（应用数学专业论文）单种群多人混合博弈中的ess、nis和gis.pdf

删, i , h | f , , w jjwe,|川i,iii旷1| y 18 9 4 6 6 6 光盘版) 用影印、 相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密日。 学位论文作者签名：罗舞堪 弘f 年1 月j 7 日 指导教师签名：邓交 知，1 年6 月f ，日 单种群多人混合博弈中的e s s 、n i s 和g i s e s s ，n i sa n d g i sf o rm u l t i - p l a y e rm i x e d g a m e si ns i n g l ep o p u l a r i o n 指导教师工占塞 姓名矍贤旭 2 0 11 年6 月 化博弈理论最重要的 基本概念。e s s 能够成功抵御其他变异策略的入侵。另一方面，一个策略是否是 种群长期演化选择的结果，也在于其能否在种群演化过程中成功进入。进入者策 略是能够成功进入种群的策略，所以长期演化过程中也可能被种群中的个体所采 用。本文主要从抵御入侵与可以进入两个角度分析策略的演化稳定性。 本文研究单种群多人混合博弈模型，讨论演化稳定策略e s s ( e v o l u t i o n a r i l y s t a b l es t r a t e g y ) 、邻域进入者策略n i s ( n e i g h b o r h o o di n v a d e rs t r a t e g y ) 与全局进 入者策略g i s ( g l o b a li n v a d e rs t r a t e g y ) 三个主要概念，并着重研究了e s s 、n i s 、 g i s 的性质及关系，重点讨论在混合博弈模型下鹰鸽博弈的一些性质，并获得了 相应的结论。 在多人混合博弈模型中，关于三者之间关系的结论是，如果所有的纯博弈具 有相同的e s s 或n i s 或g i s 那么它也一定是多人混合博弈下的e s s ，n i s ，g i s ， 但反之不成立；e s s 和n i s 是相互等价的；g i s 一定是e s s ( n i s ) 但e s s ( n i s ) 却不一定是g i s ；e s s 和g i s 不能共存，除非策略本身是e s s ；g i s 具有唯一性； 若存在多个e s s 则无g i s 。由此我们得到了一些与单种群二人或多人博弈相似的 结果。 关键词：e s s ，n i s ，g i s ，混合博弈，日一dg a m e ， 行人混合博弈 单种群多人混合博弈中的ess 、nis 和g is 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t e 、o l u t i o n a r ys t a b l es t r a t e g y ( e s s ) i sa b a s i cc o n c e p ti ne v o l u t i o n a r yg a m et h e o r y a ne s sc a ns u c c e s s f u l l yr e s i s tt h ei n v a s i o no fo t h e rs t r a t e g y o nt h eo t h e rh a n d ，i ti s i m p o r t a n tf o ras t r a t e g yt oe n t e rt h ep o p u l a t i o no c c u p i e db yo t h e rs t r a t e g yi fi tc a nb e t h ee v o l u t i o n a r ys t a b l ec h o i c eb yt h ep o p u l a t i o ni nt h el o n gr u n i n v a d e rs t r a t e g yi sa s t r a t e g yt h a ti sa b l et oi n v a d ea l l e s t a b l i s h e dc o m m u n i t i e s ，s oi ta l s oc a nb ea d o p t e db yt h e i n d i v i d u a l so fp o p u l a t i o ni nt h el o n gr u n w ea n a l y z et h ee v o l u t i o n a r ys t a b i l i t yf r o m t w oa s p e c t s ：r e s i s t i n gt h ei n v a s i o no fo t h e rs t r a t e g ya n ds u c c e s s f u l l yi n v a d i n gt h e p o p u l a t i o n i n t h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ec o n c e p t so fe v o l u t i o n a r ys t a b l es t r a t e g y ( e s s ) ， n e i g h b o r h o o di n v a d e rs t r a t e g y ( n i s ) a n dg l o b a li n v a d e rs t r a t e g y ( g i s ) i nm u l t i p l a y e r m i x e dg a m ew h i c hi sc o m p o s e db yp u r eg a m e sa c c o r d i n gt oac e r t a i np r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n t h em a i nc o n t e n ti st h ep r o p e r t i e so fe s s ，n i s ，g i sa n dr e l a t i o n s h i p a m o n gt h e m ，a n dw em a i n l yd i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so ft h eh a w k d o v eg a m ei n m u l t i - p l a y e rm i x e dg a m e ，h e n c es o m ec o r r e s p o n dc o n c l u s i o n s t h em a i nc o n c l u s i o ni st h a ti fa l lt h ep u r eg a m e sh a v eas a m ee s so rn i so rg i s ， t h e ni ti sa l s oa ne s so ra nn i so rag i sf o rt h em i x e dg a m e c o n v e r s e l y , i t sf a l s e a n dw eg i v ec o u n t e r e x a m p l e s f o rt h er e l a t i o n s h i p sa m o n gt h et h r e ec o n c e p t si n m i x e dg a m e s ，w ec o n c l u d et h a tt h ec o n c e p t se s sa n dn i sa r ee q u i v a l e n tt oo n e a n o t h e r ；ag i sm u s tb ea ne s s ( n i s ) ：b u ta ne s s ( n i s ) m a y n o tb eag i s ；ag i s c a n n o tc o e x i s tw i t ha ne s su n l e s si ti si t s e l fa ne s s ；i fag i se x i s t s t h e ni ti su n i q u e ； i ft h e r ei sm o r et h a no n ee s s ，t h e nt h e r ea r en og i s t h e s er e s u l t si nm i x e dg a m e sa r e s i m i l a rt ot h a ti nt w op l a y e rg a m eo rm u l t i p l a y e rp u r eg a m e si ns i n g l ep o p u l a t i o n k e y w o r d s ：e s s ，n i s ，g i s ，m i x e dg a m e s ，h dg a m e ，n p l a y e r m i x e dg a m e s 单种群多人混合博弈中的ess 、nis 和g is 第一章引言。1 1 1 本文的研究背景、现状及意义1 1 1 1 演化博弈论的研究背景、现状及意义1 1 1 2e s s 、n i s 、g i s 的研究进程2 1 2 本文研究的主要内容2 1 3 本文的主要创新点3 第二章博弈论的理论基础。4 2 1 博弈论的基本概念4 2 2n a s h 均衡主要内容6 2 2 1 纯策略n a s h 均衡6 2 2 2 混合策略n a s h 均衡6 第三章多人混合博弈的e s s 、n i s 与g i s 。8 3 1 多人混合博弈及e s s 、n i s 、g i s 的定义8 3 1 1 单种群多人纯博弈的数学模型8 3 1 2 单种群混合博弈的数学模型1 1 3 1 3 演化稳定性的定义1 2 3 1 4e s s 、n i s 、g i s 的等价条件1 5 3 2 多人混合博弈下e s s 、n i s 、g i s 的关系2 0 第四章鹰鸽博弈的e s s 、n l s 、g i s 。2 8 4 1 二人鹰鸽博弈2 8 4 2 三人鹰鸽纯博弈2 9 4 3 三人混合鹰鸽博弈3 1 第五章结语与展望3 5 参考文献3 6 j 瞢【谢3 8 在读期间发表的论文3 9 v 江苏大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 本文的研究背景、现状及意义m 2 m 1 1 1 1 演化博弈论的研究背景、现状及意义 演化博弈理论的思想源于达尔文的生物进化论和拉马克的遗传基因理论，自 二十世纪六十年代l e w o n t i n 4 】就用演化博弈理论来解释生态现象。1 9 7 3 年英国 生物学家约翰梅纳德史密斯( j o h nm a y n a r ds m i t h ) 和g r 普里斯( g r p r i c e ) 在 这个领域进行了开创性的工作，提出了演化稳定策略【5 】概念。从此模仿者动态与 演化稳定策略( r d e s s ) - - 起构成了演化博弈理论最核心的一对基本概念，它们 分别代表演化博弈的稳定状态和向这种稳定状态的动态收敛过程。当时该理论逐 渐被广泛地用于生态学领域。随着研究的深入，八十年代许多经济学家把演化博 弈理论引入到经济学领域，应用于分析股票市场，以及社会制度变迁等等，同时 对演化博弈理论的研究也开始由对称博弈向非对称博弈的深入，并取得了一定的 成果。进入九十年代，尤其是1 9 9 2 年关于演化博弈理论的会议在康奈尔大学召 开，预示着演化博弈理论的学术地位得到正式认可，e s s ( e v o l u t i o n a r i l ys t a b l e s t r a t e g y ) 概念的拓展和动态化构成了演化博弈论发展的主要内容。于是对演化 博弈理论的研究进入了一个崭新的阶段，演化博弈理论的应用得到了更快速、广 泛的发展。 在生态学、经济学以及社会学演化博弈理论都得到了普遍的发展与应用。特 别是演化稳定均衡作为演化博弈理论的基本均衡概念提出之后，学者们在多个领 域对它进行了研究和拓展，并取得了令人瞩目的成果，使得演化博弈理论的发展 得到日趋完善。 演化博弈论在理论和实践两方面都有非常重大的意义。在理论方面，演化博 弈论首先克服了理性博弈分析脱离实际的问题，使得其理论基础更加扎实，实践 性更强。因为演化博弈分析的结果总体上也是支持完全理性博弈分析的，因此等 于使整个博弈论的理论基础得到了加强。其次，演化博弈分析也是从一个角度精 炼和筛选纳什均衡的方法，因此在一定程度上解决了完全理性博弈分析的均衡选 择困难，扩展和加深了我们对以完全理性为基础的博弈分析的认识。第三，演化 单种群多人混合博弈中的ess 、n is 和g is “+ 博弈理论也加深和拓展了我们对人类理性和能力的局限性，以及这种局限性对于 经济问题和经济意义的认识。第四，演化博弈论是经济学与其他科学相互影响、 相互促进的良好典范。它一方面吸收、运用生物进化理论的思想和研究方法，用 于研究人类的社会经济行为，但是反过来它的理论成果又可以用于研究生物进化 演变规律，研究生物的行为特征和生物多样性等问题，使两种学科都得到了重大 进展。在实践方面，演化博弈理论更是有非常广泛的应用范围，例如可以研究国 际政治、军事中关于战争与和平的选择，研究世界政治经济格局的形成和稳定性 问题，研究不同军事策略的价值和意义，研究人类社会制度、组织和规范的发展 和演变规律，也可以研究股市中的投机者行为和股市均衡，解释企业家选择的机 制和企业文化的发展和演变等等。 1 1 2e s s 、s 、gis 的研究进程 m a y n a r ds m i t h 和p r i c e ( 1 9 7 3 ) 在单种群的对称博弈中提出了最原始的演化 稳定策略e s s ( e v o l u t i o n a r i l ys t a b l es t r a t e g y ) 的概念哺1 。e s s 是能够成功抵御其 他变异策略的入侵。为了研究一个策略是否能够入侵已有的种群， 7 8 ，1 4 提出 了邻域进入策略n i s ( n e i g h b o r h o o di n v a d e rs t r a t e g y ) ：即当这个策略的充分小的 邻域内的其他策略为种群中大多数所选择时，使用这个策略可以获得比其他策略 更高的适应度，从而该策略可以成功进入到种群中去。 6 ，1 7 ，1 9 在矩阵博弈模 型中研究了n i s 这个概念。当这个策略能够进入到种群的任意状态时， 6 将其 称为完全入侵策略a i s ( a b s o l u t ei n v a d e rs t r a t e g y ) ，而 1 7 称其为全局入侵 策略g i s ( g l o b a li n v a d e rs t r a t e g y ) 。在单种群二人及多人博弈中， 6 ，1 5 ，1 7 已 经研究了e s s 、n i s 和g i s 三者之间的关系。本文将在单种群多人混合博弈中进 一步研究e s s 、n i s 和g i s 三者之间的关系。 1 2 本文研究的主要内容 演化博弈理论研究博弈群体的状态。群体的状态x 既表示群体使用纯策略的 参与人人数的比例向量，也解释为群体中每个参与人都在使用同一个混合策略。 上述这些研究工作中关于个体收益及种群平均收益都能够由各种群的策略组合 确定。演化稳定策略刻画了这种策略面对微小变异的稳定性，即它能够抵抗变异 2 江苏大学硕士学位论文 策略的微小入侵；而全局( 邻域) 进入者策略的本质在于它能够成功入侵i 乏种群。 上述这些概念是由期望收益( 适应度) 来刻画的。本文对单种群多人混合博弈进 行了e s s 、n i s 、g i s 关系的讨论，并重点讨论了在混合博弈模型中鹰鸽博弈的 一些天系。本文主要分为以下几个部分具体结构如下 第一章介绍了演化博弈理论的研究背景、现状及意义，着重介绍了本文的 主要内容和主要创新点。 第二章给出博弈论的理论基础，并介绍了纳什均衡的基础知识。 第三章本章首先给出了演化稳定策略、邻域进入者策略、全局进入者策略 的一睃描述，并给出了单种群多人混合博弈的e s s 、n i s 、g i s 的定义、性质及关 系。 第四章在混合博弈模型中讨论了鹰鸽博弈的e s s 、n i s 、g i s 。 1 3 本文的主要创新点 本文将演化博弈的研究领域从单种群多人博弈进入到单种群多人混合博弈， 在更为一般的模型中讨论演化稳定策略、邻域进入者策略、全局进入者策略的概 念和性质，并着重研究了三个概念之间的关系。研究表明：如果所有的纯博弈具 有相同的e s s 或n i s 或g i s 那么它也一定是多人混合博弈下的e s s ，n i s ，g i s ， 但反之不成立。关于三者之间关系的结论是，e s s 和n i s 是相互等价的，g i s 一定是e s s ( n i s ) 但e s s ( n i s ) 却不一定是g i s 。e s s 和g i s 不能共存，除非策 略本身是e s s ；g i s 具有唯一性；若存在多个e s s 则无g i s 。 3 单种群多人混合博弈中的e ss 、nis 和g is 第二章博弈论的理论基础 本章主要介绍博弈论的理论基础，为以后研究的演化博弈做铺垫。2 1 节介 绍演化博弈的基本概念；2 2 节介绍博弈论中最基本的概念n a s h 均衡。 2 1 博弈论的基本概念 博弈论的基本概念包括参与人、行动、信息、策略、支付( 效用) 、结果和均 衡，其中，参与人、策略和支付是描述一个博弈所需要的最少的要素，而行动和 信息是其“积木”。参与人、行动和结果统称为“博弈规则 ( t h er u l e so ft h e g a m e ) 。博弈分析的目的是使用博弈规则预测均衡【2 - 3 】。 参与人( p l a y e r s ) ：参与人指的是一个博弈中的决策主体，通常又称局中人。 他的目的是通过选择行动( 或战略) 以最大化自己的支付( 效用) 水平。参与人 可能是自然人，也可以是团体，如企业、国家、甚至若干个国家组成的集团( 如 o p e c 、欧盟、北约等) ，只要它们内部采取一致的行动与外界进行策略互动， 就可以看出一个参与人。通常参与人用f 表示，i i 。 静态博弈( s t a t i cg a m e ) ：如果所有的参与人都同时选择行动，更本质的， 如果所有参与人在选择行动时不知道对手选择了什么行动，则为静态博弈。 信息( i n f o r m a t i o n ) 信息是参与人有关博弈的知识，特别是关于“自然 的选择、其他参与人的特征和行动的知识，是实施决策的重要依据。共同知识是 博弈中反映参与人对信息了解情况的一个重要概念。完全信息意味着没有私人信 息：博弈选择的时间选择、合理的行动支付都是共同知识。具有完全信息的静态 博弈简称完全信息静态博弈( s t a t i cg a m ew i t hc o m p l e t ei n f o r m a t i o n ) ，具有完全信 息的动态博弈简称为完全信息动态博弈( d y n a m i cg a m e w i t h c o m p l e t e i n f o r m a t i o n ) 。 策略( s t r a t e g i e s ) ：策略是参与者如何对其他参与者的行动作出反应的行动 规则，它规定参与者在什么时候该选择什么行动。在静态博弈中，一个策略是参 与人的一个给定的可能行动，指明了参与人在获知任何信息的情况下所选择的行 动，从而，策略选择就变成简单的行动选择。通常s 表示参与人f 的一个特定策 4 江苏大学硕士学位论文 略，3 v 写s , = 矗) 表示参与人f 的所有可能的策略集合( 又称为参与人f 的策略空 间) 。如果个参与人每人选择一个策略，则称s = ( 西，s 2 ，如) 称为一个策略组 j 合，其中墨是参与人f 选择的策略。称s = i - i s , = ( _ ，蚧) i 墨e s , ，i = l 2 , ， i = 1 为策略组合集合。策略式博弈中有两个策略概念，一个为纯策略，一个为混合策 略。纯策略( p u r es t r a t e g y ) 每一个参与人在博弈中选择采用的行动方案，每个参 与人均有其可供选择的多种策略；混合策略( m i x e ds t r a t e g y ) - 在一个给定的概率 下决定参与人决策的随机行动，作为特殊情况每一个混合策略可能是一个给定的 纯策略的确定性选择。 收益( p a y o f f ) ：又称支付、适应度。在特定的策略组合下参与人得到的确 定的收益。如果结果是随机的，那么收益通常用概率来加权平均，即期望收益( 预 期支付) 。收益通常表现为博弈结果中的输赢、得失、盈亏，是参与人真正关心 的问题。在博弈论中通常用u i 表示参与人f 的收益，如果一个策略组合是 ( 墨，s 2 ，s n ) ，每个参与人f 的收益可以用函数= ( 墨，s 2 ，s n ) ，i = l 2 , ，n 表 示，且其收益不仅与，自己的策略墨有关，也与对手的策略组合有关。 均衡( e q u i l i b r i u m ) ：在博弈论中，均衡指的是所有参与人的最优策略的组 合，通常记为s = ( i ，s ，) ，其中f 是参与人f 在均衡状态下的最优策略， 它是参与人f 所有的可能策略中使u i 最大化的策略，而参与人，的最优策略又是 依赖于其他参与人的策略选择。所以说s 是在给定其他参与人的策略选择( 记 为t ，= ( i ，圣。，囊。，) ) 条件下，参与人f 的最优策略。即对v 墨s ，不等 式( i ，圣，霉，) ( i ，4 - 。，s i ，t 。，s 0 ) 恒成立。均衡是博弈论中最 重要、最基础的概念，对于不同类型、不同条件的博弈问题又形成各种各样的均 衡概念，它们构成博弈论五彩缤纷的预测结果。 单种群多人混合博弈中的ess 、n is 和gis n a s h 均衡主要内容 2 2 1 纯策略n a s h 均衡 下面我们给出纯策略n a s h 均衡的概念【1 1 ，它是对非常广泛的博弈问题给出 更加严格的结果。 定义1 在策略式博弈g - - - - s 1 ，s u ；“l ，一，】中，如果对于每一个参与人 ia = l 2 ，n ) ，i 是针对给定其他一1 个参与人所选策略( i ，s i - 。，囊1 ，s n 。) 的最优反应策略，即 (i，幸。，。)(i，siui7 5 n17 $ i ，采。，)( 墨，墨一1 ，墨，墨+ 1 j2 “，【墨， ，墨+ 1 ，知) 对s 中所有的墨都成立，亦即f 是最优化问题 ( s 蕊) 2 糟“r ( 和。，s i 。- 1 7 s i7 “一，靖) ，f 1 1 ，2 ， 的解，则策略组合s 。= ( i ，i ，式) 称为该博弈的一个纯策略n a s h 均衡。 纯策略纳什均衡的意义在于：若其他参与人均采用均衡策略，则余下的这一 参与人只有采用均衡策略才是最好的。 可以从另外一个角度来认识n a s h 均衡。考察一个策略组合 s = ( i ，式) ，如果s 7 不是g 的一个n a s h 均衡，就意味着存在若干参与人 f ，其策略不是针对( 写，l 斗每十p ，式) 的最优反应策略，即在中存在， 使得 u i ( s l ，吐。，+ 1 一，式) ( i ，一。，g ，+ 。，西) 这就说明，如果策略组合( ，站) 不是n a s h 均衡，那么至少有一个参与人 有动因偏离这个结果。 2 2 2 混合策略n a s h 均衡 不是所有的策略式博弈都有纯策略纳什均衡：因为每个参与人并不是确定性 地选择他的一个策略。参与人也许以某个概率随机地从这些纯策略中选择，由此 我们有必要引入混合策略及其纳什均衡【3 1 0 6 江苏大学硕士学位论文 混合策略是指参与人以一定的概率去选择某种策略。这类博弈虽然在一次操 作中有输有赢，但是将这个博弈多次重复进行，可以研究各个策略应赋予多大的 概率，能获得最大的期望收益。换句话说，参与人f 的一个混合策略是在其策略 空间墨中策略s 的概率分布。 定义2 在策略式博弈g = s ，踮；u l ， 中，假定参与人f 有m ，个纯策 略：s ，= 厶， ，那么，概率分布c = ( p n ，p 帆) 称为参与人f 的一个混合 策略，这里，对于所有的，= 1 ，m ；，p 玎= p ( s ) 表示参与人f 以概率既随机选 择纯策略，o p 巧1 ，且乃= 1 。 参与人f 标准的单位向量勺5 ( o ；o ) ( 其中第，个分量为1 ，其余分量为 0 ) 等同于参与人f 第，个纯策略参，因而纯策略可以看成是特殊的混合策略。概 率分布不同就构成参与人的不同的混合策略。 虽然混合策略不能直接告诉我们一次博弈中各参与人的具体选择和博弈的 确定结果，但可告诉我们参与人决策的具体方式以及平均意义上的收益( 期望收 益或称为预期支付) 。 任取p = ( a ，p 2 ，p n ) 为博弈的一个混合策略组合。在此策略组合下，参与 人f 的支付为预期支付 j ，l l ，1 2 m n 局= 薹薹( 屯，) 2 l 如= li s = 1 ” 。” 下面给出混合策略n a s h 均衡的一般定义 定义3 在策略式博弈g = s ，s n ；， 中，设p 为一混合策略组合，如 果 色( 见，p - f ) o ， 见= 1 。称依照概率条件( 仍，p 3 ，见) k = 2 由k 人纯博弈似= 2 ，3 ，刀) 构成的博弈为n 人混合博弈。这种混合博弈在生物界 ( 比如雄蜂为了争夺雌峰之间的竞争) 及市场经济方面( 比如企业或公司在金融 市场上的竞争) 都有很广泛的应用h3 别，所以混合博弈是一种更一般的模型。文 献一州在混合博弈模型下研究了e s s ( e v o l u t i o n a r i l ys t a b l es t r a t e g y ) 的概念，讨论 了混合博弈的e s s 和纯博弈的e s s 之间的关系，并i 进一步研究了e s s 在混合博 弈和纯博弈中存在性的关系。 单种群多人混合博弈中的e ss 、nis 和g is ：一 假设种群状态为j ，则使用策略，参与k ( 忌= 2 , 3 ，1 ) 人博弈的收益为 e k ( i ，) 。从而当混合博弈的概率条件为p = ( 仍，p 3 ，p 。) 时，策略，的期望收 益为 e ( ，) = p 2 e 2 ( ，i ) + p 3 e 3 ( i , ，) + + 见。( ，) ( 3 1 9 ) 由( 3 1 4 ) 式司知 e ( j ，j ) = p 2 【，( ，j ) + p 3 u ( ，) + + p 。u ( ，f ，) 。 ( 3 1 1 0 ) ( 式( 3 1 1 0 ) 中u ( ，) ，u ( ，。，) ，u ( ，n - i ，) 分别表示二人、三人及珂人 博弈时j 的收益，因为不明显引起混淆( 里面的变量个数不同) ，所以都采用一 个函数记号u ) 。 当状态为厂的种群被策略，入侵并且使用，的个体在新种群中所占的比例是 占时，入侵后的种群状态为s ，+ ( 1 一s ) j ，则j + 的收益 ( ，占，+ ( 1 一o o ) i ) = p 2 e 2 ( ，占，+ ( 1 一占) ，) + + p 。e 。( ，g ，+ ( 1 一占) ，) ， 1 1 - j ， = p ：0 占7 ( 1 一s ) 卜u ( ，+ ，) + 死2c ! s 7 ( 1 一g ) 卜u ( ，+ ，2j ，+ ，) + 一 ， + p 。c o i f j ( 1 一占) ”卜7 u ( i + ，+ ，) (3111)1 n1 m 一 一一i 所以我们得到 e u + ，+ ( 1 一占) ，。) - - y p t b - - 1 吐s 7 ( 1 一占) 卜卜7 u ( ，。，k - l - ，。，) 。f， 所以e ( ，占，+ ( 1 一) ，+ ) 是一个关于占的多项式。 3 1 3 演化稳定性的定义 1 2 ( 3 1 1 2 ) 设，s 为策略空间的一个策略，纯策略或者是混合策略。m a y n a r ds m i t h 江苏大学硕士学位论文 和p r i c e 给出了e s s 的最初定义【5 】：如果当，被种群中大多数个体使用时，使用 策略，的个体参与博弈时比使用异于，。的其他策略，的个体可以获得更高的效 用，则称，。为种群的一个演化稳定策略( e v o l u t i o n a r i l ys t a b l es t r a t e g y ) 。当种群 的状态为，。时，演化稳定策略，比其他策略具有更高的适应度，所以在种群策 略选择过程中，演化稳定策略，能够成功抵御其他变异策略的入侵。【7 8 ，1 4 1 5 】 在种群演化系统中研究了邻域进入者策略( n e i g h b o r h o o di n v a d e rs t r a t e g y ) 以强 调稳定性的另一面：当厂的充分小的邻域内的其他策略为种群中大多数所接受 时，使用策略，可以获得比，更高的适应度，从而策略，+ 可以成功进入到种群中 去。【1 7 】将能够成功进入种群任意状态的策略，+ 称为全局进入者策略( g l o b a l i n v a d e rs t r a t e g y ，g i s ) 。 下面我们在多人混合博弈中类似的给出e s s ，n i s ，g i s 三者的概念。设策 略，+ 和，为种群中的个体采用，且对应的个体比例分别为五和( 2 + p = 1 ) ， 则种群状态为2 1 + p l 。定义e s s 时，+ 被大多数个体采用，= g 为小比例； 定义n i s 或g i s 时，j 被大多数个体采用，五= 占为小比例。 定义1 如果对所有不同于，的策略，s ，j 万( 0 万 1 ) ，当0 e ( i ，d + ( 1 - s ) l + ) ( 3 1 1 3 ) 则称，为一个演化稳定策略( e v o l u t i o n a r i l ys t a b l es t r a t e g y ：e s s ) 。 定义2 如果存在，的邻域n ( i 。) ，对v i i + 且i r ( ，+ ) n s n ，j 万 ( 0 万 1 ) ，当0 占 e ( i ，d + ( 1 - s y ) ( 3 1 1 4 ) 那么称，为一个邻域进入者策略( n e i g h b o r h 0 0 di n v a d e rs t r a t e g y ：n i s ) 。 定义3 如果对s j v 且，i ，j 万( 0 万 1 ) ，当0 鲁。 ， j 二人博弈三人博弈 1 ，1 对于，+ = n o ) t 和任意的，= ( 工，1 一x ) t ，我们有 ( ，( 1 一e ) i + e 1 ) = p v ( f , ( 1 一e ) i + 占，) + ( 1 一p ) u u ，( 1 - e ) i + + e l ，( 1 - e ) i + e 1 ) ， e s s 。 ) ， x 【0 ，1 ) 上 的g i s 。 s 、g i s 与 文献【1 8 】已经讨论了多人纯博弈的e s s 、n i s 、g i s 三个概念的等价条件， 这里我们将在门人混合博弈中给出三个概念的等价条件。 山( 3 1 8 ) 式可知e ( ，d + ( 1 一g ) ，) e ( i ，d + ( 1 一s ) ，) 的等价形式是 一 k 一1t - 1 - j t - 1 - j i 2 p k c k j - 1 6 j 0 - 0 一卜7 ( ，- ，) 一u ( ，- ，i ) 1 o k = 2 j = 0 e ( i ，d + ( 1 一e ) x ) e ( i ，e l + ( 1 - 6 ) i ) 的等价形式是 ( 3 1 1 6 ) 见吐。7(卜占)k-l-jn k - l ( ，。，k - l - ：，) 一u ( ，k - l - ：纠 o jij k = 2 j = o 在式( 3 1 1 6 ) 中 t 一1七一l s 。( 1 一占) h 的系数为p k u ( f , ，+ ) - u ( x ，) 】， 占1 ( 1 一s ) 卜2 的系数为t 一，p k u ( i ，厂，i ) - u ( i ， 9o * 9 ，) 】， ( 3 1 1 7 ) r lk - 3k - 3 g 2 ( 1 - c ) h 的系数为吒2 一。仇u ，t ) - u ( 1 ，+ ，纠， k = 2 1 5 单种群多人混合博弈中的ess 、nis 和g is s 纠( 1 一) 。的系数为窆仇( ，k - i ，) 一u ( 1 ，? ，) 】。 在( 3 1 1 7 ) 中 占。0 - 6 ) 的系数为窆仇【u ( 厂，k - i ，) 一u ( i ，? ，纠， s ，( 1 一占) h 的系数为窆文一，见( ，k - 2 ，j ) 一u ( i ，：_ ，纠， 占z 0 - 8 ) 的系数为n 东仇【u ( ，+ ，厂，+ ，k - 3 ，j u ( i ，j ，：- ，纠， n k - ik - 1 f i r - i ( 1 一占) 。的系数为p k u ( 1 ，) - u ( i ，+ ，厂) 】o 注意到定义中可以任意接近零( 从而1 一可以任意接近1 ) ，( 3 1 1 6 ) 以 系数大于零，或者当为 此类推。于是我们得到三 江苏大学硕士学位论文 p 【，( j r + ，j r ) + 2 ( 1 - p ) u ( f , ，) = p u ( 1 ，) + 2 ( 1 - p ) w ( ，) u ( ，i ，) u ( i ，) 存在j 的邻域( ，) ，v i ，且，n ( i ) 或者 ( a ) p u u ，) + ( 1 一p ) u ( ，) p u ( i ，i ) + ( 1 - p ) u ( ，j ，j ) ， 或者 c o ) p u ( f , ，) + ( 1 一p ) u ( ，i ，) = p u ( 1 ，1 ) + ( 1 - p ) u ( ，) ， n i s p u ( f , ，) + 2 ( 1 - p ) u ( f , 厂，) p u ( i ，+ ) + 2 ( 1 - p ) u ( i ，) 或者 ( c ) p u ( f , ，) + ( 1 一p ) u ( ，j ，) = p u ( 1 ，1 ) + ( 1 - p ) u ( ，j r ，) ， p u ( f , r ) + 2 ( 1 - p ) u q l ，1 1 ，i 、= p u ( 1 ，1 1 ) + 2 ( 1 - p ) u ( i ，i ，l 、。 u ( 1 + ，) u ( i ，) v i i 或者 ( a ) p u ( ，i ) + ( 1 - p ) u ( ，+ ，i ，i ) p u ( i ，) + ( 1 一p ) u ( ，i ，i ) 或者 c o ) p u ( f , ，) + ( 1 一p ) u u ，i ，i ) = p u ( 1 ，) + ( 1 一p ) u ( ，i ，) g i s p u ( f , i + ) + 2 ( 1 - p ) u u ，+ ，i ) p u ( i ，i ) + 2 ( 1 - p ) u ( ，i ) ， 或者 ( c ) p u ( f , i ) + ( 1 - p ) u ( 厂，i ，i ) = p u ( i ，1 ) + ( 1 - p ) u ( ，i ，i ) p u ( f , l ) + 狮- p 炒( ，i ) = p u ( i ，i ) + 2 ( 1 - p 炒( ，i ) ， u ( i ，j ，i 。) u ( i ，i ，i ) 一般地，我们得到，z 人混合博弈时三个概念的等价条件。 1 7 单种群多人混合博弈中的ess 、nis 和g is 命题3 1i + 为混合博弈的e s s 当且仅当下面的刀个条件中的某一个满足。 月k lk - 1 p k u ( 1 , ，+ ，) = e p k u ( 1 ，+ ) ， k = 2k = 2 nk 一2k - 2 c ：一。p k u ( i , ，+ ，) c ：一。p k u ( i ，) ； 、， r f q 一 七 r ， ， u 阢 。胤 、， r f q 七 ， l u 巩 。心 、， ， o 一 七 ， 一 u 阢 。魁 l i 、， r f o 一 七 ， l u 七只 。m ( 1 2 ) 七一l ，) = k - 2 ，) ，) = 一2 k - ( n 一1 ) ，) = ，) ， ，) ； ，) ， ) 且 满足。 ，k ，- ( n - ，1 ，) ) 且 例3 2 考虑2 人、3 人的纯博弈构成的混合博弈，支付矩阵由下表给出，概 率条件为l ，= ( p ，1 一p ) 。 对于厂= ( 1 ，0 ) t 和任意的，= ( x ，l - x ) t ，我们有 1 9 且 、， ， q 七 ， u u 仇 。魁 1 ， 卜一 ， u u 既 。脱 2 ， 卜一， u u 玫t 。心 ， u u 既一t 。脱 q 一 七 lu u 仇 。魁 lu u 仇 。心 ) l l 2 ， 卜一， r ， l u 七p一文 。魁 = 、， ，i 2 ， 卜一， ， l u 仇q0 。雠 2 护 一r u u 以屯1 。一 七 r u u 仇屯1簟 。m o 、 ，l ， q 一 耳 ， ，l ， r l ，l u 、， r f ，