（机械电子工程专业论文）多分辨希尔伯特黄（hilberthuang）变换方法的研究.pdf

摘要 h i l b e r t h u a n g 变换是一种新的分析非线性非平稳信号的时频分析方法。 这种方法的关键部分是经验模态分解方法。任何复杂信号都可以分解为有限数 目并且具有一定物理定义的固有模态函数。利用h i l b e r t 变换，求解每一阶固 有模态函数的瞬时频率从而得到信号的时频表示 本文讨论了瞬时频率的定义，详细论述了连续和离散瞬时频率的计算， 同时比较了瞬时频率f o u r i e r 频率的异同点由于瞬时频率是时阉的函数，因 此可以获得信号任意时刻的频率分布，利用瞬时频率的局部化特征可以有效地 揭示信号的内在结构瞬时频率只能对单分量信量才有意义，本文通过局部类 l g - - 类正弦信号获得了具有单分量信号特征的固有模态函数。瞬时频率在统计 上与f o u r i e r 频率是相容的 f 通过经验模态分解方法可以获得一系列固有模态函数。这种分解方法赢 接从信号本身获取基函数的概念，因此具有自适应性和高效性，同时，也存在 计算量大和模态混叠的缺点。本文在经验模态分解方法的基础上引入了多分辨 分析技术，提出了分段固有模态函数。建立了多分辨经验模态分解方法，通过 可调的时间矩形窗，对信号进行筛分，实现了信号的多尺度分解，并且显著地 减小了计算量，增加了信号处理的实时性。有效地消除了固有模态函数中模态 混叠现象。由于多分辨经验模态分解方法是基于信号的局部时间尺度特征的， 因此该方法特别适合于分析非线性非平稳信号。利用h i l b e r t 变换对分段固有 模态函数求解瞬时频率，可以获得以分段固有模态函数为基函数的信号表示形 式，它是一般化的f o u r i e r 级数形式。进一步可以得到信号的能量时频分布一 h i l b e r t 谱结合多分辨经验模态分解方法和h i l b e r t 谱分析方法，从而建立 了多分辨h i l b e r t - h u a n g 变换由于引入了多分辨分析技术，使得h i l b e r t 一 8 u a n g 变换既保留了小波变换中时频局部化的优点，同时又因为不需要基函 数。克服了小波变换中选择小波基的的困难多分辨h i l b e r t h u n a g 变换对信 号具有良好的局部化、自适应和分析的结果的直观性 本文结合f o u r i e r 变换和小波变换，从非线性系统和非平稳信号两方砸 入手，列举了多分辨h i l b e r t - h u a n g 变换在多个领域的应用，大量的实例说明 该方法的有效性。 关键字：多分辨分析，经验模态分解， h ii b e r t 谱分析， 、_ 一+ 非线性非平稳信号 a b s t r a c t h i i b u r t - h u a n kt r m m f e n nt m n 3 i s - i r w , vt w o 硪e pt h 犯f i | 邳砌a c ya n a l y t i c m e t h o dt oa n a l y z et h en o n l i n e a ra n dt h e 删m m r ys i w u d n 幢k e ys t e po f t h i s m p m l o di st h ee a n p i d r a dm o d ed e c o m p o s i t i o n 但m d ) m e t h o dw i t h w t i i c ha n y c 糊m p l i c a t o dd a ms e tc 蚰b ed e c o m p o s e di n t otf i n i t ea n do j 毓啪i i n u m b e ro f i n t r i n s i cm o d ef i i l 啪u s i n gh i l b 。nm l b r m t ot h o s ei m f c o m p o n 朗t s 啪y i e l d i n s t a n t a n e o u sf r u q u m 埘。t h ef a t a lp f l m l 删o no f t h i sr e s u l t si s 矾e n e r g y - f r e q u e n c y - t i m ed i s t r i b u t i o n , d e s i g n a t e d - s t h eh i l b e r ts p e c t r u m t h i sp a p e rd i s c a m e dt h ed e f i n i t i o no f ；n s t a n t a n e o n s f r e q u e n c y a n dj t s c a l c u l a t i o nj nc o r n j n o o n sa n dd i s r a e t et i m e 1 n s t e n t s n e o u sf r e q u e n c y sf u n c t i o no f t i m et h a tg i v 鹳s h a r pi d e n t i f i c a t i o no fi m b e d d e ds t r o c t u r e si ns i g n a l o b t a i n i n g m e a n i n g f u li n s t s n t s n e o u sf r e q u e n c yh o v et ob er e s t r i c t e dt ot h em o n o - c o m p o n e n t s i 掣l a l ，f o rm u l t i - c o m p o n a n ts i g m a 。i ti sn e e e s s m y t od e c o m p o s et h i ss i g n a li n t ot h e c o m b i n a t i o no f $ o l z w p o n c a t d s n s l s i nt h i sp a p e r , b a s e do f ft h el o c a l p r o p e r t i e so f s i g n a l 。d e f i n e - c l a s so f f o o c j o nd 。j 掣删【c di t sj n t r l n s i c m o d ef u n c t i o ni i nw h i c h 岫i n s t e n t a n e o u s 丘啉删c a nb ed e f i n e de v e r y w h e r e t h ee m p i r i c , e lm o d ed e c o m p o s i t i o nm e t h o db a d a p t i v ea n dh i g h l ye f f i c i e m 。 m e a n w h i l e 。嘲缸m e t h o di st i m ec 跏s u m i n ga n dm t yr u nj n t od i 街c u l d e sw h e nt h e d a t ac o n t a i n si n t e r m i m m e ew h i c l lw i l lc 嘲精om o d em i x i n g t h i sp a p e rl n v o k e st h e m u l t i - r e s o l u t i o n 删镰i ”l ct e c h n o l o g yi n t ot h ei z m d , d e v e l o p st h es e c t i o n a li n t r i n s i c m o d ef u n c t i o na a d 略弧啵m u l t i - m s o l u l i o ne m dm e t h o d ( m 蹦d ) u s i n gn s e r i e so f a d j u s t a b l et i m ew i n d o w st oc o n t r o lt h e 幽瑚n g p r o c e s sc 嘲y i e l d _ m u l t i - s c a l ed e c o m p o s i t i o no f 嘧叫t h em b m dm e t h o d 伽n o t a b l ed e c r e a s et h et i m e c o n s u m i n ga n de 1 6 c i e n t l yo m t h em o d e m i x i i 嗨s i n c et h i sd e c o m p o s i t i o ni s b a s e do nt h ei 鲥c i 幽阻涮鲥ct i m es c a l eo f t i m 5 i l | l b l ，i ti sa p p l i c a b l et on o n l i n e a r a n d n o n - s 锨i o n a r yp r o c m 文u 她h i l b e r tm m s f o r mt o t h o s es c t i o m ii m f c o m p o n e n t s 锄o 嘣nm ep r e s e n t a t i o no f j f t h a tr e p r e s e n t s ag e n e r a l i z e d f o u r i e r e x p a n s i o n f u r t b u r m o m y i e l d t i mh i l b e r t q 龇r u m c o m b i n a t i o no f 岫m e m dm e t h o da n dt h eh l i b e r ts p e c t r u mm e t h o ds e t su p t h em u l t i - r e s o l u t i o n h i i b m t - h m m gu e m f o r m 洲h h d t km h h tn o to n l y p r o v i d e sam o r ep r e c i s ed e f l n m o no f 阳r t i c m ”e v e n 协i nt i m e - f r e q u e n ts p a c et h a n w a v e l e ta n a l y s i s 。b u ta l s op r o v i d e snm o l ep 咖j c l ym e a n i n g f u li n t e r p r e t a t i o no f 雠岫i y m 摹d y r m m i c 嘲删e l t i md i f f l b u l tt o 甜黼t h ew a v e l e t i nw i v e b t 缸翻辑蠡慨 l h ，、。黼鹄。 兰鏖查兰苎主茎垡丝兰一 i nt h i sp a p e r , e x a m p l e s 岛mt h en u m e r i c a lr e s u l t so f t h ec l a s s i c a ln o n l i n e a r e q u a t i o ns y s t e m a n dd a t ar e p r e s e n t i n gn a t u r a lp h e n o m e n aa 他g i v e n t od e m o 出吼e t h ep o w e ro f t h i sn o wm e s h e d , t h o s e r e s u l t sc 柚c l a r i t yt h ea d v a n c ea n de f f i c i e n to f t h i sm e t h o d k e y w o r d s ：m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ；e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ； h i l b e r t s p e c t r a la n a l y s i s ；n o n l i n e a r a n dn o n - s t a t i o n a r yt i m es e r i e s 、瀚鍪“燃灞熬囊谶 绪论 1 绪论 1 1 研究课题的来源 本文的工作是受图象自然科学基金项目( 项目批准号：5 0 0 7 5 0 9 0 ) 资助完 成的。 1 2 问题的提出 信号分析是对信号基本性质的研究和袭征信号的类型是多种多样的，如 电场、电流和声波信号通常是一个多变量函数，例如电场可表示为空间和 时间的函数时问是基本的物理参数之一，信号的时间描述是研究的主要手段， 然而，如果我们想要深入地理解信号。那么研究信号的不同表示是很重要的。 从数学的观点看，通过在函数空间的完备正交基集上展开信号，就可以实现信 号的不同表示，而且可以有无数种情况。一种特别表示的重要性就在于：用 这种表示可以更好地理解信号的内在特征。除了时间之外，最重要的表示是频 率。频率表示的数学方法是由f o u r i e r ( 1 8 0 7 年) 发明的，f o u r i e r 变换的 最大贡献是产生了信号的频谱分析方法 2 f o u r i e r 频谱分析提供了对信号全局能量谱分布的一种描述方法二十世 纪七十年代计算机得到了广泛的应用。同时c o o l y 和t u k e y 建立了f o u r i e r 变换的离散快速算法f f t ，至此频谱分析方法在信号处理中占据了统治地位， 它几乎用于所有类型的信号分析。但是以后的实践表明f o u r i e r 频谱分析并非 对所有类型信号的分析都有效f o u r i e r 谱分析存在严格的限制条件【】：被分 析的系统必须是线性的；信号必须是严格周期的或者平稳的，否则谱分析结 果将缺乏物理意义 平稳性并不是f o u r i e r 谱分析所特别要求的。对于大多数信号分析方法， 该条件都是必须的根据数学上定义【3 】时间序列x ( r ) 满足平稳性要求，如果 对于所有的，满足 e ( i x ( t ) 2 i ) ， j 培论 锥形核分布( c k d ) 等等，这些分布都被称为c o h e n 类时频分布，不同的分布 只有核函数不同而已【1 3 】图1 4 说明了w i g n e r v i l l e 分布的一个实例。 ：= ：= 一c ，r o i o r h 删t o l x 图1 4w i n g e r - v i l l e 分布的一个实例 f i 9 1 4 t h ee x a m p l eo fw i g n e r - v i l l ed i s t r i b u t i o n 1 3 4 时频表示的一般性问题 除了上面介绍的几种时频表示方法外，近年来涌现出多种多样的时频表示 形式，如：自适应的平滑肋高阶非线性分布，进化谱分析( e v o l u t i o n a r y s p e c t r u m ) ，实验正交函数分解( t h ee m p i r i c a lo r t h o g o n a lf u n c t i o n e x p a n s i o n ) 等等【i ”。其性能各不相同。对于应用研究来说，弄情一些典型分 布的性能特点是一个头等重要的任务。因为不存在一种分布对于任何应用目的 都是很好的【1 2 】，有些分布虽然有一些严重缺点。但它在另一方面的长处对于 解决某些特殊应用来说却是最理想的 上面介绍的所有方法都是被设计来修正f o u r i e r 分析的分析表明作为非 线性非平稳时间序列的分析方法，一般应该满足下列条件：a ) 完备性、b ) 正 交性、c ) 局部性和d ) 自适应性。 第一个条件保证了信号分解的精度要求；第二个条件保证了能量的非负 性，并且能够避免能量的泄漏。对于线性变换，正交性是必备的，而对于非线 性变换，正交性的条件必须被修改，详细的论述将在以后章节讨论局部性要 求对非平稳信号是非常重要的，由于非平稳信号不存在周期性，所有的事件都 必须通过发生时刻确定，所以要求幅值( 能量) 和频率都是时间的函数。对于 非线性现象。白适应性具有特殊的意义h 】我们不能期待有一个预定义的基函 数满足所有的物理性质一种最方便的办法就是通过信号本身产生所需要的自 适应基函数这一点在随后介绍的h i l b e r t h u a n g 变换中表现得最为突出。 ， 一 一 o o 重庆大学博士学位论文 1 4h il b e r t h u a n g 变换简介u j 本文将介绍一种新的处理非线性非平稳信号的时频分析方法一基于多分辩 分析的h i l b e r t h u a n g 变换，它是对h i l b e r t h u a n g 变换的一项改进 历史上，f o u r i e r 频谱分析方法占了信号分析领域的主导地位。以至于“频 谱”一词成为了f o u r i e r 变换的同义词。f o u r i e r 变换在一般的条件都是有效 的，但它也受到严格的限制：首先被分析的系统必须是线性的；其次是信号必 须是周期的或平稳的。不满足这两个条件，用f o u r i e r 变换所得到的结果将缺 乏物理意义”。 对于非线性非平稳信号如何进行分析? 一种通常的方法就是对系统进行 线性化，对信号假定为平稳或分段平稳的，然后采用适当的分析方法如短时 f o u r i e r 变换，小波变换等对信号进行分析，从而得到信号的时频分布由于 这些分析方法都是以f o u r i e r 变换为基础的。因此具有很大的局限性 在f o u r i e r 变换中一个基本概念是频率，而频率就代表着信号的周期性。 也就是平稳性要求，非平稳信号的特点之一就是没有周期性。这样按f o u r i e r 变换的方法定义频率，进行频谱分析将缺乏物理基础阻】，为了解决这个问题， 有必要定义一种新的频率描述方法。使得对非平稳信号同样可以进行频谱分 析。而且与f o u r i e r 变换的频谱分析是兼容的，正是出于这种需求。一种称为 瞬时频率的概念被提出来瞬时频率的定义有多种摇述方式，其中以h i l b e r t 变换为基础，对信号进行h i l b e r t 变换，求出解析信号再对其相位求导，从而 得到一个具有频率量纲的参量，在满足单值性的条件下。这个参量可以定义为 瞬时频率，并且与f o u r i e r 变换的频率定义是相容的。 瞬时频率是定义在解析信号的相位求导上的，并不是任意信号都可以通过 h i l b e r t 变换得到瞬时频率，严格意义上讲只有满足窄带条件的一类信号定义 瞬时频率才有意义，那么对于非平稳信号又如何进行基于瞬时频率的频谱分析 昵? 这就需要对非平稳信号进行分解把原始信号分解为一系列满足窄带条件 信号的组合，然后进行h i l b e r t 变换，求解每一分解分量的瞬时频谱，从而得 到原始信号的时频谱。如何进行分解，美国的n eh u a n g 进行了研究，并在文 献 7 中详细论述他的方法，这种对非线性非平稳信号进行分析的新方法被称 为h i l b e r t - - h u a n g 变换。 h il b e r t h u a n g 变换是一种两步骤信号处理方法。首先用经验模态分解方 法( e m p i r i c a lm o d ec o m p o s i t i o nm e t h o d ，简称删d ) 获得有限数目的固有模态 函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n 。简称i m f ) ，然后再利用h i l b e r t 变换和瞬时频 率方法获得信号的时一频谱- - h i l b e r t 谱。 由于瞬时频率方法不能对任意信号都适用，它只能对单分量信号 ( m o n o e o m p o n e n ts i g n a l ) 才有意义c 4 ，而对于自然界和工程应用领域，获取 的信号一般都不能满足单分量信号的要求，因此必须对信号进行适当的处理 经验模态分解方法( 6 j d d ) 就是通过对信号进行分解，使之能够表示为许多单 分量信号之和。在h i l e r t i t u a n g 变换中，为了把复杂的信号分解为简单的单 分量信号的组合，在进行蹦d 方法时所获得的固有模态函数( i m f ) 必须满 足下列两个条件： 1 ) 在整个信号长度上，一个i m f 的极值点和过零点数目必须相等或至多 只相差一点。 舔j ”鬻鬻 l 堵论 2 ) 在任意时刻。由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络 线的平均值为零，也就是说i m f 的上下包络线对称于时闻轴 满足上述条件的i m f 就是一个单分量信号 对于给定的信号。h u a n g 所介绍的e 如方法是：首先找到信号的极大值和 极小值，通过三次样条拟合。从而获得信号的上包络曲线和下包络曲线，计算 上下包络曲线在每一点上的平均值，从而获得一平均值曲线m ，设分析信号 为x ( f ) ，则 x ( t ) 一m l = c 1 ( 1 1 3 ) 从理论上讲c l 即为第一阶i m f 分量，然后，从原始信号中减去c l 即可 获得信号的逼近分量冠 z ( f ) 一c = r 。( 1 1 4 ) 对足重复上面的过程，就可以获得第二阶1 1 4 f 分最。通过e m d 方法对信 号的一次次的筛分，就可以获得信号的多个i m f 分量和一个逼近分量r 。，从 而信号可由下式表示： x ( ，) ；c f + r ( 1 1 5 ) 上面的分解过程可以解释为尺度滤波过程，每一个i i d f 分量都反映了信号 的特征尺度，代表着信号的非线性非乎稳信号的内在模态特征 获得了信号的i m f 分量以后，就可以对每一阶i i f 作h i l b e r t 变换。 ) ，( f ) = i 1p 磐tt 甜 1 6 ) 石。一 x ( f ) 和y ( t ) 共同组合为一解析信号z ( ，) z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) = a ( t ) e ” ( 1 1 7 ) 这里 爿( ，) = x 2 ( f ) + y 2 ( ，) ( 1 1 8 ) 即，= 叫嚣) ( 1 1 9 ) 解析信号的极坐标形式反映了h i l b e r t 变换的物理含义：它是通过一正弦 曲线的频率和幅值调制获得信号局部的最佳逼近根据瞬时频率的定义。我们 有1 1 4 f 分量的瞬时频率： ( f ) ；百d o c t ) ( 1 2 。) 重庆大学博士学位论文 对每一阶i m f 作h i l b e r t 变换，并求出相应的解析函数的幅值谱和瞬时频 率，从而原始信号可以表示为 x c t ) = y 口，( 彬1 叩 ( 1 2 1 ) 簧”。 其数学表达式反映了h i l b e r t h u a n g 变换是f o u r i e r 变换的一种扩展形式【” 上式反跌了信号幅值、时间和瞬时频率之间的关系信号的幅值能表示为 时间、瞬时频率的函数h c w ，f ) 。从而获得信号幅值的时间、频率分布婀i l b e r t 谱。更进一步的，通过对时间的积分我们可获得信号的h i l b e r t 边际谱 r h ( o j ) = i - ( t o 。n d t ( 1 2 2 ) - 吣 。 h i l b e r t - h u a n g 变换是目前最新发展起来对非线性非平稳信号进行分析的 有效方法，已经逐渐应用到流体力学、地震信号分析、基础结构检测、故障诊 断等领域。在许多领域其分析效果完可以和小波变换方法媲美具有很大的研 究价值和广阔的应用前景 h i i b e r t - h u a n g 变换的关键技术是删d 方法。然而，e m d 方法存在着下面 几个困难： 1 ) 由于其分解过程可以解释为一个尺度滤波的过程。因此获得的e ，从 f = l 一在尺度上表现为从小到大的变化解释为频率就是从高频往 低频的分解过程。然而，在具体实现上，不同的分解分量g ，( 。上， 可能会产生尺度交叉其结果有可能表现为尺度混叠的现象。 2 ) h u a n g 的方法需要在整个数据长度上用三次样条曲线求解包络曲线。在 数据长度大，而且波动剧烈的情况下其计算量将是很大的，这种方法 要占用大量的机时，实时性太差 1 5 本文的主要工作及内容 1 5 1 本文的主要工作 本文是作者参加国家自然基金项目“小波消失矩理论与信号深层隐含噪声 的探测和抑制的研究”( 项目批准号：5 0 0 7 5 0 9 0 ) 的研究，追踪田际上非线性 非平稳信号分析的最新研究成果并对这些成果进行改进的若干工作小波变换 是目前最流行的处理非线性非平稳信号的分析方法。然而小波变换在本质上为 具有柔性时频窗的f o u r i e r 变换。因此同样面临着f o u r i e r 氏变换的局限性。 而且小波基的多样性的带来了如何有效地选择小波基问题面临着小波变换固 有的缺点，美国学者n e h u a n g 发明了新的分析非线性非平稳信号的方法一 一h i l b e r t h u a n g 变换本文正是在这种新方法的蒸础上做了一些创新本文 的主要研究内容和工作如下： 1 ) h i l b e r t h u a n g 变换在实际应用中，可以与小波变换媲美，井具有良 好的分析效粟然而由于瓣要在整个数据长度范围通过三次样条求解上下包络 曲线，因此在数据量大的情况下。讹算量缀大。占用大量的虮时实时性差 l 堵论 为了克服这个缺点，本文引入了多分辨分析思想通过对一定尺度范围的极值 点进行聚集，从而把整个数据分成若干段的进行样条拟合，大大地减少了计算 量，大量的数值仿真表明新方法具有良好的实时性 2 ) 多分辨分析思想是小波变换的精髓。在小波变换中，通过对小波基的 伸缩，从而能够对信号局部进行分析因此小波变换被誉称为“数学显微镜” h i l b e r t h u a n g 变换通过经验模态分解方法( e m d ) 可以把信号分解为不同尺 度上的固有模态函数( i m f ) 的组合，由于存在着尺度上的交叉现象，使得在 整个分解过程中，表现在频域上，各个i m f 分量的频谱存在重叠现象，影响了 它的应用。为此，本文引入多分辨分析方法，通过可变尺度的矩形窗对分解过 程进行控制，使得i m f 分量能够消除尺度交叉性而且由于多分辨分析方法的 引用，使得h i l b e r t h u a n g 变换，既保留了小波变换的“数学显微镜”的优点， 同时又因为不需要基函数，克服了小波变换需要选择小波基的困难 3 ) 作为一种新的方法。能否应用到工程领域中是其存在和发展的基础， 本文列举了大量的实例说明该方法的广泛应用前景。 1 5 2 本文的主要内容和结构 第一章绪论。介绍了f o u r i e r 变换的局限性，并对目前常用的时频分析工 具进行了回顾和比较简单介绍了论文的主题；第二章对本文用到的数学知识 作了简明扼要的复习；第三章介绍瞬时频率的概念和计算方法，特别是对单分 量信号和多分量信号进行解释；第四章系统地介绍了多分辨分析方法的理论及 其在小波变换中的应用。通过把多分辨分析引入h i l b e r t h u a n g 变换，从而有 效地克服了该方法存在的困难随后详细介绍了多分辨经验模态分析方法的实 现和应用；第五章介绍了一种新的谱分析方法一h i l b e r t 谱，并且通过与 f o u r i e r 谱、小波谱的比较，说明了h i l b e r t 谱在分析非线性非平稳信号中的 优势；第六章从多分辨h i l b e r t h u a n g 变换在非线性系统分析和非平稳信号分 析两方面入手。给出了若干实例。说明了多分辨h i l b e r t h u a n g 变换的应用 前景：第七章对多分辨h i l b e r t h u a n g 变换进一步需要解决的问题进行了分 析，第八章得到了一些具有参考价值的结语。 重庆大学博士学位论文 2 数学预备知识 基于多分辨分析的h i l b e r t h u a n g 变换是继小波变换之后一种新的分 析非线性、非平稳信号的变换方法为了能够承上启下，本章叙述了所涉及到 的数学记号和基础知识。 2 1 代数记号2 0 】 记r 为实数域，c 为复数域，z 为整数域，n 为自然数，对于- g g a ，；表示 它的复共轭。 2 2 函数空间 距离空间：距离空间是一个集合x 连同满足下列条件的映射d ： x z _ r ( 1 ) 正性d ( x ，y ) 0 ，g d ( x ，y ) = 0 当且仅当x =