , 1 ) ，当u - i - v r 时， 有厂( f ，“，功( n ( u + ，) ) p 1 ，其中n 为一常数，且满足2 ，令 q ：= ( “，v ) k ；i i ( u ，v ) l l - r ，对任意的f ( o ，二) 1 ，可以得到 l i 彳( “，v ) i l = = j ：伊。( j c 厂( ，“( ，) ，v ( ，) ) a r ) e s f ( j o f ( r , u ( ，) ，v ( ，) ) 咖) 西 f ( j ：( + 功) 川a r ) a s 却( 酬畦k d o 由g 。= 0 0 ，类似的可推出： b ( “，1 ，) ( r ) 剀( “，1 ，) l i ，v ( “，1 ，) kno x 2 于是，对任意 ，) k n 讹2 ，有 i i f ( u ，v ) l | = l l ( a ( u ，y ) ，b ( u ，v ) ) l = l i 彳( “，d 0 + l p ( 甜，v ) 8 f l ( u ，v ) l f 从而i ( f ，k 五，k ) - 0 令q3 = ( “，) k ，l i ( u ，v ) 0 i ) ，则当 ，v ) 弛3 时， i i a ( 酬l = 如( r 竹，如) ，y ( ，) ) 办) 凼 吾i = 瓢训) o 阢，y ) l i = 鼽( j ：时，时) ，v ( 呦办) 凼 吾i = 扎叩) 8 于是，对任意 ，d 讹3 ，有 l p o ，v ) l i = 凹 ，d ，b ( u ，功) 0 = i i a ( u ，o l l + l l 召( u ，v ) l l l t ( u ，v ) l i 故i ( f ，k i ，k ) = 1 。 综上所述，f ( ，b k l ，k ) = 一1 ，f ( f ，互，k ) = 1 ，得到f 有两个不动点，即方 程组( 3 1 1 ) 至少存在两组正解 l ，v 1 ) 和 2 ，v 2 ) ；且满足 0 l l ( u 。，v ，) 0 i ：，v ：) m 即结论得证。 2 l 第四章一类奇异二阶三点方程组正解的存在性 第四章一类奇异二阶三点方程组正解的存在性 4 1 引言与预备知识 关于非线性二阶微分方程( 组) 边值问题研究的比较多并已取得了丰硕的成果( 见文 【2 0 2 8 ，3 4 4 0 ) ，但这类方程边界条件主要集中在两点，而x c - - 点边界条件研究的相对少一 些，但也取得不少很好的结果( 见文 2 1 2 8 ，3 7 3 8 】) 。文利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理 研究了如下一类二阶三点非线性边值问题 i “。( f ) + a ( t ) f ( u ，力= 0 ，0 t 1 v 。( 砂+ 6 ( f ) g ( “，功= 0 ，0 t 1 i “( o ) = ，( o ) = 0 ，u ( 1 ) + 口“( 叩) = v ( 1 ) + 口v ( ，7 ) = 0 正解的存在性，证明了在超线性或次线性条件下此类方程组至少存在一个正解的条件。 本文在文 3 7 】的基础上研究了如下一类更一般的奇异非线性二阶三点方程组 p ( f ) + 口( f ) 巾，“，v ) = ”o t l 凛+ 黧o 枷狄k 1 叫) l 甜( o ) = ，( o ) = 0 7 【“( 1 ) + 口“( ，7 ) = 1 ，( 1 ) + 口1 ，( 卵) = 0 正解的存在性。这里7 7 ( 0 ，1 ) 为一常数，f ，g 在 0 ，1 x o ，+ ) 【o ，佃) 上连续，并且允 许a ，b 在t = 0 与t = 1 处具有奇性。记 f o = l 删i m 卸m i 棚l l 号警，f o = l i m r a m 叫a x ，号警， ：= 。；l ，y i r a ，。，m 科。i n ，二 ：号手尘，厂。= 。工l ，y i r a ，。m ，科。a ，x 。，二 ；专；尘， g o = 。，l ，i ，m 。，m q i n 量警军气竽，g 。= 。工，t y i ，m 旷m ，q a x ，墨篓军竽， 础l i m 川m 吡i n ，掣，小“l y i m 刚m 吡a x ，掣 为了方便，先列出本章中我们需要用到的假设： ( q ) 0 o ，b ( t o ) 0 。同时存在0 p 1 ，使得 o l i m + f ，c o ) 佃，畎r 川u n 一( 1 一f ) ，c ( f ) 第四章一类奇异二阶三点方程组正解的存在性 这里c ( f ) = 零野 口( f ) ，6 ( f ) ) 。 u 0 ，使得对v ( u ，v ) g ， 有l l ( u ，v ) l l m 。令 c = m a x f ( t ，“，v ) ：l l ( u ，v ) l l - 聊) = j ：( 1 一s ) 口o ) a s + a r 口o ) a s + j ：( 1 一s ) 口o ) a s ， 则有忙( “，1 ，) 0 c ， ，d g ，e pa ( a ) 是一致有界的。 最后证明4 ( g ) 是等度连续的。当t ( 0 ，1 ) 时，有 融蛾) l = l - 丢胁咖帅从珐吣) 迹l = 口o ) 厂o ，“o ) ，v ( s ) ) 凼c f 口o ) a s ：_ 石( f ) 第四章一类奇异二阶三点方程组正解的存在性 j ：x o ) a t = 红o ) j ：一j ：红o ) a t = ，l _ i m ，一t x ( f ) ，1 + i r 。+ a 执( f ) 一c j ：以 ) a t = 垮 c f j = 口( s ) d s 一，l _ i r a 旷c t 州 ：口( s ) d s c f ：t 口( t ) a t c j ：口( s ) a s + c l ：t a ( t ) d t 0 ，当f l ，f 2 o ，l 】，h 一乞i 万时， 对v ( u