（测试计量技术及仪器专业论文）光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径概率密度分布函数的数学模型.pdf

中文摘要 感 2 s s 8 7 针对l 1 0 0 “m 粒子群粒度分布测量技术反演算法存在的问题，本文给出了一种用组合单径 粒子群产生的衍射光强角谱分布反演实际粒子群粒度分布的数学模型。基于积分中值定理，首次 提出了粒子群中值粒径概率密度分布谱的概念，以有限种单径粒子群线性组合表示实际粒子群粒 度分布，两者的衍射光强角谱离散分布完全等效，并建立了套适用于f 玎岫衙衍射法测量粒 度分布的反演算法。 通过数值计算对l 1 0 0 1 u m 范围内的单峰、双峰及三峰结构粒子群进行了模拟实验测量，结 果表明，峰值粒径测量值与理论值偏差在1 m 以内，粒度分布跨度与理论值一致，中值粒径概 率分布直方图与实际分布偏差可达0 0 3 。并且当单峰结构粒子群衍射光强信号噪信比达到2 0 时，与无噪声信号的反演结果没有明显差异。此方法弥补了积分变换法对噪声敏感、非线性迭代 方法收敛性差的缺陷，展示了种无模式非迭代算法的新思路。 糊f m 曲断衍射，粒子群中值粒微铲度分妒函数， 硕士毕业论文 演反迭非 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp i p an e wm a t h 既n a l i c a lm o d e lb a s e do ni n t e g r a lm c d i a n - v a h et h e o r e mi sd e v e l o p e dt o i n v e r s et h ed i s t r i b u t i o no fp a r t i c l eg r o u p , w h i c hi su s e df o rm e s s n i n gp a r t i c l es i z ew i t hf m u n h o f e r d i f f r a c t i o nt h e o r y i nt h i sm o d e l ，t h em e 投l r o jd i f f r a c t i o ns i g n a lc a nb ed e s c r i b e dw i t hf i n i t ek i n d so f d i s t r i b u t i o n so f d i f f r a c t i o nl i g h tr e s u l t e df r o m s i n g l e - s i z ei x m i c l eg r o u p c o n a s p o n d i n g l y , t h ed i s t r i b u t i o no f a c t u a l p a r t i c l e g r o u p c a n b e d e n o t e d a p p r o x i m a t e l y w i t h a c o m b i n a t i o n o f l l l e f i n i t e k i n d s o f f l l e s e p a r t i c l e s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sh a v eb e e np r o c e e d e do nt h r e ek i n d so f p a r t i c l eg r o u p s ：s i n g l e - m a k , d o u b l e - p e a ka n d 廿l i e e - p e a l ct h e r e s u l t ss h o w t h a t ：( 1 ) 1 h cc r l d ro f p e a k - p a r d c l es i z eb e t w e e ne x p e r i m e n t a lv a l v e a n dt b e o r e l i c a lv a l u ei sl e s st h a nip m ；( 2 ) t h em c a s u m d s p a nv a l u eo f d i s m b u l i o no f p a n i c l es i z ei s c o n s i s t e n tw i t ht h e o r e t i c a lv a l u e ；( 3 ) t h el m o rb e t w e e nm 朗s 叫e dd i s t r i b u t i o no f p a r l i c l eg r o u pa n dt h e t h e o r e t i c a ld i s t r i b u t i o ni sa b o u t0 0 3 ；( 4 ) t h ep r e c i s i o na ss t a t e da b o v ec a nb es t i l lo b t a i n e d , e v e ni ft h e v & n d o m n o i s e i n t 砖m e s s t w e m o n td i 伍翻嘶o ns i g n a l i s a d d e d u p t 0 2 缸 t h i si n v e r s i o nm e t h o di san o n - m o d e & n o n - i n t e r a t i o n m e t h o d , a n d c o n q u e r s t h e d i s a d v a n t a g eo f p o o r a s 血j 1 1 9 c n o yo f i n t e g r a l t m m s f o t r nm c q l x ) d sa n dt h e o v e r s e m i f i v i t y t on o i s e o f n o n - l i n e a r i t yi n t e r a f i o n k e y w o r d ：f m u n h o f e rd i f f r a c l i o n , p a r t i c l eg r o u p , c o n c e p to f m e d i a n - v a l u e - p a r t i c l e - s i z ep r o b a b i l i t yd e n s i t y d i s t r i b u t i o n , n o n - m o d e & n o n - i n t c r a i o ni n v e r s i o nm c 。d l o d 硕士毕业论文 1 引言 “颗粒”，也就是通常所称的“粒子”、“微粒”，是指其限度尺寸在毫米以下及至微米量 级的微小颗粒，如农药粉末、大气环境中的尘埃、烟雾、水珠、气溶胶等。随着科技的高速 发展，新材料不断出现，旧工艺不断更新，人们遇到了越来越多的与粒子有关的技术问题， 微粒大小及其空间分布的检测已成为目前实用测量方面的一个重要课题，并不断推出新的研 究热点，在国内国际一直受到广泛重视。在工业生产、环境保护、医药卫生、国防科研及军 事技术等众多领域，其重要意义都是有目共睹的。 早在二战时期，德国为了提高“v 2 ”飞弹的命中率，在加工安装导航陀螺仪时，首先 采用了密封洁净环境，就此拉开了微小颗粒测量技术发展的帷幕。除了洁净环境的检测，在 粉体制备等密集粒子群的检测方面的例子也不胜枚举。比如，在化工医药行业，产品的颗粒 粒径直接或间接影响着产品的质量和性能，如珍珠粉的制备过程中，最重要的参数之一就是 其颗粒的大小：药品颗粒越细小，人体对它的吸收越好；对某一些疾病的诊断也常需知道某 些细胞大小及其分布。大功率常规水力发电装置中的水滴直径及其浓度( 蒸汽湿度) 会对汽 轮机运行的经济性及安全性产生严重影响。在环保行业中，通过对除尘过滤器前后细小颗粒 的浓度及粒径的在线监测。可以实时地了解除尘中催化剂颗粒对烟气透平的侵蚀。各种燃料 雾化装置所喷射的液滴大小及其分布直接影响到燃料效率、火焰稳定性及其污染程度，如航 空发动机燃油雾化过程中，燃油液滴尺寸分布是表征燃油雾化质量的重要参数，它直接影响 到燃油燃烧性能，如火焰的稳定性、燃烧效率等，以至对航空飞行安全起着至关重要的作用。 在核试验后，需测定核爆炸对周围环境的核污染，必须测定微粒的尺寸与分布。可见，颗粒 大小的测定受到人们高度重视也就不足为奇了。 有关颗粒测量的研究受到人们的普遍重视，并已发展成为现代测量学中的一个重要分 支。粒度分布测量的方法很多，从粒度分布测量的历史发展过程来看，包括筛分法、显微镜 法、沉降法、成像法、电感应法和激光散射法等。其中，激光散射法由于测量速度快、重复 性好、适于在线非接触测量等优点而被广泛应用【i 捌。 随着激光技术、半导体工业和计算机技术的发展，激光散射测量技术已越来越成熟，国 内外多家公司纷纷研制出了不同类型的商品化激光测量颗粒粒径仪器。一般的，根据散射机 理与测量对象的不同目前的颗粒测量仪器分为粒子计数器与粒度仪两种。粒子计数器一般 是针对单颗粒粒径进行检测，主要用于洁净环境的检测，其典型产品有：南京理工大学与江 苏苏净集团合作开发的y 0 9 。9 型激光尘埃粒子计数器，美国的m e to n e 公司等。粒度仪的测 量对象为浓度较高的密集粒子群，主要用于粉体的检测等，典型产品有：英国马尔文公司的 m s s 系列和m i c r o 系列，日本h o r i b a 和岛津等公司也研制了多种商用激光粒度仪。 我国在颗粒测量方面的研究起步较晚，尤其在密集粒子群粒度分布测量方面，国内仍没 有适于商用精度较高的产品。东南大学、天津大学、上海机械学院等单位的研究人员虽然作 了很多有关的理论、实验的研究，但在测量精度、测量速度、分辨能力、动态检测等方面都 不够理想。与国际水平有较大差距。除了加工工艺比较落后之外，已有反演算法的不完善， 更是起到了很大的制约作用。主要缺陷有：( 1 ) 目前较为成熟的有模式算法l ，需要预先 假定被测粒子场符合某种分布模型【i i ，当假设模型与实际分布不符或差距较大时，误差很大。 ( 2 ) 无模式算法1 6 1 ，不需要预先假定分布模型，在理论上较有模式的有一定进步，但大多 数采用迭代法或积分变换方法，存在迭代速度慢、收敛性与稳定性差、对噪声非常敏感等问 题1 7 8 l 。而且事实上在使用过程中，无模式算法也需预知信息，如知道待测粒子大体分布范 围等。( 3 ) 东南大学叶茂同学采用的随机反演算法，不需要先验信息，也具有较强的抗噪声 能力，模拟实验中取得了不错的反演效果，但是计算速度慢，反演结果对颗粒的复折射率敏 感。而且在小于l o 让m 的小粒子区域与理论分布相差很大。 为此，我们课题组也开始这一领域的探索，希望能够开拓一条密集粒子群的检测技术的 新途径，为我国颗粒检测事业发展有所贡献。王亚伟同学在他的微粒尺度分布测量方法及 其理论的研究学位论文中，对粒子群衍射谱分布建立了新的数值近似修正，实现了近波长 区m i e 散射理论与f r a u n h o f e r 衍射理论的统一，提出任意形貌粒子的形貌概率分布函数 的表述概念，建立了形貌概率分布函数和任意形貌粒子特征分布函数的反演方法。戴兵同学 在论文密集颗粒尺寸分布大量程测试技术的研究中，采用s h i f r i n 变换反演计算的测试 方法，进行了密集颗粒环境的测试。同时阐述了扩展衍射法测量下限的半经验近似及其与 m i e 解的一致性，说明了解决大量程颗粒测试的方法。虽然他们已经作了一些相关领域的研 究，但由于时间关系和研究重点不同，所使用的反问题模型并不完善，反演结果的精度也较 低。 在亚微米级单颗粒测量尘埃粒子计数器的研究方面，南京理工大学贺安之教授、卞 保民副教授成功的研制开发出国产0 1i t m 尘埃粒子计数器的核心部分光电传感器，并与苏 州净化设备厂研制的主机组成y 0 9 - 8 型尘埃粒子计数器，于九五年通过国家的验收，之后 进一步又成功的研制出y 0 9 9 型激光尘埃粒子计数器【9 】，填补了国内0 1 “m 激光尘埃粒子计 数器的空白，其灵敏度与国际同类产品基本一致，并已经进行批量生产。九八年又成功的研 制出了o 3 u m 液体尘埃粒子计数器，能够较准确的记录水中的尘埃粒子数。y 0 9 9 型激光尘 埃粒子计数器的研制对我国洁净环境检测事业起到了巨大的推动作用。 硕士论文光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径概举密度分布鱼塑塑墼堂塑型 在本课题组对尘埃粒子计数器的研究过程中注意到，由于不同粒径的单径粒子产生的散 射光信号幅度的概率分布不同，颗粒粒径与其产生的信号幅度概率分布间存在一一对应的关 系。在概率空间的基础上，提出了用粒子群产生的散射光信号幅度概率分布反演计算相应粒 子群粒径概率分布的数学模型，并应用于激光尘埃粒子计数器中，将单径粒子的分辨率从7 5 提高到9 5 以上。提出了用单径粒子组合概率分布描述粒子群粒度分布的概念。 1 3 本文的主要内容 为了克服粒子群粒度分布反演计算中存在的问题，我们经过仔细研究讨论，考虑将这种 单径粒子组合概率分布的思想方法应用于光学衍射法测量密集粒子群分布的反演计算中。在 卞保民老师和贺安之老师的悉心指导下，本文主要进行了夫朗和费衍射颗粒测量过程的理论 研究，建立了一套反演算法数学模型。主要包括以下几个内容： 1 对衍射方法测粒技术的原理进行研究，分析不同粒径粒子衍射光强度分布的特点。 2 讨论粒子群分布结构、粒子群衍射谱分布，从一般表达式到基本特性、物理意义等 都进行研究。吸收y 0 9 9 型尘埃粒子计数器中数学模型的概率空间的思想，采用有 限种单径粒子群衍射分布叠加等效实际粒子群的衍射分布，通过中值定理确定单径 粒子群粒径值来近似表示实际粒子群分布，建立中值粒径概率密度分布算法数学模 型。 3 根据数学模型建立一套适用的计算方法，并给出应用模型所做的模拟实验测量结果。 本文的主要结构为： 第l 章概述颗粒测量技术的背景及发展情况。指出目前存在的有待解决的问题。 第2 章给出了激光测粒技术的理论基础m i e 散射理论、f r a u n h o f e r 衍射理论及光透 消光理论的详细推导公式，以及各自在测粒技术中的应用情况。重点研究了衍射 方法测粒技术的原理，分析了衍射光强度分布的特点，并吸收了基于m i e 散射理 论的国产y 0 9 9 型尘埃粒子计数器的概率空间下的数学模型的反演思想，为建立 一种基于f m u n h o f e r 衍射理论测粒技术的以单径粒子群的组合表示待测粒子群的 反演算法数学模型打下了良好的基础。 第3 章介绍了粒子群分布的各种常用描述方法，对目前国内外的应用衍射理论测量粒子 群分布的各种反演算法进行了较为系统的阐述。有模式算法技术比较成熟，计算 简单，但由于严重依赖于粒径分布的假定，一旦实际的粒径分布与假定的情况不 同，出现的误差将非常大：无模式算法不需先验信息，具有很大的优越性，但是 通常所用的积分方法对噪声非常敏感而不大实用，戴兵同学采用s h i f r i n 积分算法 进行了模拟计算，在大粒子与小粒子部分会有震荡的小峰出现；而迭代方法速度 缓慢，稳定性差。反演精度也不高，王建萍等人通过改进的p r o j e c t i o n 算法迭代 堡：! 堕塞堂堂塑壁鲨垫王登墼堕坌塑堕塾丝塑皇童堡坌塑里墼塑墼兰塑型 的结果，较原来有很大提高，但反演结果中看，其平均直径相对误差也仅达到 3 o ，粒子群跨度相对误差为5 5 。 第4 章从f r a u n h o f e r 衍射理论出发，粒子群所含大量粒子的衍射谱可以看作大量单个粒 子衍射谱的简单叠加。这样，就可以将粒子群离散为几种单径粒子群的组合，相 应的衍射谱可以由这几种单径粒子群衍射谱的线性叠加来等效。对从输入信号到 输出信号，从一般表达式到物理意义都进行了研究，建立了一套适用于f r a u n h o f e r 衍射法测量粒子群粒度分布结构的反问题数学模型，并给出了计算流程。进行了 相应的单峰、双峰以及三峰分布模拟实验，结果表明，由反演计算得出的粒子群 分布与实际分布的偏差程度可达到o 0 3 ，峰值粒径的测量值余理论值的偏差不超 过ll m ，单峰结构粒子群半高宽误差不超过lf m ，粒度分布跨度一致。即使在 加了2 0 的噪声的情况下，对单峰分布的测量结果，仍然能够将半高宽控制在 lu m 附近，峰值粒径偏差也在l m 以内，测量得出的粒度分布余实际分布吻合 较好，具有很好的抗噪声能力，得到了非常良好的反演效果。 第5 章总结与讨论。在本文的研究工作中，提出了无模式非迭代算法反演粒子群粒度分 布的新思路，建立了一套无模式的基于中值定理的粒径等效算法，弥补了积分变 换法对噪声敏感、非线性迭代方法收敛性差的缺憾。得到了反演速度快、峰值定 位准确、粒度分布跨度一致、对单峰及多峰分布粒子群反演处理效果良好的优秀 算法。但是，本算法对数据需求量大，这就对测量光学系统及信号接收系统提出 了较高的要求。最后，提出了今后的工作设想，由于目前的测量只限于模拟实验， 在以后的工作希望能够开展实际测量的研究。 倾卜论史光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径概率密度分布函数的数学模型 2 粒子群粒度测量的光学理论基础 激光粒度测试仪是以光散射理论为基础的。当光波通过不均匀介质时，会发生偏离其直 线传播方向的散射现象。散射光形式中包含有散射体大小、形状、浓度、分布结构等信息。 因此，利用光散射技术可以测量颗粒的尺寸分布和折射率大小。关于颗粒光散射理论的系统 研究开始于1 9 世纪7 0 年代。 夺1 8 7 1 年，l o r dr a y l e i g h 首先提出了著名的瑞利散射定律。它适用于线度远远小于 光波波长的颗粒测量，认为散射光强度与入射光波长的4 次方成反比。它是以分子 极化偶极子模型为基础，可用散射中心在入射光作用下发生受追振动产生次级波来 作初步解释。当粒子线度相对于光波长逐渐增大时，各带电粒子振动的相位差越来 越大，就发生了r a y l e i g h 散射向m i e 散射的过渡。 夺1 9 0 8 年，g m i e 通过电磁波的麦克斯韦方程，解出了关于光散射的精确解，形成了 著名的m i e 理论。根据m i e 理论的解释：散射光的强度随角度的分布变化十分复 杂，粒子相对于波长的尺度越大，分布结构越复杂；当粒子尺度加大时，前项散射 和后项散射之比随之增大；当粒子尺寸超过光波波长时，散射过程与波长的依赖关 系不密切了，散射开始向衍射过渡。 夺1 9 5 7 年， l c v a nd eh u l s t 出版了关于微小粒子的光散射现象专著，被认为是光散 射领域的经典文献。 夺1 9 6 9 年，m k e r k e r 系统的论述了光及电磁波事实散射的一般规律。 夺1 9 8 3 年，c e b o h r e n ，0 ，r h u f f m a n 发表了关于微小粒子对光散射及吸收的一般规律 的论文，更全面的解释了光的各种散射现象。一般的，当粒径钐 a ，通常形 1 0 时，为f r a t m h o f e r ， 衍射范围。 至此，散射理论体系建立起来。随着颗粒散射理论的发展和完善。基于光散射理论的 粒度检测技术也逐渐形成。 2 1 光学m i e 散射法粒子群粒度分布测量原理【川 2 0 世纪初，g u s t a v m i e 在电磁理论的基础上，对平面单色光波被一个位于均匀介质中的 具有任意直径的小球散射得出严格解。虽然m i e 理论是对于被单个球散射而导出的，但也 适用于被任意多个球的散射，只要它们都有相同的直径与成分，而且是无规律分布的，彼此 分开的距离比一个波长大得多即可。在这种情况下，被不同的球散射的光之间没有相干的位 相关系，因而总散射能量就等于被一个球散射的能量与球总数的乘积1 。尤其在这一方面， m i e 解有很大的实际价值。最初该理论应用于物理化学，并被发展成为研究胶体和大分子的 有利工具，是颗粒测量技术的理论基础。 0 ) r 传播方向 图2 1 l 单色球面波被各向同性小球散射 设散射体为浸没在各向同性的介质内的半径为a 的小球，假定介质是非导体，并且这种 介质和球都是非磁性的。假定电矢量与磁矢量对时间的依赖关系为e x p ( - i t o t ) ，则在球外与 球内的电矢量与磁矢量同时间无关的部分都满足不含时间的麦克斯韦方程： 。u d 日2 一七，e ( a ) ( 2 1 1 1 c u r l e = k 2 1 t 、 式中， c a ) ( b ) ( 2 1 2 ) 通常的波数k ( 球外是实数，球内是复数) 的平方为： k 2 = 毛k 2 ( 2 1 3 ) 球外介质量用上标i 表示，球内的量用上标表示。由于假定球周围的介质是非导体， 故盯i i j = 0 。采取一个直角坐标系，原点在球心，g 方向沿传播方向，而x 方向沿它的电矢 量方向。如图( 2 1 1 ) 。 如果入射波的电矢量振幅是归一化的，即 丝m + l。毽l。 = = h 如 塑! ：堡兰 垄兰塑塾鲨整主壁垫塞坌塑生堕丝堡坚宣壅竺查垦整堕墼兰堕兰一 剖= ”。l = ( 2 t _ ) e 虬答 ( 2 1 5 ) e 。( ) ：e ：( ) ：日，o ) = h ：( ) = 0 关于边界条件。只要求e 和日的切向分量通过球表面时连续： 嚣三黔时 亿固 h 锡= h 涝厂 。、 麦克斯韦方程： v d = p v 。层：一 2 小7 可x h = j + a d | 8 t 其中，d 表示电位移矢量，e 表示电场强度。b 表示磁感应强度，日表示磁场强度，j 代 表电流密度，p 为自由电荷密度。 由( 2 1 6 ) 与麦克斯韦方程( 2 1 7 ) 得出另一条件：昂目和日的径向分量通过球表面时也连 续。 为了满足这些边界条件，必须假定除了入射场e ( j ) ，日o ) 和在球内的场e ( ，日( ”) 外， 还有在球周围介质内的次级( 被散射或被衍射的) 场层( 1 ) ，目( ”。所有这六个矢量必定具有 同样的时间依赖关系【e x p ( 一f 耐) 】。 球极坐标，目，是对本问题适用的曲线坐标。定义： x = r s i n o c o s y = r s i n s s i n ( 2 1 8 ) 这样，场方程( 2 i 1 ) 变为： 堡主丝兰 垄堂塑塾堡塾王壁塾堡坌查主堡垫丝堂皇童堡坌鱼里墼塑墼兰堡型 岫耳= 忐 恕掣掣 呐= 上r s i n o 怛 c q 一a ( r h 西# s i n 0 ) j l 呐= ； 掣一等 = 忐 冬掣一掣 明一= 志愕一铡 哟= “掣一割 斗 c 斗 ( 2 1 9 ) 现在，边界条件( 2 1 6 ) 为： 匆e o o ) ，- e 一( u ) _ - n o , u ) 篇嚣，卜口 。， 何9 ) ，日5 i ) = 妒r 一“ “ 川 方程( 2 1 9 ) 与边界条件( 2 1 1 0 ) 合起来，是本问题的基本方程。 求解方程组( 2 1 9 ) 和( 2 1 1 0 ) ，就得出散射波场矢量的各个分量解为： e p 2 方等静圳。研洲肌刚) 掣= 一南孚甜讲懈肌刚) 枷 一目枞，肌础) 爿 ( 2 1 1 1 ) 萨一南半甜毋秽肌伽) 击 _ f m 蹦瞅r 炒( c o s 口) s i n 0 ) 硕士论文光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径概率密度分布醴艘墼兰堡型 h ! s ) = 庀、，七1 ：、，s i ，n o ，：。，( ，+ ) b ，f 9 ) ( ；o ) r ) p l ( 1 ( c 。s 口) 妒= 一南孚甜b ，“。g ( 0 r ) p ( 。( c o s 口) 击 + f m 目圳( c 。s 临田( 2 1 1 1 ) 日灶南孚甜毋桃o ) r ) e l ( 玎咖p 矿8 ，枞( i ) r 一阳) 击) 其中，毋( ) ( c o s o ) 为勒让德函数， 式中 e b ，：f “i 三丝 、，七) 七( u ) y ) 口) 妒，( 删口) 一七l u ) 川y u ) 口) 矿胎( 1 ) 口) 七9 七“1 ( t o 口) 妒，( 七u 口) 一七尹女o y j ( t u 口) “1 ( 七o 口) f 2 1 1 2 、 m 西：f ，+ 1 三坐 、。 。盟些趟巫趔堕二坐型业堕堂些! 七) 七( u ) “1 ( 七( 1 ) 口) y j ( 七( u ) 口) 一| 笋) 女( 1 ) “1 ( 七( 1 ) 口) y ，( 七( ) 口) 删2 j 黟+ 缈删一j 等w 纠 “1 = 吵如) 一拓如) = 1 i x 2 p h ，o + ) ! t 、p ) h 0 ) 是汉克耳函数的一种，该函数在复平面内无穷远处为零。应该说明的是，用函数 “1 ) ：_ 【c ，一拓，表示散射波是适当的，“1 ) 由汉克耳函数h ( i ) 乘以秀得出。对于大的p 值，圩( i ) 的作用如同。和万，即“1 ) 的作用如同。驴，而r ：“o ( 七o 哆如同e 触7 。因 硕 j 论文光学衍射法粒子群粒度分布中值塾堡塑皇堕些坌塑函数塑墼堂堡型 t f i ) = i 。c o 一 ( i ) = i 筹一，七 i ) = 垫c = ，等 一) = 厢叼= 斋 俨- 舻) + f 害) 班，丝z o q 1 1 3 胛，= 胛= 等乒萼 式中五。为光在真空中的波长，“1 ) 是光在介质中的波长：盯是球的电导率。 引入球相对于周围介质的复折射率。用d 表示复折射率，有： 拈等= 等= 器+ ，子= 嚣 再引入一个无量纲参数g ，定义为： 口2 而口 即g 是球半径与光在球外介质中的波长的比值的2 万倍。于是，再用关系式 k ( u ) k ，( i ) 肛莉 就可以把系数( 2 1 1 2 ) 式表示为以下形式： e b t 。f “l “b t = i ，+ l 三生! 土! 竺! 1 2 坐! ! ! 盟二竺! ! 堑2 笙! 鱼! ，( ，+ 1 ) 疗幻) y f ( 枷一y ；( 幻) 秽( g ) ! 丛尘! 丝! 望! 丝! 塑2 二丝! ! ! 丝! 丝! ，( f + 1 ) 自( g ) y ；( 幻) 一国) y ，渤) r 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) 根据m i e 的光学散射理论，折射率相同的亚微米级均匀介质小球粒子，在均匀照明光场 中产生的散射光强度的分布与粒子的粒径相关。粒子的总散射截面随着粒子粒径的增大而增 大，通过分析粒子产生散射光强度的分布状况可以用来计算被测粒子的等效光学粒径，就是 光散射法o p c 测量粒子粒径大小的工作原理。 y 0 9 9 型尘埃粒子计数器测量粒子在照明光场中散射光强度，每个粒子产生一个脉冲信 号，所有粒子产生的脉冲信号幅度分布在一个有限的范围以内。根据m i e 散射理论，粒子 产生的光散射信号强度与粒子的粒径成单调递增关系，所以不同粒径的单径粒子产生的散射 光信号脉冲幅度也不同。m i e 散射基于单径粒子散射光幅度分析粒子尺寸大小，用m i e 散射 硕j ：论文光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径概率密度分布函数的数学模型 法测定粒子群粒度分布的实质是依粒子群产生的信号幅度分布反演其粒度分布。在概率空间 的基础上，建立了粒子群散射光信号幅度概率分布反演计算等效单径粒子组合概率分布的数 学模型，将国产y 0 9 - 9 型尘埃粒子计数器的单径粒子分辨率提高了约2 0 个百分点。为此， 我们经过仔细研究讨论。考虑将这种用单径粒子的组合表示待测粒子群粒径分布的思想方法 应用于用光学衍射测量密集颗粒群分布的反演计算中。 2 2 光学f r o u n h o f e r 衍射法粒度测量原理 由于m i e 理论形式繁琐、复杂，应用时常有许多不便之处。1 9 7 6 年，j s w i t h e n b a n k 等 人利用m i e 理论在口 a 时( 口为散射粒子半径，a 为光波波长) 的近似式f r o u n h o f e r 衍射理论发展了激光粒度测量仪，开辟了散射理论在计量学中的新领域。下面我们就来介绍 f r o u n h o f e r 衍射理论的测粒原理。 2 2 1 小孔的f r a u n h o f e r 衍射公式i ”1 首先来讨论小孔的f r a u n h o f e r 衍射理论： 图2 2 if r a u n h o f e r 小孔衍射示意图 设孔上某点直角坐标( 善，叩) ，则衍射屏上点p 处的光振幅为 u ( p ) = c 佧蜊d c d r l p ( 2 2 1 ) 式中，c 是由与光源和观察点位置有关的一些量来决定的，通常记为：c = 一e x p 旧) 万2 a 为入射光波振幅，f 为透镜焦距。 g 皓，刁) = c z 。一d 孝+ c ， 。一川，7 + 三 ( 詈+ ) g 2 + 刁2 ) ( ，0 孝+ ，珂。刁) 2 j ( ，善+ 胁叩) 2 ( 2 2 2 ) 其中，j 为光源到小孔的距离，s 为衍射屏上点p 到小孔的距离，( ，0 ，肌o ) 代表从光源处向 小孔射来的一束光线的方向余弦，( ，m ) 代表衍射屏上点p 方向的方向余弦，在p 点的衍射 光可看作是由一组起源于孔上各点并同沿( ，m ) 这方向传播的平面波叠加产生，参见图 2 2 1 ( b ) ( c ) 。 当g 瞎，叩) 中善和，7 的二次项及高次项可以忽略时，这个计算比较简单，这种情况，人们 称之为f r a u n h o f c r 衍射；而当二次项不能忽略时，人们称之为菲涅耳衍射。在光学中，比较 简单的f r a u n h o f e r 衍射情况要重要得多。 严格的讲，只有在极限情况s _ o o ，s 。jo o ，即光源和观察点都在无穷远处时，二次项 和高次项才能消失；但是，如果 三七l ( 吾+ ； e 2 + 叩2 ) 一掣一 则显然二次项对积分没有什么贡献。利用不等式： ( ，o 善+ m o r t ) 2 ( 1 0 2 + m 0 2 ) ( 掌2 + r 2 ) 2 ，r ( 2 2 3 ) 并记及，0 2 ，m 0 2 , ，2 ，m 2 不能超过1 ，则可发现如果 忪譬牛且忡譬磐 亿2 渤 式( 2 2 3 ) 将被满足，即得到可以忽略掌和玎的二次项及高次项的条件。 令p = ，- l o ，g = 小堋o ，我们将把f r a u n h o f c r 衍射所服从的积分写成如下形式： 硕士论文光学衍射法粒子群柱度分布中值粒径概率密度分布函数的数学模型 【，( p ) = 爿e x p ( f 矿) 万2 驴“佃p d 纠玎 ( 2 2 6 ) 用极坐标( p ，矽) 替换孔上各点的直角坐标，有： p c o s = 善，p s i n # = r ； ( 2 2 7 ) 同样也用极坐标( w ，矿) 表示衍射图样上以点源几何像为原点时p 点的极坐标： w c o s y = p ，w s i n v = q ； ( 2 2 8 ) 由p 和g 的定义可知，w ：、厂而是( p ，口) 方向与中心方向p = q = 0 的夹角口的证 弦。设a 为圆孔半径，这时衍射积分式( 2 2 6 ) 变为： e x p ( i k f ) 万2 霄f 4 p 勘m c o s 咿俐( 2 2 9 ) 根据贝塞尔函数j 。( x ) 的积分表示： f ”p 咖s a e 加a 如：厶( x ) ( 2 2 1 0 ) 2 z r b 、一7 ( 2 2 9 ) 式即化为： 叩) = a e x p ( i k f ) 箦“( 删n o ) p a p ( 2 2 - 1 1 ) ，l 町 此外，根据贝塞尔函数的递推关系： 丢 “删纠+ 1 蹦x ) ( 2 2 1 2 ) 取n = o ，进行积分，有： f x j o ( x ) d x = x j l ( x ) ( 2 2 1 3 由( 2 2 11 ) 和( 2 2 1 3 ) 式得到 叫川e 冲c 坍鲁 訾 亿：m ， 因此衍射光强度为： ，( 尸) = 阳) 1 2 = 4 厂a - 。2 州a 4 2 j 妇l ( k 。a i n s i 口n o ) j 2 ( 2 川) 其中，。：a 2 ，为入射光波强度。 颂i ：论文光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径塑奎童堙坌塑里墼塑墼兰堡垒 图2 _ 2 2 圆孔夫琅和费衍射光强度，函数y = 型笋 2 图2 2 3 直径6 毫米圆孔的夫琅和费衍射图样，放大5 0 倍， 汞黄光 = 5 7 9 0 埃，为了显示出弱的次极大，中央部分已暴光过度 ( 引自l i p s o n c a t a y l o rj t h o m p s o n ) 2 2 2f r a u n h o f e r 衍射光分布特征讨论 在上一节里，我们详细讨论了小孔的f r a u n h o f e r 衍射问题，根据巴俾涅原理，同样直径 大小的小圆屏与小圆孔具有相同的衍射效果：同时，我们又认为，同样直径大小的小球具有 与小圆屏完全相同的衍射效果。这样，我们就可以利用上一节里讨论的小孔衍射来表示单个 小颗粒的衍射性质。 颂1 1 论文 光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径概率密度分布函数的数学模型 1 衍射光强度分布 实验小孔的衍射光强度分布由函数y ：l 型 来表征，其曲线如图( 2 2 2 ) 所示。在 x = 0 处，y = l ，是函数的主极大；而当x 增加时，y 发生振荡，但振幅逐渐减小。当x 满 足j l ( x ) = 0 时，衍射强度为零( 极小) 。各极小不完全等距。极值的位置由满足方程： 差j i 溯= o (2216) 出lx j 、 的x 值来决定。 强度图样中极小值位于： 勋s i n 口= 3 8 3 ，7 0 2 ，i o 1 7 ( 2 2 17 ) 而极大值位于： k a s i n 口= 0 , 5 1 4 ，8 4 6 ，l1 6 2 ，( 2 2 1 8 ) 同一粒子产生的衍射光强度随衍射角口的增大呈正弦平方函数逐步衰减，交替取得极 大、极小值，其极大值处的光强度值与衍射环中心强度的比值分别为1 0 0 、0 0 1 7 5 、o 0 0 4 2 、 o 0 0 1 6 等。 这些结果表明，衍射图样在中心p = q = 0 处是一亮斑，周围是一圈圈同心的明暗相间 的环( 见图2 2 2 和2 2 3 ) 。亮环的强度随着其衍射角度的增大而急剧下降，通常只有头一、 二个环够亮，可被肉眼看见。 与衍射光分布对应的粒子的粒径口越大，环半径越小，环半径间隔越小；在照明光强相 同的情况下，粒径越大，衍射光绝对强度越大。 显然，一级极小( 零点) 的位置与粒径值a 一对应，不同粒径粒子衍射光对应的 一级零点也不同。粒径d 越大，越小。若a l ”。 同样，次极大的位置口 ，与粒径值a 也一一对应，不同粒径粒子衍射光对应的次极大位 置也不同。粒径a 越大，9 ，越小。若a i 口2 ，则若粒径为口2 的粒子产生的衍射光次极大位 置在9 ，处，粒径为a l 的粒子对应的次极大位置必定小于钆，有关系式： 。om口l,02简)-0i(om 0 0 0 1 17 7 5 5 1 7 ( 涮0 ( 2 2 2 0 ) 口1 ) 口1 ) ” 现在来看看，在总入射能量中，有多少落在衍射图样的中心部分。设在象平面上以几何 像点为中心，在角半径口，方向画一个圆，并以e ( o 。) 代表落在此圆内的能量，则： 硕士论文 光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径概率密度分布函数的数学模型 e ( ) = 4p ，( 口) 觎倒妒 “4 两；, r 2 a 4 脂 掣警 2 倒甜妒 亿z ， 等4 - 勘, 4 严1 华出 y 由( 2 2 1 2 ) 式，取月= o , 靴a j l ( x ) ，并利用公式： 丢h 小) = - x - n j n + l ( 2 2 2 2 ) 同样取r l = 0 ，可有： j t ( x ) ：j o ( x i j j ( x 一垫掣j l ( x ：一l 纯；x ) + j 沁1 、 j2dxl ”7 。7j 代入( 2 2 2 1 ) 式，并由于j o ( 0 ) ；1 ， ( o ) = 0 ，得到： e ( ) ：爿2 兰譬6 一后( 勋s i n ) 一j f ( 勋s i n ) 】 ( 2 t 2 2 4 ) 那么，在以0 m 为内角半径，以6 k l 为外角半径的圆环内的光能量为： e p c a m ) = e ( 钆+ i ) 一e ( 铊) ；等k ( 肠s i n ) + j f ( 妇s i n 气) ( 2 - 2 2 5 ) 一后( 妇s i n + 1 ) 一矸( 勋s i n + 1 ) j 3 单径粒子群的衍射光分布 对于粒子群的衍射，也即大量粒子的衍射效应，需要分为有规则分布与无规则分布两种 情况考虑：有规则分布时，在衍射屏上某些位置点的光强度变成单颗粒子强度的n ( n 1 ) 倍，也就是说，在这些特殊点光强度有巨大增大；而对于无规则分布的情况而言就简单得多， 由于不同的微粒的衍射光之间没有相干的位相关系，因而总衍射光强度就等于被单颗小粒子 衍射的光强度与粒子总数n 的乘积呷】： l ( a ，0 ) = n l q t ( 口，0 ) ( 2 2 2 6 ) 上式表示n 个粒径为口的粒子在衍射角0 处所产生的衍射光强度，被直接应用于粒子群粒度 分布的测量原理之中。 硕士论文光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径概率密度分布函数的数竺堕型 4 不同粒径粒子产生的衍射光强分布的独立性 将粒径为n 的粒子产生的衍射光强度分布函数，记为i ( o ，n ) ，即式( 2 2 1 5 ) 。 删彳鬻 笔芋 2 仁z 记g ：a 2 1 窑，上式化为； | x ，p ，口) = g a 4 l2 j 妇i ( k s a i n s i 臼n 8 ) j 2 ( 2 2 2 7 ) 设有 种粒径为a l , 口2 ，a 的粒子，a l a 2 口月 0 1 ) 。 假设第j 种粒径为a j 粒子衍射光分布，p ，幻) 可以由其他”一1 种粒子的衍射光分布迭加 表示。1 s j 曼 。即： ，p ，即) = 艺w j l ( o ，a j ) ( 2 2 2 8 ) j ；1 j j 从物理意义上来说，是权重系数，要求0 ，且不全为零。 分两种情况分别证明。 ( 1 ) j = 1 的情况l 此时，a j 成为疗种粒子玎l ，口2 ，口。中粒径最小的一种： a d a 2 a h ( 2 2 2 9 ) 式( 2 2 2 8 ) 可以化为： ，p ，幻) = ，p ，口j ) ( 2 2 3 0 ) j = 2 那么，在0 ：0 处，有： 由式( 2 2 2 7 ) 可知： 那么，式( 2 2 3 1 ) 即为： ，( o ，即) = 芝：w a o ，口j ) h 、 = 2 i ( o 。a ) - - g 口4 g = g 勺4 j = 2 ：兰譬 j = 2 a j ( 2 2 3 1 ) f 2 2 3 2 ) f 2 2 3 3 ) 硕一：论文光学衍射法粒子群粒度分布中值粒径概率密度分布函数的数学模型 令。= 争4 ，由龆2 3 3 ) 可知妒，删上式为 1 = 6 7 = 2 ( 2 2 3 4 ) 再取一点0 = 0 m ( 口m 为由粒径为幻的粒子产生的衍射光强次极大的位置) 处，有： h ， ，幻) = z v ，a j ) ( 2 2 3 5 ) j = 2 由式( 2 2 2 7 ) 可知，衍射光强度分布具有这样的性质：同一粒子产生的衍射光强度随衍 射角0 的增大呈正弦平方函数逐步衰减，交替取得极大、极小值，其各级极大值处的光强度 值与衍射环中心强度的比值分别为1 0 0 、o 0 1 7 5 、0 0 0 4 2 、o 0 0 1 6 等。并且，粒子粒径越大， 极值点的位置距衍射中心越小。由式( 2 2 2 0 ) 口- j 知，在a j 粒子的衍射光分布，p ，幻) 的次极大 位置0 村处光强度为： ，帆，a j ) = 0 0 1 7 5 ，( o ，勺) = o 0 1 7 5 g a j 4 ( 2 2 3 6 ) 而对于粒径大于勺的粒子勺来说，分布的次极大位置吼， 0 u ，所以在钆处的口粒 子衍射光强为： 1 0 m , a j ) o 0 1 7 5 i ( o , a j ) = 0 0 1 7 5 g q 4 所以，将式( 2 2 3 6 ) 与式( 2 2 3 7 ) 代入式( 2 2 3 0 ) ，得 i ( o m ，a j ) = o 0 1 7 5 g 幻4 ：“ z ”w ：0 1 7 5 g 口：4 ( 2 2 3 8 ) = 口j 4 ” = 2 i - 2 n j o 0 1 7 5 g 口j 4 z w o 0 1 7 5 g a j 4 t 2 ( 2 2 3 9 ) h 即：l 巧屯 ( 2 2