（应用数学专业论文）区间数、三角模糊数及其判断矩阵排序理论研究.pdf

区间数、三角模糊数及其判断矩阵排序理论研究 摘要 层次分析法( a h p ) 是由美国运筹学家，匹兹堡大学t l s a a t y 教授 于2 0 世纪7 0 年代中期提出的，是将定性与定量分析相结合，将人的主观 判断用数量形式表述和处理的一种科学实用的多准则决策方法，在社会经 济生活等领域有着广泛的应用。在决策过程中由于现实决策问题的复杂性、 模糊性，同时受知识结构、信息掌握情况的影响，人们做出的判断有时候 是模糊的、不确定的。1 9 6 5 年，美国计算机与控制论专家l a z a d e h 教授 提出了f u z z y 集概念，创造了解决模糊性或不确定性问题的理论方法，在 应用科学、决策科学、管理科学与社会科学等领域有着广泛的应用，迄今 已成为一个较为完善的数学分支。将模糊集理论应用到层次分析法中形成 模糊层次分析法，是现代决策问题的一个重要研究方向。模糊层次分析法 的决策理论和方法，是现代决策领域中一个更符合实际情况更为有效的决 策分支。常见的模糊层次分析法的决策理论和方法，主要是以区间数和三 角模糊数为元素的判断矩阵权重向量的排序问题。 本文对区间数、三角模糊数及其判断矩阵的有关理论和排序问题进行 了分析和研究，主要研究内容和成果如下： 对区间数，三角模糊数及其判断矩阵排序方法在国内外研究现状进行 总结分析，找出存在的主要问题，并提出了本文研究的主要内容。 在可能度理论基础上，提出了区间数排序的一种新方法。在区间数互 补判断矩阵一致性的基础上，提出了区间数互补判断矩阵排序的两种新方 法。与已有方法进行、了比较，通过本文讨论和算例分析得出新方法的优越 性。讨论了区间数多属性群决策排序理论，提出了一种新的排序方法。 基于可能度理论，提出了三角模糊数排序的一种新方法；基于理想点 的思想，提出了三角模糊数排序的两种新方法；基于毋- 截集理论，提出了 三角模糊数排序的两种新方法；基于三角模糊数隶属函数的思想，提出了 三角模糊数排序的一种新方法；基于距离公式，提出了三角模糊数排序的 两种新方法。以上各方法都进行了讨论或算例分析，从而得出新方法的优 点。 对三角模糊数互反、互补判断矩阵以及多属性群决策矩阵的排序理论 和方法进行了讨论，分别提出了一种新的排序方法，与已有排序方法进行 了比较和算例分析，得出新方法的优点。 最后，对全文的工作进行了总结，并对今后区间数、三角模糊数及其 判断矩阵问题的研究提出了一些新的想法。 关键词：多属性决策模糊层次分析法区间数三角模糊数判断矩阵 排序方法可能度群决策 r e s e a r c ht h ep r i o r i t yt h e o r yo fi n t e r v a l n u m b e r s ，t r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r s a n dt h e i rj u d g m e n tm a t r i c e s a b s t r a c t t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( a h p ) w a si n t r o d u c e di nm i d d l e19 7 0 sb y a m e r i c a np r o f e s s o rt l s a a t y ，w h om a d er e s e a r c h e so no p e r a t i o n sa n a l y s i si n p i t t s b u r g hu n i v e r s i t y i ti s av e r yp r a c t i c a lm u l t i - c r i t e r i o nd e c i s i o nm a k i n g m e t h o dw h i c hc o m b i n e st h eq u a l i t ya n dt h eq u a n t i t ya n di sw i d e l ya p p l i e di n s o c i e t y ，e c o n o m i c sa n dl i v e se t c d u r i n gt h ed e c i s i o nm a k i n g ，t h ee x p e r t s u s u a l l yg i v ef u z z ya n du n c e r t a i nj u d g m e n ts i n c et h ec o m p l e x i t y ，v a g u e n e s so f t h er e a ld e c i s i o np r o b l e m sa n dt h ei n f l u e n c eo fp e o p l e sk n o w l e d g es t r u c t u r e a n di n f o r m a t i o nm a s t e rs i t u a t i o n i n19 6 5 ，l a z a d e hp r o f e s s o rp r o p o s e dt h e f u z z ys e tn o t i o n ，c r e a t e dt h er e s e a r c ht h e o r ym e t h o d so ff u z z yo ru n c e r t a i n t y p r o b l e m s ，w h i c h h a sb e e nw i d e l yu s e di n a p p l i c a t i o n ，d e c i s i o nm a k i n g ， m a n a g e m e n ts c i e n c ea n dh a sb e c o m ea m a t u r e db r a n c ho fm a t h e m a t i c s i ti sa n i m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o no fm o d e ld e c i s i o np r o b l e m st h a tf u z z ys e tt h e o r yi s a p p l i e di nt h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ，w h i c hc o m p o s e dt h ef u z z ya n a l y t i c h i e r a r c h yp r o c e s s t h et h e o r ya n dm e t h o do ft h ef u z z ya n a l y t i ch i e r a r c h y p r o c e s sd e c i s i o ni sa ni m p o r t a n td e c i s i o nb r a n c hi nm o d e ld e c i s i o na r e a , w h i c h i sm o r er e a l i t ya n de f f e c t i v e n e s s t h eu s u a lt h e o r ya n dm e t h o do ff u z z ya n a l y t i c h i e r a r c h yp r o c e s sd e c i s i o nm a i na b o u tt h ew e i g h t e dv e c t o rp r i o r i t yp r o b l e m so f j u d g m e n tm a t r i x ，w h i c he l e m e n t sa r e i n t e r v a ln u m b e r sa n dt r i a n g u l a rf u z z y n u m b e r s i nt h i sp a p e r ，t h et h e o r ya n dt h ep r i o r i t ym e t h o do fi n t e r v a ln u m b e r s ， t r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r sa n dt h e i rj u d g m e n tm a t r i c e sa r ea n a l y z e da n ds t u d i e d t h em a i nr e s e a r c hw o r k sa r ea sf o l l o w s ： t h eh o m ea n da b r o a dr e c e n tr e s e a r c h e sa n de x i s t e n c ep r o b l e m so fi n t e r v a l n u m b e r s ，t r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r sa n dt h e i rj u d g m e n tm a t r i c e sa r er o u g h l y s t a t e da n da n a l y z e d ，a n dt h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t sa r ei n v o l v e d o nt h et h e o r yo fp o s s i b i l i t yd e g r e e ，an e wp r i o r i t ym e t h o do fi n t e r v a l i i i n u m b e r si sp r o p o s e d ；o nt h eb a s i so ft h ec o n s i s t e n c yo fi n t e r v a ln u m b e r s c o m p l e m e m a r yj u d g m e n tm 矧) 【，t w o n e w p r i o r i t y m e t h o d so fi t s c o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xa r ep r o p o s e d ；w h i c ha r ec o m p a r e dw i t ht h e e x i s t e n c em e t h o d s ，t h ea d v a n t a g eo ft h en e wm e t h o d si sg i v e nb yd i s c u s s i o na n d a n a l y s i so fe x a m p l e s o nt h et h e o r yo fp o s s i b i l i t yd e g r e e ，an e wp r i o r i t ym e t h o do ft r i a n g u l a r f u z z yn u m b e r si sp r o p o s e d ；o nt h et h o u g h to fi d e a lp o i n t ；t w on e wp r i o r i t y m e t h o d so ft r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r sa r ep r o p o s e d ；o nt h et h e o r yo f 口一c u ts e t ， t w on e wp r i o r i t ym e t h o d so ft r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r sa r ep r o p o s e d ；o nt h e b a s i so fd i s t a n c ef o r m u l a , t w on e wp r i o r i t ym e t h o d so f t r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r s a r ep r o p o s e d a l lt h ea b o v em e t h o d sa r ed i s c u s s e do rg i v e ne x a m p l e s t h ep r i o r i t yt h e o r ya n dm e t h o do ft r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r so fr e c i p r o c a l ， c o m p l e m e m a r yj u d g m e n tm a t r i xa n dm u l t i p l ea t t r i b u t eg r o u pd e c i s i o nm a k i n g a r ed i s c u s s e d ，an e wp r i o r i t ym e t h o di sg i v e nr e s p e c t i v e l yw h i c hi s c o m p a r e d w i t ht h ee x i s t e n c em e t h o d s ，t h ea d v a n t a g eo ft h en e wm e t h o d si sg i v e nb y c o m p a r i s o na n da n a l y s i so fe x a m p l e s i nt h ee n d ，t h er e s e a r c hw o r k sa r es u m m a r i z e d ，a n ds o m en e wi d e a sa b o u t t h er e s e a r c ho ni n t e r v a l n u m b e r s ，t r i a n g u l a rf u z z y n u m b e r sa n dt h e i r c o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i c e sa r ep r o p o s e d k e y w o r d s ：m u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g ；f u z z ya n a l y t i ch i e r a r c h y p r o c e s s ；i n t e r v a ln u m b e r s ；t r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r s ；j u d g m e n tm a t r i x ；p r i o r i t y m e t h o d ；p o s s i b i l i t yd e g r e e ；g r o u pd e c i s i o n i v 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名：盈门求加移6 月7 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务： 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 动即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名圣驭隶导师签名：曾亏兰? 踔厂月f7 日 区间数、三角模糊致及其判断矩阵排序理论研究 1 1 研究背景与问题提出 第一章绪论 1 1 1 研究背景 决策是进行选择的行动或行动的结果。决策问题按所掌握的信息的完备程度可分 为：确定性决策、风险型决策、严格不确定型决策、模糊决策等。美国著名管理学家s i m o n 将决策步骤分为：情报、设计、抉择、实施。层次分析法( a h p ) 是将定性与定量分析 相结合，将人的主观判断用数量形式表述和处理的一种科学实用的多准则决策方法。在 决策过程中由于现实决策问题的复杂性、模糊性，同时受知识结构、信息掌握情况的影 响，人们做出的判断有时候是模糊的、不确定的。 模糊层次分析法决策理论主要是：传统的层次分析法( t h ea n a l y t i ch i e r a r c h y p r o c e s s ，以下简称a h p ) 和模糊集理论相结合以及模糊多目标决策理论形成的一种重要 的决策方法。作为一种将人的经验、知识和判断分析与客观实际分析以及数学建模定量 分析相结合的决策方法，已在社会、政治、经济、军事、管理等各个领域的决策实践中 获得了极大的成功。越来越多的国内外学者投入了其理论和应用性研究，使得它在理论 和实际应用中存在的问题得到了改进。 模糊决策是对传统决策方法的推广和延伸，是比传统的决策方法更实用更有效的决 策方法。模糊多目标决策理论，根据备选方案的数量是否有限，可分为两类：一类是模 糊多属性决策( f u z z ym u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g 简称f m a d m ) ，又称为有限方案模 糊多目标决策( f u z z ym u l t i - o b j e c t i v e d e c i s i o n m a k i n gw i t h f i n i t ea l t e r n a t i v e 简称 f m a d m f a ) ；另一类是模糊多目标决策( f u z z ym u l t i o b j e c t i v ed e c i s i o nm a k i n g 简称 f m o d m ) ，又称为无限模糊多目标决策( f u z z ym u l t i o b j e c t i v ed e c i s i o nm a k i n gw i t hi n f i n i t e a l t e r n a t i v e 简称f m o d m i a ) 。模糊a h p 包含于模糊多属性决策，其基本思想是将传统a h p 理论推广到模糊决策理论中，即将传统的用精确数来表示备选方案间的重要性，用模糊 数来代替。从而得到模糊决策矩阵，利用得到的模糊决策矩阵来求得被选方案的权重或 模糊权重，进而进行排序。所得到的模糊决策矩阵根据其元素的构成分为：模糊互反决 策矩阵和模糊互补决策矩阵；本文主要讨论了模糊多属性决策。 模糊a h p 既然是对传统的a h p 的推广，所以其决策步骤与传统的a h p 大致相同，具体 可分为以下几步： 分析决策系统中各因素之间的支配关系，按目标层、准则层、方案层建立系统 的递阶层次结构： 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造 广西大掌硕士掌位论文 区间致、三角模糊数及其判断矩阵捧序理论研究 两两比较的模糊判断矩阵； 对模糊判断矩阵进行一致性检验； 由模糊判断矩阵计算出被比较元素对于该准则的相对权重； 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。 模糊多属性决策问题( f m a d m p ) 的决策步骤大致可分为以下几步： 给出各各选方案在每个属性下的重要性，构造模糊多属性决策矩阵； 数据预处理，又称为属性值的规范化，其作用为：第一将各属性类型的属性值 转化成同一种变化趋势，比如属性值越大越好，第二统一量纲，第三是归一化，即把表 中模糊数变换到 o ，1 区间； 对备选方案进行筛选，传统的方法有：优选法、满意值法、逻辑和法等。 1 1 2 问题提出 模糊层次分析法自诞生以来，已广泛应用于社会生活的各个领域，取得了巨大成就。 其突出优点是，能较好的描述与仿效人的思维方式，客观反映事物的实际情况。近几年 来，其理论和方法研究取得了巨大成就，极大的推进了模糊层次分析法的发展。但关于 模糊层次分析法的研究还远未达到成熟的地步，其理论与方法的研究需进一步完善。本 文主要就区间数、三角模糊数及其判断矩阵的排序方法与排序理论进行了探讨，提出了 一些新的观点与方法。 1 2 区间数及其判断矩阵排序方法的研究现状 1 2 1 区间数排序方法的研究现状及存在的问题 区间数作为一种特殊的模糊数，较早应用于模糊决策问题中。到目前为止，提出了 很多关于区间数以及区间数判断矩阵的排序方法。 关于区间数的排序方法主要是基于可能度的思想，其研究主要沿着两个方向进行： 数轴法n 卅和概率法口卅。其中，数轴法主要是根据区间数的端点间的位置关系进行讨论； 概率法主要是根据决策方案的综合评价值是客观存在的定值，且在某个有把握的区间上 随机抽取，并假设服从某种概率分布进行研究。 在区间数基于可能度排序方法的研究方面，目前主要的成果有：日本学者n a k a h a r a 等( 1 9 9 8 ) 最早提出区间数比较的可能度定义，之后中国学者达庆利、刘新旺( 1 9 9 9 ) 坦。和徐泽水、达庆利( 2 0 0 3 ) 口1 分别提出了新的区间数比较的可能度定义。研究表明上 述专家所给出的关于区间数比较的可能度公式是等价的。其研究思想是相同的，它们都 属于区间数可能度比较的数轴法。 基于概率法思想的研究专家学者主要有：张全、樊治平、潘德惠( 1 9 9 9 ) “1 基于决 2 区问教、三角模糊教及其判断嚷巨阵搏序理论研究 策方案的综合评价值在所得到的区间数上服从均匀分布和正态分布提出了两种方法，由 于张全等人基于均匀分布提出的可能度公式不适合有一个区间数是实数的情形，李志林 ( 2 0 0 3 ) 哺3 提出了一种改进的方法。于丽英、李洪成，于英川( 2 0 0 2 ) 1 基于决策方案 的综合评价值在所得到的区间数上服从均匀分布给出了一种新的排序公式，李志林 ( 2 0 0 6 ) 璐3 基于决策方案的综合评价值在所得到的区间数上服从均匀分布给出了一种新 的排序公式。 现有的关于数轴法的研究存在的主要问题是，所得到的区间数间的重要程度比较粗 糙，计算公式较烦琐。目前已有的关于区间数排序的概率法普遍存在计算烦琐的问题。 总体来说，关于区间数排序方法的研究还不是十分完善，需进一步研究。 1 2 2 区间数判断矩阵排序方法的研究现状及存在的问题 根据所选区间标度的不同，人们在实践中往往会构造出三类区间数判断矩阵：一类 是互反型区间数判断矩阵( 考虑元素的重要性程度之比) ，一类是互补型区间数判断矩 阵( 考虑元素的重要性程度之差) ，一类是多属性区间数判断矩阵。前两类判断矩阵形 成两类区间数决策方法，互反型决策方法和互补型决策方法，最后一类判断矩阵形成区 间数多属性决策方法。需要指出的是，由于互反判断矩阵和互补判断矩阵之间可以相互 转化n 1 。，本文只研究区间数互补判断矩阵及其综合判断矩阵的排序方法。目前关于区间 数互补判断矩阵的排序方法主要有：周礼刚( 2 0 0 5 ) 等瞄劓，周宏安( 2 0 0 6 ) 等口酊，巩在 武( 2 0 0 6 ) 等m 3 ，徐泽水( 2 0 0 1 ) 眵7 1 ；关于区间数综合判断矩阵的排序方法主要有：于 丽英( 2 0 0 2 ) 等汹3 ，马丽萍( 1 9 9 9 ) 3 ，王仁超( 2 0 0 1 ) 等m 1 ，李炳军( 2 0 0 4 ) 等h ， 梁梁( 2 0 0 5 ) 等m 】，刘万里( 2 0 0 5 ) 等h 3 1 ，瞿晓燕( 2 0 0 5 ) 等m 】。区间数判断矩阵的一 致性是排序方法的基础，目前关于区间数判断矩阵一致性的定义还不完善。近年来关于 区间数互反判断矩阵和区间数互补判断矩阵的排序方法得到了很大发展，已基本成熟。 区间数多属性判断矩阵和区间数群决策也得到了很大发展提出了众多方法，尤其是区间 数群决策，但是关于这两种判断矩阵的研究还不是十分完善，需进一步研究。需要指出 的是关于上述各种区间数判断矩阵的一致性研究也是一个重要课题。 在各种判断矩阵排序方法的研究方面，关于区间数互补判断矩阵的研究现状，目前 国内外主要研究成果有： 徐泽水( 2 0 0 3 ) 阳3 提出了基于可能度和误差分析的排序方法，此方法首先利用区间 数互补判断矩阵构造均值模糊互补判断矩阵和偏差矩阵，然后基于模糊互补判断矩阵的 排序公式、误差传递公式和可能度公式，求解出其排序向量。 y ez h o u ，e j w e i ( 2 0 0 6 ) n 町提出了一种新的区间数互补判断矩阵的排序方法。文 章通过将区间数互补判断矩阵转换为一致性模糊互补判断矩阵，利用模糊互补判断矩阵 的权重向量，作为区间数互补判断矩阵区间权重的中点向量，然后利用误差理论得到排 序向量。 徐泽水( 2 0 0 1 ) 1 提出了区间数互补判断矩阵的和法，然后利用区间数比较的可能 广西大掌硕士掌位论文 区间数，三角模糊数及其判断矩阵捭序理论研究 度公式对权重区间进行排序。此排序方法简单、实用，但是此理论基础尚不明确。 以上文献中，在求解排序向量时，都没有考虑矩阵的一致性如何? 其结果的合理性 值得商榷。 周宏安，刘三阳( 2 0 0 6 ) n 羽，通过建立一个目标规划模型，求解该模型得到区间数 互补判断矩阵的权重区间，然后通过已有的可能度公式建立可能度矩阵，最后利用模糊 互补判断矩阵的权重公式得到方案的排序。 朱建军( 2 0 0 5 ) n 3 3 在其博士论文中，通过随机生成模糊互补判断矩阵的方法来求解 区间数互补判断矩阵的权重，然后用可能度公式对区间数进行排序。 关于区间数多属性判断矩阵的研究现状，需要指出的是关于区间数多属性判断矩阵 的研究方法众多，只给出其中的几种排序方法： 周光明，刘树人( 2 0 0 6 ) n 耵提出关于不确定性决策中区间数的一种期望一方差排序 方法，并证明这种方法与带可能度排序法的一致性。 刘华文，姚炳学( 2 0 0 4 ) n 酗提出相对隶属度法，其思想为：首先，构造优等与劣等 方案，借助每一方案与优、劣等方案的综合加权距离求得每个方案相于优等方案的隶属 度，再按隶属度的大小进行决策。 张吉军( 2 0 0 5 ) n 6 1 提出通过引进区间数向量范数，对区间数多指标决策问题的决策 矩阵进行规范化处理，再利用区间数乘法运算，将区间数多指标决策问题转化成指标取 值为区间数的多指标决策问题，在此基础上给出了区间数多指标决策问题的灰色关联分 析法。 王中兴，鲁成国，何燕华( 2 0 0 5 ) n 7 3 提出了两种区间数的定量化分析方法。方法一 把区间数看作是一个随机区间，把属性值看作是一个随机变量，并假设它在区间上服从 正态分布，方法二则验证了方法一的合理性。在充分考虑到决策者对待风险态度的前 提下，对每个区间数都赋予一个评价值。最后通过求解一个线性规划模型，给出了各 个方案的综合评价值，从而选出最优方案。 于春海，樊治平( 2 0 0 4 ) n 8 1 针对一类具有不确定性区间数多指标信息的聚类分析问 题，依据传统的基于数值信息的f c m 聚类算法的思路，提出了一种新的聚类分析算法。 在区间数群决策问题研究方面，排序方法众多，大体分为三类：非劣解集交集法， 理想点满意点法，加权法。其中，加权法又可分为主观加权法和主客观加权法。国内外 的主要研究成果有： 王仁超，王启文，林润辉等( 2 0 0 1 ) n 耵提出了可期望水平和可期望保留水平的概念， 并给出了一种估计各个群成员的可期望水平和可期望保留水平的方法，在此基础上提出 了一种基于期望满意的群决策方法。 樊治平，尤天慧，张尧( 2 0 0 5 ) 堙们提出了一种针对属性权重信息不完全且属性值以 区间数形式给出的多属性决策问题，提出了一种逼近于理想点( t o p s i s ) 的决策分析方法。 其核心是通过构建并求解二次规划模型，得到每个方案与正理想点、负理想点的差异值， 进而计算出每个方案与理想点的相对接近度，即可得到所有方案的排序结果。 4 广西大掌硕士掌位幸龟j 之区问数、三角模糊教及其判断矩阵爿e 序理论研究 宋光兴，邹平( 2 0 0 1 ) 乜”通过将决策者的权重分为主观权重和客观权重两部分，并 给出确定多属性群决策中决策者客观权重的几种方法，最后将决策者的主观权重和客观 权重组合为决策者的最终权重。 梁梁，熊立，王国华( 2 0 0 5 ) 池1 给出一种确定群决策中各专家客观权重的方法。将 专家客观权重分为个体可信度权值和群体可信度权值；通过提取专家判断矩阵信息，确 定专家在具体判断中自身的相对个体可信度权值，通过比较群决策中各专家信息的相似 程度，确定各专家的相对群组可信度权值。 目前绝大多数加权法都是通过各种手段直接给专家赋一个权重，由于各专家的经 历、知识结构、心理因素等原因，给出各方案在不同属性下的重要性，把握性不一样， 因此就不能简单的给专家赋权，即对一个专家的所有判断赋一样的权重。 关于区间数各种判断矩阵的排序方法存在的主要问题是：理论依据不足，方法的正 确性和可行性有待进一步探讨，缺少理论和性质的研究等。 1 3 三角模糊数及其判断矩阵排序方法的研究现状 1 3 1 三角模糊数排序方法的研究现状及存在的问题 三角模糊数作为最简单、最重要和最常用的模糊数之一。通过对三角模糊数的研究， 使人们对模糊数有更深刻的认识和了解。在模糊决策理论中占有重要地位，许多关于一 般模糊数的研究，都是从三角模糊数开始的。因此，关于三角模糊数的研究有着重要的 理论价值，许多学者对此进行了研究，得到了许多性质和排序方法，使得三角模糊数在 模糊决策中得到广泛的应用。关于三角模糊数的研究又有重要的应用价值，在社会生产 生活的诸多领域有着广泛的应用。 三角模糊数排序方法的研究基于密度和质量原理分为：密度型和质量型。密度型又 可细分为：基于理想点的排序方法，中心点法，可能度法，效用函数法，基于距离公式 法，最大模糊集法等，密度型是根据三角模糊数本身给出的排序方法；质量型又可细分 为：几何中心法，期望一方差法，可能度法，基于口一截集的排序方法等，质量型不仅考 虑到三角模糊数本身还考虑到其隶属函数的影响。质量型由于考虑的信息更多因此一般 认为比密度型排序方法要好，关于三角模糊数排序方法的研究到目前为止已有十多种， 但没有一种是公认的好方法。不同的排序指标往往得到不同的排序结果，这势必影响到 方案间的排序及最终方案的选择。 关于三角模糊数排序方法的研究众多，大致分为五类：第一类是基于可能度的排序 啪3 剁；第二类是基于理想点的排序嫡4 剐；第三类是基于口一截集的排序旧6 ；第四类是基 于模糊数隶属函数的排序堋3 ；第五类是基于距离公式的排序哺州1 ；第六类是上述方法 的综合或其它方法隋7 。7 副。本文主要对前五类方法进行了讨论。通过理论分析和决策原理， 广西大掌硕士掌位论文 区间j j r 、三角模糊数及其判断矩阵排序理论研究 分别给出了它们进行比较和排序的简洁公式，并通过它们在不确定多属性决策中的应用 来说明它们实用性和有效性。 基于密度型的排序方法有： b a s s 和k w a k e r n a a k ( 1 9 7 7 ) 心3 1 提出了反应模糊集之间优先关系的条件集 合，此方法是已知最早的关于三角模糊数的排序方法，虽然存在分辨力不高的缺陷，但 作为三角模糊数排序的最早方法有着重要的地位。 j a i n ( 1 9 7 7 ) 2 1 对b a s s 和k w a k e r n a a k 提出的排序方法进行了改进，主张在对模糊 集进行比较时应有一个尽可能大的目标集作为对照的基准，其作用就像是一把共同的标 尺，用以丈量每个模糊集的大小。 b a l d w i n 和g u i l d ( 1 9 7 9 ) 他盯为了克服b a s s k w a k e m a a k 方法分辨力不足的缺陷，定 义了如下的二维优先关系：名= ( 薯，x j ) ，p 磊( 薯，) ) ，f ，j e n ，f - ，( = l ，2 ，玎) 。以表 示卑和垮之间的效用差异。一般情况下，心，( 薯，x j ) 可以采用如下的线性效用函数： 只，( ，x j ) = 一x j ，i , j e n ，f ( = l ，2 ，玎) ，而模糊优先集b 借助其隶属函数被定义 为： r 玎一 1 如。s u p 豫a ，忾( _ ) ) 刖，仓刮心( 葺，_ ) ) j 基于质量型的排序方法有： y a g e r ( 1 9 7 8 1 9 8 1 ) 瞳纠7 3 先后提出了四种排序指标，其中第一种排序指标巧和第三 种排序指标只属于质量型。其排序公式分别为： ( 1 ) 互( 尚= a + 广b + c( 2 ) 互( 具) = t a + 2 b + c v 见= ( 口， l e e 和l i ( 1 9 8 7 ) 乜町借助于模糊事件概率测度的概念定义了模糊集的均值和偏差， 分别为肌( 埴) 和仃( 螬) 。并导出关于三角模糊数的排序公式为： f ( a ) = 卢聊( 身) + ( 1 一f 1 ) 1 一仃( 曙) 】 其中，坍( 马) = 旦笔半，仃( 马) = f 7 2 + b 2 + c 2 - a b - a c - b c ，卢是决策者选定的权值，它 反映了均值和偏差在决策者心目中的相对重要程度。此方法的排序准则是：均值越大， 偏差越小，则模糊集越大。 1 。3 。2 三角模糊数判断矩阵排序方法的研究现状及存在的问题 在决策分析中，通常需要决策者提供决策信息。但由于客观事物的复杂性、不确定 6 广西大掌司e 士学位论文 函葡致、三角模糊数及其判断矩阵排序理论研究 性及人类思维的模糊性，决策者往往很难给出明确的判断。在这种情况下，决策者往往 只能给出事物间的模糊判断，然后根据所选标度将模糊判断转化为模糊数的形式给出。 三角模糊数是其中最常用的一类模糊数。从三角模糊数判断矩阵元素构成的方式来看通 常有三类：一类是互反判断矩阵，一类是互补判断矩阵，且两类判断矩阵之间可以相互 转化口，一类是多属性决策矩阵。目前关于三角模糊数判断矩阵的研究还不是很多，且 主要是国内的学者在研究，提出了一些排序方法h 剐，但关于三角模糊数的各种判断矩 阵的研究还远未成熟。由于三角模糊数在实际应用中的地位越来越重要，关于三角模糊 数的各种判断矩阵的研究亟待完善，受到越来越多的重视。本文主要是对三角模糊数后 两类判断矩阵进行了有益的探讨。 三角模糊数互补判断矩阵排序方法的研究现状： 徐泽水( 2 0 0 2 ) 乜鲫给出三角模糊数互补判断矩阵的概念及三角模糊数相互比较的可 能度公式，提出一种基于可能度的三角模糊数互补判断矩阵排序方法。本文中所给的关 于三角模糊数的可能度排序公式是对区间数可能度公式的推广。 徐泽水( 2 0 0 4 ) 啪1 提出了三角模糊数一致性互补判断矩阵等概念，建立了一个线性目 标规划模型。通过求解该模型得到三角模糊数互补判断矩阵的权重向量，并利用已有的 三角模糊数排序公式求得决策方案的排序。本文所给的方法的合理性有待进一步探讨。 巩在武、刘思锋( 2 0 0 6 ) 建立了三角模糊数互反判断矩阵与互补判断矩阵之间的相 互转化关系，给出了三角模糊数互补判断矩阵完全一致性、严格强传递性以及弱传递性 的概念，并研究了它们之间的关系，论证了完全一致性等定义的合理性，构建了基于最 小二乘的三角模糊数互补判断矩阵排序方法。 姜艳萍，樊治平( 2 0 0 2 ) 池3 给出关于三角模糊数的运算规则和可能度的概念，并在此 基础上针对带有三角模糊数的互补判断矩阵，给出一种简便实用的排序方法。 马晓燕( 2 0 0 3 ) 1 通过建立三角模糊数互补判断矩阵和均值矩阵，利用数学变换得到 模糊一致性判断矩阵，并给出了排序向量的算法和公式。此方法是将三角模糊数互补判 断矩阵化为模糊一致性判断矩阵，这样做丢失太多信息，其合理性有待探讨。 限于篇幅的原因关于三角模糊数多属性决策矩阵及群决策矩阵的研究现状在此不 再进行具体的讨论。 关于三角模糊数的各种判断矩阵的研究都很不完善，需要进一步研究，另外现有的 一些排序方法的合理性及理论依据不是很充分，需进一步的改善，提出新的更好的排序 方法。 1 4 本文研究的主要内容 从区间数、三角模糊数及其判断矩阵排序方法的研究现状可以看出，各方面的研究 7 广西大掌硕士掌位论文 目司教、三角模糊敷及其判断矩阵捧序理论研究 还很不完善，需要进一步研究。虽然目前已经有很多排序方法被提出，但是远远不能满 足现实应用的需要，并且方法的原理不明确或者理论基础不合理。特别是作为模糊判断 矩阵理论研究的关键：模糊数的排序问题，需要引起足够的重视。本文主要的研究问题 及成果如下： ( 1 ) 讨论了区间数基于可能度的排序问题，提出了一种新的方法，并与已有的方法 进行了比较。基于区间数补判断矩阵的一致性定义，研究了区间数互补判断矩阵的排序 问题，提出了两种新的排序方法：最小二乘法和线性目标规划法，并对其合理性进行了 讨论。简要讨论了区间数群决策问题，并提出了一种新方法。最后通过算例分析，来测 试新方法的实用价值。 ( 2 ) 详细研究了三角模糊数排序问题，提出了8 种新的排序方法，讨论了各种排序 方法的原理，并对其中某些方法与已有的方法进行了比较，通过比较来说明新方法的优、 缺点。最后进行了算例分析。 ( 3 ) 基于三角模糊数口一截集的排序原理，提出了三角模糊数互反判断矩阵排序的一 种新方法；基于三角模糊数补判断矩阵的一致性定义，研究了三角模糊数互补判断矩阵 的排序问题，提出了一种新的方法，并对其合理性进行了讨论。对三角模糊数判断矩阵 的群决策问题进行了简要讨论，并提出了一种新方法。最后进行了算例分析。 8 区问数、三角模糊教及其判断矩阵排序理论研究 第二章区间数及其互补判断矩阵排序方法 2 1 基础知识 记= 1 2 一，”) ，m - - l ：, ，磅，k = l ，2 ，k ) 。 a = a - ，口+ l = x l o - - 0 ，则称彳= ( 叼) 聆以为 正互反判断矩阵。若满足 q 珏。n 承2 a 汰，v i ，j ，k e n 称彳为一致性正互反判断矩阵。 定义2 3 m 1 设判断矩阵么= ( ) 。，若有0 l ，则称矩阵彳是模糊判断矩阵。若满 足乃+ = l ，则称矩阵么是模糊互补判断矩阵。 定义2 4 h 明设模糊互补判断矩阵彳= ( 口，) 。，若满足 n 口= n i k a 准七o 5 ，、i ，j ，k n 称矩阵么是加性一致性模糊互补矩阵：若满足 9 广西大掌硕士学位论文 i g a 日- i 教、三角模糊数及其判断矩阵排序理论研究 d g dj k a h = a j i a b a i k ， v i , j ，k n 称矩阵彳是乘性一致性模糊互补判断矩阵。 定义2 5 h 5 1 称矩阵么= 魄) 。为区间数互反判断矩阵，若其元素满足吩= 【，口帕】，a j = 1 q ， = 1 ，1 】( f ，n ) 。 定义2 6 们称矩阵b = ( ) 。为区间数互补判断矩阵，若其元素满足= 【，】， + = + = 1 ，= 【o 5 ，0 5 】( f ，) 。 定义2 7 “观设彳= ( 4 ) 。为区间数判断矩阵，若对任一给定的l p ，g ，4 ，均 可找到c = ( 勺) 。a ，使得= ，则称彳具有一致性，或称彳为一致性区间数判断 矩阵，其中，c = ( 白) 。为一致性的数字矩阵。 定理2 1 n 妇设彳= ( 嘞) 。，唧= ，】是区间数互反判断矩阵，则通过转换公式 = a q ( 1 + a q ) ，i , j n 可得互补判断矩阵b = ( ) 。，= ，】。 定理2 2 1 设b = ( 6 ：f ，) 。，= 【，】是互补判断矩阵，则通过转换公式 a q = b q ib f i ，i , j n 可得互反判断矩阵彳= ( 吩) 。，= 【，】。 2 2 基于可能度的区间数排序方法 2 2 1 现有的区间数可能度排序方法 已知的关于区间数可能度大小比较的方法大体分为两类：一是数轴法，二是概率法。 两个区间数5 = 【a - ) 口+ 】和b = 【b - , b + 】基于可能度的大小比较方法： 属于第一类方法的主要有： 方法1 日本学者n a k a h a r a 等( 1 9 9 8 ) n 1 给出的两个区间数可能度大小的比较为 尸( 石方) = m t n 【m a x j ，【d ( a - 石t ，- + + - - b d - ( 6 _ 了，。) ， c 2 1