（岩土工程专业论文）下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析.pdf

下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文孟楷2 0 0 4 2 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振 动分析 摘要 土体的振动分析是土动力学的基本课题之一，并随着科学技术和国民经济 的发展，在理论和实践上都对这一理论提出了更高的要求。 本文考虑了水土自身的惯性力( 当荷载的振动频率较高时其影响尤为显著) 和土体层理构造的特性，研究了地基的振动特性。 首先，根据b i o t 动力固结方程，采用h a n k e l 积分变换求解耦联合方程组， 求得动荷载下饱和土l a m b 问题的解析解；再根据下边界为不透水基岩的边界条 件，获得了地基表面作用圆形轴对称周期荷载时土层表面应力、位移等的一般积 分形式解。 其次，编制了相应的分析程序，并进行了验证分析。 再次，根据算例研究了简谐荷载作用下成层饱和地基b i o t 固结的一般规律， 同时还研究了固结情况受渗透系数，频率等参数影响的规律。 最后，对刚性基础在下卧基岩的两项介质上的振动进行了初步的研究。 关键词：成层地基，b i o t 方程，矩阵传递，h a n k e l 积分变换 壁! 苎堂竺塑塑墨鉴些苎垄塑翌整堕堕堕垫堡旦! 塑整查堡垫坌堑塑! 三生兰塑兰些堡塞重堂! ! 坚：! s t a b l ev i b r a t i o na n a l y s i so fs a t u r a t e dl a y e r e ds o i l sw i t h s u b j a c e n tr o c k - s t r a t u mu n d e r a x i s y m m e t r i cl o a d i n g a b s7 r r a c t t h ev i b r a t i o na n a l y s i so fs o i l si saf u n d a m e n t a li s s u et os o i ld y n a m i c s a n dp l a y s a l l i n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tr o l ew i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n o l o g ya n dn a t i o n a l e c o n o m y i nt h i sp a p e rt h ei n e r t i af o r c eo f t h es o i la n dt h e w a t e r , w h i c hc a n tb en e g l e c t e d e s p e c i a l l yu n d e rd y n a m i cf o r c eo fh i g h e rf r e q u e n c y , a n dt h eb e d i n go ft h es o i l sa l e c o n s i d e r e di nt h er e s e a r c ho f t h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so f t h es o i l s f i r s t l y , b a s e do nb i o t sd y n a m i cc o n s o l i d a t i o ne q m 廿o m , b ym e a n so fh a n k e l t r a n s f o r m ，t h e i n t e g r a l s o l u t i o n so fs n e s sa n d d i s p l a c e m e n t f o r a x i s y m m e t r i c h a r m o n i ce x c i t a t i o n sw e r ed e r i v e d ，a c c o r d i n gt ot h et w o p h a s es a t u r a t e ds o i l w i t h s u b j a c e n tm e k - s t r a t u m s e c o n d ，t h ed i s s e r t a t i o nd e v e l o p e dap r o g r a ma n dv e r i f i e di t sc o r r e c t n e s s t h i r d ，a c c o r d i n g t os o m ee x a m p l e s ，t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e d n u m e r i c a l l yt h e i n f l u e n c eo ns o i ld i s p l a c e m e n tu n d e rh a r m o n i cv i b r a t i o nl o a di n d u c e db yi n f i l t r a t i o n c o e f f i c i e n ta n dl o a d s f r e q u e n c y v a r i a t i o n f i n a l l y , t h ev i b r a t i o no f r i g i df o u n d a t i o nw a sp r e l i m i n a r ys t u d i e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：b l o t se q u a t i o n s ，m a t r i xt r a n s f e r , h a n k e l t r a n s f o r m a t i o n ，l a y e r e d s o i l s i i 下卧基岩的饱和层状地基订：轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论史盂楷7 0 0 42 第一章绪论 1 1 实际问题的提出 土体的振动分析不仅在理论上还是在实际上都是岩土工程界的重要课题：它 不仅对于弹性动力学的发展有着重要的学术价值，而且对机器基础及地震荷载作 用下基础的分析和设计具有重要的指导意义。 土是由固、液、气三相介质组成的集合体，其中固体是构成土的主要部分， 称之为“土粒”。土粒之间有孔隙，如果为液相( 通常是水) 所充满，则形成饱 和土。目前，基于弹性介质理论上的土体的振动分析已趋于完备，将饱和土体视 为固液两项介质的研究逐渐成为新的热点。但此类研究目前多局限于半空间状况 的土体，且很多都只考虑了低频情况下的振动，而忽略了液体相对于土体的运动。 公路、机场跑道和停机坪、储藏设备( 储油罐，堆场) 以及某些工业厂房等 建筑设施下的地基所承受的荷载，是长时间往复施加的变荷载。这类地基即使在 固结稳定后，在上述往复荷载的作用下，仍然会产生附加变形。天然土体由于沉 积年代的不同，总是以分层形式存在，具有很强的层理性，不同土层之间的物理 力学性质各不相同，需要采用合理的模型来反映这种物理力学性质沿深度方向的 不均匀性。由于数学上求解的困难，以往对固结问题进行研究时，常不考虑这一 现实情形，或只是将各土层的物理力学性质进行简单的加权平均，将多层土体等 效为单层土体进行处理，这种方法得到的结果的精确度不是很高。 1 2 国内外研究情况简介 1 2 1 弹性半空间土体的振动分析 均质的、各向同性的弹性半空间体，常被简称为“弹性半空间”。当考虑位 在弹性半空间上的基础并承认各有关假设时就能够对这样支撑着的基础的动力 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文盂楷2 0 0 4 2 反应进行各种数学计算。对于小应变幅，土可近似的认为像弹性材料那样工作。 而且。在实验室内和野外条件下确定土的“弹性”常数的较常规方法也已经普及。 在给定场地所得到土的弹性常数，可用于适当的理论中以估算特定基础的动态反 映。 l a m b 于1 9 0 4 年发表了一篇关于瑞利波和地表振动的论文( l a m b ，h ( 1 9 0 4 ) ， “o nt h ep r o p a g a t i o no ft r e m o r so v e rt h es u r f a c eo fa ne l a s t i cs o l i d ”，p h i l o s o p h i c a l t r a n s a c t i o n so f t h e r o y a ls o c i e t y , l o n d o n ，s e t a ，v 0 1 2 0 3 ，p p 1 4 2 ) ，成为了根据振 动器位于均质、各向同性的弹性半无限体表面面这一假说发展起来的理论解的基 础。在这篇文章中l a m b 首先研究弹性半空间受到沿着一条直线作用的竖向振动 时的动态反应，得出了二维波传播的解。他进而研究了作用在半无限体表面上沿 着一条直线的水平振动力的情况以及竖向或水平向线震源作用在半无限体内部 某一点的情况。这些振动线荷载的位置如图1 1 所示。他也证明了怎样把一组具 有不同频率的竖向振动力合成为一个在半空间表面上沿着一条线作用着的单个 脉冲这个脉冲施加在该平面上以产生与压缩波剪切波和瑞利波有关的表面 位移。按相同推理，l a m b 研究了三维情况，其中考虑了单个振动力作用在表面 上一点和作用在半空间上一点的情况，而后又得到了稳态振动和顺势脉冲荷载的 解。作用在表面上的竖向振动力常被称为“布氏动荷载”，它成为了研究位于半 空间表面上基础振动的根据。把竖向振动力的解在表面上有限面积内进行积分， 得出振动基础在半空间上产生的接触压力，也能估算位在半空间上基础的动态反 应。 团 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕上学位论文盂楷2 0 0 4 2 ( a ) 竖向荷载作用在半无限体表面上； ( b ) 水平荷载作用在半无限体表面上 ( c ) 竖向荷载作用在半无限体内部； ( d ) 水平荷载作用在半无限体内部。 在3 0 年代早期，德国土力学学会( d e g e b o ) 曾研究了应用机械式激振器 来估算野外场地土的特性。由于这一工作，赖斯纳曾试图提供一个理论来估算振 动基础在受到土的性质影响时的动态反应。他选择半无限均质、各向同性的弹性 体( 弹性半空间) 来代表土体。所需描述这个弹性体性质的参数为剪切模量g 、 泊松比v 和密度p 。这个振动基础用一个振动质量来代表，它使位在半空间表面 上半径为的圆面积上产生了均匀分布的竖向周期压力。 以弹性半空间作为数学模型，赖斯纳提出了半空间表面上圆形荷载面积中心 处竖向周期位移z 。的析解。他是对拉姆在1 9 0 4 年所提出的解按圆面积积分而得 出的。竖向位移可表示为 z o ：尘掣塑( + 以) ( 1 1 ) 式中 最作用在圆形接触面积上的总力幅 国外力的圆频率 r 0 圆形接触面积的半径 一，五赖斯纳“位移函数”，是有关于泊松比和无量纲频率的复杂函数。 在式( 1 - 1 ) 中，设位移和力的方向向下时为正。z ，正的表达式为泊松比和无因 次频率项口0 的复杂函数，其中a 。可用下式表示 铲括2 詈 2 ， 在式( 1 - 2 ) 中，v 。为剪切波在弹性体中的传播速度。 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文盂楷2 0 0 4 2 赖斯纳又确定了第二个无因次项，叫估“质量比”b ，它可表示为 6 ：三( 1 3 ) p r i 式中m 为位在弹性半空间表面上振动基础和激振机构的总质量( 见图l - 2 ) 。 式( 1 - 3 ) 主要说明承受竖向运动的刚体的质量与弹性体的个特定质量之间的 关系。 赖斯纳确立了激振器运动的振幅为 铲岳后磊 ( 1 4 ) 其中外力q = q oe x p ( i c o t ) ，这个振动力q o 可以是一个恒值( 即与频率无关) ，也 可以是一个激振频率的函数。 赖斯纳的理论形成了以后几乎成为所有对于位在半空间上振动器的进一步 分析研究的根据，虽然，由于他的理论结果未能与现场试验成果完全吻合，他的 理论在当时并未立刻得到从事土动力学工作的工程技术人员的采纳。理论与实际 不符的原因包括有： ( 1 ) 在许多试验中产生了永久沉降，因而违反了所假设的弹性介质这一条件； ( 2 ) 振动器所产生的运动振幅是这样的大( 对当时所采用的不灵敏的记录仪器， 这样要求是恰当的) 以致加速度常达到2 9 至i j3 9 的量级，并使振动器跳离地面并 和锤击一样作用； ( 3 ) 在振动器和土的接触面积上为一均布压力的假设并不真实； ( 4 ) 在计算方面有误差以致影响成果的数值。 但是，赖斯纳( 1 9 3 6 ) 的研究仍然是这一领域中有名的著作。此外昆兰、沈( 1 9 5 3 ) 和莱斯墨( 1 9 6 5 ) 等人对弹性土体的具体问题都分别做了深入的研究。 1 2 2 两项介质上基础的振动 两相介质上基础的振动是以b i o t 波动方程为基础的，并结合某些简化假设 和边界条件，对问题给出相应的解答。在此，对两项介质上的振动仅做简单的介 4 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学顶i 上学位论文孟楷2 0 0 4 2 绍，在本文以后的成果分析中将与本文的结果做较详细的对比论述。 饱和地基动力反应的有限元分析 杨军、宋二祥( 1 9 9 9 ) 等用有限元法分析了无限饱和地基的动力反应。饱和 无限地基的动力分析是研究结构与饱和土共同作用的基础。在以往地基动力反应 的分析中，土多被假定为单相材料。实际上土是一种由散碎颗粒沉积而成的多孔 介质，且孔隙中常含有水，在荷载作用下必然有孔隙水渗流与土骨架变形的耦合 作用。这种耦合作用无疑会影响地基的动力反应，如采用单相体的假定，在某些 情况下的计算结果可能会有较大的误差。对土采用b i o t 动力固结方程来描述， 从而能够考虑孔隙水渗流与土骨架变形的相互影响。土体用有限元模拟，加入一 种考虑了饱和土两相性的传输边界来模拟无穷远区土的辐射阻尼影响。 饱和土的动力固结方程采用z i e n k i e w i c z ( 1 9 8 4 ) 给出的方程。其“一p 格 式有限元： 方程为： m i d + k u 一勿= ：f ( 1 5 ) 9 7 n + 印+ 坳= l 其中 q = l n 警j 6 q n 2 删， s ：f 坠u ；u ；d v 3 k ， h = l n ：i k u n 。pd v ，f p = l n q ，d s ( 1 6 ) 其基本未知量材为位移，p 为孔隙水压，k s 为水的体积弹性模量，女口为渗透系 数，q 。为边界渗流速度，l 为孔隙率。下标k 为位移节点号；，l 为孔压节点 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文孟楷2 0 0 4 2 号；i ，则均代表三维坐标系的x ，y ，z 的方向。质量矩阵m ， 刚度矩阵k 右端项正的定义与一般固体有限元方程相同。 在用有限元法分析无限地基动力反应时，一个突出的问题是无限大地基的数 值模拟。有限元方法的计算区域总是有限的，必然要引入人为截取的边界( 人工 边界) ，而要模拟问题本身的无限区域，就必须给这些边界附加一定的条件，使 其能消除在这些边界上非真实的反射波，从而使结果在一定精度意义上与无限区 域一致。这种边界称为传输边界。 a k i y o s h i ( 1 9 9 4 ) 提出了一套含水饱和土的传输边界条件。在此将采用“一p 格式的传输边界条件，并推导其有限元方程。 a k i y o s h i 提出的平面应变问题u p 格式的传输边界条件为 q ：一半呶一印 q 一1 旷印 铲一蚩。， 铲考以 ( i 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 其中， o x 和t x y 为边界力；七为渗透系数：口和q 为为两相体的材料参数； q ；是垂直于边界面的渗流速度， 吼= 一七考；和k 分别是纵波波速和横波波 速，嘭“协+ 2 a + 口2 q ) p ，曙m a l p 。 此边界条件相当于加入了一个阻尼项来模拟远区的作用，称为辐射阻尼。这 种传输边界条件建立了应力和位移之间的关系，可以看作是一种混合边界条件， 其矩阵形式为 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕_ 上学位论文孟楷2 0 0 42 峨嘶辩7 = 鲫信卜 铷批栅 其中 f 一甜 j 丝o b = i 矿2 p 。 l 00一嘲 ( i 1 0 ) 以上是在局部坐标中建立的关系。在整体坐标转换矩阵p 作用下，矿= p v ， 把局部坐标中的向量矿转换为整体坐标中的向量矿。由此，可以在整体坐标中得 到边界条件为 p 苫p 棚+ p 0 辎+ ：p 按照标准的有限元离散过程，可得到加入传输边界后的有限元方程 m i i + c f i + k u 一( q + 虿) p = 六 m + q 7 f i + + n p = 在传输边界区域r 内，修正的几项为： 7 ( 1 “) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 下卧基岩的饱和层状地幕在轴对称简谐1 岢载作用下的稳态振动分析浙江大学硕f 学位论文盂楷2 0 0 4 2 = 一辩p a p n 。a f i d 丽= l n y b p n , n d f 14 砭= 妣p c n p a r ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 对以上方程，如直接采用n e r m a r k 法或w i l s o n 一0 法求解并非无条件稳定， z i e n k i e w i c z ( 1 9 9 8 ) 给出了一种无条件稳定的交叉求解法。由于本文采用的是 稳定的线性传输边界，所以在加入此传输边界后的有限元方程( 4 ) 和( 5 ) 中采用此 种交叉迭代法也是无条件稳定的。计算结果表明，这种方法收敛较快，有很好的 稳定性。 低频振动情况的解析解分析 根据0 c z i e n k w i c z 、潘复兰( 1 9 8 6 ) 等的分析，在低频条件下，流体相对于 土骨架的惯性力可忽略不计，b i o t 波动方程可简化为： g v 2 u 砌+ g + 等，础一鲁刺= 争p u疗力讲一 - g r a d e 一等觥= 等p , u 4 ，等等 “ 在应力较小的情况下，我们可以认为水体体积亦不可压缩。 王立忠( 1 9 9 6 ) 研究了两相介质的饱和半空间在低频谐和集中力下的积分形 式解，忽略了水体的压缩性，基本方程简化如下 土体平衡方程： 2 + g 一0 e + v z “一兰一一1 塑：卫； g 加，go rg i + g o e v 2 w - ! 塑：旦0 ( 1 1 5 ) g0 zg0 zg 式中 旯g l 锄e 常数 “，w 土骨架的径向和竖向位移 f t j l - 基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文孟楷2 0 0 4 2 n 孔隙率 o - 孔隙水压力 n ，p ，土粒和水的密度 v z ：鲁+ 昙+ 罢，e ：祟+ 兰+ 譬，p - ( 1 一”) 成+ 印， v 2 驴+ 7 石+ 萨，。3 石+ 7 + 西p 2 【卜”) 成+ 印， 字母上的小点表示对该变量求时间的导数( 一个点为一阶导数，两个点为两阶导 数) ，下同。 土体孔隙中的流体平衡方程： 一豢卸叶聃 一竺：啦+ p ，谛， ( 1 】6 ) 一i 2 峨+ p ，m 6 式中： 如动渗透系数 占重力加速度 因假设水体不可压缩，我们可又得到渗流连续方程 一e + 孚+ 誓，= 哮+ 詈+ 参 ， 在解决过程中，引入h a n k e l 积分变换对耦联合方程组进行解答，可得到一 般形式的l a m b 问题的解析解。张玉红、黄义( 2 0 0 2 ) 等研究的下卧层为基岩的 土层的非轴对称情况下的解。 高频振动情况的解析解分析 相对于低频下的运动，在较高频率下时，必须考虑流体相对于土骨架的惯性 力。目前关于半空间状况下两项介质土体的振动研究已成为新的热点，陈龙珠 ( 2 0 0 2 ) 等对于半空间条件下基础的振动分析作了比较全面的分析。 金波( 1 9 9 7 ) 等还用积分变换和积分方程研究了多孔饱和半空间上刚性圆板 的垂直振动问题，首先应用逐次解耦方法求解多孔饱和固体的动力基本方程 9 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文盂楷2 0 0 42 b i o t 波动方程，然后考虑混合边界透水条件( 半空间表面与圆板的接触面是不透 水的，而其余表面是透水的) ，建立了多孔饱和半空间上刚性圆板垂直振动的对 偶积分方程，并化对偶积分方程为第二类f r e d h o l m 积分方程，求解后，即可计 算出多孔饱和半空问表面动力柔度系数c 。此外，p h i l i p p a c o p o u l o s ( 1 9 8 9 ) 用 势函数和解耦联合微分方程组的方法，b o u g a c h a ( 1 9 9 3 ) 等用有限元方法对类似 的情况也进行了研究。陈龙珠( 2 0 0 1 ) 等还研究了半空间上弹性基础的扭转问题， 金波研究了刚性基础的滑移问题。 1 3 本文的主要工作 ( 1 ) 研究了下卧基岩的饱和地基的振动，并考虑了高频情况下常见的液体相对 于土体的运动。 ( 2 ) 土体由于沉积年代的不同，总是以分层形式存在，针对这种特性。运用矩 阵传递法加以处理，得出了具有较强实际意义的解。 ( 3 ) 编制了相应的分析程序，并进行了验证分析。 ( 4 ) 以数值方法研究了简谐荷载作用下刚性基础在下卧基岩的成层饱和地基上 动力问题的一般规律，同时还研究了固结情况受渗透系数，频率等参数影响的规 律。 1 0 下卧基岩的饱和层状地摹在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文孟楷2 0 0 4 2 解。 第二章下卧基岩的饱和层状地基在轴对 称动荷载作用下的解析解 本章推导了轴对称情况下稳态简谐荷载作用下的成层饱和地基固结的解析 2 1 基本方程 不考虑土和水的重量，同时认为土是各向同性的、水是不可压缩的。本文研 究的是轴对称动力b l o t 问题。以径向为r 轴，竖直向为z 轴( 向下为正) 建立坐标， 并把坐标原点置于地基表面，即地基表面z = 0 。 本文基本上采用了力学中常用的常规符号及习惯表示法。应力的正负号按土 力学的习惯，即压为正，拉为负。 2 1 1b i o t 固结理论 关于饱和土中波传播的研究始于本世纪5 0 年代，b l o t ( 1 9 5 6 、1 9 6 2 ) 建立 了流体饱和多孔介质波传播理论，并成为以后有关饱和多孔介质波动理论各项研 究的基础。b l o t 理论的实质是将连续介质力学应用于流体饱和多孔介质这一两相 材料体系，并分别考虑了其中流体和固体骨架的应力应变关系及其运动。与均 匀各向同性固体理论相比，b i o t 理论多了两个弹性常数，这两个弹性常数分别对 应于流体的弹性与流体和固体骨架间的弹性相互作用。b i o t 理论的动力部分是用 两个相互耦合的矢量方程分别描述流体和固体骨架的运动，且在两个方程中都包 含固体骨架和流体问的惯性和粘性相互作用项，构成这两个方程的相互耦合。 b l o t 理论最成功之处就在于预言了流体饱和多孔介质中三种体波的存在，即第 压缩波( p 1 ) ，第二压缩波( p 2 ) ，和一种剪切波( s ) 。这三种体波直到2 0 多年 后才被实验所证实。 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕上学位论文孟楷2 0 0 4 2 b i o t 基本假定 天然土体是一种复杂的三相松散介质，颗粒、水和气体各成分的不同组合将 会使土体具有不同的性状。当饱和度s ，= 0 时，土体为干土：s r = l 时，土体为 完全饱和土。当饱和度比较小时，气体存在于内部的空隙通道上，水则以透镜体 形式包围于土颗粒之间的接触点，土处于水封闭状态；当饱和度很高时，气体已 封闭气泡形式存在于孔隙水中，土处于气封闭或水开敞状态；在饱和度处于这两 者之间，气体和孔隙水均可以在孔隙通道上连续或局部连通，土处于双开敞状态。 在处于水封闭或双开敞状态的土体中，由于孔隙的可压缩性大大超过土骨架的压 缩性，弹性波的传播速度主要由土骨架控制。但是对处于气封闭状态或完全饱和 的土体，孔隙流体的可压缩性已接近甚至大大低于土骨架的可压缩性，弹性波的 传播性质将不再以土骨架为控制因素。 b i o t ( 1 9 5 6 ) 首先建立了流体饱和多孔介质中的波传播理论，该理论的基本 假设为： l 、土骨架是理想弹性多孔连续介质，土颗粒可压缩； 2 、孔隙水可压缩，在土中流动服从广义d a r c y 定律； 3 、土体各向同性且均匀，其中孔隙相互连同： 4 、孔隙尺寸远小于波长； 5 、不计温度等因素影响。 土体在小应变情况下可视为弹性体，对于b i o t 的基本假定，我们可知在强 烈地震、爆炸等情况下此理论不成立。对于土骨架和水体的压缩，当作用力不是 很大的时候影响较小，可忽略。此外需要强调的是，b i o t 理论是针对于固液两项 的饱和土体，对于非饱和土体并不适用。 在b i o t 模型中，作用于一个单元体上的平均应力被定义为作用于固体和流 体上的力的总和除以单元面积，单元内的势能表示为应变分量的二次函数，固体 和流体的速度交叉乘积产生一个不明显的质量耦合项。下面介绍b i o t 理论的三 种不同表述方式。 b i o t 模型1 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕上学位论文盂楷2 0 0 42 在此模型中，b l o t 以w 和u 分别表不单位土体体积兀中流体部分和崮体土 骨架部分的位移，可以得到考虑惯性和粘性耦合作用的w u 形式的矢量波动方 程： v 2 【，+ 胛矾一+ 咖+ 纠= 矿0 2 ( 肌u ：) + 6 鲁( u 一) 聊d ( 缈+ r 占) = 导( n ：u + p ：矿) 一6 昙( u 一形) ( 2 1 ) n ，a ，q ，尺弹性常数 巾2 ”孙如2 ”p a , p 1 2 = - p a , n 刨卅) p s ，p 2 = 印2 号矿 成描述质量耦合的附加质量密度： 凤，乃土颗粒和流体密度； b 反映粘性耦合的系数； 流体粘滞系数： 。渗透系数 在，a ，q , r 四个弹性常数中，n 和爿类似一般弹性理论中的拉梅常数，r 和 9 反映了流体的弹性及流体和固体骨架间的弹性相互作用。一般来讲，此模型中 的一些参数难以实测，应用不多。 b i o t 模型二 设w 为流体相对于土骨架的位移 w ：n ( w u 1 ( 2 2 ) 经过代数运算后，给出如下u w 形式的耦合波动方程 g v z u + ( 五+ g ) g r a d e 一删= 等( + 乃w ) 下卧摹岩的饱和层状地摹扯轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江人学硕上学位论文盂楷2 0 0 4 2 m g r a d ( 一护等( 乃u + 删) + 詈詈 泣， 式中 p 饱和土总密度，p = ( 1 一n ) p ，+ ，妒， 善流体的相对膨胀比，毒= n d i v ( u w ) 丸= 兄+ 口2 模型二中引入了四个新的弹性常数，他们与模型一中的弹性常数n ，a ，q ，r 的关系为： n = g ，o = n ( a n ) m ，a = 五+ m ( a 一 ) 2 ，r = n 2 m 新引入的弹性常数旯，g ，口，m 的物理意义和表达式十分明确( g r e e t s m a , s m i t 1 9 6 1 ；b e r r y m a m1 9 8 0 ) ： 五，g 为固体土骨架的拉梅常数，口，m 为表征土颗粒和 孔隙流体压缩性的常数，和土的体积模量有关。它们可以表示为 口：1 一一k b ( 2 4 ) k ， m ：善l ( 2 5 ) x d k h 耻础+ 喀川】 ( 2 6 ) 式中 k 。，k i 土颗粒和孔隙流体的体积模量； k 。土骨架( 干土状态) 的体积模量。 由( 2 4 ) ( 2 6 ) 分析，若不计土颗粒压缩，即k 趋近于无穷大，则 k ， 口= 1 m = 上 若不计土颗粒和孔隙流体的压缩，即k ，k ，均趋近于无穷大，则 1 4 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕十学位论文盂楷2 0 0 42 a ：1 1 ：0 朋 下面对( 2 3 ) 中的参数i 作一说明。由前面的分析知 m ：p 2 _ 2( 2 7 ) n 引进反映土骨架结构的参数结构因子f ，则朋可表示为： m ：c 皂( 2 8 ) 由( 2 7 ) 和( 2 8 ) 可知： p 。= ( c 一1 ) r i p ， ( 2 9 ) 其中c 或岛是和土骨架结构有关的参数，目前还没有普遍的理论公式，因此 一般在土波动理论分析中，常忽略见这个概念模糊、难以实测的附加质量，即 取结构因子f 为l ( z i e n k i e w i e z 等1 9 8 0 ；s t o l l 等1 9 8 1 ；p h i l i p p a c o p o u l o s1 9 8 7 ；朱 百里等1 9 9 0 ) 模型二与模型一的区别主要在于用水土相对位移w 替代了水体位移。 b i o t 模型三 模型三可以说是b l o t 波动方程根据实际情况的一种简化形式。当略土颗粒 压缩性，并假设流体粘滞性包含在动力渗透系数中时，b l o t 波动方程可以表示为： g v 2 u + ( 丑+ g + 生) 瞰一k ”g r a d 吾= 百6 2 i ld t ( + 乃w )玎 一 。 k ”fg r a d e 一等删善= 簧( p ，u + 鲁w ) + 百p f g 百o w c z ， 式中： k ，孔隙流体的体积模量 屯动渗透系数 在以上三种模型中，目前的研究趋于采用后两种表述( z i e n k i e w i e z 等1 9 8 4 ； p h i l i p p a c o p o u l o s1 9 8 7 ；c h e n1 9 9 4 ) ，而第三种模型因为数学求解较为便利，所需 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文孟楷2 0 0 4 2 参数较容易确定，在一般土动力计算方面有着广泛的应用( z i e n k i e w i e z 等1 9 8 0 ： 朱百里等1 9 9 0 ) 。 2 1 2 平衡方程 当不考虑固一液相的惯性耦台作用及土体和水体的压缩性时，空间轴对称土 体动力平衡方程为： 掣兰妾一t - v ： 一l u 一去誓：尝4 鲁t ( 2 1 1 ) g 却r 2 g 西gg 一2 + g 0 e i - v 2 w - 一1 丝：旦讧盟t ( 2 1 2 ) g 出g 出gg 上式中： 兄g l 枷e 常数； “w 土骨架的径向和竖向位移： 盯为孔隙水压力； n 吼隙率； n 土颗粒密度； p ，水密度； a “i 伽 e = 一十一十一： o r，0 2 v ：芝+ 三旦+ 竺： 毋2，却出2 p = ( 1 一n ) p 。+ n p l ： 字母上的小点表示对该变量求时间的导数( 一个点为一阶导数，两个点为两阶导 数) ，下同。 1 6 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江人学硕士学位论文孟楷2 0 0 4 2 p = 氏e 。 ，、，儿j r 、 r 07 r o 7 l b ，n ，k 。，p 。，p ，a ，g z 图2 1 模型示意图 2 i 3 应力和位移方程 eo w 7 ”2 2 ( i + z ) 上式中： e 土的压缩模量 “泊松比 2 i 4 流体平衡方程 1 7 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 盟毋爿丝昆 南南南 e 一 e 一叫 e 一叫南南击 0 吒 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学堡圭堂垡望塞垂堕兰! ! 生 塑：掣i ，+ 尸，拼+ 盟i ， o r 虬 l 一挈：掣也+ p r 茹+ 生也 赴k 。 n 上式中： k 动力固结系数 g 重力加速度 2 1 5 渗流连续性方程 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 因假定土颗粒和水体不可压缩，则土体单元的体积变化就完全由水体的流出 所致，据此可得： _ ( 誓+ 孚+ 誓 = ( 熹+ 詈+ 期 ( 2 1 9 ) 2 1 6 边界条件 1 应力边界条件：在基础表面r - 下表面中，假设基岩不透水，则“= w = q = 0 。考虑h a n k e l 变换，得： 玎( f ，) = 0 ( 2 5 1 ) 万( f ，日) = 0 ( 2 - 5 2 ) 虿( f ，h ) = 0 ( 2 5 3 ) 其中：h 为土层总厚度。 以上为已知的六个物理量，带入( 2 4 7 ) ，可得上边界未知物理量的表达式： 下卧基岩的饱和层状地基和轴对称简请荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕上学位论文盂楷2 0 0 4 2 ( f ，o ) 面( f ，o ) 虿( f ，o ) 】7 = p 】陋- ( f ，o ) 0o f c l jc 1 2 吲= - i c ：c ： 【c 。c 。： c 1 3 c 2 3 c 6 ， c 1 4 c 2 4 c 1 5 c 2 5 c 6 5 其中c 。为( 2 4 7 中) 矩阵c ”1 “s 中相应位置的元素。 做h a n k e l 逆变换，便可还原出所求物理量： 鼢， = r 树 其中： 巧。五：墨， 五- 易殇 lo0 oi0 0ol 五。& 巧五：巧， 五，殇 1oo ol0 oo l 五。& c 矩阵c ”1 6 x 6 中相应位置的行向量； 厶( r 。零阶贝赛尔函数：厶( r 孝) = 瓦1 f e 廿吁m d 矿； ( ，毋一阶贝赛尔函数；( r 彩= 去f 。“叫m ”；d 矿； ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 1，j1，j 蟛 d咂 ， 1，llj p o o ，l q q q q ，。l 厂， 严西 = 1l“川10llj 聊棚扔聊 诫置氓烈 蟛 嵋 j 列叫叫。l 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学顶士学位论文孟楷2 0 0 4 2 第三章程序设计及成果的比较分析 3 1 程序设计 3 1 1 程序简介 由于考虑了土颗粒和水体自身的惯性力以及水土耦合的影响，造成结果表达 式比较复杂，计算矩阵较为庞大，矩阵中的元素也比较复杂。程序中涉及到数值 积分，为了比较合理的计算结果，需要比较高的计算精度，因此计算量较大。本 文选择m a t h m a t i c a ，利用其中的符号积分和无限精度的功能，编制了程序，得 出了较好的计算结果。 3 1 2 输入的参数： 土体和荷载的参数：荷载的频率、土的层数、荷载作用范围，荷载的幅值。 按层数输入每层的数据：土的剪切模量，土的泊松比，土的动力渗透系数，土的 孔隙比、土的密度、水的密度、土层的层厚。 3 1 3 数据的输出 以图片的形式输出土体表面位移w 在不同情况下随半径，的变化曲线，包括 其瞬时值和幅值。 3 2 单层地基的算例分析 算例的各种参数如下表 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学顺士学位论史盂楷2 0 0 4 ，2 f 厚度( m )g ( m p a ) n 尸( k g m 3 ) p f ( k g m 3 ) i 51 50 4 20 4 51 8 0 01 0 0 0 激振力参数：f = 1 0k p a ： 荷载作用半径：，0 = 1m ； 边界透水条件：上表面透水，孔压为0 ；下表面不透水。 图中r 表示半径，w 表示地基表面的竖向位移。 1 o w r a n k 一，7 68 一托 r m 图3 1 单层地基的位移嗌线( = l o o r a d s ，k d = 2 x 1 0 。m s ) w r a n 冬 歹 k 一 l 2 、1 一一一亏一一良、一 r m 图3 2 单层地基的位移曲线( = l o r a d s ，k d = 2 x 1 0 - 3 m s ) 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文盂楷2 0 0 4 2 、一! ，2争6 、8 、气 ：、 ； ， ， ， r m 图3 3 单层地基的位移曲线( 国= 1 0 0 r a d s ，k d = 2 1 0 。4 m s ) w m 2 、奇一一鲁一一l 一? r r a 图3 4 单层地基的位移曲线( - - - - 1 0 r a d s ，k d = 2 1 0 。m s ) 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学硕士学位论文盂楷2 0 0 4 2 ，c 一- 。尹。， 产 p 一6 、- b 如 i ， r r a 图3 5 单层地基的位移曲线( = l o o r a d s ，k a = 2 x 1 0 。m s ) w f r m a k 一 2 、。_ 一6 一、量一。? r m 图3 6 单层地基的位移曲线( 脚= 1 0 r a d s ，岛= 2 x 1 0 。m s ) 图3 1 图3 6 是不同激振频率和渗透系数下地表竖向位移w ( m m ) 与半 径，( m ) 的关系曲线，其中实线表示位移的稳态幅值，虚线表示t = o 一即荷 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江人学硕上学位论文盂楷2 0 0 42 载为最大时的瞬时位移。 对比两图可见，= l o o r a d s 时地表位移的波动远大于0 9 = l o r a d s 时的情 况。在= l o o r a d s 情况下，可明显看出荷载作用范围外位移的波动，而随着 距离的增大，这种情况渐趋不明显。振动波传至下卧岩层后经反射在表面与原波 发生干涉，竖向振幅随距离增大将会有一定的起伏变化而非单调的衰减。此性质 随频率的增大而愈加明显，对于静荷载则不会有此情况的发生。从两图中位移的 瞬时值和幅值的比较还可以看出，频率越大其位移与荷载的相位差也越大。 张玉红、黄义等研究了当振动频率较低时( 忽略水体相对于土体的位移) 下 卧层为基岩的土层的非轴对称情况下的解。下图为基岩上单一土层的算例图，其 中土层厚度为l o m ；孔隙率为0 3 7 5 ；土层剪切波速为2 0 0 m s ；土颗粒容重 2 6 0 0 k g m 3 ；泊松比为0 2 5 ；水平激振频率为3 0 h z ，图中x 表示所考虑的点离振 源距离。 辱 山 = 黛 馘 x m 图3 7 低频情况下下卧基岩土体表面的竖向地表位移( 实部) 下卧基岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江大学顺士学位论文孟楷2 0 0 4 2 票 山 0 曩 蟹 x m 图3 8 低频情况下下卧基岩土体表面的竖向地表位移( 虚部) 从图中可见：在不排水边界条件下，两相土介质( 饱和土) 和单相土介质( 干土) 的动力响应有差别，但差别似乎不大，这可能是由于在不排水时，流体没有相对 于土骨架的运动，所以饱和土地表位移与干土时差别不大；而在排水边界条件下， 由于存在流体相对于土骨架的辊合运动，比干土时多了个自由度，流体相对土 骨架运动越显著，流固两相耦合作用也越显著，产生阻尼也越高，所以地表位移 与干土时相比变化较大。计算结果表明，在饱水软土地基土动力响应分析中应该 考虑土体中孔隙流体的影响。和本文的计算结果相比，曲线较为相似，但是比较 平滑，这是因为在低频下忽略了惯性力的影响的原因。 土体的渗透系数的大小影响渗流的速度，也将影响土骨架的变形。计算表明， 随着土体渗透系数的减小，土体表面竖向位移幅值亦减小，且值得注意的是渗透 系数与激振频率对土体影响具有明显的复合特征。在较低频率下渗透系数对结果 的影响较不明显：当国= l o r a d s 时k 。= 2 x 1 0 - 5 与k d = 2 x 1 0 。的位移幅值相 差仅1 0 左右，且波形相似；但在较高频率下则相当显著：当珊= l o o r a d s 时， k 。= 2 1 0 - 3 的位移幅值则是k d = 2 x 1 0 。的约2 5 倍。但从图中亦可看出，当渗 透系数超出一定范围之后，其改变对结果的影响大为减小：当= 1 0 0r a d s 时 屯= 2 1 0 。与幻= 2 1 0 。位移幅值相差一倍；而k d = 2 1 0 _ 4 与k d = 2 x 1 0 - 3 位 下卧摹岩的饱和层状地基在轴对称简谐荷载作用下的稳态振动分析浙江人学硕上学位论文盂楷2 0 0 4 2 移幅值只相差2 0 o 左右，且波形亦基本一致。对此可以这样来解释：渗透系数k 。 值越小，饱和土中孔隙水越不易流动，此时土骨架在变形时所受的侧向约束越大， 因此位移也越小。在杨军、宋二祥等所作的半空间饱和土体的有限元振动分析中， 亦发现随着渗透系数的减小，孔隙水压幅值增大，荷载中心点的竖向位移幅值减 小。但当渗透系数大于某个较大值或小于某个较小值时，