（机械电子工程专业论文）基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 压电智能结构是将压电材料埋入到结构材料中，使结构具有承载、传感和 驱动功能。压电智能结构振动主动控制技术是智能材料结构研究的重要内容， 在航空航天领域具有重要的应用前景。 子空间辨识方法是近年来新出现的时域方法中很具有代表性的一种新算 法，在一定程度上克服了传统方法在智能结构系统建模中存在计算量大、运算 速度慢和建模精度不高的缺陷：更重要的是它在未获得系统的状态空间模型前， 即可估计出直接用于控制器设计的k a l m a n 滤波器状态。m a t l a b 中x p c t a r g e t 工具箱的开发扩展了m a t l a b 对硬件的操作功能，使得可以在单一m a t l a b 环境 下进行实时数据采集和控制。本文以一表面粘贴有压电传感器和执行器的复合 材料薄壳结构为研究对象，运用子空间方法和基于m a t l a b x p c t a r g e t 硬件平台 构建的实验系统对其进行了研究。主要研究内容如下： 一、运用子空间辨识方法和基于m a t l a b x p c t a r g e t 硬件平台构建的实时 数据采集系统对表面粘贴有压电传感器和执行器的复合材料薄壳结 构进行了辨识实验研究，建立了结构状态空间模型，并与传统方法进行 了比较。 二、从子空间辨识方法角度出发，推导了子空间预测器，并基于予空间预 测器对线性二次型高斯最优控制器重新进行了设计，编写c 语言程序 实现了控制器。 三、借助m a t l a b s i m u l i n k 平台，运用基于子空间方法建立的模型和设计 的l q g 控制器对控制系统进行了离线和在线数字仿真分析：将复合材 料薄壳结构实物接入控制回路，基于m a t l a b x p c t a r g e t 硬件平台构 建的实验系统对其进行了控制实验研究。仿真和实验结果均表明了基 于子空间方法的l q g 控制器能够较好地抑制结构主要模态的振动。 关键词：予空间辨识方法，l q g 控制器，压电智能结构，振动主动控制，硬件平台 m a t l a b x p c t a r g e t 仿真和实验 基于子空问方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 a b s 仃a c t p i e z o e l e c t r i cm a t e d a l sc a l lb ee m b e d d e di n t os t r u e t u r a lm a t e f i a l sa n ds e r v e a sb o t hs e n s o r sa n di n d u c e ds t r a i na c t u a t o r si ns m a r ts t r u c t u r e i ti sa ni m p o r t a n t p a r t o f r e s e a r c hi ns m a r tm a t e r i a l sa n ds t r u c t u r e s s u b s p a e ei d e n t i f i c a t i o nm e t h o di s an e wt i m ed o m a i ni d e n t i f i c a t i o nm e t h o d ， w h i c hh a sh j 曲c o m p u t a t i o n a ls p e e d ，g o o dr o b u s t n e s sa n dh i g ha c c u r a c yc o m p a r e d w i t hc l a s s i c a lm e t h o d s a n dm o r ei m p o r t a n t l y , t h ek a l m a nf i l t e rs t a t eu s e df o r c o n t r o l l e rd e s i g na r ee s t i m a t e dw i t h o u tt h es t a t e s p a c em o d e l m a t l a b x p c t a r g e t p l a t f o r mi sp a r to f af a m i l yo fs o f t w a r ep r o d u c t st h a te a r lb eu s e dt oc r e a t er e a lt i m e s y s t e m s i tp r o v i d e sn e wa p p r o a c h e sf o rr e a lt i m es i g n a la c q u i s i t i o na n dc o n t r o l a p p l i c a t i o n s b a s e d o ns u b s p a c ei d e n t i f i c a t i o nm e t h o da n dm a t l a b x p c t a r g e t h a r d w a r ep t a t f o r m ，e x t e n s i v et h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t sw e r ec o n d u c t e do na p i e z o e l e c t r i cc o m p o s i t ec y l i n d e r n ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s w e r ed r a w nf r o m ： f i r s t l y , e x p e r i m e n t a lm o d e l i n gw a sc o n d u c t e do n a p i e z o e l e c t r i cc y l i n d e rb a s e d o ns u b s p a c em e t h o da n dm a u a b x p c t a r g e tr e a lt i m ed a t aa c q u i s i t i o ns y s t e m a s t a t es p a c em o d e lw a so b t a i n e d s e c o n d l y , t h el q gc o n t r o l l e r w a sd e v e l o p e db a s e do ns u b s p a c ep r e d i c t o r d e r i v e df r o ms u b s p a c ei d e n t i f i c a t i o nm e t h o d ，a n di m p l e m e n t e dw i t hc p r o g r a m m e f i n a l l y , s i m u l a t i o nw a sc o n d u c t e db a s e do nm a t l a b s i m u l i n kp l a t f o r mw i t ht h e m o d e la n dd e v e l o p e dl q gc o n t r o l l e r a l s o ，ar e a lt i m ev i b r a t i o na c t i v ec o n t r o l e x p e r i m e n tw a s c a r r i e do u to nt h ep i e z o e l e c t r i cc y l i n d e rw i t ht h em a t l a b x p c t a r g e t h a r d w a r ep l a t f o r m s i m u l a t i o na n d e x p e r i m e n t s o nt h es y s t e ms h o wt h a tt h es e l e c t e d m o d e sc a nb e s u p p r e s s e de f f e c t i v e l y w i t ht h e d e v e l o p e ds u b s p a c e - b a s e dl q g c o n t r o l l e r k e yw o r d s ：s u b s p a c e i d e n t i f i c a t i o nm e t h o d ，l q gc o n t r o l l e r , p i e z o e l e c t r i cs m a r t s t r u c t u r e ，v i b r a t i o n a c t i v ec o n t r o l ，h a r d w a r e p t a f f o r m ，m a t l a b x p c t a r g e t ， s i m u l a t i o na n d e x p e r i m e n t 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学 位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的 研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论 文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：i 红监 日期：巡：型 南京航空航天大学硕士学位论文 i 1 引言 第一章绪论 智能材料与结构是一门新兴起的多学科交叉的综合性学科。虽然对它的研 究时间不长，但是它已经成为高新技术材料领域的一个热点，并日益显示出强 大的生命力。它的研究使现行的一些工程问题和安全可靠性问题的概念发生了 根本的变化，使过去离线、被动的监测过程过度到在线、主动的监测和控制， 极大地推动着材料制备加工技术与信息技术、传感技术、计算机技术以及工程 控制技术的紧密结合。 压电智能结构是以压电材料作为敏感元件和驱动元件的类智能结构，是 到目前为止研究得最广泛的一类智能结构。它的研究主要集中在结构振动和噪 声控制方面，且大多是采用振动主动控制。振动主动控制技术依靠结构和系统 的振动信号作为反馈，能灵活地适应不能预知的外界干扰及结构或系统的不确 定性，具有较强的环境适应能力以及抑制低频振动和宽带随机振动的能力，因 此有着重要的应用价值和应用前景。 1 2 压电智能结构振动主动控制技术的发展背景和基本概念 1j 2 | 1 压电智能结构振动主动控制技术的发展背景“1 任何一个工程结构受到动态激励或干扰时，都会产生响应，表现为结构的 振动和噪声。振动和噪声不仅会降低机械系统的性能，而且会危害人类健康。 因此，必须对它进行控制。所谓振动控制，就是针对控制对象的性质、工作环 境和控制要求，运用各种力学原理来减小对结构有害的振动效应。传统的振动 控制方法主要有结构元件的刚化、谐振系统的解谐与解耦、普通振动隔离、阻 尼隔振、动力吸振等。随着时代的发展，传统的振动控制方法在某些方面已不 能满足人们对结构性能越来越高的要求。例如现代飞机是一个装有各种精密仪 器的复杂系统，在发动机的振动和空气动力的干扰下，经常被诱发振动和噪声， 严重地影响了仪器的性能和可靠性，降低了乘客和机组人员的舒适程度。常规 的振动控制方法是在飞机上附加多种阻尼材料，这增加了飞机的重量降低了 基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 飞机性能，减振效果也十分有限。又如空间大型柔性结构，它的固有频率很低， 一般需要控制的模态集中在o 1 h z 以内，模态比较密集，这使得绝大多数被动 控制方法难以达到控制要求。因此，人们自然地将眼光放到主动控制技术上。 早在5 0 年代就有人提出了主动控制的概念并进行了探索，但受到当时技术 水平的限制，研究进展缓慢。电子计算机等相关技术的飞速发展极大地推动了 主动控制技术的研究和应用。在被动控制方法中，振动控制主要是依靠结构本 身的阻尼消耗振动能量，由于材料性能的限制，控制效果有限。而主动控制是 将外部能量输入受控系统，与系统本身振动能量相互抵消来实现振动控制。所 以效果好，应用面更宽。 进入9 0 年代后，智能材料与结构的出现使人们对材料和结构的固有特性有 了新的认识。在智能材料与结构中，传感元件对结构的振动进行监测，驱动元 件在微电子系统的控制下准确地动作，以改变结构的振动状态，这样以压电材 料作为传感器和执行器的压电智能结构振动主动控制技术也就随之产生了。 1 - 2 2 压电智能结构振动主动控制技术的基本概念 压电智能结构振动主动控制( p i e z o e l e c t r i cs m a r ts t r u c t u r ev i b r a t i o na c t i v e c o n t r 0 1 ) 的基本方法是以压电材料作为受控结构的传感器和执行器，由传感器 感受因振动产生的结构应变，将其转变为相应的电信号，并通过一定控制律产 生控制信号，经放大器放大后施加于作动器，由作动器将电能转变为机械能， 从而实现结构的振动控制。 一个完整的压电智能结构振动主动控制系统除了含有基本的结构材料外， 还包括传感元件、驱动元件和控制系统。传感元件的作用是感知外界环境的变 化，并将结果转变为电信号；驱动元件根据控制信号进行动作，产生对外界环 境变化的响应。因此，传感、驱动元件、控制系统和结构材料组成了一个不可 分割的整体。压电智能结构振动主动控制系统的组成如图1 1 所示。 2 图1 1压电智能结构振动主动控制系统原理框图 南京航空航天大学硕士学位论文 l 3 压电智能结构振动主动控制技术的研究内容和进展 自智能结构思想提出以来，以美、日、德、英为代表的发达国家迅速投入 了大量的人力、物力和财力用于该领域的研究和探索。8 0 年代初s w i g e r t 采用 压电陶瓷元件研究了柱状天线模型控制，开创了运用智能结构进行控制研究的 先河，随后智能结构在结构振动主动控制领域内的应用研究也活跃起来。如 b a i l e y 和h u b b a r d 0 1 成功采用压电薄膜p v d f 对梁的振动进行控制。t z o u “1 把其 推广到板和壳体的振动控制问题上。梅胜敏”1 等还将n i t i 形状记忆金属丝埋入 复合材料，生成具有主动振动控制复合材料梁。国内从9 0 年代初开始智能结构 振动控制研究，路小波“1 、陈勇”3 、李传兵”1 等对此都有深入的研究，取得了一 定的进展。 到目前为止，国内外以压电元件作为传感器和执行器的智能结构振动主动 控制技术其研究内容主要集中为三个方面的内容：智能结构系统模型的建立、 振动主动控制律的设计和传感器驱动器的优化配置。 1 智能结构系统模型的建立 建立智能结构系统模型的方法主要有两种：机理建模和实验建模。 ( 1 ) 机理建模 机理建模主要是指通过有限元方法建立包括压电材料特性和粘贴位置在内 的结构数学模型。有限单元法作为一种寻求数值解的通用方法已经被广泛的应 用于现代工程的分析和设计中。压电智能结构的有限元方程可以由哈密顿原理 得到。h w a n g 和p a r k ”3 应用哈密顿原理和经典层台理论建立了含有压电传感器 和驱动器的层合结构动力学方程，并通过引入速度负反馈控制规律实现了层合 板结构的振动控制。运用有限元法建立结构系统的模型虽然能够精确预测结构 频率，给出结构的基本模态形式，但是该方法计算量大，并且对于大型复杂结 构而言，很难根据结构参数的改变对模型进行在线调整。 ( 2 ) 实验建模 实验建模主要是指通过系统辨识的方法来建立被控结构的数学模型。它对 于检验分析模型的正确性和数据精度非常重要，具体可分为频域辨识和对域辨 识。目前已有许多学者用此方法讨论压电元件在结构中的传感、驱动和控制问 题，t z o u ”3 应用位移反馈技术来实现大型挠性空间结构的振动抑制，用压电元 3 基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 件作为传感器和驱动器并用实验对一悬臂梁前六阶模态成功地进行了控制。然 而现有的频域辨识方法除了受到傅立叶变换的局限外，在模态较密集、幅值差 异大或高阻尼比的情况下，特别是在有较高测量噪声时 彳艮难取得较好的效果。 与频域方法相比，时域方法更能提供较完备的信息。 2 ，振动主动控制律的设计 就目前振动主动控制的应用来看，所用到的控制方法主要有以下几种： ( 1 ) 极点配置法和最优控制方法“” 极点配置法是一种传统的，比较成熟的控制方法，在许多闻题研究的初期 大多采用这种方法。它主要通过反馈控制作用来改变系统的特征值和特征向量， 使得极点处于所要求的位置，从而改变系统的静态和动态品质。但是这种方法 在实际使用时。要求模型必须准确，否则很难取得理想的控制效果。 最优控制方法是一种基于精确数学模型、以系统的状态输出和控制输入的 加权二次型作为性能指标的控制方法。该方法在具体实现上要解r i c c a t i 方程， 更重要的是确定状态输出加权矩阵和控制输入加权矩阵。考虑到实际过程中模 型的不精确性，而且没有一个确定加权矩阵的规则可循，因此也很难取得理想 的控制效果。 ( 2 ) 自适应控制方法” 这种控制方法对系统参数的变化具有较好的适应性。它可以自动检测系统 参数变化，从而时刻保持系统的性能指标为最优。常规的自适应控制方法有模 型和校正参考自适应。为了在干扰可测的情况下更好地消除振动，又发展了前 馈自适应控制策略。考虑到实际过程中自适应控制策略需要对结构参数进行辨 识，增加了辨识系统，因此在实时控制时控制效果仍然不理想。 ( 3 ) 鲁棒控制方法 鲁棒控制方法主要是指通过适当地选择控制器的结构和控制规律，使得受 控系统的性能对自身模型的不确定性及外部干扰不敏感。到目前为止，应用得 最多的主要是滑模变结构控制和乒乙控制。滑模变结构控制主要是通过控制作用 先使得系统进入滑模状态，而滑模面是预先根据控制指标的要求设计的，只要 满足不变性条件，系统对外界的扰动就具有很强的鲁棒性。h 。控制1 是新发展 起来的一种控制方法，它在设计的过程中，融入了古典控制思想。求解可全部 在时域中进行。它以控制系统内部某些信号间的传递函数的风范数为优化目 4 南京航空航天大学硕士学位论文 标，可以方便地将鲁棒稳定问题和干扰抑制问题在统一的框架下进行讨论，从 而设计出满足一定鲁棒稳定性与性能指标的次优控制器。从理论上讲，它可以 在保证系统稳定性的条件下，使得控制作用对外部扰动具有相当大的稳定裕度。 但是这种方法的弱点是其理论和实现上比较复杂，须根据对象进行简化和改进。 ( 4 ) 智能控制方法 进入9 0 年代以来，由于模糊理论和神经网络理论的发展，由人工智能技 术与自适应、自组织、自学习控制技术交叉融合，形成了控制理论的高级发展 阶段一智能控制。智能控制方法是针对被控系统具有结构参数的高度不确定性、 模型高度复杂和外界干扰的多变性而发展起来控制理论。它甚至不必建立系统 的数学模型，而直接通过专家系统的自学习功能，根据测量误差和经验数据不 断修正激励响应函数完成改进系统性能的目的。智能控制是在模拟人类控制专 家对实际系统控制的基础上发展起来的，本身就是一种比较满意的控制方法， 再加上它的自适应、鲁棒性和学习功能，因此它是一种很有前途的控制方法。 3 传感器驱动器的优化配置 压电智能结构振动主动控制中另一个耍解决的重要环节就是传感驱动元 件在智能结构中的优化配鼍问题。即如何安排传感器、驱动器的数目与位置使 之能在消耗最小的情况下得到最佳的控制效果。传感器和驱动器在结构中的位 置和配置数目，直接决定了结构控制系统的稳定性、可控性、可观性以及控制 的有效性。 尽管有些情况下利用经验就可以确定合理的配置，但是对于比较复杂的结 构，经验判断方法就无能为力了。而必须借助适当的优化计算方法来实现。目 前压电元件在智能结构中的优化配置主要涉及两个方面问题：寻求合理的、 能反映设计要求的优化准则，具体包括：基于控制系统可控性、可观性的准则； 基于系统能量准则；基于控制系统稳定性、可靠性准则及其它一些有价值的准 则。研究适合于求解优化问题的有效计算方法。 1 4 本文研究的主要内容 压电智镌结构振动主动控制技术是一门多学科交叉科学，涉及复合材料、 结构力学、实验力学、振动冲击与噪声、现代控制理论、信号分析与处理、计 5 基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 算机等学科，是一项理论性和实践性都很强的综合性研究课题。虽然近年来国 内外许多学者在这方面作了大量卓有成效的探索，但是有些问题仍然需要进一 步的研究。本文将在前人研究的基础上，采用理论和实践相结合的方法，以一 表面粘贴有压电传感器和执行器的复合材料薄壳结构为研究对象，对一些基础 问题进行研究和探索。 本文研究内容主要包括以下几个方面： 一、基于m a t l a b x p c t a r g e t 硬件平台构建实时数据采集和控制实验系统。 二、运用子空间辨识方法和基于m a t l a b x p c t a r g e t 硬件平台构建的实时数 据采集系统对表面粘贴有压电传感器和执行器的复合材料薄壳结构进 行辨识实验研究，并与传统辨识方法进行比较。 三、从子空间辨识方法出发，推导子空间预测器，并基于子空间预测器对 线性二次型高斯最优控制方法重新进行设计，编写c 程序实现控制器。 四、借助m a t l a b s i m u l i n k 平台，运用基于子空间方法建立的模型和设计 的l q g 控制器对整个控制系统进行离线和在线数字仿真分析，并对仿真 结果进行分析和比较。 五、将复合材料薄壳结构实物接入控制回路，运用基于m a t l a b x p c t a r g e t 硬件平台构建的实时控制实验系统对其进行实验研究，并与仿真结果进 行比较。 6 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章 基于子空间辨识方法和m a t l a b x p c t a r g e t 硬件平 台的智能结构系统建模技术 2 1 概述 采用压电材料作为传感器和驱动器的智能结构振动主动控制技术是当前振 动工程研究的热点之一，要对结构进行有效的控制，能否准确地获得被控结构 的系统模型对控制的有效性和稳定性都有着直接的影响。到目前为止，建立智 能结构系统模型的方法主要有两种：机理建模和辨识建模。机理建模主要是指 通过有限元方法建立包括压电材料特性和粘贴位置在内的结构数学模型“”。尽 管有限元法可以精确预测结构频率，给出结构的基本模态形式，但是该方法计 算量比较大，并且对于大型复杂结构而言，很难根据缩构参数旮勺改变对模型进 行在线调整。辨识建模可分为频域辨识和时域辨识。然而现有的频域辨识方法 除了要受到傅立叶变换的局限外。在模态较密集、幅值差异大或高阻尼比的情 况下，特别是在有较高测量噪声时，很难取得较好的效果“。与频域方法相比， 时域方法更能提供较完备的信息。近年来各种新的时域方法不断出现，子空间 辨识方法就是其中很具有代表性钓一种新算法。它直接从输入输出数据矩阵的 行列空间中估计出系统的k a l m a n 状态序列或广义观测矩阵，再通过求解最小二 乘问题，进而获得系统的状态空间模型。在整个辨识过程中，所需要的唯一参 数就是结构系统的阶次，而阶次的选择可以根据辨识过程中的奇异值分解而得 到。同传统的辨识方法相比( 如p e m ) o “，除了对结构的先验知识要求较少外， 它既不需要处理非线性优化问题。也不需要对模型进行预先参数化：另外，由 于子空间算法在辨识过程中采用的是一序列的线性代数运算，不需要进行反复 迭代，因此运算速度比经典方法快，也不存在收敛性问题，保证了数值的鲁棒 性。 在运用予空间方法对被控结构进行辨识实验时，既需要通过d a 接口将输 入信号送至外部结构进行激励，也需要用a o 接口将外部的传感信号采集回来 送入计算机。在该问题的处理上，传统的方法是通过为相应的接口编写驱动程 序来实现外部信号的采集。这样就使得技术人员花赞大量的时间和精力用在解 决语言编程等繁杂的事情上，增加了不少工作量。m a t l a b 中x p c t a r g e t 工具箱 基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 的开发为这一问题的解决提供了方便。因为在这个环境中，x p c t a r g e t 提供了 丰富的d a 、a d 模块，这些模块都代表了不同的物理板卡，它实际上就是为这 些板卡提供相应的驱动程序。在应用时，将所用板卡对应的模块拖入到s i m u l i n k 模型中，并在实际的物理系统中接入相应板卡。然后再用r e a lt i m ew o r k s h o p 和c 语言编译器将模型编译为一个可执行文件，此时板卡上的信息亦被编译为 可执行代码，当下载到从机后，从机就和i o 板卡建立了联系。在实验过程中， 还可以直接运用x p c 目标所提供的信号采集和分析功能对板卡上的输入输出数 据进行实时地记录、监视和跟踪。 本章首先分析子空间辨识算法的基本原理和运算步骤，接着采用基于 m a t l a b x p c t a r g e t 硬件平台构建的数据采集系统对被控结构进行辨识实验研 究，最后，对实验结果进行分析和比较。 2 2 子空间辨识方法 子空间辨识方法的基础是系统理论、线性代数和统计理论。在运用子空间 辨识方法进行辨识的过程中，其中一个重要的思想就是：在系统辨识范围内， 重新阐述了动态系统状态的概念。相对经典的辨识方法丽言，子空间辨识方法 首先是估计出系统的状态，然后再根据所得到的状态来计算系统的状态空间模 型。图2 1 表明了子空间辨识方法和经典辨识方法之间的区别。下面将从三个 方面对其进行阐述：首先从线性代数的观点出发，引入应用于子空间辨识方法 的几何工具，然后讨论线性系统的子空间结构，最后对子空间辨识方法的运算 步骤进行总结。 输入输出数据 向投影一 l 经典 i 分解 li 辨识方1 t 卡尔曼滤波状态系统状态 稚法 lj 卡尔曼 系统状态卡尔曼滤波状态 图2 i 子空间方法和经典方法辨识过程比较 南京航空航天大学硕士学位论文 2 2 1 子空间投影理论 子空间辨识方法主要是通过特定矩阵的行空间投影来揭示系统的些特 性，其基础是几何投影理论。现假设给定矩阵a 丑”一，b r q ，c r “， 且这些矩阵的一个行元素被认为与，维闭空间的个向量等价。在该闭空间， 每一个矩阵的行都定义了一个线性向量的基。这一节将分别介绍能够用这些行 空间完成的投影运算“”：正交投影和斜向投影。 1 正交投影 n 。表示一个矩阵的行空间在矩阵b r q x ，的行空间上的投影算子： d e f n b 耋b 7 ( b b 7 ) + 占 ( 2 1 ) + 表示的m o o r e - p e n r o s e 伪逆。矩阵a 月“的行空间在矩阵b 的行空间上的 投影简记为a b ： a b = 4 兀8 = a b 7 ( b b 7 ) + b ( 2 2 ) 投影算子在，维空间中的说明如图2 2 所示。 a b 1 b 以 曰。 图2 ，2j 维空间( j = 2 ) 上的正交投影说明图2 3j 维空间( j = 2 ) 上的斜向投影说明 兀。是一个矩阵的行空间投影到矩阵曰的行空间正交补上的几何算子： a b 1 = 4 n 矿 ( 2 3 ) 这里， 1 - 舻= 一n b ( 2 4 ) 同样该投影算子在，维空间中的说明如图2 2 所示。由算子兀。和兀。可将矩阵 a 分解成两个行空间正交的矩阵： a = a n a + a n 矿 ( 2 5 ) 利用该投影也可将矩阵a 分解成b 的行岛和b 的正交补的行k 的线性组合： 9 基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 l n b = 爿n 。上一b 1 = 4 n 矿 ( 2 6 ) 矿是b 行空间正交补的一个基，有： ， a = 岛b + 。占1 ( 2 7 ) 于是，矩阵a 被分解成了b 的行和矿的行的线性组合。 2 斜向投影 除了将a 分解成两个正交矩阵b 和矿的线性组合外，还可以将其分解成非 正交矩阵b 和c 以及曰和c 的正交补的线性组合。矩阵爿的行被分解成b 、c 的 行以及正交于b 和c 的第三矩阵的行的线性组合可表示为： 纰占+ l c c + l n c ( 玎 s ， 定义矩阵厶c 为a 的行空间沿占的行空间在c 的行空间上的斜向投影： 爿8 c = k c ( 2 9 ) 从几何角度出发，斜向投影厶c 也可以解释为：爿的行空间正交地投影在口和c 的相交行空间上，并沿c 的行空间分解投影结果。如图2 3 ( ，= 2 ) ，2 4 ( ，= 3 ) 所示。 图2 4 ，维空间( j = 3 ) 上的斜向投影说明 a 的行空间在b 、c 的行空间的交上的正交投影在数学上可表述为： 4 ，( 暑 = 彳( c 7 8 7 ) ( 嚣：耋： 三 c z t 。， 将该表达式沿着b 和c 的行空间分解可得到下述斜向投影的定义： a r 一的行空间沿b r 一的行空间在c r “的行空间上的斜向投影定义： 南京航空航天大学硕士学位论文 一，sc 芒爿( c 7 古7 ) ( 嚣：嚣：) + 。，c c 。一， 斜向投影的特性： 占b c = 0c b c = c ( 2 1 2 ) 事实上，满足( 2 - 1 2 ) 的任何运算都是斜向投影。式( 2 1 2 ) 清楚地表明了 种斜向投影的等价定义： a 。c = e a b 1 c 矿 + c ( 2 1 3 ) 注意当b = 0 或占的行空间正交于c 的行空间( b c l = 0 ) 时，斜向投影简化为 正交投影： a ，b c = a c ( 2 1 4 ) 2 2 2 线性系统的子空间结构 通常情况下，个线性时不变系统的状态空间模型可以用下面的方程来表 不： 并满足条件 矗蝴= 如+ b u k + y k = c x + d u t + 槲c 州h 鲷删 其中a 只“。“，b r ”。，c 琶r “”，d r “”，q r ”。”，s 月“。r r “是常 数矩阵，4e r “。是状态向量，r ”和儿r 分别为可测的输入、输出向量， h 和是不可测的、高斯零均值自噪声。( ) 为相应向量的转置。 根据 1 5 ，式( 2 - j5 ) 、( 2 一1 6 ) 可以写成下面的前向新息形式： 耳“= a x k + b u i + k e k ( 2 1 7 ) 、( 2 一1 8 ) y k = c + d u k + 吼 其中e e p g q t = ，为k r o n e c k e r 算子由下面即将介绍的线性系统的子 空间结构可以清楚地看出：一个系统的前向新息形式从本质上来讲是该系统的 稳态k a l m a n 滤波器，k 是k a l m a n 滤波器增益，吼是新息。因此，在后面的理 基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 论推导时，将用这个前向新息形式代替( 2 - 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 。在子空间辨识方法 中，得到的模型将是典型的前向新息形式。应用这种形式，理论推导和最终的 结果说明都将变得更加容易。 1 矩阵输入输出方程 在子空间辨识方法当中，矩阵的输入输出方程起着非常重要的作用，它们 可以直接由上述( 2 - 1 7 ) 、( 2 - 1 8 ) 式推出： y p = r t x p + h ：up + h ；ep ( 2 1 9 y f = r l x i 七h ：u s 七h e f ( 2 - 2 0 ) x i = 4 x p + ? u p + ；e p ( 2 2 1 ) 2 1 广义可观测矩阵( i 表示数据块的行数) f 。= c c a c a 2 c a 。一 ( 2 - 2 2 ) 3 逆广义可控矩阵? 和逆广义观测矩阵譬( 表示数据块的列数) ? = p 1 ba - 2 b a bb ( 2 2 3 ) ? = p 1 ba , - 2 b a bb ( 2 - 2 4 ) 4 t o e p l i t z 下三角矩阵 ld l 彰= c a b 000 d0，0 c bd0 c a 。一2 bc a 一3 bc a 。b d 5 输入输出数据分块h a n k e l 矩阵 1 2 h 3 = a ia f la p 2 人1 人，卅人，a 卜i a 2 人l + 2a ，+ la ，一人3 a 2 ，一la 2 f 一2a 2 ，一3 人 ( 2 - 2 5 ) 南京航空航天大学硕士学位论文 l h “l m2 “2“3 “j 一1 “f + l “p 11 l i + 1 。“l ”2 为方便起见，作如下定义 u m i = 鸪鸪“j + 2 毡+ 卜1 m + im + 2q + 3 m + “f + 2 虬+ 3 醵+ 4 一u i 心，一】吨j“2 h i “2 ，十j 一2 d 口删 u p = u 一1 ，u j = u m l 同样可以定义匕，弓，e ，e ，。 6 状态序列 ，：竺(而，五”乃：xixox i 竺( x i ，x i 。，)p = l 而，五，x 2 一1 ) 彳，22 lm x l + 2 t + h ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 2 8 ) 2 2 3 子空间辨识方法运算步骤 基于子空间的状态空间系统辨识方法主要包括三个运算步骤：第一步是运 用r q 分解的方法计算输入输出数据分块h a n k e l 矩阵的行空间投影；第二步， 计算上述投影的奇异值分解，从而得到广义可观测矩阵r ，和状态序列x ，的卡尔 曼滤波器估计雪，；第三步，由上述计算的广义可观测矩阵r 和( 或) 估计的状 态序列曼，来确定系统矩阵。图2 5 说明了用广义可观测矩阵r ，和估计的状态序 图2 5子空间辨识方法运算步骤 列j ，来确定系统矩阵的差异。下面将分别对上述三个运算步骤进行分析：r q 分解、奇异值分解、系统矩阵的求取。 基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 t r q 分解 所有的子空间系统辨识方法都开始于( 2 - 2 0 ) 所示的矩阵输入输出方程： y f = i | xr + h ：ur + h ：e f 显然，如果能求出f 或x ，就可以得出相应的系统矩阵。由本小节即将看出，对 输x 输出数据分块h a n k e l 矩阵进行r q 分解可以得到广义可观测矩阵r ，和状 态序列z ，的乘积。 根据 1 5 ，子空间辨识问题可以解释如下：给定过去的输入输出睨，将来 的输入u ，寻找将来输出y ，的最优预测y ，并且 y f = l p + l 。u f ( 2 - 2 9 ) 上述最小均方预测可以通过下面的最小二乘问题得到： 映h 毛僦 将的行空间正交地投影在由和u 张成的行空间上， 的最小二乘问题： 批忆 利用斜向投影，可以分别得到： ( 2 - 3 0 ) 便可以容易求解上述 ( 2 3 1 ) y f | u f w p = l p py f i w ，u f 2 毕fo i = y i u s wb(2-32) 由 1 5 可知，g = 0 u r 2 r 。南，它等于广义可观测矩阵r 。和估计的 状态序列j ，的乘积。下面运用r q 分解的方法来计算d f = 弓f 叶 对输入输出数据分块h a n k e l 矩阵进行r q 分解 1 4 “ u p u “2 虼“ 珞 r 一l 00 000 如0 000 如如0 0 0 墨：兄，心。0 0 如马3 胄5 恐50 民2 咒，r 。民，民e 饼 g 掰 讲 茁 篮 ( 2 3 3 ) m 砌肺砌& 鼢 南京航空航天大学硕士学位论文 恐：坞，b 。r ，o 如如r e s 氏j ( 2 - 3 4 ) 弓， = 岛，+ t 哆+ _ = c 岛，乜，t ， 舅 c 2 一。s ， 由( 2 - 3 4 ) 、 进而求出系数句，岛，a 根据2 1 2 节斜向投影理论和上述推导有： o i = y 飞( 心u p p 如p ，屿， = 厶u ，+ 屯巧= u ，蜀，饼+ 阮，蜀：r 4 4 】 ( 2 - 3 6 ) ( 2 3 7 ) 甜g 掰甜 、j o 0 o o 0 0 0 o o o o 如 3 3 o o 如日io如恐心 一 耻 j咖如以跏 西篮醇讲 匙魄 l = 哆，l _ 1j o 氏砧艮k 0 0 0 心 ：o o r 得。一池聊。如如d 如 研醇醇讲 基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 2 s v ( s i n g u l a rv a l u e ) 分解 上面我们已经运用r q 分解的方法计算出了广义可观测矩阵r ，和估计的状态 序列j ，的乘积。在下面子空间辨识算法的第二步中，这一项将分解成它的分量 r ，和工r 。由 1 5 可知，当分块h a n k e l 矩阵的列数- ，趋于无穷大( ，斗) 时， 上。是一个秩为的矩阵，其中n 为系统的阶数。但是在实际过程中由于过程噪 声、测量噪声和数据量长度的影响，k 不一定是满秩矩阵。通常情况下，可以 用一个秩为h 的矩阵的s v 分解来近似它。为此，在计算s v 分解之前，对l ，分 别用彤和进行左加权和右加权，有： l = c ，( 詈兰 筹 u 1 s i 7 ( 2 3 8 ) 为了保持k 的秩不变，彤和致应该是满秩的。从上述s v 分解可以直接解 出广义可观测矩阵r ，和估计的状态序列j ，： f = u l w ”j r = s i ”2 k 7 町1 ( 2 3 9 ) 系统的阶数胛可以通过观察主奇异值s 的数目来确定。 3 状态空间矩阵的求取 由 1 、 2 可知，运用r q 分解和s v 分解的方法可以从输入输出数据分块 h a n k e l 矩阵中分别求出广义可观测矩阵r 和估计的状态序列x ，。本节所要解 决的问题就是如何从广义可观测矩阵r 或估计的状态序列j ，中求出系统的状 态空间矩阵爿，口，c ，d ，q ，s ，r 。到目前为止，已经出现了许多种子空间辨识方法， 在求取系统的状态空间模型过程中，虽然大部分算法既使用广义可观测矩阵r ， 又使用状态序列雪，但是人们仍然习惯地将它们分为两大类：第一类，运用广 义可观测矩阵r 来求取系统的状态空间模型( m o e s p ，i v 一4 s i d ) ，第二类，运用 估计出的状态序列j ，来求取系统的状态空间模型( n 4 s i d ，c v a ) 。下面所要建 立的复合材料薄壳结构数学模型拟采用鲁棒的n 4 s i d 方法来求取，因此，下面 将讨论如何使用状态序列x ，来求取系统的状态空间模型矩阵。 系统模型彳，b ，c ，d 的确定 当己知系统的状态后，可以通过求解下面的最小二乘问题获取系统的状态 1 6 南京航空航天大学硕士学位论文 其中凡，凤是残差矩阵。 q ，s ，r 的确定 啦m ( 2 4 0 ) 噪声模型q ，s ，r 的确定可以由( 2 4 0 ) 最小二乘问题的残差来决定： 褂糊ip 鲫p 。 浯a ， 由子空间辨识算法的前两步可知，可以从下面投影的奇异值分解得到状态 序列x ，和暑+ 1 2j - i u 。卜i2r ，z刈2 - l u 。= r 五 ( 2 4 2 ) 必须注意状态序列戈，和雪。应是在相同的状态空问基中计算出来的，但是从上 面两个投影的s v d 计算出的置和置+ 不一定满足这个条件。为了达到这一要求， 通常采用下面的方法来使得毫和毫+ ，具有相同的基： 首先，从( 2 4 2 ) 中分别计算出广义可观测矩阵和状态序列：r f 和只 其次计算r f _ i ：f h = r ( 1 ：e n d 一，：) 最后，计算毫j f + i = r j _ 1 + k 埘一，u 。f 2 3 基于m a t l a b x p c t a r g e t 硬件平台的数据采集技术 2 3 1 x p c t a r g e t 硬件平台简介“”1 x p c t a r g e t 硬件平台是m a t h w o r k s 公司提供和发行的一个基于r t w 体系框架 的附加产品，是一种用于产品原型开发、数据采集、测试和配置实时系统的p c 机解决途径。x p c t a r g e t 系统主要由两大部分组成，一是硬件系统，二是软件 系统。其中硬件系统主要包括主机( h o s tp c ) 、目标机( t a r g e tp c ) 、目标机 上的i o 扳和主机与目标机之间的串口或网络连接设备。软件系统主要是由 m a t l a b 、s i m u l i n k 、r t w 、s t a t e f l o w 代码生成器和c 编译器等实时代码生成软 件构成。用户在使用x p c t a r g e t 硬件平台时，只需要分别在主机、从机上安装 1 7 爿c l 1 1 llj + 置 d rfl c日4阵e矧间空 基于子空间方法的压电智能结构振动主动控制技术研究 上述相关软件和i o 设备板，就可以将一个p c 兼容机作为实时系统，来实现控 制系统或d s p 系统的快速原型化( r c p ，r a p i dc o n t r o lp r o t o t y p i n g ) 、硬