（岩土工程专业论文）laplace方程若干问题的解及其在渗透破坏等研究中的应用.pdf

摘要 摘要 本文主要讨论了柱坐标下不同介质有限区域内用分离变量法求解l a p l a c e 方程的问题。通过一系列计算试验，首次提出了柱坐标下l a p l a c e 方程在不同介 质有限区域内用分离变量方法求解的可解性判定，即给出了方程可求解的一个 必要条件。同时给出了一些问题的解，并用这些解对渗透破坏现象进行了讨论。 由于数学描述的相似性，这些解也可应用于热传导问题。本文工作对于数学物 理方法具有较大意义，对于管涌、流土、热传导等工程问题具有一定的意义。 关键词：l a p l a c e 方程分离变量法柱坐标渗透系数渗透破坏管涌流土 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nt h ep r o b l e mo fs o l v i n gs o m el a p l a c ee q u a t i o n si n c y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e su s i n gt h em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e s 。t h el a p l a c e e q u a t i o n sh e r ea r ed e f i n e dt od e s c r i b et h ed i s t r i b u t i o no fc e r t a i np h y s i c a lv a r i a b l ei n f i n i t el a y e r e dm e d i u mw i t hd i f f e r e n tp r o p e r t i e si nd i f f e r e n tl a y e r s a f t e ras e r i e so f c a s es t u d i e s ，an e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h es o l v a b i l i t yo fs u c he q u a t i o n si sf i r s t b r o u g h tu p s o l u t i o n sf o rs e v e r a lp r o b l e m sa r eg i v e na n du s e dt os t u d yt h e p h e n o m e n o no fs e e p a g ef a i l u r e t h e s es o l u t i o n sc a na l s ob ea p p l i e dt op r o b l e m so f h e a tc o n d u c t i o n t h es t u d yi so fm u c hs i g n i f i c a n c et om a t h e m a t i c a lm e t h o d so f p h y s i c s ，a n dt oe n g i n e e r i n gp r o b l e m ss u c ha sp i p i n g ，s a p p i n g ，a n dh e a tc o n d u c t i o n k e yw o r d s ：l a p l a c ee q u a t i o n ；m e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e s ；c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s ；c o e f f i c i e n to fp e r m e a b i l i t y ；s e e p a g ef a i l u r e ；p i p i n g ；s a p p i n g i l 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名： 年 月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 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洞连通，那就迅速发展为管道内集中涌水淅土的现象，其严重后果是堤下土体内渗水通 道的塌陷，造成堤防不均匀沉降和整体失稳。h a g e r t y ( 1 9 9 1 ) 通过大量工程实例研究，总 结了管涌的一些典型特征，指出管涌发生的一些必要条件，并提出了一个诊断方案。 m a s a n n a t ( 1 9 8 0 ) 通过对美国a r i z o n a 州b e n s o n 地区管涌现象的研究，认为易发生管涌的 土通常是低粘性的。以此相应，大部分关于管涌的研究集中在无粘性土上，主要有p e r r y ( 1 9 7 5 ，1 9 7 9 ) ，b r o w n 等( 1 9 8 7 ) ，o d g a a r d 等( 1 9 8 9 ) ，s h e r a r d 等( 1 9 9 2 ) ，s k e m p t o n 等( 1 9 9 4 ) ， 刘忠玉( 2 0 0 1 ) 等。由于少量粘性土中管涌实例的存在，z a c h a r i a 等( 1 9 7 5 ) 通过试验对粘 性土抗管涌的各种因素作了分析，而h s u ( 1 9 8 1 ) 通过工程实例对此作了总结。 第一章绪论 由于渗透破坏的临界水力梯度及其重要，学者们在这方面作了大量研究。b l i g h ( 1 9 1 0 ) 根据大量渗透破坏的现场研究，提出了抵抗渗透破坏临界水力梯度的经验公式， 并根据地基土的不同类型，给出了经验值。t e r z a g h i ( 1 9 2 2 ，1 9 2 9 ，1 9 4 3 ) 假设土体渗 透系数均匀，基于土体中竖向力平衡的分析，提出了著名的临界水力梯度公式。但是 k a l i n ( 1 9 7 7 ) ，s k e m p t o n 等( 1 9 9 4 ) 研究发现管涌发生的临界水力梯度小于t e r z a g h i 的临 界水力梯度。k a l i n ( 1 9 7 7 ) 通过分层土体竖向力的受力分析，得到随深度变化的渗透破坏 安全系数，通过求其极值可以预测渗透破坏最易发生的位置，并与试验进行了对比，指 出t e r z a g h i 的按均匀土体假设得到的临界水力梯度是不均匀土体的临界水力梯度的最大 值。s k e m p t o n 等( 1 9 9 4 ) 通过自制的砂土进行试验，发现颗粒级配良好的内部稳定土，其 发生渗透破坏的临界水力梯度与t e r z a g h i 的临界水力梯度相近，而颗粒级配不好的内部 不稳定土，其发生渗透破坏的临界水力梯度远小于t e r z a g h i 的临界水力梯度，认为可能 的原因是内部不稳定土中细颗粒受土体本身应力较小，容易被渗流带出。研究者们从不 同角度提出了各种临界水力梯度，主要有k h o s l a 等( 1 9 3 6 ) ，c a s a g r a n d e ( 1 9 3 7 ) ， d a v i d e n k o f f ( 1 9 7 0 ) ，吴良骥( 1 9 8 0 ) ，沙金煊( 1 9 8 1 ) ，k h i l a r 等( 1 9 8 5 ) ，s e l l m e i j e r ( 1 9 9 1 ) ，刘杰( 1 9 9 2 ) ，k o e n d e r s ( 1 9 9 2 ) ，刘忠玉( 2 0 0 1 ) ，陆培炎( 2 0 0 1 ) ，o j h a ( 2 0 0 3 ) 等。刘忠玉( 2 0 0 1 ) 利用h a p p e l 和b r e n n e r ( 1 9 6 5 ) 用反射法得到的对单个颗粒的阻力 公式，通过一些假设，提出了临界水力梯度，并将他的计算方法与s k e m p t o n 等( 1 9 9 4 ) 的 试验结果进行了比较。但由于采用的是阻力公式的一阶近似形式，就只适用于稀薄系统， 如泥沙沉淀。而管涌刚开始发生时，土体颗粒之间并不是稀薄的，因此忽略管涌通道壁 面效应建立的临界水力梯度公式是不大适合的。o j h a ( 2 0 0 3 ) 基于多孔介质的渗流方程和 b e r n o u l l i 方程耦合以及临界牵引力条件，同时考虑了土体的孔隙率在产生临界水头时的 作用，建立了确定临界水头的公式。应用恰当的转换，这个公式的结果与b l i g h 的经验 公式相符合。 近来有些对渗透破坏的模拟分析，最有代表性的是采用差分法、有限元等数值方法 对渗透破坏的模拟，如朱伟等( 1 9 9 6 ，1 9 9 9 ) ，宇野尚雄( 1 9 9 7 ) ，赤井浩一等( 1 9 9 7 ) ，殷 建华( 1 9 9 8 ) ，谢红等( 1 9 9 9 ) ，张家发等( 2 0 0 0 ) ，李守德等( 2 0 0 3 ) ，a c h m u s 等( 2 0 0 3 ) 等，这些工作的不足之处在于模拟渗流的范围内，将渗流与土割裂开来，不能考虑土体 和渗流的相互作用。由于管涌发生具有较大的不确定性，学者们基于概率统计和其他方 法，分别从不同角度发展了一些分析方法，主要有p e t e r ( 1 9 7 4 ) ，曹敦侣( 1 9 8 5 ，1 9 9 7 ) ， s a t o 等( 1 9 9 0 ) ，f o s t e r 等( 2 0 0 0 ) ，刘忠玉( 2 0 0 1 ) ，张我华等( 2 0 0 4 ) ，这些模型的特点 是宏观地描述了管涌发生的某一种因素和过程，比较粗略。关于渗透破坏的解析分析相 对较少，最著名的是s e l l m e i j e r 等( 1 9 9 1 ，1 9 9 2 ) 的工作，他们对坝底接触冲刷这种形 式提出了比较完整的数学模型，得到当坝底渗透通道发展至坝底一半长时，坝基破坏， 2 第章绪论 不足之处是推导过程较复杂，很多模型参数较难确定。林志( 2 0 0 1 ) 借鉴了s e l l m e i j e r 的工作，通过一定的简化方法求得了同一问题的部分过程的近似解。李兴文( 2 0 0 0 ) 运 用地下水动力学的井流理论，定性地论述了管涌发生后在多孔介质的透水层中将会产生 集中渗漏通道，理性的分析了产生集中渗漏通道的原因。 综上所述，流土机理相对简单，研究相对成熟些，管涌机理的研究却基本上还处于 试验阶段，理论分析不成熟，解析分析较少。 1 2 数学物理方法的研究现状 广义的数学物理方法涉及大部分发展得比较成熟的基础数学的各个分支。狭义的数 学物理方法研究的是从物理、力学和工程技术问题中所归结出来的偏微分方程，它具有 紧密地、直接地联系着许多自然现象的特点。比较经典的研究对象是波动方程，热传导 方程和位势方程，研究方法有分离变量法，积分变换法，格林函数法和保角变换法等。 其中l a p l a c e 方程是热传导和位势方程中共同的描述稳定状态的基本方程，分离变量法 是偏微分方程的一种最常见的求解方法。对于简单形状的均匀介质中用l a p l a c e 方程描 述的物理问题，分离变量法可以得到较好的结果。但是对于介质参数不同的多个区域共 同组成的总区域内用l a p l a c e 方程描述的物理问题，却鲜有学者用分离变量法求解。原 因可能是这种情形的求解复杂度急剧增加，或者根本无法求解。 1 3 问题的提出及其研究方法 我国是世界上长期遭受洪水灾害最为严重的国家之一。人民生命财产的安全很大程 度上依赖于堤防工程的稳定安全与有效防洪，而渗透破坏，特别是管涌，是江河大堤在 汛期的常见险情。因此，管涌机理的研究，具有较大的意义。签于目前管涌理论分析较 不成熟，这方面开展些工作是有益的。 通过大量中外文献搜索、阅读，发现管涌的发生发展与土体渗透系数有着极为密切 的关系，土体渗透系数在管涌研究中具有重要作用，具体原因如下。 ( 1 ) 管涌在某处发生，究其原因，是该处的水力梯度达到了临界水力梯度。然而， 管涌在该处首先发生而不是在别处先发生，应有两方面的原因，一是水力梯度分 布的不均匀，二是土体渗透系数分布的不均匀。二者综合的结果，使管涌在最薄 弱的位置首先发生。事实上，水力梯度分布的不均匀，很大程度上是由于土体渗 透系数分布的不均匀引起的。因此，土体渗透系数分布的不均匀，是管涌发生 第章绪论 的主要内因。研究土体渗透系数，对于考察管涌的发生具有重要意义。 ( 2 ) 管涌发生后，发生处部分土体颗粒被带走，使土体渗透系数的分布更为不均，水 力梯度分布随之更不均匀。土体渗透系数与水力梯度二者相互作用， 直至管涌 破坏。因此，研究土体渗透系数，对于考察管涌的发展也具有重要意义。 ( 3 ) 管涌的发生是比较微观的现象，而经典的d a r c y 定律是对土体渗透现象平均统计 意义上的宏观描述。这样，用描述宏观现象的d a r c y 定律来解释相对微观的管 涌的机理，似乎存在一定的矛盾。因此，有学者尝试利用相对微观的手段( 比 如刘忠玉( 2 0 0 1 ) 的工作，分析某情形下单个颗粒的受力) ，来解释管涌的机理。 但是，考察现有文献，其结论往往并不可靠。因为这些研究的结果，并没有很 好的处理所分析的颗粒与颗粒周边的条件。要弥补不可靠性这一缺点，可以尝试 宏观和微观相结合的手段，而与宏观和微观相联系的最关键的因素是不均匀的渗 透系数。 为了与著名的管涌试验结果相对比，决定求解柱坐标下有限区域内渗透系数不同的 土体的水头分布问题。假定土体和流体不可压缩，则m 。点邻域q 内流量差为零，有 触d s 她靠矿。0 ，其中粕的表面旧) 粕的体积即咖y 划， 又由d a r c y 定律，；：k 等，得v 2 ：o 。 纠 在柱坐标轴对称情况下的具体形式是三昙( p 罢) + 警：o ， po p o p o z 这是二元二阶线性偏微分方程，本质上是柱坐标中无角变量的l a p l a c e 方程。 对于上述柱坐标下的l a p l a c e 方程，难以应用保角变换法进行简化求解。此问题又 是在有限区域内，因此也不能用积分变换法通过降低维度简化。这样，问题就有相当的 复杂性，在数学物理方法中只有经典的分离变量方法可能有效。但是，对于柱坐标下性 质不同的介质组合体，未曾发现有人用分离变量法求解。直接求解这样多种不同渗透性 的介质中流体运动的问题非常困难。本文尝试将总区域分成多个子区域，各子区域两两 通过交界面处的过渡条件来传递物理量。先求各子区域中水头场的解，这些解包含交界 面处的过渡未知参数。然后根据交界面处的过渡条件，消去过渡未知参数，便得到各子 区域中水头场的解。综合所有子区域，便得到了总区域水头场的解。根据d a r c y 定律， 可由水头场求得速度场等。 第一章绪论 1 4 本文的主要工作及其意义 本文主要讨论了柱坐标下不同介质有限区域内用分离变量法求解l a p l a c e 方程的问 题。由于分离变量法有较广泛的应用范围，如果能得到一系列基本组合结构的解，就可 通过不断组合求解复杂问题的解，那么这些基本解带来的意义是极大的。因此，本人进 行了一系列计算试验，首次提出了柱坐标下l a p l a c e 方程在不同介质有限区域内用分离 变量方法求解的可解性判定，并给出了一些问题的解。这些解可以用来讨论管涌、流土 等现象。由于热传导问题数学描述的相似性，本文工作也适用于热传导问题。 本论文对于数学物理方法具有较大意义，对于管涌、流土、热传导等工程问题具有 一定的意义。 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 2 1 一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布问题 本章要考察的问题是： 半径为r ，高为日的圆柱形域内有层土，各层土均质，渗透系数为k ，厚度为忍， ( 江1 ，2 ，) ，边界条件如下： 上底面的边界条件：”= a ( p ) 下底面的边界条件：材= 五( 力 侧面边界条件：罢= g ( z ) o p 其中，材表示水头。要求圆筒内整个区域的水头分布，如图2 1 。 材= 彳( p ) 越= 以( 纠 抛 ，、 _ 2 9 【z ) o p 图2 1 一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布问题 为了方便后续章节讨论，本章较为详细地给出此问题的水头分布解答。用于求解的数 学基础知识主要有： ( 1 ) 函数空间理论，特别是无限维函数空间中s t u r m - l i o u v i l l e 型方程的本征值理论； ( 2 ) 偏微分方程的分离变量法； 6 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 ( 3 ) b e s s e l 函数及其性质。 为了求解上述问题，我们不妨先考察简单些的问题。 2 - 2 当侧面梯度g ( z ) = 0 时的水头分布解答 不妨先考察如下的简单问题： 半径为尺，高为日的圆筒内均质土上下底面的水头分布分别为f ( p ) 和五( 力，侧面不透水， 求圆筒内整个区域的水头分布。 此问题较为简单，解答见附录a 。此处我们引用其结果。 u ( p ，z ) = d o + e o z + j o ( a p ) ( d e 即+ 色e w ) ( a 一6 ) 其中满足j , c a r ) = 0 。 下面我们考察土层为三层的情况，假设各层土的渗透系数为k ，厚度为曩，( ，= 1 ，2 ，3 ) ， 则各层的水头分布为 甜l ( p ，z ) = a o + b o z + 厶( p ) ( 以p 嘞：+ 最p 一2 ) 疗= i “2 ( p ，z ) = c o + d o z + 山( p ) ( c p 。+ 见p 一2 ) u 3 ( r ，z ) = 岛+ f o z + ( 夕) ( e p 2 + c g 一。) 井= l 其中满足j l ( a 。r ) = 0 。 侧面边界条件已被用于确定本征值问题，可用的求解条件还有上下底的边界条件和中 间交界面处的过渡条件，如下： 在z = 0 处， 地( b 0 ) = 正( p ) 在z = 厶处，( 夕，厶) = u 2 ( p ，厶) 墨垫1 2 ：生= 疋丝1 2 ：生 如 瑟 7 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 在z = 厶处， 就2 ( p ，岛) = 坞( p ，厶) 疋丝1 2 ：型：疋垫1 2 ：刍2 a z 3 a z 在z = h 处， u 3 ( p ，日) = a ( p ) 即有： 在z = o 处，厶+ 山( p ) ( 4 + 色) 项( 夕) n = l 在z = 厶处， 么+ b o l l + 矗( p ) ( 4 少+ b n e - a & ) = c o + 或厶+ z j o ( 0 6 , p ) ( c e 岛+ q p 一厶) n = ln = l k , a o + 厶( 夕) ( 以p 厶- - b n e - a & ) ) = 墨 岛+ 矗( p ) ( g p 厶一o n e 一厶) 在z = 厶处， c o + 或厶+ 厶( 户) ( q p 上2 + 见p 工2 ) = e o + f o l , + j o ( a p ) ( e e 岛+ f n e - a z 2 ) 疗= l 露= i k d d o + 山( p ) ( g 毋工2 一或p 一岛) ) = 恐 r + 山( p ) ( e 岛一只p 一岛) n = ln = l 在z = 日处， e o + r h + d o ( a p ) ( e e + c e 一) = 六( p ) 对各式分别按正交基 1 和 厶( p ) 关于p 积分，并化简得： 4=百i：jf,(p)pdp 似= 一 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层士的水头分布解答 4 + 鼠厶= c o + d 0 厶 4 p 上1 + 鼠口厶= c ：p 三1 + 或e 一厶 k i b o = k 2 d o 墨( 4 l p 厶一色e 一厶) = 如( g p 嘞厶一或p 一厶) g + d o 厶= e o + 矗厶 q e 乞+ 色g 一嘞z 2 = e p 岛+ e p 一z 2 恐或= 恐r k 2 ( c , , e 岛一见p 一岛) = 墨( e e 上2 一e p 一岛) 磊+ 矗日= 1 ：r f 2 ( 万p ) p d p e p 曰+ c p 一月= 一 伽譬 肛1 i ：r a ( 万p ) p d p 厂= 墨塑墨! 垒壁竺竺 聃r 2 ( p ) p 和 厶= 一 9 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 得系数么，鼠，c o ，d o ，磊，圪和4 ，最，c ，包，e ，e 的计算矩阵函数分别为 1 e ， k 栌厶 o 0 0 l p 一h k p 一厶 0 o 0 o p 岛 一如少 p 上2 k 2 e 如 o 彳。 0 0 0 0 石2 0 一p 一上 如p 一 p 一| 2 一砭p 一岛 o 0 0 o p 如 一墨e 岛 e a h 0 o o p 一工2 如e 一岛 f a “h 4 最 g 或 e 只 j m 0 0 0 0 厶 同理我们可以推广至层的情况。 假设第f 层底部的z 坐标为厶，( f = 1 ，2 ，n - 1 ) ，第层底部的z 坐标为h ， 则第f 层的水头函数为 ( p ，z ) = 4 。+ 氐z + 厶( p ) ( 如e 即+ 玩e 一2 ) ( 2 1 ) n = l 其中满足以( r ) = 0 。 记 4 = 【4 。，最。a 。吼。】7 ，f o = 【彳。，0 0 ，彳：】丁， 4 = 【4 万，垦圹a m 】r ，e - - i f ，0 0 ，厶】r ( f = 1 ，2 ，n ) 则系数计算矩阵函数为： 眠4 = f o ，心4 l = c ( 2 2 ) 其中， 压屏厶肪廓r o o o心日 o 0 0 o 0 o厶彤厶膨o o o 0 0 0 0厶墨o 0 0 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 m 0 = 坂= 10 00 1 厶一l 厶 0 墨0 一心 1100 善 0 k 毒镰、一k ；吨凼一k k 蔷吨 1 厶一l 一1 一厶一l 0 k 1 0 一墨 1 l n l - 1 一k l 0 k n t 0 一k n 0o1日 ? 谌hf l o 乒h? 乒h 乒h x ? 。“一k j 。谌h k 。t k i 0 - h 对于一层和二层的情况，系数计算矩阵函数分别为 b 三 乏 = 妥： ， p 三日e 三日 爱 = 竞 ( 2 - 3 ) 毒n ；电秘l n 47 乒n d。一n k 昏? 嘻n - 、一k n f 尊n _ 、一k ? 嘻拍- 、k 吒镰n 一、 00f 日 ( 2 - 4 ) 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 和 100o 1 厶一l 一厶 0 k t0 一k 2 001日 l p 墨p 厶 o l p 一工l k , e 一嘞厶 0 4 0 置。 如 彳。 0 0 彳2 0 一p 厶 一曼e z i e a 日 o p 一 砭g 一厶 2 _ h 4 月 蜀一i 鸣。l _ 岛= j 2 3 当侧面梯度g ( z ) 0 时的水头分布解答 刭 此时，除了侧面齐次边界条件，底面非齐次边界条件解 嵋( p ，z ) - 4 0 + e 。z + 厶( p ) ( 以p 即+ 忍。p 一2 ) ， ( i = 1 ，2 ，) 还要加上底面齐次边界条件，侧面非齐次边界条件的解 咖) = 喜叫和咖( 警产) ，淝1 2 ， ， 合并两部分的解后，得到 砌力咆喁z 嘻讹袱气n v 即) 嘻巳厶呼舳( 警) ( 2 5 ) ( 汪l ，2 ，n ) 其中满足以( r ) = 0 。 下面求解各系数。 为了方便求解g ，这里引入各层的局部z 坐标，用乞表示，坐标原点在各层顶面中心，则 咖砧= 善o o 吼百n g y 小i 1 1 年) ， ( ，) 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 代入侧面边界条件掣= g ( z ) ， 得， d p 善g 等l ( 箐蛐( 争叫z ) 利用正交性积分后得到 巳= 磊氦r 比埤= 班眦t n t c z ) 比 下面求解4 0 ，骂。，以，峨。可用的求解条件还有上下底的边界条件和中间交界面处的过渡条 件，如下： 在z = 0 处， 甜l ( p ，0 ) = 石( p ) 在z = 厶处，“。( p ，厶) = 吃( p ，厶) 咒a u l ( p , l i ) = k 2 o u 2 ( p , l 娩o z l i ) 在z = 厶处，( p ，厶) = u i 卅( p ，厶) k 掣= k + 掣 o z化 在z = 日处， ( p ，h ) = 五( 户) 即有： 在z = o 处，4 。+ 厶( p ) ( 4 开+ 置一) ( 夕) n = l 在z = 厶处， 、- 、 h 一 p 一已 + h p 撑砭x d 竹 口 ，t 一一 厶 。稍 + 厶o芝 + o以 1 、- 、 h 一 e 厅最 + h p 斗4x p ，l 厶 叫 + o目 + o4 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 墨 尽。+ 喜厶( p 心( 4 矗p 啪一e e - u , 4 ) + 喜c l 厅厶( 署纠署c 。s ( 聊) ) = + 善抛眺( 缸啪一岛h e - a & ) + 弘厶尝力箐) 在z = 厶处， 4 0 + 厶+ 厶( p ) ( 以p 与+ 既口一) = 4 f + 1 ) o + 最f + i ) o 厶+ 厶( p ) ( 4 州) 一口上+ 最) 尸一厶) k 骂。+ 善o o 山( p ) ( 如毋一阮p 一) + 羔r l - - | 巳厶( 竽，l ip ) n 惕n c 。s ( 疗万) ) 呱t ) o + 喜抛鹏( 4 i + 1 ) n e a l * - - b ( i + 1 ) n e - a ) + 喜c ( 州 ( 署p ) 署 在z = h 处， 氏o + 氐。日+ 山( p ) ( p + p 一) = 厶( p ) 对各式分别按正交基 1 ) 和 - i o ( p ) 关于p 积分，并化简得： 在z = 0 处， 小学 上p d p 钳耻粤竽型丝 i ：名( a , , p ) p d p 在z = 厶处， 4 0 + 最。厶= a 2 0 + 厶 4 一e 厶+ 骂疗e 一厶= 4 一e 厶+ b e 一工 1 4 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层士的水头分布解答 酗o - c , 民= 两1 埔喜q 箐酬刎r 厶噜力砌+ k 喜等r 厶玺力删 k ( 4 一e 厶一蜀一e - a 4 ) 一坞( 鸣即e 1 1 一岛打e - a i 1 ) =一a1：rj20(ap)pdp小k-静鲁c0sc纠r厶c和抱咖和 + 砭喜c 2 七百k x 上e j , 姒i k x 砒( 训脚) 在z = 厶处， 4 0 + 忍。厶= 4 f + 1 ) o + 最f + 1 ) o 厶 厶p 厶+ b m e 一= 4 “l p 口一+ 最l + 1 ) 一p 一 k 一k + t 最) o = 百小k 妻k = ! 巳挈z ic 。s c 刎r 厶c 等力p + 喜q 州，七等r 厶c 鲁尸彬虏 k i ( 4 , , e 与一吃p 一) 一k + l ( x k ，+ l 加e 与一盈“”厅p 一厶) =一a1：rj20(ap)pdp_k妻k=i q 挈n lc o s ( 纠r 厶( 和讹咖和 岷姜c ( 川k x i , , k x ：砒( 训脚) 羞z ：日处， 彳n o + 氐。日：i ： l 下( p 一) p d p 彳m p 日+ b n n e - a h = 一 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层士的水头分布解答 驴百i r f ：( p ) p d p i p d p 厂：corf i ( p ) j o ( a p ) p d p “ 拈幢n p d p 厶= 一 驴南冲墨静和r 晦p ) p d p + k 2 捌等r 咯删p ， 石开=：=_r丐吾丽i 一墨喜q t c 。s e 七万，r 厶c 等夕，厶c p ，夕d p + 如喜等r 厶( 和抛咖纠 厶= 百t k 喜g 等c 呶纠r 厶c 等p ，州尸+ 翰喜q m ，t 等r 厶c 鲁力p ， 厶2 ：- l 【巧而l 一k 喜q 等c 。s c 尼万，r 厶c 等p ，山c p ，p d p + k + - 丢o oc ：【川，t 石k g 州, r 石k n p v o ( a , 力彬p 将它们的方程整理如下： 在z = 0 处， 4 0 = 无o 4 打+ e 一= 厶 1 6 d一， p 一夕 、，一 盘 p 一翻 簧 p 七一 = d 记 五 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 在z = 厶处， 4 0 + 蜀。厶= 如+ 岛。厶 4 。e 上1 + e 刀e 一上1 = 4 一e 工1 + 岛一e 一厶 墨尽。一如= 石。 墨( 4 疗e - b , 撑p 一厶) 一疋( 4 一e 上1 一岛。e - e l n ) = 彳打 在z = 厶处， 4 0 + 忍。厶= 4 州) o + 最f + 1 ) o 厶 以p 厶+ 玩p 一与= 4 “1 ) 一p 与+ 最“1 ) 蚪p 一与 k 骂。一k t 最州) o = z o k ( 以p 啪一吃p 一) 一k + l ( 4 川) 一p 一最i + 1 ) 。p 一厶) = 厶 在z = h 处， 厶o + 氐o h = 厶 a n p 。七b 哂# 。曲= 豫 令 4 = 【4 。，骂。，如，4 0 ，忍。，a n 。氐。】7 ， f o = 【六o ，0 ，石o ，0 ，a o ，0 ，z o 。0 ，j ( n - i ) 09 五o 】r ， 以= 【4 。，骂一，鸣疗，岛4 ，l ，玩，】r ， c = 【厶，0 ，石刀，0 ，五，o ，厶，0 ，石矽厶r 则系数计算矩阵函数为： 其中， m o 4 0 = 矗，心以= e ( 2 6 ) 第二章一类边界条件下圆柱形域内竖向分层土的水头分布解答 g o = m n = looo 1 厶一1 厶 0 墨0 一k 2 1 厶 - 1 一厶 0 k0 一k + l 1 瓦一l一1 一l ，1 0 k n 0一k n 1日 ( 2 7 ) ll p e - z ie a z l- e 一上i x , e 上1 一k 口一z l 一局p 岛口一厶 e 啪e 一厶一p 正fe - 上， k p z ，一k e 一与一k + 1 铲厶k + l e 一厶 e a l n - tp 一l ie a _ l n l- e a n l x - i 氍1 p “i j 一1 e 一“- l k x e 如4k a , e 一幻一l e a h e - a h 1 8 ( 2 8 ) 第三章柱坐标下l a p l a c e 方程耷不同介质查限匿笪内用分翟匠变题法求鲤的卫鲤丝型窒 第三章柱坐标下l a p ia c e 方程在不同介质有限区域内 用分离变量方法求解的可解性判定 3 1 可解性判定问题的提出及其意义 在上一章我们求解了圆柱形域内竖向分层土在一类边界条件下的水头分布问题，自然 地会想其它组合情况下的问题是否可解。由于分离变量法有着较广泛的应用范围，如果能 得到一系列基本组合结构的解，就可通过不断组合求解复杂问题的解，那么这些基本解带 来的意义是很大的。由简单拓扑知识，基本结构可分为单向线性组合结构、分叉组合结构 和连环组合结构，分别如图3 1 ，3 2 ，3 3 。图3 1 中，物理量是单向传递的，即1 2 n ；图 3 2 中，物理量是分叉传递的，即2 1 ，2 3 ；而图3 3 中，物理量是连环传递的，即1 2 ， 2 3 ，3 1 。后二图中子区域1 是圆柱，子区域3 是圆环柱。图3 2 中，1 和3 侧面是不接触 的，虽然其间隙尺度假设为零。 1 ，、 n i l3 ，1 l 1 1 j 图3 1 单向线性组合结构图3 2 分叉组合结构图3 3 连环组合结构 3 2 可解性判定准则 上一章已经求解了单向线性组合结构的一种形式，这里不妨考察分叉组合结构的一种 简单形式，如图3 2 。假设予区域3 的内径为，外径为r ，高度为三，整个区域高为日。 i v 2 “l ( 岛z ) = o ； 蜥f 舻，= 蜀( z ) ； ( p , z ) q l 【b = 石( 力 1 9 第三章柱坐标下l a p l a c e 方程在不同介质有限区域内用分离变量方法求解的可解性判定 ( p ，z ) q 2 fv 2 u 3 ( p ，z ) - 0 ； 吣，碣，嚣b o ； ( 彤) q ， h 3b = 7 i i ( 力， 及各区域交界面处的过渡条件 f u 3 - - - u 2 交界酬。处过渡条件k 警= k 誓 f “l - = u 2 交界酣凇过渡条件t 哮= 心警 其中， q 1 = ( p ，z ) 1 0 p ，0 z 三) q 2 = ( ，z ) 1 0 p r ，l s z s h q 1 = ( p ，z ) i r p s r ，0 z 三 求解过程见附录b ，可解得 u ( p ，z ) = ( r p r ，z - = - - l ) ( 0 p ，z = 三) 主n = 1 4 ，o ( 孚) s i n ( 笔匀+ 喜山( p x n p 即+ q e ) ( 肛z ) q l d o + 磊z + z 。s o ( p p x d j p + e r i e = p z ) ， ( p ，z ) q 2 砉【 厶j o ( 号鸟+ m 民( 孚) 】s i n ( 号与+ 砉( p 舻+ q f 一肘) 【k 饥，) 厶饥力一1 0 0 - r 域( 以删 c o z ) q 3 ( 3 1 、 其中， 口。：墨，x 。是山( 以) ：o 的根，以：l ，2 ， y o ) 尾= = r l ， e 1 是以( z 1 ) = o 的第疗个根，以= o ，l ，2 以满足厶( 以，) k ( 圪r ) 一( 以犬) k ( 以，) = 0 ，刀= 1 , 2 。 o 砂 = x 0 l|。 嘏 | i 协 c i i 旷 ” 王) b吼堕印吼 第三章柱坐标下l a p l a c e 方程在不同介质有限区域内用分离变量方法求解的可解性判定 ，级，以的值可用m a t l a b 软件编程算出。 由侧面边界条件得4 ，鸠，虬，其计算表达式见附录( b i ) ，( b 一7 ) ，( b 一8 ) 。 系数或，g ，d o ，昂，玩，易，e ，q 要通过过渡条件和底面边界条件求解。 交界面( i ) 处过渡条件 妻( c + q 矿肛) 民( 以夕) = d o + 磊乞+ 妻厶( 尼p 域+ 乓p 摊) ( 3 2 ) 恐 ( e 靠p 础一g 玎靠矿肚) r ( 以力 + 喜 鸠厶呼) + m ( n f x p 川了n xc 。s ( 腼) ) = 丘 磊+ 厶( 尾p ) ( 见成p 磊- e p e 一孱) 交界面( i i ) 处过渡条件 山( p ) ( 或p 工+ c n e 一工) - d o + e o l + y , j o ( f 1 p ) ( d e 磊+ e p 一舭) 打= l开暑l k , 童心a j o ( n l z p ) n 山xc o s ( 腼) + 喜厶( p ) ( 色p 毗一c p 口- ) = 如 岛+ 厶( 尾p ) ( 乜尾e 舢- e f 1 e 一磊) ) 其中，r o ( 以p ) = r o ( r r ) a ( 儿夕) - a ( 以，) k ( 以p ) 由正交性性质，交界面( i ) 处过渡条件方程只能通过r o ( 以尸) 在区间【，r 】关于p 积分化简， 交界面( i i ) 处过渡条件方程只能通过山( 以p ) 在区间 o ，】关于p 积分化简，得 交界面( i ) 处过渡条件 ( f r o e r = l + g m e - r = l ) r 瑶( 夕) p 印 = ( d o + 岛三) r r ( p ) 户d p + 喜( q p 舭+ 乜p 呐l ) r 厶( 尾p ) ( p ) 户d p ( 3 3 ) 2 1 第三章柱坐标下l a p l a c e 方程在不同介质有限区域内用分离变量方法求解的可解性判定 ( f r e e r l - g m e - r l 、) y m 毫醚盯m p dp = 惫 e or e o ( r p ) p d p + 喜( q 尾毋一e 尾p 喝) r 山( 尾p ) r ( 力p j p 一喜等c 。s ( ，z 万) r 【心厶( 孚) + m ( 孚) 】岛( p ) 夕和 交界面( i i ) 处过渡条件 ( 吃+ q p 一上) r j 2 0 ( a , , , p ) p d p = ( d o + 毛三) r 山( p ) p d p + 芝( 见p 舭+ e n e - p t ) r j o ( f i n 夕) 厶( p ) p d p ( b r n e a l - 。c 肼m - a m l ) 七( p ) p d p = i 9 2 毛r 以( p ) 夕+ 喜( 或印磊一e 尾p w ) r 山( 尾尸) j o ( a m ) 办 音警c o s ( r 厶( 孚w 刊彬p 经过一系列运算( 参见附录b ) ，可得 r fk f g l 。d o + k f g 2 戚q = k f g 3 础坂+ k f g 4 破+ k f g 5 。 j 七= 1七一1七暑1 ( 3 4 ) i ik b c i 。d o + k b c 2 础q = k b c 3 础4 + k b c 4 威+ k b c 5 。 未知数是岛，砬，其余是已知数。 为方便讨论，我们将上述方程改写成另一种形