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摘要 随机共振与反常过程都是各个自然学科中广泛存在的现象。前者是非线性 系统、噪声和输入信号之间产生的一种协同现象。后者在时间上具有非马尔科 夫性质，或者在空间上具有非局部演化性质，近来受到越来越大的关注。本文 主要从数字信号处理角度，研究了双稳态反常系统中的非周期随机共振现象， 分别讨论了时间上和空间上的反常性。以往的参数调节非周期随机共振理论可 视为反常过程中的相关理论分别在时间上和空间上的特例，因此这些研究对于 随机共振理论的进一步发展具有重要的意义。 对于双稳态次扩散系统，本文从描述系统输出的时间分数阶f o k k e r - p l a n c k 方程的求解入手。与普通系统的指数函数演化形式不同，次扩散系统以 m i t t a g l e f f l e r 函数形式演化，次扩散指数越低的系统演化速度越慢。当系统受 常值信号调制时，我们研究了系统滞留率，发现在给定的响应速度下，次扩散 指数越低，系统的最小滞留率越高。本文也对次扩散双稳态系统处理数字信号 问题做了初步探讨。当次扩散指数降低时，由于系统的非马尔科夫性质，当前 的输出不能反映出即时输入信号的信息，系统的性能严重降低，同时误码率的 理论预测值与实际模拟值也存在着很大的偏差。 对于双稳态超越扩散系统，也即l 6 v y 噪声背景下的双稳态系统，我们利用 g r o n w a l d - l e t n i k o v 分数阶差分法求解空间分数阶f o k k e r - p l a n c k 方程。在方程解 的基础上，我们定义动态误码率来衡量系统处理数字信号的能力。 本文讨论了两种非周期随机共振，噪声诱导非周期随机共振和参数诱导非 周期随机共振。我们发现噪声诱导非周期随机共振现象( 包括亚阈值非周期随 机共振和驻留非周期随机共振) 在超越扩散系统中依然存在。当l 6 v y 指数减小 时，两种噪声诱导非周期随机共振现象都减弱，l 6 v y 指数低的系统最小误码率 高。当噪声强度固定时，误码率随着系统参数的变化会出现非单调变化，即参 数诱导非周期随机共振在超越扩散系统中也存在。l 6 v y 指数越低，最小系统误 码率越低。因此系统在l 6 v y 噪声中的性能优于在等强度的高斯噪声中的性能。 本文还讨论了高阶双稳态数字信号接收器在l 6 v y 噪声中的性能。研究表明，最 小误码率随系统外力势的阶次增高变化很小。最后，我们将l 6 v y 噪声推广到非 对称情况。由于系统的输出不再关于原点对称，检测过程中必须加入最优判别 目录 门限的确定过程。我们发现，通过调节判别门限，最小误码率受l 6 v y 噪声的非 对称性的影响很小。 关键词：非周期随机共振反常过程次扩散过程超越扩散过程l 6 v y 噪声误 码率 a b s t r a c t s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( s r ) a n da n o m a l o u sp r o c e s s e sa r eu b i q u i t o u si nd i f f e r e n t a r e a s s rc a nb er e g a r d e da st h er e s e to ft h ec o o p e r a t i o nb e t w e e nt h en o n l i n e a r s y s t e m ，t h en o i s ea n dt h ee x t e r n a li n p u ts i g n a l a n o m a l o u sp r o c e s s e s ，w h i c ha r e n o n m a r k o v i a ni nt i m eo rn o n l o c a li ns p a c e ，a t t r a c tm o r ea n dm o r e a t t e n t i o nr e c e n t l y i nt h i st h e s i s t h ep h e n o m e n o no fa p e r i o d i cs t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( a s r ) i nb i s t a b l e a n o m a l o u ss y s t e mi si n v e s t i g a t e di nt h ev i e wo fb i n a r ys i g n a lp r o c e s s i n g t h e a n o m a l o u st e m p o r a la n ds p a t i a lp r o p e r t i e s a l ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y t h e p a r a m e t e r - i n d u c e ds t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( p s r ) i nt h en o r m a lb i s t a b l es y s t e mc a nb e s e e na so l l es p e c i a lc a s eo fp s ri na n o m a l o u ss y s t e m s n l e s ew o r k sa r ei m p o r t a n t a n ds i g n i f i c a t i v ef o rt h ed e v e l o p m e n to fp s rt h e o r y i nt h es t u d yo fs u b d i f f u s i v eb i s t a b l es y s t e m ，w es t a r tf r o mt h es o l u t i o no ft h e t i m e f r a c t i o n a lf o k k e r - p l a n c ke q u a t i o n ( t f f p e ) ，w h i c hd e s c r i b e st h ep r o b a b i l i t yo f t h es u b d i f f u s i v es y s t e mo u t p u t c o m p a r e dt ot h ee x p o n e n t i a lr e l a x a t i o nm o d eo f t h e n o r m a ls y s t e m , t h es u b d i f f u s i v es y s t e mr e l a x e si nm i t t a g l e f f l e rm o d e i ti ss h o w n t h a t w i t ht h el o w e rs u b d i f f u s i v ei n d e x ，t h es y s t e mr e l a x e sm o r es l o w l y w h e nt h e s y s t e mi sm o d u l a t e db yc o n s t a n ts i g n a l ，w ei n v e s t i g a t et h er e s i d u a lp r o b a b i l i t yo f t h e s y s t e mo m p m i ti ss h o w nt h a t ，u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h es y s t e mr e s p o n s es p e e d k e e p sc o n s t a n t , t h el o w e rs u b d i f f u s i v e i n d e xl e a d st oh i g h e rm i n i m u mr e s i d u a l p r o b a b i l i t y w ea l s oi n v e s t i g a t et h eb i n a r ys i g n a lp r o c e s s i n gp r o b l e mi ns u b d i f f u s i v e b i s t a b l es y s t e m b e c a u s eo ft h en o n - m a r k o v i a np r o p e r t yo ft h es u b d i f f u s i v es y s t e m ， i ti sh a r dt od e t e c tt h ei n p u ts i g n a lf r o mt h ec u r r e n ts y s t e mo u t p u t t h ep e r f o r m a n c e o ft h es y s t e mi sh e a v i l yr e d u c e db yt h el o w e rs u b d i f f u s i v ei n d e x t h e r ea r ea l s ol a r g e d e v i a t i o n sb e t w e e nt h et h e o r e t i c a lb i te r r o rr a t e ( b e r ) a n dt h es i m u l a t e dr e s u l t s i nt l l es m d yo fs u p e r d i f f u s i v es y s t e m ( i e ，s y s t e me x c i t e db yl 6 v yn o i s e ) ，w e s o l v et h ec o r r e s p o n d i n gs p a c e f r a c t i o n a lf o k k e r - p l a n c ke q u a t i o n ( s f f p e ) b y g r t i n w a l d - l e t n i k o v f r a c t i o n a ld i f f e r e n c em e t h o d t om e a s u r e t h e s y s t e m p e r f o r m a n c e ，b e ri sd e f i n e db a s e d o nt h es o l u t i o no fs f f p e w ed i s c u s sn o i s e d i n d u c e da s ra n dp s r i ti ss h o w nt h a t ，n o i s e i n d u c e da s r , w h i c hi n c l u d e ss u b t h r e s h o l da s ra n dr e s i d u a la s r , s t i l le x i s t si ns u p e r d i f f u s i v e b i s t a b l es y s t e m , b u ti sr e d u c e db yt h el o w e rl 6 v yi n d e x l o w e rl d v yi n d e xl e a d st o h i g h e rm i n i m u mb e r l l e nt h en o i s ei n t e n s i t yi sf i x e d ，w ef i n dt h a tb e r v a r i e s w i t ht h es y s t e mp a r a m e t e rn o n - m o n o t o n i c a l l y , w h i c hm e a n sp s ra l s oe x i s t si n s u p e r d i f f u s i v eb i s t a b l es y s t e m b yc h o o s i n g t h eo p t i m u ms y s t e mp a r a m e t e r , t h e l o w rl d v yi n d e xl c a d st o1 0 w e rm i n i m u mb e r t h e r e f o r et h ep e r f o r m a n c eo f o p t i m a lb i s t a b l es y s t e mi nl d v yn o i s ei sb e t t e rt h a ni t sp e r f o r m a n c ei ng a u s s i a n n o i s e 、 ，i t l lt h es a m ei n t e n s i t y i nt h ep o t e n t i a lo r d e rh i g h e rt h a nq u a r t i c ，i ti ss h o w n t h a tt h eo r d e re f f e c to nt h em i n i m u mb e r i sv e r yl i m i t e d f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t et h e s y s t e mp e r f o r m a n c ei na s y m m e t r i cl 6v yn o i s e b e c a u s eo ft h ea s y m m e t r i c d i s t r i b u t i o no fs y s t e mo u t p u t ，t h eo p t i m a ld e t e c t i o nt h r e s h o l di sc h o s e nb a s e do nt h e m i n i m u mb e r i ti ss h o w nt h a t ，b yc h o o s i n gt h eo p t i m a ld e t e c t i o nt h r e s h o l d ，t h e e f f e c t so fn o i s ea s y m m e t r yo nm i n i m u mb e r a r en o tg r e a t k e y w o r d s ：a p e r i o d i c s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ；a n o m a l o u sp r o c e s s e s ；s u b d i f f u s i v e s y s t e m ；s u p e r d i f f u s i v es y s t e m ；l d v yn o i s e ；b i te r r o r r a t e 学号10 3 0 8 0 4 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特i i i i 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝望盘堂或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：莒套落 签字日期： 2 。d8 年年月一7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解澎望盘堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权澎婆盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：皙冬蒗 导师签名： 彳黼 签字日期：z o o 争月7 日、签字日期：铷曙扩年皆月7 日 ， 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：美国南加州大学土木与环境工程系 通讯地址： 电话：1 3 5 8 8 8 0 7 8 9 2 邮编： 第一章绪论 随机性是自然界普遍存在的现象。统计物理中，随机力在非线性条件作用 下产生的各种效应及其机制，是物理、生物、力学、经济等多个领域中引起广 泛关注的研究课题。二十世纪初，e i n s t e i n 对分子扩散过程的研究为现代统计物 理奏响了伟大的序曲。在随后一百余年中的研究中，传统的扩散理论已经得到 很好的发展，为解释各种非线性系统中的现象提供了强有力的理论工具。 1 9 8 1 年，b e n z i 等【l 】在研究地球冰川周期问题时提出了随机共振的概念。 他们认为，冰川变更以十万年为周期，这在时间尺度上与地球轨道受到的一个 微弱干扰的周期相吻合。他们用双稳态系统对天气系统进行建模，将其中的一 个稳态表示气候温度的最低点，对应于冰川厚度的最大值，另一个稳态反之。 短期的气候随机起伏用高斯白噪声建模。在一定强度的噪声调节下，气候的周 期响应与外加微弱周期干扰会实现同步，b e n z i 等称之为随机共振。这种理论认 为，在某种条件下，噪声对于系统的输出有积极的改善作用。此观点一提出， 引起了广泛关注。 随机共振是与传统的噪声有害思想相违背的，然而它的模型非常简单直观。 我们举一个熟悉的过阻尼质点在双稳态外力势中的运动来阐明经典随机共振理 论。如图1 1 所示，这是一个过阻尼质点在双稳态势阱u ( x ) = - 0 5 a x 2 + 0 2 5 b x 4 中的运动。其运动方程可以用下面的随机微分方程描述 j = a x b x 3 + s ( f ) + 孝( f ) ，( 1 1 ) 式中s ( f ) 为输入的周期信号力，f ( f ) 是强度为d 的高斯白噪声。 浙江大学博士学位论文 反常过程中的非周期随机共振理论 u 。 i 乓 vv ( a ) 无外力输入的势函数( b ) 势函数随周期力的变化而变化 图1 1 过阻尼质点在双势阱中运动 当没有外加周期力输入时，如图1 1 ( a ) 所示，外力势为关于原点对称的 双稳态形式。质点在噪声驱使下在势阱的两个稳态点x 。之间跳转，从负的稳定 点到正的稳定点与反向跳转所需要的平均时间相等。这个平均时间的倒数就是 著名的克莱姆率( r o a m e r sr a t e ) 2 】。当有周期外力输入时，如图1 1 所示，势 阱受到周期信号的调制，表现出非对称的性质。质点从势能高的稳定点向势能 低的稳定点跳转的概率增大。当质点从一个势阱跳到另一个势阱所需的平均时 间是外力周期的一半时，就出现了噪声、信号和质点运动同步的现象，质点的 运动周期性大大加强，此时即为随机共振【l ，3 】。特别需要指出的是，上述现象 可以通过增加噪声强度实现。适量加入的噪声不仅无害，反而更好地增强了系 统输出的周期性。最初人们认为，随机共振需要三个前提【2 】：( 1 ) 非线性势垒； ( 2 ) 弱周期信号输入；( 3 ) 噪声。随着对随机共振研究的不断深入，人们又发 现了不同形式的随机共振，如非周期随机共振 4 1 6 、相干随机共振【1 7 】等。 随机共振是非线性科学中的一个蓬勃发展的课题。二十多年来，关于它的 机理及其应用的研究方兴未艾。f a u v e 在1 9 8 3 年第一次利用s c h m i t t 触发器证 实了随机共振现象【1 8 】。1 9 8 8 年m c n a m a r a 在双稳氦氖激光环实验中再次证实 了该现象【19 】。随后科学界的注意力从用随机共振解释非线性现象转移到如何 利用随机共振提高系统的输出信噪比上【6 ，2 0 2 2 ，考虑处理的信号为周期信号； 九十年代，c o l l i n s 提出非周期随机共振理论 1 5 ，1 6 ，2 3 2 5 ，将随机共振与信息 理论结合起来，其理论和实际应用得到了进一步的发展。除了这些里程碑式的 叫 一 愀 v v 第一章绪论 研究之外，随机共振的理论模型和实验研究非常多。主要有单、双和多稳态系 统【1 - 3 ，1 8 ，2 6 - 3 7 1 ，人体视觉感知模型 3 8 4 7 1 ，f i t z h u g h - n a g u m o 神经模型 1 4 ， 4 8 5 2 1 ，超导量子隧道( s q u i d ) 【3 7 1 ，二进制高斯信道 5 3 ，5 4 1 ，量子信道 5 5 1 ， 离子信道 5 6 1 ，带限通信信道 5 7 ，5 8 1 ，电子线路( 如s c h m i t t e r 触发器 5 9 ，6 0 ， c h u a s 电路 6 1 6 4 ，c h a o t i c 系统1 6 5 6 7 ，v c s e l ( v e r t i c a lc a v i t ys u r f a c e e m i t t i n gl a s e r ) 光学系统 6 8 7 0 ，自回归( a r ) 数字信号处理模型【5 】，无记忆 非线性静态系统【1 1 ，1 2 ，5 3 ，阵列 7 1 7 3 等。随机共振理论在多个领域都有广泛 的应用，如雷达【l o ，7 4 ，7 5 、声纳 7 6 1 、通信 5 4 ，5 8 ，7 7 ，7 8 、图像处理 4 4 ，4 5 ，4 7 ， 7 9 、电子线路【3 l ，3 2 ，4 8 ，6 1 - 6 4 ，8 0 、光学 1 9 ，4 6 ，8 1 、生物系统 3 9 ，7 0 ，8 2 - 8 8 】 和化学 8 9 ，9 0 等。 随机共振虽然是反直观的，但是可以用传统的统计物理理论和传统的数学 模型阐明机理。近年来，研究表明，存在着大量的复杂系统，它们在空间上表 现出强烈的大范围相关性，在时间上表现出对过去状态的记忆性质( 非马尔科 夫) 。这些过程虽然反常，但是在各个领域都得到广泛的应用，如无组织半导体 中的电荷输运【9 1 9 3 】，多孔渗水系统 9 4 ，9 5 】，聚合物系统中的激励动力学 【9 6 9 8 ，不规则碎片几何系统中的输运过程 9 9 ，1 0 0 ，对流滚动阵列中标量追 踪器的扩散 1 0 1 ，1 0 2 1 ，聚合物网络中的水珠动力学 1 0 3 ，1 0 4 ，旋转流动中的特 殊区域 1 0 5 1 ，固体表面集体滑动扩散 1 0 6 1 ，分层速率场 1 0 7 ，r i c h a r d s o n 湍流 扩散 1 0 s ，1 0 9 ，多孔渗水玻璃中散装面的交换受控动力学【1 1 0 ，胶态离子系统 和异类岩石中的输运【1 1 1 1 1 3 】，量子光学【1 1 4 ，1 1 5 ，单分子光谱【1 1 6 ，湍流等 离子体中的输运 1 1 7 等。这些过程不能用传统的扩散理论，或者传统的数学方 法进行描述。传统的理论和描述方法需要推广到分数阶领域。 随机共振和反常过程都是普遍存在的现象，都具有重要的理论与应用价值。 一个问题自然而然地产生：反常过程中是否存在随机共振，其性质与其在普通 系统中有何区别。关于这方面的研究才刚刚起步。在本章接下来的篇幅中，我 们将对随机共振和反常系统的理论及研究方法分别做一个简要介绍，同时对反 常系统中随机共振研究的最新进展给出一个小结。 3 浙江大学博士学位论文反常过程中的非周期随机共振理论 1 1 随机共振基本理论 随机共振理论可以按照时间顺序分为经典随机共振理论和非经典随机共振 理论。经典随机共振理论主要建立在双稳态模型上，即式( 1 1 ) ，主要有绝热近 似理论 1 9 ，3 3 1 ，线性响应理论【11 8 - 1 2 0 ，驻留时间分布理论 2 9 ，7 0 ，1 2 1 ，1 2 2 和 本征值理论 2 7 ，1 2 3 1 2 6 ；非经典随机共振理论是经典理论的推广，包括非周期 随机共振【6 ，1 4 ，1 6 ，2 5 ，6 8 ，1 2 7 - 1 2 9 ，周期稳态随机共振 1 3 0 ，相干随机共振和 相干共振 1 7 1 ，静态随机共振【4 ，7 ，1 2 ，1 3 ，自适应随机共振 3 8 ，4 7 ，1 3 1 1 3 5 ， 多维随机共振 4 0 ，4 4 ，4 5 ，4 7 ，7 2 ，7 9 ，耦合随机共振 7 5 ，1 3 6 1 4 2 ，超阈值随机 共振 2 4 ，1 4 1 ，1 4 2 ，单稳态与多稳态随机共振 2 6 ，3 0 ，3 4 ，3 5 ，4 3 ，7 9 ，1 4 3 ，1 4 4 ， 混沌系统中的随机共振 6 6 ，6 7 ，7 7 ，1 4 3 ，1 4 5 ，非马尔科夫随机共振，随机共振 和量化抖动 1 3 7 ，1 4 6 ，阵列随机共振 1 4 7 1 5 2 和参数调节随机共振 5 4 ，1 2 8 ， 1 5 3 1 5 5 1 等等。这些理论不是互相独立的，其中一部分是互相包含的。下面简 要介绍几种经典的理论和与本文工作联系较为密切的几个模型。 a 绝热近似理论( a d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o nt h e o r y ) 1 9 8 9 年m c n a m a r a 提出了绝热近似理论【3 3 】，这是随机共振研究中最早的 较全面的理论。它同时适用于离散二态系统( 如s c h m i t t 触发器) 与连续双稳态 系统。这里输入信号为周期正弦信号a s i n ( 2 n a ，, t ) ，白噪声强度为d ，定义信噪 比s n r 为功率谱在信号频率上的幅值与背景噪声的值之比。近似绝热理论的主 要假设为：输入信号频率远远小于系统特征时间的倒数，并且信号幅值和噪 声强度都很小【1 9 】，即 q ，彳 1 ，d 1 ( 1 2 ) 以不稳定点x o = 0 为分界点将区域分为( 硼，o ) 和( 0 ，佃) 两部分，对于连续系统， 系统输出在这两个区域的概率悔为 一= l - n _ = f p ( 工) 出， 对于离散二态系统，这两个区域的概率为 4 ( 1 3 ) 第一章绪论 k = 1 一睫= e ( x o ) ， 用暇表示从区域( o ，佃) 的逃逸概率，矿则相反。由概率交换方程，易得 一o ) = g 。( f ) _ ( f o ) g ( ，o ) + 蜓( d g ( f ，) 历， ， g ( ，) _ e x p 哪，) + 哪，) 】衍 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 若假设交换概率畋具有k r a m e r s 时间砭( k r a m e r s 率的倒数) 的形式，即 吸= 笔e x p 卜2 ( u c o s e o , t ) d ， ( 1 7 ) z 冗 式中，= 口2 4 6 为势垒高，u = 瓴表示势垒调制的大小，则由系统输出的 功率谱密度可以得出输出信噪比s n r 的表达式 s n r ：墼p 删。 d 2 ( 1 8 ) 上式括号中的第二项表示信号对于噪声的压制，并且分子上信号的总能量影响 可以忽略，信噪比可简化为 ( 1 9 ) 由此可以看出，当d 远小于势垒砜时，式( 1 8 ) 中的项e x p ( - 2 d ) 趋近于零的 速度比d 2 更快，那么导致信噪比趋近于零；当d 增大时，e x p ( - 2 u 。d ) 趋近 于1 ，但是1 d 2 趋近于零，导致了信噪比也趋近于零，在这之间，m c n a m a r a 认为随机共振的峰值点出现在噪声强度珑。u o 处，模拟结果如图1 2 所示。 绝热近似理论的近似要求对于其适用范围有着严格限制，注意到当噪声强 度趋近于零时，由式( 1 9 ) 可知信噪比为零，这是一个错误的结论，因为此时只 有信号存在，定性结果应该为无穷大。 5 竺w 笠：一弛 笺争 浙江大学博士学位论文 反常过程中的非周期随机共振理论 图1 2 信噪比相对于噪声强度的变化，模拟时间间隔为0 0 0 5 秒。( a ) 信号频率为0 0 0 1 ， 幅值为0 0 5 ，势垒u o = 0 2 5 ，系统参数口= 1 ；( b ) 信号频率为o 1 9 5 ，幅值为8 ，势垒 u o = 2 5 6 ，系统参数a = 3 2 。 b 线性响应理论( l i n e a rr e s p o n s et h e o r y ) 线性响应理论在1 9 9 0 年被d y k r n a n 提出来解释随机共振现象 1 2 0 。其主要 理论认为，在微弱外加驱动力a s i n ( f 2 t ) 作用下，系统输出q ( t ) 的总体平均值也 含有周期项口c o s ( q f + 矽) 。系统敏感性( s u s c e p t i v i 够) 为z ( f 2 ) ，那么由涨落耗散 定理可得周期项的幅值a 和相移矽 a = a l x ( n ) l ，= - a r c t a n i m z ( f 2 ) r e z ( f 2 ) ， ( 1 1 0 ) r e z ( 缈) = 云r 【彳( 砰- - 0 9 2 ) l s 。( c 0 1 ) d c - o i ，i m z 扣) = a c e s 。( r o ) d ， ( 1 l1 ) s o ) 为无周期外力输入时系统输出的涨落谱密度 ( 缈) = 去r e j _ e x p ( # o t ) d t ( 1 1 2 ) 系统的输出信噪比可定义为 s n r = 锊4 s ( 1 1 3 ) ”( q ) 。 线性响应理论认为在f 寸0 0 时， g ( f ) g ( 0 ) h ，这在计算和 模拟中不能实现；线性响应理论认为外部力的频率可以适用于任意的时间尺度 o l w , ，但当随着砜d 呈指数减小时，前提条件是q u o d ，该条 6 第一章绪论 件有时不能成立，这限制了线性响应理论的应用范围。 在满足前提条件下，线性响应理论对于随机共振系统输出的性质预测得十 分准确。但是当系统的非线性性质起主导作用时，系统输出的均值和输入信号 的波形存在很大的差别，如图1 3 所示。我们研究小组用反演公式和后处理方 法来减小这种波形畸变的影响 15 6 。 图1 3 线性响应理论得出的系统输出的总体平均值徊( ，) ) 和输入信号s i nq 。 c 驻留时间分布理论( r e s i d e n c et i m ed i s t r i b u t i o nt h e o r y ) z h o u 和m o s s 在1 9 9 0 年提出驻留时间分布理论 1 2 2 ，认为系统输出所处 状态的时间分布符合以下关系 ( 霉) = ( 乃) 。e x p - t ( t r ) 。1 】 ( 1 1 4 ) z 为系统输出在某个状态的驻留时间，即系统穿过势垒进入一个势阱到逃逸出 该势阱的时间间隔。z h o u 和m o s s 通过实验证明：驻留时间分布和功率谱一样， 反映了对称势阱在周期信号调制下，每个势阱驻留时间的分布也随着改变，主 要峰值对应着信号的周期，如果在半个信号周期内系统输出不能反转，那么就 会在原来势阱内驻留一个周期，这也是驻留时间的分布总是对应着信号半个周 期的奇数倍的原因。如图1 4 所示，当输入信号频率为5 0 0 h z ，驻留时间概率 密度分布的峰值位于半周期的奇数倍上。他们还提出可以用信息理论的观点对 系统输出的状态转换进行研究，但并没有展开具体工作。g a m m a i t o n i 2 9 在此 7 浙江大学博士学位论文反常过程中的非周期随机共振理论 基础上提出用在半周期内的驻留时间作为衡量系统性能的参数，由此得到的最 优噪声强度与基于最大信噪比原则得到的强度是不一样的，他认为这样得到的 随机共振是真实的共振。g i a c o m e l l i 在后来的实验中进行了相关的修正【7 0 】。 o 20 4o 6o 8 1 0 - 2 s 图1 4 输入信号频率为5 0 0 h z 时驻留时间概率密度分布。 d 本征值( e i g e n v a l u e s ) 理论或f i o q u e t 理论 j u n g 和h a n g g i 提出了本征值理论 1 2 3 ，1 2 5 ，1 2 6 ，f o x 2 7 和h u 1 2 4 进一步 发展了该理论。与绝热近似理论不同，本征值理论将信号作为一个微小的扰动， 在f o k k e r - p l a n c k 方程的基础上，求出系统输出的概率分布和谱密度等量。j u n g 和h i n g g i 运用矩阵连分法，研究功率放大系数在不同信号下随着噪声强度变化 的情况。他们发现，信号的频率和幅值越大，放大系数越低，且在信号幅值增 大到临界值( 系统阈值) 时放大系数的峰值消失，如图1 5 所示。 h w = 00 1 h a i 0 2 图1 5 功率放大系数与噪声强度的关系，( a ) 信号频率缈= 0 0 1 时，( b ) 信号幅值 a = 0 2 时。 h u 根据f l o q u e t 理论，认为对应不同特征值的概率密度互相独立构成不变 8 ，。-lr。trlf，-lr-1-。1rp-rl-卜 8 6 4 2 一 外0针叶00114 第一章绪论 子空间，可以单独求解，仅考虑信号幅值a “l 的低阶项，计算出了相关函数 以及系统输出的功率谱，得到了微扰展开的信噪比表达式。在进步限制前提 条件q l ，d 1 下，该信噪比结果符合绝热近似的结果，即绝热近似是微扰 展开的一阶近似。该理论结果比绝热近似理论有了很大的改善，这是j u n g 和 h l i n g g i 没有得出的定性结果。但是当幅值a 的非线性项开始起主导作用时，必 须考虑到幅值么的无穷阶高次项。在这一点上，目前的理论无法做到。 e 非周期随机共振理论( a p e r i o ds t o c h a s t i cr e s o n a n c e ) 1 9 9 5 年以前的随机共振理论与实验主要研究外加输入信号为周期变化时的 随机共振性质，主要关注对象是系统输出的信噪比。h u 等人曾利用电子线路模 拟研究了脉冲非周期信号的随机共振现象 1 5 7 。他们根据噪声的高斯概率分布 以及由大数定律得出信息的接受率，发现随着噪声强度的不断增加，脉冲非周 期信号的接受率出现了共振型峰值，这正是随机共振的典型特征。c o l l i n s 在 1 9 9 5 年提出非周期随机共振概念【2 5 】。一他在研究可激励神经模型时引入互相关 测量方法和信息理论的测度方法平均互信息量，将随机共振与信息理论结 合起来，把随机共振研究推向了更广阔的领域。非周期随机共振理论的提出是 随机共振走向应用的标志，是其与信息理论相结合的开端。非周期随机共振包 含的范围广阔，模型也非常多【6 ，1 4 ，1 6 ，2 5 ，6 8 ，1 2 7 1 2 9 。更多的测度方法被引 入到非周期随机共振的研究中，有互相关函数 1 6 ，2 5 ，1 2 9 、动态熵【1 5 8 、f i s h e r 信息 1 5 9 、k u l l b a c k 信息 1 5 8 ，1 6 0 、信道容量 1 6 1 、最大似然率或虚漏警概率 【1 0 ，6 6 和误码率 6 8 ，1 5 7 等。反常系统中的非周期随机共振是本文研究的对象， 衡量系统性能的量为误码率。 f 多维( 图像处理) 随机共振 为了形象说明应用随机共振进行图像处理，我们举一个简单的阈值系统例 子，如图1 6 所示，原始图像为灰度图在阈值0 0 5 下转换的黑8 - - 值图像，像 素点亮度小于阈值转换为黑色，反之为白色。原图为1 6 ( a ) ，图像模糊，难以辨 认。我们依次加入方差为0 1 6 ，0 4 9 和2 2 5 的零均值高斯噪声，在同样阈值下 进行转换，可以看出：在加入噪声方差为0 a 9 时，如图1 6 ( c ) 所示，图像最容 易辨识，继续增加噪声，则图像又变得模糊。m i s o n o 等利用双稳态系统对图像 数据进行传输 9 】；y a n g 设计了自适应随机共振算法来提高视觉图像质量 4 7 】； 9 m 大学博士学位论立反常过程中的非m 期随机共妊论 v a n d e l l e 等1 4 6 1 在非线性_ ) 匕学仪器实验中也证实了图像处理中的随机共振现象。 2 0 0 0 年d i t z i n g e r 在中对三维视觉中的随机共振现象进行了详细讨论1 4 0 1 。目前 我们研究小组也】f 着手于应用参数惆节随机共振系统处理二维图像的研究。 ( c ) 加 方差为04 9 的噪声( d ) 加入方差为2 2 的噪声 图i6 噪卢增强视觉辨识的例汪 g 参数诱导随机共振( p a r a m e t e n d u c e ds t o c h a s t i cr e s o n a n c e ) 在实际环境中，噪声强度一般是恒定的。1 9 9 3 年a n i s h c h e n k o 研究c h u a s 混沌电路中的随机共振现象时提付 了调节系统参数产生随机共振的思想 6 2 1 ； j u n g 在】9 9 5 年分析了闽值系统中的阈值与信噪比之间的关系 1 6 2 】，通过寻找 1 0 羹 第一章绪论 最优的阈值参数，使得系统在固定的环境噪声中具有最优的性能；1 9 9 6 年， b u l s a r a 和g a m m a i t o n i 1 6 3 也强调了调节系统参数产生随机共振的思想及其在 信号处理中的应用。 x u 等提出了参数调节随机共振理论 5 4 ，1 2 8 ，1 5 3 。1 5 5 1 ，研究系统参数与系 统性能的关系，引入了系统响应速度丑，重新解释了随机共振现象产生的机理。 系统响应速度是衡量系统趋向于稳定状态快慢的一个重要的量。x u 等研究了系 统输出性能、响应速度与系统参数之间的非线性关系，对于给定的输入信号和 噪声( 加性或乘性) ，选定对应的系统响应速度，使得系统输出能够跟上变化的 信号，通过调节系统的参数，使得系统处于共振峰值区或共振点上，提高系统 输出信噪比( 周期模拟信号) 或降低误码率( 非周期数字信号) 。研究表明，参 数诱导随机共振系统优于调节噪声强度的经典随机共振系统，事实上，后者是 前者的一个特例 1 2 8 】。目前参数诱导随机共振的研究正与实际应用相结合起 来。特别地，在水声信号处理中，关于利用双稳态系统处理混响干扰下信号的 研究取得了一定的进展 1 6 4 ，1 6 5 。 h 超阈值随机共振( s u p e r - t h r e s h o l ds t o c h a s t i cr e s o n a n c e ) 一般认为，只有信号幅值小于系统的阈值时，即系统输入为亚阈值信号， 在噪声的帮助下，系统中才能出现随机共振现象。s t o c k s 提出了超阈值随机共 振 1 4 1 ，他继续研究了c o l l i n s 设计的神经网络模型 2 4 1 ，发现对于由许多阈值 单元组成的网络，利用互信息作为度量，即使当信号幅值大于阈值时，也可以 观察到随机共振现象。随着阈值单元的增加，系统在共振点处可以获得的互信 息量越多，其值趋向于一个极限值。这种随机共振可以看成经典随机共振理论 在大幅值信号情况下的补充。它不仅可以粗略地解释一些生物现象，例如生物 对于光线突然变强或变弱的适应性，也可以解释a d 转换时的抖动现象 ( d i t h e r i n g ) ，这对于电子线路工程设计的研究具有实际意义。 i 非马尔科夫随机共振( n o n m a r k o v i a ns t o c h a s t i cr e s o n a n c e ) 非马尔科夫随机共振的思想最早是f u l i n s k i 在1 9 9 5 年提出的 1 6 6 。在对非 马尔科夫两态噪声驱动下的线性过程的研究中，他发现该过程表现出一系列的 短暂的噪声诱导的跃迁现象。当外加一个二阶势场的时候，该系统就会出现随 机共振现象。非马尔科夫随机共振在2 0 0 3 年被明确提出 1 6 7 。g o y c h u c k 和 浙江大学博士学位论文反常过程中的非周期随机共振理论 h 斑a g g i 在稳定双态更新过程模型中引入非马尔科夫性质。该过程对过去状态具 有记忆性质。他们研究了这种非马尔科夫随机共振系统的功率谱放大系数 ( s p a ) 和信噪比( s n r ) ，发现与传统的马尔科夫随机共振系统相比，这种新 系统的s p a 和s n r 对于小的驱动频率更加敏感，特别地，s n r 受到更大程度 的抑制。他们随后又研究了双态非马尔科夫随机共振中的线性响应理论 1 6 8 。 其后不久，p r a g e r 和s c h i m a n s k y g e i e r 1 6 9 研究了非马尔科夫三态模型受外加 周期信号驱动的性质，得到了s p a 和s n r 的表达式。由于非马尔科夫随机共 振研究的发展历史并不久，很多有趣的性质不断被发现。本文中的次扩散 ( s u b d i f f u s i o n ) 作为一种反常过程，也是非马尔科夫的，关于随机共振在该过程 中的性质将在后面章节中详细讨论。 1 2 反常过程基本理论