（数量经济学专业论文）部分线性截取分位数回归模型的渐近有效估计.pdf

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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ 。_ _ 。- 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ - h 一 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l ya b o u tt h er e g r e s s i o nw i t hc e n s o r e dd a t a o nt h em i c r ol e v e l ， i ti sac o m m o np h e n o m e n o nt h a ts o m ed a t am i g h tb ec e n s o r e d a st h ew o r ko f s t a t i s t i cs u r v e ya tc h i n a m o v i n gt o w a r d s t h em i c r ol e v e l ，t h en u m b e ro fa v a i l a b l ed a t a o nt h ei n d i v i d u a l l e v e lw i l li n c r e a s eg r a d u a l l yi nt h ef u t u r e w h i c hm e a n st h a tj tw i l j b e c o m em u c hm o r ei m p o r t a n tf o re m p i r i c a lr e s e a r c h e r st ok n o wa b o u te s t i m a t i o n m e t h o d sr e l a t e dt oc e n s o r e dd a t a i nt e r m so ft h e o r e t i c a l e c o n o m e t r i c s ，w ed e a lw i t ha s y m p t o t i ce f f i c i e n t e s t i m a t i o no ft h ep a r t i a l l yl i n e a rc e n s o r e dq u a n t i l er e g r e s s i o n w ef i r s te x t e n dt h e e x p r e s s i o n ，w h i c hc h a r a c t e r i z et h et a n g e n ts e to ft h el i n e a rq u a n t i l er e g r e s s i o nt ot h a t o ft h ep a r t i a l l yl i n e a rq u a n t i l er e g r e s s i o n a n dt h e nw ea p p l yp r o j e c t i o na p p r o a c ht o d e r i v et h es e m i p a r a m e t r i ce f f i c i e n c yb o u n do ft h em o d e l b a s e do nt h ee f f i c i e n ts c o r e a n dp r e l i m i n a r yqn c o n s i s t e n te s t i m a t o ro fr e l e v a n tp a r a m e t e r w ec o n s t r u c tt h e e f f i c i e n te s t i m a t i o n i t sa s y m p t o t i cn o r m a l i t yi sj u s t i f i e db yv e r i f y i n gt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sp r o v i d e db yc h e n ，l i n t o na n d k e i l e g o m ( 2 0 0 3 ) t h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w , i nt h ef i r s ts e c t i o nw ei n t r o d u c et h e r e s e a r c ha p p r o a c ha sw e l la sm a i nr e s u l t sa n da l s od i s c u s sr e l e v a n tl i t e r a t u r e ；t h e s e c o n ds e c t i o ni sa r o u n d s e m i p a r a m e t r i ce f f i c i e n c yb o u n do ft h ep a r t i a l l yl i n e a r c e n s o r e dq u a n t i l er e g r e s s i o nm o d e la n dt h ef i r s ti m p o r t a n tt h e o r e mi sp r o v e df i n a l l y ； i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ef i r s ti n t r o d u c et w od i f f i c u l t i e s ，w h i c hc o u l dh a p p e nw h e n p r o v i n gt h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h ee s t i m a t o rc o n s t r u c t e di nt h i sp a p e r ，t h e n d i s c u s se x i s t i n gm e t h o d so fc i r c u m v e n t i n gt h e s ep r o b l e m sa n df i n a l l yp r o v et h e a s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h ec o n s t r u c t e de s t i m a t i o nb a s e do ns o m ec o n c l u s i o n p r o v i d e di no t h e rp a p e r m e a n w h i l e ，w ea l s op r o v et h ee f f i c i e n c yo ft h ec o n s t r u c t e d e s t i m a t i o nm e t h o db ys h o w i n gt h a ti t sa s y m p t o t i cv a r i a n c e - c o v a r i a n c em a t r i xi se q u a l t ot h es e m i p a r a m e t r i ce f f i c i e n c yb o u n dd e r i v e di nt h es e c o n ds e c t i o n k e yw o r d s ：c e n s o r e dq u a n t i l er e g r e s s i o n ，s e m i p a r a m e t r i ce f f i c i e n c yb o u n d ， a s y m p t o t i ce f f i c i e n te s t i m a t i o n 目录 目录 第一章引言1 第二章半参数有效边界6 第一节概念及计算方法6 第二节线性截取同归模型的半参数有效边界8 第三节部分线性截取分位数回归模型的半参数有效边界1 0 2 3 1 介绍1 0 2 3 2 半参数有效边界的计算1 3 第三章带有非平滑目标函数的半参数估计1 9 第一节带有非平滑口标函数估计量的参数模型的渐近分布1 9 第二节半参数估计量的渐近分布2 1 第三节目标函数小平滑的半参数估计量的渐近分布2 3 第四节渐近有效估计量2 7 第五节相关证明3 3 第四章总结4 5 参考文献4 6 致谢4 8 个人简历4 9 第一荜引言 第一章引言 无论是作为微观计量模型还是半参数方法的应用，截取回归模型和分位数 回归模型都受到众多学者的关注。从微观计量的角度来说，截取回归相比于经 典的回归模型可以正确并有效的处理来自微观个体的数据。例如，在劳动经济 学中个体的工资，或者家庭财富，不可能小于零；并且，在某些个体选择中存 在角点解的问题，比如当个体决定自己的慈善捐款额时，数额不可以低丁零。 可以看出在处理这类数据时，传统的回归模型不能得到一致估计。 处理这类因变量受到不等式约束的回i 门模型，首先要解决的是参数识别问 题。如果使用传统的参数化方法，我们则需要设定随机干扰项关于自变量的条 件分布，这种情况下一般使用极大似然估计方法则可得到参数的估计量，可以 参见a m e m i y a ( 1 9 8 5 ) 第十章或w o o l d r i d g e ( 2 0 0 3 ) 第十六章的相关讨论。对于完 伞参数化的模型来说，随机干扰项服从某一簇特定分布，如正态分布，的限定 显然容易产生模型误设的问题，进而导致估计量不一致。所以，随机干扰项的 条件分布设定更具有一般性的模犁渐渐发展起来并受到更多的重视。如果我们 设定随机干扰项服从正态分布，那么关于其分布我们只需要两个参数均值和方 差；而如果我们将随机干扰项可能的条件分布范围放大到需要估计尢限维参数 才能确定其分布形式，但同时保留原来关注的线性模型，这则是半参数方法。 显然半参数的方法一方面可以克服参数化方法模型误设的问题，另一方面又保 留了参数化方法中模型的简洁性也避免了非参数方法估计的误差。从参数识别 的角度来考虑，我们仍然需要对随机干扰项的条件分布进行设定，比较常见的 设定或约束包括：条件分位数约束，如p o w e l l ( 1 9 8 4 ) ，p o w e l l ( 1 9 8 6 a ) ；条件对 称约束，如p o w e i l ( 1 9 8 6 b ) ，n e w e y ( 1 9 9 1 ) ；条件独立约束，如h o r o n ea n dp o w e l l ( 1 9 9 1 ) ，h o r o n ea n dp o w e i l ( 2 0 0 5 ) 。 本文中所使用的则是条件分位数这约束。与上面提到的模型不同，本文 要考虑的模型不仅将随机干扰项的条件分布非参数化，还将原有的线性模型部 分非参数化。也就是说，在p o w e l l ( 19 8 6 a ) 中，模型设定为 详她p o w e l l ( 1 9 9 4 ) 。 第一章引言 乃= m i n ( ，c i ) ，= x j 3 0 + z j + 蜀 p r ( e , 0 i x , ，乙) = 口 其中，乙为自变量，为潜在因变量，只为观测到的因变量，为随机干扰 项，屈，为需要的参数2 。而在这篇论文中，我们考虑到可能部分自变量与潜在 因变量剪，并非是线性关系，所以更一般的模型应该将z ；r o 替换为g 。( ) ，于 是我们将要处理的模型为 只= m i n ( y ；，q ) ，= f 属+ 岛( 互) + t p r ( c , o l ，z ) = 口 虽然这样的设定使得模型更具有一般性，但估计效率损失( e f f i c i e n c yl o s s ) 是存 在的。于是我们有必要考虑模犁的估计效率以及估计方法。实事上，估计方法 和参数识别的问题在c h e na n dk a h n ( 2 0 0 1 ) 中得到处理。所以我们这里首先考虑 估计效率的问题。 虽然半参数方法或者非参数方法可以克服，参数方法极易受到模型误设问 题的影响这一缺点，但其在估计效率上的损失也是不容忽视的。于是刻画半参 数模型估计效率的工具，半参数有效边界，受到相当的重视。半参数有效边界 这一概念由s t e i n ( 1 9 5 6 ) z j i a ，随后经历了k o s h e v n i ka n dl e v i t ( 1 9 7 6 ) ，p f a n z a g l a n dw e f e i m e y e r ( 19 8 2 ) ，b e g u n ，h a l l ，h u a n g ，a n dw e l l n e r ( 19 8 3 ) 和b i c k e l ，k l a a s s e n ， r i t o v ，a n dw e l l n e r ( 19 9 3 ) 的发展。其定义从参数化模型的c r a m e r r a o 边界发展 而来，其将半参数模型与所有满足半参数模型相关约束的参数化模型所组成的 集合联系起来；这一定义的出发点则是半参数模- 犁的估计效率不可能优丁这一 集合内任何一个参数化模型的估计效率。关于半参数有效边界更详尽的讨论参 见，n e w e y ( 1 9 9 0 ) 。 对十线性截取回归模型，n e w e ya n dp o w e i l ( 1 9 9 0 ) 币t j ) 1 映射方法( p r o j e c t i o n a p p r o a c h ) 得到其半参数有效边界并根据有效得分( e f f i c i e n ts c o r e ) 构造出其渐近 有效估计量3 。而本文则是其基础之卜同样使用映射方法而获得部分线性模型的 半参数有效边界。 2 x 7 表示向量x 的转秩。 3 由于本文只讨论人样本情形f 估计量的性态”渐近有效”和“有效”在本文巾是等价的概念。 2 第章引言 与线性模型类似，有效得分可以帮助我们构造有效估计量，但条件分位数 和部分线性的模型设定使得我们在刻画有效估计的渐近分布时需要处理两个问 题。第一个问题是，相关矩条件关于参数不平滑。以线性条件分位数同归4 例 y = 0p 、丰 p r ( 6 _ o l w ) = 口 其相应的矩条件可以写成 e lg ( w ) ( a - l ( y - w r p o o ) ) | 0 这里g ( w 1 为菜函数。可以看出对于矩函数 g ( w ) 口一l ( 只一矿o ) ) 来说，其关于参数在点处不连续更不可导，这里使得只一矿= 0 。这样， 对于条件分位数约束不论使用极值估计量还是一步估计量( o n es t e pm e t h o d ) ，在 证明参数估汁量渐近分布时都会遇到相关函数关于参数不可徼的情况。在n e w e y a n dp o w e i l ( 1 9 9 0 ) a l p ，他们使用的足样本切分的技术( t h es a m p l es p l i t t i n g ) i i e h y j 其构 造的一步估计量的渐近正态性。如果仅存在矩函数关于参数不平滑的问题，相 关技术和方法在d a n i e l s ( 1 9 6 1 ) ，h u b e r ( 19 6 7 ) ，p o l l a r d ( 1 9 8 5 ) ，和p a k e sa n d p o l l a r d ( 1 9 8 9 ) 中已经有所发展，而n e w e ya n dm c f a d d e n ( 1 9 9 4 ) 的第七章对这方 面的问题有较适合的综述。总体来说，处理这一问题的基本思想是虽然矩函数 不平滑，但其样本均值的极限通常是平滑的，仍以前面的例子来说明 一芝g ( w ) ( 口一1 ( 只一o ) ) 山e ig ( w ，) ( 口一l ( 只一矿o ) ) i 吐g ( w ) ( 口一1 ( 只一o ) ) = d g ( w ，) ( 口一f ( 矿( 一层) w j ) ) 可以看出要求e lg ( w ，) ( 口一f ( ( 一屁) 1w ，) ) l 关于可导是很容易满足 的。于是在证明渐近分布时，矩函数样本均值的极限关于相关参数的导数充当 了平滑矩函数情形下矩函数关于参数导数的角色。在后面我们将主要根据n e w e y a n dm c f a d d e n ( 1 9 9 4 ) 的第七章来介绍这类情形下证明估计量的渐近正态分布的 充分条件。 这里w 亦为f 1 变量，在下文中我们将用其表示( # ，z j ) 7 3 第一章引言 对于我们的模型来说，还存在第二个问题，即非参数部分存在于矩函数中。 对于一般的半参数模型来说，通常可以使用两步法来估计，即在第一步中估计 模型的非参数部分，然后在第二步利用第一步估计的结果再估计参数部分。对 于参数化的两步法来说，一般来说，我们所关心的第二步参数估计的渐近方差 会受到第一步估计的影响。详细的讨论可以参见n e w e ya n dm c f a d d e n ( 1 9 9 4 ) 的 第六章。对于半参数的两步估计来说，这类问题同样存在。而困难在于，如何 刻画第一步的非参数估计对参数部分估计量的渐近方差的影响。处理这类问题 的文献包括w e l l n e r ( 1 9 9 3 ) ，a n d r e w s ( 1 9 9 4 a ) ，n e w e y ( 1 9 9 4 ) ，p a k e sa n do l l e y ( 19 9 5 ) 和a ia n dc h e n ( 2 0 0 3 ) 。以n e w e y ( 19 9 4 ) 和a ia n dc h e n ( 2 0 0 3 ) 为例，他们 主要通过r i e s z 表示5 的方法来计算出非参数估计项对参数部分估计的渐近方差 的影响。我们在后面主要根据综述性的文章n e w e ya n dm c f a d d e n ( 1 9 9 4 ) 的第八 章来介绍证明这类半参数估计的渐近正态性所涉及的充分条件。 前面提到的关于估计量渐近分布的论文都只是针对上述两个问题的其中之 一，他们并没有考虑同时出现这两类问题时，相关的充分条件应该是如何。在 最近的研究中，c h e n ，l i n t o na n dk e i l e g o m ( 2 0 0 3 ) 提供了在目标函数非平滑的情 况下验证半参数估计量渐近正态性的充分条件。不严格的来说，这些条件涉及 初始的非参数估计量按一定的收敛速度一致收敛，矩函数满足“随机等连 续”( s t o c h a s t i ce q u i c o n t i n u i t y ) 条件等。 在最近的文献中，有三篇论文与本文所讨论的问题有密切关系。分别是c h e n a n dk a h n ( 2 0 0 1 ) ，l e e ( 2 0 0 3 ) 和h o r o n ea n dp o w e l l ( 2 0 0 5 ) 。其i l 第。篇论文所讨 论的模型与本文完全一致，其利用可观测变量的条件分位数与潜在变量的条件 分位数致的性质，使， j 非参数的方法估计了潜在冈变量的条件分位数；根据 模型的设定其实这个非参数的估计包括了线性或参数成分，对于两个样本点， 如果他们参数部分不相同而非参数部分一致，那么其条件分位数的差则完全是 其参数成分差所产生的影响，这样我们就可以识别出线性部分的参数了。l e e ( 2 0 0 3 ) 处理的是普通的部分线性分位数回归模型，其对线性部分参数的识别方法 与c h e na n dk a h n ( 2 0 0 1 ) 相似，与n e w e ya n dp o w e l l ( 1 9 9 0 ) 一样，在得到了有效 得分之后其利用一步估计法来构造有效估计量。不同的是，其并没有利用n e w e y a n dp o w e l l ( 1 9 9 0 ) 所使用的技术来克服矩函数非平滑的问题，其是将可以无限逼 近原有的矩函数的平滑矩函数来进行参数估计和估计量渐近分布的证明。 5 关于r i e s z 表示可以参见r u d i n ( 1 9 8 7 ) i r i 十页。 4 第一章引言 h o r o n ea n dp o w e l l ( 2 0 0 5 ) 的论文则是在条件独立的约束下来识别线性部分的参 数，而其识别的方法与c h e na n dk a h n ( 2 0 0 1 ) 相似，不过他们将其使用的技术称 为成对差分( p a i r w i s ed i f f e r e n c e ) 。 本文的安排是这样的，在下一部分我们先介绍半参数有效边界的相关概念 及随后将用到的计算有效边界的方法最后我们得到部分线性截取分位数回归模 型的半参数有效边界；在第三部分，我们同样先介绍一些相关的概念及条件， 并为了后面的论述介绍一些相关的例子，在最后证明我们所构造的有效估计量 的渐近正态性。在最后一部分，我们总结了本文的一些结论并讨论了下一步可 能的研究方向。 5 第二章半参数有效边界 第二章半参数有效边界 第一节概念及计算方法 对于既包含参数成分又包括非参数成分的半参数模型来说，半参数有效边 界有着非常重要的意义。首先，它衡量了半参数模型相对于参数模型的效率损 失；其更为重要的作用是，它给出了对于某种半参数模型来说，其估计量所能 达到的有效性的上限。并且，半参数有效边界可以帮助我们构造出渐近有效估 计量及刻画其渐近分布。接下来，本文先介绍半参数有效边界的定义，然后给 出一种计算半参数有效边界的方法，即映射方法( p r o j e c t i o n a p p r o a c h ) ，并以部分 线性模型为例介绍如何使用映射方法。 给定一个半参数模型，如 咒= # 屈+ g o ( 互) + 乞 ( 2 1 ) 其中，z ，为自变每，只为观测到的因变量，q 为随机干扰项，屈，岛( ) 为需要 的参数。我们可以定义一簇参数化的子模型，这样的子模型既满足半参数模型 所设定的各种约束又包括未知的真实模型。以( 2 1 ) 式为例，我们可以设定参数化 子模型为 只= # f l + g ( z , ，7 ) + ( 2 2 ) 这里 g ( ，r o ) = g o ( z ，) 。 对于一个参数模型，我们可以获得其经典的c r a m e r - r a o 边界，直观上来讲，我 们可以看出半参数模型估计量的渐近方差不会小于其任何一个参数化的子模型 估计量的渐近方差。这样，我们也可以得到关于半参数有效边界的定义，即半 参数模型的所有参数化子模型c r a m e r r a o 边界的上确界，这里表示为v 。当然， 只有在一定的正则条件下，这一定义才会有意义，相关讨论详见n e w e y ( 1 9 9 0 ) 。 对于我们所处理的模型来说，b e g u n ，h a l l ，h u a n g ，a n dw e l l n e r ( 1 9 8 3 ) 和 b i c k e l ，k l a a s s e n ，r i t o v ，a n dw e l l n e r ( 19 9 3 ) 发展的映射方法对于计算半参数有效 边界非常有帮助。这种方法首先考虑参数化子模型的似然函数，以( 2 2 ) 式为例， 6 第二章半参数自效边界 z ( x l 屈7 7 ) ，这里叩代表半参数模型中的非参数部分。接下来，我们可以得到这一 似然函数在一个观测样本上的得分( ，) 7 。根据岛我们就可以定义一个非常 重要的概念，切集( t a n g e n ts e t ) 。这里，切集3 定义为 s = r - ：i a s 岛苈，l i me i | r - a , s 。，1 1 2 ：o 其中，a s 为恰当的常数矩阵。 在建立了切集的概念之后，我们就可以引入一个帮助计算半参数有效边界 的定理。 定理一：如果存在随机向量s 使得驱7 非奇异，并且对于任意z 3 ， e s r r = o ，同时一s 3 ，那么矿= 髓7 。 这一定理的证明及详尽讨论可以参见b i c k e l ，k l a a s s e n ，r i t o v ，a n dw e l l n e r ( 1 9 9 3 ) 和n e w e y ( 1 9 9 0 ) 。这里的s 通常被称作有效得分，其可以被认为是在定义 了内秋e ix r yi 的h i i b e r t 空问上，得分& 关于切集映射的残差。 下面以模犁( 2 1 ) 为例介绍如何利用映射方法计算半参数有效边界。首先，得 到这一模型的参数化了模型的似然函数，( x ，z ，肛刁) ，以及参数脚r l 所对应的 铸食，s 和s h m 肋) = c 一扣盯；一奇+ i n 1 0 ( 即) 脚矾s 声= 筹 = 等岛= 掣 为了方便计算和说明，在这里我们实际上假设参数2 和x 与z 的联合分布已知。 可以看出s 是关于z 的函数向量，一个比较可靠的切集n 则是 k = p ( z ) ：町s 2 i | d ( 讲 o o ) 7 这里郁雌的约束是保证似然函数的平滑性6 一噪剐门暂时忽略寺的存在我 们只需考虑随机向量x 在集合 j d ( z ) ：e 印d ( z ) l 2 上的映射。这一结果是很 容易获得的，即e e x z 。通过如下推导可以检验这一结果， ex - e m i ) ，d ( z ) = e e ( z e x i z ) r 。( z ) f z = e 。( z ) e ( x e x i z ) 7 l z - o ，v e l i d ( 哪! o o n e w e y ( 1 9 9 0 ) 中的引理3 4 告诉我们，如果占2 k z 为常数并且不为零， 那么署在k 上的映射为嘉e 搁，而这一半参数模型的有效得分则是 毒( x e 卅z ) 。本文所处理的半参数模型的有效得分有着类似的形式其计算方 法十b 榍信 第二节线性截取回归模型的半参数有效边界 对于线性截取回归模型，n e w e ya n dp o w e i l ( 1 9 9 0 ) 就是根据前面介绍的映射 方法计算出其半参数有效边界。应用映射方法时的一个困难之处是切集的计算。 对于所处理的模型 只= m i n y ；，c o y 7 薯+ 岛 p r ( 乞5 。l 一) = 圭 6 笑丁_ 似然函数平滑性的讨论参见n e w e yf 1 9 ) 的附录。 8 第二章半参数自效边界 他们将切集的计算分为两步，首先得到线性非截取模型，或称为潜在模型( 1 a t e n t m o d e l ) ，在给定条件分位数假设下的切集，然后根据截取模型和非截取模型之间 的关系表示出所需要切集。对于后一个问题，n e w e y ( 1 9 9 1 ) 的引理b 2 给出了 相应结论。给定潜在模型的切集为3 ，那么其对应的截取模型切集则是 这里a 表示a 的均方差收敛。对于第一个问题的处理，n e w e ya n dp o w e l l ( 1 9 9 0 ) 证明了一个比所需结论更具有一般性的结论，即如果模型满足一定正则条件7 并 且受到如下矩条件 趾p ( s ) h = 0 的约束，这里p ( ) 为相关函数，那么其切集为 3 = ，( 占，x ) ：e l - t ( 占，x ) - t = 0 ，e p ( 占) ，( s ，x ) i x = 0 。 对于这一结论，直观看很容易理解得。首先我们所处理模型的概率密度函数可 以写成厂( 占i x ，碾) ( x ，r # 2 ) ，而矩条件则与条件概率密度相关。如果相关的正则条 件得到满足，矩条件两边关于参数编进行微分，我们就会得到如下等式 叭p ( ) s ，m = 0 这里s 表示关于参数的得分，同样是表示7 7 2 的得分。需要注意的是最仅是关 于x 的函数所以e p ( s ) s ：i x = s ：e p ( 占) 卜 = 0 。这样我们就可以理解切集 所限定的两个条件，即 e 【s 。+ s ：】= 0 e p ( s ) ( s 。+ s ：) h = 0 对于目前所处理的模型来说，其矩条件可以写成 e s g ny ，一，屁 o ) 1 x ， = o8 。这样，截取模型的切集为 7j f 则条件详见n e w e ya n d p o w e l l0 9 9 0 ) 引理a 5 8 这里如果x 0 ，s g n ( x ) = l ：x 一 占x占r l e 、 c = y + 、i - 、 成 x y 厂 - ， c 1 ， n y h 一卜 s x ， y 、， r 、_、广l e 卜 ，0 r p 文 第二章半参数仃效边界 k = 3 ( z ( 占，x ) ) ：e ，( 占，工) = o ，e s g n ( 占) ，( 占，x ) = o ) 。 关于有效得分的计算，n e w e y a n dp o w e l l ( 1 9 9 0 ) 首先观察截取最小绝对偏差估计 量( c e n s o r e dl e a s ta b s o l u t ed e v i a t i o n se s t i m a t o r ) 的渐近方差，然后通过对原有矩 条件依据样本进行加权，推测出一个可能的有效得分 s = 2 f ( o l x , ) ( x j q ) ts g n ( y ，一，屁) 。 为了证明s 确实为有效得分，我们需要验证两点，对于任意，k ，e i sl - 0 ， l j 时s 。一s n 。对于第一个条件，我们知道，对于任意一个，n ，存在一个 l ( c ，x ) 满足e is g n ( 6 ) l ( e ，x ) l _ o 。于是，我们可以得到如下结果。 e 2 ( o i ) ，( 0 风 ) s g n ( 只一x j 成) e ，( ，) r i y , ， = e 2 ( 。i t ) 一 t ( ，成 q ) s g n ( 只一f 屈) e ，( q ，一) 7 k ， 卜 = e2 j ( 。i 一) 一e e ( 。属 q ) s g n ( 只一，屁) ，( t ，t ) 7 1 只， l = e 2 ( o l t ) 一- ( # 屈 c ，) e s g n ( t ) ，( t ，誓) r l 一 = 0 而为了证明& - s n ，n e w e y a n dp o w e l l ( 1 9 9 0 ) 构造出两组满足约束条件 e 1 ( c ，x ) - - o ，e s g n ( e ) l ( e ，x ) = o 的随机向量序列，l ，2 ，然后证明3 ( + ，2 ) 依均方收敛于一s 。 第三节部分线性截取分位数回归模型的半参数有效边界 2 3 1 介绍 我们所研究的模型为 = f 成+ g 。( 乙) + ，y i = r a i n y ；，q ，f = l ，2 ，3 ， ( 2 3 ) l o 第二章半参数有效边界 在这里w ，= ( x j ，z ，t ) 1 是( 破+ d ) x l 的可观测变量，磊为d 。x l 的未知参数，g o ( ) 同样未知，在这里为不可观测的随机干扰项，而q 为可以观测到的截取点 ( c e n s o r i n gp o i n t ) 。关于随机干扰项的约束为施d ( 引w ) = 0 ，更一般的表示则是 p r ( 6 ， o l w ) - 口。相比于前面提到的线性模型，我们所要研究的模型除了半参 数的约束p r ( 6 , o 。 假设2 3 ：e 鼹7 有限并且非奇异。 假设2 4 ：潜在模型的参数化子模型的概率密度为( 占，叫7 7 ) = ( 占1 w ，7 7 ) 厂( w | 刁) ， 并且( s l 嵋编) ( w l 仍) 关于参数( ，7 j ，) 。平滑，而对几乎所有的w ，( s lw 刁) 是 随机变量的关于参数7 7 平滑的条件密度函数。 1 3 第二章半参数自效边界 假设2 5 ：g ( 乙，r 1 ) 的参数化子模型关于风在，7 上几乎绝对可微，并且其在刁上 的微分d ( z f ，7 7 ) 均方有限，即e i l i d ( z a , 刁) 1 1 2i o o 。 实事上，前四个假设是n e w e ya n dp o w e l i ( 1 9 9 0 ) d 尸的假设3 1 3 4 而第五个 假设保证了参数化了模型厂( y 一，一g ( z ，刁) ，w 1 ) 禾df ( y - x r p - g ( z ，7 7 ) 1 w ，7 7 ) 的平滑性。 这一部分的主要结论是n e w e ya n dp o w e l l ( 19 9 0 ) 中对应定理的对更一般化 模型的一个改进。在对其证明之前，需要做以下说明。n e w e ya n dp o w e i l ( 1 9 9 0 ) 中的引理a 2 ，a 3 以及a 4 无需修改町以直接在我们的证明中应用，在这里并 不重复。而如果将中的( y 一，p , x ) 替换为厂( y 一，p - g ( z ，可) ，w ) ，那么其引 理a 1 同样可以在本文直接应用。本文对其结论实事性的改进在于其4 1 理a 5 ， 而这一引理刻画了潜在模型的切集。由于非参数成分g ( ) 的函数形式没有设定， 接下来我们要讨论的引理实际上扩大了切集。为简化符号在下而的论述中用v o 表示，屈+ g ( x ，) 引理1 ：假设( de s g n ( g ) 1 w = o ；( i o s g n 2 ( s ) 1 w = 1 ；( 胁) 潜在模型的参数 化子模型的概率密度 f ( y 一x 7 f l - g ( 刎) ，w 1 7 ) = ( y + 一x r f l - g ( z ，仇) 1 w ，仍) ( w l 仍) 关于( 巧j ，谚，瑶) 7 平滑而对于几乎所有的w ，厂( y 一x 丁：i g ( z ，协) 卜，r i ) 是，的 概率密度并且其关于参数( 订，耐) 。平滑。这样潜在模型的切集为 n = ，( 占，x ) ：e ，( s ，x ) = o ，e s g n ( 占) ，( s ，x ) = 2 ：( o l w ) d ( z ) ，e 8 d ( z ) 1 1 2 证明：条件e s g n ( 占) 1 w = o 的得分表达形式为 一厂( s 1w ) d 占+ fir 占1 w ) = 0 如果将s 替换为y 一，p - g ( z ，r 1 ) ，上式可以重新写成 一 肛“：硝厂( y * - - x t p g ( z ，) 1 w ) 砂+ e 肛小训f ( y - x r f l g ( z ，编) 1 w ) 咖= o 对上式关于仇在( 厨，掘) r 处求微分可以得到 第二章半参数有效边界 一2 ( 。1 w ) 。( z ) + s g n ( y 一v 。) 弓 舌； 三瑞。( z ) ( y 一v 。1 w ) 咖= 。 桃助兰捌靠骱黝绷融始鼬溅2 1 靴5 觚讯 这样我们就得到了一个与矩条件有关的非常重要的等式关系： e s g n ( s ，揣叫w = 2 ，俐巾。 下文中糊叫叫表示矧接下来舢使用与叩n d p o w e l l ( 1 9 9 0 ) 同样的方法证明心确实为潜在模型的切集。用s 表示平滑模型 厂( y 。一x p - g ( z ，仇) 1 w ，) 厂( w i7 7 2 ) 中绣( 待1 ，2 ，3 ) 的得分。而- 和，则是、f 滑模 型( 少+ 一x r f l - g ( 乙刀3 ) 1 w ，仍) 中对应参数的得分，其中，= s ( s ，w