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硕士学位论文小波变换及其在图象边缘检测中的应用 摘要 y 3 0 6 5 6 0 、涮、波变换是近些年来发展起来的新的研究领域。它被公认是f o u r ie r 分 析的最新突破和进展。它不仅仅具有理论深度，同时有着广泛的应用。) 本文在对小波变换的基本理论进行研究的基础上，分析了常用图象边缘 检测方法，着重对小波图象边缘检测进行较为深入的研究。通过大量的计算 机模拟，取得了较好的结果。 、本文依据样条函数的性质及多分辨分析理论，导出二次样条小波相应的 滤波器的频域和时域响应；然后选用二次样条小波对实际图象进行二维小波 变换和边缘点提取，实现小波边缘检测；根据边缘点的性质将它们链接起来， 为实现基于边缘参数的图象表示做了前期i 作；在加噪的情况下，与常用的 一些边缘检测方法进行比较，证明小波边缘检测方法具有一定的去噪作用； 、一一 并对多尺度边缘检测的应用进行了讨论，实现了图象增强，取得较好的效果。) 关键词：小波变换，多分辨分析，多尺度边缘检测 硕士学位论文小波变换及其在图象边缘检测中的府用 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nan e wf i e l di nr e c e n t y e a r s ，i t h a sb e e n a c c e p t e da s av e r yi m p o r t a n tb r e a k t h r o u g ho ff o u r i e ra n a l y s i s n o to n l y d o e si th a v et h e o r yd e p t h ，b u ta l s ow i d e s p r e a d a p p l i c a t i o n w e s t u d yt h ep r i n c i p l ea n dp r o p e r t yo fw a v e l e tt r a n s f o r mi nt h e o r ya n d a n a l y z et h eg e n e r a lm e t h o d so fi m a g ee d g ed e t e c t i o n e s p e c i a l l y ，m u l t i s c a l e e d g ed e t e c t i o ni sr e s e a r c h e di nd e t a i l t h es a t i s l y i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e db y m e a n so fal a r g e q u a n t i t y o f a n a l o g i e sb yc o m p u t e r f i r s t ，t h ee x p r e s s e si nt i m ea n df r e q u e n c yd o m a i no f f i n i t ei m p u l s eo ft h e f i l t e r sw h i c hc o r r e s p o n d i n gt ot h eq u a d r a t i cs p l i n ew a v e l e ta r ed e d u c e db y t h ep r o p e r t yo fs p l i n ef u n c t i o na n dt h et h e o r yo fm u l t i s c a l ea n a l y s i si nt h i s p a p e r s e c o n d ，w ea c h i e v 6w a v e l e te d g ed e t e c t i o nt or e a lt a n ki m a g et h r o u g h 2 dw a v e l e tt r a n s f o r m ，e d g ee x t r a c t i o na n dl i n k i n g t h i r d ，f o rn o i s ei m a g e t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tw a v e l e te d g ed e t e c t i o ni sm o r ee f f e c t i v e t h a no t h e rm e t h o d s a tl a s t , w ei m p l e m e n ta ni m a g ee n h a n c ea l g o r i t h ma sa n a p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ， m u l f i s e a l ee d g ed e t e c t i o n l l - 硕士学位论文小波变换及j 在图象边缘检测中的应用 本文中的数学符号注释 1 符号m 表示卷积，即厂( r ) + g ( f ) = r 。厂( f ) g ( f f 矽f ； 2 符号 表示内积，即 一r 。厂( f ) 虱；汹； 3 符号0 r l l ：表示范数，r p l i i i i ：= 1 7 2 ： 4 符号r ( 尺) 表示所有平方可积函数，的h i l b e r t 空间，函数f 满足 妇m ) 2 出 o , be r( 2 1 3 ) 其中a 是尺度参数，b 是定位参数。经过伸缩和平移，小波波形保持自相似 特性。在图2 1 1 中，可以看到尺度参数a 对小波及其f o u r i e r 变换的影响。 p ( f ) 5 太彳 烁、n娅，乃心 1 ：a - 1 下面给出连续小波变换的定义： 定义2 , 2 具有有限能量的函数，( r ) p ( r ) 的连续小波变换( c w t ) 定义为 硕士学位论文2 小波变换 上式也可以写为 ( a ，6 ) = ( 厂) ( 。，6 ) = e 厂( f ) 瓦i 勋 ：口一片r 。邝) y ( t - b ) d t( 2 14 ) + 。 a ( 似d ，b ) = ( 2 1 5 ) 利用p a r s e v a l 公式和f o u r i e r 燹抉的布h 似性，我们口j 以得剑连续小波受妖的 另一种表示形式 町( d ，6 ) = = i 1 = 延2 ne 衲丽“出 ( 2 16 ) 如果设虬= 蚓“7 2 y ( 一f 口) ，根据卷积的定义，式( 2 1 4 ) 还可记为 町( “，b ) = 厂( f ) + ( f )( 2 1 7 ) 在任何情况下，函数应能够由( 睨，) ( 口，6 ) 的值重建。用( h 0 ) ( “，b ) 表 示每个厂l 2 ( r ) f 筝j 4 y z n - 个公式都称为是一个“反演公式”，而且公式中使 用的函数痧称为基小波y 的一个“对偶”。在实践中，只要反演公式存在， 函数v 就可作为一个基小波。 对于口，b r ，( r ) ，y ( f ) r ( r ) ，( ) 的连续小波逆变换为： 厂( d 2 击e e ( n 沏呒以) 等 ( 2 1 8 ) 即 ，( f ) 2 专e e 。彤甜( f ) 警 硕士学位论文2 小波变换 其中妒是的对偶。反演公式的证明见参考文献【4 。 连续小波变换的基本性质： 1 小波变换是线性变换。一个函数的连续小波变换等价于该函数各分量的 连续小波变换： 2 连续小波变换在任何平移和伸缩之下是共变或协变( c o v a r i a n t ) 拘： 若厂( r ) h ( d ，6 ) ，则有厂( f b o ) ( “，b b o ) ； 若，( f ) h ( d ，6 ) ，则有厂( f ) w y ( a o a , a o b ) ； 、，“o 3 连续小波变换的微分运算 ( 乞笋h - 1 ) ”肌) 箸 丽坤 ( 2 1 9 ) 4 连续小波变换具有局域f 则性 若函数或信号厂( f ) 在t 。处m 阶连续可微，即厂( ，) c ”( f 0 ) ，则有 ( 口，6 ) a n , + i a 托( 21 1 0 ) 说明小波变换的局部性质与函数或信号的局部性质有关，小波变换能够 度量函数的局部正则性。 5 小波变换满足能量守恒方程 妇，( f ) 1 2 d t = c ，。l ：i ( 训2 警( 2 1 1 1 ) 6 连续小波变换是冗余的。由于a ，b 是连续变化的，一个分析窗与另一个 分析窗大部分内容是重叠的，有很强的相关性。 2 2 小波变换的时间频率分析 由上一节的定义，我们知道函数y ( x ) 和矿( z ) 必须具有足够快的衰减 塑! 兰垡堡兰j l j 兰! 竺堡 这样它们就呵作为“窗函数”。窗函数有如下定义的中心和宽度。 定义2 3非平凡函数，7 e 2 ( r ) 称为窗函数，如果x 玎( x ) 也是属于 ：( 尺) 的。一个窗函数叩的中心f 与半径。分别定义为 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 而窗函数矸的宽度由2 。确定。 假定任一基小波矿及其f o m 西变换部是窗函数，它们的中心与半径分 别用f ，甜+ ，。，口给出的。那么，在时域中连续小波变换把信号限制在“时 间窗”的范围内，即 【6 + a t + 一d 。，b + a t + + 口v ( 2 2 3 ) 其中窗的中心在b + a t ，而窗的宽度由2 a a 。给出。在信号分析中，这称为 “时间局部化”。其次，如果我们设 卵( ) = 矿( + c o + ) ( 2 2 4 ) 那么还是一个具有中心在零且半径由口给出的窗函数，并且根据p a r s e v a l 恒等式，连续小波变换成为 ( 啪) = 百a l a - 7e 如) e j 一等) 蜘 ( 2 图此，除了倍数和用时间窗的位移量决定的一个线性相位位移e “之外，同 样的量矽，( ，6 ) ，还给出了具有一个“频率窗” 出 出 mi 叩 功 爿 h 0 x 。 卜 r 口( ：2 二 蚓 ： i 】 ，一硼 。， j i 加 坝i 学位论文2 小波变换 尘上口，尘+ 土；( 2 2 6 ) aa口a 的信号的频谱的局部信息，这个窗的中一f l , 在c o + 屈而宽用2 a 。知给出，这称 为“频率局部化”。 若国+ 屈是所研究的频带 生一土i ，生+ ! 口 的中一心频率，于是中心频 a口aa 率与频带宽之比为 鸯2 惫 z 刀 2 口2 口 它与中心频率的位置无关，这称为一叵品质因数”频率分析。 当运用窗条件如上描述的基小波进行连续小波变换时，对于连续小波变 换的时间一频率分析存在一个“时间一频率窗” b + a t * - a a ，, b 勘+ 埘小牟一i 1 等+ ：i 叫 ( 2 2 8 ) 时间一频率窗公式( 2 2 8 ) 的重要性在于，对于大的中心频率+ 屈，窗变窄； n u + a 1 ( i ) a 2 图2 2 1 时间一频率窗，o 1 s 1 3 2 对于小的中心频率后，窗变宽，见图2 2 1 。 硕- 扛学位论文2 小波变换 因此，连续小波变换具有一种所谓的“显微镜”的功能，对于高频信息， 相对小的时间问隔可以给出较高的分析精度，对于低频信息，相对宽的时间 i 日j n 可以给出完整的信息。小波变换的这种重要性质使得我们可以在任何希 望的频率范围上产生频谱信息。这正足在时间一频率分析中所希望的。 2 3 二进小波变换，小波级数及离散小波变换 在实际应用中，我们需要对连续小波变换中的尺度参数a 和平移参数b 进 行离散化处理。进行离散处理时，不同的离散方法就形成不同的基小波。列 尺度参数a 进行二进离散得n - - 进小波，进行k 进离散便得到k 进小波。我 们这里主要讨论二进小波。关于k 进小波参见文献【9 。 当我们只对尺度参数a 进行二进离散，即取a = 2 _ 。，- ，z ，而定位参数 可在整个时轴上变化，这样得到的小波及相应的小波变换称为。：进小波和一j 进小波变换。二进小波变换实质上是连续小波变换的离散算法。二：进小波有 如下定义： 7 定义2 4对于一个函数l z ( r ) ，如果存在两个正常数a 与b ，上 有0 a b o ，那么它的f o u r i e r 变化满足 6 。爿艺眵( 2 ) f 2 6 。口( 2 3 11 ) 由定理2 2 知，如果y l 2 ( r ) 生成l 2 ( r ) 的一个框架，j g z , 它定是一个二 进小波。由于我们对这样的二进小波的对偶难以求得，相应的二进小波变换 的反演公式也是不实用的。n k ，我4 1 ： i j i ar i e s z 基的概念来加强对的要 求。 定义2 6一个函数妒2 ( 月) 如果下述两个性质满足 1 线性张成 ( 2 3 1 2 ) 在三2 ( r ) 中是稠密的； 2 存在正常数a 与b ，而有0 a b 0 ，那么下述两个叙述是等价的。 1 y “，。) 是上2 ( 只) 的一个r i e s z 基； 2 ( 妒“。 是l 2 ( r ) 的一个框架，并且还是一个f 2 线性无关族，( 王i 9 4 - 意义上讲，如果c m y 均女= 0 c j , k ) f2 ，那么c 小= 0 。而且r i e s z 界和框架界是相同的。 通常我们只考虑抽样速率2 l 的情况，小波y 卅记为 5 j , k ( f ) = 拟( f ) = 2 。2 ( 2 。t 一女) ( 2 3 1 4 ) 如果p 生成具有抽样速率b 。= 1 的一个r i e s z 基，那么y 称为是一个r 函数。 r 函数有两个重要的子类，即“正交4 、波”和“半正交小波”，它们的对偶 十分容易得到的。下面给出正交小波、半正交小波及其对偶的定义。 定义2 7 若l 2 ( 且) 是一个如公式( 2 3 9 ) 中生成的r 函数，那么 1 y 称为是个正交小波，如果 。) 满足正交性条件： - - ，以，。 ，k ，m z( 2 3 1 5 ) 2 y 称为是一个半正交小波，如果 妒肚) 满足条件 i 止呒 _ r 硕士学位论文2 小波变换 对于一个有限能量的数字信号 d 。k 。，不妨假定它由采样而得，适当选 用时间单位，在数学上我们总可以认为采样密度为1 。我们可以以下面的方 式对( 以) 。进行数模转换。 引入实函数痧，其f o u r i e r 变换满足 脚| 2 = 芝卿脾 ( 2 3 2 2 ) 如果存在两个常数q ，c ：，使得乒( 珊) 满足 v r ，c 1 艺胁+ 2 n 万) f 2 c ： ( 2 3 2 3 ) 则可以证明1 存在一个函数厂( x ) r ( 月) 使得 v n z ，d 。= f t 妒( x ) ( 2 32 4 ) i g s ：，( x ) = ，+ 啦，( 石) ，其中立，( x ) = 可1 驴( 可x ) 。若尺度增大，函数厂( x ) 的 细节被算子最，去掉。当尺度2 。大于1 时，由式( 2 3 2 2 ) 得 胁) h 弦国) l 2 ， 7 1 ( 2 7 ) 叠( 2 。国) ( 2 3 2 5 ) y = l 我们可以从上式得出这样一个结论，即s f 所包含且在s s f 消失的高频信息 可由尺度2 和2 。之间的二进小波变换 ，) 埘；，重建。因此，对任一粗尺 度27 ，离散序列 s r u ，( 咄，) 吲。) 称为离散信号的离散二进小波变换。 硕 j 学位论文 2 小波熊换 2 4 多分期吩析 我们知道，能够得到空间r 中的正交基将是十分重要的，因为有了这一 空间的基底，我们便可以把空r 司r 中的函数与f2 中的数列等同起来把空 间三2 上的算子与，2 中的矩阵等同起来，从而将分析问题转化为代数问题来 解决。在f o u r ie r 分析中基函数是e “，理论上基函数的支撑区无论在时间 域还是在频率域都是无限的。而小波分析能够为空间r 提供有良好局部性 质且结构极其简单的正交基。利用小波正交基可以实现信号或函数的正交分 解。这种分解在调和分析和信号分析中具有广泛的应用。 自m e y e r 于1 9 8 5 年构造出第一个非h a a r 基的小波正交基以后，人们 直致力于运用各种技巧构造一些特殊的小波基。m e y e r 和m a ll a t 在前人大 量工作的基础上提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s is ，m r a ) 的 概念，将小波正交基的构造纳入一个统一的框架之中。多尺度分析概念的提 出，是小波理论的一大突破。它揭示了函数结构的自相似性，以及小波分析 与分行几何的内在联系。 形式上多分辨分析( m r a ) 由l 2 ( r ) 的一系列子空间 ) 。：组成，其中 r ( r ) 表示平方可积函数的h i l b e r t 空间，r 和z 分别表示实数集和整数集。 这些子空间刻画了函数在不同尺度或分辨率下的特点。多分辨分析要求子空 间具有下列性质： 1 矿，c 一+ ez ，即相应于某分辨率的空间包含了关于该空间低于 此分辨率的所有信息； j 8 堡兰堂垡堕茎 一一三尘鲨! ! 墨 2 0 _ ：上z ( r ) ，且 _ = o ，即由所有子空间可以组成r ( r ) 函 数空间； 3 一一。= 一c w , ，we z ，即形是_ 在_ 一。中的正交 窄间，是一，中 所有与旷正交的函数集合； 4 ，( f ) 一曹f ( 2 t ) 一十w z ， 5 厂( r ) j f ( t - k 2 。) _ ，v k z ，即空间相对于函数的平移是 不变的。 对于性质4 有如下的定义： 定义2 8一个函数l 2 ( r ) 被认为生成一个多分辨分析( m r a ) ，如 果它生成满足m r a 的性质1 ，2 和4 的闭子空间矿，的一个嵌套序列，使 妒。) 形成的一组r i e s z 基。这里，若 呲) 是的一个r i e s z 基，必须 存在两个常数a 和b ，且0 a b 0 0 ，使得 锥叫陲i 馨叫卜啦刊b a - ， 对于所有双无限平方可和序列 q ，即 航：妻蚶 t ，则点( f ) 为阶跃边缘点。 2 r o b e , s 算子 r o b e a s 算子采用的是每一象素( f ，_ ，) 在对角方向上相邻象素的灰度值之 差，即 r ( i ，) = m a ) ( ( n 卜巾 ( 3 2 4 ) 其中 ：。f 厂= ：f ，( ( i f + + l l , ，j + 一1 1 ) ) - 一f 厂( ( i f - 一1 1 , ， - + 1 1 j ( 3 2 5 ) 。厂= ，( f + l ，一1 ) 一厂( f 一1 ，+ 1 ) 。7 3 l a