（控制理论与控制工程专业论文）脉冲时滞系统的严格稳定性.pdf

摘要 摘要 题目：脉冲时滞系统的严格稳定性硕士研究生姓名：张春芳 导师姓名：崔宝同专业：控制理论与控制工程 本文主要利用不同的方法，如向量l y a p u n o v 函数法，锥值l y a p u n o v 函数法，比 较原理和r a z u m i k h i n 技巧等，来研究脉冲时滞系统的严格稳定性和严格疵- 稳定性 一方面是关于严格稳定性方面的研究在这里，首先讨论了固定时刻脉冲时滞系统 妄= m 蛾砌- f ) ) ， a x ( t d = x ( t k ) 一x ( q 一) = i k ( x ( t k ) ) ，t = t k ，k = 1 ，2 ， x ( t o + f ) = 伊( f ) ，t “一f ，o l ， x ( t o + ) = x o ， 解的严格一致渐近稳定性，在前人研究固定时刻脉冲时滞系统解一致稳定的基础上， 我利用l y a p u n o v 函数直接法和r a z u m i k h i n 技巧研究了固定时刻脉冲时滞系统解的严 格一致渐近稳定性并将它拓展到更一般的结果，最后给出了一个例子 其次，研究了变脉冲时滞系统 x ( t ) = f ( t ，x ( f ) ，x ( t f ) ) ，t t o ，t 气( x ) ， a x ( f ) 皇x ( 气) 一x ( ) = ，( x ( 巧) ) ，f = t a x ) ，k r + x ( t o + r ) = ( r ) ，t 卜f ，o 】， x ( t o + ) = 而， 解的严格一致稳定性和严格一致l i p s c h i t z 稳定，利用的是l y a p u n o v 函数直接法和比较 原理 再次，讨论了脉冲变时滞系统 瓦d r = 邝，x ( 咖( f f ( f ) ) ) ，f f 0 ，f ， x ( ) 皇x ( t ) 一x ( 一) = ( x ( 气) ) ，t = t k ，k = 1 ，2 ， x ( t o + ，) = 妒( f ) ，t ( - - - 0 0 ，o 】， x ( t o + ) = x o ， 解的严格稳定性，利用l y a p u n o v 函数直接法和r a z u m i k h i n 技巧研究了脉冲变时滞系 统的严格稳定性，并给出了一个例子为了支持所得的结果 另一方面是关于严格死一稳定性的研究，主要讨论了固定时刻脉冲时滞系统解的一 些性质。这里，首先利用锥值l y a p u n o v 和比较原理讨论了固定时刻脉冲时滞系统零 江南大学硕上学位论文 解的严格一致菇一稳定性，严格一致渐近丸- 稳定性以及严格稳定性和严格一致晚一稳定 性的关系，严格指数渐近九一稳定性和严格指数渐近稳定性其次，利用锥值l y a p u n o v 和r a z u m i k h i n 技巧讨论了固定时刻脉冲时滞系统解的严格一致死一稳定性 关键词：脉冲时滞系统；变脉冲时滞系统；脉冲变时滞系统；锥值l y a p u n o v r a z u m i k h i n 技巧；严格一致稳定性；严格一致丸一稳定性 i i a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h es t r i c ts t a b i l i t ya n ds t r i c t 九s t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m sw i t ht i m ed e l a y ，u s i n gd i f f e r e n tm e t h o d ss u c ha sv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n sm e t h o d s ， c o n e - v a u l e dl y a p u n o vf u n c t i o n sm e t h o d s ，c o m p a r i s o np r i n c i p l ea n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u e s o nt h eh a n d ，w ei n v e s t i g a t et h es t r i c ts t a b i l i t yo f i m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s f i r s t l y ，w ed i s c u s sa ni m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hi m p u l s e sa tf i x e dt i m e s ： 瓦d x = 肿，x ( 蛳( f f ) ) ，f f o ，f ， a x ( t , ) = x ( h ) - x ( t k 一) = l ( x ( “) ) ，t = t k ，t = l ，2 ， x ( t o + f ) = 妒( ，) ，t 【一f ，o 】， x ( t o + ) = x 0 ， w er e s e a r c ht h es t r i c tu n i f o r m l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m w i t hi m p u l s e sa tf i x e dt i m e s b a s e do nr e s e a r c h i n gt h es t r i c tu n i f o r m l ys t a b i l i t y ，w eg e ts o m e r e s u l t sa b o u ti m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hi m p u l s e sa tf i x e dt i m e sv i al y a p u n o v f u n c t i o n sd i r e c tm e t h o da n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u e s ，w ee x t e n dt h er e s u l t sa n dg i v ea l l e x a m p l ei nt h ee n d s e c o n d l y w ed i s c u s sa l li m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hi m p u l s e sa tv a r i a b l e t i m e s ： r l x ( f ) = f ( t ，工( r ) ，x ( f f ) ) ，t t o ，t t a x ) ， j a 工( f ) 皇x ( 丘) - x ( ) = l ( x ( ) ) ，t = 靠( x ) ，k r + x ( t o + f ) = 矿o ) ，t 【- - t ，o 】， 【x ( t o + ) = x 0 ， a b o u ti m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hi m p u l s e sa tv a r i a b l et i m e s ，w eg e ts o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h es t r i c tu n i f o r m l ys t a b i l i t ya n ds t r i c tu n i f o r m l yl i p s c h i t zs t a b i l i t y v i al y a p u n o vf i m c t i o n sd i r e c tm e t h o da n dc o m p a r i s o np r i n c i p l e f i n a l l y ，w ed i s c u s sa l li m p u l s i v et i m e v a r y i n gd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hi m p u l s e s a t6 x e dt i m e s ： 皇；= f ( t ，x ( f ) ，x o f ( f ) ) ) ，t _ t o ，r t ， c l t a x ( t i ) 皇x ( t k ) - x ( t k 一) = t a x ( t d ) ，t = t k ，k = 1 , 2 ， x ( t o + f ) = o ) ，t ( ，o 】， x ( t o + ) = ， w h e r e ，w er e s e a r c ht h es t r i c tu n i f o r m l ys t a b i l i t yo fi m p u l s i v et i m e v a r y i n gd e l a yd i f f e r e n t i a l s y s t e mw i t hi m p u l s e sa tf i x e dt i m e sb yl y a p u n o vf u n c t i o n sd i r e c tm e t h o d i i i 坚堕盔堂堡兰堂垡丝苎 a n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u e s ，w ea l s og i v ea ne x a m p l et op r o o ft h er e s u l t s 0 nt h eo t h e rh a n d ，w ei n v e s t i g a t et h es t r i c t 唬- s t a b i l i t ya b o u ti m p u l s i v ed e l a y d i f f e r e n t i a ls y s t e m s h e r e ，w em a i n l yd i s c u s ss o m es o l u t i o n sp r o p e r t i e so fi m p u l s i v ed e l a y d i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hi m p u l s e sa tf i x e dt i m e s f i r s t l y ，w ei n v e s t i g a t et h es t r i c tu n i f o r m l y 硒。一s t a b i l i t y , t h es t r i c tu n i f o r m l ya s y m p t o t i c a l 唬s t a b i l i t y ，t h e s t r i c t e x p o n e n t i a l l ya s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i t y , t h es t r i c te x p o n e n t i a l l y a s y m p t o t i c a l l y 唬s t a b i l i t y ，t h ec o n n e c t i o n b e t w e e nt h es t r i c tu n i f o r m l ys t a b i l i t ya n dt h e s t r i c tu n i f o r m l y 毋0 s t a b i l i t y t h er e s e a r c hm e t h o di se o n e - v a n l e dl y a p u n o vf u n c t i o n sm e t h o d s a n dc o m p a r i s o np r i n c i p l e s e c o n d l y ，w ei n v e s t i g a t et h es t r i c tu n i f o r m l y 谚o - s t a b i l i t yv i al y a p u n o vf u n c t i o n sd i r e c t m e t h o d sa n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u e s w ea l s og i v ea ne x a m p l et os u p p o r tt h ep r o o f k e y w o r d s ：i m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s ；i m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t h i m p u l s e sa tv a r i a b l et i m e s ；i m p u l s i v et i m e - v a r y i n gd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s ；c o n e 。v a u l e d l y a p u n o vf u n c t i o n s ；r a z u m i k h i nt e c h n i q u e s ；s t r i c tu n i f o r m l ys t a b i l i t y ；s t r i c tu n i f o r m l y 丸。 s t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得江南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：丞盎羞日期：z 嘲年弓月忤日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规 定：江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：丞盍益导师签名： 醐。7 朋日 第1 章绪论 1 1 前言 第1 章绪论 在现实生活中，许多事情的发展具有这样的特点：在发展的一些阶段，由于受到 干扰会出现快速的变化，并且这一过程的发生相对于整个发展过程是非常的短暂的， 可认为是瞬间发生的这类问题在数学模型中，常常忽略快速变化持续的时问而认为 是瞬间完成的，这种突变现象称为脉冲现象因此，像这样存在脉冲现象的发展过程 或数学模型都可以称为是脉冲系统，也就是需要用脉冲系统来描述和研究1 1 1 脉冲系统是一般系统理论的一个重要分支，它能够充分考虑到瞬时突变现象对状 态的影响，能够更深刻、更准确地反映事物变化的规律因此，脉冲系统的研究具有 十分重要的理论意义和现实意义，近年来它已经吸引众多数学家和科研者的研究，并 且在控制系统、信息科学、利率控制问题、航天技术等领域都有广泛的应用总之， 科学和技术的很多领域的变化规律都可以用脉冲系统来刻画和描述 然而，由于一些理论和技术上的问题，脉冲系统的一般理论发展非常的缓慢我 们还注意到，即使一般脉冲系统解的概念都可能要重新定义其次，在微分方程的理 论中，函数x ( ，) 在彤中连续意味着薯在c ”连续，这对微分方程解的存在性起关键作 用而加上脉冲后，解x ( f ) 是分段连续的，此时对应的薯未必分段连续事实上，葺 可以是处处不连续的因此，即使函数f ( t ，) 关于它的两个变量t 和妒都连续，而当 x ( f ) 是分段连续时，我们也不能判断复合函数f ( t ，葺) 的连续性对脉冲系统最初的研 究速度是非常慢的，还有另外一个原因，就是解的振动性以及解的衰减性等存在纵 使这样，也没有阻挡了众多学者对此方面的研究 因为，在某些场合用脉冲来控制是非常便利的，一个重要原因是有些情况下的控 制是不能用连续方法例如，我们想控制一类细菌的数量，可以假设这类细菌的数量 和杀虫剂的浓度是这个系统的两个状态变量，我们就可以随时的改变杀虫剂的浓度来 控制细菌的数量而不需要利用连续控制来提高细菌的药物抵抗力 另外一个原因是，与无脉冲系统的研究来说，脉冲系统理论研究的内容极为丰 富例如，即使给定模型的解是充分光滑的，加上脉冲之后，它的初值问题的解也可 能是不存在的对于微分系统成立的解的一些基本性质如解对初值的连续依赖性等可 能也不再成立，解的稳定性等性质也需要重新建立除此之外，脉冲系统的解还可能 产生一些新的现象，如解的“击打”现象等所以，无论是脉冲系统理论研究，还是 脉冲系统在各个领域中的应用，都将有着极为广阔的前景 在研究脉冲系统的基础上，现实生活及各类工程系统之中我们经常又会遇到时滞 现象它的存在对系统的性能和稳定性产生重要的影响，因此研究带有时滞的脉冲系 江南大学硕士学位论文 统也是非常重要的对于没有时滞的脉冲系统研究已经有很多的成果，所以现在主要 研究的是脉冲时滞系统同样，本文要探讨的也是脉冲时滞系统解的一些性质 1 - 2 脉冲系统理论的发展 1 2 1 脉冲微分系统的发展 1 9 6 0 年，m i l ，m a n 和m y s h k i s 在他们合作的论文中首先提出脉冲系统理论口l ，随后 引起了众多专家的关注和研究，并有了一些重要的成果发表如：关于脉冲微分不等 式的研究和脉冲系统解的一些基本定理已有一些结果直至1 9 8 9 年，l a k s h m i k a n t h a m 等人在( t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) ) 【3 l 一书中，对前一阶段的工作做了 一个系统的总结，标志着脉冲系统从一般的微分系统中分离出来虽然从此以后研究 它的人员越来越多，但是由于存在种种困难，刚开始它的发展是非常缓慢的发展过 程如下： 1 9 6 9 年，l a k s h m i k a n t h a m 和l e e l a 研究了微分和积分不等式 4 1 1 9 9 0 年， l a k s h m i k a n t h a m ，l e e l a 和m a r t y n y u k 在他们的著作里首次研究了非线性系统的实用稳 定性嘲1 9 9 1 年，l a k s h m i k a n t h a m 等人利用向量l y a p u n o v 函数法研究了非线性系统的 稳定性f 6 1 1 9 9 3 年，h a l e 和l u n e l 提出了函数微分方程的概念f 7 1 同一年，l i u 将脉 冲推广到非线性系统中 s 1 在1 9 9 4 年，他又将脉冲系统应用到人口增长模型中，并得 到了一些稳定结论1 9 1 1 9 9 5 年，b a i n o v ，k u l e v 和s t a o v a 研究了脉冲差分系统解的全局 稳定性【1 0 1 1 9 9 6 年，b a i n o v 和s t a m o v a 研究了扰动的脉冲差分系统解的实用稳定性】1 9 9 7 年，l i 和c h e o n g 研究了脉冲系统的稳定性【1 2 】1 9 9 8 年，s o l i m a n 利用l y a p u n o v 直接 法得到了脉冲系统的一些稳定准则f 1 3 1 同年，s h e n 和y a h 等人对脉冲系统提出了一个 新的判定方法r a z u m i k h i n 技巧【1 4 1 自此以后，这一方法在研究脉冲系统领域一直被众 多研究者所采用 2 0 0 1 年，h f i s t o v a 和r o b e r t s 利用r a z u m i k h i n 研究脉冲积分系统解有界性”“在 这一年里，y a n g 研究了脉冲系统的理论与应用，s t a m o v a 和s t a m o v 将l y a p u n o v 函 数法与r a z u m i k h i n 技巧结合研究脉冲系统的稳定性将脉冲应用到人口控制中【1 8 】2 0 0 2 年，s o l i m a n 利用l y a p u n o v 函数法讨论了带有干扰的微分系统的稳定性和有界性【l q ， 并将脉冲应用到带有干扰的微分系统中 2 0 1 同年，l u o 和s h e n 对脉冲系统提出新的 r a z u m i k h i n 定理【2 l 】2 0 0 3 年，s o l i m a n 对脉冲系统提出了一些稳定准则【2 2 】，同年他又 利用l y a p u n o v 函数法研究了带有干扰的脉冲系统解的l i p s c h i t z 稳定性和t o t a l l i p s c h i t z 稳定性【2 3 】2 0 0 3 年，s u n 和z h a n g 对脉冲系统进行稳定性分析口4 1 2 0 0 4 年， s o l i m a n 研究脉冲干扰系统解的l i p s c h i t z 稳定性瑚i ，s u n 研究了脉冲系统的l i p s c h i t z 稳定性并得到一些稳定准则f 2 6 1 ，x i n g 和h a n 对脉冲系统得到一个新的方法 2 7 1 2 0 0 5 第1 章绪论 年，张瑜，王春燕，孙继涛研究了具有可变脉冲点的脉冲系统的稳定性【2 8 1 ，吴述金讨 论了随机脉冲系统指数稳定性1 2 9 1 2 0 0 6 年，s h e n 和l i u 研究了脉冲系统解的全局存在 性问题p 0 1 ，l i u 和c h e n 研究了非线性脉冲系统周期解的全局相吸性1 2 0 0 7 年，z h a o 和f e n g 用干扰l y a p u n o v 函数研究了脉冲系统的稳定性p 2 1 所有这些脉冲系统的研究 中都是没有时滞的 1 2 2 脉冲时滞系统的发展 1 9 9 5 年，a n o k h i n , b e r e z a n s k y 和b r a v e r m a n 首先研究了线性脉冲时滞系统的指数 稳定性1 3 3 1 1 9 9 6 年，y u 和z h a n g 研究了脉冲时滞系统解的稳定性【3 ”，z h a o 和y a n 研 究了脉冲时滞系统解的渐近稳定性【3 5 1 1 9 9 8 年，b e r e z a n s k y 和i d e l s 研究了标量脉冲时 滞系统解的指数稳定性p 6 1 1 9 9 9 年，b a l l i n g e r 和l i u 研究了脉冲时滞系统解的存在性 和唯一性【3 7 1 2 0 0 0 年，他们研究了脉冲时滞系统解的唯一性和有界性1 3 8 1 2 0 0 1 年，他 们对脉冲时滞系统解的一致渐近稳定性进行了讨论1 3 9 1 ，l a k s h m i k a n t h a m 等人研究了时 滞系统的严格实际稳定性p 1 0 1 ，l u o 和s h e n 将脉冲时滞系统中的时滞推广到无穷并得到 了解的稳定性和有界性1 4 1 i 2 0 0 3 年，l i u , s h e n 和z h a n g 研究了时滞干扰系统解的指数稳定性1 4 2 1 2 0 0 4 年， z h a n g 和s u n 研究了变时滞脉冲系统解的有界性问题1 4 3 1 ，这篇文章中时滞是一个变 量，其它的一些文章中都是讨论时滞是一个常量的情况下系统的稳定性直到最近， 关于变时滞的研究都不是很多同年，l i u 和g e 研究了具有变系数的非线性脉冲时滞 系统周期解的稳定性和存在性问题1 2 0 0 5 年，w a n g 和l i u 利用r a z u m i k h i n 研究了脉冲时滞系统解的指数稳定性】， z h a n g 和s u n 利用两种方法研究了脉冲时滞系统解的指数实际稳定性【4 6 】，刘少平研究 了时变脉冲时滞系统的稳定性f 4 7 1 ，刘秀湘，胥布工讨论了一类非线性时滞系统的脉冲控 制【4 8 1 2 0 0 6 年，y a n g 和x u 研究了脉冲时滞系统周期解的指数稳定性和存在性以及脉 冲时滞系统的应用1 4 9 1 1 2 3 脉冲系统严格稳定性的发展 近些年来，脉冲系统的理论已经获得了迅速的发展，特别是应用理论的研究已经 越来越广泛了根据比较原理，获得了许多关于稳定性的结果然而，微分系统平凡 解的l y a p u n o v 稳定性不能够排除渐近稳定性的可能；另外，平凡解的渐近稳定性不能 保证关于解的衰减率的任何信息自然的，如果能够得到这个衰减率下界的一个估 计，将是非常有用的，而且给出下界一定程度上使得原有的稳定性定义变得更加精 确这样对系统解的定义又多出来了一个下界的限制，也就是稳定性里面的严格稳定 江南大学硕士学位论文 性但是，关于严格稳定性这方面的研究不是很多 最早提出严格稳定概念的是p a e h p a t t e ，1 9 7 2 年，他对一般的动力系统提出了严格 稳定性【5 0 】接下来一直到1 9 9 3 年才有人研究这一方面，l a k s h m i k a n t h a m 和v a s u n d h a r a 对脉冲系统提出了判定严格稳定性的一些准则”1 i 2 0 0 1 年，l a k s h m i k a n t h a m 和m o h a p a t r a 研究了一般系统的严格稳定性，并给出了 有关严格稳定性的一些结果p ”同年，根据严格稳定性的定义，结合实用稳定性的概 念，l a k s h m i k a n t h a m 和z h a n g 研究了时滞系统，提出了严格实用稳定性的概念和有关 严格实用稳定性的结果1 4 0 1 2 0 0 5 年，z h a n g 和s u n 利用l y a p u n o v 函数直接法和 r a z u m i k h i n 方法研究了脉冲函数系统的严格稳定性【5 3 】2 0 0 6 年，他们利用这两个方法 研究了脉冲系统的严格稳定性并给出了一个具体的例子呻1 ，c h e n 和f u 利用变易李 l y a p u n o v 函数法和比较原理研究了一般系统的严格稳定性跚1 1 2 4 锥值l y a p u n o v 函数的发展应用 锥值l y a p u n o v 函数主要用于证明g o 一稳定性1 9 7 7 年，l a k s h m i k a n t h a m 和l e e l a 首次提出了锥值l y a p u n o v 函数的概念【“1 1 9 8 6 年，a k p a n 和a k i n y e l e ，利用锥值 l y a p u n o v 函数研究了一般非线性系统的g o 一稳定性1 5 7 1 1 9 9 2 年，他们根据锥值 l y a p u n o v 函数的意义，对常微分系统引入了g o 一稳定性，并得到了g o 一稳定性的充分 条件和必要条件【”】 随后，l a k s h m i k a n t h a m 和p a p a g e o r g i o u 于1 9 9 4 年，得到了一些稳定结果p 】1 9 9 6 年，a k p a n 基于锥值l y a p u n o v 函数研究了大系统的稳定性 c 0 1 1 9 9 7 年，s o l i m a n 研究 了非线性常微分方程的最终g o 一稳定性【6 l 】2 0 0 0 年，e 1 s h e i k h 和s o l i m a n 等人借助于 锥值l y a p u n o v 函数首先研究了一般非线性系统解的唬一稳定性，( ， ) 一稳定性和 ( ， ) 一最终稳定性1 6 2 l ，又结合r a z u m i n k h i n 方法研究了非线性系统的九一稳定性【6 3 】， o l u s o l a 利用锥值l y a p u n o v 函数研究了脉冲控制系统的稳定性岬】 2 0 0 1 年，a d e y e y e 基于锥值l y a p u n o v 函数法根掘两种测度研究了积分微分系统的 稳定性1 6 ”，e l s h e i k h ，s o l i m a n 和a b d a i i a 利用锥值l y a p u n o v 函数和比较原理研究了 非线性系统的唬一相对稳定性和丸一部分稳定性【6 6 1 2 0 0 2 年，s o l i m a n 研究了非线性系 统的完全唬一稳定性【6 7 1 2 0 0 4 年，s o l i m a n 研究脉冲干扰系统最终蔬一稳定性唧1 2 0 0 5 年，s o l i m a n 利用限制方程法和锥值l y a p u n o v 函数研究了比较微分方程的 l i p s c h i t z g o 一稳定性1 6 9 】，借助锥值l y a p u n o v 函数研究干扰系统的实际魂一稳定性【7 0 l ， 最后又借助于锥值干扰l y a p u n o v 函数法研究了脉冲系统的晚一稳定性和蟊一有界性【7 ”， w a n g 和g e n g 利用锥值l y a p u n o v 函数法研究了差分方程的 6 一稳定性【7 2 1 第1 章绪论 1 3 本文所做工作 由于脉冲系统按脉冲时刻来分有：固定时刻和变时刻两类，在本文中我们主要研 究固定时刻脉冲系统，关于变脉冲系统的研究也有，不是很多从系统类型来说有： 脉冲系统，脉冲时滞系统，脉冲积分和脉冲偏微分系统在这里，我们研究的是脉冲 时滞系统的稳定性，其中有固定脉冲时刻和变脉冲时刻稳定性的研究，也有时滞为常 量和变量的脉冲系统的研究 关于这一方面研究的主要方法有，l y a p u n o v 函数第二法，锥值l y a p u n o v 函数法， 常见的比较原理和r 技巧等，讨论的是脉冲时滞系统解的严格稳定性问题该课题受 到国家自然科学基金项目( n o 6 0 6 7 4 0 2 6 ) 和江南大学预研基金项目资助 研究的主要内容： 前两章介绍了脉冲系统的发展以及一些基本的定义和证明方法，第3 章研究的是 脉冲时滞系统的严格稳定性首先，我在孙继涛研究固定时刻脉冲时滞系统解的一致 稳定的基础上，利用l y a p u n o v 函数直接法和r a z u m i k h i n 技巧研究了固定时刻脉冲时 滞系统解的严格一致渐近稳定性并将它拓展到更一般的结果，最后给出了一个例 子其次，利用l y a p u n o v 函数直接法和r a z u m i k h i n 技巧研究了脉冲变时滞系统解的 严格稳定性，并给出了实例最后，利用l y a p u n o v 函数直接法和比较原理讨论了变脉 冲时滞系统解的严格一致稳定性和严格一致l i p s c h i t z 稳定 接下来的一章研究的是脉冲时滞系统的严格碗一稳定性首先，利用锥值 l y a p u n o v 函数和比较原理讨论了脉冲时滞系统零解的严格一致纯一稳定性，严格一致 渐近九一稳定性以及严格稳定性和严格一致唬一稳定性的关系，严格指数渐近九一稳定 性和严格指数渐近稳定性其次，利用锥值l y a p u n o v 函数和r a z u m i k h i n 技巧讨论了 脉冲时滞系统解的严格一致九一稳定性 第2 章脉冲系统的基奉知识 2 1 脉冲系统的描述 第2 章脉冲系统的基本知识 本章主要描述了在脉冲的作用下系统解的演变过程，介绍了几种典型的脉冲系 统，并给出了一些简单的例子为了演示脉冲如何对解产生影响以及常用的证明稳定性 的方法和稳定性定义 2 1 1 脉冲微分系统的描述 ( i ) 考虑由下列微分方程描述的系统： j = f ( t ，x )( 2 1 ) 其中：f ：足q - - ，qc 7 r ”是一个开集，彤是n 维欧几里德空间，且口是非负实数 集合； ( i i ) 集合膨( f ) ，( ，) c q ，对所有的t r + ； ( i i i ) 算子a ( t ) ：m ( t ) 专( ，) ，t r + 假设x ( f ，f o ，) 是系统( 2 1 ) 以( t 0 ，x 。) 为初值的解，此解的运动过程如下： 点只= ( f ，工( r ) ) 从它的初始位置最= ( t o ，x ( ，o ) ) 开始，并沿着曲线 ( f ，芹) ：f f 0 ，x = x ( f ) ) 运 动，直到时刻 t o 时点只满足集合m o ) 在f = 时，算子( f ) 从点e = ( ，x ( ) ) 运动 到置+ = “，r ) ( ) ，这里o = a ( t 。) x ( ) 随后，点只从点= ( ，i ) 开始沿着系统 ( 2 1 ) 的解x ( f ) = x ( t ，) 曲线继续运动，一直到下一时刻，2 时点c 满足集合m ( t ) 然后，同样在t = 乞时，算a ( t ) 从点置= ( f 2 ，x ( t o ) 运动到置+ = ( t 2x 2 + ) n ( t 2 ) ， 这里屯+ = 4 ( f 2 ) x ( 乞) 和前面的运动类似，点只从点只= ( f 2 ，砖) 开始沿着系统( 2 1 ) 的解 x ( ，) = x ( t ，r 2 ，霹) 曲线继续运动，也就是只要系统( 2 1 ) 的解存在就重复上述过程我们 把能刻画上述演变过程的( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 统称为脉冲系统，由p 构成的曲线称为积分 曲线，把x ( ，f o ，x o ) ，f t o ，) ，x ( t ， ，x i + ) ，t 1 ，f 2 ) ，x ( t ，f 2 ，艺+ ) ，t 【屯，岛) 称为脉冲系统的 解 脉冲系统的解可能是下列三种情形之一： ( i )连续函数，如果积分曲线与集合m ( f ) 不相交或交于算子a ( t ) 的不动点； ( i i )有有限个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 交于有限个 算子4 ( r ) 的非不动点； ( i i i )有可数个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 交于可数个 江南大学硕十学位论文 算子4 ( f ) 的非不动点 若t k t ：只= x ( t ) m ( f ) ，x ( t ) 爿( f h 0 ) ) ，则称时n t , 为脉冲时刻当系统的解x ( ，) 满足x ( 一) = 1 1 罂x ( t - h ) = x ( t a ，t k , 七= l ，2 ，可以说石( ，) 在t k , | = 1 ，2 ，处是左连续 的根据脉冲系统的解满足以上三个不同的条件( i ) ，( i i ) 和( i i i ) ，可以得到以下几种不同 类型的脉冲系统 2 1 2 固定时刻脉冲系统 假设集合m ( t ) 表示一系列平面t = ，其中 气 代表时间序列使得当k _ 。时， t k _ 0 3 在t = t k 时按下式定义算子彳( f ) ，得到算子序列 彳( _ i ) ) ：4 ( _ j ) ：f 2 斗q ， x a ( t ) x = x + i a x ) ，这里五：q q 因此，集合( f ) 也在t = t k 时定义，并且 ( 七) = 一( 七) m ( 七) 由m ( _ j ) ，_ ( j j ) 和( 后) 的选择，一个发生在固定时刻的脉冲系统可 以描述为： j j 。，( f ，x ) ，t k ，后2 1 ，2 ，( 2 2 ) l a x = i a x ) ，r = t k ， 其中f = t k 时，a x ( t d = x ( 矿) 一x ( ) 且x 瓴+ ) 2 船工( + 矗) 由此，知系统( 2 2 ) 的解满足以下条件： ( a ) 当f * t k 时，系统( 2 2 ) 的解就是普通系统膏= 厂( r ，力的解，也就是当t e 瓴，t k + 1 】时， 解满足i ( t ) = f ( t ，工( f ) ) ； ( b ) 当t = t k ，k = 1 ，2 ，时，系统( 2 ) 的解有跳跃且满足 l x ( 一) = x ( t d ， 【x ( t k + ) = x ( 气) + 缸( 气) = x ( ) + i a x ( t d ) s 丸( x ( 气) ) 说明系统的解受到了脉冲的影响，下面的一个例子将显示了系统解的连续性受到了脉 冲的影响作用 例2 1固定时刻脉冲系统 f 一= o ，t # k ， k 击户枷_ 1 ，2 ， q 。3 当0 f l 时系统( 2 3 ) 的解x o ) 仅在( 0 ，1 ) 内有意义；当t l 时x ( r ) 不可能是连续 的，因为脉冲函数厶( x ) 2 三i 在算= 1 时没有定义当然，解x ( f ) 对于所有的在系统 x = 0 处是连续的 第2 章脉冲系统的草奉知识 2 1 3 变脉冲系统 设 s a 是由s ：f = t a x ) ，k = 1 ，2 ，i v a x ) r k + - ( 工) ，舰t a x ) = 给出的一个曲面 序列，则有下面的脉冲系统： j 砉钡t , x ) , t r k ( n 拈l 2 ，( 2 4 ) 【a x = 厶( 功，t = 以( x ) ， 具有变化时刻的脉冲系统( 2 4 ) 比固定时刻脉冲系统( 2 2 ) 复杂一些，脉冲时刻依赖于系 统( 2 4 ) 的解，即对任意的k , t k = r a x ( t d ) ，这样开始于不同点的解有不同的不连续 点一个解可以与同一个曲面t = t a x ) 相交几次或者无穷多次的现象，称为“击打” 例2 2考虑变脉冲系统 i 量= o ，t a x ) ，t 0 ， a x = x 2s g n - x ，t = t a x ) ，= 1 ，2 ，( 2 5 ) l x ( o ) = x o ， 当i x l 3 时，曲面瓯：，= 靠( x ) = x + 6 k ，k = 1 ，2 ，如果初值i z 陋3 ，则该解不受脉冲效应 的影响；如果初值0 x o o ，玩是常量，妒是解的一个初始值并且满足 0 t o t i t 2 0 ，0 t o t i f 2 并且 当f 寸时，t - - o o x ( t + ) = l i m ，工( j ) ，x ( t 一) = l i m w 工( s ) 2 1 6 脉冲变时滞系统 妄= 饨，蛾m - f ( f ) ) ”f ， x ( 气) 皇z ( ) 一x ( 一) = 厶 ( 厶) ) ，t = t k ，k = l ，2 ， ( 2 8 ) x ( ，0 + r ) = ( r ) ，t ( ，o 】， x ( t o + ) = x o ， 这里x r ”，厂( 墨x r ”r nr ”) ，f ( t ，0 ，0 ) z o ，厶( o ) = o ，r ( t ) 0 ， 0 t o ，l t 2 t k 0 ，f 为时滞且为 一个常量，脉冲间隔0 ( x ) f 2 ( 功 r k ( x ) o , t o f ，存在艿= t s ( t o ，r ) 0 使得