（计算数学专业论文）基于黎曼流形的随机优化算法及在计算金融中的应用.pdf

基于黎蔓流形的机优化算法及在计算全融的应用 摘要 r f l 基于黎曼流形的优化算法，是将约束问题转化为约束流形上的无 t 约束优化问题，用微分几何方法，建立求解算法。这类算法在解决某 1 些优化问题时是很有效的。 ， 本文的目的是研究基于黎曼流形的随机优化算法，并将其应用于 有风险控制和无风险控制两种情况的最优投资组合计算。后者是一个 很有实用价值的计算金融问题。 第一章主要介绍了流形和黎曼流形的基本的概念，流形上的测地 线，流形上的梯度，以及如何在流形上建立优化算法。 第二章主要介绍了随机逼近的一些知识背景，其中包括一个利用 l y a p u n o v 函数方法来研究r m 随机算法而得的收敛性定理。然后， 本文把这个收敛性定理推广到黎曼流形上，从而建立了一个流形上的 随机算法收敛性定理。 在第三章中，主要是解决无风险约束的l o g 一最优投资组合问题。 这个问题在文献1 9 1 中曾有研究，作者给出了一个外在的黎曼流形 上的算法。本文基于文献 6 1 在单纯形上建立的一个黎曼度量，并 利用其给出的相应的测地线的形式，建立了一个基于约束流形的随机 优化算法，该算法是一个内蕴的自适应算法。本文利用该算法对上海 证秀交易所的两组实际数据进行了模拟计算，并对数值结果进行了分 析。 在第四章中，主要是解决有风险约束的l o g - 最优投资组合的问 题。我们采用障碍函数法，并通过引进了一个新的自变量，将原问题 转化为一个新的优化问题。然后，建立求解该问题的黎曼流形优化算 法。我们也对该算法进行了实际数据的模拟计算及其分析，效果令人 满意。 关键词：黎曼浣7 测茁磊， v 随机逼近，l o g 一最优投资组合问题 s t o c h a s t i co p t i m 吡狐t i o na l g o r i t h m so n r i e m a n n i a nm a n i f o l d sm t h a p p l i c a q t i o n s t o c o m p u t a i o n a lf i n a n c e a b s t r a c t r i e m a n n i a ng e o m e t r yu n d e r l y i n g a l g o r i t h m s a r et oc o n v e nc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n p r o b l e m si n t ou n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s i ns o m ec o n s t r a i n e dm a n i f o l d s ，w h i c ha r es o l v e db ye f f e c t i v ea l g o r i t h m s d e v e l o p e db yd i f f e r e n t i a lg e o m e t r i ct e c h n i q u e s t h i sc l a s so f m e t h o d s c a n t r e a ts o m e o p t i m i z a t i o np r o b l e m se f f i c i e n t l y i nt h i sp a p e r ，s o m er i e m a n n i a nm a n i f o l du n d e r l y i n gs t o c h a s t i co p t i m i z a t i o na l g o r i t h m sa r ep r o p o s e d t h e i rt h e o r e t i c a la n a l y s i si sa l s od i s - c u s s e d f i n a l l y , t h e s em e t h o d s a r e a p p l i e d t ot h ea d a p t i v es o l u t i o n so ft h e r i s k - f r e ea n dr i s k - c o n s t r a i n e dp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o np r o b l e m sr e s p e c - t i v e l y , w h i c hp l a yi m p o r t a n t r o l e si nc o m p u t a t i o n a lf i n a n c e i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n ts o m eb a s i cc o n c e p t sa b o u tr i e m a n n i a n m a n i f o l df o rl a t e ru s e ，i n c l u d i n ge g ，r i e m a n n i a nm a n i f o l d ，t h eg r a d i e n t i nr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，g e o d e s i ca n de t c a l s ow ep r o v i d eaw a yt o c o n s t r u c ta n o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m o nr i e m a r m i a nm a n i f o l d i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yi n t r o d u c es o m eb a c k g r o u n do ns t o c h a s t i c a p p r o x i m a t i o n ，i n c l u d i n gac o n v e r g e n c et h e o r e mf o rr m s t o c h a s t i ca p p r o x i n m t i o nm d h o d s u b 嘣l u e m l r , w ee x 州t h i sr e s u l tt or i e m m a n i a n m a n i f o l d w e n u m e r i c a l l ys o l v et h er i s k f r e el o g - - o p t i m a lp o r t f o l i op r o b l e mi n c h a p t e r 3 f o rt h i s p r o b l e m ，o n e e x t r i n s i c a l g o r i t h m o nr i e m a n n i a n m a n i f o l d w a s p r o v i d e d i n 9 1 b a s e d o na m e t r i c i n 【6 】a n d t h ec l o s e d f o r mf o rt h er e l a t e dg e o d e s i c ，an e wi n t r i n s i ca d a p t i v ea l g o r i t h mi se s t a b l i s h e dt os o l v et h es a m e p r o b l e m a tt h ee n do f t h i sc h a p t e r , n u m e r i c a l e x p e r i m e n t sa r ep r o v i d e d t os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h ea l g o r i t h m ，a n dt h e r e a ld a t aa r ef r o mt h es h a n g h a is e c u r i t ye x c h a n g em a r k e t i n c h a p t e r4 ，w ef o c u s o nr i s k - c o n s t r a i n e d l o g o p t i m a lp o r t f o l i o p r o b l e m s b yt h em e t h o do f o b s t a c l ef u n c t i o n s ，a l o n gw i t ha ni n t r o d u c t i o no fan e w v a r i a b l e ，w ec h a n g et h ep r e v i o u sp r o b l e mt oan e wo n e t h e n ，w es o l v et h ep r o b l e mb ys o m er i e m a n n i a nm a n i f o l du n d e r l y i n g o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m t h es a t i s f a c t o r yn u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ea l s o p r o v i d e du s i n g t h es a l n er e a ld a t aa sg i v e ni nc h a p t e r3 k e yw o r d s ：r i e m a n n i a n m a n i f o l d ，g e o d e s i c ，s t o c h a s - t i ca p p r o x i m a t i o n ，l o g - o p t i m a lp o r t f o l l 0 p r o b l e m 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 鹳于 日期：。厶，；年衣月0 9 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密因 v r 请在以上方框内打“”) 指导教师签名 6 到习 日期撕年月才日 了 l ，矗勺 目璇蚰 名 月 墅 a 者 手 瞄 年t， 姘 吗 良，伊 断 肌 荆 刚 海蹙道人学博t 论x 第一章微分流形及基于黎曼几何的优化算法 我们首先介绍和本文有关的微分几何知识详吧参考文献i l1 t 2 1 和t 3 1 1 1 流形的基本概念 流形的概念是欧氏空间的推广。粗略的说，流形在每一点的近旁与欧氏空间的一个开集 是同胚的，因此在每一点的近旁可以引进局部坐标系，流形正是由一块块“欧氏空间”粘起 来的结果。 定义1 1 设m 是h a u s d o r f f 空间。若对任意一点p m ，都有p 在m 中的一个邻 域u 同胚于m 维欧氏空间r ”的一个开集，则称肘是一个m 维流形( 或者拓扑流形) 。 定义1 2 对于任意的p m ，设u 是包含p 一个邻域，存在u 上的同胚映射 m u o ( u ) r “，则( 【，oe ，) 称为m 的一个坐标卡；v p u ，称o f ，( w ) r 为点p 的坐标。 定义1 3 设m 是一个m 维的微分流形，如果在m 上给定一个坐标骨集， a = ( u ，o 。) ，( y ，巾，) ，( 缈，m ，) ， 满足f 列条件，则称a 是m 的一个c 微分结构： ( 1 ) 妙，v ，矽， 是彤的开覆盖； ( 2 ) 居于a 的任意两个坐标 是c 7 相容的。 ( 3 ) a 是极大的，即：对于m 的任意一个坐标卡 u ，巾i ) ，如果它与属于a 的每一个 坐标卡都是相容的，则它本身属于a 。 定义1 4 若在流形m 上给定了一个c 一微分结构，则称m 是一个c 的微分流形。如 粟肘是c 。的微分结构的微分流形，简称为光滑微分流形。 在光滑流形上可以进一步定义光滑函数的概念。 定义1 5 设厂是定义在晰维光滑流形m 上的实函数，若点p m ，妙，o u 是包含p 的容许坐标卡，那厂。q u 。是定义在欧氏空间r ”的开集o u ( 己，) 上的实函数。如果 f 。o u “在点o v ( p ) r ”处是c 。的，则称函数，在点p m 是c ”的。 函数厂在点p 的可微性与包含p 的容许坐标卡的选取无关，如果厂在m 上是处处光 湘逼 、学彬一th 。 滑的，则称厂是彪上的c 4 函数，或称是m 上的光滑函数。埘上的光滑蛹数的全体记 为( ”( m ) 类似的m 次光滑函敦全体记为c 。( m ) 。 至此，我们已经建立了微分流形的基本概念，f 面我t t j q i 进切空间的概念 设m 是m 维微分流形，固定一点p m 。设厂是定义在点p 的一个邻域的c 。函数， 所有这样的函数形成的集合记c p 。，在c p ”中定义关系“”：设，g c ，。，! l ! | 】f g 肖 且仅当存在点p 的开邻域u ，使得：i l 0 ，y ：( 一万，5 ) 呻m 是c 。映射 且r ( o ) = p 。所有这些参数曲线的集合记为瓦。 对v ye 乙，【厂 e 乞，定义 _ 易知：v ， 厂l k j 乞，成立 一5 r 5( 1 2 1 = + = 口 殴日，= i s l 乞1 = 0 ，v y o ，易知h ，是乞的线性子空间。 定理1 1 1 设m 维的微分流形m ，点p m ，【厂】乞，( u ，mc ，) 是流形j w 上包含点 p 的一个局部坐标卡，p u ，设 f ( w 1 ，w 2 ，w ”) = 厂。o f j 一1 ( w 1 ，w 2 ，w ”) ( 1 3 ) - 2 - 瓣睫通人掌蚋；配， 则h 。，当且仅当 一o f 一： ；0 1 f _ 钿k ，j 定理1 1 说明：子空间h 。恰好是在点p 关于局部坐标的偏导数都是零的光滑函数的芽 所构成的线性空间。 定义1 6 商空间毒，i s + p 称为流形m 在点p 的余切空间，记作r ( m ) 。函数芽 【厂】毛的h ，一等价类记作l 厂 ，记作协) ，称为流形m 在p 点的余切矢量。 巧( 肼) 是线性空间，它有从线性空间乞诱导的线性结构，即对于 ，l k s 乞，口r ， 有： 9 b i g ：两 口 门= 口 s 】 定理1 2 设厂1 ，f c ；，而f ( y 1 ，y 5 ) 是在点( ，1 ( p ) ，f 5 ( p ) ) r 5 的邻域 内的光滑函数，则f = f ( f 1 ，厂5 ) c ；并且 = 喜( 飘，m ， s ， 系l 对于厂，g c ：，口r 有： d ( f + g ) ，= ( 矽) ，+ ( 如) ， d ( a f ) ，= 口( ) ， d ( f g ) ，= 厂( p ) ( r i g ) ，+ g ( p ) ( ) ， ( 16 ) ( 1 7 ) ( 18 ) 系2d i m 巧= m t g t 1 9 3 ( ，i s 一k 】eh ，当且仅当对任意的y ，有 = ， 所以可以定义 _ ，y 乙，( a s ) ，巧( m ) ( 】9 ) 现在我们在乙中定义关系如下：设y ，y 。0 ，则y y 1 当且仅当对任意的 l 酒受遭 学婷tf 诡x ( 矽) ，巧( m ) ，有 - ni o ) 显然，这个关系是等价关系：y 的等价类记作p 】。丁是可定义 = c cy ，协) ， 我们要证明：这些陟】( y 乃) 组成巧的对偶空间。为此目的，我们利削局部坐标系。 在局部坐标“下，设y l 由函数 给出，则( 1 1 1 ) 式可写作 其中 “= “。( f ) ，1 蔓i m = 口，f 铲( 剖吲f r 如，、 。l 百j f = o ( 11 2 ) 系数a ，恰是余切矢量阿) ，关于自然基底l 的分量。显然 是巧( m ) 上的 线性函数，这个函数由分量f 。完全确定。取y 为 “。( f ) = “( p ) - i - f f ( 1 1 3 ) 可见f5 能取任意的数值。这就是说， ，y l 表示了巧上的全体线性函数， 它们组成巧( m ) 的对偶空间。 定义1 7 ( 切空间) 余切空间巧( 彳) 的对偶空间称为微分流形m 在p 点上的切空间。 记为l ( m ) 。 定义1 8 设z 0 ( m ) ，f c ；，记 可= x f 叫做函数f 沿切矢量x 的方向导数。 ( 1 1 4 ) 定义1 9 如果对任意的p m ，指定一个切向量z 。t v ( m ) ，则称z ( 彳) 是流形m 4 灏蹙运，学错r 一菇、 上的切向量场，若f c “( 膨) ，定义 留) ( p ) = z 。， r 1 1 5 、 定义1 1 0 设x ( m ) 是肘上的一个切向量场，v f c 。( m ) ，c ( ，) ，则称 z ( m ) 是光滑的切向量场。 1 2 黎曼度量 定义l 1 1 设一个流形m ，有d i m m = m ，如果在m 上存在一个对称正定光滑矩阵族 k 。( p ) 九。，使印m ，( m ) ，g ，) 形成普通的欧氏空间，则称( 肘，g ) 是聊维的黎 曼流形，g 称为黎曼流形的黎曼度量。 灿，番；乱圹弘乱则 g p ( x p , y ，) = 0 。g x p y p 。= ， ( 11 6 ) 如果昏，= 巧那么 ，= x ；y ；= g ，y ) ，这就是普通的欧氏内积。 t = l 这样，我们就可以定义切空间中切向量的长度。 定义1 1 2 i t x l l = 注：一般记黎曼度量g 为： g = g , j d u o d u 。 这里运用了爱因斯坦约定：同一指标在表达式中恰好出现两次，则关于该指标求和，即： g = g 。d u 圆d u 7 ，；】j ，l 而幽。o d u 表示张量积 2 1 ，d u 7 ，d u 巧( m ) 。 定义1 1 3 设为搠维的光滑流形，z ( f ) 是 彳上光滑向量场空间。 彳上的一个仿 射联络是一个映射： v ：z ( m ) z ( m ) 寸z ( m ) 使得，对任意，y ，z z ( m ) 和任意的，g c 。( m ) ，满足条件： ( t ) v 口+ 吖z = 夕r z + g v r z 5 + 璃父超人学母i 诨。 ( 2 ) v 。( y ) = ( x ) r + 。y , g - ，称为，芙丁 的协壹导数。 定义1 1 4 设似，g ) 是光滑的黎曼流形，m 上的l e v i c i v i t a 联络是个满足如f 条什 的仿射联络： ( 1 ) v y v r x = i x ，】，】= z y y x ( 2 ) = + 利用以上的概念，我们引进流形上的测地线。 设，g ) 为m 维的黎曼流形，v 为m 上的l e v i c i v i t a 联络，m 上的参数化曲线是一 个光滑映射y ：i = ( 口，b ) m ，m 上沿y 上的向量场y 是一个映射，对每一个f ，指 定一个切向量i ( ，) ，如果c ”( 肘) ，是，上的光滑函数，则称m 沿) ，的向量 场旷是光滑的。其中y = 警是个常用的沿，的切向量场。 定义1 1 5 如果沿，的向量场矿满足： v ，v = 0( 11 7 ) 则称y 沿y 是平行的。 定义1 1 6 如果y 的切向量场，沿y 是平行的，即v ，1 = 0 ，则称y 为m 上的测地线。 定理1 3 设y 为测地线，则知炒= c o l q s i 我们引入局部的坐标系0 1 ，“2 ，”) ，y ( ，) = 0 1 ( f ) , b t2 ( f ) ，“”( f ) ) ，则可以得到测 地线的坐标表示为： d z 丁u ( t ) + t ，了d u ( t ) d u i s ( 一t ) ：o t ：1 ，2 ，m( 1 1 8 ) d l | i d fd t 一 、 。 其中吃是l e v i c i v i t a 联络中的c h r i s t o f f e l 记号。 如果m = r ”，g = 一，如 d u ，则r 乞= 0 ，那么测地线的方程为： d 2 u k ，( t ) ：o( 1 1 9 ) 出。 、 此时的测地线就是欧氏空间中的盲线。故我们可知测地线就是欧氏空间中的直线的推广+ 。 6 - 淘殳道j 、学静ri 落t 定义1 - 1 7 设v t p ( m ) ，且假设存在一条测地线，： o ，l 】一m ，使得 ，( o ) = p ，y ( o ) = r 且成立 e x p ，：t j ，( a 4 ) 呻m ，e x p p ( v ) 2 t o ) 则这样定义的映射e x p 。称为关于点p 的指数映射。这样定义的指数映射恰好是普通指 f 面我们讨论流形上的梯度和海赛尔矩阵，这些概念在优化算法中有很多的戍用。 定义1 1 8 设f 是黎曼流形( m ，g ) 上的光滑函数，则厂在流形上的梯度 g r a d m f z ( m ) ，使： = 耵v y z ( m )( 12 0 ) 这里 为黎曼度量对应的内积。 下面讨论g r a d f 的坐标表示。 设g 拟固幽，g r a d u f 纠斋。y 叩斋。磷： 。抛o _ l f ，= 纠卢 亿：。、 = g i 3 0 r j8 3 由。的任意性，有璺。口= 夏o f 7 。记k u ) _ 1 = b w ) ，即& ，g 小= 占? 故 g 舻妒等 口= 艿i k t = g k , j 丽o f ( 1 2 2 ) 从而： g r a d u f 利刍= p 笪o u ，) 1 三o u ：， 特别的，当且矿= r ”，g = 1 ，则g ”= 占。j ，有 - ， 拇瓷疆j 学* ti 记- 删= ( 等) 砉=删删 可1 o u l i ： i 可： 加。j 定义1 1 9 黎曼流形( m ，g ) 上的光滑函数厂的h e s s i a n 定义为 h e s s 。f = v ( 可) = v ( d j ) 换言之，它是一个二阶的张量： h e s s f m ( z ，y ) = v 。( v p 厂) v x ，y z ( m ) 1 3 黎曼流形上的一般优化算法 我们只讨论流形上的般下降法。问题表述如下 卿厂( w ) 这里，g ) 是一个黎曼流形，是适当光滑的函数。 ( 1 2 4 ) ( 】2 5 ) rj 2 6 ) ( 12 7 ) 首先我们在流形上定义下降方向。设过点p ，切向量v l 的测地线为，。( ，) ，则由流 形上的t a y l o r 展开定理知： m ) = ，( p ) + ( v ) f + j 1 2 h e s s f ( r ，( s ) ，帅) )( 1 2 8 ) 故要f ( q ) f ( p ) ，则必须有a f ( v ) = 0 。 定义1 2 0 给定黎曼流形上的一点，p m ，v t m ) 称为目标函数的f 降方向， 当且仅当： 矽( v ) = 0 其次，我们用沿测地线搜索来代替沿赢线搜索：w “1 = e x p 。( t v 。) 。 晟后，我们的终止准则为：1 f g r a d 。f ( w ) | 1 。 故，黎曼流形上的一般下降算法( i ) 为： ( 1 )给定w o m ，取k = 0 ； ( 2 ) 找切方向v 。乙。( m ) ，使：a f ( v ) o ，彻= ，r ( i ) 2 o o ( 23 ) 对w 的第 + 1 次逼近为 w “= w ”+ 印( 月) y ”( 2 4 ) 这就是著名的r o b b i n s m o n r 。( r m ) 算法。当时，他们讨论了酋” 为相互独立的情况，并 且m = 1 ，在南( ) 严格单调时，他们证明了w ”对w 的平方收敛性 十一。】一。 增益系数叩( f ) 又称步长因子，它所具有的性质( 2 3 ) ，对随机逼近算法和其他的某些随机 向文遁凡事螂谵x 递推算法都是必要的。条件7 7 ( f ) 2 0 ，有 s u ph 1 ( w ) v 。( w ) 0 ，必有d ( v ( w ) ，v ( t ，) ) 0 ， 这里v ( ，) = 移：y = v ( w ) ，v w l ， 。 a 2 1 3 当如n 收敛时，则： l m i m l i 警钟黔| | = o ，v r ， ， 其中： 聊( ，r ) = m a x m ：u ( 0 n ( 28 ) )认 。m c 一) w 坂)巩 。 一 一 + w 。 懈食逼? _ 羊蛳谥二， 我们还引进以f 的叫法：如果n m ，v ( w ) 最，v ( w 机) d 2 ，j i v ( w ) 0 及k r 有 1 1 w ”一w i + 1 l c 丁，其中：v r o ，五】，v ：i t m m ( z * ，r ) ，v 女， ( 2 9 ) 那么在条件a 2 1 0 - a 2 1 3 成立的条件f ，( 但不要求a 2 1 2 b 成立) ，对任区间 ( 正，占2 ，占岛，只要d ( 占l ，占2 】，v ( ，) ) 0 ，对于这个固定的样本0 ，则有： ( 1 ) 当4 0 。芝：，7 f 一) = + ，7 f 开) = o a 22 2a ) 存在( m ，g ) 上的光滑函数v ( ) ：m 斗r 使对任意a 占 0 ，有 s u p 0 a a d ( x i 、j b ) v ( ，) = c o h s i ： a 2 2 3 当 w “) 收敛时，则： 其中 21 2 ( 2 13 ) 溉i m s u p 亭( ”警( f ) | ) = 0 v 川咿 。， m m ( k ，丁) = m a x m ：彻7 t ) i 。女 ( 2 15 ) 我t f l 进以下的约定叫法：称流形上的序列 w ”) 是一致有界的，系指存在常数上使得 v w o m ，d ( w ”，w o ) l 。另一方面，如果n m ，v ( w ) 卤，v ( w 嘶) 万2 反 v ( w 。) 艿2 ，v i ：仇 o 及k r 有 d ( w ”，w “) s c l t ，其中：v 丁 0 ，正】，v m ：以m m ( 1 t ，t ) ，v 七k 7 ( 2 1 6 ) 那么在条件a 2 2 0 一a 2 2 3 成立的条件f ，( 但不要求a 2 2 2 ( b ) 成立) ，对任一区间 占，占2 ，巧。占2 ，只要d ( 占l ，疋】，v ( ，) ) 0 ，对于这个固定的样本0 ，则有： 1 ) 当占l 0 ，v ( w ”) 无穷次穿越 4 ，j ：j ，即 v ( w 如) 4 ，v ( w 仉) 8 2 ，卤 v ( w ) 占2 ，v i ：艘 0 。取f 充分的小，由于w “ 万，故对充分大的k 成立 d ( w ”，功s d ( w “，w “) + d ( w “，万) 6 2 故有 d ( w mj ) , s 2 ，v m ：”m m ( n 女，t ) ( 21 9 ) 根据黎曼流形上的t a y l o r 展开定理知，对于 w “) 中的任一点w 有 v ( w ”1 ) 一v ( w 1 ) = v 。y ，( ，7 ( f ) ) 一vo n ( o ) 硼a v ( r i ( o ) ) + 华胁啪1 ) ，炽”) 嘎“o 吠d 。2 从而得 肉它坦 学柄一“ v ( w 咻7 川) 一v ( w ) = 删咖( y _ _ ( o ) ) ”m ，) 对丁i 第一项，我们有 旦- 2 ( i - l l t 1 $ v l 小) ) m ( 唧7jm ( ，7 - 咖( y ：( o ) ) = 删d v ( h ( w ) + e 。) f 2 2 1 、 m ( n i ，t ) = 删d v ( h ( w 5 ) ) + 。( ，)( 2 2 2 ) f 。月 对j 第二项，我们有 ”摹掣攀竿胁时肛a 硝，等”鍪2 竿叫n ( 2 2 3 ) 综合( 22 1 ) ( 2 2 3 ) ，并注意条件a 2 2 2a ，可得 m ( ，r )m ( n ，t ) v ( w 州) 一v ( w ”) = 彻一a v ( h ( w 1 ) ) + 。( r ) 一口删 兰- 5 i ( 7 1 一卵( 肼( 仇) 4 - 1 ) 4 - 1 ) 一c z l t ( 2 2 4 ) 所以 l i m s u p v ( w ”“ 7 + 1 ) 占1 一a l t ( 2 2 5 ) 而另一方面，由式( 2 1 6 ) 可知 黝1 忡”) 一v ( w “) f 生 o ( 22 6 ) 而由于v ( w ) 玩，v ( w ) 氓，卤 v ( w7 ) 疋，v i ：仇 i m 。所以由式( 2 2 6 ) 知对充分小的7 有：m ( n ，) + 1 m ，这就是说v ( w “ 7 “) ( 4 ，8 2 ) ，这和式( 22 5 ) 矛盾，这就证明了结论( 】) 。 2 ) 证明和前面的相同，从略。 利用上面的引理2 2 ，仿照定理2 1 的证明可立即得到以f 定理。 定理2 2 设对某样本p 条件a 2 2 0 一a 2 2 3 成立，并对取定的初值w o ，算法( 2 1 1 ) 定义的 w “) 致有界，那么这个样本0 ，有a ( w “，) - - ) 0 。 1 5 ! l - + 搠父通，、笋耐l 蹯- 第三章无风险控制的io g - 最优资产组合问题 3 1 问题的背景 我们假设市场上有卅种股票可供投资。我们用x ( r ) = ( 一( r ) ，x 2 ( r ) ，x 。( r ) ) 7 x 。( ，) 0 ，i = 1 , 2 ，3 ，m 表示这m 种股票在第t 天的收益率向量，其中t ( r ) 表示第i 种股 票在第，天的收盘价与第t t 天的收盘价的比值，也即投资于第i 种股票在第f 天的收益。 记w ( f ) = ( w l ( r ) ，w 2 ( ，) ，w e n ( ，) ) 7 ，w 。( f ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，m 表示第，天的投资权重向贳 其中w ，( ，) 表示在第天投资于第f 种股票的权重，则应有：( z ) = 1 。设在初始时刻的 t = l 财富为1 ，选择投资组合w ( r ) 作为投资策略，则经过了连续的 天，总的财富变为 丌w 7 ( f ) x ( r ) 。 投资优化的问题就是要找到最优的投资组合序列 w ( f ) ) ，使得s 。最大。 假设序列 x ( f ) ) 是独立同分布的，其分布函数为f ( x ) ，由文献 5 知，在渐进优化的 意义f ，存在着独立于时间t 的常向嚣w + ，使下列函数的值最大 即 v ( w ，f ) = e ( 1 0 9 ( w 7 z ) ) = f l o g ( w x ) d f ( x ) w = a r g m a x v ( w ，f ) w e m 其中：m = w r ”：w 。= 1 ) j z l ( 31 ) ( 32 ) 换一种说法，设x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) 为独立同分布的随机向量，记s = 1 7 w z ( f ) ，其 1 = 1 中w 即为( 2 ) 式的解，设s = n w ( r ) 7 x ( f ) ，其中w ( t ) 为任意别的投资组合。则由文献 5 3 l - 1 知 - | 6 - 婀父通凡学惭：谚k 尸( 1 i m s u p ! 。g 軎 o ) = l 故我们的目的就是设计算法求出这样的w 。 3 2 算法的形成 ( 33 ) m a x v ( w ) = e 1 0 9 w 7 x ( f ) j f ：w m = w r m ：艺= l ，w j o ，f = 1 ，2 ，卅) 门4 这是一个约束优化问题，我们利用黎曼流形上的最速上升法求解这个问题。 对于流形m ，我 f j 知道d i m ( m ) = m 一1 。流形m 在w 点的切空间为： 瓦m = 卜r 喀驴。) o 我们在流形m 蚓进黎曼蒯“： 民，2 古( 一, j - - 1 驴1 2 ，3 ，m ( 3 5 ) 我们首先说明，这样定义的g 是流形m 上得合理度量。记 d 。= d i a g ( w l ，w 2 ，w 。) ，g = ( ) ，g 。= d ：2 ，p = ( 1 ，1 ，1 ) 7 则有 g = d ：2 一土d ：1 p e r d ： w m ( 3 6 ) 设v l m ，有： 2 = ( 既v ) 2 l m ( e r d ：1 v ) 2 ( 37 ) 我们利用如下的不等式：点列a 1 口2 ，口。，如果存在两个不同的元素，k ，有口j 吼 0 ，玎( n ) = 佃，叩( ”) 掣o ( 3 2 6 ) 步3 ：如果当f w 一w n f 小于预先给定的控制参数时，迭代停f f 。 3 3 数值模拟结果及分析i 我们将【算法i i 】应用于2 0 0 0 年至2 0 0 1 年2 月上海证券交易所的实际数据进行数值模 拟，我们选取上证3 0 指数的三十只成分殷进行投资。在这一期间共有2 7 1 个交易日，记 扛，( f ) ) 翟? 为第i 只股票在这期间每天的收益向量。在实际计算中每一迭代步的步长选为 1 ( n ) = 而1 面0 而0 0 干0 i ，我们迭代序列的产生过程如下： 步1 ：随机的选取一个非零向量“= ( “1 ，“2 ，1 3 0 ) 7 ，我们的迭代初始点为 步2 ：设当前点为w ”，我们在 1 ，2 7 1 】之间随机的挑选一个正整数f ，然后就刚第f 天的 股票收益向量x ( f ) ，利用式( 3 2 4 ) 来计算函数厂( w ) = l o g ( w 7 x ) 在欧式空间的梯度，代入 式( 3 2 3 ) 计算出其在流形上的梯度，然后利用式( 3 2 5 ) 定义的测地线计算出下一迭代点 w ”“： 步3 ：当迭代的次数达到4 x 1 0 6 或者 瓣 0 丢擎 l l w 潮文通一学螂葩 m a x w 。”1 一w i n f ，w 3 。”1 一w ，。”f ) 1 0 。 时迭代停i r 我们得到w - | 否则令 q - - 一十1 ，进入步2 继续迭代 对于任惫投资编合w ，在我们选取的这一段时问的总收箍的计算公式勾： h ( x ，( f ) ) f 表是这3 0 只股票在这2 7 1 天期间的收益率情况 表( 3 i ) 每只股票的收益情况 r 3 2 8 ) 股票名称代码收益率股票名称代码收益率股票名称代码收益率 邯郸钢铁6 0 0 0 0 11 39 7 第一百货6 0 0 6 3 19 5 1 中国高科6 0 0 7 3 01 8 3 5 齐鲁l 】化6 0 0 0 0 24 0 4 6 申能股份6 0 0 6 4 25 62 0 东方通信6 0 0 7 7 61 7 7 9 l 海机场6 0 0 0 0 96 8 3 爱建股份6 0 0 6 4 33 3 8 4 东方集团6 0 0 8 1 15 3 5 1 龙腾科技6 0 0 0 5 86 9 1 6 原水股份6 0 0