（地球探测与信息技术专业论文）全空间点元法无解析奇点重、磁异常正演.pdf

摘要 复杂形体重、磁异常正演从形体角度出发可以分为三度体和二度体；按求解域可分 为空问域和频率域；按积分方式可以分为有限单元法和边界单元法。在有限单元法中又 包括点元法、线元法和面元法。本文研究的内容是空问域三度体点元法。 虽然重、磁异常正演已经作了很多工作，但是仍然存在一些问题需要解决。文献【5 】 给出了上半无源空间无解析“奇点”磁异常理论表达式。而在重、磁勘探中，有时候不仅 要解决上半空间的问题，而且还要解决旁侧空间甚至下半空间的问题。因此本文提出了 点元法全空间无解析“奇点”理论表达式。文献【5 】中提出的“奇点”问题是由原表达式中的 反正切函数引起的，而在做全空间研究的时候发现，自然对数函数也会引起“奇点”问题。 本文详细推导了全空间无解析“奇点”理论表达式，在此基础上进行了相应的软件丌发及 模型试算，均取得很好的效果。 关键词：重、磁异常，点元法，奇点，正演，自然对数，反讵切 a b s t r a c t t h ef o r w a r dc a l c u l a t i o no fg r a v i t ya n dm a g n e t i ca n o m a l i e sc a u s e db yi r r e g u l a rm o d e l s ， c a nb ed i v i d e di n t ot h r e e d i m e n s i o n a lb o d i e sa n dt w o d i m e n s i o n a lb o d i e sf r o mt h eb o d v a n g l e ；p r e s s i n gt os o l v ea nd o m a i nc a nb ed i v i d e di n t ot h es p a c ed o m a i na n df r e q u e n c y d o m a i n ；t h em e t h o do fp r e s st h ei n t e g r a lc a l c u l u sc a nb ed i v i d e di n t ot h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o da n db o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d t h ef o r m e ri n c l u d e ss o m em e t h o d ，t h ev e r t i c a lc u b o i d e l e m e n t ，t h ep i l l a re l e m e n ta n dt h es u r f a c ee l e m e n ta g a i ni nt h ef i n i t ee l e m e n t t h ec o n t e n t so f t h i st e x tr e s e a r c hi st h et h r e e d i m e n s i o n a lb o d i e so ft h ev e r t i c a lc u b o i de l e m e n ti n s p a c e d o m a i n a l t h o u g h ，t h ef o r w a r dc a l c u l a t i o no fg r a v i t ya n dm a g n e t i ca n o m a l i e sc a u s e db yi 1 1 r e g u l a r m o d e l sm a d eal o to fw o r k s ，s t i l le x i s t ss o m ep r o b l e md e m a n d st or e s o l v e l i t e r a t u r e 11 】 d e d u c e dt h ef o r w a r dt h e o r e t i c a le x p r e s s i o n sw i t h o u ta n a l y t i co d dp o i n t si nu p p e rn o n - s o u r c e s e m i s p a c eo fm a g n e t i cf o r w a r d b u ti nt h eg r a v i t ya n dm a g n e t i ce x p l o r a t i o n ，s o m e t i m e sn o t o n l yn e e dt os o l v et h ep r o b l e mo ft h eu p p e rn o n - s o u r c es e m i s p a c e ，b u tn e e dt os o l v et h ea s i d e n o n s o u r c es e m i - s p a c ee v e nt h ep r o b l e mo fn e t h e rn o n s o u r c es e m i s p a c e s ot h ef o r w a r d t h e o r e t i c a le x p r e s s i o n sw i t h o u ta n a l y t i co d dp o i n t si nw h o l es p a c e so fg r a v i t ya n dm a g n e t i c f o r w a r di sb r o u g h tf o r w a r di nt h i st e x t t h ea n a l y t i co d dp o i n t sp u tf o r w a r di nl i t e r a t u r e 11 】 i sc a u s e db yt h ea n t i - t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ni nt h ef o r w a r dt h e o r e t i c a le x p r e s s i o n s ，a n d d i s c o v e ra tt h et i m eo fd o i n gw h o l es p a c e st os t u d y ，t h en a t u r a ll o g a r i t h m sf u n c t i o nw i l la l s o c a u s et h ea n a l y t i co d dp o i n t s t h i st e x td e d u c e dt h ef o r w a r dt h e o r e t i c a le x p r e s s i o n sw i t h o u t a n a l y t i co d dp o i n t si nw h o l es p a c e so fg r a v i t ya n dm a g n e t i cf o r w a r d ，g o i n gf o r w a r dt og ot o c o r r e s p o n dw i t ht h i sf o u n d a t i o no ft h es o f t w a r ed e v e l o pa n dt h em o d e lt r yt oc a l c u l a t e ，a l l o b t a i n i n gg o o dr e s u l t k e yw o r d s ：g r a v i t ya n o m a l i e s ；m a g n e t i ca n o m a l i e s ；f o r w a r d ，v e r t i c a lc u b e ，a n a l ) ，t i co d d p o i n t s ，a n t i t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n ，n a t u r a ll o g a r i t h m sf u n c t i o n 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何 未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：寥婀年歹月切日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权 利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成 果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：参 导师签名： 励钥l y 衫 加 月 月 钥 朋 年 年 加7 k 友人学f 哆! i j 论文 第一章绪论 1 1 本课题研究的背景和意义 1 。1 1问题提出 复杂形体重、磁异常f 演是重、磁勘探中的一项基础工作。正演问题是己知物性和 形态求异常值，而反演问题是己知异常值求物性或形态，所以j 下演问题是反演问题的基 础。国内外许多学者都曾对不同形状的二度体和三度体的重、磁异常正演问题进行了研 究，并给出了相应的计算公式，每种方法均有各自的应用条件，也有各自的优越性。 虽然重、磁异常f 演已经作了很多工作，但是仍然存在一些问题需要解决。例如文 献【5 】指出点元法在磁异常j 下演中存在“奇点”的问题，并给出了上半无源空问无解析“奇 点”磁异常理论表达式。那么在点元的旁侧以及下半无源空间是否也存在“奇点”问题 呢? 这就是本文研究的背景和意义。 1 1 2 研究现状 重、磁异常f 演工作已经经历了一个相当长的历史过程。f 演方法按求解域可以分 为两大类：空间域和频率域。每类方法中又包含有限单元法和边界单元法。有限单元法 中包括：点元法、线元法和面元法；边界单元法中包括：多边形截面法、三角形面多面 体法等。在诸多方法中，空问域点元法能够有效的模拟实际形体，因此，国内外许多学 者都在这方面作过相当多的工作。例如：n a g yd ( 1 9 6 6 ) i 1 3 】推导了重力场的f 演理论表达 式；谭承泽、郭绍雍( 1 9 8 4 ) 1 18 1 ，黄树堂、顾学新( 1 9 6 4 ) 【8 1 ，吴功建、管志宁、郭绍雍( 1 9 8 0 ) 【1 9 1 ， 黄国祥( 1 9 8 8 ) 【9 1 等人在他们的著作中都对点元法磁异常f 演进行了推导，并给出了磁异 常讵演表达式；董焕成( 1 9 9 3 ) 【3 】在其著作中给出了重力异常正演表达式；郭志宏、管志 宁、 懈( 2 0 0 4 ) 1 5 】首次提出了点元法重、磁异常原理论表达式存在无法计算的解析“奇 点”问题，并给出了上半无源空间无解析“奇点”理论表达式。 1 1 3 主要成果 本论文的研究对象是空间域点元法重、磁异常f 演计算。首先对点元法原重、磁异 常诉演理论表达式进行推导，再深入研究文献【5 1 中给出的上半无源空间无解析“奇点” 表达式，将以上两式进行对比，找到产生“奇点”的原因。 在上述研究的基础上，本论文致力于点元法全空问无解析“奇点”的研究。在研究中 址于绪论 发现引起“奇点”问题刁i 只是文i 袱i ，所捉的原表达式f 1 的反化切函数，兰j 发腱i i - 0 全空1 1 i j f r , j 时候，表达式r i ，的 】然对数函数也会引起奇点l u j 题。 在文巾对文献中提出的“奇点”i u j 题进行了评价。认为反讵切函数产，卜的“奇点”l u j 题， 足函数本身之有的性质，在文巾会i 节细f 列明。 编写了棚应计算程序，使该程j 乎能够解决点元法个空问变物性的。咂、磁异常币演计 算，要求该程序能够灵活、准确的计算变物性组合体。 用点元法全空j 日j 无解析“奇点”重、磁异常正演方法对单一模型和组合模型进行测 试。其目的有两个：一是检验理论表达式的f 确性：二是测试所编写的计算程序的解决 能力。 1 2 重磁异常正演基本公式 1 2 1 重力异常及各阶导数的正演公式 计算地质体所引起的重力异常，可以首先根 据牛顿万有引力公式计算地质体的剩余质量所 引起的引力位，然后再求出引力位沿重力方向的 导数，便得重力异常。 如图2 1 所示，d 为坐标原点，z 轴铅垂向 下( 向下为正方向) ，x 、y 相互垂直构成水平 面。若地质体与围岩的密度差( 即剩余密度) 为 o r ，地质体内某一体积元d v d 髟彬；，其坐标 图2 1 地质体重力异常的计算 为( 亭，r l ，毒) ，它的剩余质量为d m ，则d m = 谳，= 谢髟砸毒，剩余质量元到计算点彳b ，y ，z ) 的距离为，；峙一z ) ：+ ( r - y ) 2 + ( ；一z ) ：】：。所以，地质体的剩余质量对某点产生的引力 位为： 肚啷叵再焉而倒褴 m 2 m 式中：v 为地质体的体积。 因为z 方向就是重力的方向，所以重力异常就是剩余质量的引力位沿z 方向的导数 姚肛) = 尝2 嘶面焉等杀开嘞矽亭 m 2 固 k 安人! 学顺i j 论爻 a g ( x ，y ，z ) 三个方向的一阶导数表达式为 警吩州等嵩岽鼎删考 m 2 渤 警= 比二3 嘶可等赫嘞d 考 m 2 q 警2 23 嘶可等撕蝴d 考 m 2 司 在国际单位制( s i ) 中，重力异常a g 的单位为1 9 “= 1 0 6 m s 2 ，弓i 力常量 g = 6 6 7 2x 1 0 。1 1 m 3 k g s2 ，密度单位为k g m 3 。 在高斯单位制( c g s m ) 中，重力异常a g 的单位为1 g a l = i c m $ 2 1 0 4 9 u ，引力 常量g = 6 6 7 2 x 1 0 8 伽3 g s2 ，密度单位为g c m 3 。 1 2 2 磁力异常及各阶导数的正演公式 任何一个三度磁性体可以看作许多体积很小的磁性体元组成，每个磁性体元相当于 一对磁量相等、符号相反、相距极近的磁偶极子。把磁性体所包含的所有磁性体元的磁 位积分求和，就得到整个磁性体磁位【，的积分表达式： 【，g ，y ，z ) 一一石1jm 口q 忙卜 ( 1 2 6 ) 式中：m q 表示体内q 点的磁化强度矢量。 何甜；一。_ o u - - - i a o f v p ， h 。，。一。_ o u ：一。7 v p u d ， z 。：一。_ o u 。一。云v 尸u d z 丁= 一。i o u = 一胪v p 【， ( 1 。2 7 ) 一个即均匀磁化又密度均匀的物体的磁位，可由引力位来计算，这称之为泊松公式， 3 谗一驻绪沦 为方便起见，我们将引力位川t 的g 。略去，得一个新的表达式y = j = i 砖d y ，我们称l e 为 异常体位。t l t t , i l , r - 1 出 式中： 日。= 等k j 吃+ m ，+ m ：吃 h 町= 笔k ，+ m ，+ m ：k z 。= 等k ，吃+ m ，+ m ：k ： 总磁异常丁可由- 。、- 。、z 。根据如下公式求得 a t = - 。tx + - o 。t ，+ zo t ： 式中f ，、f ，、f ：为地磁场的方向余弦。 磁场方向导数表达式中异常体位的三阶导数表达式为 2 畦瞰等肛 比2 畦斟等肛 2 赡陬肛 2 蝣崩等肛 吃2 赡崩等舯 4 2 赡陬肛 。赡崩孚肛 2 赡崩字肛 2 赡陬等舯 。赡陬肛 ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) d d 办 计计小 1 一r 1 一r 1 一厂 ，f卜 a 一砂 a 一妙 a 一钯 a 一缸 a 一砂 a 一把 赡，瞻赡 k k n a 一缺 a 一把 a 一妙赡赡瞻 仍。 。 。 吃 比 k 五人学坝l j 论支 1 2 3 空间域点元法基本思想 如图2 3 所示，将任意形体用三组平行于直角坐标而的戡平面进行分割，使物体分成 许多具有规则形状的直立六面体元。用解析方法计算出所有这些直立六面体在计算点产 生的异常，并累加求和，就可以得到整个形体在计算点引起的异常值，我们称之为点元 法。因为是将有限个单元的异常值叠加得到，故属于空问域的有限单元法。 ，! 童： 一 ( a ) 组合模型 ( b ) 任一单元模型 图2 3 三度体点元法示意图 5 级：翠。；邓q 域d 允；左磁j 片0 ； 一消 第二章全空间点元法无解析奇点磁异常正演 本章节的主要内容是做点元法磁异常全空间无“奇点”正演的研究。郭志宏等人 ( 2 0 0 4 ) i s l 首次提出了点元法重、磁异常原理论表达式在上半无源审川存住无法计算的 解析“奇点”问题，并给出了磁异常上半无源空i f 1 j 无解析“奇点”理论表达式。 本章从计算磁异常公式推导出发，发现在做全空f d j 币演计算的时候，引起“奇点”问 题的不只是文献f 5 】中所提的反正切函数项，表达式中的自然对数函数项同样会引起“奇 点”问题，并给出了相应的解决办法。最后，我们给出了磁异常的全空间无解析“奇点” 理论表达式和全空i l j 无“奇点”计算表达式。 2 1上半无源空间无解析“奇点”磁异常正演 2 1 1 原磁异常正演 磁场的f 演推导由泊松公式( 1 2 8 ) 出发，对磁场各个分量的求解就是对异常体位 y = j = i 昨d y 的各个二阶导数的誉解。设( 亭，叩，；) 为直立六面体内体积微元的坐标，摹边 界范围为岛、亭：，r 。、r ：，毒，、；：，而b ，y ，z ) 为无源区计算点的坐标，则有 r - ：恬一x ) ：+ 0 一y ) ：+ 皓一z ) ：j 。由于对任意厂皓一工，叩一y ，当一z ) 类型的函数有 研 a 一= - _ a 亭 o x 耐研 = o r l砂 讨对 一= 一一 a 亡o z 并且等严- - 7 - ，嚣) 2 7 r l - y ，嚣) - 等 利用积分公式1 6 1 ，瓦f 芝与万2 志+ c ，得 吃2 ：f ( 字p 叩i 耋 2 甜n z 丽纛鞠咖l 6 k 安人学颁 j 论文 ( 亭一z 亭一x ) ， ( 参一z ) ( 宇一x ) 厂 厂( 参一z x 亭一x ) 一( 考一z x 芋一x x , 7 一y ) ： r2 ( 亭一z ) ：+ ( 亭一工) ：( 叩一y ) ： ，( 亭一z x 芋一x ) 一( 参一z x 亭一工x ，7 一y ) 2 ，7 。：一 因叫吲宁卜 d 蚓岔 d 叼俳； ，( 一z 焐一z ) 一偕一z 焐一x 勋一y ) 2 厂 1 6 】陡= 一1a r c t a n 兰+ c ， 所以 jx 。+ a aa 原式；一亡2 j r h 同理可得 【宇一x x , 7 一y j d ，( 亭一z ) 1 + 吲掣 ： 厂：( ；一z ) 2 d ，7 眯i d 叩。且有积分公式 蚓耋= - a r c t a n 罐掣搬仁， 2 礞( 等卜= - a r c t a n 咤掣m 搬 2 蝣( 孚p 咖一c t a n 紫m i 对于异常体位二阶导数、比和的求解可利用积分公式6 1 - n 翩+ x + c ，则有 2 巧喜 寺卜彰，矽考= f ：j ：寺d 私；尝号d 考i 同理，可导出 = i j d ( 毒一z ) = l n r + ( 亭一z ) 詈i 7 挑i r 2 仇 詈i ：； ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 弧一：节 卞| 1 j 】城点儿泣晓j 异常弼i ；i 2 赡斟a 驯1 嘞蜘】n ，+ ( p y ) 旧 肾赡斟卅驯h n ，以剖衢l 将( 2 1 1 ) 剑( 2 1 6 ) 式代入( 1 2 8 ) x ，即得磁场各分量的值。 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 日。2q 1 _ _ 玎& _ m xarctan错+m，n，+(毒一z)】+肘：n，+(叩一y)l詈l并i； h 掣= j i o m ，n r + ( 誊一z - m ya r c t a n 剖 + m ：n ，+ ( 亭一z ) i i 者i 岔。 z 。= 丢 肘，n ，+ ( 叩一y ) + m yi n ，- + ( 芋一工 - m a r c t a n 料 l l 者i ；( 2 ，7 ) 再利用( 1 2 9 ) 式即得总磁异常值a t 的表达式。 2 1 2 上半无源空间无解析“奇点”磁异常正演 实际计算中，当在上半无源空间( 即参一z 0 ，厂 0 ) ，直立六面体顶面的p _ q 个角点 在计算平面上的垂直投影点与网格点重合时( 即x = 亭，y = r ) ，原磁异常表达式会出现 分子、分母同时为零的情况，因而这些网格点( 见图2 2 中黑点) 成为无法计算的解析“奇 点”。郭志宏等人( 2 0 0 4 ) 1 5 通过详细的理论推导，分析了出现“奇点”的原因，并在此基 础上给出了上半无源空i t 】j 无解析“奇点”的磁异常理论表达式。 原磁场表达式推导过程中( 2 1 2 ) 式的分子、分母同乘以皓一x ) ：+ 0 一y ) ：，而后又同 除以r2 售一x ) ：，当直立六面体的角点与计算网格点重合时( 即x = 亭，y = r ) ，即使在上 半无源空间，由于这些网格点处，这两个式子值为零，因此文献【5 】中认为这两步运算导 出的表达式在这四个特殊的网格点上是无意义的，这就是产生“奇点”的原因。 为了解决“奇点”问题，对原式的左端重新做了积分，得到了无解析“奇点”磁异常的 理论表达式。 比；候( 等) 嘞毒 = ：j ：；：( 字) 酬 = 带叫叵意赫蚓 8 2 ：( 沁阵鼢蚓者 ；：点龄鹎啡l ：； 禹简化，令“：峙一x ) ：+ 一z ) ! j ，则 。 比= ：蜮帮盅端高掣咪旧 = ：掣老啬等杀导岛蚓副i 现 l j如“：i ( 宇一x ) 2 + 皓一z ) ：+ 幻一y ) ：+ 2 r ( 善一z ) + ( ；一z ) ：毛 t 2 警蠕罐荆蚓剥者 上式中 “：峙一z ) 2 + g y ) ：j - 眵一x ) 2 + ( ；一z ) ：l ( 言一z ) 2 + ”y ) ：j = i ( 亭一工) 2 + g y ) 2 + 倍一z ) ：【毒一z ) ：+ 倍一工) ：0 一y ) 2 ：厂2f 芒一z 1 2 + ( 占一工2 ( ”一y 1 2 将结果代入可得 吃。2 2 2 2 2 一2 因为di：芗二j习占譬毳=一玉兰二匠萎穹乏：i毛=叁群d；，所以 原式=：d(亭-：x,7-y)d亭詈i嚣 七1 d 一厂“4 1 止舡一心正“坐盟帕i 编一：稀 ，：j 问城点) l i 。z 。, 嵫j 好雨1 1 i 演 c t a n 同综掣砑搬 采用棚n d 的方式可以推出 v = a r c t a n 翮镣裂砑搬 而k 、比及k ：的表达式与原表达式中的十日同 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 吃= 瞻眺归咖- a r c t a n 掣搬亿。， 2 赡崩卅彭炉咄叱一帅；悟 ( 2 ，) 吃2 畦斟卅髟蜘n r + y 蚓搬 仁2 ) 2 瞻崩卅髟炉n r + 皓谁眺； ( 2 3 ) 将( 2 1 8 ) 到( 2 1 1 3 ) 式代y x ( 1 2 8 ) 式，即得磁场各分量的值。 h。=ipom，arctani；_=：j?孳j毳+彳，-n【，-+(；一z)】+彳：-nr+(叩一y)l耄i：；i；i h印=丢m，一n，+(；一z+m：arctan百7二了j：哇蠢+m：n，+(亭一工)ll等i； z 。= 丢 m ，- n ，+ ( 叩一y ) + m yi n ，+ ( 亭一工 - m ：a r c t a n 制 l ；叫者i ；( 2 ，4 ) 再利用( 1 2 9 ) 式即得总磁异常值丁的表达式。 2 1 3 “奇点”讨论 通过上述对原磁异常理论表达式和上半无源空间无解析“奇点”磁异常理论表达式 的详细推导，可以看出“奇点”问题就是公式中的反币切函数项。 下面我们先建立一个简单的模型，对两种算法进行对比，用直观的方式来说明此问 题。如图2 1 所示，设观测面为正南、北向的平面规则网，处于上半无源空f j ，其中 z ( 一2 0 ，2 0 ) 、y e ( 一2 0 ，2 0 ) 、z = 一2 ，单位为k m ，方向向下为正：异常体是边长为4 k i n 1 0 k 安人学坝i j 论上 的直立六面体，取值为舅= 一2 、岛= 2 、r l 。= 一2 、r l ：= 2 、毒。= 2 、耋：= 6 ；地磁场参 数设置为，磁倾角，= 4 5 。、磁偏角彳；4 5 。两种表达式得出的丁场等值线图如图2 2 和图2 3 所示。 7 夕| | 丝毫薹j _ 害鼍差j _ 主乏善己芝z 之乏 7 ，：，- 一：【r - ：j 一，：，o ： z ：t ，- 一，t ，i ，二t ，：t ，- 图2 1 上半无源空间平面规则网示意图 图2 2 为原磁异常理论表达式得出的丁场等值线图，图中实线为高值，最大值为 7 5 0 n t ：虚线为低值，最小值为3 0 0 n t 。图中四个黑点标记的是出现“奇点”的地方。 2 0 5 1 0 5 至 。 百 5 。 o 5 - 2 0 2 01 51 05 y ( k m ) 图2 2 倾斜磁化立方体有“奇点”丁场等值线图 产生“奇点”的原因就是当直立六面体顶面的四个角点在计算平面上的垂直投影点 与网格点重合时( 即z = 亭，y = r ) ，式中反正切函数 ；弧专( 等户阶一a r c t a n 咤掣搬 讹一：氍。i i n 日域点几：j ：磁，j 蚌耵心嶷 肾瓜南( p 加c t a n 紫搬 一l ，的分量；f j 现了分子、分母同时为零的情况。j n 就反i l - i t j j 函数t f l 的分式术讲，分一f 、分 母同时为0 的时候分式足无意义的。 图2 3 为上半无源空间无解析“奇点”理论发达式计算得出的丁场等值线图。在 上半无源空间处，即亭一z 0 的情况下，对改进后的反正切函数、。这两项来讲， 函数中的分式其分母恒大于零。在四个角点处，虽然分子值为零，但分母值为2 ( ；一z ) ! ， 单就分式来讲，是有意义的，其值为0 。图中实线为高值，最大值为7 5 0 n t ：虚线为低 值，最小值为3 0 0 n t 。 y 【k m ) 图2 3 倾斜磁化立方体无“奇点”a t 场等值线图 对这两幅图形进行对比后，我们会发现，在原计算公式中刨去四个角点后得到的r 场等值线图，与文献【5 】中给出的表达式得到的丁场等值线图一样。 出现“奇点”的原因我们在前面已经做过i 兑明，主要是由表达式中的反诈切项引起 的。现在我们就反证切函数厂；a r c t a n 兰进行研究，式中x 、y 均为自变量，现在令z ：兰， yy 则有 1 2 k 。友人，芋f 吹i j 论乏 反正切函数f 的取值区间为( 一三，三) 自变量z 的取值区间为( ，+ ) 当y = o ，x 0 时，有z = ，贝0 f = 互2 所以，对原表达式中比、两项来讲，反f 切函数本身就存在分母为零的情况。 对于这种情况，我们在计算的过程中通过下述方法就可以解决。 对z ：兰来讲，当y ：0 时，若x 0 ，即z 趋近于+ 0 0 ，令厂：要； vz 若x = 0 ，令厂= 0 ； 若x o ，即z 趋近于一，令厂= 一三。 通过这种处理方式，我们在计算中便消除了原表达式中的“奇点”问题。文献【5 】给出 的表达式中，对厂：a r c t a n 三来讲y 恒大于0 ，当x ；0 时厂。0 ，与以上处理方式得到的 y 结果相同。 我们将原磁异常理论表达式经修改后得到的丁场与上半无源空i h j 无解析“奇点”表 达式得出的丁场作差值后发现，差值中最小值为0 0 0 0 2 n t ，最大值为+ 0 0 0 0 2 2 n t ，相 对其幅值来讲可忽略不计。 由以上讨论我们可以看出，改进后的表达式，仅就上半无源空间来讲是比较严谨的， 不用考虑反f 切函数中无法做解析计算的问题。然而，我们也说明了表达式中反f 切函 数项本身具有的特性，只要在计算中做一些处理，问题便可迎刃而解。 2 2 全空间无解析“奇点 磁异常正演 2 2 1 全空间磁异常正演中奇点问题的产生 首先我们要考虑的是，上述两种表达式能否解决全空问的情况。若无法解决，会出 现什么样的问题，又是由于什么原因引起。先让我们作一个简单的模型试算。 模型示意图如图2 4 所示，观测面为币南、北向平面规则网，处于下半无源空间， 其它参数的设置与图2 1 中的相同。 1 3 讹一二啊i ! 悯城点凡i j ：娩，j 异常前 从理论上来讲，对上半无源空间和下半无源空间所设置两种模型，其测点到形体中 心点的垂直距离均为6 k i n ，因t t - i ：所得的两种磁异常值的幅度应当是相同的。若测点处于 下半无源空问，当直立六面体底面的四个角点在计算平面上的垂直投影点与网格点重合 时( 即x = 宇，y r ) ，原磁异常理论表达式( 2 1 8 ) 中的反正切函数项 比= 面专( 等p 彬考 = - a r c t a n 咤掣搬 中，分子、分母同时为0 ，此时我们用前面给出的解决办法来得到吃中反正切函数的值， 与上半空间的相同。项采用相同的处理方式即可。对于函数吃来讲 吃= j ：l = c 虿0 眺01 归彬考 = - a r c t a n 咤宁搬 针对重合点那一项的分量，其分母为一( ；一z ) 2 = 一1 6 0 ，而分子为0 ，所以其值也等于 0 。与上半无源空间对应点得到的值完全相同。 那么，除了反正切函数以外，自然对数函数会不会也产生“奇点”问题呢? 表达式中 的三个自然对数项分别为( 2 1 4 ) 式( 2 1 5 ) 式和( 2 1 6 ) 式 。赡崩冲髟烀州h 蚓搬 k 2 赡崩卅洲h 肌喇搬 2 赡崩卅洲川n r + 畦谁眺i 当直立六面体底面的四个角点在计算平面匕的垂直投影点与网格点重合时( 即 1 4 k 奠人学帧l j 论上 x = 亭，y = r 1 ) ，对比和柬讲，其重合点的分艟值为 l n 一( 毒一z ) = i n 4 ( 2 2 1 ) 与上半无源空问对应点的值 l n ( 毒一z ) = i n 4 ( 2 2 2 ) 完全相等。而自然对数则出现“奇点”问题，当在上半无源空间的时候，其重合点的 分量值为 l n ( 亭一z ) + ( ；一z ) = l n8 ( 2 2 3 ) 到了下半无源空间的时候有 i n 一( ；一z ) + ( 毒一z ) = i n 0 一一 ( 2 2 4 ) 两种情况的取值完全不同，这就产生了“奇点”问题。对于这种情况需要对项进行改 造，改造的思想就是遵循自然对数函数性质( 自变量大于0 ) ，如此我们需要对( 2 1 。4 ) 式重新推导。 根据积分公式，了霉与一一- n 翮一工 + c ，则有： 2 j | ! = 喜 寺( 驯d 彰私毒= ：j ：2 寺p 户彬毒尝号d 考引等 一一i n ，一( 毒一z ) 詈l 者l 鲁 ( 2 2 5 ) 通过这样的处理，在下半无源空间，当直立六面体底面的四个角点在计算平面上的垂直 投影点与网格点重合时( 即z = 亭，y = ，7 ) ，的分量值为 一i n 一( 亭一z ) 一( 亭一z ) 】= 一l n 8 ( 2 2 6 ) 其结果的绝对值和在上半无源空间时得到的值相同，因为此项在上、下半空间是相反的。 所以说经过这样的改造，表达式可以f 确处理下半无源空间的“奇点”问题。 以下我们将给出原磁异常理论表达式和该表达式经改造后的磁异常理论表达式所 得的a t 场等值线图及自然对数函数喙项的等值线图。 图2 5 为原磁异常表达式经过程序优化后，得出的下半无源空i 日j r 场等值线图， 图中实线为高值，最大值为8 0 0 n t ；虚线为低值，最小值为1 0 0 0 n t 。与先前上半无源 空间得到的丁场值从3 0 0 n t 到7 5 0 n t 不相符。而且，我们可以看出，在形体的四个角 1 5 馋一：帝。卜问城点几；土嵫j 异耵i i i 消 点处存在明显的“奇点”，这些奇点_ m + 疋l - i “j 自然对数函数心j j l 起的。 1 s 0 5 o 0 - 1 5 ， 、 ， 、 、w ， 2 01 51 0 - 5 o 51 01 52 0 y ( k m ) 图2 5 倾斜磁化直立六面体原表达式丁场等值线图 图2 6 为的等值线图，在四个角点处出现了明显的极大值与极小值，所以浇在下 半无源空间当x = 亭，y = 叩时，可以看出自然对数函数这一项会存在 1 0 5 o - o 5 0 2 01 5，0 o o51 0 52 0 y ( k m ) 图2 6 自然对数函数k 等值线图 】6 “奇点”问题。 一e 邑 图2 7 为新推出的磁异常表达式计算出的下半无源空问7 场等值线图。图i | 1 实线 为高值，最大值为7 5 0 n t ；虚线为低值，最小值为3 0 0 n t ，与先附上j 仁无源空叫得到的 r 场值完全相符，且在形体的四个角点处无“奇点”现象。 1 ， 2 0 t一一一一一 2 01 5 o5051 05 2 0 y ( k m ) 图2 7 原磁异常理论表达式经修改后得到的 下半无源空间无解析奇点丁场等值线图 图2 8 为经过改造后得到的等值线图，在四个角点处无“奇点”现象，且等值线光 - 2 01 5- 1 0 - 50 51 01 52 0 y ( k m ) 图2 8 经改造后的等值线图 1 7 弛：啦：i 问城j _ 儿i j 磁j 埽。聃币i , j f 滑，异常形念符合实际，i 兑明k 、修改币确。 经过上述讨论，我们解决了原磁异常理论表达j i = 伯：下：、# 无源空m f l ：t f l j “奇点”i u j 题。 那么，用文献【5 】i ，给出的上半无源空问无解析“奇点”理论表达式计算下半无源空| 1 j j 的情 况会怎样呢? 当然，其中的自然对数函数k 、要采用蜘1 j ：的处理方式。现在只来研究反 m 切函数吃和，。以吃为例 比= 礁( 等户彬_ 芒= a r c t a n 瓦踪糍 在上半无源空问的时候，当直立六而体顶面的四个角点在计算平面上的垂直投影点与网 格点重合时( 即x = 亭，y = r ) ，其重合点的分量值为 a r c t a n 揣 - - a r c t a n 絮掣 a r a n o - o 偿2 刀 在下半无源空间的时候，其对应点的值为 n 揣 = a r c t a n 掣 = a r c l a n o 亿2 固 对于( 2 2 8 ) 式出现的。的情况，我们还是根掘反币切函数本身特有的性质，令其值等 于0 。如此一来，可以消除下半无源空间时反萨切函数在角点处产生的“奇点”问题。 图2 9 是由上半无源空问无解析“奇点”理论表达式得出的下半无源空f n j 丁场等值 线图，图中虚线为低值，最小值3 2 0 0 n t ，实线为高值，最大值2 0 0 0 n t ，与先f j 上半无 源空间得到的丁场值大不相符，且在形体的四个角点处也存在明显的奇点。这些“奇点” 的产生与原计算公式“奇点”产生的原因一样，是由自然对数函数圪引起的。 除此之外，反f 切函数吃、i , t y y 的计算也存在问题。其中比项的等值线图如下2 1 0 所示。其异常形态与实际异常走向相似，但幅值甚大，所以说引力位二阶导数吃和， 两项有歧义。因为吃( 2 1 8 式) 和( 2 1 9 式) 两项在推导的过程中，分子、分母 同时乘了一个 厂+ ( ；一z ) 二。在下半无源空i h j ( 亭一z 0 ) ，当直立六面体底面的四个角 点在计算平面上的垂直投影点与网格点重合时( 即x = 亭，y = ，7 ) ，有r = 一( 善一z ) ，就有 r + ( 亭一z ) r = 0 ，在数学计算中当分子分母同时乘以0 ，会造成计算结果产生畸变。因 1 8 k 安人学顺i 。论文 为，( 毒一z ) 0 。在下半空f j j 的时候 一扫o ，o 笔， 口 o o 5 一 口一 王 。 5 1 0 1 5 - 2 0 - 2 01 51 05o5 y ( k m ) 图2 1 0 吃项等值线图 1 9 o25 口 o o 毒一z 0 ，此时分子、分母j 司乘以一个- 。一【参一z j j 一姚i 叮以将_ 【：述 现的问题解决。现将推导过程给出如下，以为例 比r2 礁( 等) 嘞一毒 = ! j ： 0 禾】，7 一y 0 负空i 日j ：考一z 0 ，亭一工 0 和叩一y 0 当处于下半无源空| j 的时候k 会产生“奇点”问题，经过( 2 2 5 ) 式的改造后，解决了 这一问题。 若测网位于负空l b j 亭一x 0 ，当直立六面体侧面的四个角点在计算平面上的垂直投 影点与网格点重合时( 即y = r , 亭= z ) ，二阶导数k 同样会产生“奇点”问题，采用与 ( 2 2 5 ) 式相同的改造方法后，可得 k 负2 瞻斟珊彰彬考 - - - i n h 怵旧( 2 2 1 2 ， 若测网位于负空间r 一y 0 。直立六面体侧面的四个角点在计算平面上的垂直投影 点与网格点重合时( 即亭；x ，；= z ) ，对于，和吃来讲，采用( 2 1 8 ) 式的方法，在推 导：, - j - 中分子、分母同乘p + 倍一x ) r ，可得 讯稀。i j i t i 】城点几泣磁，j 婶。沾l f i 浈 f = a r c t a n 比工= a r c t a n ；：i 叩：i ；： 毛hl ； 同警b 搬l ( 亨一x ) ：+ ( ；一z ) ：+ ，( 芋一x ) i 悼l | 仇卜1 ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) 对于负空i 日j 亭一工 0 时，在推导过程中分子、分母同 乘p + ( r 一y ) r ，有 v = , t = a r c t a n 同等骁b 懈水i 吃正；a r c t a n 砑等骁b y 嚣l l ( 毒一z ) ：+ ( ，7 一y ) ：+ 厂( 7 7 一) i i 毛h “ ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) 若测网位于负空间叩一y 0 时，在推导过程中分子、分母同乘 r b y ) r ，有 比负= 一a r c t a n 吃负= 一a r c l a n 而对于。来讲，有 同等r l 骁b y jl ( 亭一工) ：+ ( 一y ) ：一，( 叩一 ) i f ；：i _ ：i 包 毛1 1 1 。l 玉 砑等r l 簪b y 1 | l 邑- - , l 等i i ( 亭一z ) ：+ (一y ) ：一，- ( ，7 一 ) h 川 2 - l = j = l = c 南眺归蜘一a r c t a n 吲掣 2 4 ；：fr ：i0 2 毛ir li 毛 ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) k 安人学硕i j 论文 因此，全空间无解析“奇点”反j 下切函数表达式可归纳为： 阽+ a r c t a n i 褊卜一c t a n 一瓣 通过这样的处理方式，只要将上述正、负空间的表达式应用于相应的半空间，便得 到了全空间无解析“奇点”理论表达式。 正如先前所说，原磁异常理论表达式在计算过程中，对反正切函数项做一些处理便 可消除“奇点”的影响，而不改变场值。所以，我们给出磁异常全空间无“奇点”计算表达 式如下。 h “2 石z 。 - m xa r c t a n 【钭 m y - n r ( ；一z ) 彳：n r g y ) i f 者l ； 日缈。盖 m ，- n r ( ；一z ) - m ya r c t a n 皆 m ：n p ( 宇一工) i i 翕i 髻 z 。羞 m ，n p ( 叩一y ) - + m y i n ，( 亭一工 - m za r