（应用数学专业论文）关于一类自由不连续问题解的正则性.pdf

摘要 本文分别给出了几类自由不连续问题的e u l e r l a g r a n g e 方程：在f 满足一些 限制条件，u 是数量函数情形时，对如下泛函： j f ( v “) 出+ 口1 “一9 1 9 + 胆“( s 。n q ) ， nn 用能量衰减法得到了极小的奇异集的奇异集( “) 的维数估计，推广了l a m b r o s i o ，n f u s c o & e h u t c h i n s o n 6 的相关结果：本文还讨论了自由不连续问 题极小的奇异集族在h a u s d o r f f 距离下的紧性性质等，这些结果可望用来降低 ) 的维数。 关键词：自由不连续问题，m u m f o r d s h a h 泛函，e u l e r - l a g r a n g e 方程，奇异集 维数。 a b s t r a c t w e s e p a r a t e l y d e d u c et h e e u l e r - l a g r a n g ee q u a 【i o n s o fs e v e r a lf r e e d i s c o n t i n u i t yp r o b l e m s ：w h e nf i sp u ts o m ec o n s t r a i n t sa n dui sas c a l a rf u n c t i o n s ， w ec a no b t a i nt h ed i m e n s i o ne s t i m a t e so fs i n g u l a rs e to fs i n g u l a rs e to f m i n i m i z e ro f l ( 口1 “一9 1 4 + f ( v u ) ) d x + 胆“( s 。n q ) b yt h ed e c a y o f e n e r g ya n dw eg e n e r a l i z et h er e s u l t so f l a m b r o s i o n f u s c o & e h u t c h i n s o nw ea l s od i s c u s st h ec o m p a c tp r o p e r t i e so fc o l l e c t i o n so fs i n g u l a rs c to f m i n i m i z e r si nh a u s d o r f fm e r l e a n dw ew a n tt ou s et h e s er e s u l t s t or e d u c et h e d i m e n s i o no f ( ) k e y w o r d ：f r e ed i s c o n t i n u i t yp r o b l e m s ，m u m f o r d s h a hf u n c t i o n a l ，e u l e r - l a g r a n g e e q u a t i o n s ，d i m e n s i o n o f s i n g u l a rs e t 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：2 - 叫年7 月刀扫 倾卜论文关于自由不连续问题解的正则性 1 1 引言 第一章绪论 近年来由于自由不连续问题在信息论和数学物理方面的广泛应用，对这类问题 的研究引起了人们的广泛兴趣。自由不连续问题由e d eg i o r g i 提出，所旧自由不 连续问题是指在给定丌集qcr ”上一类同时含有“体积”和“面积”项的泛函的 极小化问题，问题的解以( k ，u ) 形式给出，其中k 是一个闭集，“在k 外适当 的光滑( 参见 3 】， 2 0 】， 2 1 】) 。可以看到k 不需要一定是边界，故自由不连续问题是 比自由边界问题更广泛的一类问题。典型的自由不连续问题是m u n f o r d s h a h 泛函 ( 【3 4 】) l 、，( 口卜一g l + l v , l ) 出+ 胛“1 ( k n q ) 的极小化问题i 这里q c r ”是开集，g r ( q ) n r ( n ) a ， 0 ，“c i ( q k ) 。 许多自由不连续问题的研究都集中在这个泛函上。首先要解决的问题是极小的存在 性，m u n f o r d s h a h 泛函的极小在c 的存在性在二维时可由直接方法证得( 3 5 】) 。为 了研究一般框架下的自由不连续问题，e d eg i o r g i 和l a m b r o s i o 在【2 1 】定义了 s b v 函数，简单的说s b v 函数就是没有c o n t o r 部分的b v 函数。e d eg i o r g i ，m c a r r i e r o & a l e a c i 在【2 2 一文中通过证明如下弱形式： ( 口卜一g l2 + i v “1 2 ) 出+ p h “1 ( 瓦n q ) 在s b v 中极小存在进而证明若u 是弱形式 的极小则( 墨，“) 是m u n f o r d s h a h 泛函的极小。极小的正则性的研究有两个关键的 问题，一个是v “i 的高阶可积性，另外一个是k 的正则性。x 寸l v u 的高阶可积性 e d e g i o r g i 在【2 0 】给出了一个猜想，但并未被论证。而对k 的难则性，l a m b r o s i o & d p a l l a r a 在【l o 】及l a m b r o s i o ，n f u s c o & d p a l t a r a 在【7 】两篇文章中给出了部 分正则性结果：存在h “1 可去集( “) c 墨n q ，且x ( u ) 相对于q 是闭集，使得 墨n q ( “) 是一个c 1 1 。超曲面。我们希望x ( u ) 的维数至多是一2 ，l a m b r o s i o ，n f u s c o & e h u t c h i n s o n 在 6 】中在l v “】的高阶可积性基础上得到x ( u ) 的维数的一个估 计。后面我们将具体叙述这些结果。 1 2 一些自由不连续问题 1 2 1 指定中曲率( p r e s c r i b e di n e a nc u r v c t u r e ) 问题 给定g l ( 尺”) ，e cr ”，v 。是e 的单位外法向量，要找e 使得o e 的中曲率 第1 页 坝i 论文关于臼山不连续问题解的正则性 为h ( x ) = g ( x ) v 。( x ) ，这样的问题对应于下面的极小化问题： m l “g o ) d x + h ( a e ) ：e c r u ) 这个问题已在经典的有限周边集( f i n i t ep e r i m e t e r ) 框架下被解决( 参见 3 3 】) 。 1 2 2m u m f o r d s h a h 泛函 d m u m f o r d 和j s h a h 在 3 4 1 中提出了下面极小化问题： 璎 、。( 口j u - - 9 1 2 + i v “i 2 ) 出+ 胆“1 ( 世n q ) ， q cr ”丌集 g r ( n ) n r ( q ) 甜， 0 ，“c ( q 、k ) ，k 是尺“中闭集。 在二维情形这个泛函可以用来作为图像分割的变分模型( 参见【3 4 ， 3 5 ) ，这时 g 表示要被分割的灰度图像，k 是对应的分割，“c 1 ( q k ) 是g 的光滑逼近。 m u m f o r d s h a h 泛函在某种意义上可以说是一个标准的自由不连续问题，因为它同 时包含了数学上两类经典的能量项，d i r i c h l e t 积分和面积项，目前研究自山不连续 问题的很多结果都是从m u m f o r d s h a h 泛函开始的，由于下面我们将详细介绍有 关m u m f o r d s h a h 泛函的一些结果，这里我们就不赘述了。 1 2 3 最优分解问题( o p t i m a lp a r t i t i o n ) 指定的中曲率问题的一个推广就是下面的最优分解问题： m i n a 、。l u - g l 2 d x + h “一( k n q ) ) ， 其中q 匕r ”，g r ( q ) ，( k ，u ) 的容许集是 ( k ，“) ：k 匕e n 是闭集，“在q 脚 勺连通分支上为常数 。 这个极小问题是求g 的最佳分片常数逼近。注意到如果k 是给定的，那么明 显u 在每个连通分支的值是g 的平均值，相反给定u ，则k 是它的不连续集。所以 两个未知变量可以缩减成一个，因此这个问题也可提成： 呼n 缸灿一9 1 2 d x + h ”谯) ) ， “s b v ( n ) 且u 是分片常数。 关于这个问题的极小的存在性及k 的正则性及一些应用可参见【3 4 。 第2 页 硕1 论义关十自由不连续问题解的正则忡 1 2 4 与液晶( 1 i q u i dc r y s t a l ) 模型理论有关的问题 一个与m u m f o r d s h a h 泛函相似的液晶模型是下面极小问题： 嘤争 、。a u - 9 1 4 + i v “i ”d x + p h “1 ( 彭n q ) k c 五是闭集，口，卢 0 ，g r ( q ) n l q ( f 2 ) ，h c ( q k ；月) 茴足l u l = 1 。n ： n = k = 3 时u 代表液晶的光学轴。这个问题的极小存在性结果可参见 1 4 1 。 另一个与液晶有关的模型是： e ( d ，u ) = i w ( u ，v u ) d x + i f ( u ，) d h 2 6a 6 d 是r 3 上任意有界域且具有l i p s c h i t z 边界，l ，。是d 的外法向，d 表示一一滴液晶， u 是晶体的光学轴。上面的泛函代表体积能量和与晶体表面接触的能量之和，这单 w 和f 可根据模型的需要进行选择。尽管开始时期表面能量在边界，但是在一定的 边界条件和限制下，这个问题可成为一个自由不连续问题，这是因为d 可能产生 一个有表面能量的内部边界。 1 3 自由不连续问题极小的存在性 m u m f o r d s h a i l 泛函 g ，k ) = 、。( 口b 9 1 2 + i v “l 2 ) c u + p 4 “。( 彪n q ) ) n 匕r ”是丌集，g r ( q ) n 三2 ( t a ) ，u c 1 ( q k ) ，口，卢 0 ，k 是r “巾闭集， 这个泛函的极小存在性在二维时出j m m o r e l & s s o l i m i n i 在【3 5 】中给出了一个 直接的证明。但通常的变分的直接方法不能很容易地应用在我们考虑的泛函中，这 是因为在闭集k 上没有保证极小序列紧性和h m l 测度下半连续的拓扑，进而e d e g i o r g i ，m c a r r i e r o & a l e a c i 在 2 2 一文中给出另外的证明，他们是通过证明如下 弱形式： 万( h ) = 刖1 - - 9 1 2 + i v “j 2 ) d x + t n “( s 。n o ) 在s b v 中极小存在进而证明若u 是百( “) 的极小则( 墨，“) 是g ( u ，k ) 的极小。 e d eg o r g i 等的证明之关键是证明如果u 是一个极小，如下的密度下界成立： 4 7 在0 0 0 ，p o 0 ，对任意中心在x 瓦的球b 。( x ) c q ，当p 蔓p o 时 “( s 。n b 。( x ) ) o o p “1 。 山密度下界直接可得一个重要的结论是： 若u s b v ( n ) 且密度下界成立，则h “1 ( q n 瓦s 。) = 0 。 第3 页 坝i - 论义关十白由不连续问题解的正则件 对f 面类型的泛函： e ( k ，“) = 、。( 口卜一9 1 9 + f ( v “) ) a x + p h 肛l ( 足n q ) q c r “是开集，g l 岬( q ) n l ( f 1 ) ，“，p 0 ，“c 1 ( q k ) ，k 是r “中闭集， i f o n s e c a & n f u s c o 在【2 5 给出了极小的存在性证明，其中f ：r ”_ r 是i ! i 泛 函且满足f ( 0 ) = m i n f ( z ) 及 1 ) l z l ”，( z ) l o + i z l ) ，对某个p l ； 2 ) l f ( z + d 妒) 出护( z ) + v ( 2 + i z l 2 + i d l 9 0 1 2 ) ( p - 2 ) 2 i d o l 2 出， v 三r ”，妒q ( q i ) ，y 0 ，p o ； 3 ) f ( z ) 一f ( t z ) t ”吒t ，对每一f f 。 0 ，z s ”。t0 2 q ，并给出了存在 性结果。接着a l e a c i 又在 3 1 1 中对任意有限维的情形给出了存在结果，这时要求 g l ”( q ) n l ”( q ) ，p n q 。 1 4 极小的正则性质 首先，e d eg i o r g i ，m c a r r i e r o & 九l e a c i 在 2 2 】讨论存在性时就得出，若 第4 页 顺l j 论义关于自由小连续问题解的正吼q 性 ( k ，u ) 是g ( u ，k ) 的极小，则k n q 是( h “，n 一1 ) 刚求集，即存在列c 曲面 瓯 使得h “( k u 瓦) = 0 。l a m b r o s i o & d p a l l a r a 在 1 0 】及la m b r o s i o ，n f u s c o & d p a l l a r a 在【7 】两篇文章中给出了部分正则性结果。 定理1 4 1 若”s b v ( f ) ) 是泛函f 的拟极小，则存在“t i j 去缀e ( u ) cs 。n 【1 ， 且( “) 相对于q 是闭集，使得瓦n q ( “) 是一个c 。“4 超曲面。 注1 4 2 在n = 2 时d 可等于1 。 证明的主要思路是基于两个衰减性质：_ ：d ( p ) 2 i 告f 小) v u i 2 砂为伸缩的 d j r i c h l e t 能量，一( p ) = i 1 期l ( ，) 如f 2 ( 弘丁) 删“。( j ，) 为测量瓦的平坦性 ( f i a t n e s s ) ，若a 远远小于d ，则d 的衰减性成立，这和经典的椭圆正则理论有关。 如果d 和一是可比较的，则a 的衰减成立，这和经典的极小曲面理论的平坦性 ( f l a t n e s s ) 提高定理有关。 对于这个i _ f 则结果，gd a v i d 在 1 8 】中对二维情形给出了另外的证明。 他们的方法还可以用于讨论形如： 【h ( v “) 出+ h “1 ( 瓦n f 0 ”s b v ( q ，r ) 的拟极小的正则性的研究，其中h 要满足以下条件( 见 1 0 】) ： i ) h 连续，且对某个p l 是p 齐次的，当= o 时日( z ) 0 ， 2 ) 密度下界成立：存在吼 o ，风 0 ，对任意中心在工豆，的球b p ( z ) c q ，当 p p o 时一( s 。n 曰。( 工) ) 岛p 。 目前密度下界已证得在下面几种情形下成立： 1 ) 日( z ) = ，对任意k 1 成立； 2 ) h ( z ) = ”，p 2 ，当k = l 时成立且没有限制条件，当k 1 时u 要满足h = 1 的 限制条件( 见【1 4 1 ) ； 3 ) ( z ) = l z l ”+ ( z ) 。k l t 其中 ( z ) sc ( 1 + l z l 7 ) tp r 1 ，丽j “s b v ( q ，r 。) n r ( q ，r 。) ( 见 2 5 】) ； 第5 页 颇i 论义关十自由不连续问题肼的正则什 4 ) h ( ：) 是凸函数且满足： l 。) i z l ”f ( z ) l o + h ”) 对某个p 1 ； 2 。) l f ( z + d | f o ) d x 护( z ) + v ( 2 + i z l 2 + 俐2 ) 沪2 小俐2 凼 v z r “，妒q ( q i ) ，v o ， 0 ( 见 2 5 ) 。 应浚醣应用这利，方法研究正则性目前只限于一类范围不是很1 的h ( z ) ，列寸： 更j “一类函数及高维情形的推广仍有待于研究。 除了对m u m f o r d s h a h 泛函正则性的研究，m u m f o r d - s h a h 问题是否w e l lp o s e d 也是很有趣的问题，即不仅要撮优解( k ，“) 存在，而且要它是唯的。 定义i 4 3 紧集kcr ”称为分片光滑的，若存在有限多个有光滑边界的光滑曲面 r ，使得k = u r ，且f 矾互不相交。 下面定理在l a m b r o s i o n f u s c o & d p a l l a r a 在【9 中证明。 定理1 4 4 假定q 是有界丌集且具有l i p s c h i t z 边界，则g ( u ，k ) 的极小与g ( u ，足) 在 下面函数类a 中的极小一致： a = ( k n 孬，“) ，kcr “分片光滑，u c ”( q k ) ) 1 5 l v u i 的高阶可积性和墨，的奇异点集( “) 的维数的估计 接着对自由不连续问题的研究有两个关键问题：一个是极小t l 的l v “i 的高阶 可积性，另外一个是对墨，的奇异点集z ( u ) 的维数的估计。这两个问题在本质上是 有联系的。我们这里主要研究m u m f o r d s h a h 泛函。 假定g c 1 ( q ) ，泛函百( “) 的e u l e r - l a g r a n g e 方程为： l 咒 e l y “i 2 + a u - 9 1 2 d i v 可一2 口( “一g ) ( v g ，7 ) 一2 ( v “，v “，v 呷) ) 出 + l 确v 托q d h ”1 = o x , j - v q 【c j ( n ) 】“，粗略地讲这个方程说明极小“的d i r i c h l e t 积分控制不连续集s 。 的平均曲率。若假定瓦n a 是一个图，即 瓦n a = x = ( z ，( z ) ) ：z d ) ， 第6 砸 关于自由小连续问艇解的正则性 其中d cr ”1 是开集，：d 斗r ，令 a = a + u a u ( s 。n a ) 这里a + = ( z ，r ) a ：f ( ：) ，a 一= ( z ，r ) a ：t - 1 。( 这部分的结果主要参见【8 ) e d eg i o g i 在 2 0 】中有如下猜想： d e g i o g i 猜想1 若( k ，u ) 是g ( u ，k ) 的极小，则存在某个p ，2 p o 使得： 第7 页 关于自由不连续问题俐的正则性 ( “) = x s ”：l i m 。i 。n f d ( x ，p ) + 爿( x ，p ) 氏) ， 其中。( t p ) = j 岳l 一，1 v “1 2 咖为伸缩d i r i c h l e t 能量， 爿( x ，p ) 2 j 暑m 。i nf 。”，) d 街2 ( y ，r ) 棚1 ( y ) 为测量瓦的平坦性a t n e s s l 这单a 为所有n 一1 维仿射平面集合。 他们把( “) # n - - n # ：第一部分是伸缩的d i r i c h l e t 能量趋于0 的点，第二部 分是a i x ，p ) 趋于0 的点，第三部分是前面两集都不趋于0 的点。在二维情形若x 是三又点( t r i p l e j u n c t i o n ) ，则d ( x ，p ) 是无穷小而a ( x ，p ) 不是，当x 是裂缝( c r a c k t i p s ) ，a ( x ，p ) 是无穷小而d ( x ，力不是，故在二维时第三部分为空集。 因为 ) 的n 一1 维h a u s d o r f f 测度为0 ，我们希望它的维数至多是n 一2 ，但 这个问题至今仍没有结果。他们的文章是通过考虑第一部分： 。( “) = 缸s l 。i r a 。d ( x ，户) = 0 ) ， 利用a l m g r e n 面积极小的理论对x q ) 附近的s 。中点进行b l o w - u p 分析得到 。( “) 的h a u s d o r f f 维数至多是n - 2 ，从而得出下面定理： 定理1 5 1 令“m 。( n ) ( 见定义2 3 2 ) ，若v “战。( q ，r ”) ，p 是某个大于2 的 数，那么 h d i m ( ( “) ) m a x n 一2 ，n p 2 ) 。 我们可以看出v “的高阶可积性与0 ) 的维数是密切相关的，但是由于e d e g i o g i 猜想仍未得到证明，故这一估计也有可能只是一种猜测a 我们看到若p = 4 则 我们可以得到维数的最优估计。 1 6 本文的工作 本文的主要结果有两个：首先。l a m b r o s i o ，n f u s c o & e h u t c h i n s o n 6 的 关于芑( “) 的维数估计是建立在d eg i o g i 猜想基础上的，而这个猜想并未被论证。 本文给出了相关的部分结果，显然目前我们还不能证明，但是我们相信这些结果结 合f a l m g r e n 降维定理可望得到( “) 的h a u s d o r f f 维数是一1 一占，其中占是某个 钨8 丽 坝i 。论文 关于白由小连续问题解的正则件 大于0 的数。本文的另外的一个工作是给出了几类自由不连续问题的e u l e r - l a g r a l l e 方程并推广了 6 的关于( “) 的维数估计的结果，在数量值情形对形如： i f ( v “) 出+ 口1 “一g l9 + j 6 胃“。( s 。n q ) n矗 的泛函的极小的m ) 维数进行了估计，这里函数f 要满足一些限制条件。 本文在第二章介绍了一些相关的概念和定理。第三章主要是叙述了利用 f a l m g r e n 降维定理来证明 ) 的h a u s d o r f f 维数是一1 一艿的部分结果。在第四章 的第一节给出了几类自由不连续问题的e u l e r l a g r a n g e 方程，第二，三节是对几个 自由不连续问题的极小的z ( u ) 维数的估计结果。 第9 页 彻0 论史关于自由不连续问题解的正则性 第二章预备知识 2 1 b v 函数和s b v 函数的定义： 定义2 1 1 令“( q ) ，我们说u 是b v 函数，如果u 的广义导数可以被有限个 r a d o n 测度表示，即： ，挚一p ，v 妒c 鳓，i 一n d u = ( d 1 1 ，d 2 1 1 ，d “) 是r “值测度。 对于r a d o n 测度d u 有如下分解：d u = d 。1 14 - d 5 h 其中d “u = v u & 是d u 相对于的绝对连续部分，d 。“是d u 相对于的奇异部 分a d “又可以分为两部分：跳跃部分d ”和c a n t o r 部分d ，d “：= d 。 lj d “：= d 。”l ( q s 。) 。s 。表示b v 函数u 的跳跃集，即u 的l e b e s g u e 集的补集： x 甚s 。3 z 胄使得l i m p ”附( y ) 一z i 咖= 0 。 p - 0 0 。 。 b n 【” 可以证明s 。是可数的( h “1 ，n 1 ) 可求集。 定义2 1 2 b v 函数u 称为特殊的b v 函数( 记为s b v ) ，若d 。“l ( q s 。) = o 。 命题2 1 3 s b v ( n ) 是b v ( q ) 的一个闭子空间 无论是从泛函还是几何的观点，b v 函数作为函数空间都许多优点。从泛函的 角度来讲，当积分泛函在梯度有线性增长时，b v 函数可看成s o b o l e v 函数( 或更 正则) 的极限，因此很自然的在b v 函数中寻求变分问题的解。从几何观点来 看，一个b v 函数的水平集都是有限周边集( f i n i t ep e r i m e t e r ) ，而且b v 函数的不 连续集是可求集，而在研究自由不连续问题时，s b v 函数空间是较自然的选择。 2 2 s b v 紧性定理和正则定理 我们先介绍有关s b v 函数的紧性定理，这个定理可参见l a m b r o s i o 在【4 】中 给予了证明，有了这个定理很容易证明虿( “) 的极小的存在性，进而e d e g i o g i ，m 第1 0 页 坝i 论义 关于自由h ；连续问题觯的正则性 c a r r i e r o al e a c i 在 2 2 e p 给出了虿( “) 与g ( “) 两个问题等价性的证明。 定理2 2 1 令“，s b v ( o ) n 三。( q ) ，p 1 ，假定 测v + 矿1 ( s j 懒i i l i 小帆 则存在子列 “。 在f ( q ) 中收敛到“船矿( q ) ，v u 。在( q ) 中弱收敛到v u ，且 ”1 is 。在n 中弱收敛到某个测度h “is ， 下面我们介绍一个有关s b v 函数的正则定理，这个定理对一定条件下s b v 函 数的正则部分进行了刻画，证明可参见 2 2 。 定理2 2 2 令u s b v ( n ) 是使得 j 1 v “1 9 + h “( s 。r _ 、c a ) 1 ， n 则1 ) 对h ”1 几乎处处x q s 。，有 2 ) 若 那么x 仨s 。 2 3 拟极小 船万1 【。叔+ h n 弋s u 鸣( x ) ) 】_ 。 l i mp _ - - 毛- , 。( 。v ) u i 。d x + h ”一1 ( s 。nb 一( x ) ) 】= 。， 在对泛函虿( “) 的性质进行研究时， 对泛函f ( “) = 月v “1 2 + 日“一1 ( s 。n q ) 的 n 拟极小的研究是很重要的。 定义2 3 1 “s b y 乙( q ) 称为f ( 辩) 的局部极小，若 j 1 v “1 2 + h 1 ( s ，n a ) sj 1 v v l 2 + 日肛1 ( s ，o a ) aa 对任意v s b v , o 。( q ) ， v “) c c a c c q 。 若对任意v s b ( q ) 有 j 1 v ”1 2 + h “1 ( s 。n q ) j 1 v v l 2 + 日”“( s ，n q ) nn 第1 1 页 r mi + 论业关十自由不连续问题解的正则性 则称“是一个全局极小。 d eg i o g i 猜想2r 2 中仅有的非常数全局极小是 时= j 等s i n c 孔 这里唯一性是在f 的自然不变意义下，即在平面的旋转和平移及在“的变量的 平移。ab o n n e t & g d a v i d 在【1 2 】中证明了“( r ，0 ) 是全局极小，但唯一性仍是一个 问题。 定义2 3 2 我t 1 3 称d e v ( u ，q ) 为u 的极小偏离，若d e v ( u ，q ) 是最小的五【o ，c o 】使得 j 1 v w l 2 + h n - 1 ( s 。n a ) j 1 v v l 2 + “( s ，n 一) + 五 对任意v s b k 。( q ) ， v “ c c a c c q 。可以看到d e v ( u ，q ) = 0 当且仅当u 是 一个局部极小。我们说“s b 。( q ) 是一个拟极小。若存在一个非增函数 甜( f ) ：( o ，0 0 ) 寸 0 70 0 ) ，当f 斗0 时c o ( t ) _ 0 ，使得 d e v ( u ，b 。( x ) ) p “ - i c a ( p ) ( 2 3 1 ) 对任意b p ( x ) 亡q 都成立。我们用m 。( 表示满足( 2 3 1 ) 的函数类。 注2 3 3 我们可以证明若“舳y ( q ) 是虿( “) 的极小且g r ( q ) ，则u 是一个拟 极小。 对任意v s b ( q ) ，m = 吲j 。，由于f ( 一m vv m ) f ( v ) ，则。m 。 对任意容许函数v ，f ( u ) 蔓f ( 一m v v m ) 暗含： d e v ( “，b 。( x ) ) 口i - m v v a m 9 1 2 d y - 4 a l l g l l = 。p ” 占n j ) 对任意占，( x ) c q 成立，i 必c o ( t ) = 4 搿蚓巴。r 即得。所以对f 拟极小成立的结 果对百( “) 的极小也成立。 注2 3 4 伸缩平移 容易证明若“船矿( q ) ，b p ( ) c q ，令“。( y ) = p7 u ( x o + p y ) ， ， 则“p s b v ( q p ) ，q p = p - , ( q x o ) ，且 第1 2 页 关于白由不连续问题解的正则性 h “_ 1 ( s n b _ ( y ) ) = p - ( x - 1 1 h “一1 ( s 。f q b 坩( x o 十e y ) ) d e v ( u p ，b _ ( y ) ) = p 一”d e v ( u ，b 。( + ) ) 且若，是正p 齐次的，则 l 。，h 2 户叫枷f 。( ；y ) l v “ 。f ( v “，) d y 2 p 一”。f ( v “) d x 实际上，若p s l ，由脚。的单调性可得 “m 。( 哟j “p m 。( q ，) 。 2 4 h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 距离 定义2 4 1 令k o ，) ，e c r “，则e 的k 维h a u s d o r f f 测度定义为 h ( ) ：2 b 毋日：( e ) 其中0 占。，h ：( e ) 定义为： 日：( e ) ：= 虿f - o k - n f 硪d m ( e ，) 】：疣以m ( e ，) f i , e c u e ，) 一j e ， ，e 【e ， 。是有限或可数覆盖，并约定d i a m ( ) = 0 。有关h a u s d o r f f 测度一些详细介绍 可参见【2 4 【2 9 】。 定义2 4 1 对r “中任意两集c ，d ，定义： 户”( c ，d ) ：2 嚣胁，c ) 一p ( x ，d ) l ，其中p c ( x ) = d i s t ( x ，c ) ：。赠d i s t ( x ，y ) 。j e “ ，t 如果我们令z ； cc 7 _ r ”：c 庐，c n 集) ，则p 。是z 上的一个距离，称为 h a u s d o r f f 距离。 定理2 4 2 ( b l a s e h k e 选择定理) ； 令c 是一族位于尺”中球b 中非空紧集的无限集合，那么存在c 中互不相同集 列 e ， 在h a u s d o r f f 距离意义下收敛到某个非空紧集e 。 证明可参考 8 】。 第1 3 页 关于自由不连续问题解的正则愕 第三章f a l m g r e n 定理和( “) 维数估计 3 1 f a l m g r e n 定理 定理3 i 1 ( f a i m g r e n ) 令s 是由b ( 0 ) 中紧子集组成的集族，且满足 1 ) 若k ：i ，x b ( o )0 r 1 ，则存在r r 2 ，r 使得墨尘里生尘! r 2 ) ： 在z 中关于h a u s d o r f f 距离是紧的 则集 r r + ：h ( k ) = o ，对所有k s 是开集。 3 。 关于这个定理的证明详见l i nf a n g h u a & y a n g x i a o p i n g 2 9 。 注3 1 2 在处理一些问题如椭圆方程，调和映射和变分中的e u l e r 方程的( 部分) i f 则性时，f a l m g r e n 定理在单调公式不成立时起着类似于逆h 6 l d e r 不等式的作 用。 引理3 1 3 令k 。，k z ，若p h ( k 。，k ) 斗0 ，则： a ) 对任意x k 存在x 。k 。使得在欧氏距离意义下x 。哼x ， b ) 若x 。kn ，则x 。的任何极限都属于k 。 证明：1 ) 对x k ，要证存在x 。k 。使得x 。寸x 。由假设当n - + ， n ( k 。k ) = s u p，。) 一，k ) i 斗 ， x e , “j d i s t ( x k d i s t ( x 0r 由于p h ( k 。k ) = s u p l d i s t ( x ，k 。) ) 一d i s t ( x ，k ) i d i s t ( x ，k 。) ，当x k 时。因此有 x e r ” d i s t ( k 。x ) - 0 ，当n _ o o 。由于k 。是闭集，故对每个k 。存在x 。k 。使得 d i s t ( k 。，x ) = d i s t ( x ，x 。) ，故l i m d i s t ( x ，x 。) = 0 。 2 ) 若x 。k 。，x 。_ 十x ，要证x k 。由于k 是闭集，我们只要证得d i s t ( x ，k ) = 0 即 可。d i s t ( x ，k ) l d i s t ( x ，k 。) 一d i s t ( x ，k ) l + d i s t ( k 。，x ) p ( k 。，k ) + d i s t ( k 。，x ) ，由于 x 。k 。，贝qd i s t ( x ，k ) 户h ( 芷。，k ) + d i s t ( x ，x 。) ，令n o o ，得至0d i s t ( x ，k ) - - - 0 。 证毕。 注3 1 4 令ge r ( q ) ，u 。是泛函虿( “) = 上( 口卜一9 1 2 + i v “1 2 ) d x + p h “( s 。n q ) 的 第1 4 页 坝l - 论义关于自由小连续问题解的正则性 列极小，则s u p f 1 v “i2 d x + h “1 ( s 。) + 陋。k + o o ，由定理2 2 1 存在子列不妨 仍记为u 。在( q ) 牛收敛到“s b v ( q ) ，v u 。在l 2 ( q ) 中弱收敛到v “，且h 1s 。，在 q 中弱收敛到某个测度日 s ， ，一3 1 5 令g r ( q ) ，u 。是泛函虿( “) = 【( 口卜一g l2 + i v “12 ) 出+ 胆“1 ( s 。n q ) 的 一列极小，且u 。在( q ) 中收敛到h s b v ( q ) ，v u 。在l 2 ( q ) 中弱收敛到v u ，且 h “s ，在q 中弱收敛到某个测度a h “1 is 。，则u 是百( “) 的极小。 证明：要证u 是g ( “) 的极小，即要证：对任意v s b v ( n ) ，有 j v u o ( s 。n q ) v vi2 d x + v nn 由忆、忆s j i g l l 我们有u 。l 2 ( f f j ) 中弱收敛到u ，故根据范数的弱下半连续性得 所以 同理由v u 。在l 2 ( q ，r ”) 中弱收敛j i u v u ，我们得 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 又出h “i | s 。在q 中弱收敛到某个测度h “l | s 。，我们得 h “1 | s 。 l i m i n f h “s u 。 ( 3 1 3 ) 由( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 和u 。是极小得u 是极小。证毕。 3 2 有关奇异集z ( “) 维数估计的讨论 前面已经叙述过对奇异集 ) 维数估计的结果是：若v “瑶。( q ，r ”) ，p 是某 个大于2 的数，那么一d i m ( z ( u ) ) m a x ( n 一2 ，n p 2 。这样0 ) 维数的降低建 立在v u 的高阶可积基础上，而v u 的高阶可积性到目前还未被论证。若p = 2 ，我们 只能得至0 h d i m ( x ( u ) ) n 一1 。 我们构造3 ，令s = ( “) ：”是虿( ) 的极小) ，不妨令q = 蜀( o ) ，由于( “) 是 第1 5 页 xd g u n n f 唧 0 使得b ，( x ) cq 聂。， 又由于对任意x e 存在x 。x ( u 。) 使得x 。_ x 在欧氏距离意义下，故存在n 当 n n 时x 。b ，( x ) cq 瓦，这样： 嘧矿1 。职u 1 2 d x + h n - t ( s u ( -