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基于有限元方法的变速器安装软垫 总成建模及优化设计 摘要 本课题针对变速器安装软垫总成进行设计分析，为保证构架的设计质量，缩短研发周期， 同时对支架进行优化设计，采用大型有限元分析软件h y p e r w o r k s ，对构架进行模拟仿 真设计分析。主要研究内容和成果如下： 对安装软垫总成进行多工况运营载荷的计算，并依据外装配铝支架的结构特点，对支架 复杂结构进行一定的简化，并构建了支架的有限元模型的；通过对支架的有限元静强度分析， 验证在运行时各种可能出现的工况作用下，支架的应力应变分布情况，发现结构强度薄弱点； 对支架结构的静强度进行合理评判，并根据分析结果对支架提出合理的优化建议；通过对支 架模态性能分析研究，验证构架的动态性能，确保汽车支架稳定的动态性能，并验证支架的 刚度，确保支架上附件的正常工作，通过分析，构架刚性足够，能满足运行要求；利用 h y p e r w o e k s 软件的o p t i s t r u c t 模块对结构进行拓扑优化，根据最优化结果提取优化 模型；对优化后的模型进行适当修改，重新建模，得出结论：优化后的模型质量减轻了9 7 ， 一阶固有频率也提高了2 0 0 多赫兹，同时并没有对支架的刚度造成大的影响，仍然符合产品 的使用要求。 通过构架的有限元分析，对产品安全可靠上进行理论研究，可使产品设计的安全性和可 信度大提高。优化设计为模型的概念设计提供了指导，推动了支架设计的发展。 关键词：静态分析模态分析有限元优化支架设计 i v o p t i m i z ed e s i g na n dm o d e l i n gf o ri n s t a l l a t i o nc u s h i o no f t r a n s m i s s i o nb a s e do nf i n i t ee i e m e n tm e t h o d t h i sp a p e ri s 锄a n a l y s i sa n dd e s i g no i lai n s t a l l a t i o nc u s h i o no ft r a n s m i s s i o n i no r d e rt o e n s u r et h eq u a l i t ya n dr e l i a b i l i t yo ft h eb o g i ea n dt oo p t i m i z ei t ss t r u c t u r e ，f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s i st a k e na n dt h es o f t w a r eh y p e r o r k si su s e da sa n a l y s i st 0 0 1 t h em a i nc o n t e n t sa n d c o n c l u s i o n sa r ea sf o l l o w s ： a n a l y s e s i n s t a l l a t i o nc u s h i o no ft r a n s m i s s i o n sw o r kl o a d si nd i f f e r e n t w o r k i n g e n v i r o n m e n t a f t e rb u i l dt h es i m p l i f i e dm o d e l ，l o a d sa r ca p p l i e da n dl o a d s t e pf i l e s a le s a v e d s o l v em u l t i p l el o a ds t e p st op e r f o r mt h es t a t i ca n a l y s i so ft h ei n s t a l l a t i o nc u s h i o no f t r a n s m i s s i o n t h es t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tt h a tv a r yw i t hp o s i t i o na r eg a i n e d ，t h e nm a k es t r e s s a n dd i s p l a c e m e n ta n a l y s i sa c c o r d i n gt ot h er e s u l tt os e ew h e t h e rt h es t r u c t u r ec a nm e e tc e r t a i n i n t e n s i o na n dt o u g h n e s sd e m a n d s r e s u m et h em o d e l ，a p p l yl o a d sa n do b t a i nt h es o l u t i o nb y m o d a la n a l y s i sm e t h o d ，w eg e tt h es t r u c t u r e sn a t u r a lf r e q u e n c i e st os e ei t ss t r u c t u r e r i g i d i t y a f t e rt h es t a t i ca n dt h em o d a la n a l y s i s ，t h ew e a k n e s sp o i n t so ft h es t r u c t u r ei sf o u n da n d t h e na c c o r d i n gt ot h ea n a l y s i s ，m a k et h es t r u c t u r eo p t i m i z e d w i t ht h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，t h er e s u l t sh a v eag r e a ts i g n i f i c a n c et oi m p r o v et h ed e s i g n q u a l i t ya n db e n e f i t s oi th a sp r a c t i c a la p p l i c a t i o nv a l u e k e yw o r d s ：s t a t i ca n a l y s i sm o d a la n a l y s i s f i n i t ee l e m e n t o p t i m i z e b r a c k e t d e s i g n v 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生躲遂拖聊躲 l i i 汐乏塑日 期：如g c - 5 第一章绪 论 第一章绪论 1 1 课题的背景及意义 课题来源于中鼎股份有限公司的“发动机支架分析模态静态分析”科研项目。本文的研究目的是以变速 器安装软垫总成为研究的对象，应用有限元分析软件h ，e r w o r k s 中的绘制功能，建立变速器安装软垫 总成的模型，结合h y p e r w o r k s 的前处理器中有建模功能，以有限元理论为基础，对该变速器安装软垫 总成进行静、动态特性分析，在此基础进行优化设计，并提出初步的优化设计方案。 目前，该课题安装软垫总成可以对汽车减速器各种工况条件下起到很好的减振作用，目前处于研究谢 生产阶段，对于机件结构、机件材质等还需进一步的分析、模拟与研究。 1 2 国内外研究现状 车速的提高和汽车的轻量化，使得发动机振动引起的各种问题日益突出，发动机悬置系统的设计研贫 受到越来越多的重视。理想的发动机悬置系统应满足多方面的要求： 1 ) 支承作用：悬置系统必须能承受发动机动力总成的质量，使其不至于产生过大的静位移。 2 ) 限位作用：在发动机动力总成受到各种干扰力( 制动、加速、减速等) 作用的情况下，悬置系纺 能有效的限制其最大位移，以避免与相邻零部件发生碰撞与干涉。 3 ) 隔振作用：发动机悬置系统必须尽量衰减隔离发动机向车架传递的振动，同时，悬置系统还要痕 减隔离地面不平而引起的车架传递给发动机动力总成的振动【4 6 】。 o 2 1 国外研究现状 本世纪五十年代，a n o nh o r i z o n 和h o r v i t z 提出六自由度解耦理论和解耦的计算方法。 七十年代，t o s h i o ，s a k a t a 用机械阻抗法研究悬置刚度与车内噪声的关系。 1 9 7 4 年，b e l t e r - k n i g h t 利用打击中心理论，考虑使悬置点尽可能靠近弹性体振动节点位置，提出合玛 布置动力总成悬置的方法。 1 9 7 6 年，s c h m i t t 和c h a r l e s 通过研究表明，悬置系统的振动特性主要取决于悬置刚度，而振动幅度 则和悬置阻尼的大小有关。 1 9 7 9 年，j o h n s o n 用数学优化的手段进行悬置系统的设计。他以合理配置系统的固有频率和实现各苣 由度之间的振动解耦为目标函数，以悬置刚度和悬置点坐标为设计变量进行优化计算，结果使系统各平司 自由度之间的振动耦合大为减少，同时保证了系统的固有频率，取得令人满意的优化成果。 1 9 8 2 年，r r a c c a 以限制悬置空间、悬置位置、刚度、固有频率和振动解耦等方面来考虑悬置的减拥 隔振性能，对传统的前置后驱f r 式悬置系统进行了全面总结。 1 9 8 3 年，c l a r k 等人对前置前驱f f 式悬置系统进行了仿真计算，指出由于发动机振动时车架变形小， 因此可以把整车系统分解为动力总成悬置系统和车身车架系统来研究，用前者的响应作为后者的输入，聂 两个系统分别进行计算机模拟和试验验证。 1 9 8 4 年，g e e kp e 和p a t t o nr d 认为发动机悬置系统的最主要作用是隔离低频振动，这就要求系统雕 侧倾固有频率要低，以减小发动机不平衡扭矩引起的振动。因此，他们以侧倾运动解耦、降低侧倾模态篚 固有频率为目标对悬置系统进行了优化，并提出了较合理的悬置设计原则。 1 9 8 7 年，h h a t a 和h t a n a k a 又用优化悬置位置的方法，对怠速工况下发动机悬置系统的振动进行了 研究，指出车身弯曲共振频率应高于怠速转频( 发动机怠速时对应的频率) ，且越大越好，动力总成的共 振频率应小于l 4 2 的怠速转频。 1 9 9 0 年，d e m i c 以悬置点响应力和响应力矩为目标函数。对悬置点位置与悬置特性进行了优化，该力 法具有既适合橡胶悬置优化，又适合液压悬置优化的特点。 1 9 9 3 年，j o h nb r e t t 提出了一种和传统的发动机悬置系统设计理论不同的方法一最小响应设计方法。 l 东南大学硕士学位论文 该方法以车厢的振动响应最小为设计目标，和常用的以合理配置汽车动力总成的刚体模态为 设计目标的方法有所不同。 2 0 0 0 年，t a e s e o kj e o n g 和r a j e n d r as i n g h 通过合理布置发动机悬置元件进行发动机悬置 系统解耦设计。他们指出，通过合理的布置悬置元件，使它们的弹性中心位于发动机悬置系 统的质心处或主惯性轴上，以达到发动机悬置系统振动解耦。 0 2 2 国内研究现状 发动机动力总成悬置系统匹配设计研究工作在国内也受到很多科研单位、大专院校、汽 车生产厂商的重视。吉林大学汽车学院、清华大学、一汽技术中心、第二汽车制造厂、河北 保定长城汽车桥业有限公司、中国第一汽车集团天津夏利技术中心等汽车制造厂商都有针对 性的对汽车动力总成悬置系统进行了较为深入的研究，提出了适应自己的动力总成悬置系统 的设计理论。 八十年代，清华大学的徐石安等人开始发动机悬置系统的优化计算，他们经过研究认为， 相比振动解耦和合理分配固有频率而言，降低振动传递率是最重要的，提出了以悬置点处反 作用力幅值最小为目标函数，适当控制系统固有频率的方法进行优化设计，取得较好的结果 f 1 2 。1 9 9 2 年，长春汽车研究所的喻惠然等给出了发动机悬置系统设计的一般要求和原则， 并对c a 6 1 0 2 型发动机的悬置系统进行了基本参数计算和隔振性能研究，提出了改进方案 【1 3 j 。1 9 9 2 年，第二汽车制造厂的上官文斌等人在扭矩轴坐标系中建立了优化模型，以系统 固有频率为目标函数，以系统解耦、打击中心原理、一阶弯曲模态节点为约束进行了优化计 算，此方法在工程上很具有实用价值。1 9 9 4 年，孙蓓蓓、张启军、孙庆鸿等应用一种使发 动机悬置系统刚度矩阵解耦的方法，来实现悬置系统的振动解耦。应用该方法对悬置系统进 行优化设计，可以实现发动机悬置系统沿垂向和绕曲轴方向的振型解耦，达到控制整车振动 的目的。1 9 9 5 年，徐石安根据传递函数分析振动的方法，探讨了发动机振动模型简化的理 论基础，隔振和解耦的关系，提出了更适合计算机寻优的解耦方法：能量法解耦。1 9 9 5 年， 程序、张建润和王志新应用模态综合理论对整车作振动分析，建立了2 0 个自由度的整车模 型，用实际的路面激励作为输入，求出座椅的振动响应，兼顾各子系统的运动匹配，以座椅 加速度响应值最小为目标，经优化计算得到发动机悬置系统的最佳参数。1 9 9 5 年，任晓松， 王立公根据汽车传动系的布置方式的不同，论述了汽车动力总成悬置系统配置的一般原则、 原理和规律，对于汽车动力总成悬置系统的配置及悬置系统的改进提供了依据。1 9 9 6 年， 温任林，颜景平以整车系统为背景，提出了降低汽车驾驶室振动相对能量和发动机悬置系统 各阶振型解耦的多目标优化方法，并根据该方法建立了优化数学模型。1 9 9 8 年，史文库和 林逸以a u d i l 0 0 轿车为研究对象，考虑了弹性基础的作用，建模时假设发动机悬置支承在弹 性基础上。通过四端参数理论，分析了弹性基础对发动机悬置系统隔振性能的影响，得出了 发动机悬置支承基础的弹性作用是悬置在高频区域隔振效果变差的原因。2 0 0 1 年，樊兴华、 陈金玉和黄席樾在研究发动机悬置系统各种优化设计方法的基础上，以整车人机系统为背 景，提出了以人体在垂直方向振动加速度均方根加权值最小和发动机悬置系统能量解耦为综 合目标的多目标优化模型，对发动机悬置参数进行了优化设计。计算实例说明，选择合适的 2 第一章绪 论 发动机悬置参数可以有效的降低汽车振动，改善汽车乘坐舒适性。2 0 0 3 年，清华大学吕振 华教授在讨论动力总成悬置系统的设计理论与优化方法的基础上，系统的分析了这些因素对 动力总成悬置系统隔振性能设计目标的影响，并针对两种动力总成进行了优化设计计算分 析，使系统的解耦程度提高。2 0 0 5 年，等对汽车动力总成三点式悬置系统的设计方法进行 了研究，分析了汽车动力总成悬置系统的振动激励、质量矩阵、刚度矩阵各元素的特点点及 其相互关系，阐述了系统弹性解祸设计的理论基础和重要性。然后根据动力总成悬置系统刚 度矩阵各元素的解析表达式，应用v 形悬置组的弹性解祸原理，论述了目前普遍应用的三点 式悬置系统在弹性解祸设计方面的问题，提出了悬置布置设计匹配的有效方法。2 0 0 4 年， 艾松树等人利用有限元理论以及大型通用有限元分析软件m s c n a s w a n 对发动机支架进行 了自由模态的有限元分析，得出该发动机支架的前十阶模态参数( 固有频率和模态振型) ，计算 结果对车辆采用减振降噪措施具有一定的参考价值【7 4 】。2 0 0 6 年，孔庆华等人以东安4 g i 发动机支架为研究对象，采用大型分析软件a n s y s 对发动机支架的应力分布进行计算和仿 真分析，得出该构件的应力和应变分布图，从而为发动机支架的强度分析研究提供比较实用 的有限元分析方法【7 5 】。2 0 0 6 年，王锐等人推导了橡胶隔振静刚度与结构参数、材料硬度的 关系式，结合有限元分析技术，提出橡胶隔振的系列化设计方法并给出应用实例。该设计方 法用以指导如何有效地调整各设计参数，实现橡胶隔振器系列化产品的快速开剔7 6 j 。 以上是国内外对于对于动力总成的分析和研究，为本文对于动力总成的研究提供了理论 依据，并为动力总成的设计提供了指导，特别是本文结合前人的研究经验和成果进一步对动 力总成悬置软垫进行了模态分析，对支架进行了模态和刚度分析。根据计算结果对支架模型 进行了优化设计，即减轻了质量又提高了产品性能 1 3 论文研究的目的和意义 本论文利用有限元静强度、模态分析和结构优化设计方法，在各工况下对变速器安装软 垫总成静、动态特性在产品设计阶段就作出符合实际的预测，并在短时间内得到最优变速器 安装软垫总成结构方案，以满足汽车运行安全要求，提高产品一次设计成功率、产品设计水 平，进而缩短产品开发周期，降低产品开发成本。为社会创造经济效益。 1 4 本课题研究内容 本课题的研究内容拟主要包括以下几个方面： l 、运用p r o e 辅助a n s y s 建模。在p r o e 中绘制的草图h y p e r m e s h 菜单命 令i m p o r t 读入。 2 、学习消化有限元软件的使用，并在h y p e n n e s h 软件的前处理器中建模。 3 、在h y p e n n e s h 中对变速器安装软垫总成的静、动态性能特性分析，特别是衬套软垫 不同的橡胶材料的静、动态性能特性分析，调整各设计参数，实现最佳减振效果。 4 、将有限元分析技术和优化分析技术相结合，结合强度、模态、疲劳分析的数据进行 结构优化设计。 5 、对悬置支架进行优化设计，从而达到减轻重量，提高性能的作用。 将有限元分析技术、机械系统动态分析技术和结构优化设计技术相结合，克服优化设计 中数学模型的困难，利用h y p e r m e s h 进行优化设计。根据优化分析结果，改进变速器安装 软垫的结构，然后对改进变速器安装软垫进行静、动态分析，并与原结构对比分析，以达到 提高汽车的性能。 3 第一章绪论 1 5 软件介绍 意实际输入的数值或节点的位置，计算分析结果可以最小，最大，规定大于或小于一个 指定值，或者强制匹配某一目标值。 h y p e r f o r m 集成h y p e r m e s h 的优异性能和全新、超快的h y p e r f o r m 求解器， 是使用逆向h y p e r w o r k s 为美国澳汰尔( a l t a i r ) 公司的有限元结构分析与优化软件。是一 个创新、开放的企业级c a e 平台，它集成设计与分析所需各种工具，具有无比的性能以及 高度的开放性、灵活性和友好的用户界面。包括h y p e r m e s h 、o p t i s t r u c t 、h y p e r o p t 、 h y p e r f o m 、h y p e r g m p h 、m o t i o n v i e w 等多个功能模块。 h y p e r m e s h 是一个高性能的有限元前后处理器，可以通过它建立有限元模型、观察计算 结果和进行数据分析。它的特点是通过高性能的有限元建模和后处理大大缩短工程分析的周 期。直观的图形用户界面和先进的特性减少学习的时间并提高效率。直接输入c a d 几何 模型及有限元模型，减少用于建模的重复工作和费用。高速度、高质量的自动网格划分极大 地简化复杂几何的有限元建模过程。在一个集成的系统内支持范围广泛的求解器，确保在任 何特定的情形下都能使用适用的求解器。 o p t i s t r u c t 是用于概念设计和改进设计、基于有限元的结构分析及优化软件。它应用拓 扑、外形和形状优化技术，设计优化出基于各种约束条件下的具有最小重量和最大性能的结 构。o p t i s t r u e t 内部包含一个快速、准确的有限元求解器，它帮助工程师使用标准的单元库 和类型广泛的边界条件来优化线性静力和同有频率问题。o p t i s t r u c t 特点是在概念设计阶段 应用优化。为减少结构质量及其相关费用提供强有力工具。以最少的输入产生优化的初始 设计结构程。o p t i s t r u c t 包含的实用程序o s s m o o t h 可以生成i g e s 文件，所有的这几种优化 结果都能反馈到c a d 系统。o p t i s t r u c t 包含在h y p e r m e s h 的图形用户界面内，可以让用户 轻松、快速地进行复杂问题的模型建立、提交求解及后处理。 h y p e r o p t 允许使用任意的分析代码进行优化，参数研究和模型调整，设计参数可以是 任逼近方法的高性能金属板材成型仿真有限元软件。 h y p e r g m p h 是一个强大的数据分析和图表工具，集成很多流行的文件接口，它先进的 数学引擎能够处理最复杂的数学表达式。 m o t i o n v i e w 是通用动力学系统仿真及工程数据的前后处理器和可视化工具，包含 h y p e r g r a p h 的强大功能，可以进行数据图表绘制和高性能交互式三维动画，同时具有直观 的图形用户界面，并且它已经过速度优化，能够进行同步多图动画及图表绘制。 4 第二章有限元理论介绍 2 1 有限元概述 第二章有限元理论介绍 现代科学技术的发展，产品的性能要求越来越高，对工程设计人员来讲，如何更好地设 计、制造产品并降低成本、提高核心竞争力，快速将产品推向市场，成为现代制造企业十分 关注的问题。因此，在设计阶段精确预测出产品或工程的技术性能，对结构的静态强度、动 力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算显得越来越有必要。随着 计算机技术的发展，复杂的数值计算成为可能，各种计算方法应运而生。数值分析的共同特 点就是将无穷多自由度的连续介质问题近似简化为由有限个“结点”构成的有限个自由度 问题，并以这些结点的自由度为未知量，设法将控制方程近似的化为一组线性代数方程，然 后用计算机求解。【6 】也就是说有限元依赖于这样的有限维子空间，它的基函数系是具有微 小支集的函数系，这样的函数系与大范围的分析相结合，反映了场内任何两个局部地点场变 量的相互依赖关系。在线性力学范畴内，场内不同位置的力互相作用产生能量，可用函数 b ( m i ，j ) 表示，其中i ，o i 为相应的点的基函数。b ( i ，o j ) 的大小与西i ，o i 支集的交集 大小有关，如果两个支集的测度为零，则b ( i ，i ) = o ，因此，离散化所得的方程的系数矩 阵是稀疏的。区域分割的越细，支集不相交的基函数对越多，矩阵越稀疏，从而给数值解法 带来极大的方便。f 1 】 对于复杂结构的工程问题我们常用各种主要量相联系的代数方程、微分方程或积分方程 来描述。目前对于这些方程的近似解析方法使用较多的主要有：有限差分法、交分法以及有 限元法。 有限差分法，在一个差分方程的有限差分近似式中，以差商来代替方程式中的导数，该 差商包含了在域中各个网格点上解得的值。引入边界条件后解这些方程式，可得各网点处的 数值。有限差分法在概念上虽然简单，但它具有一些缺点。最明显的缺点是近似解的导数不 准确、沿非线性边界难于引入边界条件、几何上复杂的域难于精确表达以及不适用于非均匀 和非矩形的网格。 变分法，在微分方程的变分解中，将微分方程换成一个等效的变分式，然后假定其近似 m际rm1r 解为已知的近似函数n 的组合匕。，甲，参数。按实力式确定。变分法的缺点是对于具 有任意域的问题难以建立近似函数。 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m ) ，也称为有限单元法或有限元素法，基本思想是 将求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体。根据不同分析 学科，推导出每一个单元的作用力方程，组成整个结构的系统方程，最后求解该系统方程。 有限元法由于提供了推导近似函数的系统步骤，因此它克服了变分法的困难。这个方法 优于以上两种方法，它具有两个基本特点：第一，以一批几何上简单的子域( 称为有限元) 表示 一个几何上复杂的域；第二，对每一个有限元运用基本的概念推导近似因数。这个概念是用 一个线性的代数多项式组合来表达一个任意连续的函数。按插值理论的概念推导近似函数， 因此称它为插值函数。于是有限元法可解释成是变分法的一个逐段应用。其中，近似函数是 代数多项式，而待定参数代表边界上和单元内部有限个额定点( 称为节点) 处的解答值。由插 值法理论可以发现插值函数的阶数( 或次数) 取决于单元中节点的数目。 随着计算机技术的飞速发展，出现了开发对象的自动离散及有限元分析结果的可视化显 示的热潮，使有限元分析的“瓶颈”得以逐步解决。对象的离散从手tn 半自动到全自动；从 简单对象的一维单一网格到复杂对象的多维多种网格单元；从单一材料到多种材料；从单纯的 离散到自适应离散；从对象的性能校核到自动自适应动态设计、分析。这些重大发展使有限 元分析摆脱了仅为性能校核工具的原始阶段。计算结果的可视化显示可以将模型的应力、位 5 第二章有限元理论介绍 移和温度场等的静动态结果以及对模型可能出现缺陷( 裂纹等) 的位置、形状、大小及其可能 波及区域以非常直观的方式显剩明i 。 2 1 1 有限元基本思想 有限元法是2 0 世纪6 0 年代以来发展起来的工程问题计算的数值计算方法。随着计算机 技术的的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了广泛的重视，已经成为解决复杂 的工程分析计算问题的有效途径。在各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。今 天，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元c a e 程序系统的功能越来越强 大，使用越来越方便，其功能与所研究问题的范围也已从传统的力学领域扩展到物理、化学、 材料、生物和电子等众多的- t 程领域。i i j 有限元方法是将连续体离散化的一种近似方法，其理论基础是变分原理、连续体剖分与 分片插值。1 9 5 6 年t u r n e rm j 和r w c l o u g h 等人把位移法应用于飞机结构的平面应力计算。 1 9 6 0 年r w c l o u g h 在他的论文中第一次提出了有限元( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 这一术语。 经过多年的发展，特别是随着计算机技术的发展，有限元方法已经成为现代工程技术人员的 重要工具之一，几乎可以用来求解所有的连续介质和场问题。 国际上早在2 0 世纪6 0 年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析 程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局( n a s a ) 在1 9 6 6 年委托美国计算科学公司和 贝尔航空系统公司开发的n a s t r a n 有限元分析系统。7 0 到8 0 年代是有限元分析软件蓬勃 发展的时期，有限元分析软件的应用从结构分析拓展到各种物理场，从线性分析向非线性分 析发展，从单一场的分析向几个场的耦合发展。9 0 年代后有限元分析软件发展更加成熟， 在单元类型、非线性分析、场分析、优化设计和数值方法等方面有很大改进和增强外，前后 置处理功能更加强大和方便，具备良好的用户开发环境，同时还提供与c a d 软件( 如p r o e 、 u g 等) 的接口，将c a d 模型自动转换为适于有限元分析的模型。 9 0 年代后期，a n s y s 、n a s t r a n 等有限元分析软件还增加了拓扑优化模块，能够得 到在静力和模态分析下的结构拓扑形状或几何轮廓，为产品设计提供初始建议方案。 在我国，1 9 7 9 年美国的s a p 5 线性结构静、动力分析程序向国内引进移植成功，掀起 了应用通用有限元程序来分析计算工程问题的高潮。1 9 8 1 年a d i n a 非线性结构分析程序引 进，一时间许多一直无法解决的工程难题都迎刃而解了。大家开始认识到有限元分析是工程 师分析计算的重要工具。中国正在成为世界的制造中心。目前，如何成功利用有限元来提高 研发能力和产品质量，缩短研发周期，降低研发成本，将成为中国的制造企业提升竞争力的 当务之急。 2 1 2 有限元分析计算思路 1 物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元 于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质， 描述变形形态的需要和计算进度而定( 一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越 接近实际变形，但计算量越大) 。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而 是同新材料的由众多单元以定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的 结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 作为空间三维实体离散化模型有四面体、三棱柱、棱柱体、任意六面体等参数等单元模型， 作为连接相邻单元的结点有铰接的( 保证其位移本身连续) ，和其它的连接形式( 保证位移本身 及其若干阶偏导数连续) ，结点位置除在单元的角点外，还可分布在棱边中间。在这些单元 中，最常用的是结点为铰接形式的四结点四面体单元，六结点三棱柱单元和二十结点等参数 单元。 2 单元特征分析 6 第二章有限元理论介绍 a 、选择位移模式 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未 知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法 易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体 或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。 这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法 我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数。 b 、分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节 点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理 方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。 c 、计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连 续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面 力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在 单元上得力。 3 单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的 有限元方程。 4 求解未知节点位移 解有限元方程式得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。 1 4 9 2 2 有限元静力学分析基本理论 2 2 1 线弹性有限元静力学分析的过程 1 ) 根据虚功原理，可建立单元节点力与单元节点位移的函数关系，即 扩) 。= k r 8 ( 2 1 ) 其中：扩y 为单元节点力列阵，k r 单元刚度矩阵，p y 为单元节点位移列阵； 2 ) 按静力等效原则把每个单元所受的载荷向节点移置，并求和，从而得结构的等效节 点载荷列阵记j ； 3 ) 根据每一个节点的相关单元组集结构的总刚度矩阵医】，并建立整个结构的平衡方 程： 扩 = k 弦 ( 2 2 ) 该平衡方程是一个线性方程组，其方程的个数等于结构的自由度数，即结构的节点数乘 以节点的自由度数。在引入结构约束信息，消除了结构总刚度矩阵k 】的奇异性后，便可由 该线性方程组解出未知的节点位移p ) ； 4 ) 根据已知的节点位移，计算各单元的应力。 7 第二章有限元理论介绍 在整个过程中，其难点在于线性方程组的求解，这是因为对于一个比较复杂的结构而言， 其离散的单元及节点数目往往是上十万，甚至上百万，因此对计算机的硬件有比较高要求， 另外，要保证有限元解的正确性，与合理建立有限元模型和正确处理边界条件以及约束信息 都紧密相关。1 4 2 j 2 2 2 有限元结构离散化 作为空间三维实体离散化模型有四面体、三棱柱、棱柱体、任意六面体等参数等单元模 型，作为连接相邻单元的结点有铰接的( 保证其位移本身连续) ，和其它的连接形式( 保证位移 本身及其若干阶偏导数连续) ，结点位置除在单元的角点外，还可分布在棱边中间。在这些 单元中，最常用的是结点为铰接形式的四结点四面体单元，六结点三棱柱单元和二十结点等 参数单元。 2 2 3 单元的位移模式 设单元具有d 个铰结结点，则其位移模式的普遍形式为： 其中 0 ，v ，w ) ( 2 3 ) f 3 x 。= kv 计= 【】3 妇d p ) e ，踟 ( 2 4 ) p y ，d l = l lv im “2v 2w 2 屹r 【】_ 帆巩n a 】 这里i 为三阶单位矩阵，即，= 10 101 00 i 001 ( 2 5 ) ( 2 6 ) f ( i = l ，2 ，d ) 是单元位移模式的插值基函数，也称为形函数，对于规整单元，它 是x ，y ，z 的函数；对于等参数单元，它是自然坐标善，r ，f 的函数；同时兼作坐标变换式的插 值基函数。求解j 的公式，即 l g ，弘z ) = u e g ，y ，z ) 疋代， ，z ，) ( 2 7 ) 这里的e g ，y ，z ) ( k l ，2 ，m ) 为不通过结点i 而通过所有其它结点的一组( m 个) 代数 曲面。应用公式( 2 7 ) 时，对于四面体，宜用体积坐标( 专门适用于四面体单元的一种自然坐 标，其特点类似于三角形单元中的面积坐标) 表示f ( x ，y ，z ) ，因为它的形式最为简单；对于 等参数单元，宜将式中整体坐标变量x ，y ，z 替换为局部的自然坐标变量善，r l ，f 。另外由 公式( 2 7 ) 构造的形函数还需检验它是否满足兰f ：1 ，兰m 毛：x ，兰f 乃：j ， m d， | i 甜 或 第二章有限元理论介绍 d fz f ：z ( 对等参数单元，d l 墨= x g ，j ，z ) 是自然满足的，就无须检验) ，和位移协 调条件。对于自由度总数为n 的空间结构，其整体等效荷载列阵 r ) 为： i r k ，= 【r 。r ：r 。】r ( 2 8 ) 它是由单元的等效结点荷载列阵仁 。集合而成的，若单元有d 个结点，则忸) 。元素为 r ) 。，d 。- = 阢x z x ：e z ：局匕乙i r ( 2 9 ) 类似平面问题那样，应用虚功保持相等的条件导出求解球 。的普遍公式为 俅) 8 = 沁广+ r p + k 夕 ( 2 1 0 ) 其中 诛p ) e s 出t = 【譬扪 尸 3 x 。 ( 2 1 1 ) i r p ，捌= p l 蝎p ，。，d x d y d z ( 2 1 2 ) k = 肛l d 砖跣。d s ( 2 1 3 ) 公式中的p ，扫) ，每 分别是集中荷载分布体力、分布面力列阵； 邱r ，e p ，k ； 分别是集中荷载、分布体力、分布面力的单元等效结点荷载列阵；v 为单元的体积，疋为单 元受载面的面积。由俅) 。形成俅 的理论公式， 仍然是 俅 ：啦r y 球y ( 2 1 4 ) 但实际上还是按自由度序号“对号入座，和“同序号相加的方法由球y 形成俅) 。【3 7 1 2 2 4 应变、应力矩阵 三维弹性体情况下的力学基本变量为：位移分量u 、v 、w ；应力分量、盯盘、 勺、f 弦、f 嚣；应变分量气s 。、勃、g 。、。其示意图如图2 - 1 所示： 9 第二章有限元理论介绍 互 图2 1 三维问题中的应力分量 三维问题的应交与位移关系的方程用矩阵表示为： p = s 就 e y y 占口 6 x y s 弦 s 曩 抛 o x 0 v 砂 0 w a z o u0 1 , + 钞 叙 8 v8 w i - 钯 砂 o wo u + o x融 ( 2 1 5 ) 弹性体的应力与应变关系要视弹性体的材料而定。在三维弹性理论中，一般都假定材料 是各项同性的，因此，物理方程，即广义h o o k e 定律： 话 = k料口6 x ys 牡 i 1 一一0 0 | _ 1 - p 00 1l 一一 100 一e 1 000 2 ( 1 + p ) 0 1) 1 0000 2 ( 1 + ) l 00000 式中：e 为弹性材料的弹性模量，为泊松比。 依公式( 2 1 6 ) 求解应力： l o e 翼j 洲 2 ( 1 + g ) j 【 ( 2 1 6 ) k 第二章有限元理论介绍 可得 p = k 式中 d 】称为弹性矩阵，且为： 纠= 隔e 0 - ) o y yo r 盟乞y ( 2 1 7 ) p ) = p 怡) 南 ( 1 一) 社 ( 1 一t ) o 【d 】有多种形式，在此用拉梅系数 和剪切弹性模量 可表示为： p 】= 0 o 力= 1 ( 1 一) o 0 o ( 1 一) ( 1 一) l。 o e ( 1 一) 0 + , x 1 2 u ) g = 石e 砑 2 1 1 + ) 0 0 兄+ 2 g五五oo0 a名+ 2 g旯o oo 名名五+ 2 go oo 00og00 o0o0g0 000 00g ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 2 2 5 刚度矩阵【k 】 对于自由度总数为n 的空间结构的整体刚度矩阵【k 】是i 行的方阵，它是由单元刚度矩 阵【k 】集合而成的，若单元具有d 个结点，则 k 】用子矩阵表示的形式为 f ，1 , 1 l 陆】3 删= i ! l 饬。引 ( 2 2 2 ) 一 o o o o o旦舡 一 o o o o皇舡o 一 o o o些舡o o 第二章有限元理论介绍 其中 陆。】3 妇= k 芸k ：k 篙 k 嚣k 嚣k 鬈 l c 嚣莪：k 嚣 ( ，s = 1 , 2 ，d ) ( 2 2 3 ) 如同平面问题一样，【k 】也是单元结点力列阵 f 毙捌和结点位移列阵p 强出l 之间的转换 矩阵，它也是应用虚功原理导出的，其形式为： f 毙出。= k 】3 d 。，dp z 出。 ( 2 2 4 ) 其中 陋玉捌= 肌甜 d i b d v ( 2 2 5 ) 其子矩阵 陆。k = j f 肛e 。p k 。陋k ( ，s = l ，2 ，d ) ( 2 2 6 ) 由【k 】形成瞰】的理论公式，仍然是 医】= 啦r ) r k i c r ( 2 2 7 ) 而实际上还是按自由度序号“对号入座”和“同序号相加”的方法由k j 直接形成【k 】。 以上所讨论的只是空间三维实体有限元中要用到各种量的一般计算式，对于具体的空间 单元，一旦构造好它的位移模式后，便可导出其实用的公式。【4 2 】 2 3 本章小结 本章主要介绍了有限元的基本思想和主要思路，并介绍了有限元静力学分析基本理论和 计算方法，为以后的研究打好理论基础。 1 2 3 1 几何建模 第三章安装软垫的有限元模型建立 根据本课题厂家给定的图纸，在大型c a d 建模软件u g 、p m e 或s o l i d w o r k s 等软件中 建立即可。由t j l 何建模平时应h j 较多，本文就不做详细介绍了。 3 2 有限元建模 3 21 模型的转换处理 本文的动力总成模l “采埘h y p e r m e s h 进行有限元建模，根据使用经验，在导八儿何 模型时使用i g e s 格式的文件出错相对较少。固此应把几何模型保存或转化为i g e s 格式。把 模型导八h y p e r m e s h ，导入后模型如图3 - i 所示。动力总成模型由支架和内部软垫总成过 渡配合组成，内部软垫总成分为外部钢套、中部橡腔减震材料和内部钢套三个部分，这三 个部分通过把橡脞粘结在钢套上形成配台。 幽3 - 1i g e s 文件的导八模型 闰3 - 2 动力总成模型在h y p e r m e s h 中的爆炸图 3 22 模型的几何清理 有限元分析计算结果准确性的高低直接受有限元分析模型与实际工程结构力学特性符 合程度的影响。因此，需要准确地搞清各件之甸的连接芙系，考虑各结构的主要功能，以便 准确地建立有限元模型，进行有效的分析， 软垫总成几何清理，主要就是把小的倒圆角简化掉，对模型特性影响不大的特征予以忽 略。由丁在导入时软件z 间的接口问题，会出现缝隙、小孔、重叠和错位等缺陷，因此应该 对模l “进行清理，如幽3 - 3 所示，图中的黄线证明有重复的面需要坩采h 删除多余面或删 除重复面的方法解决：幽中红线证明存在自由边或缝隙，需要台井相邻的两个自由边；图中 出现的小洞需要把洞补上。 第= 章立装软毕的柯阻i 模型建 幽3 - 3 模型导八，“生的缺陷 以上的步骤都是修复模1 “在导八时出现的错误。 在有限元建模中除r 要清理模1 ”倒入出现的缺陷外，也要进行适当的模l o 简化。如简化 倒捌角等，结粜对比如f 如图3 - 4 和幽3 - 5 。儿何清理完成崮如幽3 - 6 。 锈一之毋雕。p麟 h 34 倒角清理前陶3 - 5 倒角简化后 幽36 儿何清理完成幽 3 3 有限元网格划分 当动力总成儿何模掣在h y p e r m e s h 中修补完成肝，即可利用h y p e r m