（理论物理专业论文）玻色爱因斯坦凝聚体的混沌研究.pdf

摘要 玻色一爱因斯坦凝聚体( b e c ) 在稀薄原子气体中的实现引起了人们广泛的关注，它 有很多物理现象，如混沌、超流、量子相变、j o s e p h s o n 效应等。本文在平均场理论的 框架下以g r o s s p i t a e v s k i i 方程为主要模型，讨论了运动光格中和双势阱中弱开放玻 色一爱因斯坦凝聚体的混沌性质。同时，利用周期参数调制法对混沌控制作了简单的讨 论。 本文首先主要研究了在运动光格中的玻色一爱因斯坦凝聚体的时空演化性质，考虑 了阻尼效应，分析讨论了系统的m e l n i k o v 混沌，并给出了系统的混沌参数区域。同时 通过数值分析研究了系统的瞬态混沌特征，并模拟了由瞬态混沌向定态混沌的转变过 程。在这一过程中瞬态混沌的最终吸引子经历了一系列的倍周期分岔。其次本文研究 了一个一维的囚禁在双势阱中弱开放的玻色一爱因斯坦凝聚体，利用两模近似，得到一 套描述系统复杂动力学性质的方程，通过标准的线性稳定性分析方法，得到其稳定区 域，我们发现通过调节参数，可以使系统进入l o r e n z 混沌状态、宏观量子自囚状态， 这对以后的实验可以提供一些参考。 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚体、运动光格、双势阱、混沌 a b s t ra c t t h er e a l i z a t i o no fb o s e - e i n s t e i ni nad i l u t ea t o m i cg a sh a sa t t r a c t e de n o l t n o u sa t t e n t i o ni n r e c e n td e c a d e s i th a sp r o v i d e dp h y s i c i s t sw i t han e wf e r t i l eg r o u n df o re x p l o r i n gm a n y a s p e c t so ft h i sf a s c i n a t i n gp h e n o m e n o ni n c l u d i n gc h a o s , s u p e r f l u i d i t y , q u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o na n dj o s e p h s o ne f f e c t i nt h ef r a m e w o r ko fm e a n f i e l dt h e o r yt h eb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e sa g eg o v e r n e d b yt h eg r o s s - p i t a e v i s k i ie q u a t i o n b a s e do nt h eg r o s s - p i t a e v i s k i i e q u a t i o nw es h a l ls t u d yc h a o si nb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e sw h i c ha r el o a d e di n t oat r a v e l i n g o p t i c a ll a t t i c ea n daw e a k l yo p e nb o s e _ e i n s t e i nc o n d e n s a t e sw i t ha t t r a c t i v ei n t e r a c t i o ni na m a g n c n t o - o p t i c a ld o u b l e - w e l lt r a p 。m e a n w h i l e , w ea l s od i s c u s s e dt h ep r o b l e mo fc h a o s c o n t r o li nt h et i g h tb i n d i n gb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e sb yu s i n gt h ep e r i o dp a r a m e t e r m o d u l a t i o nc o n t r o lm e t h o d i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d i e dt h es p a c e - t i m ee v o l u t i o np r o p e r t i e so ft h eb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e sh e l di nat r a v e l i n go p t i c a ll a t t i c e w h e nt h ed a m pi si no u rc o n s i d e r a t i o n s ，w e d i s c u s s e dt h em e l n i k o vc h a o so ft h es y s t e ma n a l y t i c a l l y , a n dp r e s e n t e dt h ec h a o t i cr e g i o ni n p a g a m e t r i c a ls p a c e f e a t u r e so ft h et r a n s i e n tc h a o sa r es t u d i e dt h r o u g hn u m e r i c a lm e t h o d t h et r a n s i t i o np r o c e s s i o nf r o mt r a n s i e n tc h a o st os t a t i o n a r yo n eh a sb e e nn u m e r i c a l l y s i m u l a t e d i nt h i sp r o c e s s i o n , w ef g a dt h a tt h ef i n a la t t r a c t o r so ft h et r a n s i e n tc h a o su n d e r g oa s e r i e so fp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n s w ea l s oi n v e s t i g a t e dt h ed y n a m i c so faw e a k l yo p e nb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e sw i t h a t t r a c t i v ei n t e r a c t i o ni nam a g n e n t o - - o p t i c a ld o u b l e - w e l lt r a p as e to ft i m e d e p e n d e n t e q u a t i o n sd e s c r i b i n gt h ec o m p l e xd y n a m i c sa r ed e r i v e db yu s i n gat w o - m o d ea p p r o x i m a t i o n t h es t a b i l i t yo ft h es t a t i o n a r ys o l u t i o ni sa n a l y z e da n ds o m es t a b i l i t yr e g i o n so nt h e p a r a m e t e rs p a c ea r ed i s p l a y e d w er e v e a l e dt h a tt h es y s t e mc o u l dt r a n s i ta m o n gc h a o t i c s e l f - t r a p p i n gs t a t e so ft h el o r e n zm o d e la n d t h em a c r o s c o p i cq u a n t u ms e l f - t r a p p i n g k e yw o r d s ：b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s ，t r a v e l i n go p t i c a ll a t t i c e ，d o u b l e - w e l lt r a p ，c h a o s 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，玻色爱因斯坦凝聚体的混沌研究 是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者躲圣互磅棚4 日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 名：幺翌：砑列牛 指导导师签名： 渔狃兰! 堕年互月刍l 日 第一章绪论 1 1 引言 自从1 9 9 5 年人们首次实验观察到玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e ) i i h 3 l 以来，该领域吸引了人们广泛的关注。由于玻色一爱因斯坦凝聚体中 的许多现象和性质同样包含在许多其他领域中，因而使之成为人们研究其他不同物理 领域中相应性质和现象的天然温床。早在1 9 2 4 年b o s e 和e i n s t e i n 就预言，当玻色子 气体在温度达到足够低的某一临界值时，它们将会发生相交，形成一种新的凝聚物质 一玻色一爱因斯坦凝聚体。在这种凝聚体中的所有原子都处于能量最低的基态，形成一 “宏观”的量子系统。鉴于玻色一爱因斯坦凝聚体在原子激光f 4 h “、量予计算 l 、量子 信息 s l 和凝聚态物理【9 1 等领域的广泛运用，它们已经成为人们广泛关注的课题。在对 这个多体宏观量子系统的研究中，人们发现当原子问相互作用的s 一波散射长度远小于 原子间的平均距离，并且凝聚原子数足够大时，平均场方法是一类有效而又方便的方 法【l o j 。 1 2 玻色一爱因斯坦凝聚的研究 1 9 2 4 年6 月2 4 日，3 0 岁的印度物理教师玻色( s b o s e ) 寄送一份手稿给爱因斯坦， 并附信说：“尊敬的先生，我冒昧地送上所附手稿请您审阅。我迫切想听到您的意见。 我试图不依赖经典电动力学来推导普朗克( 黑体辐射) 定律的系数姗2 c 3 ，办法是假定 相空间最基本区域的体积为j l ，我的德文不足以翻译此稿。如果您认为此文值得发表 并安排在( 德国) 物理杂志上，我将不胜感激”。爱因斯坦亲自把手稿译成德文送 去发表，并在文末加注说：“我以为对普朗克公式的推导乃是一项重大进步。所用方法 也将导致理想气体的量子理论，我将另行阐述。”爱因斯坦接着发表了文章，其中第二 篇提出了原子将“凝聚”的大胆预言。 原来爱因斯坦在1 9 0 5 年关于光电效应的著名论文中，第一次把普朗克的“能量量 子”概念推广到光，虽然光子一词直到1 9 2 6 年才出现。玻色1 9 2 4 年推导的关键，是 用光子状态计数，而不是光子计数。爱因斯坦立即把状态计数的思想用到组成理想气 体的原子，指出遵从这种统计的气体将在一定的转变温度下发生凝聚，部分原子将落 入动能为零的最低量子态，其他原子则组成“饱和理想气体”。当时对称和自旋的关系 等等，还尚未认识。难怪爱因斯坦曾把电子气体也列入可能观察此种凝聚的对象之一， 当时相变也没有被作为一类深刻的物理问题，人们自然未意识到玻色一爱因斯坦凝聚乃 是首次由统计物理学推出的一种相交现象。 事实上人们也不知道到哪里去寻求这类凝聚现象。直到3 0 年代，伦敦( p l o n d o n ) 才指出，超流和超导现象可能是玻色一爱因斯坦凝聚的表现。不过这两类现象都发生在 强相互作用的体系中。后来才知道，超流液氦中只有约1 0 的原子凝聚。超导与玻色一 爱因斯坦凝聚的关系要经过电子配对，涉及更复杂的相互作用。由于粒子间强相互作 用而导致玻色一爱因斯坦凝聚相变的纯量子统计特性复杂化，很难看成是纯的玻色一爱 因斯坦凝聚。这种情况促使人们去寻求在稀薄的、弱相互作用下的玻色气体中实现玻 色一爱因斯坦凝聚。1 9 5 9 年有人提出自旋极化氢原子气体可能是玻色一爱因斯坦凝聚的 候选者。1 9 8 0 年，另一种候选者一氧化亚铜中的激子被提出。经过1 0 多年的努力，1 9 9 3 年在实验上观察到了激子的玻色一爱因斯坦凝聚现象。可是由于复杂的相互作用过程， 玻色一爱因斯坦凝聚特性仍然得不到很好的研究。8 0 年代中期，激光冷却和捕陷原子的 研究己得到长足的进步，几个研究小组提出了冷却的碱金属原子可以形成只有很弱相 互作用的玻色一爱因斯坦凝聚。在不断解决实现玻色爱因斯坦凝聚的一系列技术难题 后，1 9 9 5 年碱金属原子的玻色一爱因斯坦凝聚终于被实验实现了。1 9 9 8 年自旋极化氢 原子气体的玻色一爱因斯坦凝聚也被观察到。这使人们对量子简并气体的玻色一爱因斯 坦凝聚研究进入了一个全新的阶段。 1 3 玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌性质及研究现状 混沌是一种貌似无规则的运动，是指确定性系统中出现的类似随机的过程。所谓 确定性系统是动力学系统，通常用常微分方程、偏微分方程、差分方程、甚至一些简 单的迭代方程描述。方程中的系数都是确定的，运动方程确定，给出初值，系统以后 的运动按传统的认识是完全确定了的。即未来完全包含在过去之中。换一句话说，小 的扰动可以忽略不计。后来发现在某些系统中，运动过程对于初值的极微小的扰动有 很大的变化，即系统对初值有非常“敏感”的依赖性，初值极微小的变化，以后的运 动有很大的改变，从物理上看似乎是随机的，这种对初值的敏感性，或者说确定性系 统内在的随机性就是通常所说的混沌。当然混沌不仅指这么一层意思，它还有更丰富 的内容。作为上世纪- n 新兴的科学，混沌已经吸引了人们广泛的兴趣。1 9 6 3 年，气象 学家洛伦兹( e l o r e n z ) 在对大气热对流模型的数值分析中发现了确定性非周期流， l o r e n z 进一步研究只有三个方程的系统，也就是我们现在所讲的l o r e n z 方程。这方 程所描绘的图形就是蝴蝶状的双螺旋线。l o r e n z 吸引子是至今为止研究得最深入的吸 引子。在l o r e n z 系统中出现具有随机性的混沌运动是由于非线性系统具有不止一个定 点( 定态) ，当条件恰当时，这些定点都不稳定，运动轨线交替地绕这些不同的不稳定 定点跳动( 或者说原来作规则运动时存在的不同流域现在已经消失) ，就必然使运动复 杂化，加上系统内禀的涨落也要引起运动具有随机性，这就是混沌。混沌的大量研究 最初集中于经典动力学系统。在经典意义上人们对混沌的概念已经达成了共识，即在 确定性系统中其动力学行为出现不可预测性，并且敏感依赖于系统的初始条件。在认 识到混沌在经典力学中的重要地位后，人们自然地会将确定性混沌的概念推广到量子 力学中去。按照玻尔的对应原理，将量子力学应用到宏观运动上所得的结果应该和经 2 典力学一致，故而力学系统的混沌特征也必然要在其量子力学性质上有所表现。然而， 到目前为止人们并不清楚由量子力学描述的微观世界是否也像宏观运动一样具有两种 不同性质的运动一规则运动和混沌运动。因此，人们对量子混沌的概念还有所争论。 目前量子混沌研究的一个主要方向是研究经典极限下的混沌系统在量子力学中的对应 表现1 1 1 】”1 如前面所述，在经典哈密顿系统中的混沌已经被简单而广泛地理解为系统的相轨 道对初始条件的极度敏感依赖性，从而导致系统运动状态的长时不可预测性。而在量 子混沌领域，由于测不准关系的存在，在量子力学中人们不可能像在经典力学里那样 对系统的运动作确定性的相空间轨道描述，因而人们无法区分量子系统中的量子混沌 运动。随着玻色一爱因斯坦凝聚的实验实现，为我们提供了一种新的量子力学系统。原 因在于，般的量子力学系统的动力学行为由s c h r o d i n g e r 方程来描述，而在平均场 理论中凝聚体的量子力学行为由非线性的类s c b r o d i n g e r 方程- - 6 p 方程来描述。随之 而来的问题就是：。在g p 方程中附加的非线性会对一个量子混沌的s c h r o d i n g e r 方程 产生什么影响呢? ”i ”j 。带着这些问题人们对玻色一爱因斯坦凝聚体中的混沌性质进行 了广泛的研究。s a g a r d i n e r i “】等人引入了不同的经典量子对应，他们认为一般的 量子力学在普朗克常数矗_ 0 时会返回经典对应模式，而对玻色一爱因斯坦凝聚体这样 的量子系统，它在壳斗0 时的经典对应是经典的流体力学。几乎是同时，人们还研究了 由于这一附加的非线性效应而给凝聚体系统带来的时间混沌、空间混沌、甚至是时空 混沌性质。其中对时间混沌性质的研究主要采用的方法为两模”5 】或多模近似1 1 6 】，并且 集中于凝聚原子的j o e s p h s o n 混沌遂穿等性质上。比如a b d u l l a e v 和k r a e n k e l 利用两 模近似的方法研究了两弱耦合玻色一爱因斯坦凝聚体凝聚原子的分数布居数在遂穿幅 度含时1 1 7 1 和j 一波散射长度随时间变化i ”1 两种情形下的非线性共振和混沌振荡。另外， l e e t 归1 和h a l l 2 0 l 等人在相同的近似框架下还讨论了两弱耦合凝聚体系统分数布居数随 时间演化的m e l n i k o v 混沌、频率锁定、以及混沌几率密度等。同时，考虑到热粒子对 凝聚体的补充以及三体重组对凝聚体的耗散作用1 2 ”，p c o u l l e t1 2 2 1 讨论了两耦合凝 聚体中的l o r e n z 混沌和混沌自囚的性质。除了对两态或双阱系统的研究外，人们还研 究了三耦合凝聚体动力学中的混沌遂穿、混沌自囚、动力学不稳定性等【”1 4 2 q 性质。此 外，玻色一爱因斯坦凝聚体中的空间混沌特征也是人们所关注的。p b a r r a 和他的合作 者就考虑了在k r o n i g p e n n y 势u g ) = g ：- 帕6 g 一瞄) 作用下玻色一爱因斯坦凝聚体中 的空间混沌特征 2 5 1 。尽管在 1 4 j 中称g p 方程为量子混沌s c h r o d i n g e r 方程，但是可 以发现上述的混沌性质都是经典意义下的。q t h o m m e n 在 2 6 中对这一问题作了详细 的讨论。他认为量子混沌的表现和其对应的经典动力学并没有直接的联系。比如说， 在不含时系统中的能级分布具有w i g n e r 分布形式是量子混沌的重要表现，但是这一点 在经典力学中并没有明显的对应。他们认为造成这种情况的主要原因有：首先，经典 力学中最基本的相空间轨道的概念由于测不准关系p ，g ，h 2 的原因而不能直接移 植到量子领域。但是人们可以将一量子态投影到一组基矢上，从而定义一个推广的相 空间。只要这组基矢足够完备，初始条件就可以用相空间中的一个点来表示。即使这 样，对初始条件的敏感性仍然不存在。这可归结到第二个原因：在经典力学中非线性 的产生是由于力是待求动力学变量( 吼，矶) 的非线性函数。而在线性的量子力学 s c h r o d i n g e r 方程中，经典动力学变量作为算符不再是待求函数，而势依然依赖于 ( 吼，p ；) 而不是待求的波函数。但在6 p 方程中，非线性项的内部相互作用势也依赖于波 函数，此时在推广的相空间中，系统动力学和经典力学非常相似，因而所讨论的混沌 特征和经典意义下的混沌性质非常接近。 最后，人们还发现玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌性质和它的塌缩有密切的联系。v s f i l h o ”1 等人讨论了塌缩凝聚体中的时空混沌。另外，w z h a n g 瞄u 冽等人还发现 一周期受击的环形玻色一爱因斯坦凝聚体可以看成一受击量子转子的非线性推广。在对 这一模型的混沌研究中发现当周期或准周期运动转变为混沌运动时，非凝聚原子成指 数增加从而导致凝聚体的塌缩。除此之外，处于周期光学晶格中的玻色一爱因斯坦凝聚 体最近也倍受人们的广泛关注，它包含了丰富的物理性质。特别重要的就是它和目前 非线性光学中具有k e r r 非线性性质的非线性光子晶体的研究模型非常相似p o l 。在玻 色一爱因斯坦凝聚体系统中，人们已经发现了丰富的混沌现象。鉴于这种凝聚物质广泛 的应用前景，对于其中混沌及其控制的研究显得尤为重要。就目前的调研来看，尽管 人们对其中的混沌性质研究较为广泛，但是对于玻色一爱因斯坦凝聚体中相应混沌进行 控制的研究还很少见。因此对玻色一爱因斯坦凝聚体系统中的时间、空问、甚至是时空 混沌的控制是有待人们研究的问题。在本文的第二章作者初步讨论了凝聚体中空间混 沌的周期参数调制法控制。 1 4 本文的主要内容 随着周期光学晶格在玻色一爱因斯坦凝聚体中日益广泛的运用，它逐渐成为便利而 又精确操纵玻色一爱因斯坦凝聚体的非常有用的工具。光学晶格与玻色一爱因斯坦凝聚 体相结合为我们开拓了许多新的研究方向。本文主要研究了运动光格中和双势阱中弱 开放玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌特征，根据系统所遵循的动力学方程利用数值方法模 拟混沌的三个参数：混沌吸引子、功率谱和l y a p u n o v 指数。此外，还初步探讨了运动 光格中的凝聚体的混沌的控制。本文共包括了四章。第一章作为绪论，简单介绍了与 课题相关的研究现状及其应用。第二章研究了运动光格中的玻色一爱因斯坦凝聚体的混 沌特征。首先，讨论在运动光格中凝聚体的时空混沌性质，分析研究其m e l n i k o v 混沌 性质并给出了参数空间中的弱混沌区域。其次，利用数值方法模拟混沌的三个特征参 数：混沌吸引子、功率谱和l y a p u n o v 指数，结果发现，系统在由瞬态混沌向定态混沌 转变的过程中，瞬态混沌的最终吸引子会经历一系列的倍周期分岔。最后，利用周期 参数调制法，研究了对混沌的控制。第三章研究了双势阱中弱开放凝聚体的混沌特征。 第四章对本文作了简要的总结，并对该领域前景作了些展望。 4 第二章运动光格中玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌研究 2 1 引言 由两束或多束激光光束相干叠加形成的光学晶格，已经被广泛地用于原子物理学 的研究1 3 l h 玷】。玻色凝聚体与光学晶格的结合开辟了许多新的研究方向 ”h “，并为精 确操纵玻色凝聚体提供了非常实用的工具 4 3 1 。众所周知，在凝聚体塌陷的过程中，将 会出现混沌现象i ”u 。对于这样的系统，混沌具有破坏性的作用。因此，在凝聚体的 形成和应用中预测和控制混沌非常重要。利用周期性的激光驻波，可以将囚禁在周期 势势阱中的凝聚体原子制成一列j o s e p h s o n 结。在多模近似或双模近似下人们已经研 究了许多诸如原子流的j o s e p h s o n 振荡1 4 2 l 、混沌隧穿等特征”h ”1 。除了以上所讲的 对静止光格中玻色一爱因斯坦凝聚体的广泛研究外，运动光格同样是人们关心的方向。 比如说，0 h b e r g 等人较早就利用行波光格来驱动玻色凝聚体系统嗍，d e n s c h l a g 和他 的合作者们在实验 5 7 1 中将玻色一爱因斯坦凝聚体原子装载到运动的光格中来研究它的 物理性质，f a l l a n im 1 等人还报道了在一维光格中玻色一爱因斯坦凝聚体的透镜效应， 也就是说光格起到透镜的作用，在光格的方向聚焦或发散凝聚体原子云。 前面我们已经提到在凝聚体的塌缩过程中，混沌起了非常重要的作用。对于运动 光格的情况，它包含了时间和空间两方面的性质，相应的时空混沌将更复杂也更弓1 人 注目。在许多早期的研究中1 1 9 1 1 ”“】，利用多模近似【4 2 l ( 光栅系统的特征) 或双模 近似( 双阱或双态系统地描述) 研究了光格系统的混沌特征。为了研究这一系统的时 空混沌，我们需要从含时g r o s s p i t a e v s k i i 方程出发，因为在平均场理论中它很好地 描述了凝聚体系统的动力学特征。在本章中我们考虑装载在运动光格中的具有阻尼效 应的凝聚体系统。在光格很弱可以作为确定性扰动处理的情况下，并且凝聚原予间相 互作用为吸引势时，我们研究了凝聚体粒子数密度时空演化中的i l e l n i k o v 混沌性质。 利用m e l n i k o v 混沌方法在解析上我们得到了系统的同宿混沌区域，并且讨论了阻尼和 行波光格的运动速度对混沌出现的抑制作用。同时我们还数值模拟了由于阻尼的耗散 作用导致的瞬态混沌。数值结果表明：对于不同强度的光格、凝聚体原子数密度的演 化轨道在经历瞬态混沌之后落在不同的规则吸引子上。随着光学强度的增加，这些最 终的规则吸引子经过了一系列倍周期分岔的过程，当光格的强度达到某一临界阈值时， 吸引子的规则性被完全破坏，瞬态混沌转变为定态混沌。 2 2 混沌动力学分析 玻色凝聚体最有趣的特征是其相位相干，因此它可以用宏观波函数v ( ，) 来描述。 其动力学性质可用g r o s s - p i t a e v s k i i ( g p ) 方程刻画【7 | 】 哮件 等+ 删扣4 n h 掰z a 一2 一 汜， 这里q 是波散射长度，p 乙( ，) 是外场势，通常是磁阱势。这就是早年由g i n s b u r g 和 l a n d a u 在分析超导时推导出来的后来被g r o s s 和p i t a e v s k i i 推广的方程。本文的工作 也是从g p 方程出发的。 本章中考虑一个在谐振子势阱中制各而后被装入移动光学晶格中的玻色一爱因斯 坦凝聚体。其三维复合势由下式给出 r ( x , y ，：，f ) = c o s 2 ( 鹾) + 所b ；工2 + i ) ，2 + ；z 2 ) 2 ( 2 2 ) 这里，第二项表示磁阱提供的谐振子囚禁势，m 是凝聚原子质量，一：代表 在毛弘工三个方向上的谐振子势阱的囚禁频率。周期势是一个时空变量为号= x + 5 t 2 k 运动光学晶格1 5 7 j ，6 是两束相向传播的激光的频率差，k 是光格波矢量，它们两者共 同确定了光格的运动速度巧= 6 ( 2 j i ) 。在实验中它可以由a c o u s t o o p t i c a l 调节器来 调节。 当产生的凝聚体处于谐振子囚禁势阱的中心附近区域时，磁阱比光阱弱很多，可 以忽略。根据文献 5 7 的实验参数，谐振予的囚禁频率分别取为 。= 2 ，= 2 0 ：= 2 霄2 7 h z ，波矢量k = 2 7 【x ，光格的波长为九= 5 8 9 n m ，m 是n a 的质 量，我们发现在七x 2 + j ，2 2 + z 2 4 l o 帆区域中谐振子囚禁势的量级大约为1 0 4 e ， 这里e ，= h z k 2 ( 2 m ) 代表原子的反冲能量。而光学晶格的强度在实验 5 7 中取为 v o = 1 4 e ，显然磁囚禁势阱要远小于光学势阱。因此，对于这样的系统，一维光学晶 格势起主要作用，在这个区域中，准一维近似成为有效描述系统动力学性质的方法。 另一方面，对一个与时间相关的运动光格系统，必须考虑其阻尼效应。阻尼效应是由 中性原子间的不连续交换产生的，而有限温度效应呻1 1 “h “1 已经在两体玻色一爱因斯坦 凝聚体的双结联结中详细分析过( 鲥。对于本章考虑的系统，它与多体玻色凝聚体线性 结联结的情况类似。因而由相似的元素或其他因素引起的阻尼效应也可能存在。基于 上述考虑，系统遵循如下的准一维方程 访( 1 一玎) 誓：一笔粤+ g 。h 1 2 v + r o c o s ：慨如 ( 2 3 ) 口m 这里v 表示宏观量子波函数，g o = 4 n h 2 肼描述原子问相互作用强度，口是j 一波散射 6 长度，口 0 表不排斥相互作用，a o 表示吸引相互作用，7 在引用的文献【6 6 j 中表不 阻尼效应。 。 由于方程( 2 3 ) 的复杂性，所以仅仅关注行波解并将其写成如下形式 、l ，= 甲g ) e x p 【f q j + p f ) 】 ( 2 4 ) 这种形式的物质波是类布洛赫波。这里，a 和d 是两个待定的实常数。根据前面定义 的时空变量l = x + 6 t 2 k ，这个行波平氆) 以与光格相同的速度运动。将方程( 2 4 ) 代 入( 2 3 ) ，很容易将偏微分方程( 2 3 ) 变成一个常微分方程 芴h 2 可d 2 9 + ( 等枷。一虮 考 一+ 譬一撕_ - g o b i ：甲：v o 甜妒 ( 2 5 ) 为简单起见，使用以下无量纲的变量和参数 c ；= 琏，v = 2 m y 。i a k ，i = 郑e ，= 仅七，唬= v o l z ， ( 2 6 ) ：h - 程( 2 5 ) 变成如下的形式 窘+ ( m ) 毒+ 嚷 一( 晡2 弘训平刊2 9 = 哺协 汜， 无量纲长度g = 8 x a k ，函数p 由七”2 归一化。将复杂函数甲写成q = r 弦。亿并代入 方程( 2 7 ) ，可得到两个关于震和9 的耦合方程 窘一胄斟一( m ) r 虿d o + p 乏d r 一( 晡卜班3 = 吭耐 ( 2 8 ) 2 譬譬+ 胄婴+ f ，+ 2 譬+ 邶要+ 7i 胄：o ( 2 川 必必必2l必。必 显然，这里幅度r 的模方正是凝聚体原子的粒子数密度，因为旧= b = b l ，0 是甲的 相位。如果设 箬+ p 詈+ 丫i = 石o ) ，2 署2 = 五( 0 ) ( 2 1 0 ) 那么方程( 2 9 ) 就成为 z ( 0 ) 筹+ z 协。 对上式做一次积分并化简可得 7 ( 2 1 1 ) 肚民e x p - 端必 亿蚴 式中的凡为积分常数由方程( 2 1 0 ) 中的第二式容易得到2 d 2 0 2 = 识( e ) ，并 将它代入方程( 2 1 0 ) 的第一式则可得 三掣+ 詈i ”州斗疟俐 ( 2 1 3 ) 联合方程( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 消去z ( e ) 就可以得到粒子数密度幅置关于以( 0 ) 的函数表达式 为 r = 民疗啦d 一三试) e x p 一互1 v ( z i 一2 v ) 肛1 必 c z ，t ， 将( 2 1 4 ) 矛u ( 2 1 0 ) 的第一式代入( 2 9 ) 可以得到石( e ) 的方程 一主鲁+ 三厅1 ( 鲁) 2 + ，( 2 ；一2 v ) 鲁一和， + ( v 7 12 v 2 一p 。户、+ 12 ( ：；五) 2 一g 瑶e 斗r 北2 ；一v 2 一z v ) + v 卜 = 唬c o s 2 g m c z - s ， 显然，只要由上面的微分积分方程解出厶( 0 ) ，就可以根据方程( 2 1 0 ) ，( 2 1 2 ) 得到凝 聚体波函数的幅度及其相位的演化特征。从这些解的性质可以分析系统所包含的物理 意义。然而，方程( 2 1 5 ) 是一个极其复杂的方程，对它的求解将是非常困难的。我们 考虑种简单的情况。 当阻尼效应不能忽略时，我们需要重新考虑系统的动力学行为。回到耦合方程 ( 2 8 ) ，( 2 9 ) ，不难看出，当相位0 与时空变量成线性关系时t 例如， 调必= 一i 厶= v 2 + ) ，方程( 2 9 ) 自然成立。从而，方程( 2 8 ) 变成 窘- _ v i2 r 制= o c o s 2 一p 警 ( 2 1 6 ) 显然，0 和之间的特殊线性关系使得方程( 2 1 6 ) 左边r 项的系数为一确定的 负号。根据达芬方程的一般理论，仅当方程( 2 1 6 ) 左边的线性q ) 项和非线性0 3 ) 项 的系数有相反的符号时，方程( 2 1 8 ) 有一个同宿解【6 ，】。所以，为了研究负r 项的同 宿混沌，就必须考虑原子间具有吸引相互作用的情况，例如，当g 九2 九 ( 2 2 3 ) 用所有的l y a p u n o v 指数来共同刻画系统的稳定性。对于任何存在吸引子的系统，必然 存在负的l y a p u n o v 指数，对于混沌吸引子，必然有正的l y a p u n o v 指数。通常把具有 个正的l y a p u n o v 指数的吸引子称为混沌吸引子。 对于这里考虑的系统，其动力学行为遵从方程( 2 1 6 ) ，对于高阶自治方程，只要把 各阶导数当作新的变量就可以将非线性常微分方程化为自治的一阶常微分方程组。由 于方程( 2 1 6 ) 是一个受迫的达芬方程，这样我们就可以将其化为一个四维的一阶常微分 方程组。因此，我们这里考虑的玻色凝聚体是一个四维的系统，具有四个分量。系统 的l y a p u n o v 指数就有四个。 对于l y a p u n o v 指数的计算，采用w o l f 的计算方法】。计算过程中取与图2 3 相 同的参数，得到l y a p u n o v 指数随光学晶格强度的变化情况，如图2 6 。从图2 6 可 见，当 1 8 7 5 时，五一 0 ，表明系统进入混沌运动。因此，我 们看到，从对系统的l y a p u n o v 指数分析所得结果与前面对吸引子的分析结果是一致的， 即随着光格强度值的增大，系统经过一系列的分岔，其像空间轨道由单周期轨道变 成多周期轨道，系统经历一系列的瞬态混沌后进入定态混沌。在图2 7 中，我们画出 了系统进入混沌状态后的l y a p u n o v 指数谱。从图2 7 可见，当1 ，= 2 0 5 、g = 一0 7 5 、 ，= 0 0 4 时，当r o 1 9 时，系统处于定态混沌状态，我们从图中可以清楚地看到系统 的四个l y a p u n