（控制理论与控制工程专业论文）非平稳信号的特征提取.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 信号与信息处理是信息科学中近十几年来发展最快的学科之一，传统的统计 信号处理有三个基本的假设：线性，高斯性和平稳性，而现代信号处理方法是以 非线性，非高斯性和非平稳性作为分析与处理的对象，尤其以非平稳信号的处理 引人注目。 在具有强烈非平稳性的心电信号的分析中，最为首要且关键的问题就是q r s 波群的检测这是因为可靠的q r s 波群检测，不仅是诊断心律失常的重要依据， 而且只有在确定q r s 波群后，才有可能计算心率、心率变异性，并进一步地检测和 分析心电的其它细节信息。 q r s 波群检测经历了几十年的发展，目前已经提出了多种检测方法，本文试 图从另外的角度来分析心电信号，利用基于r l s 算法的自适应a r 建模和结合小 波的k a l m a n 算法，对q r s 波进行预测和校正，当心电信号发生变化时，如某种 疾病导致心电信号产生的变化，自适应模型可以自动的对模型进行修正，再根据 r 波在各个尺度上的小波系数，通过一定的判定准则进行判别，从而确定心电信 号的r 波位置。 实验证明，本文中采用的算法取得了比较好的效果，无论在实时性，抗干扰 性，还是准确性上都有了明显的提高。是检测q r s 波群的一种较好的方法。 关键词t 自适应a r 模型：卡尔曼滤波：心电信号；q r s 波；小波分析 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ep a s td e c a d e t h ep r o c e s s i n go f s i g n a la n di n f o 删o nh a sb e e no n eo f t h e f a s t e s td e c e l o p i n gs u b j e c t s t h eu a d i t i o n a ls i g n a lp r o c e s s i n gi sb a s e do nn l r e c s u p p o s e ：l i n e a r i t y , g a u s s i a n i t ya n ds t a t i o n a r i t y , w h i l et h em o r d e ns i g n a lp r o c e s s i n g n o n - l i n e a r i t y , n o n - g a u s s i a n i t ya n dn o n - s t a t i o n a r i 吼e s p e c i a l l y ，t h ed o n - s t a t i o n a r i t y h a sc a u g h tm o s tp e o p l e se y e s t h em o s ti m p o r t a n ti nt h ea n a l y s i so f e l e c t r o c a r d i o g r a mi st h ed e t e c t i o no f q r s ar e l i a b l ed e t e c t i o ni sn o to n l ya ni m p o r t a n tc r i t e r i o nf o ra l g o r i t h m ，b u ta l s oap r e m i s e o f t h ed e t e c t i o na n da n a l y s i so f e c gs i g n a l s d e t a i li n f o r m a t i o n m a n ya l g o r i t h m sf o rt h ed e t e c t i o no f q r s h a v eb e e np u tf o r w a r d i nt h i sp a p e r ， t r yt oa n a l y s et h ee c gs i g n a l sf r o ma n o t h e ra n g l e t h ea d a p t i v ea rm o d e l b a s e do nr l sa l g o r i t h m k a l m a b if i l t e r i n ga n dw a v e l e t sa ma p p l i e dt op r e d i c ta n d c o x t e c tt h eq r so fe c gs i g n a l s w h e nt h ee c g c h a n g e s ，t h ea d a p t i v em o d e lc a n m o d i o , si t s e l fa n da c c o r d i n gt oac e r t a i nc r i t e r i o n w ec a nc o n f i r mt h ep o s i t i o no f q r s 1 1 c o m p a r e dw i t ht h eo t h e rm e t h o d s ，i t sar e a lt i m ea l g o r i t h m ，a n dt h et i m eo f d e t e c t i o n f o r q r so f e c gs i g n a l s i s t h o r t e n r e s u l t s i n d c a t e s t h i s a l g o r i t h m i se f f e c t i v e k e yw o r d s ：a d a p t i v ea rm o d e l ，k a l m a nf i l t e r i n g , r l sa l g o r i t h m ，w a v e l e t s ， e l e c t r o c a r d i o g r a m 正c o ) i i 学位论文舨权使用授权书 本学位论文作糟兜全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门绒机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和僧 麓。本人授毂江苏丈学可班蒋拳学位论文鹣全郭内容羲藏分内容缡入蠢美数握露 进行梭索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 镶密口，在 年磐密蘑遗趣本授较书。 不保密匦 学位论文作者签名：僚鼍- 函跚毕年月w 目 掩导教师签名： 融耍乓 毋卯华年舌月坤日 y 1 0 1 g 1 4 9 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：帛卉弘 日期：乏一u 年月。仁日 江苏大学硕士擘住论丈 第一章绪论 信号与信息处理是信息科学中近十几年来发展最快的学科之一。传统的统计 信号处理有三个基本的假设：线性。高斯性和平稳性，而现代信号处理方法是以 非线性，非高斯性和非平稳性作为分析与处理的对象，尤其以非平稳信号的处理 引人注目“1 。 生物医学信号是一类非平稳信号，它有两个特征是关注的重点：1 ) 某个信 号特征常常偏离正常( 如心电图，脑电图) ，这是最可靠的诊断信息。2 ) 感兴 趣的信息经常是以在时间或空问聚集的特征组合形式表现的。 傅立叶分析最早应用于生物医学信号的研究，它可以将信号分解为各个频率 分量的加权和，此后该领域相继引入了频域分析( 如功率谱分析) ，时域分析等 分析方法。频域分析方法主要是基于信号各个频段功率，相干等，而时域分析方 法则主要分析信号波形的几何性质，如幅度，均值方差，偏歪度，峭度等。近 年来，如时频分析( 包括小波分析等) ，神经网络分析，混沌分析等在生物信号 分析中的运用，代表了生物信号现代分析方法的新进展。 l l 频域分析 频域分析是脑电研究及临床应用中的主要分析方法，研究者们在这个领域进 行了大量的工作，有些已日臻成熟。 1 功率谱估计功率谱估计是频域分析的主要手段。它的意义在于把幅度随 时问变化的信号变换为信号功率随频率变化的谱图。功率谱估计法一般可以分为 经典方法与现代方法”1 。 经典的谱估计方法也是直接安定义用有限长数据来估计。主要有两条途径： 直接法它是把随机信号x ( n ) 的n 点观察数据h ( ”) 视为一能量有限信号， 直接取，( 力的傅立叶变换，得x 。扣”) ，然后取其幅值得平方，并除以n ，作 为对x o ) 真实得功率谱p ( e ) 的估计。以j k 0 ”) 表示用周期图法估计出的功 率谱，则( p ，。) = 击l x 。( ) 2 。 v 周期图这个概念是由s c h u s t e r 于1 8 9 9 年首先提出的。因为它是直接由傅立 叶变换得到的，所以人们习惯称之为直接法。在f f t 问世之前，由于该方法的计 江苏走擘颈套擎往豫文 算量过大而滗法运用。自1 9 6 5 年f f t 出现艏，此方法赫搬成了谱估计中的一个 常用方法。由于“0 ”) 可姓用f f t 快速计算，所以0 ”) 也可以方便的簿出。 l 霉接法照方法的理谂基张是维纳一拳钦定理。1 9 5 8 年b l a c k m a n 帮t u k e y 给出了这一方法的具体实现。卸先由x 。( ，螃估计出相关溺数，( 哟，然着求傅立 叶变换，便襁测x 。o ) 的功率谱- 记之为岛( ) ，以此作为对尸( ) 的估计，即 m 毫，) = f ( 勰沁” l m 晦一l * * 一“ 因为这种方法求出的功率谱怒通过自褶若黼数间接得到的，所以称为阊羧法，又 称为自相关法，或b t 法。搿m 较小时，上式的计算量不魁很大，因此，该方法 是在f f t 闯t 鼓之前( 即周期辫被广泛应用乏舰) 常用的谱供计方法。 这两季争方法存在静共嗣朗越是佳话貔蠢差特性不好，分辨率较低。努麓性娩 麓主要是无法燕现功率谱密魔的原始定义中的求均值和求极限的运算；分辨率低 的原因，对周期图法来讲，蠛因为假定数据窗以外的数据叠为零；对自榴获往来 讲，是假定延i 醛富以外的自糨芙函数全为零，当然这种骰怒是不符合实琢的。正 楚由于这些誉符合实际静骰竣产生了经典谱依计较差的分辨率。孺且估计镳沿频 率轴的起伏越剧。数据越长，这一现象越严煎。 为避免经嫩谱估计存在的缺点，近年来发展了各种现代谱估计技术。参数模 型法是其中成臻最为广泛的琴争方法。a r ，淞，a r m a 是最童爱的三静模型。 工程实辩中所遣到的功帮谱大俸上可以分为三莉，一种是“平谱期白磉 声的谱；另一种是“线谱”，斌是由一个或雾个纯正弦所缀成的信号的功率谱， 这是二种极端的情况；介予= 者之间的是既有峰点又有谷点的谱，这种谱称为 “a r m a ”搂燮，是令掇譬模型，它易予爱映殛率谱串麴峰疆番谷攘，l l 嚣a r 模型易于反映谱中的蜂值，姒模型易反映谶巾的谷值。 参数模型法的优点是频率分辨率高，特别适用于短数据处理，且谱围平滑， 有利于参数的颤动提取和定爨分析。由于生物信号是非平稳性比较突出的镀号， 镰诗对一般装势段处理，囊a r 谱毙较透耀予短数蠢楚瑾，霹诧载更逶合予对生 物信号傲分段诲估计。但这种方法对被处理信号的线性，平稳性及信噪比簧求比 艘高。因此不适合对长数据黛的信号进行分析处理“。 谱分析要求信号具有平稳的特性，丽生物信号是典型的 # 乎稳信号，闲戴生 2 汪苏火拳硬毒学位论更 物信号的谱分析必须建立擞信号准平稳的旗础之上。谱分析具有平均谱特性，对 瞬态信号如发作波往往无能为力也难以殷映突发的低幅信号。 2 相半分析又称为楣芙分析，相荚分析就是研究瓣个或两个以上变量之 闯楣关程发必小鞋及爝一定器数来表遮现敛稳互关系静方法8 。 一般来说现象之间的椭甄关系可以分为两种，一种照函数关系，种是相关 关系。函数必系是指变量之间存在的相互依存的关系，它们之间的关系值是确定 静。相关关蓉是两个现象数壤变纯不完全确定的随搬关系，是一耪不完垒确定的 依存关系。幸耩关关系是相关分析的研究对藩，丽函数关系刚是相关分析豹工具。 相关关系与黼数关系的不同之处表现在：( 1 ) 函数关系指变量之间的关系是确定 的，而相关必系的两变量的篾系则是不确定的。可以在一定范围内变动；( 2 ) 函 数关系变量之翔翡霰存可娃耀一定懿方程y ；f ( 砖表褒出来，霉鞋绘定鸯变量来 推算因变量，蔼相关关系剃不能用一定的方程表示。函数荚系是相关关系的特 例，即函数麓系是完全的棚燕关系，相关燕系是不完全的相关关系。 它在噪声中信号的检测，信号中隐含阁期性的检测，傣号相关性检测，信号 拜事延长度静测囊等等领域审鄂鸯广泛静_ 瘦惩。 1 2 时域分析 i 直接从时域提取特征时蛾旱发展起来的方法，因其真观性强，物理意义较明 礴，联噬客荔镀入嚣l 辑接受。 尽管大鬣信号扶频率角度观察更为蠹观，但也有些董簧信息在时域上反映更 为突出，园此时域分析在目前脑电定量化分析种占有重要的位置。时域分析主要 是直接提取波彤特征，以供避一步的分析和诊断。如过零裁点分析，直方嗣分析。 方差分叛，穰荧努毒垂，蜂餐糗瓣及渡影参数分辑，秘于乎缘，波形谣裂譬簿，露 且近年来在波形特征识别。横板识别及雀尚适应滤波等技术上均取得了不少进 展。 1 3时频分耩嘲f 捌嘲 对域分析时研究信号的彩态随对问变化酾规律，抽教必器的特征嚣( 如：幅 度，周期，局部的上升时间写下降时间等) 以作为对信号判断与识别的依据和手 段。例如。目前对心电图( g ) 多是从时域的角度来分析，而对随机性襁强的 江苏走学硕士擎拉论文 脑电图( e g g ) 则多时从颓域的角度来分析的。 时域和频域分析方法道过傅立叶变换联系起来，他们的截然分开是以储号的 频域时不变特性或统计特性警稳为前提的。德是额率q 帮时阍t 逮两个变薰是互 相萎 斥豹，帮，若惩鲡道农浆频率n 。怒蠹每髂立时交换幅俊x ( ，竭，寤簧知道信 号在一。 i b i i f h ：2 对于有限大的正常数和b 成立，其中a 和b 分别称为框架的上边界和下边界。 特别的，若b a i ，则称f p ， ) 为紧凑小波框架( s n u gw a v e l e tf r a m e ) ； 当b a = 1 即a = b 时，则称其为紧致小波框架( t i g h tw a v e l e tf r a m e ) ，紧凑 小波框架也常称为几乎紧致小波框架。 由框架的定义，小波系数q 构成框架的条件是 a l i a i ：2 量 i c j 。i 蔓b i l ：l l ：2 ( 3 d q - 于d 、波 ( ，) 与小波系数q 之间存在式( 3 2 ) 所示的关系，所l 三l 很容易得出 结论：仅当小波竹对应的小波系数q 满足框架要求条件( 3 3 ) 时，小波族 ” 才是一框架- 定理：令妒e r ( 月) ，并且，j 0 ) 是由( f ) 生成的小波。则以下两个叙述等价： 1 缈，( f ) ) 是r ( r ) 的一个r i e s z 基。 2 舻，。o ) 是f ( 霄) 的一个框架，并且还是一个线性无关族，即 巳。嵋j ( f ) = 0 ，意味者o = 0 ，而且r i e s z 界和框架界相同。 特别令我们感兴趣的是，框架边界a ，b 的大小直接决定信号重构的精度。此时， 信号的重构公式可表示为： ，( ) “忐丕聂勺t 吼，( ) 这里以 代表框架竹。的对偶框架，并且重构具有高于尝十1 ；号一1 的相对信噪比 以丑 ( s n r ) ，很显然，且和丑越接近信号的重构精度就越高。 定义伸缩因子q 为：( q 妒) ( f ) = “2 妒( 嘞1 t o ) 扛苏大学硕士学位论文 则容易验证框架算子s = r t 与伸缩因子d j 是可以交换的， 蚧 ( f ) = 口o “2 ( 嘞。t - 胁o ) ，其对偶框架可表示为 妒j = d f j “甄 ( a o 。j o 式中 甄( a o 一r ) = 矿p 一船b ) 故对小波框架 ( 3 4 ) 从( 3 4 ) 式可以看出，对偶框架的计算决定于框架的边界a 和b 的值。在实际 中，经常选择n 个基本小波帆o ) ，= o ，n - 1 ，它们是同一基函数( f ) 的下列 伸缩形式： 弘( f ) = 2 - - u y ( 2 - n i n f ) ，以= o ，n 一1 于是，少”j ( 工k 0 ，一1 ) 组成一框架。 3 3 多分辨分析 令( ，) 是一个平方可积的连续函数。即( r ) er ( r ) ，并且 力j = 2 “2 ( 2 7 t - k ) 是由( 0 生成的二维离散序列。另一方面，令参考子空间由e 上2 ( 月) 生成： 5 c l o s e c o ：k 并且其它所有子空问巧也由( ，) 生成：巧= c l o s e j j ：k z ，z u o ) 它表示巧是( 2 一f ) 通过平移形成的所有子空间的闭集，即巧代表与分辨率2 一对 应的多分辨率分析子空间。 如果用严格的数学语言来叙述，我们有多分辨率的下列定义： 定义：空间上2 ( r ) 内的多分辨率分析是指构造r ( r ) 空间内的一个子空间列 一：，e z ) ，使它满足以下性质： 1 单调性( 包容性) ：( 2 。f ) ， 巧：j z ，形：j z 或者简写作巧e 巧m w z 。逼近性= 妇协卜c 耽出堋 3 平移不变性t ( ，) e 巧( f 一2 - j 1 ) 巧，v k e z 4 伸缩性：( ，) 巧( 2 ) 匕一 江苏大学硕士学位论文 5 r i e s z 基的存在性；存在e ，使得 矿( 2 t - k ) ，k z 构成巧的r i e s z 基。 多分辨率分析有两类定义：以上定义的子空间对应于2 一分辨率，另外一类 定义则用矿代表分辨率为2 一的多分辨分析子空间。若使用第二种定义，则包容 关系变为巧e + i j e z - 定理3 3 1 ：令k 是r 空问的一多分辨率逼近，则存在一个唯一函数 d ( oe 上2 ( 五) ，使得 力 ( f ) = 2 - j 2 一( 2 一，一t ) k z ( 3 5 ) 必定是一内的一个标准正交基，其中( ，) 称为尺度函数 由巧予空间的包容关系巧+ t 巧知道在小波正交基的构造中，至少应该保 证 = o i o + l ，w e z ( 3 6 ) 和 上巧 ( 3 7 ) 对所有，e z 恒成立。 反复使用( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可以将逼近式写作 l 2 ( r ) = o = e w _ i o w o o 嵋o j z 这一结果告诉我们：分辨率为2 0 = 1 的多分辨率空间可以用有限个子空间来逼 近，即有：= k o 彤一k o o 嘶一一o o 一，o o 毋嘶 这表明任何函数，r ( r ) 都可根据分辨率为2 “时，的粗糙像和分辨率为 2 0 ( 1 j ) 下，的细节“完全重构”。 从包容关系，我们很容易得到方程：( f ) = j 至 ( t 渺( 2 r 一 ) 这就是尺度函数的双尺度方程。 另一方面，由于t 。o ，这意味着小波基函数y 可以用子空间的 正交基正， ( r ) ：j 妒( 2 f 一) 展开；y ( r ) ：j 艺g ( k ) ( 2 l 一) 此即小波函数的双尺度方程。 4 江苏大学硕士学位论文 3 4f i r 滤波器组 假设凰，q ，组成一f i r 滤波器组，它们的冲激响应为 【 ( o ) ， ( 1 ) ，曩( 三一1 ) 】，f = 0 ，l 令月。滤波器的冲激响应的偶移位形式构成一个正交基，即 = a ( k 一，) ， 惫，z ( 3 8 ) 为了使上式成立，滤波器长度l 必须为偶数。这是因为，若l 为奇数，则 = h o ( 0 ) h o ( l 一1 ) = 0 意味着h o ( n ) = 0 ，或h o ( l - 1 ) = 0 ，从而滤 波器长度仍然为偶数。 式( 3 8 ) 可以用矩阵符号等价表示为 h 口h ：= i 式中，上标表示矩阵的共轭转置。 令滤波器m 具有冲激响应啊( h ) = ( 一1 ) ”h o ( l - 1 - n ) ，由 ( n ) ，的关系，我们 可以证明：矗( n ) 的偶位移也构成一个正交基： = a ( k 一，) ，k ，z 上述两种正交关系可用矩阵形式分别写作且q = i 和峨q = 0 或q w = 0 如图3 1 所示- 我们用滤波器组峨，q ，来实现信号的完全重构 圈3 1 先用低通滤波器0 ( 。) 对信号x ( ”) 滤波，再作下采样( 两个样本删去一个) ， 得到原信号的逼近n o ( 扛；另外一路则用高通滤波器日 ) 后作下采样，得到 原信号的细节日( 曲x ，从而实现信号的分解。这一节称为分析节，风( 0 0 ，i - i , ( 功 称作分析滤波器组。为了由逼近和细节重构原信号，我们分别对它们进行上采样 ( 每两个样本插入一个零) ，然后让插值结果分别通过滤波器丑o ) ，q ( ) 。 这一节称为综合或重构节。滤波器n o ( m ) 和羁) 称为综合或重构滤波器组， 江苏大学硕士学位论文 于是整个分析综合系统的逼近输出和细节输出分别为骂( 回4 , ( a 0 = l e ( m ) 1 2x ，由于既有下采样又有上采样，所以这是一种用多采样滤波器组实现 信号重构的方法，是一种典型的= 倌道子带编码方式。 显然，为了实现信号的完全重构，滤波器组必须满足“完全重构条件“ i h 0 ( c o ) 1 2 + i q ) 1 2 = 1或者写作矩阵形式：h 0 风+ 且q = i 1 6 江苏大擘硕士学位论文 第四章卡尔曼滤波算法与小波算法 4 1 滤波问题的提出 在许多实际控制过程中，往往受到随机干扰的作用，在这种情况下，线性控 制过程可用下式来表示： x c t ) 皇一( ，) x ( f ) 4 - 曰( ，) u o ) + ，( r ) 耳7 ( ，) ( 4 1 ) 式中，j ( ，) 为控制过程的n 维状态向量；u ( ，) 为，维控制向量；w ( t ) 是均值为零 的p 维白噪声向量；“( f ) 为n n 矩阵；b ( t ) 为h r 矩阵；f ( ，) 为”。p 矩阵。 在许多实际问题中，往往不能直接得到形成最优控制规律所需要的状态变 量。我们要从夹杂有随机噪声的观测信号中分离出飞机或导弹的运动状态变量。 要想准确的得到所需状态是不可能的，只能根据观测信号来估计或预测这些状态 变量。 一般情况下，观测系统可用下述观测方程( 或测量方程) 来表示： z ( o ；c ( o x ( t ) + y ( ，) + y ( ，) ( 4 2 ) 其中，z ( f ) 为m 维观测值；c o ) 为m ”观测矩阵；j ，( ，) 为观测系统的系统误差： 矿( f ) 为均值为零的白噪声。 在式( 4 1 ) 和式( 4 2 ) 中假定形( f ) 和矿o ) 均为均值为零的白噪声向量。 其统计特性为： l e w ( t ) w 1 ( r ) 】= 口( 0 8 ( ，一f ) e v v 7 ( r ) 】= x ( t ) a ( t r ) le w ( t ) v 7 ( f ) - s c t ) 6 ( t f ) 其中，q q ) 是对称的非负定矩阵：r ( f ) 是对称的正定矩阵，正定的物理意义是观 测向量各分量均附加有随机噪声。q ( ，) ，且( ，) 可对t 连续微分。 我们的任务是在已知x ( t ) 的初始状态工阮) 的统计特性( 如期望和协方差) 的条件下，从观测信号z ( f ) 中得到状态变量x ( 0 的最优估计值。所谓最优估计， 是指在某种准则下达最优。估计准则不同会导致不同的估计方法。我们这里采用 线性最小方差估计。 、 线性最小方差估计可阐述如下：假定线性控制过程如式( 4 1 ) ，观测方程如 江苏大学硕士学位论文 式( 4 2 ) 。从时刻，o 开始进行观测得观测值z ( f ) ；现在已知，os 艿r 内得观测 f f l z ( o ) ，要求找出并“) 得最优线性估计j q i t ) ( 用f 时刻咀前得观测值z p ) 来 估计出 时刻得z “) ) 。最优线性估计包括以下几点意义： 1 估计值j “i f ) 是z ( ( t o f 称为预测( 或外推) 问题； 2 t l = f 称为滤波( 或估计) 问题； 3 f 称为平滑( 或内插) 问题。 将上述系统离散化便得到了离散卡尔曼系统， i e 【矿( ) 】= 衄y ( t ) 】= 0 le w ( k ) w 7 0 ) 】- g l 皿r ( 七) p 7 u ) 】= 墨毛 【e w ( k ) v 7 ( ，) 】；鼠毛 其中 幺0 ，) 2 = q ( t ) 口t ，置0 r ) 2 = r ( t ) i t 4 2 离散系统的卡尔曼最优滤波基本方程 4 2 1 卡尔曼最优滤波 离散系统的状态方程和观测方程为： x ( n + 1 ) = a ( k + l ，七) y ( 七) + g ( 七十1 ) u ( 七) + r ( 七+ l ，七) 阡7 ( 七) z ( 七) = c ( 七) 工( 七) + r ( 七) + 矿( 后) 式中u ( 1 0 是已知的非随机控制序列，在采样间隔内为常值。y ( k ) 为观测系统的 系统误差项，是已知的非随机序列，在采样间隔内为常值。当不考虑控制信号的 作用时，u ( k ) 和j ，( ) 均为零。( ) 和矿( ) 为白噪声序列，在采样间隔内为常 值。状态向量的初始值k ( 0 ) 的统计特征为 i e 【x ( o ) 】= m o 【e x ( o ) - m a l x ( o ) - m o 7 晶 1 8 江苏大学硕士学位论文 所谓最优滤波问题指的是已知观测序列z ( o ) ，z o ) ，z 仲+ 1 ) ，要求找出x + 1 ) 的最优线性估计雪( t + 1 l t + 1 ) ，使得估计误差 j ( 七+ l 七+ 1 ) = x ( k + l l 膏+ 1 ) 一雪( 七+ 1 l 七+ 1 ) 的方差最小。即 e j ( 七+ 1 i 量+ 1 ) j 7 ( 摩+ 1 七+ 1 ) 】= r a i n 并且是无偏的。这里利用正交原理来推导卡尔曼( k a l m a n ) 滤波公式。 当获得z ( 0 ) ，z o ) ，z ( 女+ 1 ) 之后，假定已经找到状态向量矿取+ 1 ) 的最优线 性估计x ( k + 1j k ) ，则z ( k + 1 ) 到来前通过观测方程可得到k + 1 时刻观测值的 预测值 2 ( k + 1 七) = c ( k + 1 ) 枣( 七十l i 后) + y ( 七) 下面的问题是当新的观测值z ( + 1 ) 到来时，怎样对膏( + l i i ) 进行修正，得到 x ( k + 1 ) 的最优线性的最优线性估计雪( t + 1 ik + 1 ) 。与最优线性预测类似，可设 膏( 七+ l i 后+ 1 ) = 雪( 后+ 1 七) 十芷( 七十1 ) 2 作+ l i 后) ，其中， 2 ( k + 1 i 女) ；z ( k + 1 ) 一宝( t + l l t ) = c ( 七十1 ) 石( 七+ 1 ) + y ( 七+ 1 ) + y ( 七+ 1 ) 一【c ( 七+ 1 ) 尘( 七+ lj 七) + 】，( 七+ 1 ) 】 = c ( k + 1 ) x ( k + l l + 矿+ 1 ) 故j ( 七+ 1 f 七+ 1 ) = x ( k + l i t ) 一k ( k + 1 ) z ( k + 1 ) - c ( k + 1 ) 重( + 1 1 女) 一y ( t ) 】 ( 4 3 ) 其中k ( k + 1 ) 为待定的最优增益阵。 4 2 2 最优增益阵 下面利用正交定理确定k ( k 十n 矩阵求逆引理4 2 2 1 ： 1 - b c ) = a 一。- a 一1 研，+ c o 一1 印一。，彳一1( 4 4 ) 由式( 4 4 ) 和( 4 3 ) 可以得到滤波误差： 膏( 七+ l l 七+ i ) = r ( 七+ 1 ) 一f c ( k + i i 七+ 1 ) = j ( 后+ 1 ) 一( z 忙+ l l 七) + 晴+ 1 ) 【c ( 七+ 1 ) 膏( 七+ l i 七) + y ( 七+ 1 ) 】 ；j ( 七+ l i 七) 一r ( 后+ 1 ) 【c ( 七+ 1 ) j ( 七+ 1 f 七) + 矿( 七+ 1 ) 由正交定理 1 9 江苏戈学磺毒擘拉谗文 研需( 膏+ l l 七+ 1 ) z 仗+ 1 ) 】= o 即 艰( 毒+ l l 量+ 1 ) 扩( 七+ l 珏 = 莲 孽秘十l 秘一k ( k + d c 辑+ 1 ) 取女+ 1 | 誊) + y 辑+ 现 c ( 七+ 1 )