（概率论与数理统计专业论文）混合pareto分布的统计分析.pdf

中文摘要 摘要 混合分布模型已经成为分析复杂现象的一个重要工具，并在生物、医学、环境科 学以及工程等领域有广泛的应用。尤其p a r e t o 分布由于厚尾的特点，近年被广泛应用 于极值理论进行金融风险度量，在应用p a r e t o 模型时，估计超量损失分布的渐近帕 累托分布的参数值，是得到较精确v a r 值的关键。p a r e t o 分布在应用中也会经常遇到 混合分布情况，所以本文主要以混合p a r e t o 分布为研究对象，讨论其统计特征。首先 研究了混合p a r e t o 分布的密度函数、分布函数以及数字特征，包括其n 阶原点矩和n 阶 混合矩，特别给出其数学期望和方差。其次，分别利用矩法和极大似然估计方法， 对混合p a r e t o 分布进行参数估计。由于传统的矩法估计和极大似然估计在理论上可以 实现，实践时比较困难，文章转而应用e c m 算法，研究了混合p a r e t o 分布在完全数 据场合下，以及定数截尾下的参数估计。并进行相应的模拟运算，得到利用e c m 算 法，进行混合p a r e t o 分布的参数估计，是一种行之有效的方法。最后研究了基于混 合p a r e t o 分布的假设检验问题，通过理论论证，得到适用于该分布检验的x 2 检验法 和u 检验法，并通过实例验证这些检验方法的合理性。 关键词：混合p a r e t o 分布、参数估计、e c m 算法、完全数据、定数截尾、假设检验 英文摘要 a b s t r a c t t o d a y ，t h em i x t u r ed i s t r i b u t i o nm o d e lh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tt 0 0 lf o rt h ea n a l y - s i 8o fc o m p l i c a t e dp h e n o m e n o n i ti su n i v e r s a l l yu s e di nb i o l o g y ，m e d i c i n e ，e n t i r o m e n t s c i e n c e ，e n g i n e e r i n ga n de t c i nt h i sp a p e r ，w ew i l lm a i n l yf o c u so nt h ep a r e t od i s t r i - b u t i o n ，w h i c hi sa l w a y sf a c e dw i t ht h em i x t u r ed i s t r i b u t i o n ，a n dd i s c u s si t ss t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s f i r s t l y ，w es t u d yt h en u m e r i c a lc h a r a c t e r i s t i c s ，e s p e c i a l l yt h em e a na n d v a r i a n c e s e c o n d l yw ep r e s e n tt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o nm i x t u r ep a r e t od i s t r i b u t i o nb y m o m e n te s t i m a t i o na n dm a x i m i z el i k e l i h o o dm e t h o ds e p a r a t e l y b e c a u s eo ft h ed i f f i c u l i t y t h a tt h et r a d i t i o n a lm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nc a nn o tb ew r i t t e ni nc l o s e df o r m ， i nt h i sp a p e rw eu s et h ee c m a l g o r i t h m - o n eo ft h ee ma l g o r i t h m s ，t op r e s e n tt h er e s u l t s f o rt h ec a s e so fm i x t u r ep a r e t od i s t r i b u t i o no nc o m p e t e ，a n dc e n s o r e ds a m p l e s t h i r d l y ， s i m u l a t i o ns t u d yi sg i v e n ，t og e tt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no ft h em i x t u r ep a r e t od i s t r i b u - t i o n i ts h o w se c ma l g o r i t h mi sa ne f f e c t i v em e t h o d l a s t l y , w eg i v et w oi t sh y p o t h e s i s t e s t i n g ，m e t h o d st h e 妒a n dut e s t i n gm e t h o d k e yw o r d s ： m i x e dp a r e t od i s t r i b u t i o n ，e ma l g o r i t h m ，p e r f o r m a n c eo fe s t i m a - t i o n ，c o m p l e t es a m p l e ，c e n s o r e ds a m p l e s ，h y p o t h e s i st e s t i n g 插图目录 插图目录 1 - 1 p a r e t o ( 2 ，8 ) 直方图： 2 2 - 1 p a r e t o ( 2 ，8 ) ，p a r e t o ( 3 ，1 1 ) ，p = 0 6 分布直方图 7 孓1 数据模拟图1 7 一l u 表格目录 表格目录 孓1 模拟数据表1 1 7 垂l 机动车保单索赔数据表2 2 0 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意。 作者签名：日期：狸! 艺：! ! 型 学位论文使用授权的说明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学校论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保留的 学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 导师签名： 日期：匕望! 丝：丝 第一章引言 第一章引言弟一早jii 1 1p a r e t o 分布的发展历史 p a r e t o 分布是意大利经济学家p a r e t 0 1 1 将其作为一种收入分布最先介绍的一个 多世纪以来它在不同的领域中越来越受到重视。由于p a r e t o 分布具有递减的失效 率函数，经常用来描述诸如个人收入越高，( 获得更高收入的能力就会增加) ，某种药 理过程后病人的存活时间( 存活时间越长，能够继续存活更长时间的可能性就越 高) 等模型。其它模型如城市人口容量、自然现象的发生、股票价格波动、保险风 险、商业失效等，也都可以用p a r e t o 分布来描述。p a r e t o 分布族在环境学中也有广 泛的应用，如海浪、风力、气温、降雨等自然现象的研究，很多都采用了p a r e t o 分布 族。s c a b r a s 和m e c a s t e l l a n o s 2 l 对n i d dr i v e 河流的1 9 3 4 年到1 9 6 9 年的最大流量作了统 计分析。洪水灾害带来的损失不可估量，科学的分析某地区历史降雨记录数据，准确 有效的预测现有及降雨量，显得尤为重要。2 0 0 4 年s e r g u if j u a r e z 等人用p a r e t o 分布对 从1 9 0 0 年至2 0 0 2 年月度累计降水量超过3 0 0 m m 的历史数据进行了分析研究。所以研究 它的统计性质是非常必要的。a r n o l l p r e s s ( 1 9 8 7 ) 研究了非线性组成数据的各种经验分 布。又由于寿命数据分析已经成为工程、医学和生物科学领域中统计学家和实际工作 者十分关心的一个领域。对于单个总体的寿命实验数据进行分析的方法，已经发展的 非常成熟。但是在应用中会经常遇到混合分布情况，尤其计算机的快速发展，使人们 对事物的认识能力不断提高，如何在大量数据中发现有用的信息、模式和知识成为焦 点问题。发现用单一模型来研究问题已经显得越来越不足，为此人们引进混合分布模 型。其统计性质的研究尤为重要。如今混合分布模型不仅成为分析复杂现象的一个重 要工具，并且在各个领域都有广泛的应用。二元p a r e t o 分布，常出现在两元件系统在 变化环境中的生存时间模型m a n n s c h a f e r 和s m y p u r w a u a ( 1 9 8 6 ) 3 1 等在这方面都作了深 入的研究。 1 2 标准p a r e t o 分布 p a r e t o 分布的发现，可追溯到意大利经济学家v i l f ；e d op a r e t o ( 1 8 4 3 - 1 9 2 3 ) 1 l 在1 8 9 7 年 发表的一部有影响的经济著作，从许多收入分布的观察值中，发现如下的分布 f ( z ) = l 一南z o 一1 ( 1 一1 ) 1 3p a r e t o 分布 相应的概率密度函数为： 出) = 面b xo(1-2) 称上述分布为标准p a r e t o 分布，如果x 是标准p a x e t o 分布，则x 一1 也是标准p a r e t o 分 布。后来，由于p a r e t o 分布应用领域逐步拓广，人们有研究- j p a r e t o 分布族及其统计 特征。 1 3p a r e t o 分布 p a r e t o 分布在保险的损失数据分布拟合中发挥重要的作用， 损失数据用一种推广的p a r e t o 分布来拟合效果更好。 若x 的密度函数为 p = 蒜z o 则称x 服从p a r e t o ( o ，入) 分布。人们常用这个分布来拟合数据。 其直方图如下 o246b o y 图1 - 1p a r e t o ( 2 ，8 ) 直方图 1 3 1p a r e t o 分布的性质 1 p a r e t o ( o ，入) 的分布函数为 f ( x ) = 1 一( 熹) p z o 一2 一 精算师逐渐发现有些 ( 1 - 3 ) 第一章引言 2 其k 阶原点矩为 特别有 m 七= e ( x 七) = 厂帮群赫如r ( p )( a + z ) ( 一+ 1 ) ”“ ：r c e - k ) r c k + 1 ) a 鼍 e 七 = 一) 尼 r ( o ) m 1 ：育2 x p 1 m l2 万 伊 舰= 器 仇22 币【可 秒 z m s = 南嘲 3 特别该分布的期望和方差为 2 a 牡2 百 盯2 = 兰e 垒2 ：( 1 9 兰- - 1 1 ) 2 1 3 2 p a r e t o 分布的基本变换 若随机变量x p a r e t o ( a ，口) 分布，则有如下结论成立 引理1 1 t n ( x + a ) 一e x p ( 1 na ，p ) ，进而有p ( 1 n ( x + 入) 一i nx ) 一e x p ( 1 ) ； 证明 若x p a r e t o ( a ，口) ，则 y = i n x + 入 f y ( u ) = p ( 1 n ( x + 入) y ) = p ( x ( e f 一入) ) 3 u ( 1 - 4 ) ( 1 5 ) ( 1 - 6 ) ( 1 7 ) 1 3p a r e t o 分布 所以有 a ( 可) = f ，( 秒) = p ，( x ( e 可一入) ) = 厶( e 一入) e 掣 p 所p a l n ( x + a ) 一e x p ( 1 na ，口) 同理可以得到 引理1 2 引理1 3 引理1 4 引理1 5 证明 ： = = ：一 ( a + ( e y a ) ) ( 口+ 1 ) = o a 口e o v ：o e - o ( u i n a ) 入( x + a ) 一b a t e ( o ，1 ) ； ( x + a ) 七一p a r e t o ( ) ，鼍) ； q ( x + 入) 一p a r e t o ( a ) ，0 ) 。 2 0 1 n 半一x 2 ( 2 ) 由引理1 4 知y = 半一p a r e t o ( 1 ，0 ) 相应的密度函数为 a ( 记z = 2 口l n y 的分布密度函数为 厶( z ) 一 簦1 簦 0 z 0 ( 1 - 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 与x 2 分布的密度函数比较可知z = 2 0i n - 学一x 2 ( 2 ) 根据x 2 分布的加法再生性，直 接可得至u p a r e t o 分布的抽样分布定理。 定理1 1若墨，x 2 i d e n t i c a ld i s t r i b u t i o n ) 样本， ，是来自总体p a r e t o ( a ，6 ) 的独立同分布( i n d e p e n d e n t 则 y 硼喜h 半碘礼， 一4 第一章引言 李海芬2 0 0 4 1 4 1 、南新艳2 0 0 5 i s 分别研究了单个p a r e t o 总体及p a r e t o 分布族的统计性 质，对于单个总体的数据分析的方法已经发展非常成熟，这里不在赘述。 1 4 本文主要工作 由于混合分布模型已经成为分析复杂现象的一个重要工具，并在生物、医学、环 境科学以及工程等领域有广泛的应用。p a r e t o 分布在应用中也会经常会遇到混合分布 情况，特别是两元p a r e t o 分布，s i n g p u r w a l l a ( 1 9 8 6 ) 3 等在这方面都做了深入的研究。 尤其p a r e t o 分布由于厚尾的特点，近年被广泛应用于极值理论进行金融风险度量，在 应用模型时，估计超量损失分布的渐近帕累托分布的参数值，是得到较精确v a r 值的关 键。本文主要针对这个问题，选择广义p a r e t o 分布中参数口= 1 的分布进行研究，首先 研究混合p a r e t o 分布的一些性质，其次给出估计混合p a r e t o 分布参数估计的方法，最 后针对这种混合分布给出假设检验的方法。本文结构如下 第一章介绍p a r e t o 分布的发展和研究现状，分析常用的p a r e t o 分布的统计性质。 第二章介绍混合p a r e t o 分布的发展背景和研究现状，分析其广泛应用的原因。研 究了混合p a r e t o 分布的一些统计性质，包括总体矩、密度函数、分布函数等。 第三章首先介绍了混合p a r e t o 分布适用背景，分析了在不同应用领域，其参数估 计的重要性。其次分别用矩法估计、极大似然估计给出不同情况下混合p a r e t o 分布的参 数估计。由于在极大似然估计中，传统解法实践起来比较困难，所以我们利用e m 算法 之e c m 算法得出参数估计。并通过模拟计算，说明该方法行之有效。 第四章介绍了关于混合p a r e t o 分布进行假设检验的x 2 检验法和检验法。 在论文的最后部分，提出有待解决的问题。 5 第二章混合p a r e t o 分布 2 1 背景 在上一章的文献综述中我们已经大致了解了p a r e t o 分布族的发展历史。但随着 社会的不断发展，科学技术的不断进步，人们对于问题的认识越发深入，要求也 在不断提高。如何在大量的数据中发现有用的信息，模式和知识成为焦点问题。 传统的单一分布，已经很难有效的解决这些问题。为此有人提出混合分布模型，该 模型作为模拟观察数据的有效工具，可追溯至u 1 9 8 4 年。但随着计算机和统计技术的 发展，混合分布模型已经成为分析复杂现象的一个重要工具，并在生物、医学、环 境科学以及工程等领域有广泛的应用。由于对于单个总体p a r e t o 分布的数据分析的 方法已经发展非常成熟。在应用中经常会遇到混合分布情况，特别是两元p a r e t o 分 布，s i n g p u r w a u a ( 1 9 8 6 ) a 等在这方面都做了深入的研究。尤其p a r e t o 分布由于厚尾的 特点，近年被广泛应用于极值理论进行金融风险度量，在应用p a r e t o 模型时，估计超 量损失分布的渐近帕累托分布的参数值，是得到较精确v a r 值的关键。本节主要针对这 个问题，首先研究混合p a r e t o 分布的一些性质，并讨论其统计特征。 2 2 混合p a r e t o 分布 设随机变量五一p a r e t o ( a l ，i = 1 ，2 其密度函数分别为 ( z ) = 0 1 入：1 ( 入l + z ) 一( 0 1 + 1 ) 厶( z ) = 如入争( 入2 + z ) 一( 0 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) 且x l 与恐相互独立，若随机变量x 以概率p 来自分布p 1 ( z ) ，以概率1 一p 来自沈( z ) ，则x 的 密度函数可表示为 f ( x ) = p f l ( x ) + ( 1 一p ) f 2 ( x ) ( 2 - 2 ) 称为两个p a r e t o 分布的混合分布 2 3 混合p a r e t o 分布的性质 性质1 如( 2 2 ) 的混合p a r e t o 分布的数学期望为： 牡= p 百2 a 1 + ( 1 - p ) 警2 2 6 ( 2 - 3 ) 第二章混合p a r e t o 分布 o o o o o n o o o h i s t o g r a mo fx o1 02 03 04 0 x 图禾lp a r e t o ( 2 ，8 ) ，p a r e t o ( 3 ，i i ) ，p = 0 6 分布直方图 证明：设l 一 ；已一厶；毒一 则 ，十 e ( 专) = z 函 i ( z ) + ( 1 一p ) 厶l ( z ) d z - ，o ：p 厂佃z 九( z ) 如+ ( 1 一p ) 厂佃 j oj o = p e ( i ) + ( 1 一p ) e ( 已) = p 百2 a i ”刊等 性质2 如( 2 2 ) 的混合p a r e t o 分布的方差为： 眯) = p 番 + ( 1 一矿筹一狮叫丽4 a i a 2 7 z 厶( z ) 如 刊蒜 一( 1 - p ) 2 等 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) 2 4 混合p a r e t o 分布的分布函数 证明：设l f u ；已一厶i ；专一五则 d ( ) = e ( 2 ) 一e 2 ( 荨) ，十 e ( 2 ) = x 2 ( p ，1 t ( z ) + ( 1 一p ) 厶t ( z ) ) 如 j 0 e ( 2 ) = p 2 e ( 2 1 ) + ( 1 一p ) 2 e ( 器) = p 2 糍等1 + ( 1 刊鳄( p l 一) 。、。 川 2 2 旭( 2 + 0 2 ) e ；( 0 2 1 ) 帮百4 a 1 2 一狮刊丽4 ) 1 k 2 _ ( 1 刊2 髻 2 4 混合p a r e t o 分布的分布函数 由于随机变量取值的不确定性，要完整的研究其特征，探求随机现象客观存在的 规律性，对分布函数的研究是有必要的。对于密度函数为( 2 - 2 ) 的混合p a r e t o 分布 ，z f ( x ) = ( p 0 1 a ；( 入1 + t ) 一( 口，+ 1 ) + ( 1 一p ) 日2 入! z ( a 2 + t ) 一( 0 2 + 1 ) 班 j 0 p 正 ， = p 0 1 a ：1 ( 入1 十亡) 一( 口l + 1 ) d r + ( 1 一p ) 如- 。0 2 、a 2 + t ) 一( 0 2 + 1 ) d t j 0j 0 p ( 1 - d i 瓮 可) 巩) + ( 1 一p ) ( 1 一刁) 如) 8 一 ( 2 - 6 ) 第三章混合p a r e t o 分布的参数估计 第三章混合p a r e t o 分布的参数估计 3 d 1 背景 混合模型的参数估计，主要有矩法估计和极大似然估计。p e a r s o n 是最早考虑混合 模型的估计问题，1 8 9 4 年他利用具有两个混合元的正态混合模型，对一组数据进行拟 合，经过相当大的代数运算后，给出了所有参数的矩估计。但这种方法计算量太大且 太烦琐，所以该问题的进一步发展受到很大局限。到了1 9 7 2 年t a n 和r o b e r s o n 6 开始用 极大似然估计法，对混合模型进行研究，并证明极大似然法比矩估计法好的多。随 着计算机的广泛应用这种优势就越发明显。目前基于混合模型参数估计的主要方法 有( a ) 期望极大化算法( e m ) ，这也是本文主要介绍的方法。( b ) m a r k o v 链m o n t e rc a r l o 算 法( m c m c ) 。当然这两种方法都有不足。首先得到的解都是局部最优解，矩法估计 计算量太大，精度不够高；而极大似然估计的缺点是只能在混合元个数已知的假定 下，对参数进行估计，否则则无法给出估计。这也是有待解决的问题。 3 2 参数的矩法估计 设置，恐，k 为来自混合p a r e t o 分布( 2 - 2 ) 的简单随机样本，其样本均值与方差为 瘩 = 石1e ：l 甄 = 击墨。( 戤一贾) 2 1 两总体的参数良，己知，估计参数p 。 利用样本均值2 作为数学期望的估计有 得到 x = e ( x ) = p 百2 a i + ( 1 刊等 2 p 百+ 【1 - p j 百 p 1 如牙一2 8 1 a 2 p 2 2 2 6 2 a 1 - - 2 l ；) 1a 2 ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 2 若已知一个总体的参数及p ，估计另一个总体的参数。譬如已知口1 ，入l 来估计0 2 ，入2 。这 种情况有两个参数需要估计，由矩估计的思想，用样本均值牙作为总体均值e ( x ) 的估 一9 3 2 参数的矩法估计 计，样本方差s 2 作为总体方差d ( ) 的估计，建立方程组 即 等价于 解得 其中 又= p 等+ ( 1 _ p ) 等 铲= 尸百嵩b + ( 1 一p ) 万 - - p 2 4 好- 2 1 0 ( 1 一p ) 褙一( 1 - p ) 2 一p ) 血0 2 = 牙一p 鲁 - p ) ( 1 一p ) 茄岛一( 1 - p ) 2 管 s 2 一尸万嵩b + p 2 等+ 2 p ( 1 一p ) 等努 佳 ，u ：翁 【w = s 2 一p 茄禺+ p 2 等+ 2 p ( 1 一p ) 锴 ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) 若p 也是未知的，由上解法可知如，入2 的估计与p 有关。故可以用最小二乘法。即 求在( 0 ，1 ) 区间使 陋t - p ( 8 l 入：1 ( 入1 + z ) 一p 1 + 1 ) 一( 1 - - p ) ( 8 2 ) 2 “( 入2 + z ) 一池+ 1 ) 】2 i - - - - 1 达到最小的p 。 1 0 x x e d = k 孟 9 ，ij l l _ 、 第三章混合p a r e t o 分布的参数估计 若五个参数均未知，依据矩估计思想用样本矩作为总体矩的估计 e 1 。纠等 3 3 参数的极大似然估计一e m 算法 ( 3 - 9 ) d e m p e s t e r ，l a i r d i 和r u b i n ( 1 9 7 7 ) 7 1 提出了e m 算法的思想，极大地简化了极大似然估 计的计算。e m 算法的最大优点是简单和稳定。部分文献已经尝试用e m 算法来估计混 合分布问题。参见q u a n d t 和r a m s e y i s ( 1 9 7 8 ) f o l k e s ( 1 9 7 9 ，a i t k i n 乘l w i l s o n ( 1 9 8 0 ) g 有这 个领域的最新成果和许多参考文献。对于混合指数分布参见( 如m e n d e n h a l l 和h a d e r ， 1 9 5 8 ；以及t a l l i s 和l i g h t ，1 9 6 8 ：朱利平，卢一强) ，茆诗松2 0 0 5 1 0 1 ) 。e m 算法是一种统 计计算方法，在茆诗松，王静龙，濮小龙编著的高等数理统计【1 1 j 中有详尽的描 述，有完善的理论保证。这里不再赘述。本节内容就利用e m 算法之e c m 算法对两参数 混合p a r e t o 分布的参数进行了估计，并给出模拟。 3 3 1 完全数据下的参数估计 仍然已( 2 2 ) 的混合双参数p a r e t o 分布为例，其密度函数为 ( x ) = 卅1 a 2 1 ( a 1 + z ) 一( 0 1 + i + ( 1 一p ) 如入字( 入2 + z ) 一( 0 2 + 1 ) 0 0 那么在原假设成立时，分布是单个总体的p n r e t d 分 布。这时检验统计量 4 1 x 2 = - 2 i n u 一x 2 ( 2 ( r 一2 ) ) ( 4 - 2 ) - 1 8 第四章混合p a r e t o 分布的假设检验 或者 r - 1 x 2 = - 2 i n v i x 2 ( 2 p 一2 ) ) x z = ，一x z ( 2 ( r 一2 ) ) t = 2 给定显著水平q 后，拒绝域为： x 2 x 鸯( 2 ( r 一2 ) ) 或x 2 碡( 2 ( r 一2 ) ) 4 2 混合p a r e t o 分布的u 检验法 ( 4 - 3 ) 哇p a r e t o 分布的抽样分布定理，若墨，恐，k 是来自总体p a r e t o ( a ，口) 的独立同 分布( i n d e p e n d e n t 样本，则 啻n 竿村m ) 所以检验统计量可选x 2 = 2 0 ：1i n 等# 但是由于在经济问题的研究中，样本容量他 往往比较大，通过查x 2 的分位点表无法得到x 苎的值根据中心极限定理可知，当x 2 分 布的自由度充分大以后，它趋于正态分布由于e ( x 2 ( 2 n ) ) = 2 nd ( x 2 ( 2 仡) ) = 4 n 所 以 堕鼍磐一( 0 ，1 ) 2 、历 r 7 给定显著水平q 后，拒绝域为： t 喜h 竿华或喜，n 竿华， 4 3 应用举例 以霍萨克、波拉德和策恩维茨著非寿险精算基础【1 3 l 一书中第五章第九节数据 为例采用x 2 检验法进行检验表垂1 给出了1 0 0 ，0 0 0 份机动车辆的综合保单索赔次数 根据以上x 2 检验方法，取检验统计量为 f 一1 x 2 = 一2 l n 地n = 1 0 0 ，0 0 0 ； i = 2 1 9 4 3 应用举例 索赔次数观察到的保单数 i o 8 8 5 8 5 11 0 5 7 7 27 7 9 35 4 44 51 6 总数 1 0 0 ，0 0 0