（固体力学专业论文）部分水下弹性支承梁的自由振动及非线性动力响应分析.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 本文采用水平位移约束和转动约束耦合的弹簧刚度矩阵更加合理的描述桩基础对上部 结构的作用，建立了水中自由端具有集中质量块的等截面弹性支承悬臂梁横向振动的数学 模型，理论和数值研究了其横向自由振动以及m o r s i o n 波浪力激励下的1 f 线性动力响应。 主要工作如下： 首先，基于e u l e r - b e m o u l l i 梁理论，考虑由集中质量块引起的轴向力作用，建立了部 分浸入水下弹性支承等截面梁的自由振动数学模型。由于集中质量块的惯性力和惯性距， 此模型的边界条件与同有频率相关。给出了梁自由振动的频率方程和振动模态的广义正交 性条件。数值研究了水深、集中质量块质量、转动惯量、质心距以及弹簧耦合刚度等参数 对悬臂梁i 古i 有频率和正则模态的影响。数值结果表明：弹簧刚度耦合项显著减小梁的前两 阶固有频率，并且对低阶振动模态有显著影响；轴向力不同程度的减小固有频率，而对高 阶振型有明显影响。 其次，基于t i m o s h e n k o 梁理论，考虑梁转动惯量和剪切变形以及由集中质量块引起轴 向力的影响，分别给出了空气中和流体中短粗梁段的横向自由振动控制方程，边界以及连 接条件，利用分离变量法导出了频率方程，并推导建立了振动模态的广义正交性条件。数 值计算研究表明：由于增加了转动惯量和剪切变形的影响，梁的l 古l 有频率明显减小，对高 阶频率及高阶振型的影响尤为显著；弹簧刚度耦合项的增加将减小梁的固有频率；轴向力 减小梁的低阶蚓有频率，对高阶i 司有频率的影响不大。 最后，应用a i r y 线性波理论，考虑m o r i s o n 波浪力对弹性支承悬臂梁的作用，建立了 弹性支承e u l e r - b e r n o u l l i 梁横向强迫振动的数学模型。基于第二章的相关结果，采用 g a l e r k i n 法得到近似控制方程，数值求解此方程得到了波浪激励下弹性支承悬臂梁的有阻 尼自由振动及其1 f 线性动力响应。结果表明，相比于独立支承结构，耦合弹性支承对湿梁 的有阻尼l 司有频率有显著影响；波浪激励下，弹性支承悬臂梁系统将发生1 2 ，1 3 阶的谐 共振和2 、3 倍的超谐共振。 关键词：弹性支承，广义正交性条件，m o r i s o n 力，超谐共振，谐共振 v ：海大学硕上学位论文 a b s t r a c t ac o u p l e d - s t i f f n e s sm a t r i xa tt h em u d l i n ef o rt a k i n gt h ec o u p l ee f f e c to fh o r i z o n t a l d i s p l a c e m e n ta n dr o t a t i o ni n t oc o n s i d e r a t i o ni sm o r es u i t a b l ef o rd e s c r i p t i o nt h ec o n s t r a i n to ft h e p i l ef o u n d a t i o nt ou p p e rs t r u c t u r e s b a s e do ns u c hm o d e l ，t h em a t h e m a t i cm o d e lo fa no f f s h o r e s t r u c t u r ei d e a l i z e da sa l le l a s t i c a l l ys u p p o r t e di m m e r s e dc a n t i l e v e rb e a mc a r r y i n ga ne c c e n t r i ct i p m a s si se s t a b l i s h e d ，a n di t st r a n s v e r s a lf r e ev i b r a t i o na n dn o n l i n e a rd y n a m i cr e s p o n s eu n d e r m o r s i o nw a v ef o r c ea r es t u d i e dt h e o r e t i c a l l ya n dn u m e r i c a l l y t h em a i nc o n t e n t so ft h et h e s i s a r ea sf o l l o w s ： f i r s t ，t a k i n gt h ec o m p r e s s i o na x i a lf o r c ed u et ot h et i pm a s si n t oa c c o u n t ，t h em a t h e m a t i c a l m o d e lf o rf r e ev i b r a t i o no fac a n t i l e v e rb e a m ，i nw h i c hc o n s t r a i n so ft h ee l a s t i ch o r i z o n t a l d i s p l a c e m e n ta n de l a s t i cr o t a t i o na r ec o u p l e d ，i sp r e s e n t e db a s e do nt h ee u l e r - b e m o u l l ib e a m t h e o r y d u et ot h ei n e r t i a lf o r c ea n dm o m e n to ft h et i pm a s s ，t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h e m a t h e m a t i c a lm o d e la r ef r e q u e n c yd e p e n d e n t t h ef r e q u e n c y e q u a t i o na n dt h eg e n e r a l i z e d o r t h o g o n a lc o n d i t i o nf o rt h ev i b r a t i o nm o d e sa r ed e r i v e da n a l y t i c a l l y t h ei n f l u e n c e so ft h ed r a f t r a t i o ，t i pm a s s ，m o m e n to fi n e r t i a ，e c c e n t r i c i t yo ft h et i pm a s sa n dc o u p l e ds p r i n g s t i f f n e s so nt h e n a t u r a lf r e q u e n c i e sa n dv i b r a t i o nm o d e sa r ea n a l y z e dn u m e r i c a l l y i ti ss h o w nt h a tt h ec o u p l e d s p r i n g s t i f f n e s sr e d u c e st h ef i r s tt w on a t u r a lf r e q u e n c i e ss i g n i f i c a n t l y , a n dh a san o t a b l ei n f l u e n c e o nt h el o w e r - o r d e rv i b r a t i o nm o d e s t h ea x i a lf o r c ed e c r e a s e st h en a t u r a lf r e q u e n c i e st o d i f f e r e n te x t e n t ，w h i l eh a san o t a b l ei n f l u e n c eo nt h em o d e s ，e s p e c i a l l yf o rt h eh i g h e ro r d e r m o d e s s e c o n d l y , b a s e do nt h et i m o s h e n k ob e a mm o d e l ，t h et r a n s v e r s a lf r e ev i b r a t i o no fa n e l a s t i c a l l ys u p p o r t e dc a n t i l e v e rb e a mc a r r y i n gat i pm a s si na i ro rp a r t l yi m m e r s e di naf l u i di s i n v e s t i g a t e d t a k i n gt h er o t a r yi n e r t i a ，s h e a rd i s t o r t i o na n dt h ec o m p r e s s i o na x i a lf o r c ed u et o t h et i pm a s si n t oa c c o u n t ，t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n ，c o n t i n u i t yc o n d i t i o na n dt h eb o u n d a r y c o n d i t i o na r ep r e s e n t e d ，a n dt h ef r e q u e n c ye q u a t i o na n dt h eg e n e r a l i z e do r t h o g o n a lc o n d i t i o nf o r t h ev i b r a t i o nm o d e sa r ed e r i v e da n a l y t i c a l l y i ti sr e v e a l e dt h a t ，f r o mp a r a m e t e rs t u d y , t h e n a t u r a lf r e q u e n c i e so ft h eb e a mw i l ld e c r e a s ed u et ot h em o m e n to fi n e r t i aa n ds h e a rd i s t o r t i o n ， v l 上海大学硕士学位论文 e s p e c i a l l yf o r t h eh i g h e ro r d e rn a t u r a lf r e q u e n c i e sa n dm o d e s ；t h ei n c r e a s i n gt h ec o u p l e d s p r i n g - s t i f f n e s sc o e f f i c i e n tw i l lr e d u c et h en a t u r a lf r e q u e n c i e st od i f f e r e n te x t e n t ，t h ea x i a l f o r c ed e c r e a s e st h el o w e ro r d e rn a t u r a lf r e q u e n c i e sw h i l eh a san e g l i g i b l ei n f l u e n c eo nt h eh i g h e r o r d e ro n e s t h i r d l y , t h eh y a r o d y n a m i cf o r c ea c t i n go nt h ee l a s t i c a l l ys u p p o r t e dc a n t i l e v e rb e a mi s e v a l u a t e db ym o r i s o nf o r m u l au s i n gt h ea i r yl i n e a rw a v et h e o r y , a n dt h ed a m p e dn a t u r a lf r e e v i b r a t i o na n dt h ew a v ee x c i t e dn o n l i n e a rd y n a m i cr e s p o n s eo fe u l e r - b e r n o u l l ib e a ma r e c a l c u l a t e db yg a l e r k i n sm e t h o dw i t ht h er e s u l t so fc h a p t e r2 t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t ， c o m p a r e dw i t ht h ei n d e p e n d e n ts u p p o r t e ds t r u c t u r e ，t h e w a v ef o r c ed e c r e a s e st h en a t u r a l f r e q u e n c i e so fw e tb e a mn o t a b l y , a n dt h ec o u p l e de l a s t i c a l l ys u p p o r t e dc o e f f i c i e n td e c r e a s e st h e d a m p e dn a t u r a lf r e q u e n c yo b v i o u s l y , a n df o r c e ，t h es u p p e r - h a r m o n i cr e s o n a n c eo fo r d e r s2 ，3 a n dt h es u b h a r m o n i cr e s o n a n c eo fo r d e r s1 2 ，1 3w i l lo c c u ru n d e rw a v ee x c i t a t i o n k e y w o r d s ： e l a s t i cs u p p o r t ，g e n e r a l i z e do r t h o g o n a lc o n d i t i o n ，m o r s i o nw a v ef o r c e ， s u p p e r - h a r m o n i cr e s o n a n c e ，s u b - h a r m o n i cr e s o n a n c e v i i 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：鱼卑日期：牡 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签 名：鱼塑卑导师签名：她日期： i 上海大学硕士学位论文 1 1 课题来源 第一章绪论 本课题受上海市自然科学基金资助，项目编号：0 6 z r l 4 0 3 7 。 1 2 课题研究的目的和意义 随着经济的高速持续发展，我国能源短缺问题越显突出，2 0 0 6 年1 月颁布 的可再生能源法将可再生能源的开发利用列为能源发展的优先领域，而风能 是发展最快、最具有规模开发的发电方式。全球风能委员会( g w e c ) 的统计 报告指出：2 0 0 6 年全球新增风电装机容量1 4 9 0 万千瓦，装机总容量达到7 4 1 3 3 万千瓦；而2 0 0 7 年全球新增风电装机容量2 0 0 0 万千瓦，装机总容量达到9 5 1 3 3 万千瓦；2 0 0 8 年全球新增风电装机容量2 7 0 5 万千瓦，装机总容量达到1 2 0 亿千 瓦，预计到2 0 2 0 年风电将占全球电力总量的1 2 。国家发改委规划到2 0 1 0 年并 网风力发电装机总容量达到5 0 0 万千瓦，2 0 2 0 年达到3 0 0 0 万千瓦，其中海上风 力发电将是我国未来风能利用的重要组成部分。上海海洋经济发展“十一五”规 划中明确提出建设“三岛”和“三区”海上风力发电基地，形成2 0 一3 0 万千瓦的发 电能力 由于陆地地形地貌的限制以及风电场噪音对环境的影响，加之海风具有风 速、风向、风切变化小、湍流强度低、海上可安装单机容量为5 1 0 兆瓦的大型 风力发电机，自2 0 世纪9 0 年代起，国外开始建造海上风电场，并且成为未来风 电发展的一个趋势。目前，发达国家已相继开展了众多海上风电研究项目，并形 成了相关的设计规范和分析工具，如d u w e c s ，a d a m s w t 等，风能作为未来 重要能源受到世界各地的普遍重视。 我国海洋风能储量丰富，据初步估算，近海区域1 0 米高度层的风能资源为 相应陆地风能资源的三倍，约7 5 亿千瓦。经过2 0 多年的努力，我国风电产业 取得了很大发展，到2 0 0 6 年底，全国除台湾省外己建成约9 1 个风电场，装机总 容量达到约2 5 8 9 万千瓦，比2 0 0 5 年新增装机约1 3 3 4 万千瓦，2 0 0 7 年中国风 9 上海大学硕_ 上学位论文 电装机容量达到5 8 9 9 万千瓦，2 0 0 8 年中国风电装机容量达到1 2 2 1 万千瓦2 0 0 5 年上海电气电站集团与德国艾罗迪公司( a e r o d y n ) 签署协议，联合开发国内 单机功率最大的2 兆瓦风力发电机，2 0 0 7 年我国首个海上风电场一上海东海大 桥l o 万千瓦海上风电场项目已经开工建设，预计未来发电量可达到2 6 亿度。 然而，我国风力发电机设计制造水平以及风能在能源结构中的比重严重偏低，风 能开发不仅落后于欧美等发达国家，甚至落后于起步晚的印度。造成这种情况的 主要原因之一是我国风电企业多为仿制围外成熟机组，没有形成自主知识产权， 限制了我国风电产业的健康发展。 海洋石油、天然气的勘探与开采、海上风力发电等的迅速发展，各类海洋结 构在海风、波浪、地震和潮汐等载荷作用下的动力学行为成为海洋工程中的研究 热点之一。这些海洋结构具有固有频率低、低频模态密集、结构复杂、所受外载 荷不确定，强耦合性和非线性的特点。目前的相关研究表明，采用浸入流体中自 由端处具有集中质量块的悬臂梁模型可以较为精确的模拟若干海洋结构的动力 学性能。 木课题丰要研究自由端具有集中质量块浸入流体中等截面弹性支承悬臂梁 的动力学特性，分别给出了e u l e r - b e r n o u l l i 梁和t i m o s h e n k o 梁的频率方程，建 立了自由振动模态的广义正交性条件，数值分析了集中质量块引起的轴向作用力 以及耦合弹性支承刚度等物理参数对梁自由振动固有频率和模态的影响，并且研 究了其在波浪激励作用下的梁的非线性振动特性，这些结果为深入研究海洋平 台、海上风力发动机等结构的动力行为提供了基础。 1 3 国内外研究概况 海上风电场大都处于浅海海域，有限的水深将导致海波的高度非线性，在浅 海海域中尤为如此。目前，大多海上风力发电机结构的研究大多仍采用经典的 a i r y 线性波模型和随机n e w w a v e 模型， 用相关的非线性模型，如s t o k e s 模型、 但它们难以应用于陡波情形，为此应采 流函数模型等。相关研究表明：高阶流 函数可较为精确地描述非线性海波。海浪作用于结构的载荷可采用m o r i s o n 公 式、f r o u d e k r y l o v 公式、绕射理论( d i f f r a c t i o nt h e o r y ) e l 计算流体力学方法等， 1 0 上海大学硕十学位论文 对于细长柔韧的风力发电机结构，m o r i s o n 公式可给出满意的结果。 基础在海上风力发电机设计中是一个非常重要的问题，也是与陆上风力发电 机设计的一个重要区别。它不仪占整个风力发电机3 0 以上的建设费用，而且必 须根据海域情况，选择不同的基础形式，而在浅水域中应用广泛的单桩基础可等 效为浸入流体中悬臂梁。目前，对浸入流体中悬臂梁的研究大都假定支承端或为 固定的【2 4 8 ，9 1 、或等效为位移与转动非耦合的弹性支承的【5 , 6 3 】。然而，土一桩相互 作用研究表明，支承端处的水平位移约束和转动约束是相互耦合的【1 0 , 1 1 】，而耦合 弹性支承下悬臂梁动力学行为的研究报道并不多见，z a a i j 一1 2 , 1 3 1 研究了水平位移 约束和转动约束非耦合和耦合情形下海上风力发电机结构的固有频率，指出耦合 的水平位移约束和转动约束模型可给出较为精确的结果。对于大型海上风力发动 机而言，机舱和叶片的重量将导致塔柱体内较大的轴向压力，并将在弯曲变形中 产生较大的剪切变形，对固有频率、振动模态及动力响应特征具有有较大的影响。 目前，部分浸入流体中的自由端处具有集中质量块的悬臂梁动力学研究，尤 其是固有频率及振动模态的研究已有较为丰富的成果。h a n 等【1 4 】给出了等截面梁 横向振动的四种工程模型( e u l e r - b e m o u l l i 模型、r a y l e i g h 模型、s h e a r 模型和 t i m o s h e n k o 模型) ，基于e u l e r b e r n o u l l i 梁理论，c h a n g 和l i u 1 】利用传递矩阵法， 考虑集中质量块的质心距、转动惯量的影响，研究了浸入流体中的弹性支承悬臂 梁的固有频率和振动模态，考察了各种因素对固有频率的影响。u s c i l o w s k a 、 k o l o d z i e t 2 】和6 z t 3 川分别用解析和有限元方法研究了浸入流体中固定支承悬臂梁 的固有频率，给出了相关的低阶固有频率和振动模态。利用附加质量法，w u 和 l i n 5 1 和w u 和h s u 6 ，7 1 研究了浸入流体中的自由端处具有集中质量块的悬臂梁的 自由振动问题，并与已有的结果进行了详细比较。在此基础上，利用附加质量法 进一步研究了楔形悬臂梁的自由振动问题【8 一。a b d e l j a b e r 等用谐波平衡法和 时间变换法研究了弹性支承楔形悬臂梁的非线性自由振动问题，给出了锥度比对 梁的固有频率和振动模态的影响。基于t i m o s h e n k o 梁理论，a b r a m o v i c h 和 h a m b u r g e r 1 5 - 1 8 1 最早研究了一端固定、另一端带有集中质量块的t i m o s h e n k o 悬臂 梁自由振动问题，给出了其解析解，并考察了转动惯量、剪切变形对短粗梁自由 振动的影响。p o s i a d a l a 1 9 1 和c h a 和p i e 仃e 【2 0 】利用拉格朗日乘子方法，研究了带有 上海大学硕上学位论文 各种附属物的t i m o s h e n k o 梁的横向自由振动问题。w u 和c h e l a 2 l 】利用传递矩阵 法研究了自由端处具有集中质量块的t i m o s h e n k o 悬臂梁的自由振动问题。 心o l e d a 【2 2 2 3 】给出了弹性基础上具有广义弹性支撑的t i m o s h e n k o 梁的动态刚度 矩阵和载荷矢量，研究了承受恒定轴向力作用广义边界条件下t i m o s h e n k o 梁柱 的自由振动和稳定性问题以及频率对刚度矩阵、载荷矢量以及耦合项的影响。 m o h s e n 2 4 】等研究了伽辽金法在t i m o s h e n k o 梁理论中的应用。l u 和g o n g 2 5 1 利用 模态叠加法，研究了t i m o s h e n k o 梁框架在地面激励作用下的动力响应的解析模 型。 在自由振动的基础上，基于e u l e r - b e r n o u l l i 梁模型，w u 和c h e n 2 7 采用模态 叠加法研究了地震激励作用下浸入流体中的自由端处具有集中质量块的悬臂梁 的强迫振动问题。h a n 和b e n a r o r y a 2 8 2 9 1 运用a i r y 线性波理论，研究了随机波浪 和潮流作用下柔顺梁结构的非线性横向和轴向耦合动力响应，找到了该结构的 1 1 2 阶亚谐振动响应。2 0 0 2 年，他 f 3 0 , 3 1 1 又对随机波浪力作用下的顺应式平台的 线性和非线性动力响应进行了比较研究，并且研究了其三维模型；2 0 0 6 年，他 们【3 2 】研究了张力腿平台轴向加载结构的随机动力响应。k u m a r 和d a t t a 3 3 】在频率 域内研究了铰接塔平台结构的随机响应。b a r - a v i 和b e n a r o y a 3 4 】将铰接塔简化为 单自由度模型，研究了海流波浪联合作用下平台的动力响应。b 小a v 【”】还研究 了两个自由度模型的动力响应，并与单自由度的振动响应做了对比。n a g a m a n i 3 6 】 采用三自由度的非线性动力有限元分析铰接塔平台在波浪作用下的大位移和大 摆动。谢文会3 7 , 3 8 1 等采用伽辽金方法，研究了深水中铰接塔平台在波浪和海流作 用下的超谐振动和混沌运动。赵晖【3 9 】等采用绕射理论，用动力w i n k l e r 弹性地基 梁模拟桩一土作用，考虑圆桩波浪的耦合作用，得到了波浪载荷下桩一土一水 流系统的动力响应解析解。z h o u 4 0 】用解析的方法研究了部分水下任意横截面梁 柱的弯扭联合振动特性，给出了结构水耦合振动的解析式。 1 2 f ：海大学硕十学位论文 1 4 论文的主要研究内容 本论文将以五章的篇幅论述相关问题，主要内容如下： 第一章综述了阐述围内外目前的相关研究现状、发展趋势以及本文的研究目 的和意义。 第二章利用耦合弹簧刚度矩阵模拟桩基础对悬臂梁的约束作用，研究在自由 端集中质量块引起的轴力作用下，支承处耦合水平位移约束和转动约束流体中悬 臂梁的自由振动问题。首先，由e u l e r - b e m o u l l i 梁理论，分别给出了空气中和流 体中梁段的自由振动控制方程，边界以及连接条件。其次，利用分离变量法导出 频率方程和相应的振动模态，并证明振动模态的广义正交性。最后，利用牛顿迭 代法求解频率方程，数值研究了水深、集中质量块质量、转动惯量、质心距以及 耦合弹簧刚度等对固有频率的影响。 第三章考虑梁转动惯量和剪切变形以及由集中质量块引起的轴向力的影响， 研究浸入流体中自由端具有集中质量块的等截面弹性支承t i m o s h e n k o 悬臂梁的 横向自由振动问题。首先，基于t i m o s h e n k o 梁理论，建立了支承处弹性水平位 移约束和转动约束耦合情形下悬臂梁横向自由振动数学模型。其次，推导 t i m o s h e n k o 梁自由振动的频率方程，并给出了其振动模态的广义正交性条件。 最后数值研究了集中质量块质量、转动惯量、质心距以及弹簧耦合刚度等参数对 t i m o s h e n k o 悬臂梁固有频率和正则模态的影响。 第四章基于e u l e r - b e r n o u l l i 梁理论，研究浸入流体中自由端具有集中质量块 的等截面弹性支承细长梁的非线性动力响应。考虑波浪对悬臂梁的作用及由集中 质量块引起的轴向力作用，运用a i r y 线性波理论，由m o r i s o n 公式计算悬臂梁 所受的水动力，建立了弹性支承悬臂梁横向强迫振动的数学模型。基于第二章自 由振动的相关结果，运用伽辽金方法计算波浪作用下梁的有阻尼自由振动及其非 线性动力响应。 第五章对全文进行简单总结，并且提出了几个值得进一步研究的问题。 上海大学硕十学位论文 第二章部分水下弹性支承等截面梁柱的自由振动 2 1结构模型 考虑图1 所示浸入流体中长为、横截 面面积为么、直径为d 的等截面e u l e r - b e r n o u l l i 圆梁，其密度为p ，弹性模量为e ， o z 轴的横截面惯性距为，。梁的一端x = l 刚 性连接质量块，其质量和质心处o z 轴转动 惯量分别为m ，和以，而质心距为e 。设水深 为厶，密度为p ，。梁的另一端x = 0 与土中 的桩基连接，由土一桩相瓦作用而提供的桩 头刚度分别为k 。、k 硼= k o 和，其中， k 。和k 。分别为桩头产生单位水平位移， 图2 1 流体中具有集中质量的弹性支承悬臂梁 f i g 2 1 ac a n t i l e v e rb e a mw i t ht i pm a s si na f l u i d 且转角为零时所需的桩头剪力和弯矩，而和分别为桩头产生单位转角， 且水平位移为零时所需的桩头剪力和弯矩。 2 。2 固有频率和振动模态 记w o ( x ，f ) 是空气中梁段的横向位移，吩( 工，f ) 是流体中梁段的横向位移，考 虑集中质量块产生的轴向压力m t g 对梁横向振动的影响，则梁的运动控制方程 为： 日爹+ 镌g 管圳可a 2 20 ： 厶q 乱 p 。， a 4 w ， a 2 w a 2 w ， 、 日石手+ m , gv 叙, v 2 f + ( p + 乃) 彳1 尹2 0 ； o x 厶 边界条件为： 1 4 e 1 0 可 ：一m , g 誓一k 。w ，+ k 棚誓， o 万x i 一吁似棚蔷， o x o x a 2 w ，o w ， 口紊= - k o w w ：似若， 日等，g i o w 也孥o t 帆e 粤v x o t ，ox。dx 一 日等_ _ ( 以+ m t e 2 ) 丽0 3 w o1 p 等； 这里，k 们描述 f 水半位移约束和转动约束的祸合双胜。仝气甲架段利况侔采 段的连接条件为： f w ，：w ，生：盟， 1 善：等，巩菩： 壮厶 q 。 引入如下无量纲的变量和参数 x = 主，w 口= 詈以= 一w f = ；小南m 2 警， 乒j tp + e = 争护告肝等乃_ ( 1 训竿， ( 2 - 4 ) 口= 警疋= 譬疋= 警球等 则无量纲的边值问题为 j 等+ 口等_ 屁等- o ，_ 引仁5 ， i 等+ 口等+ 乃等= o ；。 一 尝：一口篓一x - w , + k 乙善， x = o o x 。o x o 蓑2 箬= 一。嵋+ k o om & ， x = o 谚越等：善粤：墨，磐：尝，x 一( 2 - = l i ( 2 - 0 一) w ，5 心，紊。蕾亭2 事萨2 万一 等一等川等彬蒜， 阳 等_ - ( ，彬2 ) 筹面+ 等 x = t 1 5 z ， - 2 ，l 0 o l 三 = = = = x x x x 上海大学硕十学位论文 对于自由振动，梁的挠度可设为 也= r o ( x 。) p 甜，谚= 弓( ，) p 甜 ( 2 - 7 ) 其中，艺( x ) 和弓 + ) 为振型函数，国+ 为无量纲的圆频率。将方程( 2 7 ) 代入( 2 5 ) 中可得r o ( x ) 和弓( x ) 所满足的方程 窘+ 口窘矗2 尾匕- o ， 鲁+ 口鲁石z 廖弓扎 意如意叫邗j y f “ 此方程有通解 其中，g ( f - 1 ，2 ，8 ) 为待定常数，且 心2 , u s2 ，屯= ， 以= ( 2 - 1 0 1 将( 2 7 ) 矛1 1 ( 2 9 ) 代入边界条件( 2 6 ) 中，得到关于q ( 待1 ，2 ，8 ) 的线性方程组 吲 c ) = o ( 2 - 1 1 ) 其中， c ) = c f ) t ( 扛1 ，2 ，8 ) 是待定系数组成的矢量。【b = 岛 是一个8 8 的 矩阵，具体表达式见附录1 。方程( 2 1 1 ) 存在非零解的充要条件为其系数矩阵行 列式等于零，即d e t b = 0 ，由此可得梁固有频率的特征方程 f ( c o ) = 0 ( 2 1 2 ) 求解此方程可得到浸入流体中悬臂梁的无穷固有频率蠢( 厂= l ，2 ，) ，并由方程 ( 2 9 ) 确定相应的振动模态k ( ，) 驰卜髅；：怠美 仁 1 6 8 2 ，i 、 1 o p 缸啮 出 宝 印崛 。+ 弘哆 汕蛐心亿 鬻 一，成 心 咖衄 q g 上海大学硕士学位论文 2 3模态的正交性条件 设弹性支承悬臂梁有固有频率为瓴和奴，对应的振动模态分别为l ( x ) 和 r ( x ) 。将对应于频率为破的方程( 2 8 ) 两边乘以匕( x ) ，并在区间 o ，1 上积分可 砰l 乃r 出+ 尾f 艺。艺。出+ 砖瓦。( 1 ) ( 1 ) - r e , e * ( k ( 1 ) 珐( 1 ) + 一1 ) ) + ( f + m t e2 ) 匕( 1 鼍1 ) ( 2 - 1 4 ) = ( 1 瑶矗+ fy a m ”a n a x - - c ( , ( f 矗+ ( 1 瑶出) + k 乙( o ) 珞( o ) 一k 乙( 珞( o ) ( o ) + ( o ) ( o ) ) + ( o ) 瑶( o ) 注意到方程( 2 1 4 ) 右边关于下标m 和玎的对称性，可得当破屯时固有振型的 广义正交条件： 乃f 1 出+ 允r 艺。艺。出+ 一y 删( 1 ) 匕( n ( 2 1 5 ) + m t p ( 艺。( 1 ) r i ( 1 ) + 艺。( 1 ) ( 1 ) ) + ( ，+ m t p 屹) r l ( 1 ) 圪( 1 ) = 0 定义相应于频率蠢的广义质量和广义刚度分别为： 帆2 办r 珞出+ + 成艺。r a 。出+ 聊j ( 1 ) 2 + ( 2 1 6 ) 2 m , e ( 1 ) 圪( 1 ) + ( + r o t e2 ) 圪( 1 ) 2 ， k = r 瑶2 ( z ) 出+ f 磁2 ( 工) 出* - a ：a 。2 ( x ) 出+ r 瑶2 ( x ) 出+ ) + l c v o ( o ) ( o ) 一2 k 乙( o ) ( o ) + 2 ( o ) 则有 e = c o ”m 。 振动模态k ( 工+ ) 可由如下归一化条件唯一确定。 鸠= 1 ( n = 1 ，2 ) 2 4 数值结果及分析 ( 2 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) 采用牛顿迭代法数值求解特征方程( 2 1 2 ) 得到弹性支承梁的固有频率 1 7 上海大学硕士学位论文 威( m = 1 ，2 ，) ，而后求解线性方程n ( 2 - 1 1 ) 的特征系数，并由归一化条件( 2 1 9 ) 确定振动模态圪( 工) ( m = l ，2 ，) 。 为考察轴力以及水平位移约束和转动约束耦合对固有频率的影响，并与已有 结果相比较，取梁长l = 1 5 m ，直径d = 0 3 m ，则横截面a = 0 0 7 0 6 9 m 2 ，横截 面惯性矩1 = 3 9 7 6 1 1 0 4m 4 。梁的杨氏模量e = 2 0 6 8 1 0 1 1n m 2 ，质量密度 p = 7 8 5 0 k g m 3 ，水的密度p ，= 1 0 0 0 k # m 3 ，质心距p = 0 5 m ，无量纲量 西= o 1 p a ，z = o 1 忽5 。首先，考察不计轴力和水平位移约束与转动约束非 耦合，即口= 0 ，k 乙= 0 ，且k 0 = k 品= 1 时，弹性支承悬臂梁的固有频率。表1 示出了不同水深下独立弹性支承悬臂梁的前五阶固有频率，其中，带术的数值为 文献 6 】的结果，可见，本文结果与已有结果吻合很好，误差在o 0 1 以内，说明 了本文方法的可靠性。 表2 1 口= 0 ，k - - = k 二= 1 ，k 二= 0 时弹性支承悬臂梁的固有频率 t a b l e2 1d i m e n s i o n l e s sn a t u r a lf r e q u e n c i e so ft h ec a n t i l e v e rb e a mw h e n a = 0 ，k - = k 二= 1 ，k 二= 0 图2 2 2 4 给出了当= 0 5 ，m j = 0 2 尾时悬臂梁前四阶固有频率随弹性支承 刚度系数的变化规律，由图可知，前两阶固有频率q 和劬随k 二的增加而逐渐减 小，随疋，的增加而增加。而后两阶固有频率q 和红随弹簧刚度系数的增 加而增加，这是因为对于第一、二阶模态，其支承端处转角为正，随着一的增 加，降低了支承端处的约束反力( 公式( 2 2 ) ) ，使结构更加柔性，因此，固有频 率减小；而对于第三、四阶频率，支承端处转角为负，随着k 二的增加，增加了 支承端处的约束反力，从而，提高了其固有频率。同时，考虑轴向力时，固有频 率将减小，但不影响固有频率随k 二，k 乙，的变化规律。图2 5 和图2 6 分 别示出了m j = o 2 成时，水深和当= o 5 时集中质量块质心距e 对弹性支承悬 上海大学硕七学位论文 臂梁的一阶和三阶固有频率的影响，由图2 5 可见，随着水深的增加，一阶固有 频率逐渐减小，三阶固有频率在水深比为0 到1 3 之间显著减小之后趋于平稳。 由图2 6 可见，随着质心距的增加，一阶固有频率线性减小，而三阶固有频率线 性增加，物理上看，这是因为质心距的增加将增加自由端处的剪力和弯矩，从而 导致以平动和旋转为主的固有频率降低，而对于三阶模态，由于集中质量块和弹 性支承端运动反向( 图2 9 ) ，增加质心距将降低自由端处的剪力和弯矩，从而导 致固有频率增加。图2 7 给出了当五= 0 5 时集中质量块质量对弹性支承悬臂梁固 有频率的影响，由图可知，随着集中质量块质量的增加，湿梁的一阶和三阶固有 频率逐步减小。值得注意的是，当考虑轴向力作用时，梁的固有频率随集中质量 块质量的增加而显著减小。图2 8 给出了当= o 5 ，西= 0 2 f t 时集中质量块转动惯 量对弹性支承悬臂梁固有频率的影响，可见，随着转动惯量的增加，湿梁的一阶 固有频率逐渐减小，而三阶固有频率在转动惯量为0 0 0 5 之间显著减小之后趋 于平稳。 图2 2 。k - = 1 0 ，k 2 = 1 时，弹簧刚度祸合项对悬臂梁l 司有频率的影响 f i g 2 2 i n f l u e n c eo ft h ec o u p l e ds p r i n g s t i f f n e s s 1 9 ：海大学硕上学位论文 图2 3 k 二= 2 ，砭= 1 弹簧刚度位移项对悬臂梁固有频率的影响 f i g 2 3 i n f l u e n c eo ft h ed i s p l a c e m e n ts p r i n g s t i f f n e s s 图2 4 k 二= 1 0 ，k 二= 2 弹簧刚度转角项对悬臂梁i 司有频率的影响 f i g 2 4 i n f l u e n c eo ft h er o t a t i o ns p r i n g s t i f f n e s so nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e s 2 0 j ：海大学硕l ：学位论文 2 5 水深对弹性支承悬臂梁固有频率的影响 f i g 2 5 i n f l u e n c eo fd r a f tr a t i oo nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e s 图2 6 质心距对弹性支承悬臂梁i 古l 有频率的影响 f i g 2 6 i n f l u e n c eo fl o c a t i o no ft i pm a s so nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e s 图2 7 集中质量块质量对弹性支撑悬臂梁i 司有频率的影响 f i g 2 7 i n f l u e n c eo ft i p - m a s so nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e s 一l ：海大学硕十学位论文 图2 8 转动惯量对弹性支承悬臂梁固有频率的影响 f i 9 2 8 i n f l u e n c eo f r o t a r y - i n e r t i ar a t i oo nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e s 为了考察弹簧刚度耦合项。以及轴向力参数口对弹性支承悬臂梁自由振动 模态的影响，图9 分别示出了当k 二= 1 0 ，砭= 1 时不考虑弹簧刚度耦合项k 乙和轴 向力参数口的弹性支承悬臂梁振动模态( 即k 二：0 ，口：0 ) 以及分别考虑弹簧刚度 耦合项k ( 即k 二= 2 ，口= o ) 和考虑轴向力参数口( 即疋= 0 ，口= o 11 2 ) 时弹性支 承悬臂梁的正交化自由振动模态( 即m