（固体力学专业论文）光致材料变形与稳定性研究.pdf

摘要 摘要 以偶氮向列型液晶弹性体和铌酸锂光折射晶体为代表的光变形材料是一 类在先进光学元件制造和纳米机电系统控制等方面有着独特技术优势和巨大 应用前景的新型固体功能材料。研究其光致变形行为，不仅有助于我们理解这 些材料在光照下的机械响应特点，而且为技术上运用光照方法，精确的预测和 控制它们的宏观形貌提供了依据。 我们认为，虽然光致变形行为的微观物理机制不尽相同，但是，宏观上我 们可以对其作统一的唯象理解光照对材料的机械变形的唯一作用，就是引 起材料体内某种形式无应力的光应变( 特征应变) 分布，而把材料的光致变形 看作是弹性材料对这种分布特征应变的弹性响应。从这个观点出发，我们运用 特征应变的方法，研究了两个具体的问题。 一是条形光斑照射下，半无限大的光变形材料的表面变形。我们运用傅里 叶变换的方法，得到表面变形场和特征应变状态之间的线性映射关系；运用数 值方法，给出了各种简单特征应变状态下表面变形的图形结果，讨论了材料泊 松比，光斑宽度等参数的影响。 二是条形光斑照射下，液体表面无限大光变形薄膜的平面变形特别是其失 稳屈曲。我们发现，如果薄膜在沿光斑长度方向受到足够大的压缩应力，将从 平面变形的模式失稳进入离面屈曲的模式：通过线性稳定性分析，给出了失稳 的判据：运用数值方法，给出了各种参数下的色散曲线，确定了光应变和光照 宽度的临界值；并发现，液压可以稳定平面变形，并抑制屈曲的长波模态。 关键词：光变形材料特征应变泊松比半无限大体傅里叶变换表面变形薄 膜稳定性屈曲色散曲线液体压力 a b s t r a c t a b s t r a c t p h o t o a c t i v ed e f o r m a b l em a t e r i a l ss u c ha sl i n b 0 3p h o t o r e f r a c t i v ec r y s t a l sa n d a z o b e n z e n e c o n t a i n i n ge l a s t o m e r sa r en o v e lf u n c t i o n a ls o l i do n e s ，w h i c ho w nu n i q u e t e c h n i c a la d v a n t a g e sa n dg r e a tv a l u e si nf a b r i c a t i o no fa d v a n c e do p t i c a ld e v i c e so r p r e c i s ec o n t r o lo f m e m s r e s e a r c ho nt h ep h e n o m e n ao f p h o t o i n d u c e dd e f o r m a t i o n i nt h e s em a t e r i a l sw i l ln o to n l yh e l pt ou n d e r s t a n dt h e i rm e c h a n i c a lb e h a v i o r su n d e r i l l u m i n a t i o n ，b u ta l s op r o v i d ea n o t h e rp r o m i s i n go p t i c a la p p r o a c ht om a n i p u l a t e m a t e r i a l s s h a p e si na p p l i c a t i o n s w ep r o p o s ei nt h i sp a p e rt h a t ，a l t h o u g hm i c r o s c o p i cp h y s i c a lm e c h a n i s m so f t h e s eo p t o m e c h a n i c a lb e h a v i o r sa r ec o m p l e xa n dd i f f e r e n tf r o mm a t e r i a lt om a t e r i a l ， m a c r o s c o p i c a l l y , t h e s ep h e n o m e n ac a l lb ee x p l a i n e di na nu n i f o r mp h e n o m e n a l v i e w ：t h eo n l yc o n t r i b u t i o no fi l l u m i n a t i o nt ot h em e c h a n i c a ld e f o r m a t i o no f m a t e r i a l si st oi n d u c ead i s t r i b u t e dn o n - s t r e s sp h o t o s t r a i n ( i e e i g e n s t r a i n ) ，t ow h o m m a t e r i a l sd e f o r ma sa ne l a s t i cr e s p o n s e a l o n gt h i sl i n e ，t w ot o p i c sa r er e s e a r c h e d u n d e rt h ef r a m e w o r ko fe i g e n s t r a i nt h e o r y t h ef i r s to n ei st h es u r f a c ed e f o r m a t i o no fah a l f - i n f i n i t em a t e r i a lu n d e rs t r i p e d i l l u m i n a t i o n m a k i n gu s eo ff o u r i e r st r a n s f o r mt e c h n i q u e ，t h el i n e a rm a p p i n g r e l a t i o no fe i g e n s t r a i ns t a t et os u r f a c ed i s p l a c e m e n ti so b t a i n e da n a l y t i c a l l y b y n u m e r a lc o m p u t a t i o n ，g r a p h i c so fs u r f a c ed i s p l a c e m e n ta r eg i v e na ta l ls i m p l e e i g e n s t r a i ns t a t e s ，a n dt h ei n f l u e n c e so fs t r i p ew i d t ha n dm a t e r i a l sp o i s s o n sr a t i o a r ed i s c u s s e d t h es e c o n do n ei st h ed e f o r m a t i o no fas t r i p e i l l u m i n a t e di n f i n i t em e m b r a n e f l o a t i n go nl i q u i d ，e s p e c i a l l yi t s b i f u r c a t i o na n db u c k l i n g i ti sf o u n dw h e n c o m p r e s s e de n o u g ha l o n gt h es t r i p el e n g t h ，t h em e m b r a n e sd e f o r m a t i o nb i f u r c a t e s f r o mt h eu n s t a b l ei n - p l a i nm o d ei n t ot h es t a b l eo u t - p l a i nb u c k l i n gm o d e t h r o u g ha l i n e a ra n a l y s i so fs t a b i l i t y , c r i t i c a lc o n d i t i o no fb u c k l i n ga n dd i s p e r s i v ec u r v e sa t d i f f e r e n tp a r a m e t e r ss u c ha ss t r i p ew i d t ha n dl i q u i dp r e s s u r ei n t e n s i t y , a r eg i v e n a n a l y t i c a l l yo rg r a p h i c a l l y i t i sf o u n dt h el i q u i dp r e s s u r es t a b i l i z e st h ei n - p l a i n d e f o r m a t i o na n dr e s t r a i n sb u c k l i n go fl o n gw a v e l e n g t h s k e yw o r d s ：p h o t o i n d u c e dd e f o r m a t i o n ，i l l u m i n a t i o n ，e i g e n s t r a i n ，p o i s s o n sr a t i o ， h a l f - s p a c e ，s u r f a c ed i s p l a c e m e n t ，m e m b r a n e ，b u c k l i n g ，l i q u i dp r e s s u r e i i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的 成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：二塞二吝垒立警 签字日期： 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 n 参开 口保密( 年) 作者签名：乏避 导师签名： 签字日期： 幽：么扛 f 签字魄望盟：受：2 第一章绪论 第一章绪论 1 1 光变形材料及其光致变形机理 本文的研究对象是这样一类特殊的光敏感材料它们能够在某些特定 光波的照射下，产生机械变形。这类材料在本文中被称为光变形材料。 光变形材料是随着材料科学和技术的高速发展，在近年来才出现的一类种 类繁多，性质独特的新兴材料。从光敏溶胶一凝胶体系到向列型液晶弹性体， 从硫化物玻璃到光折射晶体，虽然微观的物理机制不同，但这几类材料中都有 光致变形现象。 1 1 1 光敏溶胶一凝胶体系中的光聚合作用 溶胶( s 0 1 ) 是具有液体特征的胶体体系，分散的粒子是固体或者大分 子，分散的粒子大小在l 1 0 0 0 n m 之间。凝胶( g e l ) 是具有固体特征的胶体 体系，被分散的物质形成连续的网状骨架，骨架空隙中充有液体或气体， 凝胶中分散相的含量很低，一般在1 3 之间。这里的溶胶一凝胶体系 是指在某些溶胶一凝胶合成方法中使用的混合物体系。 简单的讲，溶胶一凝胶法就是用含高化学活性组分的化合物作前驱体， 在液相下将这些原料均匀混合，并进行水解、缩合化学反应，在溶液中形 成稳定的透明溶胶体系，溶胶经陈化胶粒间缓慢聚合，形成三维空间网络 结构的，网络间充满了失去流动性的溶剂，形成凝胶。凝胶经过干燥或烧 结固化制备出分子乃至纳米亚结构的材料。 溶胶一凝胶法作为低温或温和条件下合成无机化合物或无机材料的重 要方法，在软化学合成中占有重要地位。在制备玻璃、陶瓷、薄膜、纤维、 复合材料等方面获得重要应用，更广泛用于制备纳米粒子。 近年来，s a r a v a n a m u t t u 等人【1 】发现，用a r f 激光器对二氧化硅一氧化 锆溶胶一凝胶薄膜进行紫外线照射，在照射区域，可以引起丙烯酸酯单体的 聚合，同时，造成硅酸盐网络的体积收缩。这一类现象称为光聚合作用。 后来，b l a n c 等人 2 ，3 】，y u 等人【4 - 6 】，h e 等人 7 ，8 】，以及k a n g 等 人 9 ，l o 】利用这种光聚合作用在二氧化硅一氧化钛等类似的光敏溶胶一凝胶 体系中，成功的制作出了微米级的正弦，锯齿，方波等各种形态的表面浮 雕花样，将这一现象引入先进光学制造。 第一章绪论 j 静。燃 w 一* 一一。翟儡嚣嚣掣“一 穆 ，咿 图11 光敏j 存胶凝胶材料表面浮雕花样的a f m 及d i n 成像 3 ，4 f 6 】 2 向列型液晶弹性体的光致异构化 液晶弹性体是一种特殊的高分子弹性体。非交联型液晶聚合物经适度交联 并在各向同性态或液晶态显示弹性的聚合物称为液晶弹性体。它是在2 0 世纪 9 0 年代迅速发展起来的一种新型弹性材料。 简单的说，液晶弹性体就是组成基元取向有序的橡胶。物质中存在两种基 本的有序性，即取向有序性和位置有序性。分子取向有序的材料，就是液晶。液 晶弹性体由于其液晶基元的存在而具有取向序。根据在高分子链中液晶基元的 排列形式和有序性的不同，可分为近晶型液晶弹性体、向列型液晶弹性体和胆 甾型液晶弹性体：根据液晶基元在大分子链中的位置的不同，液晶弹性体叉可 分为主链型、侧链型和混台型。向列型聚合物链最简单，也是目前研究最多的 峰 辽 第一章绪论 一种。 液晶弹性体是在液晶高分子基础上发展起来的，基本骨架与液晶高分子相 似，所不同的是引入了适当的交联，将邻近高聚物链通过交联链连接起来，形成 具有网络拓扑( t o p o l o g y ) 的结构，约束了链的自由移动。液晶弹性体的这种网络 结构，将聚合物网络的熵弹性( e n t r o p i ce l a s t i c i t y ) - 与液晶取向性结合，得到性能突 出的新型材料。 液晶弹性体的概念由d e g e r m e s 1 1 1 在1 9 7 5 年首次提出。他还进一步指出 单畴向列相液晶弹性体的形状强烈依赖于其有序度。1 9 8 1 年，f i n k e l m a n n 等人 f 1 2 ，1 3 阳过二次交联法制鲁出世界上首例单畴液晶弹性体。之后，人们逐渐发 现了热，电场，p h 值等外界刺激可以改变液晶取向序，从而改变液晶弹性体的 形状1 6 一1 8 1 。 2 0 0 1 年，f l n k e l m a n n 等人1 7 付日道了向列型橡胶的光致变形现象橡胶 网络中掺杂的棒状偶氨分子吸收3 6 5 n m 的紫外光后，分子形状发生折叠，这一 过程称为反式顺式转变：这种光致异构化可以显著降低液晶的有序度，并在 单畴向列型橡胶中产生大幅可逆变形。后来，y u 等人【l8 n n 这一现象，实现 了用线性偏振光控制多畴液晶橡胶薄膜在任意方向弯曲；c a r n a c h o - l o p e z 等人 【1 9 】实现了向列型液晶弹| 生体的光控游动；w h i t e 等人 2 0 制作出了用光精确控 制其转动的悬臂粱。 图i2 光控多畴液晶橡胶薄膜弯曲【1 6 】 第一章绪论 图13 向列型液晶弹性体的光控游动 1 9 1 妻 图i4 粱的光致弯曲1 9 第一章绪论 113 光折射晶体中的光伏一逆压电效应 光折射晶体是指同时具有电光性及光导性的材料。电光材料是指在电场作 用下折射率发生变化，产生所谓p o c k e l s 效应的材料。而光导性是指材料在特 定光波照射f ，内部产生电荷，能够自由扩散并且在电场作用下漂移。 对于光折射材料来说，光照将电荷从禁带激芨到导带或者价带，电荷的束 缚一移动一激发过程不断发生，导致材料的非光照区域内电荷不断积累，同时， 光照区内有等量的相反电荷积累。这种空间分布的电荷将产生相应的电场。 电光效应和光导效应的结合产生了所谓的光折射效应光照引起了基 于光导效应产生的空问电场分布，反过来，又通过电光效应引起了光折射率的 空间分布 2 1 】。 由于光折射晶体在光学信号存贮及快速处理，以及可读写全息光栅，导波 器等光学元件制造等方面的巨大价值，其物理性质及相关应用一直是人们研究 的热点。铌酸锂作为其中的代表，更是被广泛研究 2 2 - 2 4 1 。近年来，c a l a m i o t o u 等人【2 5 ，2 6 又运用同步辐射区域衍射测量法，对铁参杂铌酸锂的光变形行为进 行了实验研究，并将这种现象解释为铌酸锂晶体中的光伏效应和逆压电效应的 联合作用。铌酸锂晶体中的光伏效应由g l a s s 等人 2 7 】在1 9 7 4 年最早发现。光 伏效应是指固体在均匀光照下，体内产生短路电流的现象。而所谓逆压电效应， 顾名思义，与压电效应相反是指电压可以引起固体的应变 2 8 ，2 9 。 喜 量 g 溺 “；f 詈“，肖 孽 “i 女拳菇謦s 彰n ；分 。麟 翟：岛 i 圈艇 “，。0 。茹m 1 2 6 。c a 惜的) 斜4j 二们。2 第一章绪论 藿 曼 蓬 暑 鬈 墨 荟 薹 一八。厂_ 1n4 n 沙 ： 5- 4- 3- 2- 10l235 y ( m r n ) 图1 5 铌酸锂表面光致变形的同步辐射区域衍射测量 2 5 ，2 6 】 1 1 4 硫化物玻璃中的光致变形 硫化物玻璃是指主要由硫、硒、碲化物组成的无定形玻璃态材料。由于这 类材料可以在极化光作用下产生可逆的各向异。i 生 3 0 ，3 1 ，因而在波导转换器， 显微镜头等方面有广泛应用 3 2 ，也因此一直受到深入的研究 3 3 ，3 4 。近年来， 由于在硫化物玻璃在纳米机械方面的应用潜力，人们的注意力越来越多的放到 硫化物玻璃中的光致变形现象上来。 k r e c m e r 等人【3 5 】与1 9 9 7 年，首先实验发现极化光在无定形a s 5 0 s e 5 0 薄 膜中引起的可逆可控的纳米级收缩和膨胀，并将这一现象的原因归于光致的各 向异性。2 0 0 1 年，g o t o h 等人 3 6 ，3 7 研究了a g a s s 2 薄膜中的光致各向同性及 各项异性变形，他从光照区和暗区中a g + 浓度的差异，推断光致变形跟光致的 物质输运有关。2 0 0 7 年，h i d e a k ia s a o 等人【3 8 】通过比较a s 2 s 3 和s e 薄膜的光 致变形，发现两者之间的相似性，从而认为光致变形是共价硫化物玻璃的固有 性质。2 0 0 8 年，t a n a k a 3 9 又提出新的光力模型来解释共价硫化物玻璃中的光 致变形。 6 扭m 0 均 鲫 第一章绪论 f i g2 a r w l a h o t o n r m , o a o 印i 抖目r ”晰c p o i n 帅d s h 啪d 目口晰t n 口”炳t 删删l h 2 c d p a w - 啪_ 口h ln 嘣t h e i d l | r h 州w r 种口 柏咖e ”口撇日 f mt t 9 时曲e b 口h a w 0 e a n a n br 日h w m n e o - l u t e n 0 删u r 酬口州9 d 0 h 蹦i b h m h m q 帅ld i s c t 口) 0 f m o p n tei f , , e f 】。e h 删 樾1 8 t m # h 眦( c ) d r 抓 口硼dd w 州l m d d 嘲胁t h e 口r 响棚曲 l b r o m w “州c 删目 呻0 8 n s t o a t 删州刑目 e e a i r o 吲l c a o f t h e a a o d 图16a s s o s e 5 0 薄膜中的光致并项异性和麻力删量口5 令”! 谚 下厂、 i ：量 i 令1 4 嗲 ”? m 鼍” 。上仝j ，。，啦，。 图l _ 7a s 2 s 3 和s e 薄膜的光致变形a f m 成像【3 8 1 2 本文研究内容 现在，我们已经认识到光变形制料不仅种类繁多性质独特，而且是一类具 有巨大价值并已经广泛应用的材料，所以，认真研究它的光变形行为是十分必 第一章绪论 要的。本文的目的就是试图给出一种能够定量描述甚至精确预测这种光致变形 的方法，以期能够给这些材料的光致变形调控提供基本的依据。 我们认为，虽然这些不同材料的光致变形行为，其微观的物理机制并不一 致，但是，宏观上，我们可以将这些材料的光致变形作统一的理解，即通统唯 象的看做弹性材料对体内某种分布特征应变的弹性响应。体内任意一点的总应 变，都可以分成两部分：无应力的光应变( 特征应变) 和由于材料限制产生的 弹性应变。从这个观点出发，我们可以在已有的特征应变理论的框架内，统一 的描述这一类光致变形。 进一步仔细研究这些光致变形的特点，我们会发现，其中存在两个普遍的 现象【7 ，8 ，2 5 ，2 6 ，3 5 ：一是光致变形的幅度都是较小的，代表性的应变范围都 不超过千分之一；二是这些光致变形过程虽然都是一个动态的弛豫过程，但其 弛豫时间远远大于弹性应力波在材料中的传播时间。 第一个特点告诉我们，在如此小的变形范围内，材料的本构关系可以简单 的用胡克定律来描述；第二个特点告诉我们，在光致变形的研究中材料的惯性 效应可以忽略，材料的弹性响应按准静态处理即可。因此，本文拟统一采用经 典的弹性理论来研究这些光致变形现象，这一做法是合理的，足够精确的。即 便在某些情况下 1 9 】，液晶橡胶的实际的变形范围超出了线弹性范围，但是， 我们相信，用线弹性理论处理得到的一些基本结论，对这些情况任然是适用的， 至少具有参考意义。 在以上观点和假设下，我们在第二章中研究了一个各向同性弹性半空间受 到条形区域内分布的指数衰减特征应变作用时表面的变形情况，第三章中研究 了一个浮于液体表面的无限大薄板受条形特征应变作用时的面内变形及其失 稳屈曲。 8 第二章半空间的光致表面变形 2 1 引言 第二章半空间的光致表面变形 材料的光致变形的实验观察和表征等研究工作虽然一直在进行，然而对于 这一现象的理论研究工作，却是近几年才开始的事情。这是因为随着研究的深 入，人们才逐渐认识到材料变形的光控制方法，作为一种精确灵敏的远程控制 方法，在材料表面形貌修饰，人工肌肉，纳米机械激励，微流动管理等方面的 具有其它如压电，热敏方法不可替代的巨大优势。而要真正的做到这种变形的 光控制，必须首先要进行对于光致变形的定量描述和深入的理论研究。 2 0 0 4 年，w a r n e r 和m a h a d e v a n 4 0 针对偶氮向列型液晶弹性体，基于光吸 收的比尔律和能量观点，唯象的提出了一个描述光应变的本构关系，并用特征 应变方法定量的计算了用液晶弹性体橡胶制作的梁的弯曲，平板的马鞍形变形 等。w a r n e r 模型的核心观点就是光引起的特征应变，大小正比于当地的光照强 度，并且材料对光能量的吸收满足线性吸收。 后来，w e i ，h e 和c h e n 等人 4 1 4 3 根据w a r n e r 模型，解析或者数值计算 了不同光照条件下，偶氮向列型橡胶的光致表面变型。这些丰富多彩的结果表 明，向列型橡胶在光照下的的表面形貌不仅依赖于外界条件如光斑的形状与大 小，也依赖于材料性质如液晶取向等。 以上这些工作都是针对向列型橡胶这一不可压缩材料的。对于其他的一些 可压缩的光变形材料，b l a n c 和c a l a m i o t o u 等人虽然做了一些简单的理论分析 和数值计算，但其结果和方法也并不具有普适性【3 ，2 6 。 在本章中，我们试图把w a r n e r 模型从不可压缩材料推广到更一般的弹性 材料。具体做法是将w a r n e r 模型中的光应变从不可压的形式，推广到最一般 的分布的特征应变，对于材料，则考虑其变形中的泊松效应。我们从以上想法 出发，将h e 4 2 的工作做了一个推广，以使其适用于更一般的材料。 2 2 模型及假设 作为模型，我们考虑一个如下图所示的半无限大的弹性体，在其体内的一 个长条形区域i 五l 0 ，a b ， 。c 。s i n ( r a x ) d x ：号s g n ( 口) 第二章半空间的光致表面变形 当j a r g l o ， s i n ( a x ) s i n ( b x )d x = - 1 t百f口+gb6、j4 ab 2 j c o 岩d x = s i n ( 咖) _ c o s ( 帅( 叫 j c o 掣d x = - s i n ( 卿( 叫一( 咖( 硼 其中s g n ( 工) 是符号函数；s i ( x ) * d c i ( 工) 分别是正弦也余弦积分幽数，。巴们阴足义 如下 s i ( x ) = 一f 。半d r c i ( x ) = 一f o _ c o s t d ， ( 2 2 6 ) 利用( 2 2 5 ) 中给出的计算方法，我们容易得到x 彳时 凇卅= i 1t n ( 筹) 2 + l s g n ( x 一彳) s i n ( f x 一么i ) s i ( i x 一彳) + c o s ( x 一彳) c i ( x 一么) 一寻s g n ( + 彳) s i n ( 1 + 彳i ) s i ( i x + 么i ) + c 。s ( x + 彳) c i ( x + 么) 1 6 1 2 ( x ；a ) = 4 e s g n ( x + 么) 一s g n ( x 一彳) + 吉s g n ( x + 么) c 。s ( x + 4 ) s i ( i x + 4 1 ) 一s i n ( 1 x + 4 1 ) c i ( x + 么) 一三s g n ( x 一4 ) c 。s ( x 一彳) s i ( i s a i ) 一s i n ( i x 一彳f ) c i ( x 一爿) 厶( x ；彳) = 三i x + 彳l s i n ( 1 j + 彳i ) c i ( x + 彳) 一c 。s ( y + 彳) s i ( i x + 么1 ) 一圭l x 一彳l s i n ( 1 x 一么i ) c i ( x 一彳) 一c 。s ( x 一么) s i ( 1 x 一彳i ) 厶( x ；彳) = 丢1 v 一4 i s i n ( 1 x 一彳i ) s i ( i x 一彳1 ) + c 。s ( x 一彳) c i ( x 一么) 一丢l x + 爿 s i n ( i x + 么1 ) s i ( 1 x + 么1 ) + c 。s ( y + 彳) c i ( x + 彳) ( 2 2 7 ) 第二章半空间的光致表面变形 当x = 彳时，除外，所有的积分可以用同样的方法计算，结果是 凇圳) = f 鬻d r = 礞三彤： 。 厶( x 圳) = 三i 肛( 2 彳r ) 击卜 = 署+ 丢c 。s ( 2 彳) s i ( 2 么) 一丢s i n ( 2 么) c i ( 2 a ) 厶( x = 彳) = 彳j c o s i n f ( 2 a t ) d r ：+ a s i n ( 2 a ) c i ( 2 a ) - c o s ( 2 a ) s i ( 2 d ) 厶( z 圳) = 彳j c o 掣d ， = 一彳 s i n ( 2 彳) s i ( 2 彳) + c o s ( 2 彳) c i ( 2 么) 其中嘭孑( 瑶，：z ) 是m e i j e r i 撇，定义如下 哪引嘲一力， 这里r ( x ) 是伽马函数，积分曲线乃在i ( 1 一q s ) 和r ( 色+ s ) 的极点之间。 方程( 2 2 7 ) 的结果趋向于方程( 2 2 8 ) 1 燃。可见，我们在方程( 2 2 3 ) q b 给出的位 2 4 数值结果及讨论 根据上一节中得到的表面位移场解析解，我们能够仔细的分析各种参数例 如光斑宽度，材料泊松比，以及特征应变的具体形式等对光致表面变形的影响。 我们已经知道，表面位移是特征应变强度吒0 的线性函数，所以，只要我们逐一 的弄清楚各个分量单独作用时的表面位移，则各分量联合作用时的情况，我们 1 7 第二章半空间的光致表面变形 可以由位移的可叠加性而轻松的得到。为了有一个直观的认识，下面我们就按 这样的想法，依次给出各种简单情况下的图形结果，并对其进行讨论。通过这 些例子，我们将对表面光致变形的特点有一个大概的认识。 i 仅辞0 的情形 这种情形代表，仅五方向有正应变而其他特征应变分量为零的情形。此时， 归一化的各位移分量为 u 2 蠢以，u2 蠢电厶，_ 0 根据这些表达式作图如下。 1 8 了 簿 q g 蛙 互 了 静 g g 章 l 皿 图2 2 占：单独作用时的水平表面位移 1 51 05051 01 5 归一化的距离，x 图2 3e o 单独作用时的垂直表面位移 i i 仅岛0 2 0 的情形 第二章半空间的光致表面变形 这种情形代表，仅屯方向有正应变而其他特征应变分量为零的情形。此时， 归一化的各位移分量为 u 2 菱砌，2 菱 根据这些表达式作图如下。 2 v 1 2 ，u 2 = 0 归一化的距离，x 图2 4 吐单独作用时的水平表面位移 i i i 仅乞0 3 0 的情形 归一化的距离，x 图2 5 0 单独作用时的垂直表面位移 1 9 n簿翠髻薯j目i 几簿掣g摹l e i j 第二章半空间的光致表面变形 这种情形代表，仅毛方向有正应变而其他特征应变分量为零的情形。此时， 归一化的各位移分量为 u 2 惹咄以= 焘时厶，= o 根据这些表达式作图如下。 3 蹲 趔 g s 霉 了 簿 毯 g 鲁 互 佃触 w 1 51 0，5051 01 5 归一亿的距离x 图2 6 器单独作用时的水平表面位移 图2 7 单独作用时的垂直表面位移 很直观的，从以上的三种情况下给出的表面位移图形结果，我们可以发 现有以下几个共同点： 1 u t 都是关于x 反对称分布的，其大小都是随着离开光照中心的距离增 第二章半空间的光致表面变形 大而急剧增大，在边界x = 彳处达到极值，之后急剧的减小而趋向于零，整 个函数轮廓像一个反的n 字型。 2 以都是关于x 对称分布的，在大小都是在光照中心取得最大值，随距 离的增大，基本保持不变，直到边界x = 彳处开始急剧减小，在光照区外逐 渐趋向于零，整个函数的轮廓呈一个隆起的山脊状( 窄光斑) 或平台状( 宽光 斑) 。 不同的特征应变状态，引起的材料表面位移形式却几乎相同，对于这一 现象，我们可以做这样做如下定性的理解不论特征的膨胀( 收缩) 应变在 哪个方向，该方向都会因为材料几何协调性的要求而产生相反的收缩( 膨胀) 弹性应变；该弹性应变，在材料泊松效应的作用下，会在另外两个方向引起相 应的膨胀( 收缩) 弹性应变；而原来特征拉伸方向的弹性收缩并不足以抵消该 方向的特征膨胀。所以，在上述三种情况下，光照区的材料事实上总是是处于 三向膨胀的应变状态之中，因而整个表面的位移具有相似的形式五方向的 膨胀引起光照区内的材料向远离光照中心的位置移动，离光照中心位置越远， 两边的膨胀越不均衡，因而移动距离越大，并在光照区边缘达到最大；而在光 照区以外，由于未膨胀材料的抵抗，这种位移很快的衰减下来。类似的，黾方 向的膨胀由于在其他方向受限，因而引起表面向上鼓起，光照中心的材料受限 最严重，故向上鼓起最多；在光照区外，由于未膨胀材料的抵抗，离面位移很 快的衰减下来。 进一步仔细对比上述三种情况下的结果，我们还可以发现，第三种情况 下的表面位移场在光照边界附近的变化，明显的较前两种情况下更为剧烈，这 可能与边界上附近的限制作用有关前两种情况下，边界附近主要是挤压作 用，而第三种情况下，边界附近主要是剪切作用。 另外，针对第二种情况，我们发现，材料的泊松比主要起一个对表面变 形的幅度进行线性放大的作用，而并不显著的影响其分布的特征。 i v 仅站o 的情形 这种情形代表，仅五一恐面内有剪应变而其他特征应变分量为零的情形。 此时，归一化的各位移分量为 u 2 鑫22 ( 厶一厶) ，2 蠢叫，= 。 根据这些表达式作图如下。 2 l 第二章半空间的光致表面变形 了 簿 趟 g 基 i 互 了 簿 g g 薯 器 图2 8 醴单独作用时的水平表面位移 图2 9 单独作用时的垂直表面位移 将这种情况下的表面位移，与前面三种情况下的表面位移进行对比，我们 发现一个有趣的现象，即u 和【，的分布形式，几乎对调了过来u 的分布 变成了关于x 对称的，而，的分布反而变成了反对称的。在进一步的分析这 些情况下系统的应力状态分布，很容易看到，前三种情况下，应力状态是关于 工对称的，而目前这种情况下的应力状态是反对称的。物理系统对称性的守恒 在这里得到了体现。 我们还可以看到，在以上四种情况下，表面位移的分量以都是为零，这是 因为在这些情况下，所有的应力状态分布都同时具有关于岛方向的镜面对称和 第二章半空间的光致表面变形 平移对称，这要求同时具有关于恐方向的反对称和平移对称，结果只能是 为零。 v 仅0 的情形 这种情形代表，仅五一x 2 面内有剪应变而其他特征应变分量为零的情形。 此时，归一化的各位移分量为 q - o ，- o ，2 鑫= 2 根据这些表达式作图如下。 了 鲶 捌 g 基 丑 图2 1 0 单独作用时的水平表面位移 v i 仅岛0 3 0 的情形 这种情形代表，仅而一x 3 面内有剪应变而其他特征应变分量为零的情形。 此时，归一化的各位移分量为 q _ o ，也0 ，。蠢- 2 五 根据这些表达式作图如下。 第二章半空间的光致表面变形 了 潍 氆 餐 s 更 - 1 5 05051 01 5 归一化的距离，x 图2 1 1s 2 0 3 单独作用时的水平表面位移 通过以上两个例子，我们可以看出来，单纯的沿恐方向的剪切应变，并不 能引起表面的离面位移以及五方向位移，也就是说材料表面仍然是平的。而这 两种情况下，由于应力状态分布的对称性不同，的分布也具有不同的对称性， 而其具体的分布，也采取了反n 字形分布和平台状分布。 2 5 本章小结 本章我们采用特征应变的方法，研究了条形光斑照射下，半无限大的光变 形材料的表面变形问题。首先，我们运用傅里叶变换的方法，求得了在条形区 域内分布有指数衰减特征应变的弹性半空间的表面变形场的解析解；然后给出 了特征应变各分量单独作用下表面变形的图形结果，从对称性等等角度对其进 行了解释，并讨论了材料泊松比，光斑宽度等参数对表面变形的影响。 从线性映射的角度讲，我们不仅给出了表面变形场各分量和特征应变各分 量之间的映射法则如下，而且仔细的讨论了变换矩阵中各元素的性质，从而为 光变形材料的表面变形控制和预测，提供了精确的依据。 2 y 厶02 ( 乞一l ) 0 0 2 厶0 2 v = 1 2 4 - 1 4 02 i l 矗艺0艺畿 一 o 一 ，1 ，2 m 厶 j 一丝万 | | l、，屹蚝 第三章薄板的光致形貌失稳 3 1 引言 第三章薄板的光致形貌失稳 上一章中我们用指数衰减形式的特征应变表示光应变，研究了块体或者厚 板在条形光斑照射下的变形问题。当本章中我们的研究对象变成薄板时，弹性 半空间加指数衰减的特征应变这一模型已经不适用了。 当板的厚度小于光强的衰减长度时，光照区内的光强分布在厚度方向基本 上保持不变。这个时候，特征应变可以处理成常数分布的形式；材料的变形其 实可以简化成一个平面应力问题。 但是，已有的经验告诉我们，薄板如果面内受压，其变形还有一个稳定性 的问题。如果面内压力过大的时候，薄板的平面变形模式可能会失稳分叉，进 入离面的屈曲模式。 薄板的平面变形问题比较简单，而其失稳屈曲的行为却有很多值得研究的 地方，所以本章的重点放在对后者的研究。研究薄板的光致失稳屈曲，有两个 方面的意义：一是弄清保持薄板平面变形模式的一个安全条件，如果在实际中 需要将板的变形控制在平面范围内，我们可以给出其许用的载荷范围；二是给 出给出薄板的失稳模态，并讨论失稳模态与载荷，几何等参数间的关系，如果 我们需要薄板进入屈曲模式，则可以根据这些关系来有目的的调控其失稳后的 形貌。失稳其实并不是一件坏事，只要研究清楚了，我们对它既可以预防，也 可以利用。 板的屈曲问题，不仅一直是经典板壳理论的核心问题 4 6 ，4 7 ，而且随着它 在材料表面有序图案形成等方面的意义被人们逐渐认识，近年来更是成为研究 的热点。2 0 0 2 年，s h a r o n 等人【4 8 】报道了塑料薄膜撕裂的断1 ：3 处的波浪形失稳， c e r d a 等人【4 9 】发现在两端夹紧并拉伸的塑料薄膜中也有类似现象。之后， m a h a d e v a n 5 0 等人对薄板的起皱现象进行了理论的分析，并以薄板的屈曲解释 了基底上的细胞爬行，人的皮肤起皱等现象。c h e n 等人 5 1 ，5 2 和v a n d e p a r r e 等人 5 3 】分别研究了软基底上沉积的金属膜表面，由基底的冷却或者物质扩散 引起的鱼排状，长条状以及迷宫状花纹。s t a f f o r d 等人 5 4 】给出了高分子薄膜的 弹性模量与其失稳波长间的关系，提出了利用高分子薄膜的起皱，测量其弹性 模量的方法。由于这些有影响力的工作，薄膜失稳很快成为固体力学和材料学 科交叉领域的热门话题，不同的学者，分别从实验观测【5 5 5 7 】，理论及数值分 析 5 8 6 0 等角度，进行了深入的研究。 第二章薄板的光甄形貌失稳 图31 软弹性基底上沉积的金属膜失稳花样5 2 鸲 为了与上一章的工作保持一致性，我们在本章里，仍然研究条形光斑照射 下的无限大薄膜的稳定性问题。与上述已有的工作不同，我们发现，由于光控 制的细微性特点，我们几乎可以任意的控制载荷的施加区域及状态，而不是仅 仅施加全场均匀的载荷。 32 模型及假设 从数学的角度讲，要研究失稳问题，其实是研究一个动力系统的解的分叉。 而我们知道，完全的线性系统解是唯的，不存在分叉的情况。所以，我们采 用非线性扳的模型来研究薄板的失稳。 圈32 模型示意图( 坐标系的i 叫平面与扳的中问面重台) 考虑一个光变形薄板浮在液体表面上，受宽度为2 日的条形光斑照射。当 板的横向尺寸远大于光斑的宽度时并且板的厚度h 足够小时，可以简化为上 图所示意的一个无限大薄板，面内有条形的均匀特征应变作用。这种形式的特 征应变可写为 = s ：h 扣一帅 = g n ( n - i y l ) 艺= 4 n ( ol y l ) ( 3 1 ) 第二章薄板的光致形貌失稳 考虑到总应变仍然是弹性应变和特征应变的和，根据非线性板的理论，如 果用u ，1 ，和w 分别来表示板在石，y 方向的面内位移和z 方向的离面位移即挠 度，用巳，e y ，来表示面内的弹性应变，则非线性板的几何关系可以写为 巳2 一+ u ，+ i 吆一孙t 搿 j e y 2 一s y 七v 。y 七二一y z w 。拶 工 勺= 一弓+ 三( 叱) + 三k ，一彬矽 ( 3 2 ) 假设面内的应力应变关系仍然满足各向同性的胡克定律 吒= 告1 7 e x + v e y 、)吒2 再 哆= 告e y + y 巳) 哆2 万w 巳) f x j , = ( 3 3 ) 一l + y 砂 、。7 定义薄膜力为面内应力沿厚度方向的积分 h m = 丘吒d z 2 h n y = 髓y a z 2 = 臣d z ( 3 4 ) 非线性板的控制方程可以写为 n x ? x 七n 锣y = 0 n 9 x 七ny 。y = 0 d v 2 v 2 w m 肛一以一2 n w 矽= 尸 ( 3 5 ) 方程( 3 5 ) 就是著名的用于描述非线性板的膜力平衡和弯曲平衡的冯卡门方程。 式中v 2 v 2 w2 w 一+ 2 w ，聊+ w ，删，是双拉普拉斯算子。2 西南，是板 的弯曲刚度；尸表示板所受z 方向的压力，在本章中我们只考虑一种简单但常 见的薄板支撑情况：即假设将薄板浮在液体表面上，此时尸= 一p g w ，其中p 是 液体密度，g 是重力加速度。这种压力与挠度成正比的形式，不仅符合液压支 撑的情况，对所谓柔性基底的支撑也是适用的。 第三章薄板的光致形貌失稳 3 3 平面状态下的解 将方程( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 代入方程( 3 5 ) 的前两个方程中就得到平面变形时的 面内位移表达的平衡方程 “，