（控制理论与控制工程专业论文）精确反馈线性化在舵鳍联合控制上的应用.pdf

摘要 本文选择用状态反馈精确线性化方法，将响应型船舶运动的非线性数学模型 进行线性化，再利用基于闭环增益成形算法的鲁棒控制器进行控制。 本文分成两部分，首先使用状态反馈精确线性化方法把单输入单输出( s i s o ) 系统的非线性船舶数学模型进行线性化。本文根据先验知识，用具有工程意义的 带宽频率、高频渐近线斜率、最大奇异值和频谱峰值四个参数构造了闭环系统的 传递函数阵，给出了s i s o 系统的闭环增益成形算法，再利用基于闭环增益成形算 法的鲁棒控制器进行控制。研究并建立风浪干扰的非线性模型，通过编写s 函数 来实现之。把它们加入到非线性模型中，以提高仿真的可信度。运用s i m u l i n k - r 具箱得出加风浪后系统的输出曲线，通过观察输出曲线，可以看到航向保持很理 想，仿真结果表明，所设计的控制器对单输入单输出( s i s o ) 系统具有良好的鲁棒 性能。 然后再使用状态反馈精确线性化方法对多输入多输出系统的非线性船舶数学 模型进行线性化，再利用基于闭环增益成形算法的鲁棒控制器进行控制，运用 s i m u l i n k 工具箱进行仿真，给出了初步的研究结果。 关键词：闭环增益成形；船舶非线性模型；状态反馈精确线性化；舵鳍联合控制； 鲁棒控制 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h en o n l i n e a rm a t h e m a t i cm o d e lf o rs h i p sw a sl i n e a r i z e dv i ae x a c t f e e d b a c kl i n e a r i z a t i o n , a n dt h e nt h er o b u s tc o n t r o l l e rb a s e do nc l o s e d - l o o pg a i ns h a p i n g a l g o r i t h mc o n t r o l l e dt h em o d e lf o rs h i p s t 1 1 i sp a p e rw a sd i v i d e di n t ot w o p a r t s f i r s t l y t h en o n l i n e a rm a t h e m a t i cm o d e lf o r s h i p sf o rs i n g l ei n p u ts i n g l eo u t p u ts y s t e m ( s i s o ) w a sl h i e a r i z e dv i ae x a c tf e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n c l o s e d - l o o pg a i ns h a p i n ga l g o r i t h mf o rs i s os y s t e mw a sp r e s e n t e db y c o n s t r u c t i n gt h et r a n s f e rf i m e t i o nm a t r i xo ft h ec l o s e d - l o o ps y s t e ma c c o r d i n gt ot h e k n o w l e d g eap r i o r i ，w h i c hu s e df o u rp a r a m e t e r sw i t he n g i n e e r i n gs e n s es u c ha s b a n d w i d t hf r e q u e n c y ，h i g hf r e q u e n c ya s y m p t o t es l o p e ，t h el a r g e s ts i n g u l a rv a l u ea n dt h e p e a kv a l u eo ft h ec l o s e d - l o o pf r e q u e n c ys p e c t r u m ，a n dt h e nt h er o b u s tc o n t r o l l e rb a s e d o nc l o s e d - l o o pg a i ns h a p i n ga l g o r i t h mc o n t r o l l e dt h em o d e lf o rs h i p s i no r d e rt o e n h a n c et h er e l i a b i l i t yo ft h es i m u l a t i o n , t h ew i n da n dw a v em o d e lw e r ea d d e dt ot h e n o n l i n e a rs y s t e m u n d e rt h es i m u l i n kc o n d i t i o na n dd i da sm a n ya sp o s s i b l er e s e a r c h e s a b o u tv a r i o u ss e as t a t e s ，t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ec o n t r o l l e rb a s e do n c l o s e d - l o o pg a i ns h a p i n gh a sg o o dp e r f o r m a n c et ot h en o n l i n e a rm a t h e m a t i cm o d e l s e c o n d l y , t h en o n l i n e a rm a t h e m a t i cm o d e lf o rs h i p sf o rm i m os y s t e mw a s l i n e a r i z e dv i ae x a c tf e e d b a c kl i n e a r i z a t i o n , a n dt h e nt h er o b u s tc o n t r o l l e rb a s e do l l d o s e d - l o o pg a i ns h a p i n ga l g o r i t h m c o n t r o l l e dt h em o d e lf o rs h i p s 皿ep r i m a r y r e s e a r c hr e s u l th a sb e e no b t a i n e d ， k e yw o r d s ：e l u s e d - l a o pg a i ns h a p i n g ；n o n e a rm a t h e m a t i cm o d e lf o rs h i p s ； r o b u s tc o n t r o l ；e x a c tf e e d b a c kl i n e a r i z a t i o n ；r o b u s t ；r u d d e r f i nj o i n tc o n t r o l 引言 1 研究课题的提出 船舶在大海中航行，经常受到风、浪、流等外界环境条件的干扰，因此会使船舶偏 离航向和航道以及产生横向摇摆。这不仅会使旅客旅行感到不适，而且也会增加航程， 延长航行时间，增加燃料损失。对军舰来说，还会影响战斗力。因此，分别采用自动舵 和减摇鳍控制系统来保持船舶航向和减少船舶横向摇摆已成为广大用户所接受。目前常 规的自动舵和减摇鳍的设计是基于单输入单输出控制系统的思想而分别独立完成的。实 际上，船舶是一个六自由度的运动体，它的各个自由度的运动相互之问是有关联的、是 耦合的，有必要从整体上考虑，采用多输入多输出控制系统来综合优化系统设计的目标。 而在最近几年，国内外多数的船舶自动舵和减摇鳍的设计都采用的是线性模型，因 而忽略了船舶操纵运动的非线性因素，因此都未能彻底解决船舶的控制的问题。这样， 依靠传统方法设计的控制器的不足口益显露出来，在客观上提出了发展精度更高的、更 完善的、适应性更强的控制方法的要求，而非线性控制理论和计算机技术的发展，使这 种要求变为现实并成为可能。 h 。鲁棒控制理论 1 - 2 9 经过二十多年的发展，已经取得了大量引人瞩目的研究成果， 但是仍然存在着制约其向实际工程应用方向的发展的因素，其中最主要的一点就是权函 数选择困难，需要艰深的数学基础和大量的实践经验，在使用上为初学者带来相当的困 难。 闭环增益成形算法阻”1 是在利用也鲁棒控制理论框架下提出的，它避免了权函数的 选择而对系统进行闭环增益成形，其核心是确定闭环系统传递函数即，的最后希望的形 状，用闭环系统具有工程意义的r 的最大奇异值、带宽频率、关门斜率及闭环频谱峰值 四大参数直接构造出鲁棒控制器。利用凡鲁棒控制理论混合灵敏度算法的结果( 即s 和，的形状) ，用构造方法设计出鲁棒控制器，所用参数都是具有工程意义的，可以说 是一种简化的h 。鲁棒控制算法。该算法的优点是设计过程简单，物理意义明显。 状态反馈精确线性化 3 4 - 5 3 1 是应用微分几何的原理和方法，它与传统的利用泰勒展开 进行局部线性化近似方法不同之处在于其线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项； i 习此这种线性化不仅是精确的，而且是整体的，即线性化对变换有定义的整个区域都适 用。 2 国内外在精确反馈线性化方面所作的工作 国内外也有人利用非线性模型做了一些关于船舶控制的研究。在研究精确反馈线性 化方面有很多人在做，由中国科技期刊数据库检索可知，从1 9 9 4 年至2 0 0 5 年的1 2 年 间共有1 3 3 篇论文在各种期刊上发表。他们在不同的领域内对此进行了研究，但是把这 种理论应用在船舶控制上的比较少，有人曾经做过其在航向自动舵上的应用，选择状态 反馈精确线性化方法，将响应型船舶运动非线性数学模型【5 4 侧进行线性化，但是用的是 基于线性最优控制方法设计的控制器，只对名义模型好用，摄动模型的控制效果不理想。 而在舵鳍联合的控制方面 6 1 - 6 3 】，由中国科技期刊数据库检索可知，从1 9 9 4 年至2 0 0 5 年 的1 2 年期间共有7 篇论文发表在系统仿真学报、计算机仿真等7 种刊物上。国 外研究精确反馈线性化理论及应用的较多，但将精确反馈线性化方法与鲁棒控制相结合 并应用于船舶运动控制上未见报道。 3 文件检索及阅读情况 在过去的一年半的时间，查阅了大量相关文献，包括相关方向的参考书，往届博、 硕士论文以及通过网上搜索到的期刊杂志上的论文，同时还修了一些相关课程一控制系 统建模与数字仿真、船舶运动数学模型、非线性控制理论和h 。鲁棒控制理论等。 4 研究的主要内容 1 对单输入单输出( s i s o ) 系统进行研究 ( 1 ) 运用闭环增益成形算法的设计简单、物理意义明显的优点，设计出控制器。 ( 2 ) 研究船舶航向自动舵的非线性模型，以便验证精确反馈线性化在单输入单 输出( s i s o ) 非线性系统上的应用。 ( 3 ) 通过精确反馈线性化把非线性数学模型进行线性化。 ( 4 ) 研究并建立风的非线性数学模型，通过编写s 函数来实现。 ( 5 ) 研究并建立海浪的非线性数学模型，通过编写s 函数来实现。 ( 6 ) 将完整的风浪干扰模型加入到系统中去，使仿真的可信度提高。 ( 7 ) 用m a t l a b 中的s i m u l i n k 工具箱进行仿真控制，得出仿真结果。 ( 8 ) 分析结果，判断控制效果。 2 对多输入多输出( m i m o ) 系统进行研究 ( i ) 闭环增益成形算法设计出控制器。 ( 2 ) 研究船舶舵鳍的非线性模型，以便验证精确反馈线性化在多输入多输出 ( m i m o ) 非线性系统上的应用。 ( 3 ) 通过精确反馈线性化把非线性数学模型进行线性化。 ( 4 ) 用m a t l a b 中的s i m u l i n k 工具箱进行仿真控制，得出仿真结果。 ( 5 ) 分析结果，判断控制效果。 第1 章基础理论 1 1 h 。鲁棒控制理论 11 1h 。鲁棒控制理论的概念和实质 k 鲁棒控制理论是在h 。空间( 即h a r d y 空间，取第一个字母简记) 通过某些 性能指标的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。 k 空间 是在开右半平面解析且有界的矩阵函数空间，其范数定义为 i m ，= s u pj f ( s ) 】= s u p 口 f ( s ) 】 r b f s 、 0蚝r 即矩阵函数月s 1 在开右半平面的最大奇异值的上界。范数的物理意义是它代表 系统获得的最大能量增益，而比鲁棒控制理论的实质是为多输入多输( m i m o ) 且具有模型摄动的系统提供了一种频域的鲁棒控制器设计方法。也鲁棒控制理论 很好地解决了常规频域理论不适于m i m o 系统设计及l q g ( 线性二次高斯) 理论不 适于模型摄动情况的两个难题，其计算复杂的缺点已因计算机技术的飞速发展及 标准的软件开发工具箱的出现得到克服，故近十年来已成为控制理论的一个热点 研究领域，并取得大量的实际应用成果。凰鲁棒控制理论的演绎需要艰深的数学 基础，在它的发展历史中吸引了众多的数学家开展了创造性的工作，故而使得这 种控制理论以其严谨和普适的风格形成控制论的一个独特的分枝。 凰控制理论的重要特性来自小增益理论的应用。所谓小增益理论，就是如果 0 l 忆，即对所有的稳定的且恻i 。 1 y 的4 ，图1 1 所示的系统是稳定的。其 中：z 为从w 到z 的闭环传递函数；p 置，4 分别表示广义被控对象、控制器及 模型摄动；w 是外部输入信号，包括指令( 参考) 信号，干扰和传感噪声；y 为量测 输出；“是控制器输出；z 为受控输出。 图1 1h 。控制标准问题框图 f i g1 1 h , c o n t r o ls t a n d a r d sb l o c kd i a g r a m 4 h 。鲁棒控制理论解决了模型具有不确定性或摄动的一类系统的鲁棒控制问 题。l q g 控制只考虑了优化输出误差及限制控制器动作，而没有考虑模型摄动。 模型不确定性是指模型和实际过程之间的误差，它是由参数变化、被忽略的动态 或其他未定义影响引起的。不确定性可作为外部输入或作为摄动加到名义模型上。 1 1 2 h 。控制的混合灵敏度问题 比控制的混合灵敏度问题系统方框图如图1 2 所示，其中，分别是 为了抑制干扰、限制控制量、改善系统性能而加的三个权函数。 图1 2h 。混合灵敏度问题系统方框图 f i g1 2 h o oc o m p e n s a t o r ys e n s i t i v es y s t e mb l o c kd i a g r a m 将图1 ，2 所示的瓦混合灵敏度问题转换成心标准问题，可得： 其中广义对象 ； = z l z 2 z 3 y 荆= 匮外 = 稍 暇：一m g 0 ： 0 ：g _ t _ 二石一 岛 一 墨一q 巩 一q q r，l 一占一d一 虬 为，1 姗 附 为 问 函 空 传 态 环 状 闭 其 则 啪嘲。瑚m 潮h 灯耻墨 1 丁j 其中：s 为灵敏度函数( s e n s i t i v i t yf t m c t i o n ) ，定义式是 s = ，+ g k 。1 r 为补灵敏度函数( c o m p l e m e n t a r ys e n s i t i v i t yf i m c t i o n ) ，定义式是 t = i - - s = g k j + g k 。1 求解l k 控制器就是优化0 只“。，即寻找一个控制律置满足 警0 忆= y 。；0 疋忆c y ( ，y 。) 不失一般性，取y = 1 ，则s k s f f 混合灵敏度如优化问题表述为 。卜盎0 嚣r e l i 摆+ g k - 1 孔j 吲s ， 应让s - - - 1 ，加权因子0 ) 即用于实现此要求，总的要保证0 彬剐。 1 ，c r ( k g ) 1 ，o - 皤) 1 系统有好的鲁棒稳定性及好的传感器噪声衰减，要求在高频( ，叫内 仃( g 置) 1 ，口( 眉g ) 1 ，盯( 置) m 其中肘为不太大的数。 ( 1 ) 回路成形皿0 0 ps h a p n 培) 概念：回路成形控制器设计包括找到一个控制器k 使开环传函阵三成为一个使开环增益堡犯) 和口) 在低频区域满足性能要求，在 高频区域满足鲁棒稳定性要求的形状。它的本质是通过选择权函数改善开环奇异 值频率特性曲线以实现系统的闭环性能，并在鲁棒性能指标和鲁棒稳定性之间进 行折衷。希挚的开环增益图一般如图1 4 所示。 对于s i s o 系统，回路成形设计方法非常有效，且j ) = o - ( 工) = h ( 2 ) s i s o 回路成形设计步骤： i 寻找一个有理的严格真的传函厶且三包含g 所有右半平面极点和零点并 使回路按上述成形。三还应该使1 + 三的所有零点都在开左半平面，选三在 弋 心础， j 心j 。 。，淤一蛔 f i g1 4 w i s h f u lo p e n e d - l o o pg a i ns h a p ef i g l l ( j 别* 1 附近不要降得太快即可满足此项要求a i i 控制器由j _ 上，g 式给出。 ( 3 ) 回路成形战设计步骤( l s d p ) i 对开环对象进行回路成形满足各种性能指标的要求 利用前向补偿器矾和或后向补偿器，使成形标称对象的奇异值得到期望 的开环形状，也就是在一定频率范围内，保证低频高增益、高频低增益的奇异值 特性。标称对象g 和成形函数矾，结合构成成形对象g = g 矾，通过选择 合适的矾和，保证仗不包含隐藏模态( 也就是设计过程保证，观，g 之间 不存在零、极点对消现象) 。 i i 基于成形对象g = g 啊设计凰控制器以保证鲁棒稳定性的要求 c 黼t 娃豳矿由刈扣扛可面c e = 厨j 1 藏并有露，厨i 1 + 藏敕1 = j ，如果s 一 1j5 “l - 1 ，t * 1 ，以保证设计的控制器对低频干 扰不敏感且具有很好的信号跟踪能力。 在高频范围应有陋( ，) i “1 j s “1 ，t “l ，以保证设计的控制器具有良好的 高频干扰抑制能力。 但回路成形算法在陋( j ) i “1 的从低频到高频的穿越区域不能推出关于s 和r 的任何信息，如果三( ，神接近于- 1 ，i 刮和| 卅可能有很大的峰值。 采用战控制的混合灵敏度控制策略可直接对闭环传递函数( 如s 和r ) 进行增益 成形，这是一个如优化问题，由于设计中需要选择权函数，设计者不得不进行反 复迭代和大量的演算以积累实际经验，无捷径可走，故称权函数的选择方法和参 数调整是一门艺术。 这里介绍一种能够避免权函数的选择的控制算法，即闭环增益成形控制算法。 该算法的核心是确定闭环系统传递函数即丁的最终希望的形状，不加任何权函数， 直接设计出世。由于，和s 的相关性，r 的形状确定，s 的形状随之确定，从而能 保证设计出的控制器具有良好的鲁棒性能和鲁棒稳定性。 观察图1 5 所示的典型的s & t 的奇异值曲线，为了系统的鲁棒稳定，要求系统 闭环频谱为低通的，且最大奇异值为1 以保证无静差地跟踪参考信号n 系统的带 宽频率决定了系统的控制性能；而频谱的关门斜率决定了系统对有效频带以外的 干扰频率的敏感程度，斜率越太，干扰衰减越大，即对干扰的影响不敏感，可增 强系统的鲁棒性能，但如关门斜率取得太大，设计出的控制器阶数增高，不利于 控制器的实现且控制效果改善也不明显。一般地，关门斜率取2 0 d b d e c 、- 4 0 d b d e e 和一6 0 d b d e c 。 1 2 1s i s 0 系统的闭环成形增益控制算法 设闭环系统的带宽频率为1 i 1 ( 严格说应为交接频率，本文为分析方便，将交 接频率近似为带宽频率) ，下面分别以关门频率( 或称高频渐近线斜率) 取2 0 d b d e c 、 - 4 0 d b d e c 和6 0 r i b d e e 三种情况为例，求取图1 6 所示标准反馈结构图的闭环增益 成形控制器。 2 0 0 直2 0 7 4 0 一6 0 - 8 0 美门斜率 ， f r e q u e n c y - r a d s e c 图1 5 典型的s & t 奇异值曲线 f i g1 5t y p i c a ls & ts i n g u l a rv a l u ec u r v e 图1 6 标准反馈结构图 f i g1 6s t a n d a r df e e d b a c ks t r u c t u r a ld i a g r a m ( 1 ) 系统的闭环传函频谱的关门频率取- 2 0 r i b d e c 时的控制器设计。t 的奇异值 曲线可近似表示为最大奇异值为1 的一阶惯性系统的频谱曲线，则 1g 世 r , s + i 1 + g k g k ( t l s + 1 1 = 1 + g k ( 1 1 ) k ：上 g z s 从足的表达式形式可以看出，如果g 不含积分项，丘则含有积分项，保证整 个系统能够消除静差。 ( 2 ) 系统的闭环传函频谱的关门斜率取- 4 0 d b d e c 时的控制器设计。r 的奇异值 曲线可近似表示为最大奇异值为1 的二阶惯性系统的频谱曲线，它与典型的振荡 环节相比，相当于阻尼系数为l 的情况，从而保证了，的频谱没有峰值，则 1g 臣 佤s + 1 ) 2 1 + g k g k ( r , 2 s 2 + 2 正j + 1 ) = 1 + g k ( 1 2 ) k = - 一 g 2 五s ( 寻s + 1 ) ( 3 ) 系统的闭环传函频谱的关门斜率取6 0 d b d e c 时的控制器设计。r 的奇异值 曲线可近似表示为最大奇异值为1 的三阶惯性系统的频谱曲线，则 1g k ( 五j + 1 ) 3 i + g k ( 1 3 ) 肛面秽蒜 通过分析以上这三种情况可知，按实际的闭环系统性能确定带宽频率1 1 1 1 后， 闭环增益成形控制算法设计出的控制器只取决于被控对象g ，该算法事先选定了灵 敏度函数s 和补灵敏度函数r 的形状，从而保证了系统的鲁棒性能和鲁棒稳定性。 1 2 2m i m o 系统的闭环增益成形控制算法 对于一个信号跟踪问题，从输入到输出的系统的闭环传递函数阵实际上就是 补灵敏度矩阵 g k ( i + g k ) 。r ( 1 4 ) k = g 1 ( i 一丁) 。1 t 对于g 为方阵的m i m o 系统，可设，的非对角线元素为零、对角线元素为具 有最大奇异值为1 的一阶、二阶或三阶惯性环节，而对于输入和输出变量个数不 等的m i m o 控制系统，情况则较为复杂。 对于一个双入双出的系统，设r 的非对角线元素为0 而对角线元素具有最大 奇异值为1 的一阶惯性环节，则r 阵的形式如下 l o r = l 正l s + 1 1 1 ( 1 5 ) i o t 2 s + 1 j 即认为两个输入输出通道彼此完全解耦。 1 3 状态反馈精确化线性设计的设计原理 13 1 非线性仿射系统 通常非线性时不变系统，可由下面的微分方程组描述 x ( t ) = ，( x ( r ) ，“( f ) ) ( 1 6 ) y ( f ) = ( x ( f ) ) 式中x = i x 。，x ：，以】r “为状态向量，“= k 。，“：，郎r r 为控制向量， y = b 。，y ：，r r “为输出向量，( x ( f ) ，“( f ) ) 为其变量的光滑的口维向量函数， ( x ( f ) ) 为其变量的光滑的1 1 1 维向量函数。方程组称为非线性系统的状态空间描述， 其中，第一个方程称为状态方程，第二个方程称为输出方程。 在工程实际中，很多类的非线性系统具有如下形式 x ( f ) = ，( x ( f ) ) + g ( x ( f ) ( f ) ( 1 7 ) y ( f ) = 而( x ( f ) ) 式中厂( x ( f ) ) 为状态变量的n 维光滑向量函数，g ( x ( f ) ) = k ( z ) ，g ：( 曲，g p ( x ) 】， 其中g l ( 柚也是状态变量的1 1 维光滑向量函数。这种类型的非线性系统的特点是： 它对于状态变量x ( t ) 是非线性的，但对于控制量峨( f ) 却是线性关系，我们把形如 方程组所描述的非线性系统称为仿射非线性系统。 13 2 非线性系统的坐标变换与微分同胚 变换是处理问题时常用的一种手段，它可以将复杂的问题简单化或者正规标 准化。线性系统中的坐标变换可将其方程变换成各种正规型，如能控标准型、能 观标准型等。而对于非线性系统而言，非线性的坐标变换则往往是解决问题的关 键。 非线性坐标变换可表示为 z = p ( ( 1 8 ) 式中z 和z 是同维向量，为非线性函数向量，可展开成 z l = 纯( x l ，屯，x 。) z 2 = 妒2 ( x l ，x 2 ，x 。) ( 1 9 ) z 。：吼( x l ，x 2 ，z 。) 要使式( 1 7 ) 或式( 1 8 ) 成为非线性坐标变换，首先式( 1 7 ) 和式( 1 8 ) 的 逆变换必须存在并且是单值的，即有 x = 妒1 ( z ) 其次妒( x ) 与p - 1 ( z ) 皆为光滑函数，即他们的任意阶偏导数都是存在的。以上的两 个条件中，第一个为可逆条件，第二个为可微条件。如果这两个条件满足，那么 关系式z = 妒( 曲才是一个合格的坐标变换。该坐标变换表达式被称为两个坐标空间 之间的一个微分同胚。 13 3l i e 导数与l i e 括号 l i e 导数：给定一个z = k 一：，屯r 的标量函数五( 曲与一个向量场，( 砷，则 五( 砷对，( 的李导数三，见( 曲定义为 即( 加警，= 窆i = l 掣o x i 川 从这个定义可以看出，l i e 导数实际上是函数，( x ) 的梯度向量v 五( 曲 w 2 等_ 等，等，等 1 l i e 括号：给定两个一维向量场，( 和g ( x ) ，以【厂，g 或a c l ，g ( 曲表示的以下运算 i f , g 】= j ，g ( x ) = o g mf ( x ) 一鲁：g ( z ) 得到的新的向量场定义为向量场g ( 功对向量场，( x ) 的导数，也称为l i e 括号，其 中! a 窒x 和皇o x 分别表示向量场g ( 砷和b ) 的j a c o b i 距阵。 根据定义l i e 括号有如下重要性质： 性质1 【厂，g 】= 一k ，f 】 性质2 若c 。和c ：是实数，则 【厂，岛岛+ c z g ：b = q 【厂，g 。b + c ： 厂，g ：】( z ) 性质3 若p ( 曲是除g ( 砷和- r ( x ) 以外的第三个向量场，则 i f ，k ，p 卫+ p ，i f ，g + k ，l p ，口= 0 性质4 若，g 为向量场，丑( 砷为标量函数，则且( 功对向量场【厂，占】的l i e 导数 为 l t r ，9 1 2 ( x ) = l y l g 丑( 曲一l g l ，旯( 曲 以上这些关于l i e 导数与l i e 括号的运算及性质构成了一种代数运算，这种代数被 称为l i e 代数。 1 3 4 非线性系统的线型化标准型 1 单输入单输出非线性系统的相对阶与标准型 我们用r 来表示相对阶，它的含义是： 给出一个单输入、单输出的非线性系统 x ( f ) = ，( x ( f ) ) + g ( x ( f ) ( f ) ( 1 i 0 ) y ( f ) = ( x ( f ) ) 式中z r ”，“r 1 ，y r 1 ，( 与g ( x ) 均为向量场， ( 力为标量函数。若 输出函数 ( z ) 对向量场，k ( o sk r 一1 ) 阶l i e 导数再对向量场g 求l i e 导 数，在x = x o 的邻域内的值为零，即 三。l r ，- 1 ( x ) = 0 ( 对于所有在p 邻域内的x ) ( z ) 对，( 功的r 一1 阶l i e 导数再对g ( x ) 求l i e 导数，在x = x 0 邻域内的值不为 零，即 三。髟_ l ( x ) 0 则表示系统( 1 1 0 ) 在x o 的邻域中的相对阶为r 。 根据相对阶的大小，利用坐标变换将非线性系统( 1 1 0 ) 化为两种标准型。 第一标准型： 假设系统( 1 1 0 ) 的相对阶r = h ，根据定义有 三。l 。y h ( x ) = 三；l y h ( x ) = = 三z 巧n - 2 6 ( x ) = o ( 1 a d 三。巧1 ( 0 设由x 坐标空间到z 坐标空间的映射为z = ( x ) ，其中 z 1 = ( 屯，x 。) ( 1 1 2 ) 则有 ：，：型二 将式( 1 1 0 ) 代入得 ；。：旦掣m ) + _ a h ( x ) g ( 咖 o xm 根据l i e 导数的定义及式( 1 11 ) 有 z 2 = l ，h ( x ) 若令 z l = 上， ( 力= z 2 ( 1 1 3 ) 则有 z 2 = 巧 ( x ) + 三g l ，h ( x ) u 同样地，利用式( 1 1 1 ) 有 z 2 = 工2 ， ( x ) 以此类推，必有 z ，= 上。 ( 功= z ：。 ( 1 1 4 ) 直至 z = 三7 1 ( x ) = o ( 1 1 5 ) 因为r = h ，由式( 1 1 5 ) 再往下推，可得 z 。= 譬 ( x ) + 三巧1 h ( x ) u ( 1 1 6 ) 由式( 1 1 1 ) 可知 三；三7 1 ( x ) 0 故式( i 1 6 ) 又可写成 z 。= 口( 曲+ b ( x ) u 式中 口( 曲= 口 ( 力，6 ( x ) = l g z ) - 1 ( x ) 0 ( 1 1 7 ) 结合式( 1 1 3 ) 一式( 1 1 6 ) 所表达的内容，我们得到一个由x 到z 的坐标变换和一 个以新坐标系z 表示的系统，所选定的坐标变换为 毛= ( z ) ，z 2 = 三， ，= 。= 巧1 ( x ) ( 1 1 8 ) 可写成 z = 妒( x ) 由于，( x ) ，g ( x ) 和 ( x ) 均为光滑的，且式( 1 1 1 ) 成立，过z = 妒( x ) 是局部微分同 胚。这样，以新的坐标系：描述的动态系统为 z 1 = z 2 z 2 = z 3 z n l = z n z 。= a ( z ) + b ( z ) u y = z i 式中( z ) = a ( x ) i x _ 一1 ，6 ( z ) = 6 ( x l 一1 f 虮 第二标准型： 当相对阶， 1 ，则有 三啊( x ) = l g ：h ( 砷= 0 于是式( 1 ，3 0 ) 可写成 ：l = l , h 2 ( 砷= z 2 如此类推直至 z 一l2 z r t 相对阶向量的定义又说明，三。巧1 h ，( x ) 与三；：巧1 h ：( 曲至少有一个不为零， ：n = 哆 ，( 甸+ 三。三歹1 h 。( z ) “。+ 上。上广啊( x ) “： 同理可得 z r t + ，= z + f “，0 i 茎r 2 1 = n = 毛+ h = 巧 2 ( 功+ 三自骘h 2 ( 珈l + 三自骘h 2 ( 珈1 2 综上所述可得，当相对阶满足+ r 2 = n 时，在式( 1 2 9 ) 的坐标变换关系下， 转化为以下第一类标准型 z i = z z 1 12 ： z 一= 譬鱼( 功+ 工。三j - 1 h ( 曲+ 工。：弓4 h ( z ) “： z 1 + l = z 十2 柳 硼 坞q 轨絮 啊k 丐巧 删 如 m 导拼 柯 躲 獭 mk 呼k m扛 k 缸 。也 = 碜 州 i | z 篆 “ 翻h 儿 1 3 5 状态反馈精确线性化的设计原理 非线性控制理论的研究成果表明：采用非线性状态反馈和恰当的坐标变换， 在一定的条件下，可以将一个仿射非线性系统进行精确线性化，并且这个状态反 馈可保证控制系统的稳定性，并有好的动态品质。 1 单输入单输出系统 对于单输入单输入仿射非线性系统，当相对阶，= ”时，在坐标变换关系 z = 妒( x ) 由式( 1 1 8 ) 所定义的情况下，可化为第一类标准型。从式( 1 1 9 ) 可阻看出， 第1 个至第( n 一1 ) 个方程都已被线性化了，只剩下最后一个含有控制量“的方程是 非线性的。由相对阶的定义可知6 ( z ) 0 ，因此当取控制率“为 。：一旦盟+ 上v ( 1 3 4 ) 6 ( x ) b ( x ) 时状态方程为 g n 一1 = z ： = v 这种形式称为b r u n o v s k y 标准型，写成矩阵形式即为 z = a x + 西 式中 a = 0l0 001 000 oo0 o 0 l 0 ，占 ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) 在式中( 1 3 4 ) ( 1 3 6 ) 中，v 未被确定。式( 1 3 6 ) 实际上是线性系统中的可控 标准型，因此我们可以利用线性系统中的各种设计原理来确定v 。我们利用已知线 性系统的设计方法得到系统的状态反馈控制率 v = 一k z = 一( k l z l + 后2 2 2 + t + k z 。) 式中控制器参数t a = 1 , 2 ，n ) 是通过线性系统的设计方法得到的。考虑到= = 妒( x ) 的坐标变换关系，则非线性控制规律为 k ； ( 曲+ 吒三，1 ( x ) + + k ：l y h ( x ) + 女。 ( x ) 】 t 巧1 ( 曲 2 多输入多输出系统 给定非线性系统 x = ，( x ) + g i ( x ) u ， ( 1 - 3 7 ) 押l 若令矩阵g ( x ) 为 g = 【9 1 ( 曲9 2 ( x ) ( x ) 】 控制向量“为 则式( 2 3 7 ) 可写成 “= k 。，r x = f ( x 1 + g ( x ) u ( 1 3 8 ) 状态反馈精确线性化问题的提法是：寻找反馈规律“= 口( x ) + p ( x ) v ( 此处a ( x ) 为m 维向量场，p ( x ) 为m m 阶函数矩阵，v 为m 维向量) ，以及坐标变换z = p ( 曲，使 得反馈系统 x = f ( x ) + g ( x ) a ( + g ( 曲卢( x ) v ( 1 3 9 ) 化为一个完全能控的线性系统： z = 十b y( 1 4 0 ) 当m = 2 时，由多变量仿射非线性系统的第一标准型，令 。：m ：一l k 1 ( 。) l s z 巧1 1 ( 。l l 弓6 ( 曲一y 1l ( 1 4 1 ) “2 l “：j 。l 气弓1 姒曲：骘。1 ：业骘 ：一v 2 j u 4 1 2 0 可得线性化系统 矩阵的形式为 式中a 。b 分别为 而 z l = z 2 z 1 12z 1 z r i = v 1 z f i + l = z + 2 毛一= z ： = v 2 z = a z + 价 斗坞 ， o1o 0o1 0 0 0 0 o o 2 1 叩b ： 且=乱一墟 ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) 第2 章船舶运动数学模型 2 1 船舶平面运动的运动学 若把船舶看成是一个刚体，船舶运动则具有六个自由度，在附体坐标系上考 察，这种运动包括跟随三个坐标轴进行的移动及围绕三个坐标轴的转动。图2 1 的坐标定义如下：o x o k z 。是惯性坐标系( 大地参考坐标系) ，0 为起始位置， o x o 指向正北，o r o 指向正东，o z 。指向地心；0 一x y z 是附体坐标系，0 为首尾之 间连线的中点，o x 沿船中线指向船首，o y 指向右舷：航向角y ( h e a d i n g ) 以正北为 零度，沿顺时针方向取0 3 6 0 0 ；舵角晓l 右舵为正。船舶的平移运动由前进速度、 横漂速度和起伏速度组成。在图2 1 中，t 为前进( s u r g e ) 速度，y 为横漂( s w a y ) 速度，w 为起伏( h e a v e ) 速度。船舶的旋转运动由首摇角速度、横摇角速度和纵摇 角速度组成。在图2 1 中，为首摇( y a w ) 角速度，p 为横摇( r o l l ) 角速度，g 为纵 摇( p i t c h ) 角速度。然而对于大多数船舶运动及其控制问题而言，可以忽略起伏运 动、纵摇运动及横摇运动，而只需讨论前进运动、横漂运动和首摇运动，这样就 简化成一种只有三个自由度的平面运动问题。图2 2 给出图2 1 经简化后的船舶 运动平面图。 图2 1 在惯性参照系和附体坐标系中的船舶位置、力和状态 f i g2 1i n e r t i ar e f e r e n c es y s t e ma n da c c e s s o r y c o o r d i n a t es y s t e m v e s s e lp o s i t i o n 、f o r c ea n ds t a t e 图2 2 船舶平面运动 f i g2 1s h i pp l a nm o v e m e n t 2 2 流体动力导数 流体动力导数的无量纲化船舶线性化数学模型的主要涉及1 0 个流体动力导 数l ，r ，n v ，n r ，k ，耳，虬，虬，k ，。，前4 个称为“速度导数”，第5 第8 称之为 “加速度导数”，最后两个称为“舵力和舵力矩导数”。由于船舶( 包括桨、舵) 几何形状的复杂性，应用理论流体动力学方法计算这些流体动力导数是不可能的， 因之它们的确定必须依赖于船模试验。为了数据处理的科学性以及使用的方便性， 根据相似原理和量纲分析方法，应该采用无量纲的流体动力导数；为此选择一些 基本的度量单位：长度上。 ( 船长) ，速度h 航速) ，时间t o - - l v , 质 量m o ( 1 2 ) ? ，力r ( 1 2 ) p 矿2 三2 ，力矩 靠( 1 2 ) p y 2 p ，其中p 一 一水密度。这样将有各量的无量纲值： 质量：m = m 4 ) 速度：v 7 = v l v 力：f ? ：f 建o v 2 e 、 惯性矩：疋：。砝) 长度：x ；= x c l 转首角速度：r = r l v 力矩：= n i ( 1 p l 3 v 2 ) i ：= 案 ，糯赠删巧= o y l 西= 丽o ( y i 西f o ) = 蠕f o y 。= ( 2 p 膨) e ， m = o n o r ( 2 p v l 4 ) n , ，依此类推。 线性流体动力导数的估算公式c l a r k e 整理大量船模试验数据，给出关于1 0 个线 性流体动力导数的回归公式“，汇集如下： = 一【1 + 0 1 6 c b b t - 5 i ( b ) 2 】z ( t 三) 2 耳= 一 0 6 7 b l 一0 0 0 3 3 ( b t ) 2 z ( t l ) 2 虬= - 1 1 b l 一0 0 4 1 b 即x ( t l ) 2 ；= 一 1 1 2 + 0 0 1 7 c b b t 一0 3 3 b l z c ( t l ) 2 巧= _ 1 + 0 4 0 c b b 即z ( t 三) 2( 2 1 ) = 一 一1 2 + 2 2 b l 一0 0 8 0 b t z ( t l ) 2 ：= 一 1 2 + 2 4 t 三】z ( t i 上) 2 = 一【1 4 + o 0 3 9 b t 一0 5 6 b 三】烈r 三) 2 珐= 3 0 a a r 巩= ( 1 2 ) y ； 上式中置z c i a 扮别指船宽、吃水、方形系数、舵叶面积。上式中的y o n 0 ； 是船体本身的流体动力导数，在实际应用时应考虑舵对船体流体动力的干扰，尚 需对这些流体动力导数作一定的修正，需修改的增量按下式确定 = 一形 = 一昙 a ：= 一昙( 2 2 ) 州= ；巧 y = 0 3 0 2 3 状态空间型船舶平面运动数学模型 状态空间型的船舶运动数学模型是船舶运动控制器设计的基础，它可以有多 层次的模型化方案，不同维数的模型用于不同的设计目的和精度要求。 2 3 1 二自由度状态空间型船舶线陛数学模型 m 一 l m y 。- n ； 上式可简记为 其中 矿( y ，- m ) i i v + 矿( ，一m f c ) j i ( 2