（地球探测与信息技术专业论文）维纳滤波的应用研究.pdf

摘要在我们的实际工作中，经常会遇到采集到的信号受到噪声的干扰，给我们的工作带来很大不便。本文中就是力求利用滤波作用滤除对我们实际真值信号产生干扰的噪声，使之尽量达到我们所需要的期望信号滤波问题，指的就是从获得的信号与干扰中尽可能地滤除干扰，分离出所期望的信号，或者说，是通过对一系列带有误差的实际测量数据的处理，得出所期望数据的估计值。几十年来滤波理论已经发展成了一个广阔的研究领域，可以有许多不同的方法来介绍它的内容。有的可以选择不同的重点。本文主要讲的是维纳滤波，介绍维纳滤波以及对其进行实际中的应用。维纳滤波是基于最小均方误差的基础上的维纳滤波器的设计，使其与输入信号滤波后的输出在最小平方意义下与期望输出最佳逼近，寻求最小均方误差的实质其实就是解维纳一霍夫方程。文中讨论了维纳一霍夫方程在时域和z 域的解，并对z 域的因果解与非因果解作了详细讨论。在z 域中还讨论了b o d e 和s h a n n o n 相继提出的将输入噪声白化的概念。文中的实际应用是以桩基检测中的完整单自由度桩基为例，对桩基检测进行了概括的介绍，讨论了桩基的稳定性在现实生活中的意义，并对完整单自由度桩基系统进行加噪，然后用维纳滤波进行消噪处理，得到很好的处理效果。文中并用图像与数据的方式一起说明维纳滤波的处理结果体现出了维纳滤波在信号去噪方面的强大去噪功能。关键词：维纳滤波最小平方准则系统函数相关函数t h ea p p l i c a t i o n o fw i e n e rf i l t e r j n ga b s t r a c ti no u rp r a c t i c a lw o r k ，n o i s e so r e nd i s t u r bt h ec o l l e c t e ds i g n a l ，t a k e i n gt r o u b l e st ou sf o rt h ew o r k i nt h i st e x t ，w ec a i lg e tr i do ft h en o i s e sd i s t u r b i n go u rr e a ls i g n a lt h r o u g ht h ef u n c t i o no ff i l t e r i n g ，m a k i n gi t 抛i n e dt h ee x p e c t a t i o ns i g n a lw en e e d e d f i l t e r i n gi s s u ei st od i s p o s et h es i g n a lt h a th a sb e e ni n t e m r e dw i m ，t os 印a r a t et h ea n t i c i p a n ts i g n a l t h a ti s ，d i s p o s i n gas e r i e so fm e a s u r ed a t at h a th a v ee r r o ra n dr e c e l v m gt n ee s t i m a t ev a l u eo fa 1 1 t i c i p a n td a t a i nt h ef ；州d e c a d e s ，f i l t e r i n gt h e o r ) rh a sa l r e a d yd e v e l o p e di naw i d ef i e l d ，t h e r ca r em a n yd i f f e r e n tw a y st oi n t r o d u c et h ec o n t e n to fi tb a s i n go nd i 行e r e n te m p h a s e s t h ed i s s e r t a t i o ni sm a i n l yi n t r o d u c i n gi ta n dp u t t i n gi ti n t op r a c t i c a la p p l i c a t l o n t h ed i s s e r t a t i o nd e s i g n saw i e n e rf i n e rb a s i n gu p o nm i n i m u mm e a n - s q u a r ee i t o r 1 n 士a c t ，t h ee s s e n t i a lo fs e e k i n gm i n i m u mm e a n s q u a r ee r r o ri ss o l v i n gm ew j e n e r - h o l fe q u a t i o n a n dm a l ( i n gt h eo u t p u ts i g l l a la n dt h ee x p e c t a t i o ns i g l l a lh a v et h eb e s ta p p r o a c ha tt h el e a s ts q u a r e t h ed i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e st h eb a s i cp r i n c i p l eo fw i e n e rf i l t e r i n g ，d i s c u s s i n gt h es o l u t i o no t 。w i e n e r ：h o l fe q u a t i o na tt i m e f i e l da n dz f i e l d a n da tt h ez f i e l d ，h a v i n gad i s c u s s i o na b o u tv ，h i t en o i s eb yb o d e 锄ds h a n n o n t a k i n gt h e 如l ls i n g l ef r e e d o mp i l ef o u n d a t i o na sa ne x 锄p l e ，g e n e r a l l yi n t r o d u c e st h ep i l ef o u n d a t i o nd e t e c t i n g ，a d d i n gn o i s et h e nd i s p o s i n gi tb yw i e n e r6 l t e i - i n g ，r e v e a l st h ed i s p o s i n gr e s u l t sb yp i c t u r ea n dd a t a t h er e s u h ss h o w ss t r o n g如n c t i o nw h i c hw i e n e rf i l t e r i n gh a sa tt h ea s p e c to fd i s p o s i n gn o i s e k e y w o r d s ：w i e n e rf i l t e r i n g ；m i n i m u ms q u a r em e a n ；s y s t e mf u n c t i o n ；c o h e l a t i o nf u n c t i o n论文独创性声明本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体己经公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：侄刁五高跏彳年箩月爰日论文知识产权权属声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为长安大学。( 保密的论文在解密后应遵守此规定)论文作者签名：导师签名：锉职砖壶晦刍袤。乡年今月皮乡日0 易年j 月砣多日第一章引言1 1 论文的选题依据数字信号处理是一门发展十分迅速的前沿交叉性学科，在通信、导航、雷达、声呐、地震勘探及生物医学等领域都有着广泛的应用。信息化的基础是数字化，数字化的核心技术之一是数字信号处理，数字信号处理的任务在很大程度上需要由d s p 器件来完成。d s p 技术已成为人们日益关注的并得到迅速发展的前沿技术，d s p 可以代表数字信号处理器( d i g i t a ls i g i l a lp r o c e s s o r ) ，也可以代表数字信号处理技术( d i g i t a ls i g n a lp m c e s s i n g ) ，后者是理论上的技术，要通过前者变成实际产品。两者结合起来就成为解决某一实际问题和实现某一方案的手段即数字信号处理解决方案。本文侧重对d s p 的第一种解释一数字信号处理器进行阐述。d s p 将是未来集成电路中发展最快的电子产品，并成为电子产品更新换代的决定因素。滤波技术是信号分析、处理技术的重要分支，无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传递是至关重要的。信号分析检测与处理的一个十分重要的内容就是从噪声中提取信号，实现这种功能的有效手段之一是设计一种具有最佳线性过滤特性的滤波器，当伴有噪声的信号通过这种滤波器的时候，它可以将信号尽可能精确地重现或对信号作出尽可能精确的估计，而对所伴随噪声进行最大限度地抑制。维纳滤波器就是这种滤波器的典型代表之一o1 2 维纳滤波的研究历史维纳是著名的数学家，后来被誉为信息理论家。维纳的著作不仅是一个很好的创见，而且具有结合工程的实际意义，是线性滤波理论研究的一个重要的开端在第二次世界大战中，由于雷达的发明以及防空炮火控制的任务，把大量有修养的数学家和物理学家都动员到信息科学这个研究领域中来了，这个时候人们活跃于这个领域，并有许多重大的科学创造。数学家维纳对于滤波理论【”1 的研究成果，就是这时候重大的科学创见之一。通讯与控制中的滤波问题，指的是从获得的信号与干扰中尽可能地滤除干扰，分离出所期望的信号，或者说，是通过对一系列带有误差的实际测量数据的处理，得出所期望数据的估计值【l 】o 维纳的工作是从研究处在统计平衡的时间序列开始的，维纳证明：在一定条件下，处在统计平衡的时间序列的时间平均等于相平均【3 8 】。维纳正是基于这点提出了他著名的滤波和预测理论。滤波问题就是尽可能地恢复一个被噪声干扰了的信号的问题。实质上，就是预测一个被噪声干扰了的时间序列的问题，因此，滤波问题也可以视为一个预测问题。数学上讲，预测就是从一个时间序列的过去的数据估算整个序列的统计参数。工程上的滤波问题也是理论上的一类统计估计问题，最佳线形滤波是最佳线性估计的方法之一，在最佳估计中最小均方误差估计是最有现实意义的。估计理论的课题是众多的，最小均方误差估计只是估计理论的一个小的分支。然而，它却是最重要又最富有实际意义的一个分支，对系统所加的线性条件起初是为了简化理论分析，非线性滤波问题是在理论处理上比线性滤波问题要困难和复杂的多，但是后来证明：在一定条件下，在最小均方误差准则下得到的最佳线性系统是所有系统中的最佳者。近代滤波理论的发展对于信息科学的发展是有重大贡献的，它概括了通讯与控制中信息过滤的统计本质。这是由于滤波理论与通讯和控制中的许多课题有密切的联系，从而赋予了滤波理论以极大的生命力，滤波理论本来是一个小的研究领域，但是它联系着许多大的广泛的研究领域，因此它的价值已经超出了它起源时自身的价值，也就是它能够继续活跃地向前发展的保证。几十年来滤波理论已经发展成了一个广阔的研究领域，可以有许多不同的方法来介绍它的内容，有的可以选择不同的重点。本文主要是关于维纳滤波的，介绍维纳滤波的基本概念以及讲其维纳滤波的应用。从数学的观点来说滤波理论是统计学中的估计理论的一个重要分支，从工程的观点来看它又是系统工程研究的一个重要组成部分。1 3 本文主要内容和贡献本文通过维纳滤波理论研究的历史回顾，描绘出一幅基于最小均方误差估计的线性滤波理论的轮廓并对其进行的实际的应用。维纳滤波也是最小平方滤波，其基本思想是设计一个滤波器，使其与输入信号滤波后的输出在最小平方意义下与期望输出最佳逼近，本文就是讨论在最小平方意义下设计滤波因子的最小平方方法问题。本文是基于最小均方误差的基础上的维纳滤波器的设计，寻求最小均方误差的实质其实就是解维纳一霍夫方程。文中介绍了维纳滤波的基本原理，讨论了维纳一霍夫方程在时域和z 域的解，并对三域的因果解与非因果解作了详细讨论。以桩基检测中的完整单自由度桩基为例，对桩基检测进行了概括的介绍，并对其进行加噪，并用维纳滤波进行了处理，得到很好的处理效果，体现出了维纳滤波在信号处理方面的去噪功能。第二章维纳滤波的基本原理2 1 维纳滤波概述维纳( w i e n e r ) 滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤( 或滤波) 的方法。实际上这种线性滤波问题，可以看成是种估计问题或一种线性估计问题。一个线性系统，如果它的单位样本响应为厅( 玎) ，当输入一个随机信号x ( ) ，且工( 玎) = s ( 行) + d ( 玎)( 2 一1 )其中s ( ”) 表示信号，u ( 玎) 表示噪声，则输出y ( 甩) 为y ( ) = 矗( m ) x ( 揩一m )( 2 2 )我们希望x ( 胛) 通过线性系统矗( 聍) 后得到的y ( 甩) 尽量接近于j ( 胛) ，因此称y ( 胛) 为j ( 盯) 的估计值，用j ( ”) 表示，即y ( 月) = i ( 行)( 2 - 3 )图2 1 维纳滤波器的输入一输出关系如图2 1 所示。这个线性系统厅( 聆) 称为对于s ( 肛) 的一种估计器。实际上，式( 2 2 ) 的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值x ( 胛) ，x m 一1 ) ，x 一2 ) x 一研) ，来估计信号的当前值j ( 甩) 。因此，用 ( 聆) 进行过滤的问题可以看成是一个估计问题。由于我们现在涉及的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。一般，从当前的和过去的观察值x 0 ) ，z 0 1 ) ，x 一2 ) ，估计当前的信号值y ( n ) = ( n ) 称为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或将来的信号值y ( 聆) = ；+ ) ( 0 ) 称为预测或外推；从过去的观察值，估计过去的信号值y ( 聆) = j 印一) ( 1 ) 称为平滑或内插【3 】。因此维纳过滤又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。这里所谓最佳与最优是以最小均方误差为准则的。这里只讨论过滤与预测问题。如果我们以s 与；分别表示信号的真值与估计值，而用e ( 胛) 表示它们之间的误差，即e ( n ) = s ( m ) 一；( n )( 2 - 4 )4显然，e ( n ) 可能是正的，也可能是负的，并且它是一个随机变量。因此，用它的均方值来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计平均值最小：e k 2 ( h ) 】m m = e 缸( n ) 一j ( 押) 】2k( 2 - 5 )采用最小均方误差准则作为最佳过滤准则的原因还在于它的理论分析比较简单，不要求对概率的描述。并且在这种准则下导出的最佳线性系统对其它很广泛类准则而言也是最佳的。2 2 时间序列的滤波，预测与平滑2 2 1 时间序列滤波、预测与平滑都是对时间序列而言的。所谓时间序列就是随机变量关于时间的函数。随机过程最著名的例子可以说是布朗运动了。布朗运动是悬浮在液体中的微粒所做的永不停止的运动。布朗在显微镜的视野里观察到了这种运动。微粒的运动是受来自各方液体分子的撞击所引起的。这个就揭示了微观世界的秘密。类似的例子我们随处可见，例如：雷达中的热噪声与目标噪声，飞行器遇到的湍流，心电图中的杂音尖峰，时间序列是这类物理现象的总称。离散分布是连续时间函数以某一时间间隔采样的结果，称每个采样值为一个标本。相反，连续分布也可以认为是当采样时间间隔趋于无限小时离散分布的极限情况。时间序列是对随机变量长期观察的结果，但是随机变量的个别观察结果总是呈现为不规则的行为，要预测个别的结果几乎是不可能的。但是，对它的长时间的观察的平均结果却表现出显著的规则性，统计学所描述的正是这种规则性的数学模型。随机变量的分布函数描述了随机变量的最完整的性质。在一系列的实际情形中，往往只要知道分布的某些数字特征就足够了，其中这里最关心的是均值与方差。随机变量x 的均值( 又称为数学期望) ，定义为巴= i 矽( z ) 出= m式中p ( x ) 随机变量x 的概率密度。随机变量x 的平方均值定义为2 = 卜2 p ( _ ：c ) 出随机变量x 的方差定义为= e 旺一】2 = e 陆一聊】2 = 盯2方差的物理意义在工程领域是很重要的。均值、平方均值以及方差是有联系的或者记为：仃2 = l 【x j l 】2 p ( x ) 出= p 2 p ( x ) 出一2 脚j 妇( 功出+ 所2p ( 工) 出= e r 2 2 肌2 + 肌2= 及2 一所2盯2 = 及2 一( 凰) 2方差表征了随机变量的一切值在其平均值的两旁的分布情况，即可用方差来度量离散或者密集的情况。2 2 2 滤波，预测与平滑笼统来讲，滤波，预测与平滑都属于过滤问题，但是三者之间还是有差别的，只有明了三者的差别，才能正确建立滤波，预测与平滑的概念。滤波问题是一类估计问题，所谓最佳滤波输出，指的就是最小均方误差估计，所以滤波器在某种意义上来说就是一个最小均方误差估计器了。输出可以用j ( 疗) 来表示。如果滤波器的输出是输入信息的准确复现，则输出为理想输出，用( ”) 表示。实际上，在有干扰与噪声v ( ”) 存在的情况下，没有误差的理想输出几乎是不可能的。这个误差记为e ( n )e ) = ； ) 一j 。0 )由于屯( ”) = j q ) 上式又可写为p ( 胛) = j ( 押) 一s ( )我们所设计的滤波器应当使p ( 疗) 很小。在研究线性滤波器时，采用最小均方误差准则，即使滤波器输出的均方误差为最小。均方误差定义为6础啦脚去c 帅c 功五滤波器在玎时刻复现信号j ( ) 显然是滤波问题。这是一种简单的过滤，滤除噪声v ( ) 是唯一的目的。但输出在时间上的简单的超前或者滞后，都不失为线性滤波问题。在行时刻，滤波器输出如果为j + 口) ，这显然是一种超前的情况，输出j + 口) 是s 0 + 口) 的估计值，它比x ( n ) 超前了口时间。这个时候滤波器所完成的是一种预测，研究这种情况就是研究预测问题。另外一种情况，是输出滞后的情况。即在”时刻，滤波器输出为j 一口) ，是j 一口)的一个估计值，滞后是明显的。在某些譬如通讯系统中，这个是允许的，因为简单的延迟并不意味着失真。常常延迟对提取信息是有好处的，可以获得更高的滤波精度。这类问题称为平滑。7第三章最小均方误差准则及维纳滤波器的解维纳滤波理论所解决的是最小均方误差准则下的线性滤波问题。采用最小均方误差准则作为最佳滤波准则的原因在于这种准则下的理论分析比较简单，因而可能得到解析的结果。贝叶斯估计和最大似然估计都要求对测量做概率的描述，而线性最小均方误差估计却放宽了要求，不再涉及所有概率的假设，只保留对前二阶矩的要求。在一定条件下，在这种准则下导出的最佳线性系统对其它很广泛一类准则而言也是最佳的。设计维纳滤波器的过程就是寻求最佳滤波器冲击响应的明确表达式，其实质就是求解维纳一霍夫方程。3 1 最小均方误差准则滤波器的输入包括有信号和噪声，设信号为s ( n ) ，噪声为v ( h ) 。x ( n ) 与s ( n ) 是统计独立的，二者联合信号为x ( 胛) = j ( 仃) + v ( 疗)( 3 1 )滤波器是线性滤波器，其冲击响应可表示为矗( f ) ，则滤波输出为；( 聆) = 弘( f ) x 一f m( 3 2 )设( 胛) 为滤波器的理想输出，在理想情况下，( ”) = j ( 聍) ，即妁( ) 等于信号本身。为书写方便以下将理想输出记为s ( h ) 。则估计的误差为p ( 即) = 毒( 行) 一j ( )( 3 - 3 )均方误差实质上就是f = o 时的误差自相关函数丸( o ) ，即或者记为：e 【e 2 ( n ) = 烛去s 咄坩毋= 烛去2c 珊e 【p 2 ( 聆) 】= e j ( 胛) 一j ( 行) 】2( 3 4 、( 3 5 )将式( 3 2 ) 代入到式( 3 5 ) 可以得到e p 2 ( 挖) 】= e 【s ( ”) p ( 咖 一r ) d r 】2式中= e s o ) 】2 2p ( f ) e p ( 厅) 工。一f ) 】d r + 弘( r ) d rp ( 盯) 研x 一f ) 厅一f ) 1 如= 丸( o ) 一2p ( f 耽( f ) d 盯+ p ( f 矽rp p 渺p 一盯) d 盯( 3 - 6 )丸( o ) = e 【j ( ) 】2= 烛寺2 咖丸( n ) = e p ( n ) 工( 疗一f ) 】= 姆刍c 咧，砌丸o 一盯) = e 【x ( n r ) x ( 聆一盯) 】= 姆去c 胁叫砌( 3 7 1( 3 8 )f 3 9 )称丸( o ) 为滤波器信号输入( 或理想输出) 的均方值，丸( r ) 为滤波器输入一理想输出互相关函数，丸p 一盯) 为滤波器信号与噪声联合信号输入的自相关函数。3 2 维纳滤波器的时域解维纳滤波器的设计，实际上就是在最小均方误差条件下探索和确定滤波器的冲激响应 ( 珂) 或系统函数日( z ) ，也就是求解维纳一霍夫方程的问题。但令人遗憾的是，当需要满足因果性( 物理可实现性) 约束时，求解维纳一霍夫方程相当困难，从图( 2 1 )我们可以得到y ( ) = ；( n ) = 矗( m ) x ( n m )如果系统是物理可实现的，即而( 竹) = o o则此时的y ( 甩) = ；( n ) = 矗( 坍) x 一所)( 3 1 0 )m = 0它实现的是将当前的及过去的诸输入值作相应的加权后的求和运算。维纳滤波的设计则是要确定均方误差e 2 ( 玎) 】= e p ( 咒) 一 ( 埘) x ( 聍一埘) 】2 ( 3 1 1 )最小意义下的冲激响应矗。( 即)为了便于得出矩阵表示式，我们先将式子( 3 1 0 ) 改写成式中因此j ( 门) = 啊zf 2 脚+ 1 ，或川= f l1篡警慕意邶jx ，= x ( 甩一，”) = z ( 疗一f + 1 ) je 【e 2 ( n ) 】= e ( s 一红x 。) 2 】为了求得e 【o j ) 2 最小时的 吩) ，先将式子( 3 1 4 ) 对毵求偏导，得到( 3 1 2 )( 3 1 3 )( 3 1 4 )旦墨挚= e 2 p 一( 啊_ + 工：+ ) 】( 一x ，) ) ，_ ，l( 3 1 5 )再令其为零，即研( j 一帆) _ 】= o或者e 【蹦 = 0 ，从而可以确定所需要的 托)1 0，1( 3 1 6 a )，1( 3 1 6 b )o图3 1 用几何图像表示的正交性原理式子( 3 1 6 b ) 符合正交性原理，即满足二个矢量正交时它们的点乘等于零的关系。正交性原理可以比较方便地用图3 1 说明。这里假设以f 表示的求和项的项数为2 ，图中的j 显然处于由五与x ，决定的平面内，所以p 垂直于该平面。正因为如此，这个时候的p既垂直于五又垂直于x ，而且它的长度最短。从式( 3 1 6 ) 可以看到，满足正交性原理与满足均方差最小的条件是一致的。由于e 口，x 。 _ 丸。，以及研x ，s 】= 丸，。，将其代入( 3 1 6 a ) ，可得丸，= 曩，l( 3 - 1 7 )若将( 3 1 6 a ) 及式( 3 - 1 7 ) 代换回以m 为参数变量的形式，可分别获得及e 【s ( ) 一厅口( m ) x ( 疗一m ) 】工( 行一i ) ) = o ，女o( 3 1 8 )m = o妒期( 后) = j ：办叫( 研) 痧聃( | j 一聊) ，七o( 3 1 9 )m = 0式( 3 17 ) 与( 3 一1 9 ) 称为维纳一霍夫方程。根据以时间域表示的维纳一霍夫方程，即可解得均方误差最小意义下的最佳冲激响应厅。( _ )如果从 x ( ”) ) 求；( ) 时，并不严格要求实时得到有关结果，而是允许在将来( 例如可以经过一定等待或延迟) 得到相应的结果一这在数字信号处理中实现起来比较方便，那么y ( 聆) = ；( ) = 矗( 研) x ( 聍一m )( 3 2 0 )中的求和下限就不必限于m = o ，而是可以让脚 o 了，也即没有了h o ) = o 的限制，因而前述维纳一霍夫方程也就不在有后o 的约束了。在要求作严格实时处理的场合，不允许有过多的等待和延迟，则必须考虑因果性限制，在工程实际中常在时域用逼近的方法解上述方程。这时如果具有因果性约束的而( ) 可用长度为n 的有限长序列来逼近，则式( 3 - l o ) 与( 3 - 1 2 ) ，式( 3 1 6 a ) 与( 3 1 6 b ) 以及式( 3 1 7 ) 与( 3 1 9 ) 可以分别表示成式( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 及( 3 - 2 3 ) 等诸式。如下：11y ( ) = ；( 胛) = 矗( m ) x ( n 一坍) l。”o( 3 2 1 )f、7；( 珂) = 囊x ，i _ lj和以及e p 一噍t 】_ = oe 【甜，】_ 0吣= h t ，j =，= 1 ，2 ，。( 女) = ( m ) 丸( 一，1 ) ，女= o ，l ，一1( 3 2 2 )( 3 2 3 )为了表述方便，我们又常将式( 3 2 3 ) 表达的维纳一霍夫方程写成矩阵形式，即 丸 - 丸 【纠( 3 2 4 )式子中k 】=为x 与j 的互相关矩阵。而k 】=则为x 的自相关矩阵。以及丸，矿”：。氏。丸。丸：。丸：。+口”t 口”l 矗=啊 2：吃氏。”n( 3 - 2 5 )( 3 2 6 )( 3 2 7 )式中的魄，矗2 ，k 为矗( 胆) 在”= 0 ，1 ，一1 时的样本值。从式( 3 2 4 ) 即可解得 例= 棚。，= 【丸】1 丸】( 3 - 2 8 )在这里可以看到，利用有限长的 ( 玎) 来设计维纳滤波器，假如【丸】与【丸 可知，就可用式( 3 2 8 ) 在时域解得因果性【 k ，只是这里牵涉到计算【丸】，【丸】及其逆矩阵等，计算量可能较大。尤其是在设计过程中试图以增大矗( h ) 的长度 ，来提高所作逼近的精度时，还得在新的情况下重新计算。因而虽然在工程上常用这种有限冲激响应( f i r )滤波器来实现维纳滤波，但这种方法并不总是最为有效的。3 3 维纳滤波器的z 域解对于一般的卷积表示式，可以在时间域求解，也可以将其变换到z 域后再按相应的函数关系求解。但是在维纳一霍夫方程中，它多了一个女o ( 或，1 ) 的约束，这时虽然仍呈现 ( | j ) 与丸( 尼) 的卷积形式，但是却不能简单地按卷积定理变换到z 域确定( z ) 后再求k ( 七) 。有了女o 这样的约束，求解最佳 ( 女) 这样的问题，就变得比较麻烦。如果没有七o 的约束，即无上述物理可实现条件限制，那么非因果的维纳一霍夫方程为丸( 七) = ( 聊) 丸( 七一脚)( 3 - 2 9 )因无前述约束，可以将它变换至z 域，得到西。( z ) = 何。( z ) 中。( z )及= 器从而可以较为方便地获得w - z - 1 对于有物理可实现条件限制的情况，如式( 3 1 8 ) 所示e j ( 门) 一乏：矗叫( m ) x ( 玎一， ) 】x ( n 一七) ) = o ，_ j om = 0这里t 0 的约束，对x ( 胛) 而言，相当于只能取当前的与过去的观测数据。( 3 3 0 )( 3 - 3 1 )以上也就是说，当要求维纳滤波器满足物理可实现条件，即其冲激响应为因果序歹d 时，所得的维纳一霍夫方程式( 3 1 9 ) 将附有o 的约束。因而不能直接将其转入z域确定日叫( z ) ，并进而求得( 玎) 。而且有物理可实现约束时，维纳一霍夫方程在时域求解有时又相当困难，为此，现在专门介绍由b o d e 和s h a n n o n 相继提出的将x ( n ) 加以白化的方法来确定维纳一霍夫方程的z 域解【1 5 】【3 5 l 。作为准备，这里先引入信号模型的概念。图3 2j ( 胛) 的信号模型任何一个具有有理功率谱密度的随机信号均可以看做由有一个白噪声w ( ) 激励某个物理网络所得，而一般工程中的信号j ( n ) 的功率谱密度通常均可表示为z 的有理式，因而可用图3 2 所示的信号模型来描述。图中的4 ( z ) 就是形成信号s ( ”) 的模型的传递函数。白噪声的自相关函数及功率谱密度分别为妒。( n ) = 盯：j ( 疗)和巾。( z ) = 盯：当信号模型的冲激响应为实序列时，我们可得到j ( 功的功率谱密度m 。( z ) = 盯：4 ( z ) 4 ( z - 1 )( 3 - 3 2 )又因为x ( 聆) = s ( 珂) + v ( n ) ，所以x ( 胛) 也可以用图3 3 ( a ) 的信号模型来表示。当x ( n ) 的功率谱密度也是z 的有理式时，显然可以将x ( n ) 表示成图3 3 ( b ) 所示的模型形式，且当所列模型的冲激响应为实序列时将有关系式m 。( z ) = 司b ( z ) b 0 - 1 )( 3 3 3 )反过来，利用图3 3 ( b ) 的信号模型，也可以实现x ( n ) 的白化目的。v ( 国j 孚 亘h ( 6 )图3 3 维纳滤波器输入一输出关系根据式子( 3 3 3 ) ，如果中。( z ) 在单位圆内存在一对共轭极点( 或共轭零点)z 1 ：= 阳( h 1 ) ，则z = e ；”应该也是m 。( z ) 在单位圆外的相应的另一对共轭极点( 或共轭零点) ，它们的分布如图3 4 所示。这里，如果令曰( z ) 由单位圆内的零、极点构成，b 0 - 1 ) 则由单位圆外的零、极点构成，那么b ( z ) 所代表的系统应该是一个因果的，最小相位系统。代冷、泌聊)图3 4 觑z ) 和b 仃1 ) 的极( 零) 点分布关系在离散随机信号中，无限能量信号的傅立叶变换或z 变换并不收敛，但是在工程上，有时常近似地用足够多的样本替代某个随机过程【15 1 。这样，对于图3 3 ( b ) 所示的情况，仍可将其输入输出关系近似地表示成x ( z ) = b ( z ) 妒( z )或忡) = 锱( 3 _ 3 4 )式子中b ( z ) 为因果的最小相位系统，玄石显然也是一个物理可实现的最小相位系统。于是，与以白噪声获得z ( ”) 的过程相反，也可以利用式子( 3 3 4 ) 这样的关系式实现白化x ( 胛) 的目的。如前所述，设计维纳滤波器实际上就是求解研0 一；) 2 最小时的最佳日( z ) 问题。为了便于获得这时的日。( z ) ，先将图2 ，l 重画成图3 5 ( 口) ，并将此滤波器分解成图3 5 ( 6 ) 的形式。60 )显然，这里的图3 5利用白化x ( ”) 的方法求解维纳一霍夫方程日：盟一b ( z )( 3 - 3 5 )已知信号的中。( z ) 后，即可从式子( 3 3 3 ) 解得。并且因为b ( z ) 是由m 。( z ) 在单位圆内的零，极点组成的，所以曰( z ) 或i b 所代表的应该都是物理可实现的因果系统。于是在这里，最小均方误差意义下的日。( z ) 的确定，也就变成了求解最佳g ( z ) 的问题。g ( z ) 当然也需分成因果性与非因果性的情况讨论。但是此时g ( z ) 的激励信号已经不再是x ( n ) ，而是将其白化之后所得的白噪声，从而使求解这种情况下的g ( z ) 远比直接以图3 5 ( a ) 解日。( z ) 要方便许多。下面仍按有无物理可实现约束这两个情况予以讨论。3 3 1 非因果维纳滤波器根据前面对图3 5 ( b ) 的讨论，可得j ( ) = g ( ) w ( 胛一七)t 一式中的g ( 七) 为g ( z ) 的逆z 变换。而( n ) 的均方误差印2 ( ) 】= 联 s ( ”) 一g ( | | ) w ( ”一研)( 3 3 6 )= 以s 2 ( n ) 一2 g ( 女) w ( h 一女) s ( n )女= o+ g ( 女) g ( r ) w ( h 一) w ( n r ) = 毋2 ( 聆) 卜2 g ( j i ) 研w ( 甩一七) s ( 胛) 】+ g ( i ) g ( ，) e 【吣一七) w ( 胛一，) 】女= 4= 丸( o ) 一2 g ( 七) 丸( 七) + g ( 七) g ( r ) 丸( 七一，)( 3 3 7 )由于么。( 栉) = 盯：艿( 聆)即式( 3 - 3 7 ) 中的郴叫= 舻菇所以式子( 3 - 3 7 ) 可以表示成e p 2 ( 甩) 】_ 丸( o ) 一2 g ( 七) 九( i ) + 9 2 ( | i ) 口：女= t = o咆( o ) + ，至h 贴) 一掣马2 一妻冬笋( 3 - 3 8 )t u 女2 u ”为了求得相对于g ( 七) 的最小均方误差值，我们令丝随塑：o融( | j )同时考虑到式( 3 3 8 ) 中的。( o ) ，妻堡釜坠项均与g ( 后) 无关，因而可以得到均方误差最k u ”小时的及g 。( 女) ：兰n 粤，一。 七 。盯：g 。( z ) ：去中。( z )盯：( 3 3 9 )( 3 - 4 0 )而且还可以由式子( 3 - 3 5 ) 得到蹦加等= 专等( 3 - 4 1 )另外我们知道，如果x 0 ) 是由白噪声激励一个系统函数为b ( z ) 的线性系统得到的话，x ( 聆) 与s ( ”) 的互相关函数由于丸( m ) = e p ( 行) z + 埘) 】= e b ( 行) 6 ( 七) w ( n + 小一七) 】= 6 ( 七皿 j ( 玎) w ( 玎+ 研一七) 】= 6 ( _ 】 耽，沏一_ | ) = 6 ( 删) + 丸( 所)所以式( 3 - 4 2 ) 也可以写成或者以及丸( 研) = 丸( 一所)丸( 一m ) = 6 ( m ) + 丸( 一m )丸( m ) = 6 ( 一m ) t 丸( m )。( z ) = b 0 - 1 ) 中。( z )叫垆鬻将其代入式子( 3 4 1 ) ，即可得到= 专羔= 鬻( 3 4 2 )( 3 4 3 )( 3 4 4 )f 3 4 5 )这与时域没有因果性约束所得的系统函数表示式子( 3 - 3 0 ) 完全一样。下面看下式( 3 4 5 )的基本含义。考虑到工( 门) = j ( 胛) + v ( 胛)而且s ( ) 与v ( ”) 又不相关，即对于任何聊的e 【j ( ) v + 坍) 】_ 0 ，因而有丸( m ) = e 【x ( ) s q + 肌) 】= e s ( ，1 ) + v ( 行) 】s ( 聆+ m ) = e 【j ( 九) s ( h + m ) 】= 丸( m )以及巾。( z ) = 中。( z ) + 由。( z )( 3 4 7 )将它代入式子( 3 4 5 ) 则可得到m ：尘墅堕( 3 4 8 )日水卜可豸篱历p 4 即所以非因果的维纳滤波器的频率响应可以表示为蹦= 蒜( 3 - 4 9 )它完全取决于信号和噪声的功率谱密度以及他们的分布情况。从式子( 3 - 4 9 ) 不难得到日。0 ”) =o ，l ，堡业 1 -圪( w ) + ( w )气( w ) = o ，名( w ) 0只( w ) o ，匕= 0( 3 - 5 0 )圪( w ) o ，只，( w ) 0同时，根据式子( 3 3 9 ) 确定的g 。，( 七) 的解得出以后，不难由式( 3 3 8 ) 确定这种非因果维纳滤波器的最小均方误差，即球2 】。哦( 0 ) 一言喜孤)( 3 - 5 1 )2 0图3 6 由足( w ) 与匕( 们决定的日。0 ) 特性根据帕赛伐尔( p a r s e v e l ) 公式，有墨砌= 击批( 妒出若令y ( ”) = x ( ，z ) ，则上式子可写成同时考虑到并有主攻加刍扭舭( z _ 协1 出虹( 咖刍垂蚶咖“出九( o ) = 刍 吣咖。出将式( 3 5 3 ) 与( 3 - 5 5 ) 的结果代入前面的式子( 3 - 51 ) ，可得( 3 5 2 )( 3 5 3 )( 3 - 5 4 )( 3 - 5 5 )彤( 纠矿刍抄以) 一言以) 以圹1 出( 3 - 5 6 )再将式子( 3 4 4 ) 代入此式子则彤k = 刍正附， 鬻专筹圹1 比仔s ，又因为从式子( 3 - 4 5 ) 已知州= 壶剃= 湍所以有球2 ( 叽。= 刍 盹( 垆( 护鼻扩1 出若s ( 聆) 与v ( 胛) 不相关，则巾。( z ) = 。( ：) 和中。( z ) = 。( z ) + 。( z ) ，考虑到。( z ) = m 。( z 。1 ) ，则式( 3 5 8 ) 中的因而蹦抛j z - 1 ) = 墨暑吣z - 1 ) = 詈篙甥：尘：盟西。( z ) + 。( z )喇一吣z = 坐鼍蒜蔷塑( 3 5 8 )：竺翌堕竺坚盟。( z ) + 中。( z )所以式子( 3 5 8 ) 可以写成职州。= 南藿裂蔫鲁。1 出p s ，若将积分围线取成单位圆，即以z = p 一代入上式，可得职酬。= 南蒜鬻挚b s 。，从式( 3 6 0 ) 可以看到，只有当信号功率谱与噪声功率谱不重叠时，其研p 2 ( 聆) k 。才为零。3 3 2 因果维纳滤波器因为有物理可实现约束，这时应有g ( 七) = 0七 o式子( 3 3 6 ) 与式子( 3 3 8 ) 可分别表示成；( 盯) = g ( | i ) w ( 一t )( 3 6 1 )和e p ( 纠= 丸( 。) + 薹f 盯。占( 盼一毪2 一专薹珐( d( 3 - 6 2 )i = 0vwvwp 2 u而且有如果有一个函数，( 聆) 的z 变换为f ( z ) ，即而且将，( n ( 聆) 的z 变换以【f ( z ) 】+ 表示，即力o( 3 - 6 3 )n o，【竹) “( 疗) 【，【z j j +这里的厂( ”) ”( n ) 显然是一个因果序列，它只在”o 时有值。如果它代表的系统是个稳定系统，那么其系统函数旷( z ) 】+ 的所有极点均在单位圆内。则式( 3 6 3 ) 的z 域表示式子可写成g 删2 旁“纠+( 3 - 6 4 )因而( z ) - 志( z ) - 壶陬( 列+= 壶 鬻 +p s s ，盯：b ( z ) l b o _ 1 ) j +、7这就是欲求的物理可实现的维纳滤波器的系统函数表示式。与式( 3 4 5 ) 相比，除了加有【】+ 这一标志之外，别无其它差别。同样，因果的维纳滤波器的最小均方误差球2 k 哦( 旷专篆积2 )= 妒。( o ) 一专【丸( 七) “( 七) ( 女)( 3 - 6 6 )u w 一于县，按照帕寒伐尔公式，这时的最小均方误差的z 域表示式可以表示成刀姒仉上砖，、【=叫ge 【e 2 ( 帆。= 南如球) 一言( z ) ”球 z _ 1 出= 刍 m ，一专 鬻 + 篙出= 南藿哦( 垆( 加以- 1 ) 矿1 比( 3 6 7 )比较因果维纳滤波器的e p 2 ( 行) 】。表达式( 3 - 6 7 ) 与非因果维纳滤波器的研p 2 ( 聍) 】。表示式( 3 5 8 ) ，不难看到它们的形式完全样，只是日。( z ) 不尽相同而己a第四章计算机程序设计4 1 相关分析在数字信号处理中，相关的概念是一个十分重要的概念，相关分析是一种十分重要的处理。它不仅本身有重要的物理和几何意义，而且在压制噪声提高信噪比，计算速度谱等方面也有广泛的应用【9 】，我们以下给出相关系数与相关函数的概念，并讨论相关与褶积的关系。4 1 1 相关的基本概念( 1 ) 相关系数设有两个波形x 。和，为了描述这两个波形的相似程度，我们取某个适当的数口，使x 。与缈。 n ：相接近，用误差能量来衡量相接近的程度舻南莓 ”嘞) 2( 4 _ 1 )要使q 选最小，即要求口使坦如= o ，也即警：熹f 兰。一口兰y ：1 ：o件z ，ir1 ，一，1 ，l = l1 4 一，、出2 一。+ 1 i 钾1 “”南“j 。”由此得口= 虬y ：( 4 - 3 )呵南陟( 2 倒睁4 ，所以其中= l 一础( l ，2 )( 4 5 )( 4 6 )赢、砖心州砖也嗍，。lk心州=( 0 ，当x ： o 时，由自相关函数丸( f ) 组成的矩阵丸( o )丸( 1 )丸( )丸( 1 )丸( o )丸( 一1 )：丸( ) 丸( 一1 ) 丸( o )( 4 2 2 )是正定矩阵。上面矩阵有称为托布利兹( t o e p l 沱) 矩阵，这种矩阵在数字信号处理中常常用到，在数字信号处理中起着重要的作用。( 2 ) 互相关函数性质i ) 函数y 相对于函数x 的互相关，即丸( r ) = 红( 一f )( 4 - 2 3 )i i ) 互相关函数满足下面不等式k ( r ) b 振了丽丽( 4 - 2 4 )由许瓦兹不等式可以证明： = 瞽k j 1 p 甜。) ，过阻尼，系统不产生振动；善= 1 p = 。) ，临界阻尼，无振动发生善 1 p ) ，欠阻尼，系统产生振动。( 5 4 )( 5 5 )( 5 6 )( 5 7 )( 5 - 8 )结构振动系统在线性范围内，一般情况属于欠阻尼情况，本章以后所讨论的振动问题均属于欠阻尼情形。由式( 5 - 8 ) 可知系统的特征值实部、虚部分别代表系统的衰减系数和阻尼固有频率，特征值的模h ：i = 国。，在振动理论中，有时也把特征值称为复频率。不难得到式( 5 2 ) 的通解为：x = 爿p 一一s i n ( d f + 口)( 5 - 9 1式中a 、曰为由初始条件确定的常数。5 3 桩基振动的集中质量参数模型根据桩基缺损类型，一般可将桩基分为完整桩和缺损桩两大类。根据桩基缺损性质的不同，缺损桩又可分为断桩( 包括离析和夹层) 、缩颈桩和扩颈桩等。本文中以完整单自由度为例，如图5 1 所示为整桩单自由度桩基的参数模型。它可等效为一个单自由度振动系统。其中桩周土对桩的作用可简化为线性弹簧k 和粘性阻尼c ，弹簧的弹性常数k 可看作是桩周土的动抗压刚度k 。；桩身质量( 包括参振土) 集中等效为肌；施加在桩头的激振力厂( f ) 可以是稳态正弦激励，也可以是瞬态激励( 锤击力) ，本文采用后者；令x 是桩头测量处的位移响应。则完整桩桩土系统满足的振动方程为m i + c 。童+ j & = 厂o )由式( 5 9 ) 得，系统的自由振动响应为x = 爿p 一讲s