（信号与信息处理专业论文）加性噪声相关时带乘性噪声系统的最优估计.pdf

摘要 l 研究带乘性噪声系统的信号估计理论是随机信号处理的一 个重要发展方向，在石油地震勘探、通讯工程、语言处理等应 用领域都具有实际意义。；本文围绕带乘性噪声系统的信号最优 估计问题展开了进一步的研究。 首先，本文回顾了带乘性噪声系统最优估计理论的发展， 在前人的工作基础上，就一种更一般的噪声条件提出了带乘性 噪声系统最优滤波算法，即就动态噪声为有色噪声及动态噪声 和量测噪声在有限时间段上相关的情形，给出了状态最优滤波 的直接算法及扩维算法。当对噪声的假设退化为非平稳独立白 噪声条件时，本文的算法与r a j a s e k a r a n 滤波算法是等价的。 总结以往带乘性噪声系统的平滑估计理论和反褶积理论的 发展，就动态噪声为有色噪声且动态噪声和量测噪声在有限时 间段上相关的情形，在其状态最优滤波扩维算法的基础上，给 出了固定臂长平滑算法及固定域平滑算法。还进一步给出了递 推和非递推形式的固定域反褶积算法。 除在理论上给出上述各算法在线性最小方差意义下为最优 的证明之外，本文还给出了对应的仿真实例，验证了算法的有 效性。) 、 关键词：乘性噪声? 随机系统，相关噪声，线性最小方差? 最优估计，状态滤波与平滑，反褶积o a b s t r a c t r e s e a r c h i n gs i g n a le s t i m a t i o nt h e o r yf o rs t o c h a s t i cs y s t e m s w i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s ei sa ni m p o r t a n td e v e l o p i n go r i e n t a t i o ni n s t o c h a s t i cs i g n a l p r o c e s s i n g i t c a nb eu s e di ns u c hf i e l d sa so i l e x p l or a t i o n ，c o m m u n i c a t i o ne n g i n e e r i n g ，t a r g e tt r a c k i n ga n d s p e e c hs i g n a l sp r o c e s s i n g i n t h i s d i s s e r t a t i o n ，t h ei m p o r t a n t t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lp r o b l e m so ft h i s t h e o r y ，i n c l u d i n go p t i m a l f i l t e r i n g ，s m o o t h i n ge s t i m a t i o na n do p t i m a ld e c o n v 0 1 u t i o ne s t i m a t i o nf o r s y s t e m w i t h m u l t i p l i c a t i v e n o i s eu n d e rt h et e n d i t i o n t h a tw h i t e m e a s u r e m e n tn o i s ea n dc 0 1 0 r e ds t a t en o i s ea r ec o r r e l a t e do naf i n i t et i m e i n t e r v a li nt h es e n s eo fl i n e a rm i n i m u m - v a r i a n c ea r e e x t e n s i v e l y d i s c u s s o d f ir s t ，t h e d e v e l o p m e n to fs i g n a l e s t i m a t i o n t h e o r y f o rs t o c h a s t i c s y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s ei s r e c a l l e di nt h i sd i s s e r t a t i o n a no p t i m a lf i l t e r i n ga l g o r i t h mf o rs y s t e mw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s eu n d e r t h ec o n d i t i o nt h a tw h i t em e a s u r e m e n tn o i s ea n dc o l o r e ds t a t en o i s oa r e c o r r e l a t e do naf i n i t et i m ei n t e r v a li nt h e s e n s eo fl i n e a rm i n i m u m 。 v a r i a n e ei s d e v e l o p e d w h e ns t a t ea n dm e a s u r e m e n tn o i s e s a r e a n c o r r e l a t e dw h i t en o i s e s r e s p e c t i v e l y ，t h ea l g o r i t h m i s e q u a l t o r a j a s e k a r a nf i l t e r i n ga l g o r i t h m b a s e do nt h eo p t i m a l f i l t e r i n ga l g o r i t h m ，t w o k i n d so fs m o o t h i n g a l g o r i t h m f o rt h ea b o v es y s t e ma r e d e v e l o p e d t h e ya r ef i x e d - i n t e r v a l s m o o t h i n ga l g o r i t h m a n d f i x e d - 1 a gs m o o t h i n ga l g o r i t h m t h e c o r r e s p o n d i n gf i x e d i n t e r v a l d e c o n v o l u t i o na l g o r i t h misa d v a n c e d i ti s p r e s e n t e dw i t hr e c u r s i v ef o r ma n dn or e c u r s i v ef o r m b a s e d0 nt h es e is m i ce h a n n e lm o d e lw i t h m u l t i p l i c a t i v en o i s e ，a n u m b e ro fs i m u l a t i o n sa r e p e r f o r m e db ya p p l y i n gt h ea b o v ea l g o r i t h m s ， a n ds a t i s f a c t o r yr e s u i t sh a v eb e e no b t a i n e d k e yw o r d s ：m u l t i p l i c a t i v e f i l t e r i n g ：s t a t es m o o t h i n g ； s y s t e m n o is o ；i i n e a r m i n i m u m - v a r i a n c e ：s t a t e d e c o n v 0 1 u t i o f f ；c o r r e l a t e dn o is e s ：s t o c h a s t i c 第一章绪论 第一章绪论 1 1 选题的意义 随机信号处理的一个重要课题是从受到干扰和噪声污染的信号中提取有 用信号，这就是所谓的最优估计问题。这类问题广泛存在于控制、通信、空 间目标跟踪、水声与地震信号处理、模式识别、语音处理等领域。 对随机信号处理的一个重要方法是建立实际系统的数学模型，并根据模 型进行信号的最优估计。以往建立实际系统的数学模型时，对随机干扰的处 理通常是把它作为一项加性噪声，许多最优估计理论，如k a l m a n 滤波理论【1 1 6 都是基于仅含加性噪声这一经典模型： x ( k + 1 ) = a ( k ) x ( k ) + b f k ) w c k ) z t k l = c i k ) x t k j + y t k l ( 1 1 1 ) ( i i 2 ) 然而，许多实际的观测过程是更为复杂的，不仅存在着加性干扰，而且 还存在着乘性干扰。如在石油地震勘探f ”l 、通讯工程 33 】、语言处理【3 4 】等应 用领域，由反褶积形式描述的观测模型中，当进一步考虑系统的时变性、非 线性性、各种线性与非线性畸变、能量衰减等复杂的及不确定的因素时，就 存在着乘性干扰，即上述因素在数学上可以近似归结为一个随机乘性因子。 这类观测模型中含有乘性噪声的随机系统称作带乘性噪声的随机系统，简称 带乘性噪声系统( s y s t e mw i t hm u l t i p l i c a t i v en 0 i s e 卜一一s m n ： x k + i ) = a k ) x ( k ) + b k w k z ( k ) = m ( k ) c ( k ) x ( k ) + v ( k ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 其中：m 例为乘性噪声，矿例和y 例为加性噪声。 显然，乘性因子的引入，使系统形式上更为复杂，处理上也更为困难。 在实际中，关于这类系统的最优估计，如动态系统的状态估计( 滤波、平滑、 预测) ，信号反褶积估计及其参数辨识估计问题又是十分重要的，特别是反 褶积估计理论在石油地震勘探、信号处理等领域有着十分重要的意义。随着 当前计算机高速度，大存储，并行化技术及相应并行算法的发展，使得研究 更为精确复杂的数学模型及其处理方法不会导致应用上大的困难。相比之 下，基于经典系统模型的估计理论对复杂实际过程描述和处理的不精确则成 为突出问题。 在n a h i i ”i 、r a j a s e k a r a r d 2 ”、c h o w t 2 5 0 6 】等人的研究基础上，褚东升【”2 7 ，”】 继续对这一问题进行了深入研究，初步建立了带乘性噪声系统最优估计理论 体系，并针对石油地震勘探领域中的反褶积问题作了有价值的应用研究。就 对系统噪声统计特性的要求而言，现有的带乘性噪声系统最优估计理论对其 有较严格的限制，即要求动态噪声与观测噪声是自噪声序列或是在白噪声驱 动f 的有色噪声，还要求动态噪声与观测噪声在不同时刻是不相关的。也就 青岛海洋大学硕士学位论文 是说，现有的各种带乘性噪声系统最优估计理论的约束条件，使算法的实际 运用受到限制。所以，应当丰富和完善现有的带乘性噪声系统最优估计理论， 以满足不同实际情况的要求。 总之，无论从科学发展的角度还是从工程应用实际需要出发，以“动态 噪声与观测噪声在有限时间段上相关时带乘性噪声系统晟优估计”的课题予 以概括，并进行理论和应用研究，是具有重要意义的。 作者希望通过深入的研究，解决带乘性噪声系统最优估计理论中，在理 论和应用上都有重要意义的一些问题，使这一理论得到丰富和完善。 1 2 带乘性噪声系统的特点及应用背景 1 2 1 带乘性噪声系统的特点 在随机信号处理中，噪声按其与信号的关系可分为加性噪声和乘性噪 声。带乘性噪声系统是指系统中同时含有加性噪声和乘性噪声。本文以离散 系统为讨论对象，用状态空间描述法，带乘性噪声系统可表达为： x ( k + 1 ) ；a t k l x i k ) + b l k ) w i k l z c k ) = m l k ) c k ) x k ) + y ” ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 其中( 1 2 1 ) 是系统的状态方程，( 1 2 2 ) 是系统的观测方程，x 例是系统的 ”维状态变量；z 例是系统的m 维观测：m 倒为一随机变量，它是观测模型 中的乘性噪声：r 女，和y r ”分别是p 维动态噪声与m 维观测噪声，他们都 是加性噪声：a 例、曰例、c 例分别为”、n p 、m h 确定性系数矩阵 当m f 恒取l 时，此系统退化为经典的状态空间表达。当mr ”为随机 变量时，系统的模型有如下特点： 1 加性噪声和乘性噪声并存与观测方程中，乘性噪声往往是由于信号 传输特性不理想而产生的干扰，所以它随着信号的消失而消失，不象 加性噪声那样始终存在。 2 由于m 例是随机变量，因而方程( 1 2 2 ) 中出现了随机变量的乘积， 使观测方程不再是线性的。 3 当m 俐恒取1 时，即可得出经典的状态空间表达只是带乘性噪声系 统的特例，所以带乘性噪声系统模型描述了更为广泛的一类实际过 程。 第一章绪论 1 2 2 应用举例 对带乘性噪声系统的研究有着广泛的实际应用背景，以下举例说明： 例1 石油地震勘探中震源子波观测的不准确性、时变性及传播时的扩展损 失与透射损失都可以归结为乘性噪声而不能被加性噪声所包括，因此带乘性 噪声的褶积模型能更真实地反映实际情况 2 7 】。 z l t 、= m ( t ) f ( | 1 w t t ) + n t t l ( 1 2 3 ) 其中m ( o 是乘性噪声，”例是加性噪声，f ( o + w 是理想地震道，+ 是褶积 符号。 例2 在目标跟踪问题中，被估计信号有随机消失的现象，并非总存在于观 测中。因此，其观测序列有时只含有外界噪声 例，有时是噪声n 例和信 号s 俐的迭加，观测序列中出现信号s 例的概率小于l 。既系统观测模型中 含有一个取值为0 、1 的随机乘性噪声f ( k z ”，其表示式为： z ( k ) 21 1 k ) s ( k ) + n ( k ) l 1 2 4 、 例3 语音处理中可用( 1 2 5 ) 式表示一个清音语音波形【2 7 1 z ( k ) = m ( k y k ) + n k ( 12 5 ) 其中，y 例表示声道和辐射的组合效应，z 例是清音波形总输出，例表示 声道的随机激励。 例4 电磁波通过大气折射，产生多路经效应，引起信号的衰减，这种衰减对 信号传输造成的影响就要作为乘性噪声处理。 青岛海洋大学硕士学位论文 l 3 带乘性噪声系统最优估计理论的发展耳现状 1 3 1 状态估计理论和算法的发展 关于只含加性噪声的随机系统的最优滤波问题已经有了大量的研究成果 “l 。首先，k a l m a n ，b u o y 等人1 6 7 1 提出了状态最优滤波的递推算法。此 后，在各种加性噪声条件下的状态滤波算法、自适应滤波算法i ”】、滤波 算法的稳定性研究【l ，3 ”、数值稳定性问题s ，”t 3 4 】的研究和基于k a l m a n 滤 波的各种平滑算法及反褶积“7 1 的理论成果层出不穷，并在空间技术、通 讯、导航和石油地震勘探等领域应用广泛。 与之相比，带乘性噪声系统的估计理论及应用还不够完善。由于目标跟 踪、石油勘探等实际问题的需要，带乘性噪声系统的估计问题也逐步得到人 们的重视，已有的研究成果主要集中在两个方面，他们分别就离散型和连续 性的乘性噪声而展开研究。 19 6 9 年，n a h i l 23 l 研究了两值乘性噪声系统的状态估计问题。并在乘性 噪声为独立同分布的条件下，推导出晟小方差意义下的晟优滤波递推算法。 19 7 1 年，j a f f e r 等人【i9 ，2 0 】对乘性噪声为两值m a r k o v 序列的情形给出了状态 b a y e s 估计算法，但存储量过大，不实用，后来的改进形式降低了存储量， 但对状态维数大的系统仍不实用。1 9 7 8 年，n a h i 的工作被推广，m o n z i n g o l 3 4 1 进一步讨论了状态固定域平滑递推算法，但矩阵求逆使其应用受到了限制。 1 9 7 9 年，h a d i d i 等人m l 又将n a h i 的结果推广到乘性噪声为非独立同分布的 情况，但一般情况下，状态最优滤波不能表达为递推形式，例如乘性噪声为 m a r k o v 链时。1 9 9 4 年，n a h i 的工作又被c a r a z o 等人【2 1 1 推广到动态噪声和 观测噪声相关的更一般情况，并推导出此时的预测算法一般表达式。此外 a k a s h i 等人 35 i 还研究了观测噪声的均值和方差以m a r k o v 转移概率变化的状 态滤波问题。 对于乘性噪声为连续型变量的情形，1 9 7 1 年，r a j a s e k a r a n 等人【2 4 1 首先 研究了乘性噪声为独立非平稳白噪声的情况，推导出了状态递推滤波算法和 非递推的平滑估计算法，该算法在线性最小方差意义下是最优的：同时还给 出了连续系统的最优状态估计器。19 8 1 年，t u g n a i t t 2 9 】定义了带乘性噪声离 散系统的能控性和能观性，还引入在线性最小方差意义下滤波的等价的经典 系统，讨论了r a j a s e k a r a n 状态滤波算法的稳定性，给出了滤波稳定性定理 和稳态滤波存在的条件。19 8 9 年c h o w 2 5 , 2 6 等人研究了乘性噪声为有色噪声 的情形，还将其滤波算法推广到噪声均值非零的情况。l9 9 3 年，褚东升推 广了r a j a s e k a r a n 的工作，运用随机过程理论和投影定理，得出了一般情形 下( 噪声均值不为零及动态噪声、观测噪声分别为白噪声驱动的有色噪声时) 的线性最小方差递推滤波器，还导出白噪声情形下固定域平滑估计的直接算 法和间接算法，直接算法基于r a j a s e k a r a n 状态滤波，但要求协方差矩阵求 逆，所以在间接算法中引入中间变量，避免了矩阵求逆。给出噪声相关序列 情形f 的线性最小方差递推滤波器及平滑算法；还给出了乘性噪声和动态噪 声为有色噪声时的平滑算法。此外，还进一步证明误差方差矩阵有界的定理， 并在更一般的条件下给出了滤波稳定性定理。 4 第一章绪论 19 9 9 年，张文林、褚东升 4 0 】在此基础上推导了双滤波器平滑算法和前向平 滑算法，并给出了其数值稳定处理方法。2 0 0 0 年，王昕、楮东升12 。】建立了 可用于并行处理的乘性噪声系统的分部滤波算法及分部平滑算法，并给出了 基于分部平滑算法的反褶积算法。 1 3 2 基于状态估计的反褶积估计理论和算法的发展 最初对反褶积估计的研究大都基于加性噪声模型。m e n d e l 一7 1 等人以 石油地震勘探为背景，用k a l m a n 滤波方法提出了白噪声输入信号最优反褶 积理论，并结合石油地震勘探实践进一步讨论了g a u s s i a n b e r n u l l i 白噪声的 特殊估计方法。邓自立 3 6 , 37 1 则采用现代时间序列分析方法，基于状态空问模 型导出的a r m a 新息模型，提出了新的反褶积算法。1 9 9 3 年在m e n d e l 工 作的基础上，褚东升【l o ，2 7 j 提出了带乘性噪声系统最优反褶积估计理论，推导 出独立白噪声条件下，固定域、固定臂长及固定点晟优反褶积算法。对定常 系统给出了简便实用的次优反褶积算法。19 9 9 年，张文林、褚东升 4 0 1 推导 了基于双滤波器平滑算法和前向平滑算法的反褶积算法，并给出了其数值稳 定处理方法。2 0 0 0 年，王听、褚东升1 28 l 建立了基于分部滤波算法及分部平 滑算法的反褶积算法。 1 3 3 带乘性噪声系统自适应估计方法现状 目前大量的自适应估计方法都是基于只含加性噪声的系统，m e n d e l 采用 m a r q u a r t - l e v e n b e r g 算法估计参数和噪声的统计特性，建立了极大似然准则 下的自适应估计算法，并应用于石油地震勘探自适应反褶积。s a g e 和h u s a t 2 2 1 建立了基于极大反验方法的自适应估计算法，可在线联立估计状态和噪声统 计特性，算法简单且收敛良好。对于带乘性噪声系统，自适应估计的成果则 较少。褚东升 2 7 1 用预报误差准则导出模型参数和统计参数的估计方法，进 而给出了自适应估计方法，但算法的计算量较大。19 9 9 年，张文林、褚东 升13 9 l 提出了基于极大似然准则的带乘性噪声系统自适应估计方法。 1 3 4 拟解决的问题 带乘性噪声系统最优估计理论有着广泛的研究前景，为了使它成为实际 应用中有效的工具，尚有许多问题需要研究。作者认为，现有的各种带乘性 噪声系统最优估计理论对噪声统计特性的约束条件，使算法的实际运用受到 限制。所以，应当丰富和完善现有的带乘性噪声系统最优估计理论，使其适 用于更广泛的一类噪声统计特性，以满足不同实际情况的要求。 青岛海洋大学硕士学位论文 1 4 本文所作的主要工作 本文针对带乘性噪声系统状态最优滤波、平滑、及随机输入信号最优 估计( 反褶积) 的理论问题进行了进一步的探讨，完成了以下三个方面的 研究工作。 1 、建立了带乘性噪声系统在动态噪声为一般有色噪声及动态噪声与测量噪 声在有限时间段上相关情形下的状态最优滤波算法。 2 、建立了带乘性噪声系统在动态噪声为一般有色噪声及动态噪声与测量噪 声在有限时间段上相关情形下的固定臂长平滑、固定域平滑及固定域反 褶积算法。 3 、验证以上算法的有效性，给出仿真实例。 6 第二章加性噪声相关时带乘性噪声系统的最优滤波 第二章加性噪声相关时带乘性噪声系统的最优滤波 2 1 带乘性噪声系统滤波的基本算法 2 1 1 带乘性噪声系统的滤波算法的发展 对于观测带乘性噪声的系统，n a h i 23 1 以目标跟踪为应用背景，对其乘 性噪声为两值随机序列的情形给出了递推形式的最优滤波算法；之后， r a j a s e k a r a n i2 4 1 等人对乘性噪声为白噪声的情形给出了最优滤波算法，关于 这类系统滤波稳定性及能控能观性的概念是由t u g n a i t l 2 9 1 提出的；c h o w t 2 s ，2 6 ； 等人对乘性噪声为有色噪声的情形给出了最优滤波算法；褚东升【2 7 1 在更一 般条件下给出了滤波稳定性定理，还导出了同时刻相关噪声及加性噪声为有 色噪声时的最优滤波算法；张文林，褚东升1 3 9 , 4 0 】则就带乘性噪声系统的数 值稳定性问题作了进一步的讨论；褚东升、王昕 28 i 则提出了具有并行特点 的分部滤波算法。 但是，与加性噪声系统的滤波理论相比，对于观测带乘性噪声系统的最 优滤波理论的研究还不完善，应当进一步探讨。 2 1 2 带乘性噪声系统状态空间表达基本模型 在广泛的意义下，乘性噪声系统可以是时变多输入多输出的，在状态 空间表达中，有如下形式： x k 1 ) = a ( k ) x k ) b ( k ) w k ) z ( k ) = m k ) c ( k ) x k ) + y k ) ( 2 1 1 ) ( 2 12 ) 其中( 2 1 1 ) 是系统的状态方程；( 2 1 2 ) 是系统的观测方程；x 似是系统的 维状态变量；z 例是系统的m 维观测：m r 纠为一随机变量，它是观测模型 中的乘性噪声；w 似和矿例分别是p 维动态噪声与m 维观测噪声，他们都 是加性噪声：a 例是时变的n h 状态转移矩阵、b 何、c 例分别 x p 、m n 时变系数矩阵。 2 1 3 r a j a s e k a r a n 递推滤波算法 对任意整数，记z j 为= r 训，z u ) ，z 倒所张成的”维线性空间 x ( t j ) 2p r o y x k j iz j ， p r o j x ( k ) l 弓，表示r 彬在刁上的投影。根据投影定理，该投影是v 例的线 性最小方差估计，其含义是，x 似例为z r 鲫，z r u ，z 倒的线性组合表达，且 满足使如下形式的性能指标函数， j = e l ( x ( ”- x ) ( x ( k ) - x ) t 1 7 青岛海洋大学硕士学位论文 在x = r 女倒时为最小。这里，的定义域是刁。 令 2 ( k j ) = ( ) 一x ( k j ) p a k ) = e ，岩( t t ) 贾7 ( 女j j ) 】 p 似+ 纠= e ，j ( 七+ 1 k ) 2 7 ( 七+ 1 七) 】 s k ) = ee x k ) x 1 ( k ) 1 对带乘性噪声系统( 2 i i ) ，( 2 1 2 ) ，r a j a s e k a r a n 给出了基本的线性最优滤 波算法，r a j a s e k a r a n 滤波算法有如下的假定条件： 对任意的k d ，j 0 d 1 ： e w ( k ) = 0 e y k ) = o d 2 ：e w k ) w o ) 1 = q ( k ) 6k j e y k ) y o ) t j = r ( k ) 6k ? d 3 ： e x ( o ) = 0 ec x ( o ) x l ( o ) 1 = s o ) d 4 ：e f m k ) = 而( k ) ：e “m ( k ) 一而( k ) ) ( m o ) 一丽o ) ) = 仃( k ) 6k j d 5 ： m k ) w k ) y k ) ) t x ( o ) 枢互缆诗独立 这里d 十，满足 s 。= 骺 k = j k j 上述条件表明，m 例，矿例，矿例，是非平稳白噪声序列，它们之间还必须 是不相关的 线性最优滤波公式 x ( k k ) = x ( k k i ) + k k ) z ( k ) 一葡( k ) c k ) x ( k ? k 一1 ) 1 k ( k ) = 而( k ) p ( k k 一1 ) c t ( k ) r i l ( k ) r i | k ) = r k ) + 霸2 f k ) c ( k ) p k f k o c t ( k ) + o ( k ) c ( k ) s ( k ) c t ( k ) s ( k ) = a ( k 一1 ) s f k d a t ( k 1 ) + b ( k 一1 ) q ( k 一1 ) b t ( k i ) p ( k e ) = p f k ，k j ) 一而( k k ( k ) c ( k ) p ( k k i ) 一步预报公式： x k + lf k ) = a ( k ) x ( k k ) p k + 1 k ) = a k ) p ( k d a t k ) + b f k ) q ( k ) b 1 k ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 2 2 加性噪声相关时带乘性噪声系统的最优滤波直接算法 仍然考虑上节给出的带乘性噪声系统 x k + | = a k ) x ”+ b k ) w ” z k ) = m ( k ) c k x k ) + y k ) 8 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 第二章加性噪声相关时带乘性噪声系统的最优滤波 本节将就矿例为有色噪声及例和矿例在有限时问段上相关的更一般情形 给出状态滤波递推算法。 2 2 1 系统的噪声特性及变量定义 考虑系统( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 满足如下假定条件 d 1 ：e w k ) = 0 e v ( k ) l = 0 d 2 ：e x ( o ) ，= x o e f ( x ( o ) - x 0 t x t o ) 一x o ) i1 = p o d 3 ： e m k ) = 葡( k ) ：e “m k ) 一葡( k ) ) m o ) 一丽o ) ) = d k ) 5k j d 4 ：e x ( o w ( k r = o ：e x o ) y k ) t = o ：e v k ) y o ) t = r k ) 6i j d 5 ： m ( k ) 分孙与 w k ) y ( k ) x ( o ) 绕诗独立 d 6 ：e w f k ) w o r = q k j ) 当k - j q 试o ( k j ) = o e w ( k ) v 0 ) t = h ( k j ) 当k - j ( 一s 或k t 髓h k j ) = 0 ：q ，s t 为样负整数。 由条件d 6 可以看出阳为有色噪声，且两个噪声序列，阳，和，矿例，在有 限时间段t + s 上相关。 这里，我们给出满足例为有色噪声，且阳和矿例在有限时间段f + s 上相关条件的一个实例，这是一个在系统噪声中存在延时因素的系统： x k + 1 ) = a k ) x k ) + b i ( k ) w k ) + b 2 ( k ) w ( k h ) z ( ”= m k ) c k ) x ( k + y ( k ) 其中，矿例，矿例为相关白噪声，容易看出，只有当i k - j l 时，才有 e w ( k ) w o ) t j = 叭且r 奄当i _ k ( 一h 或j - k o 鼬，才南e i w ( k ) y o ) t | = 0 。 对系统( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 定义如r 燹量： d ( 女，) ：ae w ( k ) e r ( f ) 】；d t ( k ，) 兰e w ( k ) 2 r ( ，一1 ) d 2 ( ，) 兰e w ( k ) v r ( ，朋：d s ( k ，l j ) ：ae 吵( t ) 矿7 ( ，川 g ( 女，) ：ae v ( k ) e r ( f ) ：g i ( 女，f ) 兰雎矿( 女) j r ( ，一1 ) 】 g 2 ( t ，l j ) 兰e v ( k ) v r ( ，川：g s ( ，i j ) ：ae v ( k ) i 矿r ( ，朋 a l ( k 1 ) = e f x ( k ) 矿 1 ) 1 ，n k ) = e e ( k ) e t k ) 1 aa m k 。t ) = e x ( k ) w t ( 1 ) 1 ；s k ) = e f x k ) x l f k ) 3 其中e ( o 为新息： a er l l 2z ( o z ( t t i ) 9 青岛海洋大学硕士学位论文 2 2 2 最优滤波直接算法 定理2 2 1 ：对于满足d 1 d 6 的系统( 2 r ( k ) 。 q ( k ? j ) 。 h ( k j ) j 均为b 知， 最小方差意义下是最优的。 x ( k k ) = x ( k k i ) + k k ) e k ) x k l k ) = a k ) x k f k ) + b k ) w ( k k ) 其中x ( o ，j = 0 2 1 、，0 2 2 2 、且po 葡( k ) j o k ) 有如下递推滤波算法，该算法在线性 w ( k o = w ( k t 1 ) + d ( k t ) n f 1 ) e 1 ) w f k m = o 当l k m a x ( s + 1 q ) v ( k o = v ( k t 1 ) 十g ( k ? t ) n 一( t l e ( t ) y f k 0 = o 当l k - m a x ( t 1 ) e ( o = z ( o 一面t ) c ( t ) x ( 1 l l 一v ( m 1 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 22 6 ) ( 2 2 7 ) 其中n “( t ) l 弋轰n ( 1 ) 钓广义遵，k ( k ) l k 。k ) n k ) s ( k ) m ( k i ) p k + i l k ) p ( k 7 k ) 满足如下方程： k ( k ) = l ( k k ) n ( k )t 2 2 卧 l ( k ? k ) = 试( k ) p ( k k 1 ) c t ( k ) + g j ( k k ) n f k ) = 而2 ( k ) c ( k ) p ( k ，k 1 ) c r ( k ) + 而( k ) f c ( k ) g ：( k k ) + 6 i ( k ? k ) c t ( + o ( k ) c ( k ) s ( k ) c t ( k ) g l k k k - ) s ( k ) = a k i l s k 1 ) a t k 1 ) + b k 1 ) q k 1 k - 1 ) b t ( k 1 ) + a f k 一1 ) m k 1 k - 1 ) b 1 ( k 一1 ) + b ( k 一1 ) m t k 1 k - 1 ) a t ( k 1 ) 其中s ( o ) = po + x o x o t m f k ，1 ) = a ( k i ) m ( k i 0 + b ( k j ) q f k - 1 1 ) 其中m f k i ) = 0当k l q p ( k k ) = p f k ，k 一) ) 一k ( k ) l 1 k k ) p ( k l k ) = a ( k ) p ( k k ) a l ( k ) b k ) d3 ( k k k ) b | ( k ) + b 碑) i d l k k ) 一 d ( k k ) k ( k ) 1 a 1 k ) + b ( k ) l d f f k k ) 一d k k ) k k ) ) a t ( ”j t d ( k ，| ) d f ( k 。d2 ( k 1 j ) d | ( k 1 ，j ) 满足扭飞速推公式： d 阢1 ) = 葡( o d | f k o c t ( 1 ) + d ：( k 1 l 一】) d l ( k 1 ) = d | ( k ? l - 1 ) a t ( i 1 ) + d3 ( k ，1 - 1 1 2 ) b t ( i i ) 一 d f k | 一i ) f a ( 1 1 ) k ( t i ) + b ( 1 一i ) d ( 1 一i ，l i ) n n 1 ) j t d 2 ( k ? l j ) = d2 ( k ，i j 1 ) 一d k j ) n 。o ) g 1 1 j ) d 3 ( k j l m = d3 t k 。l f j 1 ) 一d ( k j ) n l j ) d t 1 j ) 0 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1o ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 12 ) ( 2 2 13 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 15 ) ( 2 2 16 ) ( 2 2 17 ) ( 2 2 18 ) 第二章加性噪声相关时带乘性噪声系统的最优滤波 递推初始条件： d l ( k t ) = 0 d 2 k 1 如) = 0 d 3 ( k ，t j ) = 0 当l k i m a x ( s 1 q ) 耸j l i - m s x ( s + 1 q ) 当j l i - m a x ( s + 1 q ) g r k ，l j ，g i r k ，i j ，g ：r k ，i j ) ，g ，r k ，i j ) 满足如下递推公式 g ( k 1 ) = 而f 1 ) g l ( k o c t ( 1 ) + g2 ( k i l i ) g i ( k 1 ) = g | ( k 1 - 1 ) a t l 1 ) + g3 ( k 1 - 1 l 一2 ) b 1 ( 1 一1 ) g k ，l - 1 ) f a l o k ( t 一】) + b o - i ) d l 一1 1 一1 ) n ( 1 一1 ) j t g 2 ( k t j ) = g2 ( k 。l j l 一g k j ) n 1o ) g 1 l ，j ) g j 似，1 0 ) = g ，阽，t o - 1 ) 递推初始条件： g l ( k 1 ) = 0 g l k 。l j ) = 0 g 3 k u j ) = 0 g ( k ，j ) n “o ) d t ( 1 j ) 当l k - m a x ( t 1 ) 当j t k - m a xr 以， 当j k - m a x ( t i ) 2 2 3 最优滤波直接算法的证明 首先我们给出2 个引理及对系统应用引理所得的若干推论。 引理2 2 1 ： 定义p ，可 x z d 为x 在由扣，z 。，= 所张成线性空间上的投影 则：p r o j i x z d = e 陋7 ( 朋( e 【e ( 咖7 ( 朋) 一e ( j ) j = o 其中：e o ) = z o ) 一p r o j z ( j ) z j 一| p r o j z o z ，f = 0 证明：根据投影定理有 p r o j x z k j = p r o j x z k i + e x e t ( k ) 1 ( ee e k ) e t ( k ) j ) e k ) 其中：x = x p r o j x z ， 阻为e xe r ( k ) 】= e xe t ( k ) j e f p r o j x z h e t ( k ) j 雨根据投影桷意义e ( k ) 正交干p r o j x z i 1 j 即e l p r o j x z k i e t k ) 1 = 0 。甄以 e x e t f ”j = e xe t ( k ) j 由此可褥p r o j x z k = p r o j ( x z pi j + e f x e t ( ” e f e ”e f k ) 1 e ” 同理对上式中的p r 0 1 x z 。f ，应用投影定理有 p r o j x z t j = p r o j x z k 2 + e x e t ( k ) j ( e f e k ) e t ( k ) 】) 一e ( k ) 1 1 青岛海洋大学硕士学位论文 + e x e l ( k 1 ) 】e f e ( k 一1 ) e f ( k 1 ) j ) e ( t 一1 ) 连续应用投影定理并考虑到尸，可以。z 一，= 0 即得 k j p r o j x z d = e x e 7 ( ，) ( e 【g ( ，) p 7 ( 州) 一p ( ，) j ；0 引理2 2 2 ：例可表示为一组相互正交部分的和 k + f 矽例= w o ( k ) + f ( k ，) 矿( ，) j = m 州k - s ，o ) 其中：f k