（控制理论与控制工程专业论文）混沌控制与同步的研究.pdf

摘要 混沌是确定系统的非线性动力系统中出现的随机现象。由于其在概念上的突 破，混沌已成为当今科学的前沿。细胞神经网络模型也是近些年的研究热点，目 前在人工智能方面获得了广泛应用。然而，将混沌学与细胞神经网络结合进行研 究的工作仍旧不够。本文主要在混沌控制与同步等方面进行了研究，尝试将混沌 控制和同步的相关内容与细胞神经网络的模型相结合，提出一种控制器设计方案， 成功实现了混沌系统对细胞神经网络模型的追踪控制，分析了一类神经网络模型 之间的保密通信并验证了一种全新的同步算法在混沌神经网络中的有效性，这些 都是前人的工作中所欠缺的。 本文在以下几方面做了一些具体工作： ( 1 ) 提出一种控制器构造方案。解决了一类细胞神经网络系统和“统一”混 沌系统的追踪控制问题，以此为理论基础实现了异结构混沌系统的同步。 ( 2 ) 介绍了神经网络中存在的混沌现象，以现代控制理论为基础实现了一类 细胞神经网络模型基于观测器理论的混沌同步并将该方法应用于保密通信中。此 外，还依据一种全新算法实现了多个神经网络混沌节点问的同步。 ( 3 ) 研究了c h u a 系统电路模型的自同步，比较了混沌控制中两种最常用的 方法一线性反馈控制与自适应反馈控制。 关键词：混沌i 司步细虢神经网络追踪控制 a b s t r a c t c h a o si sar a n d o mp h e n o m e n o ni nd e t e r m i n i s t i cn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m s b e c a u s eo ft h eb r e a kt h r o u g ho ft h ec o n c e p t ，c h a o si st h ef o r e l a n do ft o d a y ss c i e n c e 1 1 1 em o d e lo fc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k ( c n n ) i sa l s oar e s e a r c hh o t s p o ti nr e c e n ty e a r s b u tf e wr e s e a r c h e sa b o u tc o n n e c t i n gt h ec h a o t i cs y s t e m sa n dc n nh a v eb e e nd o n e e s p e c i a l l yt h er e s e a r c ha b o u th o wt or e a l i z et h et r a c k i n gc o n t r o lo fc n n t h i st h e s i s f o c u s e so nc h a o sc o n t r o la n dc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n t r i e st oc o n n e c tr e l a t e dc o n t e n to f c h a o st h e o r yw i t i lt h em o d e lo fc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k , r e a l i z e st h ec o m m u n i c a t i o n s e c u r i t yb e t w e e nt w oc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sa n dc o n f i r m st h ev a l i d i t y o fan o v e l a l g o r i t h mw h i c hi sa p p l i e dt ot h es y n c h r o n i z a t i o nr e s e a r c hi nc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s a l lo ft h e s ea r er a r e l yi n v o l v e di nf o r m e rw o r k i nt h i sp a p e r , s o m ep a r t i c u l a rw o r k si n f o l l o w i n ga s p e c t sh a v eb e e n d o n e ： ( 1 ) an o v e lt r a c k i n gc o n t r o lm e t h o di sp m p o s e df o rc n nm o d e la n du n i f i e d c h a o t i cs y s t e m 毗m e t h o de n a b l e st h es i g n a lo ft h em o d e la p p r o a c ht oa n yd e s i r e d s m o o t ho r b i ta ta l le x p o n e n tr a t e b a s e do nt h i s ，t h es y n c h r o n i z a t i o no fs u c hc n n m o d e lw i t hi t s e l fa n dw i t ha n o t h e rs y s t e mi sa n a l y z e d c o m p u t e rs i m u l a t i o n sp r o v et h e e f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d ( 2 ) t h ec h a o t i cp h e n o m e n o ni nn e u r a ln e t w o r k si sd e s c r i b e d a c c o r d i n gt om o d e m c o n t r o lt h e o r y , t h es y n c h r o n i z a t i o no fat y p eo fc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k ( c r y ) i s a c h i e v e d ，w h i c hi sa p p l i e dt oc o m m u n i c a t i o ns e c u r i t y a d d i t i o n a l l yb yu s i n gan o v e l a l g o r i t h m ，t h es y n c h r o n i z a t i o nt r i a lo fs o m ec h a o t i cn o d e si ss u c c e s s f u l e a c ho ft h e s e n o d e si sac e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k ( 3 ) s y n c h r o n i z a t i o n r e s e a r c ho nt h ec i r c u i tm o d e lo fc h u as y s t e mh a sb e e n d i s c u s s e d t w oi x ) m m o nm e t h o d si nc h a o t i cc o n t r o l - - l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o la n d a d a p t i v ef e e d b a c kc o n t r o lh a v eb e e nc o m p a r e d k e y w o r d ：c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n c n nt r a c k i n gc o n t r o l 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名日期 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，诅胁研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名 导师签名：丕銎 日期 日期互坐i ! ：兰7 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 二十世纪六十年代以来，诞生了一门崭新的科学一混沌学。四十年来，混沌 学涉及的范围已经从最开始的气象学扩展到物理学、化学、生物学、天文学等等 几乎所有的科学领域。混沌学深刻改变了人们对世界的认识，以至于著名的物理 学家j f o r d 认为混沌是二十世纪物理学第三次最大的革命，与前两次革命相似， 混沌也与相对论和量子力学一样冲破了牛顿力学的教条。他说：“相对论消除了关 于绝对时间和空间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦； 混沌彻底消除了拉普拉斯关于决定论式的可预测的幻想”。 最开始接触到混沌现象是在研究超长期天气预报可能性的时候。在解某些方 程( 组) 时，人们发现极微小的初始条件差距会在很短时间内导致完全不同的结 果，但这些看上去没有规则的曲线中却隐含了许多确定性的规律。这逐渐加速了 人们分别在数学理论上和其他学科实际中去研究混沌。奇异吸引子、分岔、分形 等混沌学中的重要现象和规律逐一浮上台面，而令人兴奋的是混沌远不止存在于 物理学中，诸如心脏脉搏的规律、海岸线和雪花的形状、股市涨落的周期、化学 反应的机理都蕴含着混沌。这使得人类对自然的认识产生了一次革命性的飞跃： 自然并不是由机械决定论控制着。相反，它充满了不确定性和随机现象，混沌就 是其中的代表。 混沌( o l a o s ) 本意是“秩序形成以前一种极端无序的状态”。混沌学是当今 的前沿研究课题，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，有序与无序 的统一，确定性与随机性的统一，大大拓广了人们的视野，加深了人们对客观世 界的认识。混沌的研究涉及到数学、力学、物理学、化学、宇宙学、经济学、医 学、大气动力学等众多的自然科学及社会科学领域，其覆盖面之广、跨学科之多、 综合性之强、发展前景及影昀之深远都是空前的。“混沌学”发展这场革命正在冲 击和改变着几乎所有科学和技术领域，向我们提出了巨大的挑战。 1 2 混沌理论的产生与发展 混沌理论钧研究由来已久，其发展大致可分为以下三个阶段。 ( 1 ) 史前阶段( 1 8 9 0 年以前) “混沌”源于神话传说与哲学思想。古巴t k 伦、印度和中国的神话传说中都 把开天辟地之前的形态称为混沌。恩格斯曾概括：“在希腊哲学家看来，世界在本 质上是某种从混沌中产生出来的东西，是某种发展起来的东西，某种逐渐生成的 混沌控制与同步的研究 东西”。牛顿认为宇宙生成的过程是“一般的混沌分解为特殊的混沌，并赋予了混 沌一些属性，如均匀性”。而康德则把混沌看作由某种更基本的物质构成，构成的 原因则是多种多样的，即复杂性。在这一时期，混沌概念并未被人们普遍接受。 ( 2 ) 起源阶段( 1 8 9 0 1 9 7 5 年) 混沌运动有其不可测的一面。由于不存在确定的因果关系，称这类现象中存 在着随机的因素。可是很长一段时间，人们似乎并没有怀疑过精确的预测能力从 原则上讲是能够实现的。一般认为，只要能够收集并处理足够的信息就可以达到 这一能力。科学史上对预测与随机性的关系有过两次重大的见解。第一次是1 8 世 纪法国数学家拉普拉斯提出的，他宜称，如果已知宇宙中每一粒子的位置及速度， 他就可以预测宇宙在未来的状态。随机性的引入仅仅是为了弥补人类在观测资料 上不完整的缺陷。当然要实现拉普拉斯的这一目标存在着不少实际的困难，但其 原则上的正确性保持了一百多年而未被质疑。 2 0 世纪的科学界，人们已开始重新评价这一论点。其中原因之一是量子力学 的兴起，量子力学的根本原理之一是海森堡的不确定关系。该理论指出，粒子的 位置及速度的测量有着一个基本的限度，这种不确定性的存在圆满地解释了某些 随机现象。但是我们常常碰到的是现实中的一些例子，有些大尺度的现象是可以 预测的，丽另一些则不能，这种区别似乎与量子力学间并不产生直接的关系 随机行为即使在非常简单的系统中也能出现，今天我们称之为混沌现象。在 本世纪初法国数学家p o i n c a r d 早就意识到了这一点，他在研究天体力学，特别是 三体问题时发现了混沌现象的存在。他把动力学系统和拓扑学两大领域结合起来， 证明了周期轨道的存在。通过详细研究周期轨道附近流的结构，发现在双曲点附 近存在无限复杂、精细的“栅栏结构”。他意识到：引力相互作用能产生出惊人的 复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性，这就是“混沌”。p o i n c a r d 以超越现代概率思想的发展水平，发现某些系统对初值具有敏感依赖性和行为不 可预见性，指出了混沌存在的可能性。他在科学与方法一书中提出了他的猜 想：“我们觉察不到的极其轻微的原因决定我们不能不看到的显著结果，于是我们 说这个结果由于偶然性。可以发生这样缒情况：初始条件的微小差黝在最后的现 象中产生了极大的差别。前者的微小误差促成了后者的巨大误差。于是预言变得 不可能了”。这就是关于预测与随机性的第二个重大见解。p o i n c a r d 在某种程度上 己经意识到确定性系统具有内在的随机性，成为世界上最先了解存在混沌可能性 的人。但他关于混沌现象的早期探索未能得到当时科学界的应有评价和响应。1 9 6 3 年，美国气象学家e l o r e n z 在使用一台原始计算机研究气候的变化时遇到了混沌 现象，给出了著名的l o l e n z 方程。i o r g n z 在美国大气科学上发表了决定性 的非周期流一文，指出：在气候不能精确重演与无法长期预报天气变化之间必 然存在一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的联系。他认为。一串事件 第一章绪论 可能有一个临界点，在这一点上，小的变化可以放大为大的变化，而混沌的意思 就是这些点无处不在。这些研究清楚地描述了“对初始条件的敏感性”这一混沌 基本形态。这就是著名的蝴蝶效应。日本学者u e d a 等在寻找d u f f i n g 方程的谐波 解时揭示了混沌概念的另一基本属性一非周期的定常运动。可见，混沌概念在成 为科学名词之前已接近成熟程度。 ( 3 ) 发展阶段( 1 9 7 5 年至今) 7 0 年代是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。1 9 7 5 年，混沌概念正式进入当 代科学。1 9 7 0 年美国科学家t s k u h n 的科学革命的结构一书出版，对混沌理 论的发展起到了推波助澜的作用。1 9 7 5 年中国学者李天岩和美国马里兰大学数学 家j y o r k e 发表的著名文章周期三意味着混沌，深刻揭示了从有序到无序的演 变过程。1 9 7 6 年，美国生物学家r m a y 在 n a t t h _ c 杂志上发表了 s i m p l e m a t h e m a t i c a l m o d e l s w i t h v e r y c o m p l i c a t e d d y n a m i c s ) ) 向人们表明了混沌理论的惊人 信息：简单、确定的数学模型竟然可以产生看似随机的行为。1 9 7 7 年，第一次国 际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生。 8 0 年代，混沌科学又得到进一步发展。特别是在美国，混沌会议一场接一场 召开，混沌杂志一种接一种出版，美国政府也为混沌研究大量拨款。许多大学和 研究机构纷纷成立了非线性科学研究中心来协调混沌以及与混沌有关的一切工 作。1 9 8 4 年，中国著名的混沌学者郝柏林院士编辑的混沌书在新加坡出版， 为混沌科学的发展起了一定的推动作用。1 9 8 6 年，中国第一葙混沌会议在桂林召 开。 到了9 0 年代，o t l ，g r e b o g i 和y o r k e 给出了混沌同步控制的o g y 方法。随着 国际上混沌控制方法及其实验研究的迅速发展，混淹同步也获得进一步拓广，大 大推进了应用研究。目前具有代表性的混沌控制方法除o g y 法及其推广外，还有 自适应控制法、参数周期扰动法、周期激振力法、偶然正比反馈o p f 法、正比于 系统变量的脉冲反馈法、线性反馈控制法等。但无论哪种方法，其混沌控制机制 都是相同的，就是交原来的正的l y a p u n o v 指数为负值，从而实现从不稳定到稳定 的转变。这些混沌控制方法共同推动了混沌理论的目益完善。同时，混沌科学与 其他科学相互渗透。在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、 信息科学、天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了 广泛的应用。混沌在现代科学技术中起着十分重要的作用。 1 3 混沌的定义、特征及判别标准 1 3 1 混沌定义 从混沌学发展的2 0 多年的历史来看，混沌科学与其它科学相互渗透，在各个 4 混沌控制与同步的研究 领域都得到了广泛的应用。对于什么是混沌的问题，自然科学界、社会科学界和 哲学界都具有带着自己学科浓厚色彩的解释。如：混沌是简单的决定论系统表现 出来的一种随机反复的性态；混沌是非周期的有序性；混沌是不规则的，不可预 测的，又不同于随机现象，是来自决定论的非线性动力系统的性态；混沌现象是 丝毫不带随机因素的固定规则产生的一种始终限于有限区域且轨道永不重复的运 动，它是属于某个( 一般是低维的) 动力系统的有吸引作用的轨道；混沌是决定论系 统有限相空间中高度不稳定的一种运动；混沌是蕴含着有序的无序运动状态，是 有序和无序的对立统一，是从有序中产生的无序状态等。一般地，混沌可以描述 为从有序中产生的无序运动状态，无序来自有序，无序中蕴含着有序，有序和无 序是对立统一的，高一层次上是有序的，而低一层次上是无序的。 1 9 8 6 年伦敦一次国际会议上与会者提出：数学上的混沌指确定性系统中出现 的一种貌似无规则的，类似随机的现象。从数学上来看，对于确定的初始值，由 确定性的动力系统就可以推知该系统的长期行为甚至追溯其过去的状态。但是大 量的实例表明，有很多系统，当初值产生极其微小的变化时，其系统的长期性态 有很大变化，即系统对初值的依赖十分敏感，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。由 于实际中误差不可避免，因而，从物理上来看，对这种系统的长时间行为的预测 将完全是随机的。但这种随机现象，与由于系统本身具宥随机项或髓帆系数而产 生的随机现象完全不同。对于一个真正的随机系统，从莱一特定时刻的量无法知 道以后任何时刻量的确定值，即系统在短期内也是不可预测的；而对于一个确定 性系统，它的短期行为是完全确定的，只是出于其对初值的敏感依赖性，使得系 统长期行为不可预测。这正是它内在的、周有的随机性引起的，这种现象只能发 生在非线性系统中。混沌并没有获得科学上公认的、完整、精确的定义，不过这 并不影响科学家对其进行研究。其严格数学定义请参阅文献 1 1 。 1 3 2 混沌的特征 与线性系统及其它的非线性系统相比，混沌系统有着自己独有的特征。下面 对混沌各主要特征进行简单介绍。 ( 1 ) 对初始条件的极端敏感性 当一个确定性系统的发展演化行为敏感地依赖于系统的初始条件的时候，我 们就称这个系统是混沌的。混沌这个特征暗示两个初始条件很相近的不同轨道最 终将会以指数的方式分离。要使一个确定性系统成为混沌系统就要求这个系统必 须至少是三维的非线性系统。一般来讲，由于事实上我们不可能精确知道实验的 全部初始条件，根据混沌系统对初始条件的极端敏感性，使得这些系统本质上是 不可预测的。实际上，从假想初值出发的预测轨道和从实际初值出发的真正轨道 最终按指数分离。与此同时，预测误差( 预测轨道与实际轨道之间的距离) 也按 第一章绪论 指数增长。这样经过很长时间以后，系统的真实轨道就完全不同于预测轨道了。 ( 2 ) 存在无数个不稳定周期轨道的稠密集 混沌的第二个特征就是在潜在的混沌集合中存在着无数个不稳定周期轨道。 换句话说，混沌吸引子就是无数不稳定周期轨道的集合。 ( 3 ) 存在正的l y a p u n o v 指数 l y a p u n o v 指数是对非线性映射产生的运动轨道相互问趋近或分离的整体效 果进行的定量刻画。对于非线性映射而言，l y a p u n o v 指数表示n 维相空间中运动 轨道沿各基向量的平均指数发散率。一般而言，系统只要有一个正的l y a p u n o v 指 数就称为混沌系统，而有两个或两个以上正l y a p u n o v 指数的混沌系统则称为超混 沌系统。不过，由于超混沌系统要比一般的混沌系统复杂 ：导多，因此现在研究的 混沌系统多为弱混沌系统。 ( 4 ) 遍历性 混沌嚏线不会有交点( 指在由所有状态变量组成的相空间内) ，也就是说它不 会重复回到以前的状态。因为假定如此，完全一致的初始条件和动力学方程将使 它开始重复上一循环的变化，从而成为周期行为。混沌吸引子的动力学行为是各 态历经的( 或混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的) ，这表明在混沌系统的时 间演化过程中，系统可以到达嵌入在混沌吸引子内部的任何不稳定周期轨道邻域 内的每个点，即在有限时间内混沌轨道经过混沌区内每一个状态点。 ( 5 ) 有界性、内随机性、分维性 混沌是有界的，它的运动轨道始终局限于一个确定的区域，这个区域称为混 沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域，所 以从整体上来说混沌系统是稳定的。 一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可鼢不出现，该系统被认为 具有随机性。一般来说当系统受到外界干扰时才产生这种随机性，一个完全确定 的系统( 能用确定的微分方程表示) 在不受外界干扰的情况下其运动状态也应当 是确定的，即是可以预测的。不受外界干扰的混沌系统虽能用确定微分方程表示 但其运动状态却具有某些“随机”性。产生这些随机性的根源只能在系统自身， 即混沌系统内部自发的产生这种随机性。当然混沌的随机性与一般随机性是有很 大区别的。混沌的内随机性实际就是它的不可预测性，对初值的敏感性造就了它 的这一性质。同时也说明混沌是局部不稳定的。 分维性是指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。混沌系统在相空间中的 运动轨线在某个有限区域内经过无限次折叠，不同于一般确定性运动，不能用一 般的几何术语来表示，而分维正好可以表示这种无限次的折叠。分维表示混沌运 动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。 混沌控制与同步的研究 1 3 _ 3 混沌判断标准 因为混沌研究的领域过于广泛，所以至今没有数学意义上严格的判别标准。 不过，系统具有正的l y a p u n o v 指数一般被认为是产生混沌的重要特征。l y a p u n o v 指数( l y a p u n o ve x p o n e n t ) 是描述初始值受到微扰后混沌轨道的分离量。 定义：设自治系统戈= ，o ) 并彤，它从x o 出发在相空间形成轨迹石o ) ，若初 始值有一偏差a x o ，则由x o + a x o 出发就形成另一轨迹，他们形成的一个切空间相量 缸o o ，f ) ，其范数为0 缸0 0 ，t ) ij ，可以定义 ax o , a x ) ；嬲砉i n 酾i i a x c x o , 0 l l ，i j a x ( x o , o ) l l 一。( 1 - 1 ) 为n 维系统的l y a p u n o v 指数。 由于l e 是针对系统的运动轨道而言的，所以在n 维切空间中每个分量都有一 个l e ，通过得到n 个l e 后，从大到小排列，加t 比：苫工厶，称这1 1 个数为 l y a p u n o v 特征指数的谱，其中蚀，称为最大的l e ，它决定了非线性系统的很多重 要性质。 l y a p u n o v 指数定量描写了相空间中相邻轨迹呈指数发散的性质。l y a p u n o v 指 数可能小于、等于、或者大于零。当l y a p u n o v 指数小于零时，轨道间的距离按指 数消失，系统运动状态对应于周期运动或不动点；l y a p t m o v 指数大予零时，则在 初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运动对应于混沌状态；当l y a p u n o v 指数 等于零时，各轨道间距离不变，迭代产生的点对应分岔点( 即周期加倍的位置) 。 对混沌系统而言，正的l y a p u n o v 指数表明轨道在每个局部都是不稳定的，相邻轨 道按指数分离。但是由于吸引子的有界性，轨道不能分离到无限远处，所以混沌 轨道只能在一个局限区域内反复折叠，但又永远互不相交，形成了混沌吸引子的 特殊结构。同时正的l y a p u n o v 指数也表示相邻点信息量的丢失，其值越大，信息 里丢失越严重，混沌程度越高。含有两个以上的正l y a p u n o v 指数的系统是超混沌 系统。l y a p u n o v 指数的具体算法可参阅文献1 2 l 。文献嘲指出，如果设某一系统的 l y a p u n o v 指数谱为氘a ：九( 从大到小) 排列，则该系统若具有混沌吸引子必须 同时满足以下条件 ( 1 ) 至少存在一个正的l y a p u n o v 指数丸 0 , 1 i e ，o ) 一b x + 0 5 ( a 一d 工+ e i i x ej ) 。j j 工j s e 【b x - a + b 工 0 贝r m a + 七l 0 即七l 一a 口时官0 ，t ) 0 。由l y a p u n o v 稳 2 4 3 白适应反馈控制 为方便比较仍采用反馈控制方法：“t 一詹舡一爿r ) ，“：一h ，一0 。其中女，为反馈系 态量x 自适应变化。对于系统( 2 1 6 ) 采用如下自适应律进行控制：t - r o 一赫) 2 ， 哥m a ( y - x - - ，o ) ) - k 1 ( x - x r ) ：= x - y (2121)-dj -y 、 _ | l r ( x 一矗p 采用2 4 2 小节类似证明可以得出以下结论：系统( 2 2 1 ) 在满足t ，一o f a 的条件 下采用自适应控制霉：一y 扛一五) 2 ，系统在平衡点自x ，弘，西) 渐进稳定的。 2 4 4 仿真分析与结论 以下仿真全部采用相同数据：系统( 2 - 1 6 ) 和系统( 2 2 1 ) 选择相同参数 ：l 。声。1 4 。8 7 , a 。一1 2 7 , b 。- 0 6 5 ， e = i和摆同的电路初始值 b ( o ) ) ，( 0 ) ，z ( o ) 一0 1 , - 0 0 2 , 0 3 】。系统( 2 1 6 ) 取l | = 2 0 ，系统( 2 2 1 ) 取y 2 2 0 。图 no o - 曲j 峨菇站交赫，9 - h q 、翔f2 - 2 1 ) 蟪黪糠划到第一个平衡点 混沌控制与同步的研究 e l ( 1 7 7 ，0 ，一1 7 7 ) 处和第二个平衡点e 2 ( 0 , 0 ，0 ) 处时的仿真图。 图2 6 ( a ) e ，处自反馈x 状态曲线图( b ) e 1 处线性反馈x 状态曲线图 图2 7 ( a ) e 2 处自反馈x 状态曲线图( b ) e 2 处线性反馈x 状态曲线图 根据文献 4 1 的理论，由于混沌系统的初值敏感性和遍历性，使用反馈控制来 控制混沌系统到任意确定性状态是可行的。此确定状态要求是系统运行过程中所 曾经出现或将来必定能够到达的任意状态。为不失一般性且简便起见，我们只选 择控制状态x 到以下状态x r = l ( 若需要同时控制x ，y ，z 三个状态则控制器设计 相应复杂) 。 现将蔡氏系统( 2 - 1 6 ) 和( 2 - 2 1 ) 同时控制到x r = 1 处，仿真结果如图2 8 所 不。 图2 8 ( a ) 薪= 1 处自反馈x 磺态曲线图( b ) 珏= 1 处线性反馈x 状态曲线图 比较仿真结果可见：两种控制方法都可将系统控制到平衡点甚至任意确定状 态，自适应反馈所需要的控制时间普遍要小与采用线性反馈所需要时间，且在相 同条件下前者所产生的误差也要小于后者。在一定范围内改变反馈控制系数七，y 的大小和系统的初始状态，或者改变控制目标状态都能有效影响系统的动态响应。 但由于线性反馈控制憋撵粼器韵结构简单，不受小参数变化的影晌，具有抗干扰 第二章混沌的控制 性，所以常用于对原系统中的目标如不动点、不稳定周期轨道等进行控制。但是 对多变量相互作用的一些实际系统，由于系统参数不确定，线性反馈控制设计上 具有一定困难。自反馈控制由于稳定时间较短，动态响应优于线性反馈控制，且 反馈控制系数可以根据系统的状态误差自动调节，特别是适用于参数不确定系统 等优点而获得广泛运用。对于参数不确定系统，自反馈控制可以通过文献的方 法加以解决。但在实际运用中需要对反馈控制系数t - ，y 加以限制以避免反馈控制 系数可能过大使理论控制量超出实际控制器的输出范围。 2 5 混沌系统的追踪控制设计 随着混沌控制问题研究的日益深入，出现了各种实现混沌信号和混沌系统控 制的机理和方法。在这些混沌控制的研究中，追踪问题( 即通过施加控制使受控 系统的输出信号达到预先给定的参考信号) 尤为重要，文献4 1 1 分析了r o s s l e r 系统 的追踪控制，在本节我们将根据这种思想分析混沌神经网络系统和“统一”混沌 系统的追踪控制问题。 2 5 1 混沌神经网络系统追踪控制的设计及收敛性证明 考虑4 2 2 节有详细介绍的一类神经网络混沌系统： f 莺1 一- - x 1 + a l f ( x 1 ) 4 s i i x l + s 1 z x 2 j 2 - - x 2 + x l + x 3( 2 - 2 2 ) k 一, x 3 + s 3 z x 2 + $ 3 3 x ， ，( 蔚) 一o 5 ( i x j + 1 i i 姊- 1 1 ) 选择参数s 3 3 1 , s u0 2 1 7 9 ，s 1 2 8 3 4 2 , s 3 2 鲁一1 1 9 2 5 。给定参考信号，o ) ，要 设计一个控制器u ，使受控系统 f 莺l - - x 1 + a l l o t ) + s 1 1 x l + s l z x 2 莨黧：+ u ( 2 _ 功 的输出信号x ：( f ) 追踪事先给定的参考信号r o ) ，即满足 l i m e ( t ) * 0( 2 2 4 ) 式中e ( t ) 一并z o ) 一r ( t ) 为误差信号。取控制器 u = f + 2 f + 2 r 一口l ，0 1 ) - $ 1 蝴- $ 1 2 x 2 - s 3 磷2 - s 3 a x 3 一x 2 ( 2 2 5 ) 时e o ) 按指数规律收敛到0 。 定理：对于控制系统式( 2 - 2 3 ) ，若控制器w 满足式( 2 2 5 ) ，则有l i m e ( t ) 一0 ，且 收敛规律是指数的。 混沌控制与同步的研究 证明：设v ( t ) ；0 2 一r ) 2 + ( ，+ ，一x l x 3 ) 2 矿o ) = 2 ( x 2 - r ) 2 一，) + 2 ( ，+ ，- x l - x g ( ，+ ，- j c l - i t 3 ) = 2 ( x 2 - r x i 2 一，) + 2 ( ，+ r - x l - x 3 ) ( + ，- 2 1 + x 3 一$ 3 2 x 2 一$ 3 3 x 3 一u ) z 2 ( x 2 一，x 2 一，) + 2 ( ，+ r - x l - x 3 ) ( - i 一2 r + x i + x 2 + z 3 ) = 一2 ( x 2 一r ) ( i 一量2 ) + ( i + r 一飙- x 3 x 1 ：+ r - x 1 - x 3 + r - x 2 ) 】 = 一2 ( 工2 一，) 2 + ( f + ，一x 1 一x 3 ) 2 】；一2 v ( t ) 故v ( t 1 = v ( o ) e 一“0 f 2 2 6 ) f 2 - 2 7 ) r 2 - 2 8 ) 即y o ) 指数收敛到0 。而0 s e 2 ( t ) s v ( t ) = v ( o ) e 4 ( 2 - 2 9 ) 即0 i e 0 ) 扭4 - 丽) e 。所以l e ( t ) i 也指数收敛到0 。 2 5 2 “统一”混沌系统的追踪控制设计 在文献1 4 2 j 中作者提出了一种“统一”混沌系统，其形式为 忙。( 2 5 0 + l o x y - x ) j ，= ( 2 8 - 3 5 0 ) , - - x 2 + ( 2 9 0 - 1 ) y ( 2 3 0 ) l 叠= x y c o + 8 ) z 3 在口【o ，1 】时，式( 2 3 0 ) 为混沌系统。显然，当。一0 时为l o r e n z 系统；0 ；1 时 为c h e n 系统；0 0 8 时为h 系统。因此式( 2 - 3 0 ) 可以看成连接l o r e n z 系统和 c h e r t 系统的一座桥梁。对于该系统的研究具有广泛的意义。 给定参考信号f ( 1 ) ，设计控制器u ，使受控系统 肛一( 2 5 0 + l o x y z ) 夕一( 2 8 - 3 5 0 ) x 一荔+ ( 2 9 0 - 1 ) y + 【，( 2 - 3 1 ) 1 2 - x y 一( p + 8 ) z 3 的输出x ( f ) 追踪给定参考信号r p ) 。取控制器 u ( 2 8 350)x+愆一(2981)y(2-321 + ( 2 5 0 + 1 0 - 2 ) ( ) ，一z ) + ( ，( f ) + 2 ( t ) + 2 r o ) 一2 x ) ( 2 5 0 + 1 0 ) 7 时e 9 ) = 石( f ) 吖o ) 按指数规律收敛到0 。 证明：设v ( t ) 一i x 一，) 2 “，：( 2 5 0 + l o x y x ) 一0 一r ) 】2 ( 2 - 3 3 ) 矿o ) ；2 ( x - 0 ( ( 2 5 0 + i o x y - x ) 一，) + 2 ( ，一( 2 5 0 + i o x y 一聋) - i x - r ) x - ( 2 5 0 + 1 0 x 5 , 一j ) 一( i i ) ) ；2 【i x - r x ( 2 5 0 + 1 0 ) ( y 一善) 一，) 一( ，一( 2 5 0 + l o x y - x ) - i x - r ) x ( i 一( 2 5 0 + l o x y - x ) 一i x 一，) ) 一 一，) ) 】 ；一2 ( ，一( 2 5 0 + l o x y 一膏) 一( x 一，) ) 2 + 一，) 2 】 ( 2 3 4 ) ；- 2 v ( t ) 第二章混沌的控制 _ 。0 s e 2 ( t ) s 矿( f ) = v ( o ) e 一“_ o s ie ( t ) i e 矿( o ) p 。 故l e ( f ) i 指数收敛到0 。 由上面两种混沌系统的分析可见，控制器u 由三部分组成：反映输入信号r ( f ) 基本信息及其一阶、二阶导数的部分，在实际应用中输入信号r ( o 己知，故该部分 容易实现；另步 两部分与系统的线性和非线性部分有关，从控制理论的观点来看， 线性部分可视为系统本身的反馈控制，而非线性部分则符合实际问题，因为实际 系统中各变量之间的相互作用大都是非线性的。此外，该控制器在不需要充分了 解参考信号所在系统完全信息的基础上就可实现追踪控制。因此，这种控制器设 计是实用合理的。 2 5 3 数值仿真 ( 1 ) 混沌神经网络追踪正弦信号 取参考信号r ( t ) 一s i n ( t ) ，根据式( 2 2 5 ) 得控制器 u s i n t + 2 c o s t - a l f ( 工1 ) 一s 1 1 n 一$ 1 2 x 2 - $ 3 2 x 2 - - $ 3 3 x 3 - x 2( 2 3 5 ) 选择系统参数a l 一1 2 0 ，取初值x - ( o ) ；o 1 , x 2 ( 0 ) ；0 3 ，算3 ( o ) - 0 5 则可实现受控系统 ( 2 2 3 ) 对正弦信号的追踪。由图2 9 可见，经过一个瞬态过程后，追踪的速度 极快。 图2 9 ( a ) x 2 ( t ) 的时间历程图 ( b ) 误差e o ) 一菇2 一s i n t 时间历程图 ( 2 ) 混沌神经网络自追踪 选择驱动系统与受控系统的结构相同，即驱动系统为 m 一叫+ a l f ( u ) + s 1 1 + s 1 2 v ：二蔫：一 以v o ) 为参考信号，此时根据式( 2 2 5 ) 得控制器 u 心