（应用数学专业论文）向量值littlewoodpaley算子的多线性交换子的有界性研究.pdf

硕 ：学位论文 摘要 本文主要研究l i t t l e w o o d p a l e y 算子与某些局部可积函数所生成的向量值多 线性交换子的有界性问题。也就是说，我们系统地研究l i t t l e w o o d p a l e y 算子分 别与b m d 函数和l i p s c h i t z 函数所生成的向量值多线性交换子i 姥i r 在2 ( 1 p o o ) 空间、t r i e b e 2 一l i z o r k i n 空间的有界性以及加权端点估计。 首先，我们证明t l i t t l e w o o d p a l e y 算子的向量值多线性交换子i 统i ，的s 危n 印函 数不等式。即当1 ， 0 0 ，岛b m o ( r n ) d = 1 ，m ) ，那么对任意1 s 0 ，使得对任意，卯( 舻) 和孟舻，下列不等式成立 c 咖乍脚圳州讣砉善i i b a b m o m , ( i 棚) 并利用l l s h a r p 函数不等式证明了当1 r o o ，b b m o ( r n ) o = 1 ，仇) 时，交 换子l 姥i r 的汐( 1 p o o ) 有界性。 其次，我们证明了l i t t l e w o o d p a l e y 算子与l i p s c h i t z 函数生成的向量值多线 性l i t t l e w o o d p n 2 e ! 交换子i 弗i ，当1 r o o ，0 p m i n ( i ，e 仇) ，1 p ，5 = ( 6 1 一，6 m ) ，其中l 锄( 舻) ，1sj m 时是从驴( 舻) 至l j t r i e b e l 一 厶加r 七轨空间留卢, 0 0 ( j f p ) 有界的；同样，当l r o o ，0 卢 r a i n ( 1 ，e m ) ，1 p m 卢n 。 最后，证明t l i t t l e w o o d p o z e y 算子的向量值多线性交换子l 姥i ，的端点有界 性，即当1 r 0 0 ，叫a 1 ，b = ( b 1 ，6 m ) ，其中6 j b m o ( r ) ，1 j m 时， i 姥l ，是从l ( 叫) 至：u b m o ( w ) 有界的，当1 r o 。，1 p o o ，叫a 1 ，云= ( b l ， 6 m ) ，b m o ( r ) ，1 j m 时，i 姥i ，是从彩( 叫) 到c m d ) 有界的。 关键词：l i t t l e w o o d p a l e y 算子；向量值多线性交换子；b m o 空间； t r i e b e l - l i z o r k i n 空间；l i p s c h i t z 空间 l i 向覃值l i c e 伽d d d p 0 2 e y 算予的多线性交换子的有界性研究 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es y s t e ms t u d yt h eb o u n d e d n e s so ft h ev e c t o r - v a l u e dm u l t i l i n - e a rc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db yl i t t l e w o o d - p a l e yo p e r a t o ra n db m of u n c t i o n so r l i p s c h i t zf u n c t i o n so n 2 ( 1 p 0 0 ) s p a c ea n dt r i e b e l l i z o r k i ns p a c e m o r e - o v e r ，w ec o n s i d e rs o m ek i n do fw e i g h t e de n d p o i n te s t i m a t e sf o rt h ev e c t o r - v a l u e d m u l t i l i n e a rl i t t l e w o o d p a l e yc o m m u t a t o r s a tf i r s t ，t h es h a r pi n e q u a l i t i e sf o rt h ev e c t o r - v a l u e dm u l t i l i n e a rl i t t l e w o o d p a l e yc o m m u t a t o r si 纯| ra r ep r o v e d i e ，w h e n1 ， o o ，如b m o ( r n ) u = 1 ，m ) ，f o re a c hf i x e d ，卯( 舻) a n d 孟彤，t h e n 竹l ( i 面( 川，) 孝( 量) c 旧h 。m , ( i f l ，) ( 孟) + b m d 他( 咖( 川，) ( 孟) 1 j = l ，叩 b yu s i n gi t ，w eo b t a i nt h a ti 姥l ra r eb o u n d e do n 2s p a c e ，w h e r e1 p s e c o n d l y , w h e n1 r 0 0 ，0 卢 r a i n ( 1 ，m ) ，1 p 仇卢扎，w h i c h i sg e n e r a t e db yl i t t l e w o o d p a l e yo p e r a t o ra n dt h ef u n c t i o n si nl i p s c h i t zs p a c e f i n a l l y , t h ew e i g h t e de n d p o i n te s t i m a t e sf o rt h ev e c t o r - v a l u e dm u l t i l i n e a r l i t t l e w o o d p a l e yc o m m u t a t o r si 姥i ra r ed i s c u s s e d w h e n1 r o o ，埘 a 1 ，6 = ( 6 l ，k ) ，w h e r e b m o ( t p ) ，i 纯l ，i sb o u n d e df r o ml ( ) t o b m o ( w ) w h e n1 7 ，1 0 ，以( z ) = t - 妒( x t ) ，且对于e 0 ，妒( z ) 满足： ( 1 ) 厶妒( z ) 出= 0 ， + 沁一切 4 塑饥 尝n 向量值l i f e 叫d d d 一尸口f e 可算予的多线性交换了的有界性研究 ( 2 ) 一i 妒 ) l c ( 1 + i x l ) 一( n + 1 ) ， ( 3 ) l 妒( z + y ) 一妒( z ) lsc l y l 5 ( 1 + i x l ) 一( n + 1 + 5 ) 当2 阿i l x l 。 事实上算子跏在p ( r n ) 上是有界的，l p o o ，且为弱( l 1 ( 形) ，l 1 ( 研) ) 有 界的。 c a l d e r 6 n1 3 】于1 9 6 5 年研究了一类交换子，它出现于沿咖曲线的c a u c h y 积分 问题中，并j 抽c o i f m a n ，r 0 c k r 6 e 叼和e i s s i 冯证明了奇异积分交换子是汐( 舻) ( 1 p o o ) 有界的。受奇异积分交换子的启发，1 9 9 3 年，a l v e r e z ，b a b g y ，k u r t z 和p e r e z 定义t l i t l l e w o o d p a l e y 算子的交换子同： 枷加( z i f b ( f ) ( 圳2 矿， 其中 f ( ，) ( z ) = 仇( z y ) ，( 可) ( 6 ( z ) 一b ( y ) ) d y ， 且证明- - f l i t t l e w o o d p a l e y 交换子是 有界的，弱( 1 ，1 ) 有界的，其中1 q o 。，b b m o ( r ) 。随着h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空问理论的发展( 见 6 一 1 8 】) ，2 0 0 3 年l i u ，l u 和x u 证明了鳃是h f ( 形) 到( 彤) 有界的，钟脚( 舻) 到护，( 舻) 有界的，其中6 b m o ( t p ) ，n m + ) 0 。同年，l i u i 正n j j 了北在h n r 咖和h e r z 一 日n r 咖空间上的有界性，其中6 b m d ( 舻) i 1 9 1 ；并证明了纯是从驴( 舒) 到帮，( 舻) 有界的，其中0 卢 m i n ( 1 ，) ，1 p 卢n ，b 人口( 舻) 。( j r n ) 是齐次的l 咖s c i 钯空 间，砖，为齐次丁r i e 6 e z 一乜z d r 七轨空洲冽。同时对l i t t l e w o o d p a l e y 交换子还进 行t s h a r p t 吉计及端点估计，对m 阶l i t t l e w o o d p a l e y 交换子进行t l ( 1 0 9 l ) 型端 点估计及加权的弱型估计，其中m 阶l i t t l e w o o d p a l e y 交换子定义为 删，) ( 垆( z 唰划2 2 ， 其中 f b m , t = 也( z 一3 ，) ，( 可) ( 6 ( z ) 一6 ( 可) ) m d y ，m n 2 0 0 2 年，p e r e z 和t r u j i l l o g o n z a l e e 在【2 1 】中引入了一类多线性奇异积分交 换子 匠卅( ，) ( z ) = k ( z y ) n ( ( z ) - b 1 ( y ) ) f ( y ) d y ， ，r n = 二二 其中k 是奇异积分核。 一2 一 硕士学位论文 受此届芨，征本又甲百先引入j 同量值多线性饥冽e 协d 冽一p a l e y - 父抉于 咖忙( 壹i = 1 ( 棚硼7 ) v r ， 其中 棚= ( o 。咖1 2 秽2 ， 且 m 礅似垆厶娶( m m 卜帕胁 作者将研究向量值多线性历扰z e t t 7 d d d 一尸。比可交换子的s h 印函数估计，端点 估计且对l 竞l r 在l e b e 5 9 u e 空间及7 1 r i e b e l l i z 卯七饥空间上的有界性进行研究。 1 2 预备知识及符号 在本文，q 表示月，中平行于坐标轴的方体，对于局部可积函数，令f q = l q i 一1 f qf ( x ) d x 且其s 施叩函数定义为，对z 舒， ，萨( z ) = s q u j p 。- - j 丢i - ，乞i f ( y ) 一局l 咖 另一等价定义：( 见【2 2 】) ，带( z ) s u pi n f 1 f q i ，( 可) 一c l 咖 若泸l 0 0 ( 舻) ，我们称6 b m d ( 舻) 且i b m d = i i b # l l p 。事实上，我们有 i i b 一6 缈q l i b m o c k l l b l l m o 若i ：( 6 1 ，k ) ，如b m o ( r n ) ( j ：1 ，m ) ，那么 m 阑b 吖。= n i i b ，i i b m o j = l 令m 表示h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子，即 ( 硝z ) = s u pl q i 以i f ( y ) l d y ； 口j f - ，口 那么( ，) 表示坞( ，) = ( m ( 1 ，i p ) ) 1 加( 0 p 0 ，l i p s c h i t z 空间记为厶咖( 彤) ，称函数，l 锄( 舻) ，若，满足： 忆旷一s u p y 6 斜y 0 ，舻上的函数砂满足下列条件： ( 1 ) 厶妒( z ) 如= 0 ， ( 2 )l 砂( z ) i c ( 1 + i x l ) 一加+ 1 ) ， ( 3 )i 砂( z + y ) 一妒( z ) i c l y l 6 ( 1 + l x l ) 一( n + 1 + 5 ) ，当2 i y i l x l 。 设b ( 歹= 1 ，m ) 为舻上固定的局部可积函数，1 r 0 。记r ( ，) = 讥宰，定义 洲垆( z m 1 2 秽2 ， 这就是l i t t l e w o o d p a l e y 算子( 见 2 1 ) 。记 l r 一( 争| r ) 1 舢i r - ( 舢删) v 7 设日为如下的日i z 6 e r t 空l h - j h = ( h ：i l h l l = ( 铲i h ( t ) 1 2 d t ) 1 7 2 ) ，砰( ，) ( z ) 可被看作是舻到日的映射，显然 、。 9 够( ，) ( z ) = l i f , ( ，) ( z ) i l 和纯( ，) ( z ) = | | f ( ，) ( z ) l i 特别地，当6 l = = h 时，l 纯l ，即为m 阶向量值交换子( 见【5 1 【2 3 】) 。我们已经 知道此类交换子在调和分析中具有重要意义，并且已被广泛的研究( 见【4 】【2 0 一2 9 】) 。 下面的引理容易验证 引理1 2 1 如果w a p ，1 1 ， 有h 6 l d e r 不等式： 下fl k ( 撇眦( 南加圳7 如) v ( 高加训5 如) v 8 引理1 2 3 ( 见【2 】或【7 】)记m u c k e n h o u p t 权为4 p ，令1 l ，a p ，1 p o o ， 则似满足逆h 6 l d e r 不等式，即存在1 g 1 ) 上的有界性。首先介绍一些引理。 引理2 1 1 ( 见 18 】) 设l r o 。，t l ，a 1 且1 p c x ) ，则i 跏i ，是妒( 叫) 有 界的。 引理2 1 2 令1 1 ( 1 j 七) ，使得1 肋1 + + 1 陬= 1 和l q l + + 1 q k = 1 r 。对指数p 1 ，p 衍c l l q l ，倾，我们分别利用h s l d e r 不等 2 2定理与证明 在本章中我们将主要研究l i t t l e w o o d p a l e y 算子的向量值多线性交换子 在汐( 舻) p 1 ) 的有界性，为此我们首先要证明该交换子的s 口叩函数估计。然后 再利用该s 九n 印函数估计得到交换子在扩( 即) 0 1 ) 的有界性。于是我们有如下 的结论 一6 一 硕l ：学位论文 定理2 2 1令1 r 0 0 ，吣b m o ( r “) u = 1 ，m ) 。那么对任 意l s 0 ，使得对任意，卵( 彤) 和矛r n ，下列不等式 成立，即 c 咖艳脚 ? 删从计薹暑i i b 口t l b m o m , ( i 如) 定理2 2 2令l r o o ，b j b m o ( t ) u = 1 ，m ) 。则i 比l ， 在护( 舻) ( 1 p ) 上有界。 定理2 2 1 的证明我们只需要证明对于函数，帮( 舻) 和常数岛，下面的不 等式成立： 批面( f ) ( x ) l ，- c o l d x s c ( 1 l b l l b m o m , ( 1 f l , ) ( x ) + 姜暑蝣训) 固定一方体q = q ( x o ，回且孟q 。记，= g + h = 俄) + 玩) 其中班= 五x 2 q ，也= i i x ( 2 q ) c 。首先我们将证明m = l 时的情况，那么 9 曲b l ( ) ( z ) = ( b l ( x ) - ( b 1 ) 2 q ) g 妒( f i ) ( x ) 一g t , c ( b l 一( b 1 ) 2 q ) g i ) ( x ) 一跏( ( 6 l 一( b z ) 2 q ) h i ) ( x ) 于是，根据m i n k o w s k i 不等式，我们有 南上i i 鲍( ，) ( 训r l 跏( ( 6 1 一( 6 1 ) 2 q ) 危) ( 铂) l r l 如 s 下1l 舻( 似z ) 1 1 r 一( 6 1 一( 6 t h q ) 帅。) l l r i 出 高上( 鼽i = 1 棚圳( 6 1 _ ( 6 1 ) 删) 1 1 7 ) 叫7 如 南z ( 鄯吣旷( 6 1 ) 2 q ) 删训i r ) 沙如 + - 1l ( 喜1 愀卜渤k 批川) v 出 + 高z ( 争州6 1 ) z 拼趴沪州6 1 ) 2 拼i ) ( m l i r ) 纠7 如 一7 一 f q 量隹i l i t t l e w o o d p o f e ! ，算子的多线性交换了的有界性研究 对于1 ，田爿谢d e r 个等瓦，具甲s 满足1 l s + 1 s 。2 上，口j 得到 ，= 高上1 6 l ( 旷( 6 1 ) 2 q i i g 妒( f ) ( 圳r 如 c ( 南小柏浏，如) 1 加7 ( 南加似圳；如) 1 加 c i i b l l l s m o 尥( 1 跏( 剧，) ( i ) 对于，选取适当的p 使得1 p s ，由l 跏| r 在汐( 舻) 上的有界性和h 魂d e r 不 等式，得 ，j r ( 面1 厶姒( 6 1 ) 枷拗郴如) 纠p c ( 高小舡) - ( 6 1 ) 删圳r ) p 如) “p s c ( 南厶i 他比如) 珈( 高厶陋。一c 6 如q 畔卜p ，如) 。呻v 印 c l l b l l l b a , o m s ( i i ，) ( 孟) 对于i i i ，o dm i n k o w s k i t 附，有 l i r ( ( 6 t 一( b 1 ) 2 q ) 尼) ( z ) 一f t ( ( 6 l 一( b a h q ) h ) ( x 0 ) l l ， 丘q ) c1 6 1 ( 秒) 一( 6 1 ) 2 q l i ，( y ) i ，( 上l 妒。( z 一秒) 一矽t ( z 。一3 ，) 1 2 譬) v 2 d 可 c 鼬沪吼k i ，( z 砖蔫) u 2 匆 c啪)-(61)2qii(j训，桀羔妇 ( 2 口) 。 1 4 0 一占，i c 喜k 2 6 1 ( 沪( 6 1 训l r 芒击咖 卯萎2 砘1 2 切i _ 1l q 1 6 如) - ( 6 - ) 2 q i i f ( 们i r 却 c 善2 如( 高“m 卅如) v 3 ( 南k 慨刊硝如) “一 c 0 0 七2 一鼢1 1 6 l i l b m 。m , ( i f l ，) ( 孟) 七；= i c i b l l l a m o m , ( i f l ，) ( 童) ， 硕士学位论文 因此 i i i c i l 6 1 1 1 8 w d l ( 1 ，i ，) ( 岔) 下面我们讨论m22 的情况，令云= ( b l ，6 m ) ，其中( ) q = i q i _ 1 尼b j ( u ) d y ， 1s 歹m 露(五m=量(-1)一惭m枞厶(6(y)一(6)2qmz一可)o)dyj= o 口c ， 。“ = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 仉( z ) 一( 6 m ) 2 q ) f t ( ) ( z ) + ( 一1 ) m r ( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( 6 m ) 2 q ) ) ( z ) m - 1 ， +量(-1m)_(6)2q)口厶(的)-b(蛳纵沪龇(y)dyj= l 口c ? l 。“ = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m ( z ) 一( b m ) 2 q ) r ( ) ( z ) + ( 一1 ) m e ( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( b m h q ) k ) ( x ) 于是，根据m i n k o w s k i 不等式，有 i q iz i g g c ( f ) ( z ) i r i 鲫( ( 6 - 一( 6 1 ) 旧) ( k 一( 6 m ) 2 q ) ) 九) ( z 。) l r i 如 丽1 上巧( ，) ( 圳i r i i f t c ( b , 一( 6 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( 6 m ) 2 q ) ) 危) ( z o ) i i r i 如 南上( 参砒m ( ( 6 1 ) 加( 州喇) | | ) 吖如 i - 可1 乞( 喜e l ( 6 ，( z ) 一( 6 ) 2 q ) ( 6 。( z ) 一( 6 m ) z q ) r ( ) ( z ) 1 1 7 ) 1 p 如 + 高z ( 喜蓦掣h 如如棚| | r ) v 7 如 1 厂 + 而厶 1 i + 而厶 一f t ( ( 6 1 i i f t ( ( b - 一( 6 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( 6 m ) 2 q ) 仇) ( z ) i i - - - - - 1 i i f , c c b - , 一( 6 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( 6 m ) z q ) 圳z ) ( 6 1 ) 。小- ( 6 m _ ( 6 m 姚0 ) l i ) v 如 = i l + 1 2 + 1 3 + 1 4 一9 一 z 五t 奄bqbp z 叼 一硝 + 向量值l i f e 叫d d d p o 把妙算子的多线性交换了的有界性研究 对于 ，由广义的h 反d e r 不等式，选取适当的1 彩 ，j = 1 ，m 使 得1 p l + + 1 p m + 1 i s = 1 ，则 高z | 6 1 ( z ) 一( 6 ，) 2 q i 1 6 仇( z ) 一( 6 m ) 2 q i i 跏( 似圳r 如 耍( 高上i 如c z ，一c b ，2 口i p j 如) 1 锄( 南zi 跏c ，c 圳；如) v 5 c i l 6 i i b m o 尥( i 跏( ，) i ，) ) 对于，2 ，由m i n k o w s k i 不等式和h s l d e r 不等式，有 如2 南上暑三i i ( ) 一( 6 ) z 如币c ( 厂) | l r 如 蔷善高乞| ( 6 ( z ) 一( 6 ) 狮川l 磅。( 似圳r 如 c 蓦三( 南厶i ( b ( = ) - ( b h q ) o l d x ) v 一( 高上l 毋v 比如) v 8 c 1 1 爵1 1 b m d 尥( i 毋。( 删，) ( 孟) 对于如，取适当的1 p s ，1 劬 ，歹= 1 ，仇，使得l 9 1 + + 1 + p s = 1 ，m l g 妒( f ) ( x ) l ，在驴( 舻) 上的有界性和h f i l d e r 不等式，有 厶一i q li 乞i i f , ( ( 6 _ ( 6 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( b i n ) 2 幽) ( z ) 1 1 r 出 ( 面1 厶姒( 6 1 ) 2 q ) ( 6 m 地) 2 q ) ，x 2 “圳潍) 珈 c ( 高厶1 6 1 _ ( 6 1 计i 坼) _ ( 酬蒯如) 珈 c j f l = l ( 南小蝴护如) 1 1 “i ( 南加圳；如) v 5 sc 悯i b m o m , ( i i ，) ( 孟) 对于厶，选取适当的1 乃 ，歹= 1 ， l ，使得1 屈1 + + 1 p m + 1 i s = 1 ， 一1 0 一 硕一l ：学位论文 则l 妇h s l d e r 不等式，得到 i l 局( n ( 一( ) 。q ) ) ( z ) 一r ( n ( 如一( 6 j ) 。q ) ) ( 知) | l r ：( z l 二耍c 幻c 剪，一c 岛，：q ，l ，x 。2 口，。c 可，i ，c 以c z 一秒，一讥c z 。一。，d 可1 2 警) 叫2 c 厶l n(一6(咖衲)ij=1 ) l l f ( ( o l 讥。一计一讥( 跏一训2 警) 1 胆由 c 厶卜l 知沪c 删叭列，( z 瑞蔫) 1 肛由 c “黔沪( 删i m ) i r 占禹妇 如善上w 口k 咱h 铲纩托) i 娶( 蛐) 一( b j ) 2 q ) i l f ( 洲砌 鲫蔷2 “1 2 1 q i - 1ki 岗i i ( b 了( 们( ) l i m ) i 砌 c 喜2 出( 南鼬他m 出) 1 加 j f i = l ( 南k 州蝴护如) v 功， c 壹脚以哺俐m 。( i f l r ) ( 孟) c l i 葫i r 。，n m 。f lf l ，1 佑1 因此 厶c i 陋i | b m d 尥( 1 引，) ( 孟) 这样就证明了定理2 2 1 向鼍值l i f e 训d d d p n f e y 算子的多线性交换子的有界性研究 定理2 2 2 的证明我们首先考虑m = l 的情况，对于l p o 。，选取s 满 足1 1 ，记穆，( j p ) 为齐次t “6 e z l i z o r k i n 卒_ f f i j 。l 眵s c 舷z 空 间l 锄( 俨) 定义为满足如下条件的函数，： 盯i i l i p # = s u 。p 酽背y o o 1 ，v e f 严i z i 引理3 1 1 ( 见1 2 7 1 ) x , l o p 1 ，l p o o ，我们有 峥恬丽1 以i f ( x ) - f q i d x 忆 恬哆赤石i f ( a ) - c l d x 忆 引理3 1 2 ( 见【2 7 】) 对o 卢 1 ，1 p ，我们有 i i i i l 伽s u p 面每厶盯 ) 一尼l 如 霉赤( 南加i f ( x ) 刊p 如) “p 霉而l 而厶 叫训坳 引理3 1 3 ( 见 3 0 1 ) 对1 r 0 ，令 w 絮p ( 赤加洲咖) l r 若r p 卢n ，且l q = l 加一n ，那么 i i ，( 1 ，l r ) l l l 。c l l l i ，i i p 引理3 1 4 ( 见 2 0 】) 设o 卢1 ，1 p 1 ) 上的有界性。下面我们将 研究该交换子在t r i e b e l l i z o r k i n 空间和l e b e s g u e 空间上的有界性，从而本章我 们有如下的结论 定理3 2 1 设1 r o o ，0 卢 r a i n ( 1 ，m ) ，1 p o o ，6 = ( b l ，6 m ) ，其中l i 邪( 舒) ，1sj m ，则i 鲍i ，是扩( 舻) 到矿，( 舻) 有界的。 定理3 2 2 设l r ，0 p r a i n ( 1 ，e m ) ，1 p m p n 。 定理3 2 1 的证明对于固定的方体q = ( x o ，f ) ，使得孟q 。对1 歹m ， 设( b ) q = i q i 一1 厶b a y ) d y ，岛= ( 吼) q ，( b m ) q ) 。将，分解为，= g + h = 吼) + 其中吼= 五，鬼= i i x ( q ) c 。当m = 11 对见 2 0 1 1 3 1 1 ，下面我们将 证明m 2 的情况。则有 面( 删。厶( 吣m 忡刊 ( y ) d y = i i ( b a z ) 一如( y ) ) r ( 五) ( z ) + ( 一1 ) m r ( i i ( b a x ) 一如( ! ，) ) ) ( z ) j = lj = l m - 1 ， +三(叫一惭)_轨厶(地)_札嘶刊舳胁j= l 仃l 巴? 一。v 。 = ( b a x ) 一( ) 口) e ( ) ( z ) j = l + ( 一1 ) m 只( ( 如一( ) q ) 吼) ( z ) j = l + ( 一1 ) m 只( ( ( 如一( b ) q ) ) ( z ) j = l + ( 一1 ) ”。( 6 ( z ) 一南) 。f d ( b - 南) c r c ) ( z ) ， j = l 口叩 那么根据m i n k o w s k i 不等式，有 赤z 咖) | r 山( 娶( 州) l r l 如 一1 4 硕t 学位论文 - i ，! 一一! ! i ! ! ! ! ! ! ! = = = = m =i = = = ：= = = = = = = = = = = = = = = 竺! 嘉小莉) 1 1 t 一i i i 巧( ) ( z ) 一r ( ( 幻一( b j ) q ) h t ) ( 知) 1 1 ) d x i = l j = l 7 、1 r i i ( 6 l ( z ) 一( 6 ) q ) ( 6 m ( z ) 一( 6 m ) 口) r ( ) ( z ) i l r ) d x + 面毒乞( 喜蓦暑似，一c ，。审弧川7 ) v r 如 + 醑1 上( 争脚_ ( 6 ) q ) ( 6 m - ( 辨) i i ) 纠出 + i q i , 1 + 譬，三_ i i r ( ( 6 l 一( 咄) 一( k ) q ) 鬼) ( z ) 一r ( ( 6 1 一( 6 1 ) q ) ( 6 m 一( 6 讯) q ) i ) ( z o ) 1 1 7 ) d x l r ， 对于，由引理3 1 4 ，有 南酱卦吨) q l 加 c 旧k 即雨毒而i q i 邮加上i 鲫( ，) ( 圳r 如 c l l g l l l , , 。m ( i g 币c f ) l ，) ( 孟) x 寸：f - l x ，选取适当的s 使得1 s p ，f 4 1 h s l d e r ：7 瞅，i 跏i r 的有界性，引 理1 2 2 ，有 一6 q ) 矿i l a , b ( ( b 一6 q ) 矿，) ( z ) i r 如 ) 一协i ，如) 一1 5 一 b q ) ，i s 7 如、) i 如 r 曲 z危 q如 一 岵 m 博 r ，一 厂如上 南南 一酬 一钏 一 一 一 ， 憎 憎 l l 扛 ，12瞅 万 币 一p l 一”l 睾南 一q n 斯鎏 鼓省唔 一 一 l y 动乞 w 八 ， c 一， 口 一” 、， _ 4w 一 一卅 一旧 ，i 、 n 跏 厂一哆 加蔓一 “州触 一 向量f f i l i t t l e w o o d p o f e 可算子的多线性交换了的有界性研究 ( 小圹m 比如) 1 一 c 蓦暑南洲w 郴加 i l 爵c i l l 咖i q i ( m 叫) 卢肛+ ( zi ，( z ) 忙如) v 。 c l l g l l l , 舶尥( i ，i ，) ( 孟) 对于i i i ，由h s l d e r 不等式，得到 赢f l 跏( 里( 州m ( z ) 协 c 南姒耍卧c 蛐堠出) 1 l | 加 c 阿1 蚓加i i 。( b j ( x ) - ( b j ) q ) f ( x ) l ；d x 广 c 南旷珈悯k 一卯加( 加圳；如) 纠。 对于，y ，注意至- u l x o y l i z y l ，当3 ( 2 q ) 。时，由广义m i n k o w s k i 不等 式，有 忱( n ( 6 i 一( 6 t ) q ) 危) ( z ) 一只( n ( 6 j 一( b ) q ) ) ( 知) 1 1 ， 肌q ) i 妒, ( x - - y ) - - 妒, ( x o - - y ) i i i ( y ) i ，一hl a j ( u ) - ( b j ) o l a y ) 2 扩 c k ( 五q 卜石_ i 器i ，c y ，i r j ：。i b j ( y ) - ( b j ) q l d y ) 2 警 v 2 c ( i z o z 1 5 i x o 一秒l 一n + 5 i ，( 3 ，) l ，hi t , j ( y ) 一( t , j ) o l d u ，( 2 q ) 估1 c。izozrixo一耖i一吣ifcy)l，帅)一(bj)qldyj 备2 川口2 q苗。 一1 6 一 = 一 一 一 一 ， 硕士学位论文 剑e 脚2 - k 8 1 2 “1 q r l l 口 ) l r 娶“以们一2 q 1 + i 渤k + 1 - ( 啪q i c 2 一h 1 2 七+ 1 q i m 猡加i i 两i l t 卵m ( i f l ，) ( 童) c l i b i i l , , , , i q i 唰”m ( i f l ，) ( 孟) 2 椰叶冲 c l i 司i l 锄i q i m n m ( i i r ) ( 孑) ， 所以 因此 i v c i | 6 l i l 锄m ( 1 ，i ，) ( 孟) 综合上述估计，并运用引理3 1 3 于所有包含童的方体q ，我们得到 l l g c f ) ( z ) l ，i i 帮细c l l 两l l 椰仆怯 定理证毕。 定理3 2 2 的证明类似于定理3 2 1 的证明，我们可得 砑1 小如) i r 山( 重( m ) i r l 出 c l l 两i l i 阳( m 知，l ( i g , p c f ) l ，) - t - m 知，。( i l l ，) + 朋m 卢一( i i ，) + 朋- m 卢，l ( 1 f l ，) ) ， ( i 磊( 删，) 书c i l 两l l 咖( 阳( i g , p c y ) l ，) + 鼬( i f l ，) + 肌( i i ，) ) r h l 跏l ，的有界性，有 i l l a 2 , c f ) l ，i l l c 纯( 川，) 襻i i l 。 c i l 6 l i l t 舶( i l 朋钿，- ( i 卯( ，) i r ) i l l 。- i - i l i 厶够声( i ，i r ) i l l a + i l a k 卢，, ( i f l ，) i l l 。) c l l l f l ，i l l ， 定理证毕。 一1 7 向萤值l 旌f e 叫d o d p o 把可算子的多线性交换子的胄界性研究 第4 章向量值l i t t l c w o o d p a l e y 算子的多线性 交换子的端点估计 4 1符号及引理 本章将讨论向量值多线性l i t t l e w o o c l p a l e y 交换子的一些端点有界性。首先 介绍一些记号和引理( 见 3 2 , - - 4 5 1 ) 。 对于非负权函数伽，我们定义加权中一c , b m o 空间为c m o ( w ) ： c m o ( w ) = ，l z ( 舻) ：i i f l l c m o ( 叫) 1 ，q 定义4 1 1 设1 p l u p w ( q ( 0 ，r ) ) p i f x o ( 0 i r 舳( ) ) 引理4 1 1 ( 见【1 8 】) 令1 r ，1 p 1 ) ，x 口是方体q 的特征函数，那- , w x q 也属 于a p 。 4 2定理与证明 在前面两章中，我们主要研究- - j l i t t l e w o o d p a l e y 算子的向量值多线性交换 子i 如l r 的p ( 1 p m 3 n 。下面我们将主要研究i 弗i ，的端点 有界性，即i 盔l ，从l ( 叫) n b m o ( w ) 有界的，从b p ) 到c m d ( 伽) 有界的。于是我 们有如下的结论 定理4 2 1设1 ，- 0 0 ，t t j a 1 ，i = ( b l ，6 m ) ，其中6 j b m o ( r n ) ，1 jsm ，则i 纯l ，是从l ( 加) 至i j b m o ( w ) 有界的。 证明只需证明对于任意的方体q ，存在常数使得 南以l i 鲮( 似圳r 一m 力d x c i i i f l r i k 晰 一1 r 一 硕 ：学位论文 固定方体q = q ( x o ，r ) ，我们将，分解成，= g + h = 俄卜卜 ) 其中吼= 五) ( 口，l i = f t x c q ) c 。设( b ) 口= i q i y qb j ( 耖) d y ，1 歹仇，则当m = 1 时，有 f 争( 五) ( z ) = ( b lx ) 一( 6 1 ) q ) r ( ) ( z ) 一r ( ( 巩一( 6 1 ) 口) 研) ( z ) 一f , c c b l 一( b 1 ) q ) h i ) ( x ) ， 于是，根据m i n k o w s k i 不等式，得 顽1 丽以i i 谚( 似硎r i 跏( ( 6 t 一( 6 1 ) q ) ) ( z 。) l r i 叫( z ) 如 罚1 两z 川砰1 ( 烈z ) 1 1 r l i r ( ( 6 ，一( 6 1 ) q ) ) ) l l r i 埘( z ) 如 志z ( 争桃m ( ( 6 1 - ( 6 1 ) 舭以训1 1 r ) v 嘶) 如 志z ( 鄯6 1 ( 圹( 6 1 删圳i r 1 w 如 + 罚1 q ( i 妻1 l