（数量经济学专业论文）基于MCMC的非寿险精算可信性方法研究.pdf

中文摘要 随着中国加入世界贸易组织过渡期的结束，中国金融业基本实现了对外开 放。作为金融业中开放最完全的行业，中国保险业面临前所未有的激烈竞争。如 何合理厘定保险产品的费率，使之既能满足监管要求，又能体现价格竞争力，已 经成为精算技术所要解决的首要问题。本文选择目前非寿险精算领域广泛应用的 经验费率厘定方法一可信性方法进行研究。 最精确可信性与贝叶斯方法关系密切，事实上可信性保费是将风险保费的贝 叶斯估计限定在索赔经验线性组合范围内的一种特殊保费。目前，贝叶斯统计分 析最有效的工具之一就是马尔可夫链蒙特卡洛( m c m c ) 方法，本文尝试将这一 方法用于最精确可信性模型中，从而解决原模型只能给出可信性因子点估计的局 限性。 本文由我国保险业的竞争现状引出费率厘定，分别介绍了非寿险业费率厘定 的基本方法、经验费率厘定的概念，重点分析了经验费率厘定方法中的可信性方 法；然后从历史背景、一般概念、适用范围和计算方法方面研究了可信性方法； 接着讨论了贝叶斯方法在经验费率厘定中的应用，指出了最精确可信性与贝叶斯 方法之间的联系，并提出了将m c m c 方法运用于最精确可信性模型的设想；在研 究了m c m c 方法的具体内容之后，把基于m c m c 的最精确可信性模型用于车险 保单组合经验费率厘定。实证结果表明：基于m c m c 的可信性模型与原模型相比， 既能够给出下期保费的合理预测，又得到了可信性因子和可信性保费的区间估 计，这为精算师根据自身经验进行费率厘定提供了依据。最后，对本文取得的研 究结果、存在的问题以及进一步的研究方向做了总结。 关键词：非寿险精算经验费率可信性方法贝叶斯方法马尔可夫链蒙特卡洛 方法g i b b s 抽样 a bs t r a c t w i t ht h ef i v ey e a rp e r i o da f t e rc h i n a se n t r yi n t ow t oc o m i n gt o a ne n d ， c h i n e s ef i n a n c i a li n d u s t r i e sh a v ef u l f i l l e dt h e i rc o m m i t m e n to fo p e n i n gt o o u t s i d e w o r l do nt h ew h o l e i n s u r a n c e ，w h i c h i st h ec o m p l e t e l yo p e no n ei nf i n a n c i a l i n d u s t r i e s h a st of a c et h ef i e r c ec o m p e t i t i o n t h e r e f o r e ，h o wt om a k er e a s o n a b l e p r e m i u m s w h i c hc a nb o t hs a t i s f yr e g u l a t o r yr e q u i r e m e n to fc h i n a i n s u r a n c e r e g u l a t o r yc o m m i s s i o na n dm a i n t a i nc o m p e t i t i v ei np r i c eh a sb e c o m et h eh i g h l i g h t o fa c t l i a r i a ls c i e n c e i nt h i sp a p e r ，w eh a v eas t u d yo nc r e d i b i l i t ym e t h o dw h i c h i sa n e x t e n s i v e l yu s e de x p e r i e n c er a t i n gm e t h o di nt o d a y sp r o p e r t ya n d c a s u a l t yi n s u r a n c e t h e r ei sac l o s er e l a t i o n s h i pb e t w e e ne x a c tc r e d i b i l i t ya n db a y e s i a nm e t h o d e x a c tc r e d i b i l i t yp r e m i u mi sap a r t i c u l a rc a s ew h i c hc o n f i n e sb a y e s i a ne s t i m a t i o no f r i s kp r e m i u mi nl i n e a rc o m b i n a t i o no fc l a i me x p e r i e n c e s s i n c em c m ct e c h n i q u ei s t h em a i n s 廿e 锄m e t h o di nb a y e s i a ns t a t i s t i c s ，w et e n t a t i v e l yc o m b i n e e x a c tc r e d i b i l i t y m o d e lw i t hm c m ct e c h n i q u ei no r d e rt os o l v et h ed e f i c i e n c yo fp r e v i o u sm o d e l w h i c hc a l lo n l yg i v ep o i n te s t i m a t i o no fc r e d i b i l i t yf a c t o r i nt h i sp a p e r t h es i g n i f i c a n c eo fr a t em a k i n gt e c h n i q u ei si n t r o d u c e df r o mt h e v i e w p o i n to ff i e r c ec o m p e t i t i o n i ni n s u r a n c ei n d u s t r y m e a n w h i l ew ee x p r e s s d e f t n i t i o na n dp r i n c i p l eo fe x p e r i e n c er a t i n gm e t h o d t h e n ，w eg i v e at h o r o u g h e x a m i n a t i o na t c r e d i b i l i t y m e t h o d ，i n c l u d i n ga s p e c t s o fh i s t o r yb a c k g r o u n d ， c o n c e p t i o n ，a p p l i c a t i o na n dc a l c u l a t i n gm e t h o d a f t e ra n a l y s i so fb a y e s i a n m e t h o di n e x a c tc r e d i b i l i t yt h e o r y ，i ti st i m et op u tf o r w a r dt h en e wa p p r o a c h o nu n d e r s t a n d i n g m c m ct e c h n i q u e ，w ea p p l ye x a c tc r e d i b i l i t ym o d e lu s i n gt h et e c h n i q u et oc l a i m so f v e h i c l ei n s u r a n c ep o l i c yc o m b i n a t i o n c o m p a r i n gw i t he x i s t i n gm e t h o d s ，t h en e w a p p r o a c hw h i c hs e c u r e st h er e a s o n a b l eo u t c o m ec a n a l s og i v ei n t e r v a le s t i m a t i o no f c r e d i b i l i t yp r e m i u ma n dc r e d i b i l i t yf a c t o r , w h i c hp r o v i d e sb a s i so fe x p e r i e n c er a t e m a k i n gf o ra c t u a r y f i n a l l y , as u m m a r y i sm a d eo nr e s u l ta n dw e a k n e s so ft h i sp a p e r a sw e l la sf u r t h e rr e s e a r c hi nc r e d i b i l i t yt h e o r y k e yw o r d s ：a c t u a r i a ls c i e n c ea p p l i e dt op r o p e r t y & c a s u a l t y ，e x p e r i e n c er a t i n g ， c r e d i b i l i t ym e t h o d ，b a y e s i a nm e t h o d ，m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l om e t h o d ，g i b b s s a m p li n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞苤鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者繇) 岔是 签字吼尬 年月z d 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：j 豇昙。 导师签名： 彳、 分黟沁 签字日期：彻7 年厂月2 d 日签字日期： d7 年月o p 日 天津大学硕十学位论文 第一章绪论 1 1 我国保险业的现状 第一章绪论 五年前，我国正式加入世界贸易组织，标志着我国的对外开放进程进入新阶 段，开创了我国融入国际经济的新篇章。中国在与世贸组织的谈判中，承诺3 至5 年有步骤地开放中国金融市场，保险业做出了高水平、宽领域、分阶段的开放承 诺。2 0 0 6 年1 2 月l1 日，中国迎来入世五周年，中国在世贸组织的“五年过渡期” 也正式结束。回顾保险业五年来逐步开放的历程，我国保险业利用开放推动行业 改革、促进市场发展，同时加强和完善保险监管，防范和化解开放风险，逐步实 现了从封闭到开放、从局部开放到全面开放的平稳过渡。 ( 1 ) 2 0 0 3 年底开始，外国非寿险公司在华设立营业机构的形式，在原有的分 公司和合资公司基础上，增加了独资子公司。 ( 2 ) 2 0 0 3 年底开始，除有关法定保险业务外，向外资非寿险公司放开所有业 务限制。 ( 3 ) 2 0 0 4 年5 月，中国保监会发布关于外国财产保险分公司改建为独资财 产保险公司有关问题的通知，允许此前已经设立的外国财产保险分公司在符合 一定条件的前提下，改建为独资保险公司。通知发布后，中国保监会共批准四家 符合条件的外资财险分公司改建为独资公司。 ( 4 ) 2 0 0 4 年底开始，对外资保险公司取消地域限制。外资保险公司可在任何 城市申请设立机构，经营保险业务。 ( 5 ) 2 0 0 4 年底开始，除有关法定保险业务外，向外资寿险公司放开所有业务 限制。 ( 6 ) 2 0 0 5 年底，取消外资保险公司的法定分保比例限制。 ( 7 ) 截止目前，除了外资产险公司不得经营机动车第三者责任险、外资设立 寿险公司必须合资且股比不超过5 0 等限制外，保险业基本实现了全面对外开 放，进步加快了我国保险市场与国际的接轨。 伴随我国保险业的全面开放，一些外资保险公司凭借成熟稳健的经营理念、 完善的内控管理手段以及良好的风险管控意识，获得了我国市场的认可，保持了 较快的发展。根据 - 国保险监督管理委员会提供的数据显示，到目前为止，共有 1 5 个国家和地区的4 7 家外资保险机构在华设立了1 2 1 个营业性机构，1 3 5 家外 资保险机构设立了近2 0 0 家代表处。外资保险公司已在1 4 个省、自治区和直辖 天津大学硕士学1 奇：论文第一章绪论 市设立机构和开展业务。1 0 家外资保险公司在4 个中西部城市设立总分公司1 2 个，4 家外资保险公司在东北老工业基地3 个城市设立总分公司5 个；外资公司 保费收入从2 0 0 1 年底的3 3 2 9 亿元人民币，增长到2 0 0 5 年底的3 4 1 2 亿元人民 币，与入世前相比增长了约9 倍；2 0 0 5 年底，外资公司占全国市场的份额为6 9 2 ， 较入世前的1 5 8 增长了5 3 4 个百分点。在北京、上海、深圳和广东四个开放较 早、外资保险公司较为集中的地区，外资保险公司保费收入分别占当地市场份额 的1 9 4 3 、1 7 3 7 、1 0 1 4 和8 8 6 。因此，无论是进入方式、保费收入，还 是市场份额，外资保险机构正在以前所未有的速度加强其在中国保险市场的渗透 力。 随着外资保险机构在中国保险市场的不断扩张，保险业已经成为中国金融业 中开放最全面、竞争最激烈的行业。竞争的加剧势必会体现在保险产品、服务和 价格的每一个方面，这对保险公司的精算水平提出了更高的要求。精算在现代保 险业经营与发展的过程中，起着至关重要的作用。几乎保险业运营的所有重要环 节，如新险种设计、保险费率厘定、责任准备金的计算以及分保额的确定，都必 须通过精算分析处理。 精算技术由国外引入我国只有短短十余年的时间，虽然在制度建设上取得了 不小的成就，但是实践经验相当匮乏，目前中资保险公司精算水平普遍不高。特 别是非寿险精算( 财产保险、责任保险以及意外伤害保险) ，在产品定价、准备 金评估以及偿付能力监管等方面都存在缺陷，加之价格竞争在所难免，如何利用 非寿险精算技术进行费率厘定，使之既能满足监管部门的要求，又能体现出很强 的市场竞争力，这无论是在理论上还是实践上都有重要的意义。 本文以非寿险精算中最常用的经验费率厘定方法一可信性方法为研究对象， 期望能在非寿险精算研究方面做一些工作。 1 2 非寿险费率厘定基本方法 保险定价过程可分为两个方面一建立充分费率与设定实际价格。充分费率是 满足保险公司长期利润目标的费率，而保险公司设定实际产晶价格则还需要考虑 公司的市场份额目标与竞争环境等多方面因素。保险产品价格是建立在允分费率 基础上，却不一定等于充分费率，公司可以根据自身的行销目标进一步设定价格。 本文所说的费率厘定就是建立充分费率的过程。 充分费率是满足保险公司长期利润目标的费率，它是纯保费、营业费刖和利 润三者的加总。纯保费即索赔的期望损失金额，等于期望索赔频率和平均索赔额 的乘积。合理营业费用则取决于保险人经营管理的效率以及营销手段的性质特 天津大学硕士学位论文第一章绪论 征。利润则需考虑投资收益的冲减，以及未来索赔的不确定性和用以抵消这种不 确定性的资金数量。 费率厘定一般有两种基本方法：纯保费法和损失率法。纯保费法得到指示费 率，即能弥补期望索赔损失与费用支出，并能提供期望利润水平的费率。指示费 率是决定充分费率的起点。纯保费法可以表示如下 p f r = 二- - ( 1 1 ) 1 一v q 其中：r 表示每风险单位的指示费率 p 表示纯保费，是由损失经验得到的预测最终损失 f 表示每风险单位的固定费用 v 表示可变费用因子 q 表示利润因子 损失率法得到的是指示费率的变化量。指示费率可由一个调整因子乘以当前 费率得到，调整因子等于经验损失率与目标损失率之比。经验损失率等于经验损 失与均衡已经保费之比。均衡已经保费是以当前费率在整个经验期内计算得到的 已经保费。损失率法可以表示为 r = a r 。( 1 2 ) 其中：r 表示指示费率 r 。表示当前费率 a 表示调整因子，a = w t w 表示经验损失率，w = l ( e r 。) l 表示经验损失 e 表示经验期限内的已经风险单位 t 表示目标损失率，t = ( 1 v - q ) ( i + g ) v 表示可变费用因子或者与保费直接相关的费用因子 q 表示利润因子 g 表示与保费不直接相关的费j 目与损失之比 两种方法适用于不同的实务环境。纯保费法需要严格定义的、一致的风险单 位。若风险甲位不易认定或在各风险单位时问不一致，则纯保费法不适用。例如 在火灾保险中，各风险单位不一定相同，所以不能用于纯保费法。由于损失率法 得到是指示费率的变化，它需要当前费率和保费经验的记录。因此，损失率法不 能用于新业务的费率厘定。 在费率厘定过程中要选择参照的损失经验期，它涉及统计原理以及精算师的 职业判断。般来说，在厘定费率过程f f l 都会选择最近时期的已发牛损失经验， 因为它最能代表当前状况。然而，最近时期的损失经验中包括了很高l ：h f f j j 的未赔 天津大学硕士学位论文第一章绪论 付损失，因此会产生损失进展预测的误差，而选择较远时期的损失经验就可减少 这一误差。如何选择包含充分损失经验数据的经验期，并用其进行费率厘定就是 下一节所要介绍的经验费率厘定。 1 3 非寿险经验费率厘定 在保险业实践中，保险费率的厘定通常采用的是自上而下的方法( t o p d o w n a p p r o a c h ) 。首先，在顶层水平，保险公司关心的是征收足够多的保费以便覆盖其 全部责任，这样需保证全部支出和全部收入至少是平衡的；其次，在底层水平， 保险公司试图在投保人之间公平地分摊保费。为达到这一目的，通常采用一般意 义下的经验费率厘定方法( e x p e r i e n c er m i n gm e t h o d ) 。所谓经验费率厘定方法指的 是，在确定某一投保人的保费时，除了依据风险分担的基本原则，还要考虑其个 人的索赔经验。为了使经验费率厘定方法具体化，下面以改编自文献【l 】的例子来 阐明这一思想。 假设一个保单组合由1 0 位投保人构成。开始，由于没有任何索赔经验数据， 只得假定他们具有等价的风险水平。再假定每一投保人每年至多引发一次索赔， 且索赔额为l 。最初，关于这一保单组合的保费估计为0 2 ，通常称其为集体保费 ( c o l l e c t i v ep r e m i u m ) 。这也是每一投保人在每一年需交纳的保费。这样的估计是 否符合实际情形，需要经验数据予以佐证。为搜集足够的索赔数据，保险公司连 续追踪十年，采集到的全部数据示于表1 1 中。这时可算出总体索赔平均为0 2 3 。 于是有理由认为集体保费0 2 是恰当的。另一方面发现，个体平均a v e 之间则显示 了较大的差异。特别地，投保人i 与a 的索赔记录明显偏高，0 7 与0 6 的比例足以 认为这二人的风险水平要劣于集体的风险水平；相反，投保人g 、h 与j 无索赔记 录，表明他们的风险水平又优于集体的风险水平。这样，尽管总体上说，集体保 费的估计是适当的。不过，若在投保人之间平均地分摊保费则是不恰当的。一般 而言，当保单组合是由风险水平不同的投保人构成时，其组合索赔经验数据会显 示某种程度的非齐质性( h e t e r o g e n e i t y ) 。这时若要在投保人之间公平、合理地分摊 保费，就必须不是依据集体保费平均地分摊个人保费。正确的做法是，对那些个 人索赔经验较差的投保人( 如上例【 1 的投保人i 与a ) 应征收高于集体保费的个人 保费；而对那些个人索赔经验较好的投保人( 如上例中的投保人g 、h 与j ) ，则应 征收低于集体保费的个人保费。换言之，尽管保险公司在顶层水平已正确地估计 出集体保费，但保单组合的非齐质性逼使其在底层水平厘定费率时，要考虑每个 投保人的个体索赔经验。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 o 1 o 70 注：a j 表示1 0 个不同的投保人，a v e 表示个体索赔平均。 目前存在着若干经验费率厘定方法，比如无赔款优待系统( n oc l a i md i s c o u n t s y s t e m ) 和可信性方法( c r e d i b i l i t ym e t h o d ) ，其中运用的最为广泛的就是可信性方 法，它也是本文研究的对象。下面将分别介绍这两种经验费率厘定方法。 1 3 1 无赔款优待系统( n c d 系统) 对于大多数险种而言，风险异质的现象比较普遍，为了避免这种现象，通常 使用的方法是采用某种形式的经验费率，使每一种风险( 或一类风险) 的保费费率 依赖于同种( 或同类) 风险的经验赔付水平，其中机动车辆保险中常见的无赔款优 待系统计费法就是使用经验费率计算保费的一个应用。 无赔款优待系统起源于2 0 世纪5 0 年代中业的欧洲，现在已被世界上大多数 国家接受，在机动车辆保险市场确立了其支配地位。无赔款优待系统通常被简记 为n c d 系统，在欧洲它又被成为奖惩系统( b o n u s m a l u ss y s t e m ) 。该机制是一种 涉及连续保单年度的保费计划，对于上期索赔记录良好的被保险人，在本期给予 保费折扣。 n c d 系统首先要利用一一些评估因子来确定一。个基本保费，这些评估冈子包 括汽车的重量、价格、载重、汽车类型( 私家车还是公司车) 等等，当然还包括承 保的范同，如车损险、第三者责任险或者车上人员险。该基本保费是驾驶员在没 有已知理赔记录时须缴纳的保费，通过所谓的奖惩标准，对“好的”和“差的” 0 l o2 1 1 o2 l l o 2 l 1 o3 1 l l o6 1 1 1 l l 1 n ve ， 2 3 4 5 6 7 8 9 m 舢 天津大学硕士学位论文第一章绪论 理赔记录分别执行奖励和惩罚( 如对于下期保费给予不同的折扣) ，经过一个无 理赔年度，被保险人上升一个台阶，获得较大的奖励；而如果有一个或多个理赔 记录，那么被保险人就要下降一个或几个台阶。 其实n c d 系统是马尔可夫过程的特殊情况。在马尔可夫过程中，随着时间 的改变一个状态会转移到另一个状态。马尔可夫性是指过程具有如下的无记忆性， 过程到达一个特定的状态后再往下一个状态转移的概率不依赖于过程如何到达 当前状态。 一个完整的n c d 系统必须包含三个要素：保费等级、起始组别和转移规则。 其中，转移规则即依据上一年的赔案记录决定在折扣组别间转移的规则，它可以 用转移概率矩阵来描述。以行向量a - ( t ) 来表示时刻t 各个组别保单持有人的分布 状况，p 表示转移概率矩阵( 口。) ，其中a ，表示在时刻t ，组别为i 的保单持有 人于时刻( t + 1 ) 在组别i 的概率，即x ( t + 1 ) = 7 r ( t ) p 。若tj o d ，则在一定的条件 下有，万= n p ，其中y 就是我们通常说的稳定状态下的保单持有人的分布状况。 利用马尔可夫分析，保险人可以求出驾驶员最终处于n c d 系统各台阶上的 概率。同时，马尔可夫分析还帮助保险人判断在确定代表驾驶员实际风险的调整 保费时n c d 系统的效果如何。n c d 系统的最终目的是使每个人缴纳的保费尽可 能地接近于其年理赔额的平均值。 1 3 2 可信性方法( c r e d i b i l i t ym e t h o d ) 可信性方法的发展已有半个多世纪的历史，可信性方法在保险实践中就是根 据历史赔付经验对续期保费进行调整的过程。可信性方法在美国、北欧的应用十 分广泛，美国某些州要求保险公司将其可信性系数向保险监督官报告。在其他国 家，可信性理论的应用相对较少，目前还主要集中在汽车保险中。 可信性方法泛指在获得索赔记录时系统地调整保险费率的各种概念和方法。 可信性方法的出现是由于某些险种缺乏索赔经验造成的。索赔经验不足是由保险 行业保单组合的非齐质性所决定的。以汽车责任险为例，即使是同一牌子，同样 新旧，由同一性别、年龄相近的司机来驾驶，其风险也会有差别。这是冈为还有 其他难以观测的因素在起作用，比如司机秉性或者驾驶技术的不同。 为了避免保单组合的非齐质性，在各国的保险实践中，保险公司都将汽车责 任险的保单组合分为许多子组合。就拿我国2 0 0 6 年7 月1 日开始实施的机动车 交通事故强制保险来说，中国保险监督管理委员会最终批准的交强险费率表所列 车辆大类按照车辆类型、营业性质被分为八个大类，每个大类又被继续细分，最 终被分为4 2 个小类，具体内容见附录【i 】。这样划分的结果导致每个子纽合中 保单个数的减少，索赔的统计数据随之减少。即使如此，每个子组合- l - 仍自非同 6 天津大学硕士学位论文第一章绪论 质性。这一点从具体的索赔记录中很容易发现。那么，是否就应该根据每份保单 过去的索赔数据来确定下年度的应收保费呢? 在很多情况下，针对每份保单的索 赔记录很少，不能满足统计推断的需要。 因此，当某个保单的索赔经验不足，从该保单中获得的数据不充分，就无法 提供风险费率的可靠估计时，根据这种信息厘定的保费就很不可靠。然而，在厘 定保费过程中，保险人可以考虑利用其他相似保单的索赔经验。这就要求一种能 将本保单索赔经验和类似保单索赔经验结合起来的方法一可信性方法。 假设保险人需要根据一组保单的索赔数据来确定投保人未来保费，保险人有 关于该组保单有限的索赔记录，但是在与其相关若干组保单上保险人有更多的索 赔记录，于是问题就转化为如何建立一个经验费率系统来确定下一年的保费，使 得不仅要考虑到该组保单索赔记录还要考虑到集体索赔记录。这里有两个可能的 极端，一个极端是对每组保单投保人收取同样的保费，该保费由数据的总平均数 】，来估计。在齐质保单组合下这个保费是可行的，保单组合的齐质性是指所有的 风险单元具有同样的平均索赔。但是在非齐质保单组合下，那些具有“好”的风 险性质的投保人就会到别的地方去投保，而给保险人留下的只有“坏”风险属性 的成员。另一个极端是对第j 组保单投保人收取的保费应该等于该组的平均索赔 】，在非齐质保单组合下这种保费是可行的，不过只有在每组的索赔记录足够 多的情况下才能实现。第i 组的风险变量具有与其它组风险变量共同的一些属性， 但是它们同时也具有自身特性。因此保单组合一般既不可能是齐质的，也不可能 是非齐质的，综合考虑集体和个体索赔记录来收取保费才是可行的。 可信性方法考虑上述两个极端的加权平均z iy ，+ ( 1 2 ) y ，系数z ，表示第 i 组保单投保人索赔记录在保费厘定中的可信程度，被称为可信性因子。通过这 一公式制定的保费被称为可信性保费，是保险人对投保人收取的下年度保费。具 体来说，可信性方法就是系统考虑投保人个人索赔记录和相关索赔记录，来确定 可信性因子，从而制定投保人下年度所要交纳的保费。 1 4 可信性方法的研究现状 对可信性方法的研究始于1 8 世纪九f 年代末雇主责任险的费率厘定工作。 1 9 1 4 年美国意外伤害精算与统计学会( 即意外伤害精算学会的前身) 成立。同年， 学会通过直接运用相对有限经验来调整费率对劳工赔偿金问题提出异议。这是可 信性方法对意外伤害精算做出的最重要的贡献。m o w b r a y l 6 】在其论文中第。一次提 出了全可信性的概念，这篇论文对何时对数据赋予全可信性定下了标准。这就是 常说的有限扰动可信性。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 w h i t n e y i 7 1 运用正态二项模型引入了最精确可信性。下年度的索赔估计被描 述为某一组别的期望索赔同全体成员期望索赔的可信性因子加权。可信性权重可 以表示为z = p i ( p + k ) ，其中k 代表二项分布和正态分布各自方差的函数。这 个公式成为以后大多数可信性方法研究的基础。 现代精算之父b a i l e y 【8 】将最小二乘法运用到最精确可信性。他同时证明了公 式别+ ( 1 一z ) b 可以从贝叶斯定理中得到，其中z 表示可信性因子，a 表示当前 数据的均值，b 表示先验数据或者索赔经验的均值。b a i l e y 的工作将贝叶斯思想 引入了可信性方法。 m a y e r s o n l 9 】从贝叶斯的角度考察可信性，并为可信性方法基础的构建指明了 道路。b u h l m a n n 【10 】通过最小化e e u ( o ) li 匕 一( a + bj ，) ) 2 得到没有分布限 制的可信性公式，其中( 秒) 表示风险参数为9 时个体风险的均值，表示过去 理赔数据的平均值。b “h l m a n n 和s t r a u b 在均方误差最小的条件下给出可信性 因子的公式z = 挖( n + k ) ，其中n 代表试验次数或者暴露单位数，k 代表索赔条 件方差的期望比上索赔条件期望的方差。上世纪八十年代末随着计算机技术的发 展，贝叶斯方法逐渐成为可信性理论的研究中心。k l u g m a n 1 2 】通过选择每种风险 的参数条件损失分布以及参数的先验分布将贝叶斯分析运用到可信性方法的研 究中。随着统计软件的发展，一些更加复杂的方法被用于可信性方法的研究，其 中一些技术建立在蒙特卡洛模拟方法的基础上。目前对可信性方法的研究集中体 现了对贝叶斯分析的深度运用，另外现存的可信性模型通常只能给出可信性因子 的点估计，这不利于体现费率厘定的灵活性。 1 5 论文的研究对象、方法和结构安排 本文的研究对象是目前非寿险精算中常“j 的经验费率厘定方法一可信性方 法。鉴于目前的b 甜h l m a n n s t r a u b 最精确可信性模型只能给出可信性因子的点 估计，同时考虑到可信性保费是将- 风险保费的贝叶斯估计e 2 ( t 9 ) l ，k ，耳】限 定在样本x ，k ，耳的线性组合范围内的一利，特殊的保费估计。冈此本文尝试将 m c m c 这种目前广泛应用的贝叶斯计算方法引入传统的b 扰h l m a n n s t r a u b 模 型，并将改进后的模型用于车险经验费率厘定，同时对模型效果进行了检验。 本文的剩余部分安排如下：第二章首先回顾了现存的可信性方法，总体上它 可以被分为有限扰动可信性和最精确可信性。有限扰动可信性又可以被分为全可 信性和部分可信性。与部分可信性相比，全可信性是指索赔经验数据足够充分和 稳定，可以川索赔经验的均值j ，作为收取下期保费的依据。在有限扰动可信性模 型r - f ，频率模型被用来决定仝可信性条件下的期望索赔个数以及可信性因子z 。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 在对最精确可信性模型的分析中，先后介绍了b “h l m a n n 单合同模型、修正 b h 扰l m a n n 单合同模型以及经典b uh l m a n n 模型和b uh l m a n n s t r a u b 模型四 种模型形式，并给出了结构参数的估计。第三章分析了经验费率厘定的贝叶斯方 法。主要从贝叶斯分析的角度对未来索赔以及风险保费进行了求解，同时分析了 风险保费的贝叶斯估计和可信性保费的内在联系。通过本章的分析不难发现，可 信性保费是将风险保费的贝叶斯估计日( 秒) l 】：，砭，耳 限定在样本 z ，e ，耳的线性组合范围内的一种特殊的保费估计。因此产生了将m c m c 这 种特殊贝叶斯计算方法引入最精确可信性模型的大胆设想。第四章主要介绍 m c m c 方法，按照小节顺序依次分析了马尔可夫链、蒙特卡洛模拟、m c m c 方 法的基本思想以及g i b b s 抽样。由于m c m c 方法的关键在于构造转移核，而g i b b s 抽样是目前最简单应用最为广泛的转移核构造方法，因此该节又从满条件分布、 抽样过程、收敛条件以及拟合优度的角度详细介绍了g i b b s 抽样。第五章是实证 分析部分，针对包含九个车队的保单组合过去十年的索赔数据，本文用m c m c 可信性方法建立模型进行经验费率厘定。实证结果表明：基于m c m c 的可信性 模型与原模型相比，既能够给出下期保费的合理预测，又得到了可信性因子和可 信性保费的区间估计，这为精算师根据自身经验进行费率厘定提供了依据。数据 处理所用的软件为w i n b u g s ( b a y e s i a na n a l y s i su s i n gg i b b ss a m p l i n g f o r w i n d o w s ) 。最后，对本文取得的研究结果、存在的问题以及进一步的研究方向做 了总结。 1 6 本章小节 本章从我国保险业全面开放的现状谈起，通过开放后竞争加剧的事实凸现非 寿险精算的研究意义。然后，介绍了非寿险精算中常用的费率厘定方法、经验费 率厘定方法，其中可信性方法是最常用的经验费率厘定方法，同时也是本文的研 究对象。接着介绍了可信性方法的研究现状，并在本章结尾处给出了论文的研究 方法和结构安排。 9 天津大学硕士学位论文第二章非寿险经验费率厘定的可信性方法 第二章非寿险经验费率厘定的可信性方法 本章将会对可信性方法进行深入研究，并给出不同模型条件下可信性因子和 可信性保费的求解方法。现存的可信性方法可以分为有限扰动可信性和最精确可 信性，有限扰动可信性的概念要远早于最精确可信性。在有限扰动可信性理论框 架里面，频率模型被用来计算能够产生全可信性和可信性因子的索赔次数的期望 值。最精确可信性和贝叶斯统计推断密不可分，到目前为止，它已经先后演变出 b “h l m a l , l ? l 单合同模型、修正b h u l m a n n 单合同模型以及经典b u h l m a n n 模型 和b 甜h l m a n n s t r a u b 模型四种模型形式。可信性方法的实用性体现在可以根据 经验数据实施估计，所以本章最后对b u h l m a n n 模型和b 甜h l m a n n s t r a u b 模 型中参数，v ，a 实施了非参数估计。 2 1 有限扰动可信性 有限扰动可信性是量化可信性问题的第一次尝试。m o w b r a y 6 j 对此主题进行 了若干论述。他的核- 1 5 , 思想是仅依据投保人自身的索赔经验来确定其保费，从大 数原理考虑，为使这样确定的保费是可信任的，始终要求自身的索赔经验数据是 稳定的，即要求自一周期至另一周期索赔经验数据出现的起伏是适中的，有限扰 动可信性有此得名。w h i t n e y 7 】提出的部分可信性的概念要求在确定保费时，需 要个人索赔经验数据与保单组合索赔经验数据之间谋求一种平衡关系。这一概念 在形式上虽已和最精确可信性相似，可视为迈向最精确可信性概念的第一步，但 实质上仍和最精确可信性迥异，它的立足点仍在于索赔经验数据的稳定性。关于 这个主题的另一篇经典论文f q b a i l e y i8 j 提出，这篇论文确定了许多将经典统计思 想片j 于可信性方法的方法，其中包括共轭贝叶斯分析、最小平方近似和回归。本 文对可信性方法的讨论是以最精确可信性为主的，所以本节只是给出有限扰动性 的定义和简甲推导。 首先需要定义本节讨论所涉及变量的数字特征，假定y 为一个保单持有人在 过去时间期问t 的索赔或者损失，当然也可以把y 定义为某费率厘定计划里一个 保单组合中第t 个保单的损失，其i ，t = 1 ，2 ，3 t 。另外e ( z ) = a ，v a t ( y , ) = 盯2 即 索赔的均值和方差是和时间无关的。过去索赔的平均数月jy = ( z + e + + 巧) 丁 来表示。假设r 是独立的，那么有e ( y ) = ，v a t ( y ) = 仃2 t 。现在的i 口j 题是在 l o 天津大学硕士学位论文第二章非寿险经验费率厘定的可信性方法 给定过去索赔经验的前提下，如何估计下期索赔。 2 1 1 全可信性 p ( 一，y - 1 t r ) p( 2 - 1 ) 尸捌学卜 亿2 ， 令y ：r p 4 t ，并且定义y 。 圹呼卜 虬表示满足上述概率形式y 的下确 y p c 2 3 ， 满足 蚱i = p ) 其中厶= ( y 。r ) 2 ，可见全可信性出现当 脚= 等等 求解t ，得到全可信性要求的暴露单位个数 丁凡( 旦) 2 如果，t 有足够大，由中心极限定珲可知， 兰车：z r n ( 0 ，1 ) o q t ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 岳 者 = 或厅 ， p r 一，即二 i 一 盯 仃一 厅 r为件条的 行信 可全以 所 天津大学硕士学位论文第二章非寿险经验费率厘定的可信性方法 因此，式( 2 4 ) 变为 p ( i z r i s y p ) = p ( 2 - 9 ) 其中，乙服从标注正态分布，j ，。可以由正态分布表得到。 例如，如果p = 0 9 5 那么y o 9 5 = 1 9 6 ，同时如果，= 0 0 5 ，那么 九= ( y 。，) 2 = 1 5 3 6 6 4 所以t 1 5 3 6 6 4 0 2 2 ，其中，仃需要被估计。 由于r 和p 的选择具有很大的弹性，因此在不同的险种业务中完全可信性要 求的暴露单位个数t 有不同的结果。在加拿大，完全可信性要求的暴露单位个数 t 火灾险最高，汽车险次之，责任险最低。在考虑索赔额的影响时，在不同的险 种中有不同的索赔额分布形式，这是造成上述差异的原因。另外，国外一些保险 公司在进行汽车险费率厘定时，将同一暴露单位数t 既用于常数索赔额的情况同 时用于考虑索赔额和索赔次数的情况，只需要选择不同的r 和p 的组合即可。 2 1 2 部分可信性 如果全可信性是不成立的，即z i 。这种情况下制订保费时，我们需要给z 恰当的值来反映过去经验数据y ，同时也要反映先验信息数据的均值h 。一种方 法就是考虑经验数据和先验信息数据的加权平均，即通过可信性保费 p = z 】，+ ( 1 一z ) h( 2 1 0 ) 其中可信性因子z 【0 ，1 】需要被确定。 出于索赔数据稳定性的考虑，令p 的方差等于式( 2 6 ) 给出的九，即 v a r ( p ) = 2 厶= v a r z y + ( 1 一z ) 圩】= z 2 v a r ( y ) = z 2 仃2 t 因此，当兰三 1 时，有 o r 、气 z 一兰o r 任 ( 2 1 1 ) v 瓜 由式( 2 5 1 鲁 1 时，索赔经验被赋予蜘信性。 所以，部分可信性因子z 可以概括为下式 z = 忙剧 仁 其叶1 九= ( y 。r ) 2 。 从上面的讨论中可以看到，有限扰动可信性冈予z 仪仪与y 的分布有关， 而把先验信息数据h 看作常数。当然h 的米源和可靠性程度可能会影响r 和p 的选择，进而影响z 值。一般来说，h 应是在没有得到经验数据时的最优估计， 天津大学硕士学位论文第二章非寿险经验费率厘定的可信性方法 也可以由其他多个估计合并得到。总之，对h 的选择并没有明确的规定，因而 精算师可以有较大的灵活性。而在最精确可信性理论中对此有较为明确的限定， 在下一节中将详细介绍最精确可信性理论。 2 2 最精确可信。眭 最精确可信性概念的诞生与贝叶斯统计的普及有关。由于贝叶斯学派直至本 世纪五十年代才在统计界形成一种足以和频率学派抗衡的态势，所以就不难解释 最精确可信性这一概念迟出的现象。热衷贝叶斯统计的b a i l e y 是提出最精确可信 性模型的先驱者，然而对现代可信性理论贡献最大的学者则是瑞士精算学家 h a n sb uh i m o l l n 。他提议把风险保费的贝叶斯估计限制在观察值的线性组合的 范围内，这既便于计算，也利于理解。最精确可信性是在均方误差最小的意义下 导出可信性保费的计算公式，因此在某种意义下是一种最接近真实风险保费的估 计，最精确可信性由此得名。 b u h l m a n n 给出了估计e + 。( 秒) ly 1 ，y 2 ，y - t 的一种替代方法，其中y t + 。 表示下一期的索赔，所+ ，( 曰) 表示e ( y t + 。1 0 = 0 ) ，以下将其称为风险保费。o 是 费用等级中用来描述每个保单持有人风险水平的风险参数，可以指定o 的分布密 度为n - ( o ) 。b uh l m a n n 将e 嘛+ 。( 秒) iy 1 ，y 2 ，y t 】的估计限制在样本x ，k ，耳 的线性非齐次估计量+ x + + 坼耳中，然后使均方误差最小的估计即为最 优估计。 2 2 1b u h l m a n n 单合同模型 可信性模型中通常称随机变量 为风险y 的风险参数。风险参数o 的不同 取值日可用来刻画同一类型风险中的不同风险特征。例如在汽车保险中，可以用 不同的曰来表示车主的性别、年龄以及驾驶技巧等风险特征。 给定风险参数o 条件下，每个保单持有人过去的索赔y = ( x ，耳) 有相同 的均值和方差，并且相瓦独立。