（固体力学专业论文）Ⅲ型定常扩展裂纹尖端的弹—粘—理想塑性场.pdf

哈尔滨工程火学硕士学位论文 摘要 裂纹尖端场的研究是断裂力学研究的重要课题之一，它一直被力学工 作者所关注。本文在考虑扩展裂纹尖端材料的粘性效应下，采用一种比较简 单然而实用的弹粘塑性模型来描述反平面i i i 型动态扩展裂纹尖端场附近材 料的应力应变关系。通过对材料的粘性系数做出合理的假设，推导了一种 弹一粘一理想塑性材料的率敏感型本构关系。经过对奇异场的渐近分析确定 幂奇异性的阶次，消除了无粘性解中存在的塑性激波。 采用这种率敏感型本构关系，本文对不可压缩条件下反平面i i i 型扩展 裂纹的尖端场进行了渐近分析，分别求得了其裂纹尖端应力和应变场的动力 学控制方程。对各个特征参数选取适当的数值，并结合相应的边界条件，对 控制方程进行了数值计算，求得了完全连续的裂纹尖端应力和应变场。分析 了渐近解的性质，并讨论了解随各参数的变化规律。 采用这种率敏感型本构关系，为了与马赫数趋于零时动态解的极限情 况一一准静态扩展情况作对比，本文还对相应的准静态问题进行了渐近分 析，推导了裂尖场的控制方程，并选取典型的特征参数，结合问题的边界条 件进行了数值求解。通过数值结果的比较可知，两种情况下的解吻合的比较 好。因此，对于本文所采用的弹粘塑性本构模型，动态解在马赫数趋于零时 的极限情况能够还原为准静态解。 总之，通过理论分析和相应的数值计算，验证了本模型的合理性和有 效性，为最终解决裂纹尖端渐近场问题提供一种可行的方法，并且对于解决 工程实践中所遇到的难题提供理论上的参考依据。 关键词：准静态扩展；动态扩展；反平面i i i 型裂纹；弹粘塑性材料；裂纹 尖端场 哈尔滨i 程人学硕士学位论文 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fc r a c k t i df i e l d si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt a s ko ff r a c t u r e m e c h a n i c s i th a sb e e na t t r a c t i n gt h ea t t e n t i o n so fm e c h a n i c sr e s e a r c h e r s t a k e n t h ev i s c o s i t yi n t oa c c o u n ti nt h i s p a p e r , ar a t h e rs i m p l eb u tp r a c t i c a b l ee l a s t i c v i s c o p l a s t i c m o d e lt od e s c r i b et h es t r e s s s t r a i nr e l a t i o no ft 1 1 em a t e r i a la tt h e c r a c k t i po fa n t i p l a n em o d e i i ic r a c k ，w i t har a t i o n a la s s u m p t i o no ft h ev i s c o s i t y t o e f f i c i e n to ft h em a t e r i a l t h er a t e s e n s i t i v ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o n sf o rt h ei d e a l l y e l a s t i c v i s c o p l a s t i cf i e l da r ed e r i v e du n d e rt h em o d e l t h ee x p o n e n to fs i n g u l a r i t y i sd e t e r m i n e d t h r o u g ha s y m p t o t i ca n a l y s e s a n d t h ep l a s t i cs h o c ki se l i m i n a t e dt h a t e x i s t si nn o n - v i s c o s i t ys o l u t i o n s w i t ht h e a d o p t i o n o ft h er a t e s e n s i t i v ec o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p i t i s a s y m p t o t i c a l l yi n v e s t i g a t e dt h ep r o p a g a t i n gt i pf i e l d so fa n t i p l a n em o d ei i i c r a c k u n d e rt h ec o n d i t i o no f i n c o m p r e s s i b i l i t y , a n dt h ed y n a m i c se q u a t i o n sa r eo b t a i n e d s e p a r a t e l yg o v e r n i n gt h e s t r e s sa n ds t r a i nf i e l d sa tt h ec r a c k t i p n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n so f g o v e r n i n ge q u a t i o n sa r ec a r r i e do u tw i t hs e l e c t i o n so fa p p r o p r i a t e v a l u e so fe a c hc h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e rb y c o m b i n a t i o n so f c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n dt h ef u l l yc o n t i n u o u ss t r e s s s t r a i nf i e l d sa r eo b t a i n e da t t h ec r a c k t i d t h en a t u r eo f a s y m p t o t i cs o l u t i o ni sa n a l y z e da n dt h ev a r i a t i o n so f s o l u t i o n sa r ed i s c u s s e da c c o r d i n gt od i f f e r e n tp a r a m e t e r i no r d e rt oc o m p a r ew i t ht h ee x t r e m eo f d y n a m i cs o l u t i o n sw h e n t h em a c h n u m b e ra p p r o a c h e s z e r o ，1 e t h eq u a s i s t a t i cp r o p a g a t i o n ，t h ec o r r e s p o n d i n g q u a s i - s t a t i cp r o b l e mi sa l s os t u d i e da s y m p t o t i c a l l yi nt h ep a p e r t h eg o v e r n i n g e q u a t i o n so f c r a c k t i df i e l da r ed e r i v e d a n dn u m c r i c a is o l u t i o n sa r eo b t a i n e db y s e l e c t i o n so f t y p i c a lp a r a m e t e r v a l u e sw i t hc o m b i n a t i o no fb o u n d a r yc o n d i t i o n so f e a c hp r o b l e m t h et w os o l u t i o n sa g r e ew e l lw i t he a c ho t h e rt h r o u g hc o m p a r i s o n s o fn u m e r i c a lr e s u l t s t h e r e f o r e t h eq u a s i s t a t i cs o l u t i o n sc a nb er e c o v e r e df r o m t h ee x t r e m eo fd y n a m i cs o l u t i o n sw h e nt h em a c hn u m b e rg o e st oz e r of o rt h e e l a s t i c v i s c o p l a s t i cc o n s t i t u t i v em o d e le m p l o y e di nt h i sp a p e r i nc o n c l u s i o n t h er a t i o n a l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ec o n s t i t u t i v em o d e l a p p l i e di nt h ep a p e ra e v e r i f i e dt h r o t 【g ht h e o r e t i c a la n a l y s e sa n dc o r r e s p o n d i n g n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n st o p r o v i d eaf e a s i b l e m e t h o df o rf i n a ls o l u t i o n so ft h e p r o b l e m so f t h ea s y m p t o t i cc r a c k t i df i e l d ，a sw e l la st h e o r e t i c a lr e f e r e n c e sf o r s o l u t i o n so f t h ed i f f i c u l tp r o b l e m se n c o u n t e r e di ne n g i n e e r i n gp r a c t i c e s k e y w o r d s ：q u a s i s t a t i cp r o p a g a t i o n ；d y n a m i cp r o p a g a t i o n ；a n t i p l a n em o d ei i i c r a c k ；e l a s t i c - v i s c o p l a s t i cm a t e r i a l ；c r a c k - t i pf i e l d 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 论文的研究背景及目的 断裂力学就是从构件中存在宏观裂纹这一点出发，利用线弹性力学和 弹塑性力学的分析方法，对构件中裂纹问题进行理论分析和实验研究的一门 学科。是研究含裂纹构件强度与寿命的一门固体力学分支，它是结构损伤容 限设计的理论基础。它形成于二十世纪5 0 年代末6 0 年代初，虽只有4 0 来 年的历史，但由于它与材料或结构的安全直接相关，因而在理论和实验上均 有迅速的发展，并在工程生产中获得了广泛的应用。其线性静力学部分( 即 通常所指的断裂力学) ，在6 0 年代有了巨大发展。从7 0 年代开始，它的主 要发展方向之一是非线性静力学部分( 即通常所说的非线性断裂力学) ，另 一个就是动力学部分( 即所谓的动态断裂力学，或断裂动力学) ，它也是在 生产和实际中产生和发展起来的。 一般来说断裂力学是个空间问题，但由于空间问题的数学处理极其复 杂，故在实际应用中经常被简化成平面问题( 平面应变或平厩应力) 和反平 面问题。然而即使这样，裂纹尖端附近的应力应变场也仍是一个复杂的问 题，对于不同的情况，这个场具有完全不同的渐近属性。它取决于裂纹状态 ( 静止、扩展) 、几何特性( 平面应变、平面应力) 、加载速度( 准静态、 动态) 、裂纹形式( i 、i i 、i i i 型及混合型) 及材料性质( 弹性、塑性、粘 性) ，因而必须对各种情况分别进行研究。 随着工业技术的发展，近代工程结构材料的强度和工作应力水平不断 提高，结构本身及其工作条件日趋复杂，如何确保重要结构的安全性，如核 压力容器、天然气管道、船舶、飞机结构等的安全，已经成为社会普遍关注 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的重大问题。而在这些结构中，结构构件的动态断裂及其引发的后续破坏是 对重大工程结构的安全最具威胁性的失效形式，往往由此出现一场灾难性的 事故。例如，第二次世界大战期间，全焊接商船发生的沿船身周向的大规模 断裂，使之折成两截：又如，美国和欧洲出现过天然气输送管线长达1 3 k m 和1 8 0 m 的长距离裂纹快速扩展事故。我国也曾多次发生过输送管线在使用 或试压过程中出现破裂的情形。一般而言+ ，承受动载作用的裂纹，一旦发生 失稳，则将是快速扩展；疲劳裂纹扩展在后期也会出现快速裂纹扩展，并使 结构彻底破坏。由于裂纹快速扩展发生的时间短、且传播距离长，因而造成 的破坏通常是灾难性的。因此，科学地处理材料或工程结构的动态断裂问 题，研究控制裂纹扩展的因素，并为可能的止裂打下基础，已是近代工程技 术人员面临的亟待解决的重大课题之一。 因此，动态扩展裂纹作为断裂力学的重要内容之一，通过建立该类型 的定常扩展裂纹尖端统一奇异场，可为确定裂纹尖端的应力和应变场提供一 种可行方法，对研究断裂力学中裂纹扩展具有重要的理论和现实意义。 一种求解定常扩展裂纹尖端奇异场的比较有效的方法是研究各种材料 非线性下裂纹尖端的渐近场，去探索它们的结构，期待发现某些新的控制参 量。近年来在这方面的研究得到了众多科研工作者的关注，并进行了许多探 索性的工作，已取得若干成果。 1 2 裂纹尖端的渐近场 由于非线性分析固有的复杂性，即使对静态问题，目前也只对比较简单 的问题( 理想弹塑性及幂硬化材料i i i 型裂纹) 能够求得“全场解”，即满足 外部边界条件的解。对于小范围屈服【2 q 】，解满足塑性区外k 场的边界条 件；对大范围屈服 4 1 ，解满足实际的边界条件。但是，鉴于对裂纹的应力允 哈尔滨二【程大学硕士学位论文 析，最重要的是在裂纹尖端附近，而裂纹扩展与否将取决于裂纹尖端附近高 应变区的力学状态，因此为了能够建立合理的断裂准则，同时可以简化问 题，人们着手探索弹塑性断裂问题的“局部解”，即，斗0 时裂纹尖端附近 的主奇异渐近解。除了裂纹表面自由条件以外，不要求满足远处的边界条 件。正因为如此，这些解中通常含有某些未知系数或未知常数，由渐近方法 本身无法确定，而必须同远场条件联系起来。实际上，线弹性断裂力学的k 场就是局部解，它是w i l l i a m s 展开式中的主奇异项，只是所讨论的材料是 线弹性的，而应力强度因子k 的值必须由远处的边界条件确定。 渐近场研究的重要性在于，不仅可以使人们明确裂纹尖端附近材料质 点的力学状态，分析裂纹尖端场的构造，进而发现可能的断裂控制参量，而 且可以对数值解的正确性提供理论上的指导。由于断裂力学问题的复杂性。 在一般情况下，数值法是获得全场解的唯一方法。然而在距离裂纹尖端很近 的地方，即ro0 时，场量的梯度将变得十分大，这给数值计算带来很大的 困难，其结果的正确性也就难以保证。但是，如果把数值解与这一区域内的 有效渐近解进行比较和检验，就可以对数值解的正确性做出客观的评价，从 而使数值解法获得更加广泛而可靠的应用。反过来，正确的检验结果也会验 证渐近解的合理性，并确定渐近解的有效适用范围。在这方面，已经有了比 较成功的范例【5 。1 1 。此外，随着现代测量技术的不断发展，已经可以用实验 的方法确定具体材料中裂纹尖端附近的应力和应变分布，这无疑会为渐近解 的正确性提供强有力的证明【7 】。 实际的研究结果表明，非线性材料的裂纹尖端渐近场是一个非常复杂 的问题，对于不同的情况，这个场具有完全不同的属性。一般来说，它依赖 于材料的性质( 弹塑性、粘弹性、粘塑性等) ，裂纹的形式( i 、i i 、i i i 型 及混合型) ，含裂纹体的空间几何特性( 反平面问题、平面问题平面应 变或平顽应力) 。此外，它还决定于裂纹的运动状态( 静止、准静态扩展、 哈尔滨r 程火学硕士学位论文 动态扩展) 。根据资料【s 1 ，可以按应变率童把裂纹的运动状态进行如下划 分： ( 1 ) 当i 1 0 - 5 s 。时，属于静惫范围，不考虑惯性力的影响； ( 2 ) 当1 0 。s - 1 0 1 0 。s “时，已经进入材料的应变率敏感区域，般应变率 效应不能忽略，此时所研究的问题称为动态问题。 因此，针对不同的问题，需要进行分别的研究。 1 2 1 静止裂纹尖端的渐近场 裂纹尖端渐近场的研究，是从静止裂纹开始的。在1 9 6 8 年， h u t c h i n s o n 聊和r i c e r o s e n g r e n i 伸】j 虫立地研究了幂硬化材料中i 型平面应变 裂纹尖端渐近场，这就是著名的h r r 奇异解。结果表明，如果材料的幂硬 化系数为n ，当n 寸o o 时，存在一个极限，应力场趋近于理想弹塑性问题的 渐近场即p r a n d t l 场。h r r 解在弹塑性断裂力学中起了极其重要的作用， 许多研究者对其进一步地研究和讨论，使之出作为局部解的基本理论，逐步 获得广泛的实际应用。 对于相应的平面应力问题，h u t c h i n s o n 分别给出了幂硬化材料t 9 1 ： n 想 弹塑性材料【l l 】的渐近解，结论与平面应变问题的相似。但沿裂纹表面，质 点是受压的，这与平面应变问题相反。 但是，在上述的渐近解中，裂纹尖端全部被塑性区包围，并且在平面 应力的结果【l l 】中含有应力的间断线，这是值得进行更深入的讨论的。高玉 臣【u 1 从理想弹塑性一般方程出发，对尖端场作了渐近分析，在不引入应力 4 哈尔滨r ：程大学硕七学位论文 间断线的情形下，得到了包含弹性区的渐近解，而弹性区的大小是不确定 的，因而这个解含有一个自由参数。此外，还讨论了尖端场的各种可能的构 造情况。根据这一结果，高玉臣、黄克智 1 4 - 1 6 】对弹塑性理论的若干问题进行 了较为一般的研究，讨论了基本方程的性质以及不同区域交界处的连接条件 和卸载条件。在此基础上，就可以对各种不同情况的裂纹尖端奇异场进行具 体分析并构造出合理的图式，以及进行必要的数值计算。 1 2 2 准静态定常扩展裂纹尖端的渐近场 裂纹在开始扩展以后，其尖端的弹塑性奇异场问题比静止裂纹要复杂 的多。为了使问题得到定程度的简化，通常认为，当裂纹的扩展速度远小 于材料中的应力波速时，可以处理为准静态问题，在运动方程中忽略掉惯性 项的影响。而研究结果表明，无论是准静态还是动态问题，裂纹定常 ( 或稳恒) 扩展的渐近解，对于非定常扩展同样适用，其原因在于二者的主 奇异项是相同的因此股情况下只需要研究裂纹的定常扩展。 对于理想弹塑性材料，最简单的i i i 型裂纹问题由c h i t a l e y 和 m c c l i n t o c k 】给出了渐近解。根据这个解，在裂纹前方应变具有对数平方型 奇异性，比静止裂纹情况的，1 奇异性要小得多。m c c l i n t o c k 等指出，这就 是韧性材料在起裂之后，仍有显著的稳定裂纹扩展的原因所在。对于i 型平 面应变裂纹问题，在不可压缩条件下，s l e p y a n i i s 采用t r e s c a 屈服条件，高 玉臣和r i c e 等人【2 0 】采用m i s e s 屈服条件分别进行了研究，但【1 9 】的塑性区 内部存在应变的间断线。后来，高玉臣f 2 ”对该问题进行了重新研究，指出 1 9 中的问断线实际上是一个快速转换区域，当，一0 时便退化为一条间断 线。在【1 8 】中还给出了相应的i i 型裂纹的渐近解。对于一般的可压缩材料， 哈尔滨工程大学硕士学俺论文 问题要困难的多。虽然r i c e 2 2 1 给出了v ；情况下的一般解( 上半平面分四 2 个区) ，但其结果在卸载区中不满足卸载条件。对这一问题，高玉臣【2 3 】进 行了求解的初次尝试，给出了完整的方程组和区域连接条件，但是没能完成 尖端场的构造。其后，高玉臣【“】对尖端场的构造进行了再次尝试，得到了 一个渐近解，这个解在上半平面分为五个区域并且在裂纹前方应变具有对数 奇异性。此后，d r u g a n 、r i c e 和s h a m 2 5 1 按高玉臣在【2 4 】中的分区方法改正 了他们的错误，得到了与f 2 4 1 基本相同的结果，只是裂纹前方应变无奇异 性。针对 2 4 】的结果，罗学富和黄克智t 2 6 1 指出其错误原因在于数学上的不适 用，给出了问题的f 确提法并得到了满足所有条件的五区解，结果表明当 11 y _ 寺时便退化为【i 8 和【1 9 】中y = 去时的解。对相应的平面应力问题， z c a s t a f t e d a 给出了i i 型裂纹问题的一个解答，高玉斟2 8 1 则对i 型问题的 渐近解进行了研究。 线性硬化材料中i 、i i i 型裂纹定常扩展问题的渐近解是由a m a z i g o 和 h u t c h i n s o n 2 9 1 给出的。在裂纹尖端，应力与应变具有，。的奇异性 l ( 一二ss0 ) ，s 依赖于切线模量e ，( 或g ，) 与弹性模量e ( 或g ) 的 2 比值a 。但是，在 2 9 1 的分析计算中略去了裂纹尖端后方的第二塑性区。如 h u t c h i n s o n 删指出，对于i 型平面应变问题，第二塑性区不能忽略。 z h a n g 、z h a n g 和h w a n g 3 q 的研究结果表明，对于低硬化材料( 例如当 口= o 0 1 ) 的i 型平面应变问题，第二塑性区对于裂纹尖端场有着重要的影 响。在此基础上，c a s t a 石e d a1 3 2 进步考虑了可能存在的二次塑性区，对 反平面问题和平面问题进行了全面的研究，结果验证了 3 1 】的结论，但对除 了i 型平面应变扩展裂纹以外的其它情况，二次塑性区对裂尖场的影响不 大，因而【2 9 】的近似是比较合理的。此外，杨卫【3 3 】用较严格的渐近分析证明 6 哈尔滨i 程大学硕十学位论文 在i i i 型弱线性硬化( 鲁 1 ) 的t i t t 兄t ，【2 9 】的解可以转化为 1 7 中理想弹 u 塑性问题的解。 以上准静态定常扩展裂纹的渐近解均对应于率无关材料。对于率相关 材料，由于率敏感性的影响，渐近场的求解更加困难，而裂尖场的构造也更 加复杂。h u i 和r i e d e l l “1 采用弹性一非线性粘性本构方程，对i 型和i i i 型裂 纹得到了一个幂次型渐近场，在文献中称为h r 场。由于h r 解的独特性 质，许多学者进行了更深入的研究。高玉臣和王忠谦用一个本构方程来 统一描述蠕变裂纹扩展的三个阶段通过渐近分析后指出，裂尖场的局部自 治性是率敏感材料的特有属性，不能通过在本构关系中引入某些特殊的形式 来改变这一特性。 1 2 3 动态定常扩展裂纹尖端的渐近场 扩展裂纹的准静态渐近解中包含着一些矛盾。如黄克智和高玉臣】曾 1 指出，理想弹塑性不可压缩材料( v = ) i 型平面应变扩展裂纹的渐近解 2 中( 1 9 】) 具有两条自尖端出发的应变间断线，且当r _ 0 时，应变的间断 量趋于无穷大，因而质点的速度间断量也趋于无穷大；而另一方面，在应变 间断线上应力又必须保持连续，这是准静态平衡条件和几个几何连接条件所 要求的，这就使得动力学条件遭到了破坏。虽然如前所述，这一问题已在 1 2 1 】中得到解决，但对于相应的可压缩材料( p ) 问题，高玉臣、韩斌 2 和黄克智通过研究发现， 2 4 j ；n 2 s j b u 渐近解的扇形区内协调方程的第二次 渐近无法满足，同时应力梯度无法与惯性力相匹配，产生矛盾的根源在于准 静态解的塑性流动因子五量级不当。而在完全的动力学解中，由于a 具有正 哈尔滨工程大学硕士学位论文 确的量级，因此不存在这一问题。由此可知，研究动态扩展裂纹，不仅问题 本身对工程实际具有重要的指导作用，而且可以为澄清准静态解中的某些问 题提供必要的理论基础。 对于理想弹塑性材料，s i e p y a n 3 6 1 曾给出了i 型和i i i 型裂纹的渐近解。 i i i 型问题的解中应变具有对数奇异性，而i 型问题应变无奇异性，其原因在 于文中的某些假设和推导存在错误。之后，a c h e n b a c h 和d u n a y e v s k y l 3 7 1 对 i 、【型阀题也进行了研究，但是没能得到不同于【3 6 】的结果。高玉臣和 n e m a t - n a s s e r 3 8 】对其进行重新研究后，得到了与 3 6 】相同的型裂纹渐近 解，而i 型裂纹具有与型问题一样的对数奇异性。f 3 8 的动态解不同于准 静态解，裂尖场不含弹性卸载区，并且应力与应变闻断量在裂纹尖端均为有 限值。此外，当裂纹扩展的马赫数趋于零时，应力场趋于静止裂纹解。对于 i i 型裂纹，l o l 3 9 1 采用【3 6 】的方法进行了研究，其尖端场不含弹性卸载区，但 高玉臣和n e m a t - n a s s e r t 4 0 l 指出，f 3 9 的解在有的区域中塑性流动因子 五 0 ，因而是不合理的，并给出了正确的渐近解。此解有弹性卸载区存 在，但是没有第二塑性区：当马赫数趋于零时，应力场趋于静止裂纹的解， - 与1 1 3 能结果吻合。另外，l e i g h t o n 、c h a m p i o n 和f r e u n d 4 t l 采用t r e s c a 屈服 条件及相关的流动法则，对平面应变i 型裂纹进行了渐近分析，构造了完全 连续的应力和速度场并且指出当裂纹扩展速度y - - 9 0 时，动态解的有效区 域消失，而这是动态解不能退化为准静态解的原因所在。以上解答都是基于 不可压缩的前提，对于可压缩问题，高玉臣【4 2 】给出了i 型裂纹的一个渐近 解，其应变具有对数奇异性，且裂尖场是满塑性的，但仍含有应力和应变的 间断线。此后，高玉臣【4 3 l 又给出了i 型平面应力裂纹的对数型渐近解，与 平面应变问题不同的是，不仅裂尖场含有弹性卸载区和二次塑性区，而且应 力和应变场是连续的。对于除此之外的其它问题，尚未见到比较合理的解 答。但总的来说，动态解不同于准静态解，不但许多矛盾被消除了。而且对 哈尔滨 程大学硕士学位论文 i 、i i 、i i i 型裂纹均得到统一的i n 旦型奇异性。 对于幂硬化材料，高玉臣和n e m a t n a s s e r l 4 4 j 研究了不可压缩材料中平 面应变和反平面应变问题。对i 、i i 、i i i 型裂纹得到统一的对数奇异性，即 盯( n 亭 i ，5 ( n 手 忑。 扩展裂纹的裂纹尖端动态渐近解虽然解决了准静态解中存在的许多矛 盾，但是其自身也存在一些问题。如前所述，某些动态解中仍含有应力或应 变的问断线，称为塑性激波：而在某些情况下，当时寸0 时，动态解不能 还原为准静态解。另外，某些动态渐近解中含有两个未知参数，这给实际应 用带来一定的困难。有学者认为，造成这些问题的原因是忽略了裂纹尖端的 粘性或率敏感性的影响。如所周知，材料的力学性质，总是和它所处的状态 有关。处于不同物理环境中的材料，会呈现不同的性质，因而需要用不同的 模型来描述。固体材料在高应变率或高温度条件下，往往同时出现弹性、粘 性和塑性性质。固体材料的动力实验结果就可以证明这一点。从几十年前开 始，科研工作者就陆陆续续的作着这方面的实验。由他们的动力实验结果， 可以得出材料动力特性的下列主要特点f 4 5 j ： ( 1 ) 屈服极限有明显的提高。实验结果表明，许多金属材料在快速加 载条件下屈服极限有明显的提高，而屈服的出现却有滞后现象。例如软钢， 当应变率叠= 2 0 0 s - 1 时，屈服极限大约由静态情况下的2 7 1 1 0 8 p a 提高到 5 7 6 1 0 8 p a 。 ( 2 ) 瞬时应力随应变率的提高而提高。实验结果还表明，在同一应变 下，动态应力高于静态应力。屈服应力和瞬时应力随应变率的提高而提高的 现象，统称为应变率效应。应变率效应显著的材料称为应变率敏感材料。应 9 哈尔滨j ：程大学硕十学位论文 变率效应是固体材料动力特性的主要方面，在动态本构关系中要注意反映这 一特性。 ( 3 ) 瞬时应力随温度的升高而降低。从一般材料动力实验中发现，低 温和快速加载都将使材料的强度提高，因此在一定的应变率下，瞬时应力将 随温度的升高而降低。 ( 4 ) 应变率历史效应。对于同一种材料在一定的应变率下，应力 应变曲线是一定的。但是有些材料，当加载过程中应变率发生改变时，并不 立即遵循与改变后的应变率相对应的应力应变关系。这表明固体材料对 应变率历史往往是有“记忆”的，这种现象称为应变率历史效应。 在快速扩展裂纹尖端，塑性应变以很高的塑性应变率积累，典型的塑 性应变率为1 0 3 1 0 5 s 4 6 1 。即使对于率敏感性很小的材料，由于裂纹尖端 的应变奇异性，其应变率也是很高的，在马赫数很小时也是如此。在这样高 的应变率下，粘性效应对于描述材料性质有重要影响。另一方面，在扩展裂 纹尖端高度的能量集中导致不可逆变形，一大部分变形能以热的形式释放出 来，使裂纹尖端局部温度升高。理论分析和实验研究表明【4 7 m 】，其温度升高 幅度可达几百，甚至上千度。在这样的高温下，材料的性质必然发生变化， 粘性流动在裂纹尖端的形变中所占的比例将大大增加。因此，在研究裂纹尖 端渐近场时，应该考虑到材料的粘性效应，这不仅更加符合实际情况，得到 更精确的解，而且可能因此而解决率无关渐近解中所存在的一些问题。 但是，由于弹性、粘性和塑性三者耦合所造成的复杂性，使得渐近问 题变得更加复杂和困难。虽然许多学者进行了理论上和实验上的深入研究 5 0 - 5 4 1 ，并得到了一些有益的结论，但是并没有形成一个广为接受的高应变率 下的本构模型。一般来说，根据弹性阶段粘性变形的有无，可以把粘弹塑性 材料分为两类：一类是粘弹性材料当应力达到一定值时呈现塑性形变， 哈尔滨工程大学硕十学位论文 在弹性变形过程中与塑性阶段 内均有粘性效应，这种材料就 称为粘弹塑性材料；另一类是 。 屈服前仅有弹性变形或粘性效 应微弱，在塑性阶段有明显的 粘性性质，呈粘塑性形变，此 种材料称为弹粘塑性材料( 速 率敏感塑性材料) 。 叫：卜 飞一一卜一 l 厂= 二_ 一 f k ，) 吲ii 弹袖塑性力学模型示意i 鳌| 为了研究粘性效应作用下的动态扩展裂纹尖端渐近场，高玉臣p6 j 引入 了一种简化的弹粘塑性模型，即忽略了弹性阶段的粘性效应，认为仅在屈服 以后粘性元件才起作用，如图1 】所示：并指出一些金属材料在高应变率下 的性能就可以用这种模型来描述，因而具有较高的实际应用价值。通过对塑 性区内粘性系数分旬的合理假设，使得各物理量的奇异量级得以匹配，进而 求得了不可压缩材料中i 型平面应变动裂纹的对数型奇异解，其结果不仅消 除了无粘性动态解中的塑性激波，而且确立了单参数解。此外，当粘性系数 为零时便可得到通常的理想弹塑性材料的基本方程。此后，高玉臣1 5 7 】经过 迸一步的研究，又得到了该问题的幂奇异解，并发现两种奇异性的分界依赖 于粘性系数和马赫数：对于一定的马赫数即裂纹扩展速度，当材料的粘性比 较低时裂尖场具有对数奇异性，而当粘性比较高时裂尖场具有指数奇异性。 在此基础上，李范春，齐辉和周健生f 5 8 1 研究了i i i 型裂纹问题：王振清【5 9 】研 究了i 型裂纹问题；贾斌，钱华山，王振清和唐立强 6 0 1 研究了i i 型裂纹问 题；得到了一些相似的结论，并且当马赫数趋于零时便退化成相应的准静态 解。但值得注意的是，由于采用了特定的粘性假设，所得到的渐近解对于 i 、i i 、i i i 型裂纹都不含弹性卸载区。王振清 6 l j 进一步考虑了线性硬化材 料，得到了i i i 型动态裂纹尖端的弹粘塑性场，结果虽有弹性卸载区但没有第 哈尔滨j ：程人学硕士学位论文 二塑性区。 1 3 本论文的主要工作 ( 1 ) 通过合理的粘性假设，使弹性、粘性和塑性三者的奇异量级得到 合理的匹配，进而推导出理想弹塑性材料的一种率敏感型本构关系。 ( 2 ) 对不可压缩条件下的反平面i i i 型动态定常扩展裂纹问题进行渐近 分析和数值计算，求得裂纹尖端的幂次型应力和应变连续场，并讨论渐近解 随各参数的变化规律。 ( 3 ) 对相应的准静态问题进行求解，并与裂纹扩展速度趋于零时的动 态解的极限情形做出分析和比较，从而使动态解与准静态解得到统一。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 1 坐标变换 第2 章基本方程 令x 。如= 1 ，2 ) 表示平面上的固定坐标系。假定一条半无限大的裂纹在 无限大的固体中以恒定速度v 沿爿，方向扩展，x 。与裂纹面垂直。再以裂纹 尖端为原点建立与裂纹尖端一起移动的随动坐标系0 一x y 和0 一r o ，如图 2 1 所示。 - y 7 o o 一 1 图2 1 固定坐标系与随动坐标系 图中瓦b = r ，扫) 表示极坐标的基矢量。由上图，我们可得 x l = x + 竹x 2 = y x = r c o s 0 y 。r s i n o 式中v = c o n s t 为裂纹的稳恒扩展速度，f 为时间参数。 x ( 2 1 ) ( 2 2 ) 假设裂纹为稳恒扩展，即裂纹尖端的应力应变场在裂纹的扩展过 程中相对于随动坐标系0 x y 或0 一r 分是保持不变的。则任意时刻质点 的物质导数为 生釜釜三型尘兰鎏圭耋竺笙兰 一 i dv 夏a = y ( s i n ，0 。a 口c o s 0 万a ( 2 。) 在极坐标中，由( 2 3 ) 式可以得到 缸= y _ s i n 0 如肛1 ，2 ) ( 2 - 4 其中，各下标遵守爱因斯坦求和约定，下同；e 妒为二维置换符号 e 。= 卢一d 扛，卢= 1 ，2 ) ( 2 - 5 ) 利用( 2 3 ) 及( 2 4 ) 两式，即可得到在稳恒场中任意矢量和张量的物质导 数。将任一矢量j ：爿。；。代入( 2 3 1 式并利用( 2 4 ) 式可得： 抽降( 等 一s 口等卜 p 6 ， 若令j ：l 。瓦，则由( 2 6 ) 式可得 小玎半( 等e 小c o s 目警 陋7 ， 上式中出现的d ，遵守通常的求和约定。 同理，对任意张量疗= h 瓦易，4 弋x 2 3 ) 式，并利用( 2 4 ) 式可得 胁i s i n 0 ( o h 。口 , # + h z a e r 。+ h , , r e r # 卜o s 秽半p p 8 ， 令奇= 疗卵吃知，则由( 2 8 ) 式r l 。z 导 蜘怦s i n 0 ( 百o h # 协”卜o s p 警 p 在此坐标系下，速度场旷= v 。瓦和加速度场旷= k 毛可以由对位 移场d = “。瓦的直接求导而得到。6 t ( 2 7 ) 式 v 。ls i n ，0 ( o u 口一4 - u # e b a ) 一s 哮 p 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 肾y 。s i n 州t 9 ( d v 歹, 7 + v f l e 地 一s 臼等 p 以上的推导都是针对定常扩展而吉的。而对于非定常扩展，由分 析可知，当r 斗0 时，定常扩展与非定常扩展主奇异部分在渐近的意 义上是完全相同的。因此，以下我们只推导定- g 扩展裂纹的尖端场。 2 2 运动方程 在不考虑体力影响时，运动方程可用张量形式表示为 o u r 2 p w 其中p 为介质密度；i ，= 1 , 2 ，3 。 2 3 几何方程 在小变形的情况下，几何方程可用张量形式表示为 其中i ，j = 1 , 2 ，3 。 2 4 本构方程 毛：妻h 心。) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 本文考虑弹粘塑性材料，对于一维情况，它的模型如图1 1 所示。由浚 模型，如果用s 、6 e 和r 。分别表示总应变、弹性应变和塑性应变，用盯、 o v 年i i o - 。分别表示总应力、粘性应力和塑性应力，则可以得到一维情况下的 联立方程组为： 占2 8 a + n 盯 屯一面 e p = 辐p 仃= d r + 盯口 ( 2 一1 4 ) ( 2 - l5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 盯，= 7 7 占。( 2 - 1 8 ) s p = d ，一盯p “ ( 2 - 1 9 ) 其中：为弹性模量，旯为塑性流动因子，r 为粘性系数，s 。为塑性偏应 力，盯。”为平均塑性应力：( 2 1 6 ) 式是与m i s e s 屈服条件相关联的流动法 则。 由( 2 一1 6 ) 和( 2 1 8 ) 式可得： 盯，= 珂船。 ( 2 - 2 0 ) 因此 o - ，”= 彬，= 0( 2 - 2 1 ) 式中盯，”和s 。分别为平均粘性应力和平均塑性偏应力。 由( 2 2 1 ) 式可得： 盯。= 盯，”+ 盯p “= 盯p “= i o - ( 2 - 2 2 ) 把上式代入( 2 1 9 ) 式，然后再代x ( 2 一】6 ) 式，可得 j ，= 船，= 五b ，一盯，“) = 五b ，一盯。) ( 2 2 3 ) 由上式可以推出 旷鲁竹。( 2 - 2 4 ) 将( 2 2 4 ) 和( 2 1 8 ) 式代入( 2 1 7 ) 式，可得 即 s ：半舌。 l 1 6 f 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) f 2 2 7 ) 呜吵卜盯 斗 i l 五五 q 仃 盯 哈尔滨1 ：狴大学硕十学位论文 由上式可得 分志s 把( 2 1 4 ) 和( 2 - 1 5 ) 式两边分别对时间t 求导，可得 毫：i ? 七i 。 方 g c 2 一e 把( 2 3 0 ) 和( 2 2 8 ) 式代入( 2 2 9 ) 式，得到一维情况下的本构方程为： j ：一6 - + 上s e1 + ，7 对于三维问题，( 2 1 4 ) ( 2 1 9 ) 式可用张量形式推广为： s 3s e + n s 。= c ：a 1 。= a s p s = s ，+ 品 s 。= 玎舌。 s p = op o ? 其中c 为四阶柔度张量，和仃分别为应变和应力张量，s 和s ，分别是盯 和盯，的偏量，叠，为塑性应变率张量：等效塑性应力瓦和等效塑性应变毛 由下式定义： 瓦= 3 s p ：s p j 云，= 盯吾舌，：垂， j 也 同样，( 2 3 1 ) 式可以用张量形式推广为： f 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ) ) ) ) j ) b j ” ? ， 8 9 o 2 0 闰 巧 睫 虬 埘 劢 螂 蚴锄鲫弼弼 叨 k、 啡 弘b 俘弘p 口 哈尔滨：i j 程大学硕士学位论文 毒：c ：疗+ 兰一s 1 + 融 上式可以用分量形式表示为： 气- c 忸a t + 忐s 。j 对于各向同性材料，则有 c 脚= l + e v 6 a 一鼍印。 式中y 为p o i s s o n 比，占为k r o n e k e r 符号。 将( 2 - 4 2 ) 式代x ( 2 4 1 ) 式，可得 铲警氏一盖民氏+ 南毛 将( 2 3 5 ) ，( 2 - 3 6 ) 式用分量形式表示后，可得 s q = s q p 七s i = s h p + i l p 利用理想塑性材料的m i s e s 屈服条件 p ，) = s i e s ，”一2 k 2 0 式中k 为材料的屈服强度。由( 2 3 4 ) ，( 2 - 3 5 ) 并t 1 ( 2 - 3 6 ) 式可得 s 。= ( 1 + 以碜。” 将上式两边自乘，并注意 j ! ：s 芦u ：妥s ? s ? 则有 s , j s 。= ( 1 + 班) 2 s , jv s ，9 即： r 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) f 2 4 3 ) f 2 - 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 - 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 - 4 9 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ，：= 0 + 叩五)