（控制科学与工程专业论文）结构不确定线性系统的鲁棒控制研究.pdf

游江大学博士学位论文 摘要 控制的目的是修正系统的动力学行为以达到期望的性能要求，控制理 论来源予实际并应鲻实繇。在臻确的数学模型的蒸稿上，经典线链控铡疆论 立足于便系统满足于一定的性能指橼，而现代控制理论则追求性能指标最 优。然而实际系统不可避免地爨遇到各种不确定性，诸如未建模动态、参数 不确定毂、工终环壤豹交纯、黪除及皴蛙纯近戗簿，毽毽拯终部予槎魏不确 定性。为此，本文在系统分析与系统综合中将考虑系统有一定结构的不确定 性，从而研究系统的鲁棒性能。 本文研突主题是不确定熬线性系统懿簧棒羧制，包摆稳定性、二次稳 定、结构稳定、。控制、区域极点配置及广义系统酝域稳定等。 本文静贡献主要在班下几个方面r 1 在多项式的鲁掺s c h u r 稳定半径基础上，绘如一个刿叛区趣多项式磐捧 s c h u r 稳定的充分条件，应用这一充分条件建立了一个判断区间多项式 韵鲁棒s c h u r 稳定的充分必要条件并且给出个粼断区阐多顼式的鲁棒 s c h u r 稳是的算法。 2 把区间系统等价转换为一参数扰动矩阵集，利用这个转换我们把连续区 阊系统的蔫棒h u r w t i z 稳定窝离散速阔系统豹簧箨s c h u r 稳定的等价于 一参数扰动矩降集的德辖j 奇异阀题，然后利用续构奇异值的定义，绘 出区间系统的鲁棒h u r e t i z 稳定期鲁棒s c h u r 稳定的结构奇异值的充分 磐要条悻。 3 对其有多边形不确定性的不确定系统建立番棒区域稳定的l l l l 充分条 件，给出的l j i i 条件可解则二次稳定情形必可解，故比_ 三次稳定有较少 鳃缣守链，攉广有关文献戆结栗。 4 把最避文献得到的有关连续对间状态对称系统露4 藏数和挂。控制器 的明显解结果推广到更广泛连续时间对称系统，所得到日。藏数计算仅 包撂系统雉薄。 5 研究离教时间对称系统的可稳定和”控制问题。证明边界实引理在离 散对称系统时有单位矩阵解，利用这一性质给出个计算日”范数的格 1 1 浙江大学博士学位论文 式。并给出对称输出反馈可稳定问题的个明显解和h ”控制次优输出 反馈控制器。所有的结果仅由系统矩阵表示而不象非对称系统需要解 l m i 。 6 给出连续时间不确定广义系统具有多边形不确性的鲁棒容许的u l 充分 条件。同时本文研究了状态反馈情形和e = d i a g ( 1 ，0 ) 的特殊情形。 7 建立基于线性矩阵不等式的广义系统。i - 容许条件和鲁棒o 。容许条 件。然后，建立基于线性矩阵不等式的广义系统的吼一容许条件和鲁棒 o 。容许条件，所考虑不确定性为多边形不确定性。把正常系统的有关 结果推广到广义系统。 8 给出离散r i c c a t i 方程和统一的耦合代数r i e c a t i 方程的半正定解的 上、下矩阵边界估计，并得到求离散r i c o a t i 方程和统一的耦合代数 r i c c a t i 方程的半正定解的两个迭代算法。 关键词：系统分析；控制器综合；性能指标；不确定性：鲁棒；稳定性； 线性系统；广义系统 区间系统；多边形不确定性；r i c e a t i 方程：矩 阵边界；对称系统；日”控制；线性矩阵不等式( l m i ) 浙江大学博士学位论文i l l a b s t r a c t t h em a j o rt o p i co fc o n t r o lp r o b l e m si st om o d i f yt h ed y n a m i c so fas y s t e m s u c ht h a ts o m ep a r t i c u l a ro b j e c t sa r es a t i s f i e d c o n t r o lt h e o r yi sb e n e f i t e df r o m p r a c t i c a l a c t i v i t i e sa n dw i l lb eu s e dt os o l v e p r a c t i c a lp r o b l e m s b a s e do n p r e c i s e m a t h e m a t i c a lm o d e l s ，c l a s s i cl i n e a rc o n t r o l t h e o r y t r i e st of i n da c o n t r o l l e r s a t i s f y i n gg i v e np e r f o r m a n c ei n d e x ，w h i l em o d e r nc o n t r o lt h e o r y a i m st os e a r c ht h eo p t i m a lc o n t r o l l e rs u c ht h a tt h eo p t i m a lp e r f o r m a n c ei n d e x c a nb er e a l i z e d h o w e v e la l m o s ta l lo fr e a ls y s t e m sm a ys u f f e ru n c e r t a i n t i e si n d i f f e r e n tf o r m s t h eu n c e r t a i n t i e si n c l u d ee i t h e rm o d e li m p e r f e c t i o n s s u c ha s u n m o d e l e d d y n a m i c s ，p a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e s ，c h a n g e o ft h e o p e r a t i n g e n v i r o n m e n t ，m o d e lr e d u c t i o na n dl i n e a r i z a t i o na p p r o x i m a t i o n s ，e r e ，o re x t e r n a l d i s t u r b a n c e ，f o re x a m p l e ，v a r i o u s d i s t u r b a n c ew i t hu n k n o w ns t a t i s t i c a l c h a r a c t e r i s t i ca n db o u n d e de n e r g y f o rt h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fu n c e r t a i n s y s t e m s ，t l l i sd i s s e r t a t i o na d m i t ss o m et o l e r a n c eo fu n c e r t a i n t i e s w i t h i nw h i c h r o b u s tp e r f o r m a n c e sa r eg u a r a n t e e d m o r e o v e r ，b yo p t i m i z a t i o n ，t h eu p p e ro r l o w e rb o u n d so f p e r f o r m a n c ei n d e xc a nb eo b t a i n e di n s t e a do f i n d e xi t s e l t h ew o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ya d d r e s s e st h ei s s u e sf o rr o b u s tc o n t r o lo f l i n e a ru n c e r t a i ns y s t e m s ，w h i c hi n c l u d es t a b i l i t y , q u a d r a t i cs t a b i l i t y ，s t r u c t u r e d s t a b i l i t y , h ”c o n t r o l ，r e g i o np o l el o c a t i o n ，e t c i nd e t a i l ，t h em a j o rc o n t r i b u t i o n so f t h i sd i s s e r t a t i o na sf o l l o w s ： 1 e s t a b l i s h i n gas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es e h u rs t a b i l i t yb a s e do nt h e r a d i u so fr o b u s t s t a b i l i t y o fs c h u r - c o h np o l y n o m i a l t h e n ，u s i n gt h e a b o v er e s u l tt oe s t a b l i s ha n e c e s s a r ya n ds u 街c i e n tc o n d i t i o nf o rt h er o b u s t s c h u r s t a b i l i t yo f i n t e r v a lp o l y n o m i a la n da na l g o r i t h mt oc h e e kt h es c h u r s t a b i l i t yo f i n t e r v a lp o l y n o m i a l 2 t r a n s f o r m i n g t h e p r o b l e m o fr o b u s th u r w i t za n ds c h u r s t a b i l i t y o f i n t e r v a l s y s t e mi n t oc h e c k i n gt h en o n s i n g u l a r i t yo fas e to fu n c e r t a i n m a t r i c e s ，t h e ne s t a b l i s hn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h er o b u s t ! ! 塑坚点兰篓主鲎垡笙塞 h u 聃i t za n dt h er o b u s ts c h m s t a b i l i t y o fi n t e r v a l s y s t e m b a s eo n 一a n a l y s i s 3 an e ws u f f i c i e n tl m i c o n d i t i o nf o rt h er o b u s ts t a b i l i t yi se s t a b l i s h e dw i t h r e s p e c tt op o l y t o p i cu n c e r t a i n t y t h er o b u s ts t a b i l i t yc a nb ev e n f i e db y m e a n so ft h ef e a s i b i l i t yo fas e to fl m i sd e s c r i b e do n l yi nt e r m so ft h e v e r t i c e so ft h ep o l y t o p i cd o m a i n t h ea p p r o a c hi sl e s sc o n s e r v a t i v et h a n q u a d r a t i cs t a b i l i t yb yu s i n gap a r a m e t e r - d e p e n d e n tl y a p u n o vf u n c t i o na n d e x t e n d st h er e s u l t so f t h er e l a t e dr e f e r e n c e s 4 a ne x p l i c i te x p r e s s i o nt oc o m p u t eh 。n o r ma n do b t a i n h ”c o n t r o l l e r ， w h i c ha r er e c e n t l yo b t a i n e df o rc o n t i n u o u s - t i m e s t a t e - - s p a c es y m m e t r i c s y s t e m s ，a r ee x t e n d e d t om o r e g e n e r a lc a s eo f c o n t i n u o u s - t i m es y m m e t r i c s y s t e m s t h ec o m p u t a t i o n s o fh ”n o r mo n l yn e e dt o c o m p u t et h e m a x i m u me i g e n v a l u eo fas y m m e t r i cm a t r i x ，w h i c ho n l yc o n t a i n st h e s y s t e mm a t r i c e s 。 5 a ne x p l i c i t e x p r e s s i o n t o c o m p u t et h e h ”n o l t no ft h ed i s c r e t e - t i m e s y m m e t r i cs y s t e mi s e s t a b l i s h e du s i n gt h eb o u n d e dr e a l e m m a o n e e x p l i c i ts o l u t i o no fs t a b i l i z i n go u t p u tf e e d b a c kg a i n si s o b t a i n e df o rt h e o u t p u tf e e d b a c ks t a b i l i z a t i o np r o b l e m a ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o r h ” n o l t ua n dt h es u b - o p t i m a lo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r sh a v eb e e no b t a i n e d f o rt h eh ”c e n t r e l p r o b l e m 6 c o n s i d e r i n gt h es t r u c t u r a ls t a b i l i t yp r o b l e m f o rc o n t i n u o u s t i m ed e s c r i p t o r s y s t e m s w i t hr e a lc o n v e xp o l y t o p i cu n c e r t a i n t i e s 黼l m is u f f i c i e n t c o n d i t i o n ，w h i c hi ss i m p l ya n de f f i c i e n t l yc o m p u t a b l e ，i se s t a b l i s h e df o r c h e c k i n g t h er o b u s t a d m i s s i b i l i t y i s p r o p o s e d ，a n d a s p e c i a l c a s e e = d i a g ( t ，国i si n v e s t i g a t e d 7 a nl m i s 奴一a d m i s s i b l ec o n d i t i o nf o rd e s c r i p t o rs y s t e m sa n dr o b u s t l y 吼- a d m i s s i b l ec o n d i t i o nf o rp o l y t o p i cu n c e r t a i m ya r ee s t a b l i s h e d t h e n ， w ee s t a b l i s ha n n 稿- a d m i s s i b l ec o n d i t i o na n dar o b u s t l y 味一a d m i s s i b l e c o n d i t i o nf o rd e s c r i p t o r s y s t e 口n sw i t hp o l y t o p i cu n c e r t a i n t y t h er e s u l t so f t h i s p a p e r e x t e n dt h ee x i s t e dr e s u l t so fn o r m a ls y s t e m st od e s c r i p t o r 塑婆查兰堡主兰垡堡塞 s y s t e m s 8 l o w e ra n du p p e rm a t r i xb o u n d sf o rt h ep o s i t i v es e m i d e f i n i t es o l u t i o no f d i s c r e t e t i m er i c c a t im a t r i xe q u a t i o na r eo b t a i n e d t h es i m i l a rr e s u i t sf o r t h eu n i f i e d c o u p l e da l g e b r a i cr i c c a t i e q u a t i o nf o c a r e ) c a na l s ob e o b t a i n e d t h e n ，c o m p u t a t i o n a la l g o r i t h m st os o l v et h eu c a r ea n dd a r e c a nb ee s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：s y s t e ma n a l y s i s ；c o n t r o l l e rs y n t h e s i s ；p e r f o r m a n c ei n d e x ： u n c e r t a i n t y ；r o b u s t ；s t a b i l i t y ；l i n e a r s y s t e m ；d e s c r i p t o rs y s t e m ； i n t e r v a ls y s t e m s ；p o l y t o p i c u n c e r t a i n t y ；r i c c a t ie q u a t i o n ；m a t r i xb o u n d ； s y m m e t r i cs y s t e m ；h 。c o n t r o l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) 浙江大学博士学位论文 致谢 此论文得以完成，我首先要感谢我的导师孙优贤教授。导师严谨的治学 作风、渊博的知识、敏锐的洞察力和积极进取的精神，都是我将来乃至一生 学习的榜样。感谢导师薛安克教授，他从工作学习等各方面都给予了我悉心 的指导和无微不至的关怀。 衷心感谢林庆女士在生活学习等方面给予我的热诚周到的帮助。 在三年中，我幸运地得到了许多老师、同学、朋友的教育和帮助。感谢 控制系的教师，他们讲授的课程让我在控制理论方面得到了很大的提高。感 谢王智博士后的帮助，与他的讨论得到不少收益，感谢刑建国博士、胡国龙 博士、孙宗海博士、章辉博士在学习与生活给予的帮助。 十分感谢实验室里的诸位师兄师弟。互相帮助，共同进步的学习氛围使 我倍感朋友的友情。在此要感谢：杨旭华、孔亚广、陈积明、沈国江、范兴 刚、黎善斌、蒋鹏、钟伟民等诸位博士。也感谢球友与舍友们，使我在浙大 有值得回味业余生活。 感谢我的父母和我的亲人们，是他们的鼓励并支持，使我在浙江大学这 一著名的高等学府顺利完成学业。 高利新 2 0 0 3 年3 月于求是园 浙江大学博士学位论文 第一章概论 1 1 基本控制问题：系统、性能与反馈控制 虽然对不同的应用，问题的描述有所不同，重要程度也有不同，但控制设 计的目标和步骤却有一般性，所有问题的核心是当存在模型误差、系统变化 以及不确定性时，要求提供满意的性能。这就要求在系统中引入控制结构， 以修正系统的动力行为，达到期望的性能要求。因此，控制科学研究如何修 正动力系统的行为以实现预定的目标，控制系统设计的基本任务是设计一个 控制器使得闭环系统保持稳定性和具有满意的系统性能。 预滤波输入信号( 或开环控制) 能够改变系统的动态响应，但不能减小 不确定性影响。若不确定太大以至达不到期望的响应精度，就需要反馈结构。 这涉及到被控系统、期望的性能指标以及控制方法。反馈控制是利用反馈控 制器足，通过信息的变换和反馈作用，使系统尸稳定并满足一定的性能或要 求。如图1 1 ，显然反馈对系统的控制和稳定起着决定性的作用。 w 图1 1 控制系统结构 z 反馈控制问题：给定系统p ，设计反馈控制器彪，使得相应的如图1 1 的闭 环系统满足期望的性能指标。 根据反馈信号是状态信号或是输出信号，分别地称控制器x 为状态反馈控 制器或输出反馈控制器。 对于上述阀题，自2 0 世纪5 0 年代，经典线性控制理论基于传递函数数学 第一章概论 模型，以拉普拉斯变换为工具，主要采用频率响应求解，其性能指标一般以 系统状态、响应时间、超调量、衰减度等表示。6 0 年代以卡尔曼提出的状态 空间方法为代表的现代控制理论采用微分方程模型描述系统，直接在时域中 求解，利用优化技术追求性能指标的最优。 在稳定的基础上，再追求系统满足一定的性能要求，这样的控制系统才 具有实际的应用价值。这就涉及如何度量控制系统的性能，如何对其迸行优 化以达到最佳的控制品质。在经典控制理论中，考虑控制系统性能的方法是 在系统的输入端施加某种典型的输入信号，然后，测量系统的输出响应。经 典控制理论目前仍在工业过程中发挥着重要的作用，解决了许多控制问题， 但对于解决大规模的复杂控制问题仍远远不够。 现代控制理论中的最优控制问题，是一种典型的优化控制问题。最优控 制问题所要解决的是设计一个控制律，使闭环系统是稳定的，同时使某个性 能指标达到极值。此时的控制律称为最优控制。而性能指标的具体形式可根 据所追求的控制目标来确定。 对某一类外部扰动信号w ( t ) ，系统的被调输出z ( f ) 总能保持是“小”的， 我们认为这样系统具有“好”的性能。量化系统性能的一种标准方法是考虑 系统的增益r ： 咤器 表示信号的某种范数，对取不同的范数，相应的系统增益不同，从而得到 不同的系统性能度量，h 2 控制与日。控制都与这种性能度量有着内在的联系 ( 参见d o y i ee ta i ，1 9 9 2 ) 。其中常见的性能指标如线性二次型性能指标 ，= 【- 【x 7 ( f ) q x ( t ) - i - “7 ( t ) r u ( t ) d t 其中x ( f ) 为系统状态偏差，“( f ) 为控制输入，q ，胄为加权矩阵。控制变量二次 型t l t ( t ) r u ( t ) 表示对控制能量的一种限制。可以证明，上述l q g 问题的性能指 标等价于从随机干扰信号到系统被拄输出信号的传递函数( 矩阵) 的日2 范数。 最优反馈控制阊纛：设计反馈控制器k ，使闭环系统稳定，同时使从系统的 浙江大学博士学位论文 从w 到z 的性能指标r 达到极小，即 哩n f 2 y 。 次优反馈控制问题：若给定y ，求反馈控制器k ，使闭环系统稳定，同时 性能指标r 满足 控制系统的分析与综合，首先要建立系统的数学模型，数学模型提供了 从输入到响应的映射。模型的质量取决于它的响应与真实受控对象的响应之 间的吻合的紧密程度。由于找不到一个单一模型，使之具有象真实受控对象 的响应。因此，严格地来说，没有一个数学模型能用来准确地作为一个实际 的物理系统，即总存在不确定性。本文考虑不确定系统如图1 2 表示， 图1 2 不确定系统 而考虑不确定系统的反馈控制模型如图1 3 给出 wz 图1 3 不确定性控制系统结构 鲁棒反馈问题：对不确定系统p + a 尸，设计反馈控制器k ，使得相应的闭环 系统保证一定的性能指标。 鲁棒控制器：给定系统p + p ，如果存在反馈控制器五，使得相应的闭环系 统在所有允许的不确定性条件下均能保证期望的性能指标，则称该闭环系统 具有鲁棒性，称控制器x 为鲁棒控制器。 第一章概论 根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性，相应地，分 为鲁棒稳定控制器和鲁棒性能控制器。 一般地，对于鲁棒反馈问题，依据系统及其不确定性的数学描述，其求解 可采用随机控制的方法、自适应控制的方法、鲁棒控制的方法、容错控制方 法、模糊控制方法以及人工智能控制方法等。随机控制在最优控制的基础上 考虑到了外部干扰的影响，但对干扰的统计特性有预设的要求。自适应控制 通过不断辨识误差来获取不确定性的最新信息，进而修正控制律来实现相应 的控制目标，即以可变的控制器应对系统的不确定性。模糊控制用模糊集合 描述不确定性，并据此设计所谓模糊控制器。鲁棒控制假设不确定系统未知 但有界或有定的结构，对不确定系统用确定性方法求解控制器，使得对允 许范围内的所有不确定性，闭环系统具有所期望的性能。实际上，控制系统 的各种故障的结果最终表现为系统模型变化，自然地，可设计一个控制器实 现对某些故障的容错，所谓容错控制也可看作鲁棒控制的一种。 本文在鲁棒控制的框架下研究不确定系统的鲁棒性能与系统的设计。 1 2 系统稳定性问题的研究 ( a ) h u r w i t z 、s c h u r 稳定性 个动力系统能够保持正常运行的首要条件是它应当是一个稳定的系 统，个不稳定的实际系统一般来说是没有使用价值的。因此，从控制理论 诞生之初，稳定性问题的研究就是控制理论领域中最重要与最活跃的课题之 一，直到今天，关于稳定性问题的研究仍然是控制理论界的一大主题。 被认为是人们开始进行控制理论研究的一个标志性文章一一弘a 删e l | 在 1 8 6 8 年发表的论调速器( o ng o v e r n o r ) 一文，就是关于离心调速系统的 稳定性分析。俄国著名学者l y a p u n o v 在1 8 9 2 年完成的博士论文运动稳定 性的般问题，更是系统、全面、深入、一般化地讨论了系统稳定性与渐近 稳定性等问题，建立了稳定性理论研究的框架，l y a p u n o v 稳定性研究方法的 影响是巨大的、跨时代的，直到今天，仍起着不可替代的作用。 控制理论最基本的研究对象是线性时不变系统( l t l ) ，建立在l t l 系统 浙江大学博士学位论文 之上的一接套概念与方法是整个控制理论的基础与核心部分，它们对其它系 统的发展起着指导与借鉴作用。如时变系统控制器设计经常建立在一l t l 标 称系统上，广义系统中一些概念与方法是参照l tl 系统中的相应内容而得到。 众所周知，对连续l t i 系统稳定的充分必要条件为系统的状态矩阵的所 有特征根都落在负半平面；而离散l t l 系统稳定的充分必要条件为系统的状 态矩阵的所有特征根都落在单位圆内。把所有特征根都落在负半平面的矩阵 称h un i l i t z 稳定矩阵，而所有特征根都落在单位圆内称s c h u r 稳定矩阵。故 对l t i 系统的渐近稳定性问题与矩阵的h u r w i t z 、s c h u r 稳定性问题是等价的。 因此，直接对矩阵的h u r w i t z 、s c h u r 稳定性问题进行研究是研究系统稳定性 的一大方法。矩阵h u r w i t z 、s c h u r 稳定性问题的研究由来己久，并已取得许 多有意义的研究成果( 见x ue ta i 1 9 9 8 ：w a n ga n d _ i c h e l ，1 9 9 3 ；w a n ge t a i ，1 9 9 4 ：d u a na n dp a t t o n ，1 9 9 8 ) 。如何把一些特殊矩阵的属性应用在稳 定性、控制器设计等研究中( d u a ne ta l ，1 9 8 9 ) ，从而获得更满意的结果， 值得人们进行深入的探索与研究。 h u r w i t z 稳定矩阵问题的研究可转化为l y a p u n o v 方程正定解存在性问题， 而s c h u r 稳定矩阵问题的研究可转化为s t e i n 方程正定解存在性问题。 由于彳是h u r w i t z 稳定的充分必要条件是一的所有特征多项式d e t ( 甜一彳) 的所有根都有负实部的。因此，对矩阵h u r w i t z 稳定性的研究，可以转化为 对多项式根的性质的研究。然后，应用i t o u t h 表判据、h u r w i t z 判据、n y q u i s t 判据以及- i h a ii o v 判据等可得到一些有趣的结果。 ( b ) l u i 区域的稳定性 稳定性是控制系统的最低要求，在大多数实际情况下，一个“好”的控 制器应使系统有充分快的响应，保证满意的瞬时响应的通常方法是把闭环极 点在配置复平面上合适区域。这些区域常表为平移半平面、扇区、圆及它们 的交( 参见b a r m i s h ，1 9 9 4 ，8 h a t t a c h a r y y a ，1 9 8 7 ，g u t j a na n dj u r y ，1 9 8 1 等) ，上述区域可统一在嗤i 框架下。 复平面上一个子区域。称为u i 区域如它可表为 o l = z 乍c ：r i l + r t 2 z + r r z o ) 其中噩l 苣r “4 且对称，足2e r “4 。 旦一 苎= 兰坚笙 c h i l a l ia n dg a h i n e t ，1 9 9 6 给出了l m i 区域有类似于l y a p u n o v 不等式的结 论，p e a u c e l l e ，2 0 0 0 给出一类更为广义化的l m i 区域，并可把l y a p u n o v 不等 式( 连续情形) 和s t a i n 不等式( 离散情形) 统一在同一l m i 框架下。 1 3 鲁棒控制 1 3 1 鲁棒控制的历史 系统鲁棒性问题也许可追溯到无究小分析的思想，例如微分方程解在给 定区间的任意小变化依赖于初值和方程系数的充分小变化，再如偏微分方程 中的适定性研究、计算方法中关于误差的灵敏性等。鲁棒控制问题事实上最 初在具有摄动的精确系统的大增益反馈器设计有所体现。这一思想最早可追 溯到1 9 2 7 年b l a c k 针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计思想。由于当 时无法知道反馈增益与控制系统稳定性之间的关系，故基于这一设计思想的 控制系统往往是不稳定的。直到n y q u i s t ：1 9 3 2 年提出基于n y q u i s t 曲线的频 域稳定性判据明确给出反馈增益与控制系统动态稳定性之间关系。进而b o d e 于1 9 4 5 年讨论了单输出反馈控制系统的鲁棒性，提出利用幅值和相位稳定裕 度来得到系统能容忍的不确定性范围。 在鲁棒控制理论建立过程中，z a m e s ( 1 9 6 3 ) 提出的小增益定理影响深远， 至今仍是频域分析非结构不确定性系统鲁棒稳定性的基本工具，k a i m a n ( 1 9 6 4 ) 讨论了单输入单输出系统线性二次型最优状态反馈控制律( l q ) 的鲁棒性，证 明其具有无穷大增益稳定裕量和6 0 度相位稳定裕量。 鲁棒控制这一术语首次由d a v s i o n 在1 9 7 2 年提出，在七十年代未和八十 年代初，人们从实际与理论两个方面越来越深刻的认识到鲁棒控制具有的特 殊的实践和理论的意义，从而鲁棒控制扩展到许多领域，得到迅速发展，并 取得了令人瞩目的成果，逐渐形成了一套完整的理论体系。 从6 0 年代以来，通过结合实际工程问题和数学理论，鲁棒控制理论取得 了令人瞩目的发展，并已逐步形成具有代表性的三个主要研究方面，即：研 究系统传递函数( 矩阵) 的频率域方法，研究系统特征多项式族的多项式代数 方法和研究系统状态方程矩阵族的时域( 状态空间) 方法。 浙江大学博士学位论文 1 3 2 不确定性描述与鲁棒控制问题 不确定存在意味着即使已知输入信号，也无法准确地预计出系统的输出 信号。通常不确性有两个来源：( 1 ) 未知的或不可预计的输入，如作用于被 控过程的各种干扰信号、传感器量测噪声等；( 2 ) 不可预计动态特性，如非 线性系统的线性化、高阶系统的简化近似等带来的动态特性的改变。 不确定性系指模型与实现间的差别或误差。对不确定性一个最简单的描述 是不确定性被描述为加性噪声，这类不确性在2 0 世纪6 0 年代与7 0 年代的文 献中受到极大的关注，在许多令人感兴趣的问题上取得了一系列的漂亮的结 果，例如，线性系统中的白噪声分布，w i e n e r 、k a i m a n 滤波以及l q g 最优控 制等。数学模型中的不确性描述是多种多样的，一种典型的不确定系统模型 的基本形式是 y = f p + a ) u + n 这里y 表输出，“表输入，p 是标对象的传递函数，模型不确性以两种形式出 现：n 是未知噪声或干扰，是未知的对象扰动即未建模动态部分。 在鲁棒控制中，通常总假定关于h 和a 属于某一集合，此时，给定一个确 定的控制输入1 4 ，得到一个输出的信号。进一步，可把不确定性模型的集合分 为两类，即：( 1 ) 结构化的不确定性：是指那些模型中与不确定性之间的相 互关系的结构是非常明确的不确定性。如模型中存在有限个不确定参数。 ( 2 ) 非结构化不确定性：是指那些结构不明确的不确性。如只知未建模动 态的某范数的上界。一般来讲结构化不确定性提供的信息更具体，因而保 守性更小，实际上结构化不确定性模型可以嵌入到非结构化模型中。在鲁棒 分析和综合过程中，非结构化横型更多的是应用于频域( 0 0 y l e e ta i ，1 9 9 2 ) 。 在时域状态空间下，参数不确定性描述有多种形式，将圈1 3 进一步分解 为图1 4 ，其中代表对象的时变不确定部分， w 图1 4 不确定对象结构框图 鲁棒控制中研究最多的是时变范数有界不确定性，即 p = a ( t ) q ，忪( f 1 若a ( t ) = d i a g ( # 。4 ) ，则有对角范数有界不确定性描述 p ，= 6 i ( t ) q , ，瓶( f w l 鲁棒控制早期研究的秩1 分解和线性不确定模型可转化为范数有界不确定 性。还有一类可包括范数有界不确定性的描述形式满足积分二次型约束，即 i o p 7 ( s ) p o ) a s f o q 7 ( 5 ) g o ) a s 不确定性的多边形描述也是常用的形式，假设不确定对象p + a p 由一组 a ，b 。，c 。，d ，i = l ，工表示，则顶点集 胎咎- ，陋黜 的凸组合。 对于多边形不确定的鲁棒性有大量的研究成果，其中有代表性如： g e r o m e ie tai ，1 9 9 8 等研究连续时间情形，d e0 1 v e f if aa n db e f n u s s o ue t a i ，1 9 9 9 ；d e0 i i v e f i r aa n dg e r o m e ie ta i ，1 9 9 9 等研究离散时间情形， c h ij a iia n d6 a h i n e t ：，1 9 9 6 ；c h jl a iie l ：aj1 9 9 9 。p e a u c eji ee ta i ，2 0 0 0 等研究l b i 区域极点配置，h e n r i o ne ta l ，2 0 0 1 把结果推广到多项式矩阵情 形。 1 3 3 鲁棒控制的多项式代数方法 自r o u t h 和h u r w i t z 建立著名的稳定性判据以来，相当长的时间以内 浙江大学博士学位论文 基于灵敏度分析方法成为控制理论中处理系统参数不确性的主要工具( c r u z a n dp a r k ，1 9 6 4 ，f r a n k ，1 9 8 7 ) 。但在参数空间，其稳定区域是非凸的，即当 两个参数点对应的系统均为稳定时，不能保证连接这两点的直线上的每个参 数点对应的系统均为稳定的系统。1 9 7 8 年k h a r i t o n o v 提出著名的k h a r i t o n o v 定理，它给出判别区间多项式族( 结构性有界实参数摄动多项式) 鲁棒稳定 的顶点判据，它的基本思想是寻找多项式族的一个子集，使得族中多项式的 稳定性由该子集中的多项式稳定性保证。 对实区间多项式族构造了四个k h a r i t o n o v 多项式，具有不变次数的区 间多项式族的鲁棒稳定性等价于四个k h a r i t o n o v 多项式的稳定性。这就是著 名的k h a r i t o n o v 定理，对k h a r i t o n o v 定理的另外证明还可见c h a p e i l aa n d b h a t t a c h a r y y a ，1 9 8 9 ；- i n n i c h e | l ie ta l ，1 9 8 9 。对于复多项式，则要检验 相应8 个顶点多项式的稳定性。随后a n d e r s o ne ta i ，1 9 8 7 进一步给出 k h a r i t e n o r 定理的简化形式，主要结论是：分别对于n = 2 ，3 ，4 和5 阶区间多 项式族，其判别的顶点多项式数可相应减少为1 ，2 ，2 ，和3 ，但对于多项式 n 6 的情况则无法得到类似的简化的结果。 b a r t l e t te ta i ，1 9 8 8 给出棱边定理的基本思想与k h a r i t o n o v 定理的类 似，主要用于解多项式凸多面体族的鲁棒稳定问题，表述如下： 假定d 是复平面上开子集，且在边界c 3 d 上，存在区间i c r 和映射 中。：卜a d 是连续且是满的，p = p 0 ，q ) ：q q ) 是具不变次数的多项式多面 体，则多项式族p 是鲁棒d 稳定当且仅当q 任一对顶点覃和g 对应的棱边多 项式族 p f ，0 ，丑) = 印0 ，g “) - i - ( 1 一；o p ( s ，q 1 ) ， e 【0 ，l 】 是d 稳定。 这两个结果，在多项式系数为不确定参数的一次函数的假设下，分别解 决了区间多项式族稳定的有限检验问题和一般多项式多面体稳定的一维检验 问题。k h a r i t o n o v 定理由b a r m i s h ，1 9 8 3 引入控制系统的研究中，但它仅适用 于处理区间多项式族h u r w i t z 问题，对一般的d 稳定性，处理起来比较困难， 甚至于对离散的稳定性问题没有相应简洁的结果。棱边定理则在“理论”上 比较彻底地解决了这一问题，但棱边定理需验证位于直线上所有系统的稳定 问题，而不象k h a r i t o n o v 定理只需验证四个顶点多项式的稳定性。这两个定 第一章概论 理的提出很快就引起了多项式系数空间中研究系统鲁棒控制问题的热潮。f u e ta t ，1 9 8 9 将棱边定推广到线性时滞系统。 k h a r i t o n o v 定理的另一局限性在于它应用实际系统的保守性， k h a r i t o n o v 定理要求多项式系统满足独立的区间摄动，对实际的控制系统， 其特征多项式系数通常仅随对象摄动，控制器参数则是固定的。c h a p e | l a t a n d b h a t t a c h a r y y a ，1 9 8 9 提出了广义k h a r i t o n o v 定理，给出前向通道的为区间 对象的闭环系统鲁棒稳定性的充分条件，c h a p e i i a te ta i ，1 9 9 0 并且进一步 分析了同时且有非线性结构摄动和区间参数摄动的系统鲁棒稳定性，得到了 类似k h a r i t o n o v 定理的顶点判据。 s o he ta l ，1 9 8 5 则从稳定的多项式出发，研究该多项式在参数空问中的 最在稳定半径，其实质是研究系统的鲁棒稳定裕度。随后b i e r n a c k i e t a i ，1 9 8 7 对此做了更深一步的研究，文中给出迭代算法，对于低维系统，方法 简单有效，但对高维系统及可调参数的系统，这种方法难以处理。 以k h a r i t o n o v 定理为代表的多项式代数方法为参数不确定系统的鲁棒控 制问题研究提供了强有力的工具。由于本身理论的局限性，上述方法基本上 只局限于多项式空间和对系统鲁棒稳定性分析，对于参数不确定系统的鲁棒 镇静问题，没有什么满意的结果。b a r n t i s h ，1 9 9 4 和b h a t t a c h a r y y a e ta