（运筹学与控制论专业论文）向量变分不等式开映射定理和共轭公式的推广.pdf

向量变分不等式，开映射定理和共轭公式的推广 运筹学与控制论 研究生罗雪萍指导教师何诣然 论文摘要：向量变分不等式，开映射定理和共辘公式在分析学中都占有重要的地位， 本文对这三类问题进行了研究全文共三章，具体内容如下： 在第一章，我们考虑了在赋范空闻中，类具有集值映射的广义强穗量似变分不等 式解的存在性问题首先，我们证明了在伪单调假设下，这些广义强向量似变分不 等式解的存在性结果其次，我们还给趱了这些广义强向量似变分不等式在无单调 条件假设下解的存在性结果。 在第二章，我们研究了关于凸映射的开映射定理首先，我们在赋范空间中，推广了 完备图的凸映射的开映射定理。其次，我们还推广了在可度量仡拓扑线性空阉中， 完备图的线性映射是开映射的结果 在第三章，我们研究了在赋范空间中，真凸下半连续函数与线性映射结合的共轭公 式的推广作为应用，我们还讨论了闭凸集在线性映射下的象是闭集 关键词：广义强内量耋羹变分不等式，m i n t y 弓l 理，k k m 映象，伪单调，k y 引理，开映射定理，完备，第二纲，共轭，真凸下半连续函数，线性映射，闭 性。 第i 贾，共：；岛页 t h eg e n e r a l i z a t i o no fv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，o p e n m a p p i n gt h e o r e ma n dc o n j u g a t ef o r m u l a e m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s p o s t g r a d u a t e ：l u ox u e p i n gs u p e r v i s o r ：h ey i r a n a b s t r a c t ：v e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，o p e nm a p p i n gt h e o r e ma n dc o n j u g a t ef o r m u l a ep l a yi m p o r t a n tr o l e si na n a l y s i s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h e s e p r o b l e m s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i ti so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r 1 ，w ec o n s i d e re x i s t e n c eo fs o l u t i o n st og e n e r a l i z e ds t r o n gv e c t o r v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e sf o rs e t v a l u e dm a p p i n g si nn o r m e ds p a c e s f i r s t l y , w ee x t e n dt h a tt h es o l v a b i l i t yf o rg e n e r a l i z e ds t r o n gv e c t o rv a r i a t i o n a l l i k ei n - e q u a l i t i e sw i t hp s e u d o m o n o t o n i c i t ya s s u m p t i o n s e c o n d l y , t h es o l v a b i l i t yr e s u l t s f o rg e n e r a l i z e ds t r o n gv e c t o rv a r i a t i o n a l - h k ei n e q u a l i t i e sw i t h o u tm o n o t o n i c i t y a s s u m p t i o na r ea l s op r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w eg e n e r a l i z et h eo p e nm a p p i n gt h e o r e mc o n c e r n e dw i t hc o n v e x m a p s f i r s t l y , w ep r o v et h a tt h eo p e nm a p p i n gt h e o r e mt os i t u a t i o n sw h e r e s p a c e sa r en o r m e da n dt h e 留a p l l so fc o n v e xm a p sa r ec o m p l e t e s e c o n d l y ，i n m e t r i z a b l et o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ，t h er e s u l t sf o rl i n e a rm a p sw i t hc o m p l e t e g r a p h si sa no p e nm a p p i n ga r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，w es t u d ys o m eg e n e r a l i z a t i o n sc o n c e r n e dw i t ht h ec o n j u g a t e f o r m u l a ef o rt h ec o m p o s i t i o no fap r o p e rc o n v e xl o w e rs e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n w i t hal i n e a rm a p p i n gi nn o r m e ds p a c e s a sa p p l i c a t i o n s t h ec l o s e d n e s s c r i t e r i o n sf o rl i n e a ri m a g eo fac l o s e dc o n v e xs e ta r ed i s c u s s e d k e yw o i d s ：g e n e r a l i z e ds t r o n gv e c t o rv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e s ，m i n t y s l e m m a ，k k mm a p p i n g ，p s e u d o m o n o t o n e ，k yf a nl e m m a ，o p e nm a p p i n g t h e o r e m ，c o m p l e t e ，t h es e c o n dc a t e g o r y , c o n j u g a t e ，p r o p e r c o n v e xl o w e r s e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n ，l i n e a rm a p p i n g ，c l o s e d n e s s 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师鱼主旨憝指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供 检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密 后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 论文作者签名： 弦彳 2 0 0 8 年歹月2 弓日 己i 言 ji 目 向量变分不等式，开映射定理和共轭公式在分析学中都占有重要的地位，其 理论f 得到不断发展本文对这三类问题的某些方面进行了研究 变分不等式问题在一定条件下等价于一个优化问题，在经济学与管 理科学中起着非常重要的作用最经典的变分不等式问题是h a r t m a n - s t a m p a c c h i a 4 5 在上个世纪6 0 年代提出来的，随后变分不等式问题作为一个 新的研究课题受到广泛地关注而随着古典变分不等式理论和应用的不 断深化，人们自然地想到把古典变分不等式中的映象由“标量”值推广到“向 量”值，在空间中加上特殊的结构，也能保证原来古典变分不等式的形式自 从g i a n n e s s i 1 5 于1 9 8 0 年在有限维空间中引入向量变分不等式以来，已有很多 学者对此问题做了深入地研究( 见 1 1 4 ，2 5 ) c h e n 和h o u 1 4 】总结了典型的向量 变分不等式解的存在性的相关结果，并提出了一个公开问题一一强向量变分不等 式解的存在性问题，已被f a n g 和h u a n g 在【8 ，2 曩 中解决目前，有关强向量变分不 等式的研究结果和弱向量变分不等式相比不是那么丰富，值得继续进行更深入 地研究另一方面，似变分不等式是变分不等式的一种推广形式，与非凸规划问 题之间密切相关似变分不等式的概念最初出现在 4 4 中，随后许多学者对它进 行了大量的研究，其中向量似变分不等式作为似变分不等式的推广之一，已经 成为一个重要的研究对象( 见 2 ，3 ，6 ，7 ，9 ，1 2 ，1 6 】) ，一些学者将具有单值映象的 向量似变分不等式推广了到映象是集值的情形( 见【6 ，4 1 - 4 3 1 ) 广义强向量似变 分不等式是向量似变分不等式的推广形式，据我们所知，之前对集值映象的广 义强向量似变分不等式的研究结果相对颇少因此，研究集值映象的广义强向 量似变分不等式解的存在性问题是一项重要而有意义的工作在本文的第一章， 我们在赋范空间中引入并研究了一类具有集值映象的广义强向量似变分不等式 问题首先，利用广义的向量型m i n t y 己j i 理，在伪单调假设下，证明了这些广义强 向量似变分不等式解的存在性结果其次，我们还给出了这些广义强向量似变 分不等式在无单调条件假设下时解的存在性结果 开映射定理是泛函分析中一个非常经典的定理，对它的研究，各国的数 第1 页，共：；s 页 引言 学工作者一直在不懈地努力开映射定理最初是为了解决算子方程的求解问 题被引入的2 0 世纪早期，波兰数学家b a n a c hs 在b a n a c h 空间中提出了著名 的开映射定理随后这一定理被推广到p 空间，即从f 空间到p 空间上的连 续线性映射是开映射( 见 2 0 】) ，在此定理中对空间完备性的要求是必不可少的 而r o d o r i g u e s 等 2 3 通过去掉空间的完备性，对此做了进一步地改进，得到了在 可度量化拓扑线性空间中，完备图的线性映射是开映射的推广此外，在 2 1 中 有闭凸图的集值映射在b a n a c h 空间中的开映射定理在本文的第二章，我们改 进了 2 1 】的结果，推广了在赋范空间中，完备图的凸映射的开映射定理其次，我 们还推广了 2 3 】中的相关结果，得到了一种更一般的情况 在数学规划的对偶理论中，函数及其共轭函数在解决某些实际问题时 发挥着重要的作用利用二者的关系，我们可以把涉及某一函数的问题转 化为与其共轭函数有关的对偶问题加以解决有关凸函数及其共轭函数的 对偶理论，众多学者已对此进行了研究并得到了很好的结果( 见f 1 7 - 1 9 ，2 3 ， 2 9 3 2 1 ) 一个为我们所熟知的共轭公式是b a n a c h 空间中，在一定的限制条 件下，两个真凸下半连续函数，与9 之和的共轭等于它们共轭的卷积下确界， 即( ，+ 夕) = 广v 夕a t t o u c h 等 1 9 】在自反b a n a c h 空间中，给出了一个几何限制 条件保证( ，+ + 夕+ ) + = f v g 成立，并说明了在不一定自反的b a n a c h 空间中，此 限制条件不是充分条件而当我们令，与夕均为闭凸集的指示函数时，+ 与g 。之 和的共轭问题就转化成两个闭凸集之和的闭性问题b e a u l i e u 等 1 8 在不一定 自反的b a n a c h 空间中，给出了两个闭凸集之差是闭集的结果，实际上就是一 个共轭问题作为包含( 厂+ 夕) + = 广v 夕+ 的另一个共轭公式表述为b a n a c h 空间 中，在与其类似的限制条件下，真凸下半连续函数夕与线性映射a 结合的共轭等 于夕4 在a 4 下的象，即( 夕oa ) = a g 相似地，在自反b a n a c h 空间中有一个几 何限制条件使( 夕oa ) + = a g 成立在本文第三章，我们在赋范空间中，给出 了( 夕oa + ) = a g 在一种新的限制条件下成立作为应用，我们改进了 2 1 】定 理1 5 6 ，得到了在赋范空间中，闭凸集在线性映射下的象是闭集，推广了 1 8 】中 相应的结果 第2 页，共澄页 第一章广义强向量似变分不等式解的存在性 1 1预备知识 除特别说明，本章中我们总是假设x ，y 是赋范空间，l ( x y ) 表示全 体x 到y 的连续线性映象的集合，当y = r ，l ( x ，y ) 是x _ h 的对偶空间x + 对任意的z x 和u l ( x 】，) ，我们记 ( z ) 为( 乱，z ) kcx 是非空闭凸 集，s ，t ：k 一2 l ( x ，y ) 及n ：l ( x ，y ) l ( x ，y ) _ 2 l ( x , y ) 是集值映象，其 中2 l ( x ，y ) 表示l ( x ，y ) 中的一切非空子集族卵：k k _ x 及h ：k k y 是 向量值映象c ：k _ 2 】7 是集值映象使得对任意的z k ，c ( x ) cy 是闭凸尖 点锥且i n t c ( x ) d 称g ( z ) 是闭凸尖点锥，如果c ( z ) 是闭集且以下的条件成立： ( i ) a c ( z ) cc ( z ) ，v a 0 ； ( i i ) c ( x ) + c ( x ) cc ( z ) ； ( i i i ) c ( x ) n ( 一c ( z ) ) = ( o ) c ( x ) cy 可诱导偏序关系“c ( ) ”和“菇c ( z ) 如下：对任意的z ，y y ， z c ( ) y 兮y x c ( x ) 而 z 菇c ( z ) y 兮y zgc ( z ) 我们总是称( r c ( z ) ) 是由c ( z ) 诱导的一个序赋范空间 我们考虑以下问题： 找向量z o k ，存在s s ( x o ) 和t t ( x o ) ，使得 ( g ( s ，) ，7 j ( 可，z o ) ) + h ( y ，x o ) 垡- i n t c ( x o ) ， v y k ，( 1 1 1 ) 找向量z o k ，存在s s ( z o ) 和t ( x o ) ，使得 ( n ( s ，t ) ，叩( y ，x o ) ) + h ( y ，z o ) 垡- ( c ( z o ) o ) ， v y k ( 1 1 2 ) 第3 页，共：j ? 、页 第一章广义强向量似变分不等式解的存在性 上述问题( ! ，j ，j ) 与( ! ， 2 ) 分别被称为广义弱向量似变分不等式( g v v l i ) - 与广义 强向量似变分不等式( g s v v l i ) 一些特例： 例1 如果n ：l ( x ，y ) 一2 l ( x , y ) 是集值映象且n = i ，其 中是关于l ( x ，y ) 的恒等映象，那么( ：，j ) 退化为以下向量似变分不等 式( 见c h i n a i e 等 6 】) ： 找向量= i ：o k 使得 ( t ( z o ) ，7 7 ( 可：x o ) ) + h ( y ，x o ) 垡- i n t c ( x o ) ： v y k ，( 1 1 3 ) 而( ：，1 2 ) 退化为以下向量似变分不等式： 找向量z o k 使得 ( t ( x o ) ，7 7 ( 剪：x o ) ) + h ( y ，x o ) g - ( c ( z o ) ( o ) ) ， v y k ( 1 1 4 ) 例2 如果n ：l ( x ，y ) _ l ( x ，y ) ，t ：k l ( x y ) ，c ：k _ 呻y 都是 单值映象，且c ( x o ) = d ，其中dcy 是闭凸尖点锥，那么( ；i ：) 与( ji ，；) 分别 退化为以下广义弱向量似变分不等式( g w y v 丁，) 与广义强向量似变分不等 式( g v v t i ) ( 见l e e 等【9 】) ： 找向量z o k 使得 ( t ( x o ) ，叩( 可，z o ) ) + ( ，z o ) 菇i n t d0 ， v y k ，( 1 1 5 ) 其中a 垂讹d6 表示b agi n t d ， 找向量z o k 使得 ( t ( x o ) 7 7 ( ：z o ) ) + h ( y ，z o ) 菇d f o ) 0 v y k ，( 1 1 6 ) 其中凸菇d o ) 6 表示b agd o ) 例3 如果对任意的z ，y k ，叼( 可，z ) = y z 和h ( y ，z ) = 0 ，那 么( ，i 一) 与( i ，l ，矗) 分别退化为以下( 弱) 向量变分不等式( v v i ) - 与强向量变分 不等式( s v v i ) ( 见f a n g 和h u a n g 8 ) ： 找向量z o k 使得 ( t x o ，y x o ) 菇讯t d0 ， v y k ， ( 1 1 7 ) 找向量z o k 使得 ( t z o ，y z o ) 菇d o ) 0 ， v y k ( 1 1 8 ) 第4 页，共：，一页 第一章j “义强向量似变分不镣式解的存= 芒e 性 特例l 一3 表明在问题( ；) 与( 。；2 ) 中，g v v l i 与g s v v l i 为以上这一类问题 的研究提供了更为一般的情况 本文的冒的是涯明以下四种g s v v l i 的解的存在性问题： 问题( 1 ) ：找向量x 0 k ，存在s s ( x o ) ，t t ( x o ) 使得 n ( s ，) ，蛩( 爹，x o ) 专h ( y ，2 0 ) 垡- ( c ( x o ) o ；) ，v y k 。 问题( 2 ) ：找向量x o k 使得对任意的y k ，p s ( 可) ，q t ( 剪) 有 n ( p ，擘) ，霉咄z o ) + h ( y ：z o ) 鐾- ( c ( z o ) o ) ) 。 问题( 3 ) ：找向量x 0 k 使得对任意的y k ，p s ( 夕) ，q r ( 秒) 有 ( n i p ，窖) ，露( 萝，x o ) ) + h ( y ，x o ) 冬c ( x o ) 问题( 4 ) ：找向量z o k 使得对任意的y k ，p s ( 秽) ，q ( 掣) 有 ( n ( p ，i ；) ，7 l ( x o ，可) ) + h ( z o ，y ) c ( 拶) 现在我们给出以下概念和雩| 理。 定义1 1 1 集值映象f ：k 一2 y 称为c ( z ) 一凸，如果对任意的z ，y k ；f 口t 【0 ，王j 有 ( 1 一t ) f ( x ) 十t f ( y ) 墨尸( ( 1 一t ) x + t y ) 十e ( z ) ， 其中e f z ) 是y 中的闭凸尖点锥。 定义1 1 2 设x ，y 是赋范空间集值映象( ，) ：l ( x ，y ) l ( x ，y ) _ 2 五( x ，1 j 称为关于第一变元是连续的，如果对任意的2 ，爹l ( x ，y ) ， 当忙一y l l _ o ，有l t y ( x ，) 一y ( y ，) 0 _ o 类似地，我们可以定义关于篇二变元的连续性。 弓l 理l 。1 1 ( n 耐l e r 定理) 设( x ，”黔是赋范空间，c b ( x ) 表示x 中的一切菲 空有界闭子集的族，日是c b ( x ) 上e 扫d ( u ，u ) = 一u i l 诱导l 勺h a u s d o r f f 度量，定 义为 h ( u ，v ) = m a x ( s u pi 鲢l | u 一 i i ，s u pi n fl i 札一秽l | ) 1 配露 , v c b ( x ) u u vw y u e u 如果帮y 是x 中的紧集，那么对任意的u u ，存在v v 使得| l 程一v l | 日( hy ) 定义l 。1 3 设x ，y 是赋范空蒯紧值的集值映象t ：k _ 2 l ( x , y ) 称 为在k 上是弘半连续，如果对任意的z ，y 毯k ，映射t 一( ? ( z + t ( y 一 第5 页，共：；h 页 第一章j “义强向量似变分不等式解的存在性 z ) ) ，丁( z ) ) 在0 + 是连续的，其中h 是定义在c b ( l ( x ，y ) ) 上的h a u s d o r 踱量 定义1 1 4 设k 是拓扑线性空间x 中的非空子集，那么集值映象f ：k _ 2 x 称为k k m 映象，如果对任意的有限集ack ，有c o n v acf ( a ) ，其r 辛c o n v a 表 示a 的凸包，h _ f ( a ) = u f ( z ) ：z 4 ) 引理1 1 2 ( k yf a n 引理) 设k 是h a u s d o r f f 拓i 扑线性空间x 中的非空子集 设集值映象f ：k _ 2 k 是k k m 映象，再设对每一z k ，f ( z ) 是k 中的闭集，且 至少存在一点z o k ，使得尸( z o ) 是k a a 的紧集，则 nf ( x ) d 霉k m i n t y j j i 理给出了当映象是单调时，解决变分不等式问题的一个重要工具， 见 1 - 6 】经典的m i n t y 引理如下： 引理1 1 3 ( m i n t y 引理) 设x 是自反巴拿赫空间，k 是x 中的非空闭凸子集 且x + 是x 的对偶空间设t ：k _ x + 是单调半连续映象则存在z o k 满足： ( t ( x o ) ：y x o ) 0 ，v y k ； 当且仅当 ( 丁( 可) ，y x o ) 0 ，v y k 定义1 1 5 称s ，t ：k _ 2 l ( x ，y ) 为 ( i ) 关于是7 7 一hi 型伪单调当且仅当对任意的z ，y k ，存在s s ( z ) 和t 丁( z ) 使得对任意的p s ( 箩) 和口t ( y ) ， ( n ( s ，t ) ，7 7 ( 可，z ) ) + h ( y ，z ) 垡一( c ( z ) o ) 兮( n ( p ，口) ，7 7 ( ，z ) ) + h ( y ，z ) 譬一( c ( z ) o ) ) ( i i ) 关于是叩一九i i 一型伪单调当且仅当对任意的z ，y k ，存在s s ( z ) 和t 丁( z ) 使得对任意的p s ( y ) 和q 丁( 可) ， ( n ( s ，) ，叩( z ) ) + ( ，z ) g 一( c ( z ) o ) ) 专( n ( p ，g ) ，叼( 可，z ) ) 4 - h ( y ，z ) c ( z ) ( i i i ) 关于是7 7 一hi i i 一型伪单调当且仅当对任意的z ，可k ，存在s s ( z ) 和 t ( z ) 使得对任意的p s ( 可) 和口丁( 可) ， ( ( s ，t ) ，7 ：( y ，z ) ) + h ( y ，z ) 垡一( c ( z ) o ) ) 第6 页，共；“页 第一章，。“义强向量似变分不等式解的存在性 号( n ( p ，g ) ，叩( z ，可) ) + h ( x ，y ) c ( 可) 1 2 广义强向量似变分不等式在伪单调条件下解的存在性 本节中，我们将证明利用k yf a n 引理$ 1 n a d l e r 定理证明伪单调集值映象的 广义强向量似变分不等式解的存在性 为了建立问题( 1 ) 解的存在性结果，我们首先需要证明以下广义的向量 型m i n t y 芒jl 理 引理1 2 1 设x ，y 是赋范空间s ，t ：k _ 2 l ( x , y ) 是日一半连续且关 于是卵一hi 一型伪单调的非空紧值映象假设满足以下条件： ( i ) n ：l ( x ，y ) xl ( x ，y ) 一2 l ( x , y ) 分别关于第一变元和第二变元是连续的； ( i i ) 对每一个固定的z ，y k s d z l ，z 2 l ( x ，y ) ，集值映象 y 一( n ( z 1 ，z 2 ) ，7 7 ( 可z ) ) + h ( y ，z ) 是c ( z ) 一凸； ( i i i ) 对每一个z ，y k ，使得对任意的z 1s ( y ) i , z 2 丁( 可) ， 有 n ( z l ，z 2 ) ，7 7 ( z ，z ) ) + ( z ，x ) 一c ( 。) ； ( i v ) w ：k 一2 y 定义为w ( z ) = y 一( c ( z ) ( o ) ) 在y 是闭的 则问题( 1 ) 与问题( 2 ) 是等价的 证明：因为s ，t ：k _ 2 l ( x , y ) 是关于j 7 v 是7 7 一hi 型伪单调，因此问题( 1 ) 的 任意解也同时是问题( 2 ) 的解 相反地，假设我们能找到z o k ，使得对任意的y k ，p s ( 可) ，q 丁( y ) ， 有 ( n ( p ，g ) ：叩( ! ，x o ) ) + h ( y ix o ) 霪- ( c ( x o ) 【o ) ) 对任意的y k ，令y a = a y + ( 1 一a ) z o ，0 a 0 使得对任意的z i v ， z l s ( z ) 和z 2 丁( z ) ，且i i = r l l = 7 有 ( n ( z t ，勿) ，7 7 ( o ，z ) ) + h ( o ，z ) - ( c ( x ) o ) ) ， ( 1 2 1 7 ) 则问题( 1 ) 成立 证明：设耳：= z ：l i * l i 7 ) 由定理1 2 1 知，存在“kns r ，s ，s ( z ，) ， 0 t ( z ，) 使得 ( ( s ，t ，) ，7 7 ( 可，x r ) ) + h ( y ，z ，) 垡一( c ( z r ) o ) ) ，v y k nb ， ( 1 2 1 8 ) 第1 2 页，共页 第一章j 义强向量似变分不等式解的存在性 在( ：，、) 中取y = 0 ，有 ( n ( s ，t r ) ，叩( o ，x r ) ) + ( o z ，) g 一( c ( z ，) ( o ) ) ( 1 2 1 9 ) 结合( ! ：i 了) 和( j ，2 1 j ) ，我们有忙，i i 7 对任意的z k ，取a ( 0 ，1 ) 足够地小使得a = a z - i - ( 1 一a ) z ，kn b r 由( 。二：t ) 可知 ( n ( s ，。t r ) ，r l ( z x ，岛) ) + ( 2 a ，岛) g 一( c ( z ，) o ) ) ( 1 2 2 0 ) 由( i i ) ，我们有 a 【( ( s ，：t r ) ，7 7 ( z ，x r ) ) + h ( z ，x r ) 】+ ( 1 一a ) 【( ( s ，? 0 ) ? 叼( z ，z ，) ) + h ( x ，x r ) ( n ( s ，t r ) ，叩( z a ，x r ) ) + ( z a z ，) + c ( z ，) ( ，c ，i ：) 下面我们将证明 ( g ( s ，t r ) ，r l ( z a ，x r ) ) + ( 钡，x ，) + c ( x ，) 一( c ( z ，) o ) ) ( 1 2 2 1 ) 事实上，若不然，则 ( n ( s ，t r ) ，叩( a x r ) ) 4 - h ( z x ，z ，) + c ( z ，) 一( c ( 研) o ) ) 这样， ( n ( s ，? t r ) ，叩( a ，x r ) ) + ( 钡，z ，) - ( c ( z ，) o ) 一c ( x ，) = 一( c ( z ，) o ) ) ， 与( ，2 ) 产生矛盾因此，( 12 ，2j ) 成立 下面我们将证明 ( n ( s ，o ) ，7 7 ( ：，z r ) ) + h ( z ，z ，) 垡一( c ( z ，) o ) ) 事实上，若不然，则 ( n ( s ，t r ) ，叼( ：，x r ) ) + h ( z z ，) 一( c ( z ，) _ ( o ) ) 因为一( c ( z ，) o ) 是凸锥， a 【( ( s ，t r ) 7 7 ( ：，x r ) ) + h ( - ，x r ) 】- ( c ( x ，) o ) ) ( 1 2 2 2 ) 由( 木木) ，( j ：，2 j ) ，( ；曼z 二) 和( i i i ) 可以得到 ( g ( s ，t r ) ，7 7 ( ：a x r ) ) + h ( ：a ，z ，) + c ( z ，) - ( c ( z ，) _ o ) ) ： 这与( j22 ) 产生矛盾因此，我们有 ( n ( s ，t r ) 。7 7 ( z ，x r ) ) + h ( z ，z ，) 垡一( c ( z ，) o ) ) ， v z k 证毕 第1 3 页，共_ 。页 第一章j 。义强向量似变分不等式解的存在性 注1 2 3 定理1 2 2 推广了 6 的推论3 1 ，同时也改进了 5 白勺定理2 2 下面我们将建立第二个广义的向量型m i n t y i jj 理 引理1 2 2 设x ，y 是赋范空间s ，t ：k _ 2 l ( x , y ) 是h 半连续且关 于是叩一hi i 型伪单调的非空紧值映象假设引理1 2 1 的条件( i ) 一( i v ) 成立则 问题( 1 ) 与问题( 3 ) 是等价的 证明：因为5 r ，t ：k 一2 l ( x , y ) 关于是吖一hi i 一型伪单调，因此问题( 1 ) 的 任意解也同时是问题( 3 ) 的解 相反地，假设我们能找到z o k ，使得 ( n ( p ，q ) ，7 7 ( 可，x o ) ) + h ( y ，x o ) c ( z o ) 对任意的y k ，p s ( 夕) 和口丁( 可) 对任意的可k ，令y , x = x y + ( 1 一入) z o ， 0 入 1 由k 的凸性，我们有y , x k 因此对任意的纵s ( 纵) 和叭t ( 纵) ， 有 ( ( p a ，口a ) ，叩( 可a ，x o ) ) + ( 可a ，x o ) c ( z o ) ( 1 2 2 3 ) 由( i i ) 知 a ( 人( ，h ，口a ) ，叩( ! ，x o ) ) + ( 夥x o ) 】+ ( 1 一a ) ( ( p a ，口a ) ，r ( z o ，z o ) ) + ( z o z o ) ( ( 办纵) ，叩( 纵，x o ) ) + h ( y x ，z o ) + e ( z o ) ( 术木掌) 再由( ；三) 和( 料木) 可得 a ( ( p a ，卧) ，7 7 ( 可，z o ) ) + ( y ，z o ) 】+ ( 1 一入) ( ( p a ：g a ) ，叩( z o ，x o ) ) + h ( z o ，x o ) c ( x o ) ( 1 2 2 4 ) 我们将证明 ( ( 纵，纵) ，7 7 ( 可，x o ) ) + h ( y ，, t o ) g - ( c ( z o ) o ) ) ( 1 2 2 5 ) 事实上，若不然，则 ( ( p a ，卧) ，7 7 ( 可，x o ) ) + h ( y ，x o ) - ( c ( z o ) o ) ) 因为- ( c ( z o ) o ，) 是凸锥，所以 入【( ( p a ，口a ) ，7 7 ( 可，x o ) ) + h ( y ，z o ) - ( c ( z o ) o ) ) ( 1 2 2 6 ) 由( 二) 和( i i i ) ，我们有 a 【( ( p a ：口a ) ，7 7 ( ，z o ) ) + h ( y ，z o ) 】+ ( 1 一入) ( ( p a ，口a ) ，刀( z o z o ) ) + h ( z o ，z o ) 】 一( c ( z o ) o ) ) ， 第1 4 页，共；，页 第一章广义强向量似变分不等式解的存往性 这与( ，；) 矛盾因此( ：，二：；) 成立 因为剩余的证明与引理1 2 1 的证明相似，故省略 注1 2 4 根据以上问题( 1 ) 与问题( 3 ) 的广义的向量型m i n t y 弓l 理，我们得 到定理1 2 1 的另一个相似证明，这罩我们省略 下面我们将建立第三个广义的向量型m i n t y 弓i 理 引理1 2 3 设x y 是赋范空间s ，t ：k 一2 l ( x ，1 7 ) 是日一半连续且关 于是叩一hi i i - 型伪单调的非空紧值映象假设满足以下条件： ( i ) n ：l ( x ，y ) l ( x ，y ) 叫2 l ( x , y ) 分别关于第一变元和第二变元是连续的： ( i i ) 对于每一个固定的z y k 和z 1 s ( z ) ，z 2 丁( z ) ，集值映象 y 一( n ( z z ，钇) ，叼( 夕，z ) ) + h ( y z ) 是c ( z ) 一凸； ( i i i ) 对每一个y k ，使得对任意的z 1 s ( ) ，z 2 丁( ) 有 n ( z l ，z 2 ) 7 7 ( ) ) + ( y ，y ) c ( 可) ； ( i v ) w ：k _ 2 y 定义为w ( z ) = y 一( c ( z ) o ) ) ，使得的图像g r ( w ) 在xx y 中是闭的； ( v ) 7 7 与h 关于第二变元是连续的 则问题( 1 ) 与问题( 4 ) 是等价的 证明：因为s ，t ：k _ 2 l ( x , y ) 关于是叼一hi i i 一型伪单调，因此问题( 1 ) 的 任意解也同时是问题( 4 ) 的解 相反地，假设我们能找到z o k ，使得对任意的y k ，p s ( ) 和q 丁( ) ， 有 ( n ( p ，q ) ，7 l ( z o ：y ) ) + h ( z o ，y ) c ( ) 对任意的y k ，令y a = a y + ( 1 一入) z o ，0 a 1 由k 的凸性，我们有玑k 因此对任意的办s ( y a ) ，瓠丁( 纵) ，有 ( 人( p a ，口入) r ( x o ，可a ) ) + h ( z o ，可a ) c ( 可a ) ( 1 2 2 7 ) 再由( i i ) 可知 州( 0 a ，纵) ，叩( ：叭) ) + h ( y ，纵) + ( 1 一入) 【( ( a ，q z ) ， q ( x o ，扒) ) + h ( z o ，纵) 】 第1 5 页洪，、页 第一章j 义强向量似变分不等式解的存在性 ( ( a ，叭) ，叩( 叭，纵) ) + ，( 纵y x ) + c ( 纵) ( ，k ，l c 木 l c ) 由( i i i ) ，我们得到 ( 人r ( m 叭) ，( 纵叭) ) + ，。( 扒，扒) c ( 叭) ( 1 2 2 8 ) 因此由( ：，二2 ，) 和( 料料) ，我们有 a ( n ( p x ，卧) ! n ( y ，可 ) ) + ( 矽，可a ) + ( 1 一a ) ( ( p a 口a ) ，r ( x o ，可 ) ) + ( z o ，可a ) 】c ( 夕 ) ( 1 2 2 9 ) 因为( ；，：! _ ) 和( i 2 ：) 蕴含 ( ( p a ，口a ) ，7 7 ( 秒，矽a ) ) + h ( v ，y x ) c ( 可a ) ( 1 2 3 0 ) 所以( ( p a 口 ) ，7 7 ( 可，可a ) ) + h ( y y x ) g 一( c ( ! a ) o ) ) 因此存在v a n ( p x ，纵) 满足 ( 可a ，( 钉a ，叩( 夕，可a ) ) + h ( y ，可 ) ) g 7 ( v 矿) ( 1 2 3 1 ) 因：k s ( y a ) 和s ( = ：o ) 是紧的，由引理1 1 1 知，对每一个p x s ( 叭) ，存在s a s ( z o ) 使得a s a l i 日( s ( 叭) ，s ( z o ) ) 因为s ( z o ) 是紧的，不失一般性，我们假 设当a 一0 + ，有8 a _ s s ( z o ) 且我们有 | i p a s l l i 忉a s a l i + i l s a 一8 1 l 日( s ( 可a ) ，s ( z o ) ) + f i s 一s ( 1 2 3 2 ) 因为s 是皿半连续，所以当a _ 0 + ，有日( s ( 纵) ，s ( z o ) ) 一0 由( ! o ，j ；2 ) 可知， 当入一0 + 时，有p a _ s 同理可得当入_ 0 + 时，有叭一t ，其中卧丁( 纵) 和t 丁( z o ) 由( v ) 矢口，当入_ o + ，我f f 有7 7 ( 可，可a ) _ 7 7 ( 可：z o ) ， ( 箩，可a ) _ ( 可，z o ) 因 此，我们有 i | ( ( p a ，( f a ) ，叩( y ，y a ) ) + h ( y ，可a ) 一( ( 5 ，t ) ，( ，z o ) ) 一h ( y ：z o ) l f 【| ( ( p a ，q x ) 一( s ，z ) ，7 7 ( ，可a ) ) j | + l j ( ( s ) ，叼( 可，玑) 一7 7 ( 可，x o ) ) i | + i i h ( v y ) 一 i i n ( p , ，口a ) 一n ( s ，t ) l l l l , 7 ( y ，秒a ) i i + l i n ( s ，t ) l ii i7 7 ( 可，可a ) 一7 7 ( 秒，t o ) l i + | ij 2 ( 夕，可a ) 一 ( 1 l ( p a ，纵) 一n ( s ：纵) l + l i ( s ，卧) 一n ( s ，t ) 1 1 ) i l 叩( 可：a ) i l + | l ( s ，t ) | | i i 叼( 可，可a ) 一町( 夕z o ) l i + | | h ( 可，y x ) 一九( 可，z o ) 1 1 因为 叩( 夕，纵) 】和 ( 可，纵) ) 对每一个y