（光学工程专业论文）二维光子晶体中色散和非线性现象的研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 基于光子晶体中色散和非线性现象的研究使光器件的小型化成为可能，这对： 实现各种光器件的制作和集成具有重要的意义。本论文研究了二维光子晶体中的4 和非线性现象。 由于金属的强色散在金属与介质的交界面支持表面等离激元共振，从而金j 子晶体t e 模的能带结构可能存在平直带。通过引入辅助微分方程法描述材料的1 特性，我们建立了研究色散材料二维光子晶体的时域有限差分方法程序。作为算 计算了金属光子晶体t m 模和t e 模的能带结构，证实其t e 模的能带结构中存在i 带。 为研究二维光了晶体的非线性特性，通过引入描述材料的非线性特性的辅助力 我们建立了研究非线性材料二维光子晶体的时域有限差分方法程序。在此基础上， 究了材料具有克尔非线性的光子晶体微腔的双稳态，可用于构建光子晶体的光开； 在材料具有克尔非线性光子晶体波导耦合器中，利用控制光强度变化，实现信号j 波导耦合器的不同输出端输出，可用于构建可控光子晶体光开关。另外，在材料 喇曼非线性的二维光子晶体中，观察到了入射光三倍频的成分。 对二维光子晶体色散和非线性现象的研究表明，基于光子晶体的光器件实际可 儿7j 化统光器什十l i 比，巫容易实现和集成。 关键词：光子晶体平直带辅助微分方程双稳态 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t t h e r ei sa ni m p o r t a n tm e a n i n gt h a ts t u d y i n gt h ed i s p e r s i v ea n dn o n l i n e a rp h e n o r o fp h o t o n i cc r y s t a l sf o rt h ef a b r i c a t i o na n di n t e g r a t i o no fo p t i c a la p p a r a t u s e s i nt h i sp w es t u d yt h ed i s p e r s i v ea n dn o n l i n e a rp h e n o m e n ao f 2 dp h o t o n i cc r y s t a l s f o rt h es t r o n gd i s p e r s i o no fm e t a l t h e r ei sp l a s m o nr e s o n a n c ea tt h ei n t e r f a c eb e t 、 t h em e t a la n dm e d i u m ，a n dt h e nt h e r ea r ep l a s m o nb a n d sf o rt em o d eo f2 dr e e l p h o t o n i cc r y s t a l s w ep r o g r a m m e t os t u d yt h ed i s p e r s i v e2 d p h o t o n i cc r y s t a l sb yu s i n f d t d a sac a s e ，w ec a l c u l a t e2 dm e t a l l i cp h o t o n i cc r y s t a l s b a n ds t r u c t u r e so ft mn a n dt em o d e ，a n da p p r o v et h a tt h e r ea r ep l a s m o nb a n d sf o rt em o d e f o rt h en o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i co f2 dp h o t o n i cc r y s t a l s ，w ep r o g r a m m et os t u d ) n o n l i n e a r2 d p h o t o n i cc r y s t a l sb yu s i n gt h ef d t da n da s s i s t a n td i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( a m e t h o d s f o r2 dp h o t o n i cc r y s t a l sw i t hk e r rn o n l i n e a r i t y ，w es t u d yt h eo p t i c a lb i s t a b i l i l p h o t o n i cc r y s t a l sm i c r o c a v i t i e s ，w h i c hc a nb ef a b r i c a t e dt h ea l l - o p t i c a lb i s t a b l es w i t c l l f o rt h ep h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d ec o u p l e rw i t hk e r rn o n l i n e a r i t y , s i g n a ll i g h tc a ne x f r o mt h e d i f f e r e n tw a y sb yc h a n g i n gt h ec o n t r o ls i g n a l ss t r e n g t h ，w h i c hc a r lb en c o n t r o l l a b l ep h o t o n i cc r y s t a l s o p t i c a ls w i t c h i n g ；f o r2 dp h o t o n i cc r y s t a l sw i t hr a n o n l i n e a r i t y ，w ec a df i n dt h et h r i c ef r e q u e n c ye f f e c t b ys t u d y i n gt h ed i s p e r s i v ea n dn o n l i n e a rp h e n o m e n ao f2 dp h o t o n i cc r y s t a l s ，w e t h a tt h eo p t i c a la p p a r a t u si se a s i e rt ob ef a b r i c a t e da n di n t e g r a t e dc o m p a r e dw i t ht r a d i t i i o p t i c a la p p a r a t u s k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s ，p l a s m o nb a n d s ，a d e ，o p t i c a lb i s t a b i l i t y 独创性声明 y 。7 8 9 1 ： 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目： 三丝左王墨垡主鱼筮塑韭垡性塑錾鲍盟童 学位论z 乍者签名 驺! 蚴= 日期：硝年斗月土d 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅：可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 摩进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目： 三丝左王墨签主鱼筮塑韭生性丑錾鲍丛窥 学位论文作者签名 作者指导教师签名 西! 蚴! 未i a 乞委： 日期：幻西年4 ，月2 o 日 日期：。孙o 年“月 r 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 人类社会对信息容量和带宽的需求呈现加速增长的趋势。但目前的电 f 交换和信息处理| 叫络的发展已经接近电子速率的极限。为了解决电子瓶 颈限制问题，研究人员开始在交换系统中引入光子技术，实现光交换、光交 叉连接( o x c ) 和光分叉复用( o a d m ) ，即全光通信系统。其中的主要关键技 术和器件都涉及到大量的色散和非线性光学的研究。 l 。1光学系统的色散和材料的非线性特性 对于光学系统而言色散和材料的非线性特性所产生的影响是不可避 免的，它们直接关系到光学系统的信息传输质量。 1 。1 1 光学系统的色数特性 光学系统的色散可分为模内色散( 群速度色散) 和模间色散。群速度 色散是指由于信号频率不单一引起的单一导波模的各频率分量的色散。群 速度色散又可以分为材料色散、波导色散等。材料色散也称为折射率色散， 是由于介质材料的折射率随入射光频率变化而产生的色散。材料色散是材 料的固有色散特性。波导色散在光子晶体中又称为结构色散，是由于光源 的谱线具有一定的宽度，传播模的群速度是光频率的函数而弓l 起的。模间 色散是指在光通信系统中传输的多种模式，由于各传导模式的传播常数不 。样，每一种模式到达终端的时问先后不同，造成了脉冲的展宽，从而出 班色散现象。 群速度色散是材料色散和结构色散共同作用的结果，它导致了波形传 输时发生变形和失真。群速度色散对光通信是极为不利的，当调制波形是 模拟信号时，表现为检波后基波的谐波分量增加，产生非线性失真：当调 制信号是数字脉冲时，导致码间干扰，形成传输码的失误，为了避免误码 的出现，就要拉长脉冲间距，导致传输速率降低，从而减少了通信容量。 同时光脉冲的展宽程度随着传输距离的增长而越来越严重，这就限制了传 输的距离。 第l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 为了满足长距离传输的需要，必须对畸变信号进行整形，这就需要对 光通信系统的色散进行补偿，实现正负色散相抵，使系统的最终色散降到 最低，方法是引入色散补偿器件。普通的色散补偿器件对色散的补偿只针 对于特定的材料和传输模式，具有很大的局限性，是不可调的；同时用色 散补偿器件实现色散补偿时引入了插入损耗，影响了信号的传输。如何控 制和减少色散，是我们在研究色散特性时要解决的问题。 1 1 2 材料的非线性特性 一般讨论的非线性效应是极化强度和光场满足高阶关系。按极化强度 与光场的关系，可以将非线性光学效应分为二阶非线性光学效应、三阶非 线性光学效应等。对材料非线性特性的研究，是希望以此来实现光控制光 以及实现波长变换等在线性系统中不能实现的功能；同时非线性也是强光 传输中不可避免的问题。 在光学系统研究中用到了大量的非线性光学器件 1 ，如基于光学克 尔效应的超快全光开关、光控制光闸等：基于受激喇曼散射( s r s ) 的波 长变换器、可调谐激光器等；以及基于受激布里渊散射( s b s ) 的相位共 轭激光器以及各种传感器件。但现在非线性光学器件的主要问题是缺乏高 菲线性、低吸收、高损伤闽值、足够豹快速响应的非线性光学材料 2 。 在还没有解决这些问题的情况下，减小非线性起作用的阈值就变得很有必 要。由于材料的非线性特性与光强有直接的关系，在非线性很弱的情况下， 要求此时的光强很强，这就需要我们设计新的结构来实现弱光强条件下的 非线性效应，如高q 值的微腔等。 当光脉冲在具有负群速弥散和正非线性系数的材料中传输时，由非线 性效应产生正的自相位调制导致脉冲光谱展宽，引起光脉冲压缩；而群速 度色散导致脉冲展宽。在某一特定的光强下，脉冲展宽和自相位调制与群 速度色散共同作用导致的脉冲非线性压缩之间相互作用，使色散效应达到 平衡，光脉冲将维持原来的性质传播，我们称之为孤子e l i 。在具有正的 群速弥散和负非线性系数的材料中传输也能出现孤子。基于孤子理论的光 孤子通信是实现超长距离、高速率通信的重要手段。 固防科学技术火学研究生院学位论文 1 2 光子晶体中色散和非线性现象研究的意义和进展 光子晶体是1 9 8 7 年，y a b l o n o v i t c h 和j o h n 分别在讨论周期性电介质 结构对介质中光传播行为的影响时，各自独立地提出的 3 4 。光子晶体 是一种折射率周期分布的材料( 图1 1 ) 。其组成材料通常是各向同性的， 有确定的折射率。 图1 1 一维二维三维光子晶体结构 1 2 1 光子晶体的色散特性 利用光子晶体的特殊性，我们可以实现对色散的控制。由于材料色散 是材料固有的性质是不能更改的，但对于光子晶体而言，构成光子晶体 的材料是可以选择的，我们可以选用不同的材料制作光子晶体，来得到不 同的材料色散。m 时光子晶体对于结构色散是可控的，通过改变光子晶体 的结构使之支持1 ：叫的模式，降低群速度色散甚至可以使群速度色散为 零。 基于光子晶体结构的色散补偿器件，具有灵活的色散、色散斜率和线 性色散变化范围内极为优秀的管理能力，可以实现对模式色散的可控；同 时，由于光在光子晶体禁带中的传输效率非常高，接近予无损耗，相比于 其它色散补偿器件，光子晶体的引入损耗是很小的。 1 2 2 光子晶体缺陷模的非线性特性 理论和实验诅! 明：光子晶体可以产生光子晶体带隙( p h o t o n i cb a n dg a p ， 类似于半导体中的禁带) 5 - 8 】。像晶体中的杂质或缺陷会在禁带中形成杂 国防科学技术大学研究生院学位论文 质能级一样，如果我们引入点缺陷破坏光子晶体的周期结构特性，那么在光 子晶体带隙中将形成相应的缺陷态，对应频率的光局域在这个缺陷，从而 可能得到一个高q 值的微腔。由于该微腔具有很高的q 值，微腔本征频率 的光在微腔中会产生局域光增强效应，即使只有很弱的输入光强，微腔中 的光强值都可以很大。如果该缺陷柱为非线性材料，可以实现弱光条件下 的非线性效应。如此，利用具有克尔非线性材料的光子晶体微腔可能实现 低入射光强下的光学双稳特性，同时由于光子晶体具有体积小，易于集成 的优点，对今后集成光学技术、光学逻辑回路以及光学计算机技术的发展 都具有非常重要的实际应用价值。 1 2 3 光子晶体色散和非线性现象的研究进展 从光子晶体的概念提出到现在，在短短十几年时间中，人们对于光子 晶体的研究取得了重大的进步。 就现阶段而言，对于金属这种强色散材料，它具有负介电常数，就有 可能产生表面波，所以对金属光子晶体的研究是一个热点。对二维金属光 子晶体能带结构人们做了很多研究，发现了二维金属光子晶体t e 模的能 带结构存在平直带。t a k u n o r il t o 和k a z u a k is a k o d a 9 用时域有限差分方 法( f d t d 研究了二维金属光子晶体t e 模和t m 模的能带结构以及表面 等离极化：e s t e b a nm o r e n o ，d a n i e l e m i 1 0 1 等人运用多重多极方法 ( m u l t i p l em u l t i p o l em e t h o d ) 分别研究了二维方形金属光子晶体和二维三 角形金属光子晶体的能带结构得到的结果比s a k o d a 等人的结果更为精 确。 由于光子晶体微腔对光的强约束，使得微腔中非线性材料起作用的闽 值可以降低，围绕这一点近年来人们研究了很多关于光与光子晶体微腔 中的材料相互作用的问题。当微腔中有非线性材料时。由于非线性的调制， 光子晶体具有双稳、多稳的性质。m a r i ns o l j a c i c 和m i h a il b a n e s c u f l l 】等 人利用非线性光子晶体微腔实现了光学双稳，但是得到的输出功率是很低 的：m e h m e if a i t hy a n i k 和s h a n h u if a n 1 2 等人对微腔结构进行了改进， 使得实现光学双稳所需的输入光强阈值降低，同时达到了很高的输出功 国防科学技术大学研究生院学位论文 率。 而f c u e s t a s o t o 和a m a a i n e z 1 3 】等人对非线性光子晶体波导耦合器 做了很多研究，实现了光控光，即用控制光来控制信号光从不同的波导输 出端输出；b m a e s 和p b i e s t m a n 1 4 - 1 5 】等人研究了非线性光子晶体中的带 隙孤子( g a ps o l i t o n s ) 。由于材料的非线性效应改变了光子晶体局部的介 电常数，相当于在光传输的路径上形成了一个缺陷，光定域在其中传输， 类似于孤子。 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 3 课题简介 本论文分别对二维金属光子晶体的能带结构和二维光予晶体中的非 线性现象作了研究。由于金属具有强的材料色散和负介电常数，可能会存 在表面波，反映到基于金属的二维光子晶体的能带结构可能存在特殊性。 同时由于非线性光子晶体微腔具有强光强约束的性质，可能得到低光强阂 值下的非线性效应；由于非线性光子晶体波导耦合器可以改变耦合常数， 可能实现光控光。 本论文分两部分，运用时域有限差分方法( f d t d ) 结合辅助微分方 程法( a d e ) 分别对二维金属光子晶体的能带结构和材料具有非线性的 二维光子晶体做了一些研究： 1 利用会属d r u d e 模型，研究二维金属光子晶体t m 模和t e 模的能带 结构和二维金属光子晶体t e 模中磁场的分布； 2 利用波恩一奥本海默近似。研究材料具有克尔非线性的光子晶体微腔 和光子晶体波导耦合器的光学特性：研究材料具有喇曼非线性的光子 晶体微腔实现波长变换的特性。 第6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章光子晶体时域有限差分方法 研究光子晶体的理论方法可以分为三类：平面波展开法、时域有限差 分方法( f d t d ) 1 6 - 1 7 】和传输矩阵法。平面波展开法和传输矩阵法都是 在频域进行处理。时域有限差分方法是在时域进行处理，它是以麦克斯韦 方程组为出发点，适用范围很广。由于光子晶体本身结构复杂，对我们求 解的二维金属光予晶体的能带结构而言，用时域有限差分方法一次可以得 到对应b l o c h 波矢的所有本征频率点，而不需要像频域方法那样每次搜索 不同的本征频率。对于我们模拟的比较复杂的光在非线性光子晶体中的传 输行为，时域有限差分方法对下一时间步场值的求解只需要由上一时间步 的场值来迭代；而传输矩阵法是将体系划分成很多层，各层中的电磁 场分量通过边界条件与相连的层相关，从最初的一层，逐层求解得 到全空间的场。 2 1 差分方程组 时域有限差分办法计算电磁场问题时，需要将微分形式的麦克斯韦方 程组变为数值差分方程。根据模拟的物理要求，确定空间网格、空l 日j 步长 和时间步长是关键。 2 1 1 均匀立方体网格空间中的差分方程组 以二维线性非色散材料的光子晶体的t m 模为例给出场方程和差分方 程组。t m 模的场方程如下： 警一警= s 堡o t ( 2 ) 苏却 、 一堡a y 确警 ( 2 1 2 ) 一一2 风言 “卜纠 警= 懿等 呸， 言2 懿言 t 2 1 。 将其差分得到： 第7 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 _ 1 u ：弋“) + 志妙( + 1 2 , ) 一上e ( i , j ) a yl k , ，2 ( f ，+ l 2 ) 一只“2 ( f ，一1 ，2 ) 】 ( 2 1 4 ) h 。，2 ( f ，+ 1 ，2 ) - h ，a - l 2 ( f ，- ，+ 1 ，2 ) 一面1 x t k ”( ，+ 1 ) 一珊，州( 2 1 5 ) 2 ( i + 1 2 , 舻2 ( i + 1 2 , 卅去队f + 1 - - e ：n ( j ，d 】( 2 1 6 ) 式中e ：”1 ( j ，歹) 表示网格标号为，) 处第n + 1 个时闻步长时的电场分量： 的值，其它场分量类似；e ( i ) 是网格标号为( f ，) 处的有效介电常数它 的值由面积投影的权重来确定。 2 1 2 空闻步长和时阊步长豹选取【1 8 】 将麦克斯韦方程组按y e e 氏网格所导出的差分方程是一种显式的差分 格式，它的执行是通过按时间步推进计算电磁场在计算空间内的变换规 律，这种差分格式存在稳定性问题，即时间变量步长，与空间变量步长 血、缈之间必须满足一定条件，否则将出现数值不稳定。 当光子晶体中有两种不同的电介质，我们以电磁波在介电常数较大的 电介质中的波长为参考对象来选择空间步长，相当于以最坏的情况选择空 f u j 步长。当模拟 u 磁波在光子晶体中的传播时，我们需要用宽谱的时变脉 冲源，其较高频率部分的误差比较低频率部分的误差要大，所以我们在计 算中选择了空间步长小于我们关心的最小波长的十分之一。 对于时间步长的选取，对于我们所研究的二维空间中的模式而言，其 稳定性条件为： fs ( 2 、1 7 ) 其中f 为时问步长，缸、缈为x 方向和y 方向的空间步长。v 为电磁 笔8 币 国防科学技术大学研究生院学位论文 波在该空间的传输速度。 对于我们所讨论的均匀立方体网格，则缸= a y = , s s ，所以数值稳定 条件( 2 1 7 ) 就可以简化为： rs 竺 v 4 2 在一维情况下，这一条件就是要求时间步长不能大于电磁波传播一个 空间步长所需的时间，否则就破坏了因果关系。 国防科学技术人学研究生院学位论文 2 2 边界条件 2 2 1 吸收边界条件含义 对时域有限差分方法我们需要一种截断边界网格点处场的特殊计算 方法，它不仅能保证边界场计算的必要精度，而且还能太大消除非物理因 素引起的如受到截断边界的波的反射，使得用有限的网格空间就能模拟电 磁波在无界空间中的传播。加于边界场的适合上述要求的算法称为吸收边 界条件。 2 2 2 完全匹配层( p m l ) 的物理意义 完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ：p m l ) 吸收边界是b e r e n g e r 1 9 于1 9 9 4 年首先提出的。p m l 是由数学上构造出的各向异性吸波层，通过 对其电磁参量的合适选取，能够使得由f d t d 计算区域发出的外行波无反 射地透入p m l ，并在其中迅速衰减，与m u r 二阶吸收边界条件相比，p m l 不受来波方向和频率地限制。同以往其它类型的吸收边界相比，p m l 边界 大大提高了吸收效果。 以t e 模为例来说明完全匹配层的吸收，我们设电导率和磁导率分别 为盯，盯。，则方程纰可以写为： 等一警= “警仃以 z ， 苟一i 。“盲竹爿： 1 一等：岛警+ a e y a e y ( 2 2 2 ) 一i2 岛言+ 【2 2 2 o h ：旬筝 ( 2 2 3 ) 言。i 。” 如果满足条件：旦：二， 氏， 则在f d t d 区域截断边界处设置一种特殊介质层的波阻抗与相邻介质 波阻抗完全匹配，所以入射波将无反射地穿过分界面而进入p m l 层。由 于p m l 层为有耗介质，进入p m l 层的投射波将按e x p ( _ o - c o s 8 p ) 或 第1 0 页 围防科学技术人学研究生院学1 1 i ) ：论文 e x p ( _ 旦考警动指数形式衰减，其中p 为外行波相对与分界面的入射角，户 为介质层厚度。即使p m l 为有限厚度，它对于入射波仍有很好地吸收效果。 在p m l 介质中我们假设将磁场分量h ：分裂为两个子分量日。和月，。且 h ：= h 。+ 抒。进而将麦克斯韦方程改写为以下形式： 一掣砘车乜e o t 一， ( 2 ：4 )一= 二+ 仃 i z z | j 嬲 7 掣强鲁+ q t 5 ( 2 ：s )= 占。2 + 仃 22 3 卿o l 一誓：风譬坦亿 ( 2 2 6 ) 一言。风言竹，月= ( z 2 - 6 ) 等：风警十q 凡 ( 2 2 7 ) 苗2 风盲十q 爿一 ( 2 2 t7 ) 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章二维金属光子晶体能带结构的计算 会属的介电常数s 与频率的关系，可以用d r u d e 模型 1 2 r e ( o j ) = 气【l 一- = 冬】来描述。在金属和介质的表面可能产生表面波，即 o ) ( o j r + j l 为表面等离激元，在入射角或波长在某一适当值的条件下，表面等离激元 发生共振 2 0 ，这样基于金属材料的二维金属光子晶体的能带结构可能具 有特殊性。 对于二维金属光子晶体能带结构的计算，k a z u a k is a k o d a 9 和 e s t e b a nm o r e n o 1 0 分别用时域有限差分方法( f d t d ) 和多重多极方法 ( m u l t i p l em u l t fp 0 1 em e t h o d ) 求解了二维金属光子晶体的能带结构。 其中多苇多极方法是在频域中计算电磁场的一种方法。这里我们也用f d t d 来计算二维余属光子晶体的能带结构，同样采用的是积分方法来计算的， 在金属与介质交界面上，对相应的物理参数作面积投影。 3 1描述色散材料的辅助微分方程 色散材料的极化率与频率总满足一定的关系，根据不同的关系，我们 可以将材料的色散分为线性d e b y e 色散、线性l o r e n t z 色散以及金属材料 的色散。 3 1 1 普通色散材料的极化强度 2 1 】 极化强度可以表示为各阶的求和形式： ：兰， 每个。对应于材料的一个共振响应，是一个积分形式： 一- - - - e of z , ( t - r ) 拍d r ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( 1 ) 线性d e b y e 色散 线性d e b y e 色散材料的极化率满足如下的关系式： z 9 1 ( ) = 熹 ( 3 1 3 ) l + j o t d 其中f d 为阻尼因子，j 为虚数单位，是由d e b y e 色散引起的相对介电 常数的差： ，= s 。一s 。，为静态场的相对介电常数。 在频域，极化强度与电场的关系为： 。( ) = 粤吾( 国) ( 3 1 4 ) l + o j z d 这里给出的o ) ，云( 国) 代表的是相应的时域函数的傅立叶变换，由 妄= ，得到极化强度和电场云在时域的关系： 一，1一一 p d ( r ) + r d i 三p o ( t ) = o ) e ( ，) ( 3 1 5 ) 将上式的微分形式化为差分形式，得到在时域的递推方程。 ( 2 ) 域任l o r e n t z 色散 线。陆l o r e n t z 色散的频域极化率的表达式为： z ”卜石筹 ( 3 1 6 ) s l 为由l o r e n t z 色散引起的相对介电常数的差，0 7 为l o r e n t z 本征频率， 瓯为阻尼因子，则l o r e n t z 色散的极化强度的频域表达式为： e ) - 菇筹每罾( ) ( 3 ) 问样，由鲁= 导= 一埘2 ，得到极化强度的时域表达式： ：印) + 2 吮旦o t 川) + 簧印) 瓴：云( f ) ( 3 1 8 ) 一里堕型主丝查叁兰堡壅篁堕童堡笙塞 3 1 2 金属材料的色散 2 2 2 4 光子晶体中的麦克斯韦方程组为： v 配r ) = 一。昙耳( ，) 一p ( ，) ( 3 1 9 ) 甜 、7 v x ( ，f ) = 善d ( ，f ) (3，110)ot 、 ， 其中“( ，) 为外加偶极子源。 假设系统对电场的响应是线性的，则电位移矢量五( ，f ) 可以写成电场 和介电响应函数m ( ；，r ) 的卷积积分： 五( ；，) = o e of d t 中( ；，- ，) 联；，f )11 ) 介电响应函数中( ；，) 是介电函数占( ；，甜) 的傅立叶变换： 。( ；，归西1 占( ；，国) e x p ( 一f e a t ) d o ) ( 3 1 1 2 ) 由因果率，当， o w t ，o ( ；，f ) ：0 ： 对于金属材料，介电函数一般可用d r u d e 模型描述： e ( c a ) = 占。 1 一 其中，为等离子频率。f 为弛豫时间，j 为虚数单位。 ( 3 1 1 3 ) 将( 3 1 i3 ) 代入( 3 1 12 ) ，得到介电响应函数巾( ；，) 的表达式为： o ( r ，) = f 。占( ，) + s 。甜；r ( 1 一e x p ( 一t r ) ) o ( t )( 3 1 1 4 ) 其中护( ，) 为步进函数，当，0 时臼( ，) = 1 ；当t 0 时 u ( t ) = 1 ；当f 茎0 时r = 0 。 响应函数( 4 1 2 ) 满足；f 。g ( t ) d t = 1 。口为实数，a , l 一口分别来表示 克尔非线性和喇曼非线性所占的比例。克尔效应为瞬时非线性效应，是光 场与电子的相互作用用d ( f ) 来表示：受激喇曼散射是光场与原子核的相 互作用，用阻尼碰撞的一个近似响应函数g 。( r ) 来表示。 4 1 1 克尔效应 由克尔效应的响应函数，得到极化强度为： & ( ，) = 岛z r e o ) j a s ( t r ) e 2 ( r r = c 陌。z ：e ( ，) 得到差分方程为： 臻“= 船o z 乳e “) 3 ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 4 1 2 受激喇曼散射 由波恩一奥本海默近似【2 5 】。受激喇曼散射的极化强度表达式为： g a t ) = s 。o ) j z 譬o r ) e ：( r ) d r = s 。p ) f z ( f ) t e 2 ( f ) ( 4 1 6 ) “投j ：的足两者的卷积，其中： z ? ( f ) = z ( 1 一c e ) g r ( ，)( 4 1 7 ) 定义一个辅助变量来表示卷积，即： s ( ，) = z ( ，) e 2 ( ，)( 4 1 8 ) 对上式作傅立叶变换，得到： s ( 出) = 岩? ( ) ，f z 2 ( ，) 】( 4 1 9 ) 这里f e 2 ( ，) 】表示对e 2 ( ，) 的傅立叶变换，延迟响应函数名( ) 为： 露1 ( 2 石舞了( 4 1 1 0 ) 国防科学技术人学研究生院学位论文 各参数爿，。，矗分别为：a = ( 1 一口) z ，= 。 1 d r = 一。 所以，s 又可以写成： 童( 珊) = 乙i 杀f 【e 2 ( ，) 】( 4 1 1 1 ) ( 4 1 1 1 ) 两边同时乘上面+ 2 j c 0 8 。一2 ，作傅立叶变换，得到： 弗+ 2 d r 0 跚) + 嘉踯) = 叫2 职，) 将( 4 1 1 2 ) 的微分形式化成差分形式： 这里 s ”+ 。= 日r s ”+ 6 月s ”一l + c r ( e “) 2 一2 一脚；，2 2 市靠= 一丽1 - b r 万a t ， ( 4 1 1 2 ) ( 4 ，1 1 3 ) 得到受激喇曼散射过程的极化强度的时间响应函数为： 斥( ，) = 占。e ( t ) s ( t )( 4 1 1 4 ) 写成差分形式为： 如果材料中既有色散又存在非线性，那么电位移矢量d 可以写成： ( 4 1 15 ) d ? “= e o c 。e ? “+ 彤“+ 只：“+ d ! “+ 彤“+ 昂“( 4 1 1 6 ) 篇 = 叫j _ ；j ：，科学技术人学研究生院学位论文 4 2 非线性光子晶体徽腔 由于光予晶体微腔支持高q 值的本征模式，具有优秀的光场局域能 力，这些都可以降低非线性效应发生作用的光强阈值。 对于非线性光子晶体微腔，在强光作用下，微腔中非线性材料产生非 线性效应，输出光强可以得到双稳念。 4 2 1 非线性光子晶体微腔结构及实现光学双稳的过程 1 1 】 这晕采用的非线性光子晶体微腔结构如图4 1 所示： 图4 1 二维方形光子晶体波导耦合器结构图 ( r o = 0 2 5 a ”h = 3 5 ，”l = 1 5 缺陷半径分别为，3 、5 3 ) 在上述结构中，线缺陷和点缺陷分别作为传输波导和微腔，以点缺陷 为l 一心构成非线性光子晶体微腔。对于光子晶体微腔而言，在非线性条件 卜，总的介电常数的变化会导致微腔的谐振频率发生偏移。 从输入端输入频率比线性条件下的本征频率小的单频连续波，当输入 功率增大时，微腔内的光场开始增大，波导输出端的输出功率也随着增大， 国防科学技术大学研究生院学位论文 这时由于非线性折射率的存在，使得微腔谐振频率趋近于输入的单频连续 波的频率；当微腔谐振频率与光场频率相同，两者产生共振，此时腔内积 聚的光场急剧增火，波导输出端的输出功率也急剧增大，这时微腔内的光 场又反过来增强非线性光学效应，导致非线性折射率继续增大，微腔的谐 振频率进一步降低：再增大输入功率，输出功率又缓慢增大。 将输入功率先冲高，然后再慢慢降低到零，可以得到输出功率随输入 功率减小的变化路径。当输入功率先冲高，此时微腔的谐振频率比输入的 单频连续波的频率还要低反映在输出功率并没有沿上升过程的突变点原 路径返回；进一步减小输入功率，此时微腔内的光场减弱，作用于非线性 材料的结果是微腔的谐振频率进一步增大当微腔与光场发生共振，此时 微腔内的光场急剧减小，输出功率急剧降低，这时光场又反过来减弱非线 性光学效应非线性折射率继续减小，微腔的谐振频率又增大；再减小输 入功率，输出功率又开始缓慢减小。 4 2 2 计算结果及分析 图4 1 所示的非线性光子晶体微腔结构中，介质柱折射率为7 。= 3 5 ， 背景材料的折射率为h 。= 1 5 ，半径0 = o 2 5 a ，a 为晶格常数：线缺陷介质 柱半径为，3 ；点缺陷介质柱半径为5 3 ：在点缺陷左右两侧各放三个半 径为的介质柱。以点缺陷为中心3 个介质柱的正方形范围内所有的柱子 都具有克尔非线性n ：为三阶非线性系数。计算时空间步长为旦1 2 ，时间步 长为一1 - 。 2 4f 在左侧输入端加入一个宽带源，在微腔内取一点作为探测点，得到线 性条件下的单一本征频率为。= 0 2 6 0 7 ( 2 n l z ) a ( 图4 2 ) 。 图4 2非线性光子晶体微腔本征频率点图 在研究非线性现象的时候，如果电场最强的地方刚好在具有克尔非线 性的介质柱上，则比较容易看到非线性现象的出现，也就是说闽值比较低。 我们以频率为本征频率。= 0 2 6 0 7 ( 2 厢) a 的单频连续波输入，可以看到， 场分彳| j 最强的地力，就是在微腔内的介质柱上( 图4 3 ) 。 图4 3 某一时刻非线性光子晶体微腔电场分布图( = 0 2 6 0 7 ( 2 n r ) a ) 估算这个腔的q 值为4 1 0 。谐振宽度，= ( 2 q ) ，设入射光的频率为 ，并且满足6 0 。一= 3 8 9 【1 1 】，入射光频率和本征频率的差值不能过小， 否则就不能出现双稳态。在输入端输入频率为o ) o = 0 2 5 9 5 ( 2 x c ) a 的单频连 国防科学技术大学研究生院学位论文 续波，输入功率以p o = 1 0 1 0 a n ，( n ：为三阶非线性系数) 为单位。 输入功率为9 6 p o 时，输出端输出功率为8 5 1 0 a n 2 ，即为o 8 5 e o ( 图 4 4 ) 。 图4 4 输入功率为9 6 p o 时的输出功率图 逐渐增大输入功率，可以发现输出功率也随着输入功率的增大而缓慢 增大，当输入功率为1 0 2 5 1 0 ，此时输出功率为1 1 1 0 a n ：，即为1 1 r ； 当输入功率为1 1 只，输出功率突然增大，为5 。l 1 0 a n ：，即为5 1 e o ：再 缓漫增大输入功率，此时输出功率又呈缓慢增大的趋势。 当我们将输入功率以高斯脉冲形式先加到1 4 2 s e o ，然后降到9 r 并一 直持续，则输出功率稳定在5 0 p n ( 图4 5 ) 。 输出 024581 01 2 1 d 1 5 1 0 _ 图4 5输入功率由1 4 2 5 只变为9 晶后的输出功率图 就是晓输入功率先增大后减小，输出功率并不是沿原路径返回的。先将输 加 佰 佃 5 o 巧 防科学技术大学研究生院学位论文 入功率加到1 4 2 s p o ，然后降到7 4 p o 。此时输出功率突降，变为o 5 r ：继 续减小输入功率，得到输出功率缓慢减小。 对不同的输入功率，都有对应的输出功率。这样就可以给出输出功率 随输入功率变化的曲线图( 图4 6 ) 。 输入功率p i n ( p o ) 留4 6输出功率随输入功率变化益线图 从图4 6 可以看出，输入功率值在7 8 只1 2 s e o 内，对应一个输入功率， 输出功率存在两个值，这就是通常所说的双稳态。由这个双稳态，我们很 容易就可以制得光子晶体光开关，输出功率的两个值分别对应开关的“开” 和“关”两个状念。 基于非线性光子晶体微腔的光开关是最简单的结构，它只是由同一束 光同时控制输入输出的，而且这种结构的光开关的输出功率是很低的。 一0d一苦“讲蠡习筇 幽防科学技术人学研究生院学位论文 4 3 非线性光子晶体波导藕合器 在非线性光子晶体微腔中，我们实现了同一束光对输入和输出的控 制。研究非线性光子晶体波导耦合器，是想通过一束光来控制另外一柬光， 对应于非线性光予晶体波导耦合器就是通过改变控制光的光强，实现信号 光从不同的波导出口输出。 4 3 1 非线性光子晶体波导的结构及光控光的实现 1 3 图4 7二维方形光子晶体波导耦合器结构图 ( 屹= o 2 a ，月= 3 4 6 ，拧l = 1 4 5 ，r c = o 7 r ) 结构如图4 7 所示，由两个相邻的波导构成了光子晶体波导耦合器， 两条波导中间的半径略小的一排介质柱为耦合区。所有的介质柱都具有克 尔非线性。控制光和信号光分别沿耦合区和波导输入端输入。在控制光很 弱的情况下，耦合区介质柱的非线性效应不是很明显，此时耦合区的折射 率变化不是很大，相邻两个线缺陷波导发生耦合，信号光就可能从一条波 导耦合到另外一条波导中，沿着输出端的某一个出口输出：在控制光很强 的情况下，耦合区介质柱的折射率变化很大，导致耦合系数盯发生变化， 此时的信号光就可能沿着输出端的另外一个出口输出。 第3 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 4 3 2 计算结果及分析 作为算例，图4 7 中介质柱折射率为= 3 4 6 、半径= 0 2 a ，背景材 料的折射率为n 。= 1 4 5 其中a 为晶格常数。耦合区介质柱的半径= 0 7 。 n ：为三阶非线性系数计算时空间步长为西a ，时问步长为土2 4 詈 完整二维方形光子晶体的t m 模( 电场方向平行于介质柱轴方向) 的 能带如图4 8 所示。 rxmr 图4 8 _ 二维方形介质柱光子晶体t m 模能带结构图 ( r o = o 2 a ，= 3 4 6 ，吼= 1 4 5 ) 从图4 8 可以看出，t m 模第一禁带位于o 2 7 7 7 ( 2 月c ) a 到o 3 2 6 6 ( 2 n r ) a 之间。 在输入端下入口加一个宽带源，在波导耦合器右侧两个出口进行探 测，这样，可以选择输出端上出口输出值大而在下出口输出值小的频率为 输入端的单频源频率，选择的原则是两者的幅值对比要尽量大一点，这样 在输出端两个出口得到的输出值可以分别看作是光开关的“开”和“关”， 频率为o 2 8 9 4 ( 2 嬲) a 的单频连续波刚好满足要求。 以频率为o 2 8 9 4 ( 2 月c ) a 的单频连续波作为信号光，从非线性光子晶体 波导耦合器输入端下入口输入：取禁带中较低的频率为控制光的频率，原 则是控制光和信号光之间的相互影响要小。这里以频率为0 2 7 8 9 ( 2 币c ) a 的 第3 3 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 单频连续波为控制光，从两条波导之间的介质柱即耦合区输入。 专控制光的输入功率为o o l a n 2 ( 行：为三阶非线性系数) ，信号光的输出 主要从输出端上出u 输出，稳定的电场分布如图4 9 所示，此时输出端上 出口的透过率为7 3 6 。 圈4 9弱控制光情况下某一时刻光子晶体波导耦合器中信号光引起的 电场分布图 当控制光的输入功率为0 2 1 a n ，信号光主要从输出端下出口输出， 稳定的电场分布如图4 1 0 所示，此时输出端下出口的透过率为7 7 5 。 里堕型兰丝查叁耋丝塞竺堕兰堡垒苎 图4 1 0强控制光情况r 某一时刻光子晶体波导耦合器中信号引起 的电场分布图 此时强控制光的稳定电场分布如图4 1 l 所示 图4 1 1强控制光引起的某一时刻光子晶体波导耦合器中电场分布图 对比这两种情况，由于非线性的引入实现了输出端两个出口的输出功 率反转，达到了利用一束光控制另外一束光的目的。 4 4 非线性光子晶体微腔中喇曼非线性引起的三倍频效应 纯光学的三阶非线性效应除了克尔效应以外，还有受激喇曼散射。4 2 宵和4 3 节足基j i 克尔效应束实现光学双稳和光控光的，这里我们希望通 过受激喇曼散射