（应用数学专业论文）基于双指数跳扩散过程的期权定价及其参数估计.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 自从e b l a c k ，m s c h o l e 和r m e r t o n 等三人在确定金融衍生产品价值的创造 性贡献以来，数学金融学的理论与应用研究得到了快速发展，取得了丰硕成果。 随着金融实际研究的不断深入，特别是近年来重大金融突发事件的发生以及金融 变革中的诸多问题，我们已经发现基于布朗运动和正态分布建立的b l a c k s c h o l e 模型已不能完全适应现代金融市场的变化。1 9 7 6 年，m e r t o n 首次建立了标的资 产价格的跳扩散模型，且在非系统跳风险、跳跃大小分布为正态的假设条件下研 究了期权定价问题。至此在m e r t o n 工作之后，许多学者进行了广泛研究，取得 了丰富的研究成果。然而，尽管b l a c k s c h o l e 与m e r t o n 模型已成功应用到金融 市场，但是近来经验研究表明：在刻划资产价格波动上，它们与实际还存在较大 偏差。主要表现为：( 1 ) 跳风险是不容忽视的，可能蕴涵了某种重要的经济现象； ( 2 ) 资产收益分布可能具有非对称、尖峰厚尾特征以及“隐含波动率微笑”。 近几十年来，很多研究都是通过解释b l a c k s c h o l e s 模型的这两个缺陷来修 正b l a c k s c h o l e s 公式，但是这些模型的一个共同问题就是很难获得期权定价的 解析解。同样这些模型也没能很好地体现资产收益的尖峰厚尾和非对称特征，特 别是尖峰厚尾特征。 在2 0 0 2 年，k o u 提出了双指数跳扩散模型，该模型最主要的特点就是能产 生一个尖峰厚尾分布，更重要的是在双指数跳扩散模型下能给出易处理的欧式期 权和奇异期权的解析定价公式。为此，双指数跳扩散模型已经获得了广泛的承认。 本文利用鞅方法重新推导出了欧式期权和一些奇异期权的定价公式。然而，该模 型的估计和实证分析至今还没有引起很高的重视。本文使用贝叶斯方法估计了双 指数跳扩散模型，该方法是利用e u l e r 方法对连续过程进行离散化，用离散过程 的似然函数作为模型参数的近似后验似然函数，证明了m c m c 方法是分析双指 数跳扩散模型的有效工具，由m c m c 方法抽样所得的后验分布可以用来进行统 计推断。模拟试验表明双指数跳扩散模型能够很好的体现资产收益的经验特征： 尖峰厚尾特征和期权定价中的“波动微笑”。 关键词：双指数跳扩散，欧式期权，奇异期权，贝叶斯估计，m c m c 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t s i n c ee b l a c k , m s c h o l e sa n dr m e r t o nm a d eam a j o rb r e a k t h r o u g hi nt h e p r i c i n go ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ，r a p i dp r o g r e s sh a sb e e ng a i n e di nt h et h e o r ya n d a p p l i c a t i o no f m a t h e m a t i c a lf i n a n c e w i t ht h ed e e p n e s so fs t u d yi nf i n a n c i a lp r a c t i c e ， e s p e c i a l l y , f r o mt h es e r i o u si m p a c tc o n c e r n i n gr e c e n tr a r ef i n a n c i a le v e n t sa n dm a n y q u e s t i o n so ff i n a n c i a lr e f o r m ，e t c t h eb l a c k s c h o l e sm o d e lb a s e do nt h eb r o w na n d n o r m a ld i s t r i b u t i o ni sf o u n dt ob en o ta p p r o p r i a t ef o rc h a n g e so ft h em o d e mf i n a n c i a l m a r k e t i n1 9 7 6 , m e r t o ne s t a b l i s h e df i r s t l ya j u m pd i f f u s i o nm o d e lw h e r et h ej u m p r i s k sa r eu n s y s t e m a t i ca n dt h ej u m pm a g n i t u d eo ft h el o go ft h ea s s e tp r i c ei sa s s u m e d t ob ean o r m a ld i s t r i b u t i o n a n dc o n s i d e ro p t i o np r i c i n go fe u r o p e a no p t i o n h e m a r e r m e r t o n sw o r k ，m a n yr e s e a r c ha c h i e v e m e n t sh a v eb e e ng a i n e d h o w e v c r ，d e s p i t et h e s u c c e s so ft h eb l a c k s c h o l e sa n dm e r t o nm o d e l ，r e c e n te m p 埘c a lw o r k si n d i c a t et h e i n a b i l i t yo fs u c ht w om o d e l st oc a p t u r et h et r u ef b a n l r e so fa s s e tf i u a u a t i n 岛a n d s u g g e s t ：0 ) t h ej u m pr i s k sc a nn o tb ei g n o r e d , a n dm a yi m p l i c a t es o m ei m p o r t a n t e c o n o m i c a l i n t e r p r e t a t i o n ；( 2 ) t h e a s s e tr e t u r n s m a yr e p r e s e n tn o n a s y m m e t r i c l e p t o k u r t i cf e a t u r e sa n d “i m p l i e dv o l a t i l i t ys m i l e ” i nr e c e n td e c a d e s ，m a n yr e s e a r c hm o d i f i e db l a c k - s c h o l e sf o r m u l ab ye x p l a i n i n g i t st w ol i m i t a t i o n ，b u tt h ec o m m o np r o b l e mi st h a ti ti sd i f f i c u l t yt oo b t a i nam o d e l a n a l ”i c a ls o l u t i o no fo p t i o np r i c i n gf o rt h e s em o d e l s ，a tt h es a m et i m e ，t h e s em o d e l s d i dn o tp r o p e r l yr e f l e c tt h eh i g hp e a ka n dn o n s y m m e t r i c a lf e a t u r e s ，e s p e c i a l l yt h e h i g l lp e a l 【f e a t u r e i n2 0 0 2 ，k o up r o p o s e dd o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e l ，t h em o s t i m p o r t a n ti st h a td o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e l 啪g e n e r a t e sah i g h l y s k e w e da n dl e p t o k u r t i cd i s t r i b u t i o n ，i na d d i t i o n ，d e j dl e a d st ot r a c t a b l ea n a l y s i s p r i c i n gf o r m u l a sf o re u r o p e a na n dp a t h d e p e n d e n to p t i o n s a c c o r d i n g l y , t h ed o u b l e e x p o n e n t i a lr e p r e s e n t a t i o nh a sg a i n e dw i d ea c c e p t a n c e i nt h i sp a p e r ，w ed e r i v et h e p r i c i n gf o r m u l a sf o re u r o p e a no p t i o na n de x o t i co p t i o n sb yu s i n gm a r t i n g a l em e t h o d h o w e v e r e s t i m a t ea n de m p i r i c a la s s e s s m e n to ft h i sm o d e lh a sr e c e i v e dl i t t l ea t t e n t i o n t od a t e i nt h i s p a p e rw ep r o p o s e ab a y e s i a nm e t h o dt oe s t i m a t et h ed o u b l e e x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e l t h ea p p r o a c hi sb a s e do nt h em a r k o vc h a i nm o n t e c a r l o ( m c m c 、m e t h o d sw i t ht h el i k e l i h o o do ft h ed i s c r e d i t e dp r o c e s sa st h e a p p r o x i m a t ep o s t e r i o rl i k e l i h o o d w ed e m o n s t r a t et h a tt h em c m cm e t h o dp r o v i d e sa h 武汉理工大学硕士学位论文 u s e f u l lt o o li na n a l y z i n gd o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o nm o d e l i np a r t i c u l a r , q u a n t i t i e so fp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o no b t a i n e df r o mt h em c m co u t p u t sc a nb eu s e df o r s t a t i s t i c a li n f e r e n c e t h em c m cm e t h o di sb a s e do ne u l e rs c h e m e o u rs i m u l a t i o n s h o w st h a tt h ed e j dd i f f u s i o ne x h i b i t sm a n ys t y l i z e dc h a r a c t e r sa b o u ta s s e tr e t u r n s s u c ha sh e a v i e rt a i l sa n ds m i l ee f f e c t k e y w o r d s ：d o u b l ee x p o n e n t i a lj u m pd i f f u s i o ne u r o p e a no p t i o n e x o t i co p t i o n s b a y e se s t i m a t e m c m c n l 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：必日期型：竺，d 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部内容， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 研究生签名：丕塑垒! 霆导师签名：日期碰：坦：! 芝 武汉理工大学硕士学位论文 第一章绪论 金融衍生产品定价问题，是现代金融学理论研究领域中的核心内容，也是金 融学理论应用于实际的主要理论基石，更是近三十多年来应用数学在经济、金融 等投资领域内的前沿热点研究课题。无论是理论上的探讨还是实际应用上的分 析，它都具有重要的学术价值和社会经济意义。本章论述它的研究意义和必要性， 介绍期权定价问题的国内外研究现状，由此提出本论文的主要研究内容。 1 1 研究意义与必要性 在过去的半个世纪里，金融学的定量研究已经越来越引起人们的足够重视和 广泛兴趣，尤其是2 0 世纪9 0 年代的全球性金融危机和近年来国际金融界发生的 许多重大金融事件，让人们清楚看到：人们对金融变革过程中存在的诸多问题产 生了极大的关注，不论金融界还是学术界都加强了金融理论的研究和应用。但同 时人们也越来越深刻地体会到，没有定量研究的思想方法，要驾驭“金融市场” 简直是天方夜谭。然而定量研究的思想方法要直接依赖于数学。现在，数学化的 思想和方法，已经深入广泛地应用到金融领域的研究过程中。随着现代信息技术 的快速发展、成熟和广泛应用，以及全球经济紧密联系、互动性强、一体化程度 越来越高，各种新型衍生金融产品的出现和迅猛发展是近十多年来国际金融中最 重要的事件。据美国幸福杂志在2 0 0 0 年报道，目前国际金融市场上已知金 融衍生工具已近2 0 0 0 余种。一些银行、证券公司还在不断地推出新的“组合” 衍生金融工具。金融创新的浪潮席卷全球，波及金融业务的各个领域，强劲地推 进着金融市场一体化和金融业务国际化的进程。各种不同类型衍生工具的场内外 交易数量、规模、效益、金额都非常大。作为当今“虚拟”经济时代的产品一衍 生金融工具已经成为国际金融贸易中最大的交易对象。正因为如此，开展金融衍 生产品的定价问题的研究，才有举足轻重的理论价值和社会实践意义。 我国金融市场起步较晚，尚处在新生发展阶段，市场条件未完全成熟。对现 代金融学理论和方法的研究相对落后，特别是金融实际问题的理论和应用研究更 是如此。随着我国改革开放进一步加快和国民经济持续高速增长，居民收入有了 显著增加，个人收入与消费支出也呈现多元化结构。我国经济金融环境发生了深 武汉理工大学硕士学位论文 刻变化，市场经济结构不断发育成长并逐步与国际接轨、参与国际市场竞争。各 种金融衍生品的出现和新型市场的引入，已是势不可挡。特别是，随着股权分置 改革、利率的市场化和汇率制度改革的推进，将推动我国金融市场研究的不断发 展和完善。因此，建立符合实际发展规律的金融市场模型，并研究各种金融衍生 品的定价问题，不仅可以有效地规避资金运作的风险，吸引投资者，而且有利于 促进金融市场繁荣和提高管理决策能力。 由于期权具有良好的规避风险、风险投资和价值发现等功能，且表现出灵活 性和多样性特点，故近2 0 年来，特别是九十年代以来，期权成为最有活力的金 融衍生产品，得到了迅速发展和广泛的应用。期权市场的快速发展得益于期权理 论的不断深化。期权理论研究的重点在于两个方向：一个方向是如何构造出新的 期权，以满足不断变化的市场投资需要；另一个方向是如何确定这些日趋复杂期 权的价值。在期权定价研究方面，8 0 年代以前的研究一般都假定期权所依赖的 标的资产的价格为一连续随机过程，市场也是“完善”的，在这些比较理想化假 设条件下，指导出各种期权的定价模型。近十多年来，得益于计算机技术的快速 发展，期权定价理论研究在以下两个方面得到深化，取得了大量研究成果：一是 研究在不完善市场条件下如何确定期权价格问题；二是认为期权所依赖的标的资 产价格是一连续随机过程假设条件过于理想化，将这个假设条件改进为基础资产 的价格服从“跳一扩散过程”来研究期权的定价问题。 i 2 国内外研究现状 金融市场中有许多数学问题，期权定价( o p t i o n 蹦d n g ) 问题是直接影响投资 者利益的主要内容。期权作为金融衍生工具的重要一员，是投资者进行资本套期 保值的“超级武器”，其定价研究是最广泛的。期权的价格实质是一种风险价格， 影响期权价格的因素众多，包括标的资产当前价格、期权协议价格、标的资产价 格的波动率和无风险利率等诸多因素。为了探讨它，让我们先简单回顾数学金融 学的发展史。 金融学是从经济学分离出来的- f j 独立学科，早期金融学大多数是定性描述 金融现象和规律。将数学理论和方法应用于金融，最早可追溯到1 9 0 0 年法国数 学家巴舍利耶( l b a c h e l i e r ) 发表的博士论文“投机理论( t h e o r yo f s p e c u l a t i o n ) ”， 2 武汉理工大学硕士学位论文 论文阐述了资本市场股票价格波动服从绝对的b r o w n 运动，单位时间方差为盯2 ， 且没有漂移，买方期权的价值为： 儿舯s - x 卜( 等) 竹而( 等) 其中s 是股票价格，z 是执行价格，f 是距到期日时间，中( ) 和妒( ) 分别是标准 正态分布函数和正态密度函数。这一理论宣告了一门新的学科一数学金融学f 又 称数理金融学、金融数学) 的诞生，它为现代期权定价理论的建立奠定了基础。 然而，b a c h e l i e r 的工作没有引起金融学界的重视达5 0 多年。以现在的标准 来看，这一模型也许还是领先的，它只在两个方面稍有缺陷：一是在该模型中假 设股票价格过程是绝对b r o w 运动这允许股票价格为负，这与有限债务假设 相悖，另一个是该模型忽略了资金的时间价值为正，期权与股票问的不同风险特 征，以及投资者的风险厌恶，因而在应用上受到限制。虽然有此不足，实际上该 公式对预测短期看张期权的价格非常适用。但在长期期权价格的判断中，因要求 期权价格与期权的平方根成比例增加而失败。 在其后的半个多世纪里，期权定价理论进展甚微，多数发展集中于特定的经 济计量模型。直到二十世纪6 0 年代才有一些新的进展。1 9 5 2 年h m a r k o w i t z 发 表了“组合投资选择理论( t h e o r yo fp o r t f o l i os e l e c t i o n ) ”的论文，第一次从数量 经济学的角度，揭示了金融市场中，如何利用投资组合创造更多的可供选择品种， 来获取最大可能的预期收益率，以及如何通过分散投资来降低风险。这就是著名 的证券组合投资理论，又称为均值一方差( m e a n v a r i a b l e ) 模型。这一理论开创了 现代金融投资分析理论研究的先河，标志了现代金融学的开始。 1 9 6 1 年，斯普里克尔( s p r e n k l e ) 在“w a r r a n tp r i c e s a si n d i c a t i o n so f e x p e c t a t i o n s ”( 认股权价格是预期和偏好的指示器) 一文中，假设股票价格过程是对 数分布，有固定的均值和方差，且该分布允许股票价格有正向漂移。以此假设为 基础，他提出了一个买方期权的定价公式： y e “s 中 l n ( s x ) + ( 口+ j 1 盯2 弦 习一 一( 1 - s r ) x m 其中石是市场价格杠杆“p r i c e f o r l e v e r a g e ”的调节量。但是斯普里克尔没有贴现 这一预期值来确定期权价值( 当石取零时，上式给出了期权的最终预期值) 。 3 竺 1 2 一 一 一 似万 卜一盯 z 一 一 p h 一 武汉理工大学硕士学位论文 1 9 6 4 年，博内斯( b o n e s s ) 在“e l e m e n t s o f a t h e o r y o f s t o c k - o p t i o n v a l u e s ”( 股 票期权价值理论的要素) 一文中，也假定股票收益呈固定对数分布，不同的是， b o n e s s 考虑了风险保险的重要性，为简明，博内斯假定“投资者不在乎风险”。 利用这一假设证明了用股票的预期收益率来贴现最终期权的预期值。他的期权定 价公式为： y s mh 1 ( s x ) + 。+ i 1 仃2 弦 习f 一 一e “z 中 l ：n ( s x ) + 似一j 1 盯2 ) f 习f 一 其中a 是股票的预期收益率。这一等式在形式上与后面的b - s 公式完全相同，唯 一的区别是它的用法。此处是股票的预期收益率而不是无风险收益率，假如博内 斯将投资者不在乎风险的价格代以逻辑结论a r ，他将推倒出b - s 方程，当然， 他的推倒仍需建立在风险中性的假设基础上。 1 9 6 5 年，萨缪尔森( s a m n e l s o n ) 认识到，由于不同的风险特征，股票与期 权的预期收益率一般来说是不同的，他在“r a t i o n a lt h e o r yo fw a r r a n tp r i c i n g ”f 认 股权定价的合理理论) 一文中提出了一个欧式买方期权的定价模型，该模型考虑 了期权和股票的预期收益率因风险特性的差异而不一致，并认为期权有一个更高 的预期收益率芦。该模型的定价公式为： y 。e 扣叫 r s m ( 竺竺! 学 一e 一肛石m i n ( s x ) + ( , 8 - 1 c r 2 ) r 习f 一 1 9 6 9 年，萨缪尔森和默顿( m o r t o n ，r c ) 用一种资产组合选择的简单均衡模 型检验了期权定价理论，这种模型允许内生地确定股票和期权收益率，他们证明 了期权问题可以用函数形式的“公共概率”项来表述，这种函数形式与用真实概 率所表述的问题一样。以这种方式表示时，调整过的股票预期收益率和期权收益 率是一样的。这以方法使用了被现在认为是理所当然的估价期权的风险中性或偏 好自由发展的发展成果。 上述期权定价模型的提出推动了期权定价理论的发展，但是，金融学界对证 券是否有一种内在定价机制一直争论不一，期权定价问题仍然困扰着人们。1 9 7 3 年e b l a c k 和m s c h o l e s 共同发表了一篇关于期权定价的开创性论文，创造性地 归纳出一条广泛应用于金融市场期权定价显示表达式，即被人们称誉的著名 4 武汉理工大学硕士学位论文 b l a c k s c h o l e 公式。它为金融领域的经济评估奠定了定量分析的基础，并被理论 界和金融实业界广泛接受和使用。同年，r c m e r t o n 将b l a c k s c h o l c s 定价公式 推广：股票可以连续支付红利，无风险利率和标的资产价格的变异度不为常数。 m e r t o n 完善了衍生证券产品的定价，因此b l a c k s c h o l e s m e r t o n 获得了1 9 9 7 年 的诺贝尔经济学奖。至此，b l a c k s c h o l e s m c r t o n 理论构成了数学金融学的主要 内容。值得注意的是，这些理论都是建立在非常理想的金融市场模型。然而，现 实市场不是理想模型，存在许多影响市场变化的不确定性因素，这些因素对定价 和投资组合等都会产生不同程度的影响。因此，在他们研究基础上，许多学者从 不同角度来研究数学金融学的理论与实际应用，取得了丰硕成果，主要有以下几 方面： 1 2 ib l a c k - s c h o l e s 模型的修正 b l a c k s c h o l e 1 1 公式是欧式期权定价公式，它假定了风险资产价格s 服从几 何布朗运动并无红利支付；瞬时收益率、波动率、无风险利率都为常数；市场无 摩擦等。公式是用风险资产、期权和无风险资产组成对冲组合投资，并利用无套 利原理推导出来的。即 孕。p a r t + a d w , ( 1 1 ) 其中w 一 彬，t 乏o ) 是标准布朗运动，p ，口为正常数。则执行价格为k ，到期 同是r 的欧式看涨期权t 时价格等于 c ( f ，s ，t ；r ，仃，k ) 一s , v ( a 1 ) 一k e 。“n ( d 2 ) ( 1 2 ) 这里面t s + e + 卜1 0 2 ) ( r - o 心吐一盯厉，。瓤。专2 方。 从模型( 1 1 x 1 2 ) 看到b l a c k s c h o l c 公式是基于风险资产价格连续变化，依赖 于s ，k ，t ，盯，五个参数。然而从实际数据统计研究结果2 1 1 3 1 表明：股价 实际收益的回报率分布比模型( 1 1 ) 刻画的要尖峰厚尾些，并从期权市场价反过来 研究股票波动率也发现存在偏差，即期权有隐含波动率( i n l p i i e dv o l a t i l i t y ) 。为了 克n 艮b l a c k s c h o l e 公式的缺陷和不足，1 9 7 6 年m e r t o n l 4 明对模型n 1 ) 进行了推广， 考虑( 1 1 ) 中o r 和，是随时间而变的函数，得到了类似( 1 2 ) 公式。后来，许多学者 5 武汉理工大学硕士学位论文 开始推广和拓展( 1 1 ) ，主要从红利、利率及波动率等参数的实际市场变化要求来 研究期权定价。如随机利率模型的欧式期权定价嗍，美式期权定价【6 | 【8 】。随机波 动率模型的定价问题i ”i “1 ；随机经济因素影响盯，的期权定价n 2 】【圳以及利用 自由边界或粘性解研究美式期权有【1 4 j - i l i6 1 等等。 人们在发展非标准期权定价方面( 奇异期权的定价) 也做出了许多成果。这 类期权比标准欧式或美式期权的盈亏状态更复杂，更实用。这类期权的特点就是 附有许多额外的定价信息，多数在交易所场外交易。近十几年来，这类期权的交 易越来越流行，深受投资者喜欢。如障碍期权( b a r r i e ro p t i o n ) 、回望期权( l o o k b a c k o p t i o n ) 、亚式期权( a s i a no p t i o n ) 、重置期权( r e s e to p t i o n ) 、外汇( 或外国股票) 期 权( f o r e i g n q u a n t oo p t i o n ) 、债券定价等l ”卜【“。 1 2 2 不连续市场模型 该模型又称跳扩散模型o u m p d i f f u s i o nm o d e l ) 。由于前述期权定价与最优 效用问题的许多研究成果是基于平稳、理想化的市场模型导出的。平稳就是利率 与价格呈连续变化态势，不会有暴涨暴跌，这一点主要是由市场的厚实( d e e p ) 与 良好的流动性( 1 i q u i d i t y ) 所支撑的，但是它不适应于间断、突变的经济环境和金融 市场。 许多学者从股价回报的实际数据研究发现：股价呈尖峰厚尾特征，而不是 模型( 1 1 ) 所描述的对数正态分布。此外，模型( 1 1 ) 的理论结果与现实之间存在系 统性偏差。1 9 7 6 年，m e r t o n ! ”1 首先提出并研究股价具有不连续回报时的期权定 价。后来，人们着手从理论和实际应用两方面寻找更接近现实股价的动态方程， 来克服连续扩散模型( 1 1 ) 的不足，消除期权隐含波动率“微笑”现象，使之能更 好地适应市场突变性对资产价格的影响。特别是东南亚金融危机的发生、美国长 期资本管理基金( l t c m ) 在俄罗斯银行的经营失败，以及许多影响经济平稳发展 的重大国家政策调整、自然灾害( 如海啸、地震) 等事件，使人们已经认识到：建 立和研究不连续市场模型的重要性和迫切性。正如沈致远院士等人在科学杂 志发表的文章指出：“研究突发事件是数学金融学的重要课题”。因此，跳风险因 素在资产定价中不容忽视，而且可能蕴涵了重要的经济意义。近年来，研究不连 续市场模型的金融数学问题已越来越受人们喜爱和关注。其研究主要有以下两 类： 6 武汉理工大学硕士学位论文 ( 1 ) p o i s s o n g a u s s i a n 过程这类模型是直接在模型( 1 1 ) 基础上加上n 个 与布朗运动形独立的p o i s s o n 过程，即股价满足 丁a s , 一p , d t + 删彬+ n 嗔一# o a t ) ( 1 3 ) 其中4 ，一1 为常数， 研“，f o 三l 。是强度为带，o 的相互独立的p o i s s o n 过程。 i b a r d h a n i ”i 、c m a n c i n i ”i ”1 、n b e l l a m y i ”1 、林建忠与叶中行1 3 3 1 以及3 4 1 等 研究了期权定价与最优效用问题。 ( 2 ) 复合p o i s s o n 过程1 9 7 6 年，m e r t o n 引入了跳扩散模型，他假定股价 服从复合p o i s s o n 跳扩散过程，即 i a s , 叱一a k ) , t + o r d w 圳耋形- 1 】) ( 1 4 ) 其中 k ，i 一1 ，2 ，是非负的i i d 的随机变量，表示股价跳跃比例且 】，。l n ) 一n ( 以，) ，一 以，f o ) 是强度为正常数a 的p o i s s o n 过程， k = e ( v 一1 ) 。模型( 1 4 ) 仍然描述股价回报分布为正态的( 即呈对称性特点) ，故称 正态跳扩散模型。m e r t o n 在推导期权定价公式过程中作了关键性假设，即跳成 分是非系统性风险，这意味着b l a c k s c h o l e s 形式的证券组合投资在消除了几何 布朗运动带来的系统性风险后同样获得无风险利率的收益，由此得到了欧式期权 定价公式”l 。 后来，也有些学者研究几何l e v y 过程，如文献“i i ”1 等。需要指出的是我们 所研究的双指数跳扩散模型实质是l e v y 过程的一种特例。 自m e r t o n 引入跳扩散模型后，许多学者开始探讨类似的金融数学问题。如 期权定价研究成果中具有代表性的：l o s c o t t 、g j j i a n g 、g b a k s h i t ”1 等利 用f o u r i e r 反变换法讨论了利率、股价波动率都随机时的欧式期权定价或模型参 数估计的实证研究。e m o r e c k i 1 、c r g u k h a l4 2 和h p h a r n i ”1 等讨论了美式期 权定价。c s z h o u 等人在( 1 4 ) 下研究了信用结构模型的信用价差问题。在效用 最优化问题的研究过程中，由于很难得到像扩散模型( 1 1 ) 的投资策略反馈显示 解，因此这方面研究成果不多，主要从理论上讨论目标值函数的性质。有代表性 研究有：l r w u l 4 5 1 考虑了股票有超值回报过程时财富效用最大化问题并解释 t s b 波动对组合投资的影响。j u u 及b b e a k e r1 4 7 1 在股价含h u l l w h i t e 型随机 7 武汉理工大学硕士学位论文 波动率时研究了资产动态分配问题等等。 到目前为止，股价服从扩散模型( 1 1 ) 的期权定价与最优组合投资等问题的理 论与应用研究成果己相当成熟，但跳扩散模型的若干数学金融学问题才刚开始研 究，尤其是实证的应用研究。从这些研究成果来看，它们共同的研究方法大致有 两种：一种是理论方法，包括鞅、随机动态规划原理和粘性解理论。另一种是数 值方法，如m o n t ec a r l o 模拟，二叉树和有限差分法1 1 2 1 4 9 1 等。 1 3 选题依据 虽然m e r t o n 跳扩散模型( 1 4 ) 对b l a c k s c h o l e 模型( 1 1 ) 做了许多实质性改进， 克服了描述资产价格市场变化的不足之处。但m e l t o n 模型的期权定价结果仍与 实际统计数据分析有较大差异，尤其是在路径依赖型期权的定价方面，很难得到 显示解析式。主要原因是描述股价收益分布仍为正态，而股价对称、正态分布的 假设不能完全符合资产实际的波动。2 0 0 0 年，s q k o ue ”1 教授将m e r t o n 模型( 1 4 ) 中的分布推广到双指数分布，即： 矗( y ) - h e l 脚 + 日叩2 p ”舢， ( 1 5 ) 其中编，0 ，7 ： 0 ，p ，口苫0 ，p + 口一1 表示上跳或下跳的概率，该模型称为双指数 跳扩散模型。k o u 在他的论文中比较了该模型具有不同于m e r t o n 模型( 1 4 ) 的特 征：( 1 ) 股价的跳跃高度是非对称的；( 2 ) 无记忆性。同时他指出：该模型在解决 路径依赖型期权方面易于处理，定价结果接近实际且能得到显示解。后来k o u 等人1 5 l 】进一步研究了首达时分布和障碍、回望、美式永久期权的定价，得到了 显示解及有限时间区间内美式期权定价近似解。a s e p p | 5 2 1 利用l a p l a c e 变换讨论 了双障碍期权的定价，给出了显示解。邓国和瞄1 在利率满足s h o r t l o n g 非线性 及随机波动率模型下利用f o u r i e r 变换也得到了定价公式。可以看到，双指数跳 扩散模型不仅具有跳扩散模型在描述资产价格变化方面的优势( 即能刻画市场的 突变性，充分反映股价上、下跳信息) ，而且在实际期权定价问题上有其独特作 用。因此，容易想到：在该模型下，研究数学金融学问题是十分必要的，也是具 有重要理论和实践意义。尽管双指数跳扩散模型是l e v y 过程的特殊情形，但要 得到类似于扩散模型( 1 1 ) 、m e r t o n 模型( 1 4 ) 或l e v y 过程的类似结果可能不是一 件容易事情，要困难一些，在处理方法上可能不一定是通用的，结果可能有一些 8 武汉理工大学硕士学位论文 新变化和特点。 由于影响金融市场的因素很多，诸如市场的突发性、股价回报与波动率、市 场各种因素( 如利率，通货膨胀等) 的不确定性、交易费、投资者的财富结构与消 费行为等，称这些影响资产价格波动及市场结构环境的因素为市场结构风险 ( m a r k e ts t r u c t u r er i s k s ) 。市场结构风险的波动变化，对金融衍生产品的定价或组 合投资决策有着重要影响。过去基于b l a c k s c h o l e 模型，m e r t o 模型或l e v y 过 程的数学金融问题研究大多数是考虑某单个市场因素的影响。然而，纯粹考虑单 个市场因素的作用是不能迅速反映市场结构，也不符合实际市场要求。因此，我 们有充足的理论认为，综合双指数跳扩散模型与市场结构风险两者优势，考虑较 广泛的金融市场组合模型更能充分地反映市场实际的变化规律。但是，在该组合 模型下研究数学金融问题的并不多见，而要得到闭式解可能困难一些，这正是本 学位论文选题依据。 1 4 主要研究内容 本文研究内容主要包括期权定价与参数估计问题，主要分四章论述： 1 第二章引入k o u 双指数跳扩散模型及基本知识，推导欧式期权定价公式。 该模型与m e r t o n 模型不同，股价的跳跃比例服从双指数分布，具有非对称信息。 在市场均衡条件下考虑跳风险的系统性，利用鞅方法重新推导期权定价公式并分 析跳风险参数对期权价格的影响。其后讨论了双指数跳扩散模型下的欧式看涨期 权价格与主要参数之间的关系：当其他参数不变时，期权价格随着执行价彪的增 大而减少；随着p o i s s o n 跳过程参数a 的增加而增大；随着扩散波动率。的增加 而变大；随着指数分布参数，r 2 的增大而减少。然后在此基础上分析期权隐 含波动率和定价偏差现象，并比较了不同参数的欧式看涨期权定价偏差。 2 由于双指数跳扩散模型的最大特点就是能够给出奇异期权的定价，第三 章就是在第二章的基础上给出了障碍期权、回望期权、上限型买权、欧式双向期 权、任选期权和滞后付款期权的定价公式。 3 模型的应用必然涉及到参数估计问题，在第四章中使用贝叶斯方法估计 了双指数跳跃扩散模型，该方法是使用欧拉方法对连续过程进行离散化，用离散 过程的似然函数作为模型参数的近似后验似然函数。证明了m c m c 方法是分析 9 武汉理工大学硕士学位论文 双指数跳跃扩散模型的有效工具，由m c m c 方法抽样所得的后验分布可以用来 进行统计推断。模拟试验表明双指数跳跃扩散模型能够体现资产收益的经验特 征：尖峰厚尾特征和期权定价中的“波动微笑”。 l o 武汉理工大学硕士学位论文 第二章双指数跳扩散模型下的欧式期权定价 期权是数学金融学研究中最广泛的一种工具，其定价是核心研究内容之一。 我们知道，期权价格是依附于某随机变化的资产价格，过去许多期权定价的研究 都是基于b l a c k - s c h o l e s 扩散模型，但其结果与实际市场数据存在较大偏差。为 了克服该模型的不足，1 9 7 6 年m e r t o n 引入了跳扩散过程，来解释资产价格波动 的过度尖峰厚尾现象，并得到了类似b l a c k - s c h o l e 公式的期权价格。尽管m e r t o n 的研究使期权价格更符合实际，但资产价格的跳跃幅度仍假设服从正态分布，描 述的是对称信息的价格变化，与实际统计数据分析的非对称、非高斯分布特征有 差异。因此，k o u 考虑跳跃幅度服从非对称的双指数分布，推广了m e f t o n 结果。 本章我们首先介绍k o u 的双指数跳扩散模型；其次利用鞅方法重新推导欧式定 价公式，并通过数据计算，分析跳风险参数对期权价格的影响；最后研究期权隐 含波动率及投资定价的偏差现象。 2 1 双指数跳扩散模型 考虑一个无犀摞、无套利、司连续交易的不完全金融市场。假定市场存在两 种可供选择的资产俾，s ) ，交易时间为 o ，丁 。给定一个满足通常条件，盯一域的 完备概率空间( q ，只，p ) ，设其上定义了市场三种不确定性源：e 一适应的标准 布朗运动形一 彬，f o r ) ；与w 独立且具有强度参数为正常数a 的p o i s s o n 过 程。 m ，f o ，z 】) ；与，独立的跳跃比例随机变量序列j - j ；，i - 1 , 2 , ) 。 定义e 一只”v e ”，其中只”，只”分别由 彬；s 0 ，优 0 ，p ，q 芑o ，p + g 一1 表示资产价格上跳或下跳时的概率。该模型 即为双指数跳扩散模型( d o u b l ee x p o n e n t i a lj u m p d i f f u s i o nm o d e l ) ( 简记为 d e x p j ) 。由且；公式，( 2 2 ) 可写成 h 附吒1 枷叫+ 耋k 令z o ) 一+ 叫+ 二誓，则由全概率公式得 p ( z ( f ) 苫n ) ；艺p ( ( f ) 一以) p o a + o w , + 二k 乏工k 一捍) = 薹争c + 叫+ 艺：2 l 枷) - y ( ，o r ，a ，p ，z ；a ，f )( 2 5 ) 其中n 为任意实数。为了求得( 2 5 ) ，需计算尸( + a w , + 二x 口) ，为此k o u 利用h h 函数与指数分布的无后效性特点得到了该分布函数的表达式。 定义2 1 ：( h h 函数) 对任意n 芑0 ，h h 函数定义如下： 巩o ) 一f h h n t ( y ) 咖。未f ( f 一工y e - t 2 7 2 出2o ，忍- o ，1 2 ， 砚一，o ) * e 。胆一面o ) ，n h o ( x ) 一v c 磊n ( - x ) 伊o ) 。j 瓦1 p 。”，o ) 5 f 伊( y ) a y 昂然。h h 甬数县一个非增函数日满早涕归关系式： 武汉理工大学硕士学位论文 以此可以求出h h 函数表达式或数值计算。 引理2 2 s o l 对任意n 芑1 ，有 嗲x 二雕等堋就加1 ，辑一 留 【一：。 ，以概率q ，k - l 2 ，3 ， 其中只，q