（运筹学与控制论专业论文）基于状态观测器的广义系统鲁棒预测控制.pdf

鲁东大学硕士学位论文 摘要 随着预测控制在工业过程中的广泛应用，预测控制理论研究取得了很大进展但由于 实际系统的复杂性以及工业环境中各种变化因素的影响，用来描述被控系统动态特性的 模型往往具有某种不确定性在这种模型不确定性存在的情况下，依然能将实际系统的 某种性能指标控制在可接受范围之内的预测控制方法，被称为鲁棒预测控制该方法融 合鲁棒控制对不确定性的处理方法和预测控制的滚动优化原理，以一种系统化的方式实 现目标优化和约束处理的有机结合，保证了闭环系统的可行性和鲁棒稳定性 目前，鲁棒预测控制的研究成果绝大多数是针对基于状态反馈的正常系统，对于广 义系统的研究较少，然而广义系统广泛存在于诸多领域，因此对其进行鲁棒预测控制的 研究有着重要的现实意义在实际控制过程中，由于不易直接量测或者由于量测设备在 使用上和经济上的局限，难以获得实际的状态，这就使得系统不能直接实现状态反馈 当系统状态不可测时，提出了基于状态观测器的控制方法 本文针对状态不可测的广义系统，运用线性矩阵不等式( l m i ) 方法，研究了基于状态 观测器的鲁棒预测控制问题主要研究内容如下： 1 针对具有多面体不确定性描述的广义系统，研究基于状态观测器的鲁棒预测控 制问题运用线性矩阵不等式方法，通过构造带有误差项的l y a p u n o v 函数，最小化最 坏情况下的无穷时域目标函数，得到了分段连续的状态反馈控制律证明了优化问题在 初始时刻的可行解保证闭环广义系统是正则，无脉冲且稳定的 2 对于具有范数有界不确定性的广义系统，当系统状态不可测时，提出一种基于 状态观测器的鲁棒预测控制算法利用线性矩阵不等式，给出了基于观测器的状态反馈 预测控制律存在的充分条件在满足一定条件的情况下，初始时刻的可行解能够保证闭 环广义系统是稳定的且正则、无脉冲 3 对于含有时滞的不确定广义系统，讨论了基于观测器的一类不确定广义时滞系统 的鲁棒预测控制问题，应用线性矩阵不等式方法，给出了系统观测器型预测控制器的设 计方法保证了广义闭环系统是渐近稳定的 关键词：预测控制；广义系统；状态观测器；线性矩阵不等式；不确定性； 时滞 鲁东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep r e d i c t i v ec o n t r o lh a sb e e nm a d eg r e a tp r o g r e s s e sw i t hi t sw i d e ru s a g e si nt h e i n d u s t r i a lp r o c e s sc o n t r 0 1 b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo ft h es y s t e m sa n dv a r i o u sf a c t o r si n i n d u s t r y , t h em o d e lu s e dt od e s c r i b et h ed y n a m i c so fc o n t r o l l e ds y s t e ma l w a y sh a ss o m e u n c e r t a i n t i e s r o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o li sr e f e r r e dt ot h ep r e d i c t i v ec o n t r o lm e t h o dw h i c hc a l l m a k et h ep e r f o r m a n c ei n d e xw i t h i nt h ea c c e p t a b l er a n g ei nt h ep r e s e n c eo fm o d e lu n c e r t a i n t y i tc o m b i n e st h em e t h o do fr o b u s tc o n t r o lw i t ht h em o v i n gh o r i z o np r i n c i p l eo fp r e d i c t i v e c o n t r o l ，a n dh a st h ec a p a b i l i t yo fh a n d l i n gc o n s t r a i n t sa n do p t i m i z a t i o no v e rs o m e p e r f o r m a n c ei n d e xi nas y s t e m a t i cw a y t h ef e a s i b i l i t ya n dr o b u s ts t a b i l i t yo ft h ec l o s e d - l o o p s y s t e m sa r eg u a r a n t e e d a tp r e s e n t , t h em a i nw o r ki sc o n c e m e dt og e n e r a ls y s t e m sw i t ht h ef o r mo ft h es t a t e f e e d b a c k h o w e v e r ，t h es i n g u l a rs y s t e m se x i s ti nv a r i o u sf i e l d s ，a n di ti sv e r yi m p o r t a n tt o s t u d yt h ep r o b l e mo fr o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lf o rs i n g u l a rs y s t e m s w h i l et h es t a t e sm a yn o t b em e a s u r e dd i r e c t l yi nt h ea c t u a lc o n t r o l ，t h es t a t ef e e d b a c kw i l ln o tb et h e p h y s i c a l i m p l e m e n t a t i o n s ot h ea l g o r i t h mb a s e do nt h es t a t eo b s e r v e ri sp r o p o s e dw h e nt h es t a t e sa r e u n m e a s u r a b l e w h e nt h es t a t e sc a l l tb em e a s u r e d ，t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ed e v e l o p m e n to ft h e f r a m e w o r ko fr o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lf o rv a r i o u sd e s c r i b e du n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m sb y u s i n go ft h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) t h em a i nc o n t e n t sa r es t a t e d 邪f o l l o w s ： 1 t h es y n t h e s i sm e t h o do ft h er o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lb a s e do nt h es t a t eo b s e r v e ri s p r e s e n t e df o rs i n g u l a rs y s t e m s 、析t i lp o l y t o p i cu n c e r t a i n t i e s b yc o n s t r u c t i n gt h el y a p u n o v f u n c t i o n 嘶t l lt h ee r r o rt e r m ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fo b s e r v e r - b a s e d r o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o la r eo b t a i n e db yl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，w h i c hm i n i m i z ea nu p p e r b o t m do nt h e w o r s t - c a s e o b j e c t i v ef u n c t i o n i ti sp r o v e dt h a tt h er o b u s ts t a b i l i t yo ft h e c l o s e d - l o o ps i n g u l a rs y s t e m si sg u a r a n t e e db yt h ei n i t i a lf e a s i b l es o l u t i o n so ft h eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m s 2 w h e nt h es t a t ec a nn o tb em e a s u r e d , t h er o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o la l g o r i t h mb a s e do n t h es t a t eo b s e r v e ri sp r o p o s e df o rac l a s so fs i n g u l a rs y s t e m s 、啊t hn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e s t h ep r e d i c t i v ef e e d b a c kc o n t r o ll a wi sp r e s e n t e db yl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sf o r m u l a t i o n w h e nt h eo b t a i n e df e e d b a c kc o n t r o ls a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o r t , t h er o b u s ts t a b i l i t ya n dt h e i i i 鲁东大学硕士学位论文 i m p u l s e f r e e o ft h ec l o s e d - l o o ps i n g u l a rs y s t e m sa r eg u a r a n t e e db yt h ep r o p o s e dd e s i g n m e t h o d 3 t h ep r o b l e mo fr o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lb a s e do nt h es t a t eo b s e r v e ri ss t u d i e df o r t h e s i n g u l a rs y a e m s 、析mn o r m b o u n d e du n c e r t a i n t i e sa n dt i m e - d e l a y , a n dt h ed e s i g nm e t h o do f r o b u s tp r e d i c t i v eo b s e r v e r - b a s e dc o n t r o l l e ri sp r o p o s e d b yu s i n go ft h em e t h o do fl m i s ，t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ec o n t r o ll a wa r ed e r i v e d i ti sp r o v e dt h a tt h e r o b u s ts t a b i l i t yo ft h ec l o s e d - l o o ps i n g u l a rs y s t e m si sg u a r a n t e e db yt h ei n i t i a lf e a s i b l e s o l u t i o n so ft h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m s k e y w o r d s ：p r e d i c t i v ec o n t r o l ；s i n g u l a rs y s t e m s ；s t a t eo b s e r v e r ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ； u n c e r t a i n t i e s ；t i m e d e l a y i v 鲁东大学学位论文原创性声明和使用授权说明 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：杨鼠耸 日期：卯? 年6 月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权鲁 东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 日期：伽缛6 , 9 3 , o 日 ， ，9 期：矽孵歹月 1 , o e l ：l ， y d 、 ， 7 ， f z i 一 年 1i t 一珏；，。 杨：一 名名签签者师作导 鲁东大学硕士学位论文 1 1 选题背景和意义 第一章绪论弟一早三百下匕 预测控制又称模型预测控制( m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ，简称m p c ) ，是2 0 世纪 7 0 年代后期发展起来的一类计算机控制算法由于预测控制采用多步预测、滚动优化和 反馈校正等控制策略，控制效果较好、鲁棒性强，适应于控制不易建立精确数学模型且 比较复杂的工业过程预测控制问世以来一直受到控制界的广泛关注，并被成功地应用 在各种复杂的工业实践中，成为当前自动控制领域中重要的研究课题【啦】 预测控制的产生，是复杂工业系统实现优化控制的需要，具有很多适合工业环境的 优点。然而在许多实际控制问题中，控制对象复杂并且存在着各种不确定性因素，影响 了控制系统的效果，这就要求在控制系统设计中必须考虑系统的不确定性2 0 世纪9 0 年代，鲁棒控制的一些方法被引入到预测控制，以提高模型建模误差的鲁棒性这种在预 测控制框架下处理模型的不确定性，使受控系统在满足可行性条件下达到渐近稳定的方 法，称为鲁棒预测控制该方法融合鲁棒控制对不确定性的处理方法和预测控制的滚动优 化思想，取二者之长，形成了一类具有良好鲁棒性、可行性和跟踪性能的控制算法鲁棒 预测控制的研究成果绝大多数是基于状态反馈的正常系统，而广义系统是一类比正常系 统更具广泛形式的动力系统广义系统理论是2 0 世纪7 0 年代才开始形成并逐渐发展起来 的现代控制理论的一个独立分支广义系统也因理论上的学术价值和广泛的应用前景而 吸引了国内外众多研究工作者的关注和重视【3 4 】因此对广义系统的鲁棒预测控制的研 究有着重要的意义 然而，无论对于正常系统还是广义系统，状态反馈是系统的各类综合问题中首要考 虑使用的反馈控制，其与静态输出反馈相比较，不仅在设计方法上简单，而且在功能上 具有极大的优越性。但在工程实际中，有时由于不易直接量测或者由于量测设备在使用 上和经济上的局限，因而难以实际获得广义系统的状态，这就使得系统不能直接实现状 态反馈。因此，许多控制方法都是基于状态观测器来进行研究，以满足系统的某种性能 或使系统稳定 因此，本论文针对具有各种不确定性描述的广义系统，当系统状态不可测时，研究 基于观测器的广义系统的鲁棒预测控制问题更具有实际意义 鲁东大学硕士学位论文 1 2 预测控制 2 0 世纪6 0 年代初期，卡尔曼( r e 赋r n a n ) 系统地把状态空间法引入到系统和控制 理论中，形成现代控制理论，并且很快在航天、航空等领域取得了巨大的成果，对自动控制 技术的发展起到了积极的推动作用但是，实际工业过程的多变量、非线性、时变和不确 定性等特点以及工程应用中要求考虑控制的实时性、有效性和经济性等因素，使得以精确 数学模型为基础，立足最优性能指标且许多算法较为复杂的现代控制理论难以有效地应 用于复杂的工业过程为了克服理论与实际应用之间的上述不协调性，2 0 世纪7 0 年代以 来，人们从工业过程的特点出发，寻找对模型精度要求不高而同样能实现高质量控制性能 的方法，预测控制就是在这种背景下发展起来的预测控制技术最初由r i c h a l e t 等人【5 】提 出，它最大程度地结合了工业实际的要求，综合效果好，已经在理论和应用方面取得了显著 进展，各种预测控制算法不断地产生并得到发展 预测控制的特点是：建模方便；采用非最小化描述的离散卷积和模型，信息冗余量大， 有利于提高系统的鲁棒性；采用滚动优化策略，使模型失配、畸变、干扰等引起的不确定 性及时得到弥补，从而得到较好的动态控制性能；可推广到有约束条件、大迟延、非最小 相位以及非线性等过程，对模型精度要求不高，跟踪性能良好，更适应于复杂工业过控制 1 2 1 预测控制的基本原理 预测控制算法的种类多、表现形式多种多样，但都具有相同的三大本质特征：预测模 型、滚动优化和反馈校正这三个基本特征是预测控制区别于其他控制方法的基本特征， 同时也是预测控制在实际工业应用中取得成功的关键技术预测控制的基本结构如图 1 - 1 所示 图卜1预测控制系统的一般结构简图 图卜1 中，国是设定值：”( 七) 是参考轨迹；j ，( 七) 是系统输出；虼( 七) 是模型输出；u ( k ) 是控制量；p ( 七) 是预测误差；( 七) 是预测输出。 2 鲁东大学硕士学位论文 各种预测控制算法具有类似的计算步骤：在当前时刻，基于过程的动态模型预测未 来一定时域内每个采样周期( 或按一定间隔) 的过程输出，这些输出为当前时刻和未来一 定时域内控制量的函数按照基于反馈校正的某个优化目标函数计算当前及未来一定时 域的控制量大小为了防止控制量剧烈变化及超调，一般在优化目标函数中都考虑使未 来输出以一参考轨迹最优地去跟踪期望设定值计算出当前控制量后输出给过程实施控 制至下一时刻，根据新测量数据重新按上述步骤计算控制量从预测控制的基本原理可 以看出，预测控制是不断滚动的局部优化，而非全局最优 1 2 2 预测控制算法的发展 随着预测控制在工业领域的成功应用，适用于各种不同过程的算法不断被提出，有关 预测控制结构和理论的研究也有了飞速的发展 二十世纪7 0 年代后期，r i c h a l e t 等人【5 】在开发基于预测控制算法的i d c o m 软件 并进行成功应用的基础上，提出了模型预测启发式控制( m p h c ) 算法m e h r a 等人【6 】 提出了模型算法控制( m a c ) ，这两种算法采用的模型都是建立在脉冲响应基础上 的c u l t e r 【_ 7 】提出了建立在对象阶跃响应基础上的动态矩阵控制( d m c ) 算法此后，基于 对象脉冲响应或阶跃响应模型的各种预测控制算法相继出现由于上述这两种预测控制 算法在线计算量相对较大，因此它仅局限于慢过程控制的应用，后来随着预测控制原理 日益为人们认识，为满足快速系统的要求，r i c h a l e t 等又提出了预测函数控制，主要应 用于工业机器人控制等上述这些算法均是属于非参数化模型的预测控制，这类控制策略 的特点是：模型在工业现场易于获得，不需要复杂的系统辨识与建模；采用反馈校正基 础上的在线滚动优化取代传统的最优控制，因而可以克服各种不确定性的影响，增强系 统的鲁棒性，而且在线计算相对比较简单 二十世纪8 0 年代后期出现了预测控制的另一个分支即基于参数化模型的预测控 制。这类算法由经典自适应控制发展而来，融合了自校正控制和预测控制的优点，其反馈 校正通过模型的在线辨识和控制规律的在线修正，以自校正的方式实现，其中最有代表性 的是c l a r k e 【8 】的广义预测控制( o p c ) 算法。g p c 算法在最小方差控制的基础上，在优化中 引入了多步预测思想，采用了受控自回归滑动平均模型。g p c 适用于开环不稳定、非最 小相位系统和时变、时滞等较难控制的对象，并对系统的时滞和阶次不确定有良好的鲁棒 性，但对于多变量系统，算法实现困难 另外，预测控制还有一个分支滚动时域控n ( r e c e d i i n gh o r i z o nc o n t r o l ，简称 i m c ) 它采用了状态空间模型来描述【9 j ，这有利于采用现代控制理论的方法来分析系统 鲁东大学硕士学位论文 内部机理，因而具有很大的普遍性r h c 较之最优控制能够达到更为理想的动态特性， 并且降低了对计算资源的需求，提高了经济性和实时性由于r h c 的控制机理和m a c 、 d m c 以及g p c 一样，也是一种模型预测控制算法同时g p c 、m p c 都可作为r h c 的 一种特例，随着研究的深入，预测控制的各个分支已经有了一些初步的统一【1 2 6 ，引 2 0 多年来，国内外对预测控制的研究与应用日趋广泛，各种有关预测控制的文献越 来越多地出现在各种刊物和会议上目前，预测控制的研究主要涉及到以下方面： ( 1 ) 对现有基本算法作技术性的修正如引入扰动观测器，采用变反馈校正系数等【9 1 ( 2 ) 从单变量到多变量的推广，把只适合于稳定对象的算法推广到非自衡系统，把 预测控制的应用范围推广到非线性及分布参数系统i l ( 3 ) 优化目标函数的选取如采用最小方差的目标函数其优点是对无约束情况可以 得到明确的解析解但对于有约束情况，则需要用二次规划或目标规划的方法求解无穷 范数的目标函数则是在解决鲁棒预测控制问题的情况下提出的，在模型与约束都是线性 的情况下也可转化为线性规划问题求解【1 1 , 1 2 】 ( 4 ) 预测模型的选取尤其是在非线性预测控制中，由于非线性预测控制要比线性 预测控制复杂的多，因而，目前研究选主要集中在选取特殊的非线性模型，如w i e n e r 模 型，b i l i n e a r 模型、广义h a m m e r s t e i n 模型、v o l t e r r a 模型等【l j r ( 5 ) 将基本控制算法与先进的控制思想与控制结构相结合，从而形成了自适应预测 控制、模糊预测控制、鲁棒预测控制、神经网络预测控制、递归学习预测控制等 1 2 3 预测控制系统的性能分析 自m p c 产生以来，针对各种m p c 算法的理论研究主要集中在对系统稳定性、鲁棒 性和可行性的分析上，以便提出新的预测控制算法以及研究各算法之间的内在联系，从 而探索它们之间的统一格式等方面 ( 1 ) 稳定性分析 无论是单变量还是多变量，无约束还是有约束，都要求预测控制系统具有强的鲁棒性 和稳定性【1 3 】近年来。人们对预测控制系统的稳定性研究主要集中在带约束的m p c 以及 开环不稳定、有非最小相位、时滞等特性的对象预测控制是通过反复在线求解一个带 约束的有限时域优化问题来实现的但有限时域开环最优不能保证系统闭环稳定，而且 m p c 系统的闭环描述很难得到对于稳定性的分析，主要有两种方法：基于内模控制原 理和状态空间分析。从频域方面考虑，主要采用内模控制原理分析预测控制的稳定性 文【8 】将广义预测控制( g p c ) 结构转换为内模结构，推导了控制器的表达式，认为g p c 4 鲁东大学硕士学位论文 系统的动态特性取决于控制器多项式的极点，g p c 算法不改变系统的纯滞后或非最小相 位特性；且当闭环系统稳定时，( 3 p c 可有效地抑制确定性的干扰从时域方面考虑，主 要采用状态空间分析文 1 4 1 分析了广义预测控制系统的状态空间结构，指出其实质是一 种状态反馈，通过选择适当的控制器参数可以保证系统的闭环稳定性；指出闭环系统与 开环系统有相同的阶次，广义预测控制不改变系统的零点，但有助于克服纯滞后对系统 闭环特性的影响；当系统时滞已知时，选择控制量加权系数为0 ，可保证最小相位系统 闭环稳定，若参数摄动不改变系统的最小相位特性，则闭环系统鲁棒稳定 ( 2 ) 鲁棒性分析 实际工业过程存在于不确定性环境中，总会受到预先未知的各种不确定因素的影 响，模型和被控对象之间也不可避免地存在着失配基于确定性模型设计的最优控制律 在应用于实际对象时可能导致系统性能变差，因此预测控制的鲁棒性分析十分必要预 测控制的鲁棒性分析是指对于按照标称系统设计的预测控制器，分析其对于给定的不确 定系统模型能否保持闭环系统的稳定性文献 1 0 、1 1 1 给出了预测控制鲁棒稳定性的一 系列分析方法，但这些方法难以用数值解做出检验对于在优化问题中采用有限时域和 二次型成本函数的有约束预测控制方法，文献【1 5 】给出了基于l y a p u n o v 理论的稳定性分 析方法在此基础上，文献 1 6 1 利用凸优化理论中的s 过程，将预测控制的鲁棒稳定性 问题转化为一组线性矩阵不等式可行解的存在性问题 ( 3 ) 可行性分析 可行性是指在给定约束与性能指标的条件下，相应的预测控制律是否存在，它是与 m p c 系统性能紧密联系的文 1 7 中讨论了可行性与稳定性的关系，指出无论开环线性系 统稳定与否，解的可行性是任意可调参数下系统稳定性的前提优化问题不可行的原因 可分为两类【1 8 】：一类是变量的约束引起的所求解不可行；二是扰动和模型失配等不确定 因素、或者参考信号变化太大，使闭环系统被驱动至不可行区域不变集理论对于解决 预测控制在线优化问题的可行性具有重要作用，因为只有当系统的初始状态和此后的系 统轨迹始终处于某个不变集时，才能保证系统状态和系统的输入始终满足约束条件文 献 1 9 1 利用不变集理论，提出了一种能够保证约束条件始终满足的预测控制框架可行 性不是m p c 理论研究的主流，但是在预测控制中其它性质的研究都是以可行性为前提 的因此必须重视 1 3 鲁棒预测控制 针对模型偏差和不确定性的控制研究，导致了鲁棒控制技术的诞生，并成为过程控 5 鲁东大学硕士学位论文 制界的一个热点【2 0 1 鲁棒控制的模型不确定性的假设有着鲜明的工程意义：从模型结构 简化和控制实时性的考虑，在大多数的控制问题中使用固定模型结构的线性简化模型( 称 为“标称模型 ) ，由此导致模型和( 非线性) 真实对象之间在动态性能上存在的显著差异 由于真实对象的不可知性，使用线性化参考模型的传统的预测控制在进行模型响应的动 态预测时，很自然地引入了更多的控制质量下降尽管预测控制中引入了反馈校正机制， 试图最大程度地减小模型中的不确定因素，然而，对于具有强非线性和不确定性的控制 过程而言，这种使用线性化预测校正的机制无法从本质上将传统意义上的预测控制技术 很好地应用于模型不确定控制场合因此，在工程实践中所建立的数学模型不可避免地 存在误差时，鲁棒预测控制技术相应于鲁棒控制理论应运而生，成为近几年预测控制领 域的一个热门话题 1 3 1 不确定系统的描述 我们知道可以用一个状态空间模型来描述一个动态系统然而，描述实际动态系统的 状态空间模型往往是通过近似和简化得到的，因此，在得到的模型 f 量：a x + b u ( 1 1 ) 1 ) ，= c x + d u 、7 中，系数矩阵彳，曰、c 、d 不再是已知的常数矩阵，而往往是依赖不确定参数的不确定 矩阵，其中的不确定参数可能是时变的，但一般假定其在某个已知的有界集中变化根据 系数矩阵a 、b 、c 、d 对不确定参数的依赖情况，引进以下三类不确定模型 ( 1 ) 多面体不确定性模型i 刎 实际工业过程中的许多典型环节，如c s t r 模型，b a t c hp r o c e s sm o d e l ，积分模型 等非线性过程均可采用多面体不确定模型逼近，其具体描述形式如下 x ( 七+ 1 ) = 彳( 七) x ( 七) + b ( 七) ”( 七) ，( 1 2 ) 其中 【彳( 七) b ( 七) 】q ， q = c 么，b ，i c 爿，曰，= 喜五c 4 ，e ，v 善i4 = - ，名。，= ，2 ，) ( 2 ) 参数有界不确性模型 文献【2 1 】采用参数变量表示系统矩阵的不确性或时变性，具体形式如下 磊+ l = 彳( 嚷) 气+ b ( 皖) 唯， ( 1 3 ) 其中，q 表示参数变量，且幺 ，0 为某一紧集通常0 的表示形式有两种，一类是 椭球集 6 鲁东大学硕士学位论文 o = 0 ：慨p 一砒 0 ，即对v x r ”，f x 0 ，则称f 是正 定的；若矩阵f r 砌满足f = f r 且f 0 ，即对v x r r l ，f x 0 ，则称f 是负定的 定义2 2 假设j c l ，是一组实数标量，只= z r r ，扛1 ，朋是一组给定的实对 称矩阵，那么形如 ，( 力= f o + 置最+ + 靠e 0 且a b 7 c 1 b 0 结论b ：若么是非奇异的，则f 0 的充分必要条件是a 0 且c b 7 a - 1 召 0 引理2 2 t 3 6 1 给定适当维数的矩阵】，日和e ，其中】，是对称的，则对任意满足f r f i 的矩阵f ， 】，+ h f e + e r f r h r 0 ，使得 y + e h h r + 1 3 1 e r e 0 一般地，l m i 的求解可归结为下列三类问题： ( 1 ) 可行性问题( l m i p ) ： 对给定的线性矩阵不等式f ( x ) 0 ，检验是否存在x ，使得f ( x ) 0 成立的问题，称 鲁东大学硕士学位论文 为一个l m i 的可行性问题如果存在这样的x ，则该l m i 问题是可行的，否则是不可 行的 ( 2 ) 特征值问题( e v p ) ： 该问题是在一个l m i 约束下，求矩阵g ( x ) 的最大特征值的最小化问题或确定问题 的约束是不可行的它的一般形式为 m i n 五 “g ( x ) “， 1 日( x ) 0 这个问题也可转化成以下的一个等价问题 n l i n c r x s ，f ( x ) 0 ( 3 ) 广义特征值问题( g e v p ) ： 在一个l m i 约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广义特征值的最小化问题它的一 般形式为 m i n 允 i g ( 功 0 ， 1 日( x ) 0 在许多应用问题中，常常会遇到非严格的线性矩阵不等式，既包含严格线性矩阵不 等式，也包含非严格线性矩阵不等式的混合线性矩阵不等式系统对于一般的非严格线 性矩阵不等式，总可以通过消去一些隐含的等式约束，将其转化为一个等价的严格线性 矩阵不等式来处理 l m i 的最大优点就是计算的简洁性，并且无需参数调整目前，已经出现了许多求 解l m i 的优秀工具软件，我们可以通过m a t l a b 工具箱快捷的求得l m i 优化问题的解 2 2 不变集 不变集3 7 1 是处理时域约束的一种有效工具，它在约束m p c 的设计中起到了重要的 作用 定义2 3 对于自治系统e ( t ) = 厂( x ( ，) ) ，若存在一个集合x ，对v x x 都有f ( x ) x ， 则x 称之为系统的不变集 常用的不变集有椭球集和多面体集由于在本文中主要采用椭球不变集，下面讨论 椭球集所具有的一些特点一个以x o 为中心的椭球集可以表示为 e ( p ，而) = p r ”( x - x o ) 7 p ( x - x o ) o ( 2 2 ) 1 2 鲁东大学硕士学位论文 若中心为零点，那么 乓= 扛r ”：，p x o 引理2 3 考虑椭球集( 2 3 ) ，若k 是一个具有适当维数的矩阵， 的最大值是0 艘舭| 1 证明 m a x ， k x i i = 学i 即叫2 尸啦叫 _ m ，。a e x 。i r 口一v 20 l i p l , 2 x l l _ l l 即一v 20 证毕 关于线性系统的椭球不变集，有如下的引理： 引理2 4 对于线性自治系统 ( 2 3 ) 那么对坛，k s ( 2 4 ) 膏( f ) = a x ( f )( 2 5 ) 其中x ( t ) r ”，若存在矩阵p = p 7 r 砌满足下面的矩阵不等式 彳7 尸+ 朋0 ( 2 6 ) 那么椭球乓= x ：x ，p x l 是系统( 2 5 ) 的不变集 证明定义l y a p u n o v 函数矿( x ( f ) ) = x 0 ) ，p x ( t ) ，由不等式( 2 6 ) 推得矿( x ( f ) ) 0 因此， 函数矿 o ) ) 单调递减，即有 x ( t + f ) 。t x ( t + f ) x ( f ) 1p x ( t ) ，f 0 ( 2 7 ) 若x ( ，) 巳，则根据不等式( 2 7 ) ，t + r 时刻的状态x ( t + r ) q ，那么椭球e p 是系统( 2 5 ) 的不变集 定义2 4 考虑受控系统i ( t ) = 厂( x ( f ) ，“( ，) ) ，假设一个状态反馈控制律u ( t ) = g ( f ) ) ， 若集合x 是满足闭环系统孟( ，) = 厂( x ( f ) ，g ( x ( f ) ) ) 的不变集，那么x 称之为系统关于控制器 g ( x ( f ”的受控不变集( c o n t r o l l e di n v a r i a n ts e t ) 对于线性受控系统 j 0 ) = a x ( t ) + b u ( t ) ，( 2 8 ) 其中，x ( t ) r 疗，u ( t ) r ”是系统的状态和输入假设一个线性状态反馈控制律 u ( t ) = f x ( t ) ，根据引理2 4 不难得到：若存在矩阵p = ，r “”满足下面的矩阵不等式 ( 么+ b f ) 。p + p ( a + b f ) 0 ( 2 9 ) 那么椭球e ，= x ：x r i x 0 ( 2 ) 如果e k 呱丁+ s 嘭非奇异，则存在矿使得 ( e k k 。+ s 聪) = 以删e + 以s、 l，-jz 其中，旷= ：1 w 。1 ：1 ，= 畦( e k 巧r + s 曙) 引理2 6 例广义系统戤( f ) = a x ( t ) 是正则、稳定且无脉冲的，当且仅当存在矩阵 p r 砌，使得下列式子成立： 彳r p + p r a 0 1 4 鲁东大学硕士学位论文 第三章基于状态观测器的多面体不确定广义系统鲁棒预测控制 文献【2 0 】研究了多面体描述的不确定正常系统的鲁棒预测控制问题，文献【3 5 】针对范 数有界的不确定广义系统，设计了鲁棒预测控制器然而，在实际控制过程中，系统状 态往往是不可测得的，因此，本章针对具有多面体不确定性的广义系统，研究了系统状 态不可测时的鲁棒预测控制问题利用线性矩阵不等式的方法，给出控制律存在的充分 条件分析了广义闭环系统的可行性和渐近稳定性 3 1 问题描述 考虑如下多面体不确定广义系统 ie y e ( t ) = 彳( r ) x ( r ) + b ( r ) 甜( ，) ， 少( d = c x ( t ) ( 3 1 ) i 【4 ( ，) 8 ( 0 】q 其中，x ( t ) r ”是系统状态，u ( t ) r ”是系统控制量q 表示多面体模型，具体形式如 下 q = 【彳b 】i 【彳( 兄) b ( 兄) 】= ：。丑【4e 】 三。乃= 1 ，丑o 对于多面体不确定广义系统( 3 1 ) ，考虑无限时域鲁棒预测控制的滚动优化性能指标 为： m m 以( 3 2 ) u ( k t + r 。k t x r o “ 、7 以_ 州邮m a ( 悯x j ：( x ( k t + r , k t ) 2q x ( k t + r , k t ( 3 3 ) + u ( k t + _ r ，k r ) 7r u ( k t + f ，k t ) ) d r 其中，q o ，r 0 为加权矩阵 考虑如下形式的广义系统状态观测器： 譬啦算汁砌( f ) “眇o ) - 瞬f ) 】 ( 3 4 ) i “( f ) = 版( r ) 、7 其中虱f ) 是状态估计向量，工为待定的观测器增益假设初始状态估计值i ( o ) = x ( o ) ； e ( t ) = x ( f ) 一i ( f ) 是误差项当状态x ( ，) 不可测时，在每一采样时刻玎，用估计值 双打) = 默k t ，i t ) 表示状态在采样时刻打的测量值那么虱灯+ f ，k t ) 表示在时刻玎基 于模型( 3 1 ) 的打+ f 时刻的状态预测值；u ( k t + r ，k t ) 表示打时刻使性能指标( 3 2 ) 优化 的受控输入序列在k t + r 时刻的值 鲁棒预测控制的目的是：通过在每一采样时刻七丁求解优化问题( 3 2 ) ，得到观测器型 鲁东大学硕士学位论文 鲁棒预测控制器 u ( k t + r , 助= 板( 打+ l 忉r o ( 3 5 ) 并使参数不确定广义系统( 3 1 ) 在满足可行性条件下渐近稳定 3 2 基于观测器的鲁棒预测控制 在每一采样时刻灯，直接求解含有模型不确定性的优化问题( 3 2 ) 是比较困难的在 此，首先给出性能指标以的上确界，将无限时域优化问题( 3 2 ) 转化为可求解的线性规划 问题并运用l m i 方法，提出基于状态观测器的综合方法，给出控制律存在的充分条件 考虑二次l y a p u n o v 函数 巩砸) ，e ( t ”= 砸) r e r p x ( t ) + e ( t ) r e r p e ( t )( 3 6 ) 其中，p 满足 e ，p = p 丁e 0 ( 3 7 ) 在每一采样时刻打，假设y 满足以下条件 7 y ( ) c ( - 玎+ lj i ；觋p ( 灯+ 瓦j i 五嘞 x ( i 玎+ 瓦j i 彳厂鱼 口( 玎+ 瓦j i 刃 口f ( 3 8 ) + u ( k t + r , k l y m + 瓦硎 为确保性能指标为有限值，假设x ( o o ，k t ) = 0 ，那么有矿( x ，k t ) ，p ( ，k t ) ) = 0 将式( 3 8 ) 从f = 0 到o o 积分，得到 以v ( x ( k t ) ，p ( 打) ) 显然，v ( x ( k t ) ，e ( k t ) ) 就是以的上确界于是，将问题( 3 2 ) 中最小化性能指标以转化为对 v ( x ( k t ) ，e ( k t ) ) 求最小 定理3 1 对于多面体不确定广义系统模型( 3 1 ) 和性能指标( 3 2 ) ，如果以下l m i 优化问题 i 呶厂 ( 3 9 ) ，w ，k y 。s 朋 l l x ( k t ) r ke ( k t ) 7 ki 豇 lk r x ( k t ) w0 l 0 ( 3 1 0 ) ik r e ( k t ) 0 w i e k k r + s 曙 0 一厂q - 1 ， o o y 尺一1 0 ( 3 11 ) i = 1 ，三 其中，巨l = ( e k k r + s g 7 ) 群+ m 可+ 骂】，r + 4 ( e k k r + s g r ) r ， 1 6 鲁东大学硕士学位论文 豆2 = 怛k 叫r