（应用数学专业论文）复合伸缩多尺度分析尺度函数的特征刻划.pdf

河南大学硕十学化论文 摘要 设妒( z ) l 2 ( r ) 若 吻，七( z ) = 2 考妒( 2 j x k ) lj ，k z 是l 2 ( r ) 上的标准正 交基，则称矽( z ) 为小波在高维空间中，理论上经常利用张量积的方法构造高维小 波，但用这种方法得到的小波仅有有限的方向，使得其在应用方面具有一定的局限 性这使人们开始从不同角度出发，试图寻找其它工具来克服这种局限性因此，从 事小波研究的科学家们又掀起了一场新的革命多尺度几何分析多尺度几何 分析源于小波分析又高于小波分析，其基函数具有各向异性和多方向性等良好性质， 能不同程度地解决小波函数所存在的问题2 0 0 4 年，k g u o 等人首次提出了复合伸 缩小波的概念，并详细地阐述了它们的性质他们发现复合伸缩小波具有良好的几 何学性质，在应用方面具有很大的优势 与用多尺度分析构造古典小波的方法相同，复合伸缩小波也可使用复合伸缩多 尺度分析来构造本篇论文主要研究复合伸缩多尺度分析的性质，给出复合伸缩多 尺度分析尺度函数的特征刻划全文由五章组成 第一章简要介绍f o u r i e r 分析、小波分析、复合伸缩小波的产生背景 第二章给出复合伸缩多尺度分析尺度函数特征刻划，其给出的结论是古典多尺 度分析尺度函数特征刻划的进一步推广 第三章列出证明主要结论要用到的一些定理、命题和引理 第四章给出本篇论文主要结果的证明 最后一章给出一些例子 关键词：复合伸缩多尺度分析；复合伸缩小波；约化子空间 河南大学硕十学位论爻 a b s t r a c t af u n c t i o n 妒( z ) l 2 ( r ) i sa no r t h o n o r m a lw a v e l e tp r o v i d e dt h es y s t e m 奶，k ( x ) = 2 妒( 2 j z 一七) lj ，七z ) i sa l lo r t h o n o r m a lb a s i sf o rl 2 ( r ) i nt h eh i g h e rd i m e n s i o ns p a c e ， m a n yw a y sh a v eb e e nu s e dt od e f i n ew a v e l e t s a sw e l lk n o w n ，t e n s o r p r o d u c tw a v e l e t s a r ev e r yp o p u l a r b u t ，w a v e l e t sg o ti nt h i sw a yh a v ef i n i t ed i r e c t i o n s ，t h u sl e dt om a n y l i m i t a t i o n si na p p l i c a t i o n s t h ed i s a d v a n t a g e so fw a v e l e ta n a l y s i sh a v em a d es c i e n t i s t s t r yt ol o o kf o rb e t t e rt o o l sf r o mv a r i o u sa n g l e s t h e r e f o r e ，s c i e n t i s t se n g a g ei n w a v e l e t a n a l y s i sh a v ec a r r i e do u tan e wr e v o l u t i o n m u l t i s c a l eg e o m e t r ya n a l y s i sf m g a ) m g a o r i g i n a t e sf r o mw a v e l e t sb u ti ss u p e r i o rt ow a v e l e t s ，b a s i cf u n c t i o n si nm g a h a v e g o o dp r o p e r t i e ss u c ha sa n i s o t r o p y ，d i r e c t i o n a l i t ya n d s oo n ，w h i c hc a ns o l v et h ep r o b l e m s o fw a v e l e t si nv a r y i n gd e g r e e s i n2 0 0 4 ，k g u oe t a lp u tf o r w a r dt h en o t i o no fw a v e l e t s w i t hc o m p o s i t ed i l a t i o n sa n dd e s c r i b e dt h ep r o p e r t i e so fw a v e l e t sw i t hc o m p o s i t ed i l a t i o n s i nd e t a i l t h e yf o u n dt h a tw a v e l e t sw i t hc o m p o s i t ed i l a t i o n sh a v em a n yn i c ep r o p e r t i e s i ng e o m e t r ys ot h a tt h e yh a v eg r e a ta d v a n t a g e si nt h ea s p e c to fa p p l i c a t i o n i nt h es a m ew a ya sc o n s t r u c t i n gc l a s s i cw a v e l e t sb ym u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，w a v e l e t s w i t hc o m p o s i t ed i l a t i o n sa r ea l s oc o n s t r u c t e db ym u l t i r e s o l u t i o nw i t hc o m p o s i t ed i l a t i o n s t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st od i s c u s st h ep r o p e r t i e si nm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s w i t hc o m p o s i t ed i l a t i o n sa n dg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs c a l i n gf u n c t i o nw i t hc o m p o s i t e d i l a t i o nm u l t i r e s 0 1 u t i o na n a l y s i s t h et h e s i si sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s c h a p t e r1b r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n d o ff o u r i e ra n a l y s i s ，w a v e l e ta n a l y s i sa n d w a v e l e ta n a l y s i sw i t hc o m p o s i t ed i l a t i o n s c h a p t e r2g i v e st h ec h a r a c t e r i z a t i o no fs c a l i n gf u n c t i o nw i t hc o m p o s i t ed i l a t i o nm u l - t i r e s o l u t i o na n a l y s i s t h eg i v e nr e s u l t sg e n e r a l i z et h ec l a s s i cc h a r a c t e r i z a t i o no fg e n e r a t o r f o rm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s i no r d e rt op r o v em a i nr e s u l t s ，s o m ea u x i l i a r yr e s u l t sa r el i s t e di nc h a p t e r3 c h a p t e r4p r e s e n t st h ep r o o f so fm a i nr e s u l t s i nt h el a s tc h a p t e r ，s o m ee x a m p l e sa r eg i v e n k e y w o r d s ：m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sw i t hc o m p o s i t ed i l a t i o n s ；r e d u c i n gs u b s p a c e ；w a v e l e t s w i t hc o m p o s i t ed i l a t i o n s i i 河南大学硕十学化论文 符号说明 1 l 2 ( s ) v 全 ，l 2 ( r 几) is u p p f _ cs ) ； 2 p = a ，抓 3 ，e “：a e + z n ； 4 g l n ( z ) 全 aa 是n 阶可逆矩阵且所有元素都是整数) ； 5 g l n ( r ) = a a4 是礼阶可逆矩阵且所有元素都是实数 - ； 6 瓦( z ) = a aa g l 几( z ) 且id e tai = 1 ) ； 7 s u p p ( f ) 全 z 舻if ( x ) o ) ； 8 厶表示礼阶单位阵； 9 彳：aa t ，其中a 是一个矩阵； 1 0 a = a ，其中a j 是矩阵a 的歹次幂； 1 1 d a ：l 2 ( r n ) _ 三2 ( r n ) ，其中d a ( f ) 由下式定义：v f l 2 ( r n ) ，d a f ( ) = i d e t ai 吉f ( a ) 如果a 是扩张矩阵，d a 称为a 伸缩算子； 1 2 死：l 2 ( 舻) _ l 2 ( r 几) ，其中t k ( f ) 由下式定义：v k 舻，v f l 2 ( r n ) ，t k f ( ) = ，( 一忌) ，死称为平移算子； 1 3 氕) 表示，的f o u r i e r 变换，其定义为氕) = 厶。f ( x ) e 一撕( 和) d x ，其中( ，z ) 表示向量之间的内积运算： 1 4 ( f ，g ) 表示厂( z ) ，g ( x ) 的内积运算，定义为( f ，g ) = 丘。f ( x ) g ( x ) d x ，其中v f ，9 l 2 ( 黔) ； 1 5 设b 是s 厶( z ) 中的子群，用b k z 札表示s k ( z ) k z 竹( s l 几( z ) 与z “的半直积) 的子群设y 是l 2 ( r 佗) 的闭子空间如果v ( b ，k ) bkz n 总有现死y = v ， 则称y 是bk 勿不变子空间 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所至交酌学位论文是 本人在导师的指导下独立完成酌，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外。论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学1 1 立或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。吆筝；j 。4 _ 。 。 i曩；多oi 。h， 。 ：、d r 1一。 o 譬 学位争、请冬量葶隹玲文黼争：磊：，二鐾丝二 妒：摹爹釜黧孥荸黔i - i 一，曼： 鼍 ：i v 、车：!_ ，n 二! ，：二”、，、 ，吖 ，| 羹：0 j 毫j 。、磷毒萎：j l 锄o 年，箩月万目 j “，； 4 坤一，j 、o j 岳v r ry j ， _ 毒，p - = fj 夕j 氏，t ：；。，：，：? ，- j j ；7 ”。：磊。舞；纂；。每；一；并j 毫j 一一， ： j ，若i 主毒磊落：i 磬：j ；：= i - 囊： ；：j 。关于学位论文著作权使用授权书，。 j ：，* 去”j 节：鼍二，：蕃廷l 。，象，。：i 毒薯i ：i，鼻j j 叠 本人经河南大学审核批准援手硕士李位。作为学位论文的诈者，本人完金 了解并同意河南大学有关保留7 7 鳓嘲j 学位径费韵要求，即河璃大学有权向国家 图书馆、科研信息辊构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公众检索、查阅j - 本人授权河南夫孝出于宣扬、展览学校 学术友辰和迸行学术交流等昏酌一：j 可瞄采取影印、缩印。扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本牵电子文本) 。 ( 涉及保密内容奇勺学位论文在解窑后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 蚕名：鑫盔 20 o 学位论支指导教师釜名： 2c i p7 年厂月矽曰 第一章背景 小波分析是上世纪八十年代迅速发展起来的一门应用数学学科，也是当前数学 家关注和研究的一个热点它是继f o u r i e r 分析之后又一重要的数学分析方法，是 调和分析里程碑式的进展在数学家眼中，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函 分析、数值分析、样条分析、调和分析等众多数学分支的精华，并包罗了它们的许 多特色；在应用方面，它给许多相关学科的研究带来了新思想，并且为工程学提供了 一种新的更有效的工具，特别是在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别、量子 物理和众多非线性科学等领域应用颇为广泛它反映了大科学时代学科之间相互渗 透、交叉、融合的趋势，是纯粹数学与应用数学及工程技术完美结合的又一光辉典 范，展现了其迷人的魅力和风采 1 1 f o u r i e r 分析的背景 自1 8 2 2 年f o u r i e r 发表他的热传导解析理论以来，f o u r i e r 分析便成为了最完 美的数学理论和应用最广泛的数学方法之一f o u r i e r 分析的详细内容见( 【8 】) 设f ( x ) l 2 ( t ) ( 所有以1 为周期的平方可积函数) ，则f ( x ) 有f o u r i e r 展开 他) = c 七e 撕虹，l 2 ( r ) 或a e ， ( 1 1 ) 七z 其中 吼= f ( t ) e 一2 碱d t 是f ( x ) 的f o u r i e r 系数如果f ( x ) l 2 ( r ) ，则也有 m ) = 芴1 上氕2 难心 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中 氕) = f ( x ) e - - i 2 r 缸d x ， ( 1 4 ) j r ( 1 4 ) 式是f ( x ) 的f o u r i e r 变换f o u r i e r 分析就是根据这两种展开，通过c 与 厂( ) 研究f ( x ) 的性质 f o u r i e r 分析之所以能成为强有力的研究工具，其原因在于( 2 2 ) ： ( 1 ) e 协妇 惫z 是2 ( ? ) 的标准正交基是f ( x ) 在这组基上的坐标，c j c 的 大小在l 2 ( 丁) 内完全刻划了厂( z ) ( 2 ) c 与于i ) 有着极其重要的物理意义，并由此得到f o u r i e r 分析的又一名 称频谱分析 河南大学硕十学化论义 ( 3 ) 导数运算在c 七与厂( f ) 方面的表现，变成了乘子运算这给f o u r i e r 分析在 方程中的应用带来了方便 但是，随着应用的不断深入与发展，f o u r i e r 变换的主要缺陷也暴露出来了，它 的缺陷大致有以下四方面( 7 1 ) ： ( 1 ) 在f o u r i e r 展开中，由于频谱点的等距分布，导致它不能很好地反映出一些 具有突变特性的非平稳信号，从而使其分辨率不高： ( 2 ) f o u r i e r 展开使用的是三角函数标准正交基，但三角基在时域上不能局部 化，因此f o u r i e r 展开在时域上不能做局部分析； ( 3 ) f o u r i e r 变换不能同时做时域和频域分析一个函数或一个信号经过f o u r i e r 变换后，就失去了时间特性，只能做频域分析虽然加窗f o u r i e r 变换在一定程度上 解决了时域、频域分析的问题，但由于窗口大小是固定的，因而无法适应非平稳信 号： ( 4 ) 从数学上看，f o u r i e r 展开只在l 2 ( r ) 上有效，对于护( r ) 2 ) 仅是形 式展开，其系数不能刻划函数的特性 鉴于上述理由，众多科学家一直在努力寻找其它合适的基来对函数进行分解， 以弥补三角基的不足，这种“合适的基”就是现在被称为“小波基”的基 1 2小波分析的背景及应用 小波分析方法起源于f o u r i e r 分析方法众所周知，f o u r i e r 分析方法只对平稳 信号的分析很有用而为了有效地分析非平稳信号，许多学者经过不断研究、改进， 发现了小波分析方法小波分析理论是函数逼近论中函数表示理论的突破，该方法 可以处理各种各样的信号 就时间上来说，小波的起源可以追溯到很远最早用伸缩和平移思想构造标准 正交小波基的是a h a a r ，他在1 9 1 0 年给出了h a a r 小波的构造1 9 3 8 年，j e l i t t l e w o o d p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了l i t t l e w o o d p a l e y 理论，提出了按二进制 频率成分分组的理论这可以认为是多尺度分析思想的最早来源1 9 7 5 年，a p c a l d e o n 用他早年提出的c a l d e r o n 表示定理和对h a r d y 空间的原子分解及对无条 件基的大量研究为小波分析的诞生提供了理论上的依据1 9 8 1 年，j o s t r s m b e r g 对h a a r 系统进行了改进，证明了小波函数的存在1 9 8 2 年，g b a t t l e 在构造量子场 论中使用了类似c a l d r e o n 再生公式的展开1 9 8 4 年，法国地球物理学家j m o r l e t 在分析地震波的局部性时，发现f o u r i e r 变换难以达到要求，而在把小波的局部化性 质应用于信号分解时，取得了满意的效果后来，j m o r l e t 和a g r o s s m a n 提出了 一个确定函数的伸缩平移系展开的系统理论这为小波分析的形成开了先河 然而小波分析的真正起源应归于上世纪八十年代中期1 9 8 6 年由y m e y e r 在 2 河南大学硕十学f 讧论义 怀疑小波基存在性的同时构造出了第一个真正的小波基，由此带来了小波分析的热 潮继y m e y e r 之后，l e m a r i 6 和b a t t l e 又分别独立地给出了具有指数衰减的小波 函数这时，s m a l l a t 也提出多尺度分析概念，统一了在此之前提出的各种具体小 波构造的方法1 9 8 8 年i d a u b e c h i e s 构造了具有有限支集的正交小波基1 9 9 0 年， 崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数，并讨论了具有最好局 部化性质的尺度函数与小波 虽然小波分析从诞生到现在不过是二十几年时间，但已取得了巨大的进展显 示出了强大的生命力，形成了较完备、成熟的小波理论其独特之处主要表现在以 下几个方面： 1 ) 时一频分辨率特征 对某一母小波，信号f ( t ) l 2 ( r ) 关于该母小波的连续变换( c w t ) 为 ( 烈o ，6 ) ：( ，矽咖) ：lo 一，( 亡) 移( 掣) d t ，( 1 5 ) 其中b r ，a r 0 】- 其相应的反变换公式为 弛) = 去上上慨以0 ) 6 批知 ( 1 6 ) 从( 1 5 ) 式可看出连续小波变换与加窗f o u r i e r 变换的两个不同点： 首先，母小波随着尺度参数的减少，时间窗自动变窄设窗口函数的中心与半径 分别为t + 和曲，则其时间一频率窗为 b + a t * - a a 妒, 6 州妒 生a h 生a1 a 讪】 ( ”) 它的宽度为2 0 妒，窗面积为4 乏其面积只与小波母函数矽( t ) 有关，而与参数 ( a ，b ) 毫无关系小波变换的时一频窗形状可以随着参数变化当检测高频信号 时，窗会自动变窄，而检测低频信号时，窗会自动变宽这体现出了小波变换具有极 敏感的“变焦”特性，从而使小波分析在分析和处理非平稳、瞬变的信号时，比加窗 f o u r i e r 变换效果更佳，享有“数学显微镜”的美誉 其次、小波变换用的母小波不是固定的，可以根据数据压缩、图像处理、奇异信 号检测等不同目的，选用不同的母小波 2 ) 多尺度分析 假设 k ：j z ) 是己2 ( r ) 上的一列闭子空间，如果满足t y , 条件： ( 1 ) 单调性：k 巧+ 1 ，j z ； ( 2 ) 伸缩性：v j z ，厂( ) k f ( 2 一j ) v o ； ( 3 ) 互斥性：nv j = ( o ) ； 3 河南大学硕十学化论文 ( 4 ) 稠密性：u 巧= l 2 ( r ) ； ( 5 ) 存在妒( z ) y o ，使得 妒( z k ) ik z ) 构成的一个标准正交基， 那么称( k ) j z 为l 2 ( r ) 的一个正交多尺度分析( 简记为m r a ) ，妒( z ) 称为尺度函 数或者称为多尺度分析的生成元 注记1 条件( 5 ) 可减弱为 ( 5 ) 木存在妒( z ) v o 使得 垆( z k ) jk z ) 为的一个r i e s z 基，即 v o = s p a n 妒( z k ) ik z ) 且存在常数a ，b 0 使得v c k f2 ( z ) 有 a i c * l2 ii c 凫妒( 一k ) l l ；b l c t l 2 ( 1 8 ) k e zk e zk e z 定义1 1 ( 3 ， 7 ) 假设 k b z 是一个m r a ，妒( z ) 为其尺度函数，那么 妒( z ) = h 七2 ；妒( 2 z 一庇) ， ( 1 9 ) k e z 其中h 惫= ( 妒( z ) ，2 妒( 2 z 一七) ) ( 1 9 ) 式等价于 ( 2 7 ) = m o ( 7 ) ( 7 ) ， ( 1 1 0 ) 其中t o o ( 7 ) = 去e 伲础7 称( 1 9 ) 或( 1 1 0 ) 式为双尺度方程或加细方程 v 么k e z 下述定理给出了从多尺度分析出发构造小波的结论 定理1 1 ( 3 ， 7 ) 假设 y , b z 为l 2 ( r ) 的正交多尺度分析，妒( z ) 为相应的 尺度函数，( 1 9 ) ( 或( 1 1 0 ) 式) 成立分别定义 鲰) 七z 、函数妒( z ) 和空间如下： 鲰= ( 一1 ) 七瓦，( 1 1 1 ) 妒( z ) = ：g k2 言妒( 2 z 一七) ， ( 1 1 2 ) 缸!z = s p a n 呜，七( z ) = 2 考矽( 2 x k ) ik z ) ，( 1 1 3 ) 那么_ 吻，七( z ) i z 为的标准正交基，嵋上k ，k + 1 = 嵋ok 由此， l 2 ( r ) = o ，上w 0 2 ) ，从而 咖，七( z ) = 2 量矽( 2 j z k ) ij ，k z - 为 l 2 ( r ) 的标准正交基，这里0 表示正交和 多尺度分析的意义在于它给出了获取正交小波基的一条常规途径此外，多尺 度分析是m a l l a t 算法的基础通常我们在某一特定的分辨率下来认识信号，因此仅 需了解信号在三2 ( r ) 空间中的某一闭子空间k 中的正交投影而信号中频率更高、 变化更快的分量并不影响研究的结果随着j 的增大，粗的轮廓、精确的细节也逐 渐被平滑而不明显起来，函数则显示出信号在各个不同的尺度下的细致结构，因此 4 河南大学硕十学化论义 小波可以聚焦到信号的任意尺度，可以观测到信号的任意细节，这就是人们常把小 波比喻成“显微镜”的原因 3 ) 小波包 正交小波包理论是小波变换的延伸在这里，正交多尺度分析的思想得到了充 分发挥正交小波包除了本身具有的各种性质和应用之外，它成功地解决了小波变 换固有的“高频低分辨”问题设 机) 惫，( 鲰) 七是q m f 滤波器，即 h 棚七k _ 2 f = 以，f ，h n = 讵， n zn e z g k = ( 一1 ) 瓦，k z 定义如下递归函数 n ( t ) = 讵h k w n ( 2 t 一惫) ， 州( 亡) = 讵g ( 2 一尼) ， ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 称 眠( t ) 】n 为小波包 在小波基 2 量移( 2 j z k ) ij z ，k z ) 中，空间k 随着j 的增大，其相应的 正交小波函数空间分辨率越高，而其频域分辨率就越低，这正是正交小波基的缺陷 之一为克服这个缺陷，小波包以空间局部性换取进一步的频域局部性，将原本较为 粗糙的频谱空间进一步细分，获得较高的频谱分辨率由于该方法兼顾时频两方面 的分辨率，从而对非平稳信号的频域分析具有重要作用 4 1 突变信号检测 小波变换的另一个重要特征就是它能表征函数( 信号) 的奇性在数学上，称无 限次可微的函数是光滑的或没有奇性若函数在某处有间断点或某阶导数不连续， 则称函数在该处有奇性函数的局部奇性是用l i p s 指数来刻划的由于小波变换 具有很好的时频定位功能，它不仅能局部检测奇点，而且还能估算出相应l i p s 指数 的大小 5 1 快速小波变换 1 9 8 8 年，m a l l a t 提出了小波分解和重构算法，即快速小波变换( f w t ) 算法，它 是通过正交镜像滤波器组对信号进行分解和重构的利用快速小波变换( f w t ) 算 法，可把工程中大量稠密矩阵化简为准对角的稀疏矩阵，从而使作用到维向量上 的运算复杂度由2 减少为与同阶，这大大加快了运算速度 小波分析的应用范围很广，它包括数学领域本身的许多学科，遍历自然科学、应 用科学的许多方面，甚至社会经济领域也能见到小波的应用目前在信号处理、图 象识别与处理、量子场论、语言人工合成、音乐、雷达、地震勘探、c t 成像、彩色 河南大学硕十学化论文 复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断和监控、分形以及数字电视等 科技领域都有应用，是多学科关注的热点 1 3复合伸缩小波的背景 1 3 1复合伸缩小波的产生背景 众所周知，自然界是不连续的，非周期的，自相似即分形的真实物理世界中的 信号所含信息更多地包含于奇异点、线、面因此，能否“有效”地表征此类信号，便 成为衡量所用分析工具好坏的一个关键因素对于含“点奇异”的一维信号，小波能 达到“最优”的非线性逼近阶遗憾的是，小波分析在一维时具有的优异特性不能简 单地推广到二维或者更高维在处理二维或者更高维含“线奇异”的信号时，虽然由 一维小波张成的高维小波基在逼近性能上要优于三角基，却也不能达到理想的最优 逼近阶根据生理学家对人类视觉系统的研究结果和自然图像统计模型，一种”最 优”的图像表示方法应该具有如下特征： 1 ) 多分辨特征：能够对图像从粗到细分辨率进行连续逼近，即“带通”性； 2 ) 局部化：在时域和频域，这种表示方法的“基”应该是“局部”的； 3 ) 方向性：“基 应该具有多“方向”性，而不是仅仅局限于二维可分离小波 的三个方向 由一维小波张成的二维可分离小波基只具有有限方向，即水平、垂直和对角，多 方向的缺乏是其不能“最优”表示具有线或者面奇异的高维函数的重要原因事实 上，具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍而实现函数的稀疏表示是信号 处理、计算机视觉等众多领域中一个非常核心的问题面对小波分析的不足之处，人 们开始从不同角度出发，试图寻找比小波更好的“稀疏 表示工具因此，从事小波 研究的科学家们又掀起了一场新的革命多尺度几何分析多尺度几何分析源 于小波又高于小波，其基函数具有各向异性和多方向性等良好性质，能不同程度的 解决小波函数所存在的问题 目前，多尺度几何分析的几种主要工具是：w e d g e l e t 、r i d g e l e t 、c u r v e l e t 、b e a m - l e t 、c o n t o u r l e t 、b a n d l e t 和d i r e c t i o n l e t 2 0 0 4 年k g u o 等人首次提出了复合伸 缩小波的概念，并详细地研究了它们的性质尤其是s h e a r l e t 变换他们惊奇地发现， 复合伸缩小波具有优美的几何学性质，比如方向性、尺度性、拉长的形状以及波动 性等特征，而这恰恰是图象处理时工程学家和数学家们所追求的目标( 7 1 ，1 1 1 ， 2 3 1 ) 目前，s h e a r l e t 理论己取得一定的结果，并成功地用于图像去噪、图像压缩和图像融 合等应用领域，进一步的理论研究及其在图像处理其它领域的应用还有待进一步尝 试 6 河南大学硕十学化论义 1 3 2复合伸缩小波的理论背景 1 3 2 1 小波基本理论 1 小波的基本概念 长期以来，数学家与工程师在努力寻找函数空间上的一种函数基，使函数不但 能得到一种新的正交展开，而且又能同时显示出时间域和频率域上的局部特征这 样的基就是小波基，对它的存在性、构造和性质的研究构成小波分析研究的内容小 波的定义如下： 定义1 2 假设函数a 1 ，b 0 如果 矽2 j ，七( z ) l 嘲，j ，七( z ) = o 矽2 ( 矿z 一忌6 ) ，j ，k z ，f = 1 ，2 ，l )( 1 1 8 ) 是l 2 ( r ) 上的标准正交基，那么称l 2 ( r ) 中的有限函数集l = 矽1 ，妒2 ，忱) 为 l 2 ( r ) 中的标准正交多小波如果l = 1 ，则称妒( z ) 为标准正交小波如果矽( z ) 是 小波并且来自多尺度分析，则称此小波为m r a 小波 2 几个正交小波例子( 【2 ) 例1 h a a r 小波设 | ，1 ， 矽( z ) = 一1 ， 【0 ， 0 z 互1 ， 互1 z 1 ， 其它， 则可以证明矽( z ) 通过伸缩和平移得到的函数族【奶，七( z ) i 锄，七( z ) = 2 考砂( 2 j x 一 忌) ，j ，k z ) 构成l 2 ( r ) 的标准正交基这里称妒( z ) 为h a a r 小波这是历史上 第一个小波，也是最简单的且具有紧支集的正交小波( 波形见图1 ) 例2 s h a n n o n 小波设矽( z ) l 2 ( r ) 定义 妒( ) = ) ( ，( ) ， 其中，= 一1 ，一j ub 11 可以证明 奶，惫( z ) = 2 妒( 2 j z 一尼) ij ，惫z - 构成l 2 ( r ) 上的标准正交基这样定义的矽( z ) 称为s h a n n o n 小波( 波形见图2 ) 例3 m e y e r 小波设妒( z ) l 2 ( 瓞) 定义 妒( ) = e 2 e t 0 ， 这里万( ) 是按照下式定义：万( ) = 丘。f ( x ) e - zd x 同样可以证明_ 【咖，恕( z ) = 2 t 妒( 2 j z 一尼) ij ，k z ) 构成l 2 ( r ) 上的标准正交基这样定义的妒( z ) 称为m e y e r 小波( 波形见图3 ) 7 亿 几 4 3 8 3 一 一 1 ，f ( z ，y ) 是定义在q 全r 2 ( z ，y ) r 2z = 可 上的 9 河南大学硕十学化论义 函数如果存在正数叩，使得对一切( z ，y ) q ， l i r af ( a 一z ，a - 3 y ) 叩 ( 1 1 9 ) j 一 成立则称f ( x ，y ) 在原点是a 进远离零的 定理1 7 ( 1 7 ) 妒( z ) l 2 ( r ) 为某个m r a 的尺度函数当且仅当 ( 1 ) l + 七) i2 = 1 ， a e r ； ( 2 ) 存在m o l 2 ( 丁) 使得( 2 ) = m o ( ) ( ) 成立； ( 3 ) 函数f ( z ，可) = 矿与层i ( u ) i 2d w 在原点是二进远离零的 注记2 如果把多尺度分析中条件( 5 ) 改为( 5 ) 宰，那么定理1 6 - 1 7 中的条件 ( 1 ) 均改为：存在常数0 1 ，则称a 是扩张矩阵如果加上a 中所有元素都是整数，则称a 是整扩张阵用g 表示所 有整扩张阵构成的集合 定义1 6 设 z 。：) 。：是h i l b e r t 空间h 中的点列，其中k a 1 ，2 a 2 且人1 ，人2 是可数集如果 z - “是h 上的p a r s e v a l 框架，且v 七1 k 2 ，有( z 1 1 z ：) = 0 ， 那么称 z 。】。：是h i l b e r t 空间h 中的半正交p a r s e v a l 框架( 简称半正交p f ) 定义1 7 设 z 七) 七z 是h i l b e r t 空间中的点列若 z k ) 七z 是吾丽 z k j 岛z ) 上的r i e s z 基( 框架p f ) ，则称 z k ) 七z 是r i e s z ( 框架p f ) 点列 现给出复合伸缩小波的定义如下： 1 0 河南大学硕十学f t 论义 定义1 8 设= 妒1 ，矽2 ，砂l ) cl 2 ( r n ) 定义。畋口( ) = d 口d 6 死皿la a ，b b ，f = 1 ，2 ，l ，k z ) ，其中a ，b g l n ( r ) 若。畋b ( 皿) 是l 2 ( 酞n ) 上的 标准正交基( 框架) ，则称皿= 矽，妒2 ，钆 - 是标准正交复合伸缩多小波( 复合伸 缩框架多小波) 若l = 1 ，则称为标准正交复合伸缩小波( 复合伸缩框架小波) 定义1 9 设b 是s 厶( z ) 的可数子集，a = a i z ) ，其中a g l 几( z ) ，且 有a b a _ 1 b 假设 v j b z 是l 2 ( 瓞几) 中的一列闭子空间，如果满足下列条件： ( 1 ) 是bkz n 不变子空间； ( 2 ) v j z ，v jc 巧+ 1 且k = d i v o ； ( 3 ) uv j = l 2 ( 舯) ； ( 4 ) nv j = o ) ； ( 5 ) 存在妒( z ) v o ，使得中b = d b t k 妒( z ) jb b ，k 舻) 是k 上的半正交p f 那么称( ) j z 是l 2 ( r n ) 上的复合伸缩多尺度分析( 简记为a b m r a ) 这里 称为a b 尺度函数空间，妒( z ) 称作上的a b 尺度函数 注记3 ( i ) 为了方便讨论，本文给出的是a b m r a 一种最简单的形式更一般地， a = ( 口t ) 鼬，其中o i 是仃阶可逆矩阵 ( i i ) 条件( 5 ) 可以改为 ( 5 ) 木存在妒( z ) v o ，使得圣b = 现死妒( z ) ib b ，七z n ) 是v o 上雕j 标准正交基 此时称妒( z ) 是k 上的标准正交a b 尺度函数也可以改成 ( 6 ) 存在妒( z ) v o ，使得中b 是上的框架但这时情况较为复杂 ( i i i ) 由a b m r a 可以得到， d i d bt k 妒( z ) ib b ，弘) - 是巧上的半正交 p f 这是因为f ( x ) 巧铮f ( a j z ) v o 而圣b 是上