（数量经济学专业论文）最优投资与效用无差别定价模型研究.pdf

： t 一 “一l时 “川神一 c， 嬲嬲必 r e s e a r c ho nm o d e l so fo p t i m a li n v e s t m e n ta n du t i l i t yi n d i f f e r e n c e p r i c i n g b y l u o y a n b e ( h u n a nu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ) 2 0 0 2 m s ( c e n t r a ls o u t hu n i v e r s i t y ) 2 0 0 5 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f d o c t o ro f e c o n o m i c s l n q u a n t i t a t i v ee c o n o m i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a n u n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o ry a n gz h a o j u n a p r , 2 0 1 1 。 嚆 ， o 1 0 i _ 湖南大学 学位论文原创性! 声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律后果由本人承担。 作者签名： 罗琰 日期：加f ( 年6 月舌日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名：、罗琰 日期：f 障 月e l 导师签名：专舭 日期：汐t 1 年 月6日 龟 一 q 0 r 博l ：学位论文 摘要 由美国次级债券问题引发的全球性金融危机使越来越多的人意识到金融问 题关系整个社会的稳定、繁荣和发展。金融理论的核心内容包括公司金融与资产 定价理论。其中，投资组合选择、风险管理及资产定价问题的研究具有重要的理 论和实际意义。本学位论文针对若干非完备市场条件下的投资组合选择及风险资 产效用无差别定价问题进行定量研究，具体内容如下： ( 1 ) 研究了基于最大化生存概率准则的最优投资决策问题。假设投资者面临 着不可对冲的随机风险，所以市场是不完备的，任何投资策略都不能完全消除财 富总量的下行风险。我们分别讨论了无借贷约束和有借贷约束条件下最优投资决 策。利用随机控制理论，通过求解模型对应的h j b ( h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ) 方 程，我们获得了最优投资策略及最大生存概率的显式解。最后，给出了数值算例， 通过比较静态分析揭示了生存概率及投资策略与各参数之间的数量关系。结果表 明，风险资产最优投资比例随财富总量的增加而减少，生存概率随财富总量的增 加而增加，随法定水平的增加而减少。 ( 2 ) 研究了具有线性消费模式的最优投资决策问题。由于具有外生的线性消 费，因而存在一个正的破产概率。首先，我们讨论了基于最小化破产概率准则的 最优投资决策，这是一类独立于时间参数的控制问题。具体来说，考虑了如下三 种不同情形下的最优投资：1 ) 允许投资者贷款投资风险资产且存贷利率相等；2 ) 不允许贷款投资风险资产；3 ) 允许贷款投资风险资产但贷款利率高于存款利率。 结果表明，存贷约束使得最优投资策略为财富的分段线性函数，而且增加了投资 者的破产风险。 其次，考虑个体投资者生命的有限性，我们讨论了基于最小化生命期破产概 率准则的最优投资。这是一个随机时间内的投资决策问题。我们得到了具有财富 依赖线性消费模式的最优投资策略及相应最小破产概率显式解。结果表明，在最 优评价标准为最小化破产概率时，死亡风险对投资者具体投资行为的影响是不可 忽视的。 最后，我们讨论了基于最大化终止时刻财富期望幂效用及指数效用情形下最 优投资问题，并与基于最小化破产概率准则的最优投资进行了对比。结果表明， 外生的线性消费使得这里讨论的最优投资问题不同与经典m e r t o n 问题，投资者具 有幂效用函数时m e r t o n 问题的最优策略是本文幂效用情形的特例。并且，基于最 小化破产概率准则与基于最大化终止时刻财富期望效用准则的最优投资策略截然 不同。 、 j t 粥 ， 最优投资j 效用无差别定价模型研究 ( 3 ) 基于随机微分博弈方法，研究了存在模型风险时的最优投资决策问题。 该问题可以刻画为投资者与自然之间的二人零和随机微分博弈，其中自然是博弈 的“虚拟”对手。利用随机微分博弈方法，通过求解最优控制问题对应的 h j b i ( h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n i s a a c s ) 方程，在完备市场及存在随机收益流的非 完备市场模型下，都得到了投资者最优投资策略以及最优值函数的显式解。结果 表明，在完备市场条件下，投资者的最优风险投资额为零，在非完备市场条件下 最优投资策略是卖空风险资产，并且卖空额度随着随机收益流波动率的增大而增 加，随风险资产波动率增大而减少。 ( 4 ) 研究了连续时间均值一方差投资组合选择问题。假设股票价格服从跳 扩散过程且具有卖空约束，投资者的目标是既定风险( 方差) 下最大化终止时刻 期望收益。利用粘性解理论，我们得到了最优投资策略及有效前沿的显式解。结 果表明，跳扩散情形下的最优投资策略及有效前沿的表达式与纯扩散市场是一致 的。 ( 5 ) 研究了保险公司最优投资及再保险决策问题。证券投资与再保险是保险 公司分散风险和实现盈利的有效途径。首先，我们讨论了基于最大化生存概率的 最优投资及再保险决策，此时的最优投资及再保险策略与财富水平具有反向变动 关系。其次，我们讨论了基于最大化终止时刻财富期望指数效用的最优投资及再 保险决策，此时的最优投资及再保险策略与财富水平是独立的。但是，最优风险 投资额及自留比率随投资者绝对风险厌恶系数增大而减小。最后，基于随机微分 博弈方法，假设自然是博弈的“虚拟 对手，我们讨论了保险公司与自然之间二 人零和随机微分博弈下的最优投资及再保险决策问题，得到了保险公司的最优投 资和再保险策略以及最优值函数的显式解。结果表明，在完全分保时，保险公司 应该将全部财富购买无风险资产，即风险资产投资额为零；在不完全分保时保险 公司将卖空风险资产，且卖空数量及再保险自留比例都随保险公司盈余过程与风 险资产间的相关性的提高而增大，随终止时刻丁的临近而增加，随市场中无风险 资产回报率的增加而减少。 ( 6 ) 研究了风险资产的效用无差别定价问题。这里的风险资产是不可交易的， 且其价格过程服从算术布朗运动或者带跳的算术布朗运动，因而市场是不完备的。 通过比较拥有和不拥有风险资产情形的最大化终止时刻财富期望效用，我们获得 了风险资产的效用无差别价格。结果显示，风险资产的效用无差别价格随投资者 风险厌恶系数增大而增大，随着风险资产平均回报率的增加而增加，随着波动率 的增加而减少。 ( 7 ) 研究了非完备市场中基于最大化期望消费效用准则下的最优消费投资 决策及期权定价问题。设标的资产不可交易，其价格过程服从几何均值回复变化。 利用随机动态规划理论及消费效用无差别定价原理，我们获得了最优消费投资策 q 4 7 c 博十学位论文 略以及标的资产不可交易的欧式期权价格所满足的偏微分方程，并给出了数值算 例。结果表明，投资者的风险厌恶态度会降低期权的效用无差别价格，而标的资 产的均值回复特性使得期权价格随时间的变化规律受控于标的资产均衡价格水 平，分情况可表现出单调递增和单调递减的两种不同变化趋势。 关键词：最优投资；效用无差别定价；存贷约束；模型风险；微分博弈；再保险； 随机收益流；期权定价 i v v 一 q a b s t r a c t m o r ea n dm o r ep e o p l ec o m et or e a l i z et h a t f i n a n c i a lp r o b l e m sf o l l o w i n gt h e g l o b a lf i n a n c i a lc r i s i s ，t r i g g e r e db yt h ea m e r i c a ns e c o n d a r yb o n d s ，h a v ei m p a c t s o n t h eg r o w t h ，t h ep r o s p e r i t ya n dt h es t a b i l i t yo ft h ee c o n o m i ca n ds o c i a ls t r u c t u r e s a 1 1 o v e rt h ew o r l d i ti sw e l l k n o w nt h a tt h ek e ye l e m e n t so ff i n a n c et h e o r i e s a r e c o r p o r a t i o nf i n a n c ea n da s s e t sp r i c i n gt h e o r y , i n w h i c hp o r t f o l i os e l e c t i o n ，r i s k m a n a g e m e n ta n da s s e tp r i c i n gi ni n c o m p l e t em a r k e t sa r e o fg r e a ts i g n i f i c a n c ef o rt h e d e v e l o p m e n t o ft h e o r i e sa n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s t h e r e f o r e ，t h i s d i s s e r t a t i o n f o c u s e so nq u a n t i t a t i v er e s e a r c h e so fs o m ep r o b l e m sa b o u tp o r t f o l i o s e l e c t i o na n d u t i l i t y - b a s e di n d i f f e r e n c ep r i c i n g o fr i s ka s s e t su n d e ri n c o m p l e t em a r k e t s s p e c i f i c a l l y , t h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e st h ef o l l o w i n gs e v e r a la s p e c t s ： ( i ) w es t u d yt h ep r o b l e mo fo p t i m a l i n v e s t m e n tb a s e do nt h e c r i t e r i ao f m a x i m i z i n gt h ep r o b a b i l i t yo fs u r v i v a l o nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h e r ei sa r a n d o mr i s k p r o c e s si nt h em a r k e t s ，s oi t i si n c o m p l e t e ，a n dt h er i s ko fl o s s e si nw e a l t hc a n n o tb e c o m p l e t e l ve l i m i n a t e d n om a t t e rw h a ti n v e s t m e n ts t r a t e g yi su s e d w ec o n s i d e rt h e o p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e mw i t h a n dw i t h o u tt h er e s t r i c t i o no fb o r r o w i n g t h e c l o s e d f o r me x p r e s s i o n so ft h eo p t i m a ls t r a t e g i e sa n dt h eo p t i m a lv a l u ef u n c t i o na r e d e r i v e db ys o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gh j be q u a t i o n i na d d i t i o n ，t h ec o m p a r a t i v e s t a t i s t i c a la n a l y s i si su s e dt oe x p l a i nt h eq u a n t i t a t i v er e l a t i o n sa m o n g t h ep a r a m e t e r s t h es u r v i v a lp r o b a b i l i t ya n di n v e s t m e n ts t r a t e g i e s t h er e s u l t s i n d i c a t e t h a tt h e p r o p o r t i o ni n v e s t e di nt h er i s ka s s e td e c r e a s e sa st h ew e a l t hl e v e li n c r e a s e s t h em o r e t h ea m o u n to fw e a l t ho rt h el e s st h eg i v e ng o a l l e v e li s ，t h eg r e a t e rt h es u r v i v a l p r o b a b i l i t yw i l ib e ( i i ) w es t u d yt h ep r o b l e mo fo p t i m a l i n v e s t m e n tw i t ht h ep a t t e r no fl i n e a r c o n s u m p t i o n t h e r ei s ap o s i t i v ep r o b a b i l i t yo fr u i nf o re x t e r n a ll i n e a rc o n s u m p t i o n f i r s t l v w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fo p t i m a l i n v e s t m e n tb a s e do nt h ec r i t e r i a o f m l n i m i z i n gp r o b a b i l i t yo fb a n k r u p t c y ，a no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi n d e p e n d e n t w i t h t h et i m e t h e r ea r et h r e ec a s e s ：( i ) l o a n sa r ep e r m i t t e dw i t ht h es a m ed e p o s i ta n d l o a n i n t e r e s tr a t e s ；( i i ) l o a n sa r en o tp e r m i t t e df o ri n v e s t i n gi nt h er i s k ya s s e t ；( i i i ) l o a n s a r ep e n n i t t e dw i t ht h ed i f f e r e n td e p o s i ta n dl o a ni n t e r e s t r a t e s t h er e s u l t si n d i c a t e t h a ts a v i n ga n db o r r o w i n gc o n s t r a i n t st e n dt om a k et h eo p t i m a ls t r a t e g yap l e c e w l s e l i n e a rf u n c t i o na n dl e a dt oi n c r e a s e db a n k r u p t c yr i s k sf o ri n v e s t o r s v 1 ， 博j j 学位论文 s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fo p t i m a li n v e s t m e n tb a s e do nt h ec r i t e r i ao f m i n i m i z i n g t h el i f e t i m e p r o b a b i l i t yo fb a n k r u p t c y ，w h i c hi s a no p t i m a lc o n t r o l p r o b l e mi nas t o c h a s t i cd e a d l i n ef o rt h ef i n i t eo fi n v e s t o r s l i f e w eg e tc l o s e d f o r m e x p r e s s i o n so ft h eo p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g i e sa n dt h eo p t i m a lv a l u ef u n c t i o nw i t h w e a l t h - d e p e n d e n tl i n e a rc o n s u m p t i o nr a t e s t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h ei n f l u e n c eo f d e a t hr i s ko ft h ei n v e s t o rs h o u l dn o tb ei g n o r e du n d e rt h e o p t i m a lc r i t e r i ao f m i n i m i z i n gl i f e t i m ep r o b a b i l i t yo fb a n k r u p t c y f i n a l l y , w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fo p t i m a li n v e s t m e n tb a s e do nt h ec r i t e r i ao f m a x i m i z i n ge x p e c t e dp o w e ro re x p o n e n t i a lu t i l i t yf r o mt e r m i n a lw e a l t h ，a n dc o m p a r e i tw i t ht h ec a s eb a s e do nt h ec r i t e r i ao fm i n i m i z i n gr u i np r o b a b i l i t y t h er e s u l t sh e r e a r ed i f f e r e n tf r o mm e r t o n sp r o b l e mf o re x t e r n a l1 i n e a r c o n s u m p t i o n m e r t o n s p r o b l e mc a nb es e e na sas p e c i a lc a s ew h e nt h ei n v e s t o rp r e f e r st h ep o w e ru t i l i t y f u n c t i o n m o r e o v e r ，t h eo p t i m a ls t r a t e g i e sa r ec o m p l e t e l yd i f f e r e n tb e t w e e nt h ec a s e b a s e do nm a x i m i z i n ge x p e c t e d u t i l i t y c r i t e r i aa n db a s e do nm i n i m i z i n gr u i n p r o b a b i l i t yc r i t e r i a ( i i i ) w es t u d yt h ep r o b l e mo fo p t i m a li n v e s t m e n tw i t hm o d e lr i s kb a s e do nt h e s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a lg a m ea p p r o a c h s u p p o s et h a tn a t u r ei sa f i c t i t i o u s p l a y e ro f t h eg a m e ，t h ep r o b l e mc a nb er e p r e s e n t e db yat w o p l a y e rz e r o s u ms t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a lg a m eb e t w e e nn a t u r ea n da ni n v e s t o r t h r o u g hs o l v i n gh j b ie q u a t i o n s ， w ed e r i v ec l o s e d f o r me x p r e s s i o n so ft h eo p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g i e s ，t h eo p t i m a l v a l u ef u n c t i o ni nc o m p l e t ea n di n c o m p l e t em a r k e t sw i t hs t o c h a s t i ci n c o m eb yu s i n g t h es t o c h a s t i cg a m ea p p r o a c h t h er e s u l t si n d i c a t et h a t i n c o m p l e t em a r k e t s ，t h e a m o u n to fo p t i m a li n v e s t m e n to fr i s k ya s s e ti sz e r o i ni n c o m p l e t em a r k e t s ，t h e a m o u n to fo p t i m a li n v e s t m e n to f r i s k ya s s e ti st h en e g a t i v er a t i ob e t w e e nt h ei n c o m e f l o w sv o l a t i l i t ya n dt h er i s k ya s s e tv o l a t i l i t y ( i v ) w es t u d yt h ep r o b l e mo fc o n t i n u o u s - t i m em e a n v a r i a n c ep o r t f o l i os e l e c t i o n i nj u m pd i f f u s i o nm a r k e t sw i t hn o - s h o r t i n gc o n s t r a i n t s t h eg o a li st om a x i m i z et h e e x p e c t e dt e r m i n a lw e a l t hw h i l em i n i m i z i n gt h ev a r i a n c eo ft h et e r m i n a lw e a l t h w e d e r i v et h eo p t i m a li n v e s t m e n ts t r a t e g i e sa n dt h ee f f i c i e n tf r o n t i e ri nc l o s e df o r m sb y u s i n gt h et h e o r yo fv i s c o s i t ys o l u t i o n s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e r ea r en od i f f e r e n c e s b e t w e e nt h ej u m pd i f f u s i o nc a s e sa n dt h ep u r ed i f f u s i o nc a s e s ( v ) w es t u d yt h ep r o b l e mo fo p t i m a li n v e s t m e n ta n dr e i n s u r a n c eo fi n s u r e r b o t h ， s e c u r i t yi n v e s t m e n t sa n dr e i n s u r a n c ea r ee f f e c t i v ew a y sf o ri n s u r a n c ec o m p a n i e st o d i s p e r s er i s k sa n di n c r e a s ep r o f i t s f i r s t l y , w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fo p t i m a l i n v e s t m e n ta n dt h e p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n c e p o l i c yf o rm a x i m i z i n gt h es u r v i v a l v i 一 一 最优投资j 效用无差别定价模型研究 p r o b a b i l i t y ，i nw h i c ht h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n dr e i n s u r a n c ed e c r e a s ew i t hi n c r e a s i n g w e a l t h s e c o n d l y , w ed i s c u s st h es a m ep r o b l e mb u tb a s e do nm a x i m i z i n gt h ee x p e c t e d u t i l i t yf r o mt e r m i n a lw e a l t h ，w h e r et h ei n v e s t m e n ta n dr e t e n t i o nd e e r e a s e w i t h i n c r e a s e dc o e f f i c i e n to fr i s ka v e r s i o n ，a n da r ei n d e p e n d e n to f t h ew e a l t h f i n a l l v jw e d i s c u s st h ep r o b l e mo fo p t i m a l p o r t f o l i os e l e c t i o na n dr e i n s u r a n c eb a s e do n t w o p l a y e rz e r o s u ms t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a lg a m eb e t w e e nn a t u r ea n da ni n s u r a n c e c o m p a n y w ed e r i v ec l o s e d - f o r me x p r e s s i o n sf o rt h eo p t i m a lp o r t f o l i os e l e c t i o n sa n d t h er e i n s u r a n c es t r a t e g i e so ft h ei n s u r a n c ec o m p a n ya n dt h eo p t i m a lv a l u ef u n c t i o n t h er e s u l t si n d i c a t et h a t ，i ft h er e t e n t i o nl e v e li s z e r o ，t h ei n s u r a n c ec o m p a n ys h o u l d n o tb u yt h er i s k ya s s e t ，b u ti ft h er e t e n t i o nl e v e li s g r e a t e rt h a nz e r o ，t h ec o m p a n y s h o u l ds e l ls h o r tt h er i s k ya s s e t t h ea m o u n to f s e l l i n gs h o r ta n dt h er e t e n t i o nl e v e l w i l li n c r e a s ew i t ht h ec o r r e l a t i o ne f f i c i e n tb e t w e e nt h er i s k ya s s e ta n dt h e s u r p l u s p r o c e s so fi n s u r e r t h ea m o u n ta n dt h el e v e la l s oi n c r e a s ew i t ht h ed e e r e a s eo ft h e r e m a i n i n gt i m et ot h em a t u r i t yb u td e c r e a s ea st h er i s k f r e ei n t e r e s tr a t er i s e s ( v i ) w es t u d yt h ep r o b l e mo fa s s e tp r i c i n gb a s e do nu t i l i t yi n d i f f e r e n c e h e r et h e m a r k e t sa r ei n c o m p l e t es i n c et h er i s k ya s s e ti sn o tt r a d a b l ea n da s s e tp r i c e f o i l o w s a r i t h m e t i cb r o w nm o t i o nw i t ho rw i t h o u tj u m p w eo b t a i n t h eu t i l i t yi n d i f f e r e n c e p r i c eb yc o m p a r i n gt h em a x i m a le x p e c t e du t i l i t yf r o mt e r m i n a lw e a l t hw i t ha n d w i t h o u ts t o c h a s t i cr i s k ya s s e t t h er e s u l t si n d i c a t et h a t t h eu t i l i t yi n d i f 萤e r e n tp r i c e i n c r e a s e sw i t ht h ec o e f f i c i e n to fr i s ka v e r s i o na n dt h em e a nr e t u r nr a t eo f r i s k ya s s e t b u td e c r e a s e si ft h ev o l a t i l i t yi n c r e a s e s ( v i i ) w es t u d yt h ep r o b l e mo fo p t i m a lc o n s u m p t i o n i n v e s t m e n ta n d o p t i o n p r i c i n gb a s e do nm a x i m i z i n gt h ee x p e c t e dc o n s u m p t i o nu t i l i t yi ni n c o m p l e t em a r k e t s o nt h e a s s u m p t i o nt h a t t h e u n d e r l y i n ga s s e ti sn o tt r a d a b l ea n df o l i o w sa m e a n r e v e r t i n gp r o c e s s ，w eg e tt h eo p t i m a lc o n s u m p t i o na n di n v e s t m e n ts t r a t e g i e s a n dap a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ns a t i s f i e d b yt h ee u r o p e a no p t i o np r i c e sb yu s i n g s t o c n a s t i c d y n a m i c p r o g r a m m i n ga n dc o n s u m p t i o nu t i l i t yi n d i f f e r e n c e p r i c i n g p r i n c i p l e n u m e r i c a le x a m p l e sa r ea l s op r e s e n t e d t h er e s u l t si n d i c a t e t h a tr i s k a v e r s l o nw i l ld e c r e a s eo p t i o np r i c e s ，w h i c hc h a n g ew i t ht i m ea n d d e p e n do nt h em e a n r e v e r t l n gl e v e lu n d e rs u c hm o d e l c o r r e s p o n d i n gt w od i f f e r e n tc a s e st h eo p t i o np r i c e m a yi n c r e a s eo rd e c r e a s ew i t ht i m er e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：o p t i m a li n v e s t m e n t ；u t i l i t yi n d i f f e r e n tp r i c i n g ；s a v i n ga n db o r r o w i n g c o n s t r a i n t s ；m o d e lr i s k ；d i f f e r e n t i a lg a m e ： r e i n s u r a n c e ： s t o c h a s t i ci n