（应用数学专业论文）基于扭曲函数的风险度量分析与研究.pdf

武汉理j ：人学硕十学位论文 摘要 受全球经济一体化、金融创新等因素的影响，金融市场j 下发生着重大的变化， 人们面临的风险越来越复杂，因此研究和发展风险度量模型成为当务之急。在很 长一段时间，在险价值v a r 都作为首选来估算风险。它的主要优势是显示发生 最坏损失时的最小损失数和损失发生的概率。在很大范围的风险运用中，其使用 都比较简便。然而，它却存在一个重大缺陷：没有对原始损失分布的所有信息进 行讨论，忽略了风险极端尾部事件，即高风险事件。 这些极端尾部风险虽发生机会很少，但是一旦发生，可能会对如资本充足程 度、流动资金状况及盈利等主要监管及业务参数造成重大影响。所以，对小概率 大数值的极端尾部风险事件要引起人们的高度重视。人们需对这些尾部极端事件 做出精确的判断和预测，这就需要寻求更加适合的模型方法来处理这些极端情 况。为了解决这个问题，出现了各种不同的风险度量，这么多的风险度量方法， 到底哪些更合理，什么是标准，到现在为止仍没有得到共识。显然这是除了继续 寻找新风险度量方法之外，需要去做的另外一项重要工作，怎样对风险进行准确 的度量摆在了人们的面前。 本文主要研究一类特别的风险度量函数型风险度量。这类风险度量的实 质就是强调尾部风险，它通过对分布函数进行修正，给高风险事件更大的权重， 从而投资者对大的损失有主观的认识并对大的风险显示回避态度。本文首先介绍 当前流行的风险度量模型，并从扭曲函数角度考察风险度量，指出它们和传统方 法的区别，研究它们的特性，使之能准确的度量风险。再对选取不回扭曲函数得 到的各种函数型风险度量模型做比较，希望找到选取扭曲函数的依据。随后，对 模型中的参数进行分析，使得到的度量值与真实值更为接近。由于通常的风险分 布呈厚尾的形态，为了能够更好的拟合分布的尾部，使扭曲后得到的分布较为精 确的获得估计值，我们提出了应用扭曲函数对分布函数进行估计的两种方法 参数估计方法和非参数估计方法，并对相应情况下的估计结果做事后检验，从而 对函数型风险度量在实际风险度量中的运用产生定的指导作用。最后，对全文 迸行总结，指出研究的不足以及需要进一步研究的地方。 关键词：风险度量，扭曲函数，参数估计，非参数估计 武汉理：j ：入学硕+ 学位论文 a b s t r a c t i n f l u e n c e db yt h ef a c t o r so fg l o b a le c o n o m i ci n t e g r a t i o n ，f i n a n c i a li n n o v a t i o n a n ds oo n ，h u g ec h a n g e si nt h ef i n a n c i a lm a r k e ta r et a k i n gp l a c e ，a n dr i s k sb e c o m e m o r ea n dm o r ec o m p l i c a t e d s ot h er e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n to fr i s km e a s u r e m e n t m o d e l sa r eo u rt o pp r i o r i t y f o ral o n gt i m e ，v a rh a sb e e nt h ef i r s tc h o i c et oe s t i m a t e t h er i s k s t h em a i na d v a n t a g ei st h a ti ts h o w st h em i n i m u mn u m b e ro fl o s s e sa n dl o s s p r o b a b i l i t yi nt h ew o r s td a m a g e v a r i sr e l a t i v e l ys i m p l et ou s ew i t haw i d ev a r i e t yo f r i s k s b u ti th a sam a j o rf l a w ：i td o e s n tt a k ea l lt h ei n f o r m a t i o no ft h ei n i t i a ll o s s d i s t r i b u t i o n i n t oc o n s i d e r a t i o n ，i g n o r i n gt h er i s ko fe x t r e m ee v e n t so ft h et a i l ， h i g h - r i s ke v e n t s a l t h o u g ht h e s ee x t r e m et a i lr i s k so c c u ri n f r e q u e n t l y , i tm i g h tc r e a t es i g n i f i c a n t i m p a c ti ft h e e v e n to c c u r s t h e r e f o r e ，t h es m a l lp r o b a b i l i t yo fe x t r e m ee v e n t so fg r e a t v a l u e - t h et a i lr i s k ss h o u l dc a l lp e o p l e s a t t e n t i o n i fp e o p l ew a n tt om a k ea c c u r a t e j u d g r n e n ta n dp r o g n o s t i c a t et ot h e s et a i le x t r e m ee v e n t s ，w en e e dt of i n dam o r e s u i t a b l em o d e lw h i c hd e a l sw i t ht h e s ee x t r e m ec a s e s t os o l v et h e s ep r o b l e m s ， d i f f e r e n ts e t so fm e a s u r e ss t a r t e dt oa p p e a r h o w e v e r , w es t i l lc a n n o tr e a c ha c o n s e n s u st h a tw h i c ho n ei sm o r er e a s o n a b l ea n dw h a tt h es t a n d a r di s o b v i o u s l y , a p a r tf r o ms e e k i n gf o rt h en e wr i s km e a s u r e m e n tm e t h o d s ，w en e e dt od oa n o t h e r i m p o r t a n tt a s k - m e a s u r i n gt h er i s k sa c c u r a t e l y i nt h i sp a p e r , w es t u d yas p e c i a lc a t e g o r yo fr i s km e a s u r e s f u n c t i o nr i s k m e a s u r e s ，t h i st y p eo fr i s km e a s u r e si ne s s e n c ee m p h a s i z e st h et a i lr i s k ，w h i c hg i v e s ag r e a t e rw e i g h tt oh i g h r i s ke v e n t st h r o u g hm o d i f y i n gt h ed i s t r i b u t i o n ，t h u sm a k i n g i n v e s t o r sr e c o g n i z eg r e a tr i s kl o s ss u b je c t i v e l ya n ds h o wr i s ka v e r s i o n f i r s t l y , t h i s a r t i c l ei n t r o d u c e st h ep o p u l a rr i s km e a s u r em o d e l s ，a n a l y z e sr i s km e a s u r e sf r o m d i s t o r t i o nf u n c t i o n ，p o i n t so u tt h a tt h ed i f f e r e n c ec o m p a r i n gw i t ht r a d i t i o n a lm e t h o d s ， a n ds t u d i e st h e i rc h a r a c t e r i s t i c s ，m a k i n gr i s km e a s u r em o r ea c c u r a t e t h e n ，w e c o m p a r ed i f f e r e n tk i n d so ff u n c t i o n r i s km e a s u r e st h r o u g hs e l e c t i n gd i f f e r e n t d i s t o r t i o nf u n c t i o n s ，h o p i n gt of i n db a s i sf o rt h es e l e c t i o n l a t e r , w ea n a l y z et h e p a r a m e t e r so fd i s t o r t i o nf u n c t i o n s ，m a k i n gt h em e a s u r ev a l u ec l o s e rt ot h er e a lv a l u e s i n c et h eu s u a lr i s kd i s t r i b u t i o ni sf a tt a i ld i s t r i b u t i o n ，w eh a v ep u tf o r w a r dt w o m e t h o d st om o d if yd i s t o r t i o nd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ：p a r a m e t e ra n dn o n p a r a m e t e r e s t i m a t i o nm e t h o d s ，i no r d e rt of i tp r e f e r a b l yt h et a i lo ft h ed i s t r i b u t i o na n dg e tm o r e p r e c i s ee s t i m a t ev a l u eo fd i s t o r t i o nd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，a n dc o n d u c tp o s th o ct e s t s i l 武汉理i ：人学硕士学位论文 o ne s t i m a t e dv a l u e sc o r r e s p o n d ，w h i c hc a nt h e r e f o r eg u i d ef u n c t i o nr i s km e a s u r ei n a c t u a ls i t u a t i o n s f i n a l l y , w em a k eas u m m a r ya n dp o i n to u tt h ed e f e c t sa n dc o n t e n t w h i c hn e e d sf u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：r i s km e a s u r e ；d i s t o r t i o nf u n c t i o n ；p a r a m e t e re s t i m a t i o n ；n o n p a r a m e t e r e s t i m m i o n i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：亟塑造 导师签名：至墼 日期： 武汉理1 二大学硕十学位论文 第1 章引言 2 0 世纪7 0 年代以来，金融市场的不断发展、金融产品的不断创新使得人们 对金融风险的研究越来越关注，如何有效的、准确的测定和控制这些风险便成为 经济学，特别是金融学亟待解决的问题。在险价值的出现使得金融资产组合在一 定时期内最大可能损失的定量化成为可能。到目前为止，在险价值己成为金融风 险管理系统的奠基石。但现有的关于v a r 度量的研究还有待于进一步深入。因 为它存在一个重要的缺陷忽略了风险极端尾部事件，没有对风险的信息进行 全面讨论。这些极端尾部风险发生机率很小，但事件一旦发生，可能会对如资本 充足程度、流动资金状况及盈利等主要监管及业务参数造成重大影响。由此产生 出大量的理论度量方法和实证工作，这么多的风险度量方法到底哪些更合理，一 直是许多理论工作者与实际工作者探讨的课题。要回答之显然不能抽象的讨论这 个问题，而应该建立一个标准去考量这些风险度量方法的合理性。 1 9 9 5 年w a n g 提出一类函数型风险度量方法，这种方法可以涵括绝大多数 的风险度量方法，由此研究函数型风险度量可以作为考察风险度量的标准。另外 这种方法的实质就是强调极端尾部风险。它通过给高风险事件更大的权重，从而 投资者对大的损失有主观的认识并对大风险显示回避态度。现在的问题是：如何 评价函数型风险度量方法以及如何看待标准。显然这是除了继续寻找新风险度量 方法之外，需要去做的另外一项重要工作。要做好这项工作，必须从数学、经济 学甚至心理学等方面对诸如什么是风险、风险的特征、风险度量的本质等问题加 以认真的研究。本文就试图从数学上对函数型风险度量的本质给以一个回答，在 此基础上对上述风险度量方法的合理性进行论证。 1 1 本文研究的背景和意义 自第二次世界大战以后，世界经济一体化浪潮席卷全球，各国经济开放程度 逐步提高，国际间资金、信息流动迅速，加大了金融市场之间的相互影响，金融 风险在不同市场之间传导放大，使得全球市场波动性和风险不断加大。2 0 世纪 7 0 年代初布雷顿森林体系的结束，使人们开始面对更多更频繁的金融风险。近 几十年来，受经济全球化与金融一体化、现代金融理论、金融创新以及信息技术 等因素的影响，全球金融市场获得了快速发展，与此同时金融市场也呈现出了前 所未有的波动，频繁发生的金融危机不仅严重影响了工商企业和金融机构的正常 运营，而且还对一国乃至全球经济的稳定发展构成了严重威胁，这些都促使我们 武汉理。r 大学硕士学位论文 迫切关注金融风险的度量和控制等问题，意识到金融风险管理的必要性和紧迫 性。因此，以现代金融理论和金融工程为核心的金融风险管理研究引起了全球工 商企业、金融机构、政府当局及学术界的密切关注，己成为工商企业和金融机构 经营管理的核心能力之一。 所谓金融风险是指由于金融市场因素的变化而导致的企业未来收益发生损 失的可能性，它直接与金融市场的波动性相关，诸如利率、汇率或者商品价格的 波动、以及由于债务人财务状况恶化而导致的违约可能性等，都会给企业的资产 价值和收益带来风险。在诸多不同类型的金融风险中，金融市场风险不仅是所有 企业都要面对的风险，而且也往往是其他类型风险的基础原因。自年“布雷顿森 林体系 解体以来，全球范围内汇率、利率、股票价格和商品价格呈现出高度波 动性，主要原因就在于全球金融市场从固定价格体系向浮动价格体系的转变，具 体表现为年，“布雷顿森林体系”这一维系世界外汇市场价格稳定的基本体制崩 溃后，世界主要汇率自由浮动，引起汇率波动性的急剧上升年，美联储将货币政 策的控制目标由原来的利率改为货币供应量，同时在年代西方主要发达国家放弃 利率管制，引发了利率波动性的大幅上升两次石油危机物模型在金融市场风险管 理中的应用研究通货膨胀及许多国家为解决其经济问题所采用的货币、金融、外 贸及宏观经济政策，导致了汇率、利率、股价和商品价格波动性加剧。这些力量 使原本相对平静的经济金融环境发生了彻底的改变。 任何企业都无可避免地要面对金融市场风险，金融市场风险具有客观性，无 法消除，同时市场风险往往还是其他类风险的基础原因。因此对待金融风险的态 度应该是积极的风险管理行为，而不是简单规避、被动接受和无所作为。金融 市场的风险管理主要是指为改变企业所面临的金融市场风险状况而采取的一系 列管理行为，包括辨识企业面临何种风险，评估这些风险对企业的影响程度，如 何防范风险，风险产生后如何控制等。以往的风险测量技术比如方差、系数和 d e l t a 等方法都仅适用于特定的金融工具或特定的领域，难以全面地反映风险覆 盖情况。在这种情况下，金融机构的管理者和市场监管者越来越需要一种能够全 面反映金融资产或投资组合的风险暴露情况的市场风险管理工具。 1 9 9 3 年g 3 0 小组首先提出了v a r 风险管理的概念；1 9 9 4 年j p m o r g a n 银行 公布了其自主研发的r i s km e t r i c s 系统，使得用户能够解决头寸的风险计量接着 信孚银行开发的r a r o c 2 0 2 0 系统实现了将风险管理运算和市场波动预测相结 合计算v a r 值。随后在巴塞尔银行监督委员会和国际证券委员会的推动下，v a r 被越来越多的金融机构监管者、交易商、机构投资者应用于投资组合、金融衍生 品的市场风险和信用风险的测定中，已逐渐发展为国际上风险度量的新标准。然 而，v a r 在应用上有一些缺陷，如不满足一致性要求，只揭示了损失发生的概率 2 武汉理+ l 人学硕十学位论文 而未能反映损失的规模等，进而t a i l v a r ( c v a r ) 被提出，虽然满足了一致性要 求，但它也只反应了高于预先设定分为数的期望值，对低于其分位数的部分不给 予考虑1 2 l 。w a n g s s ( 1 9 9 5 ) 在其优化原则研究中提出了函数型风险度量 ( w t - m e a s u r e ) ，这是对整个损失分布进行考虑的一种方法。 我国金融市场作为一个发展中的新兴市场，市场规模还比较小，可交易的金 融产品比较单一，对于金融风险管理的手段还比较落后，主要以定性分析为主， 重在事后分析和评估，缺少事前风险防范和控制。随着金融市场的不断发展也为 金融监管部门提供了风险管理的统一标准。此外，随着我国金融改革和开放的进 一步开放与发展，金融市场和金融机构的运作和管理必将与国际接轨，金融监管 原则和技术必须符合国际惯例要求，这就促进了技术的进一步开拓与发展。目前， 我国金融机构运用物模型还存在一些现实困难，寻找适合于我国金融市场特点的 风险模型己成为现时理论研究的突出内容。本文的主要目的也正是希望通过函数 型风险度量的基本原理，从理论上分析各模型的有效性、实用性，然后对其中有 代表性的方法进行实证研究，为理论模型的可行性提供实践证据，并为此方法在 我国的应用和发展做进一步的总结。 1 2 国内外对本课题领域的研究现状 1 2 1 国外研究现状 扭曲概率这个思想最早起源于y a a r i l 3 1 ( 1 9 8 7 ) 的风险的双重选择理论，在这篇 文章中，y a a r i 改变投资回报分布函数最( x ) ，用改变后的分布函数厂。只( x ) 来 度量风险。d e n n e b e r gd t 4o ( 1 9 9 0 ) 也在保险定价研究中提出这个改变概率的思想， 并正式给出风险度量的形式，指出改变后的分布函数厂。凡( x ) 是非递增且有限 的。 1 9 9 5 年w a n g l l l 首次在精算文学中采用此思想，提出函数型风险度量的概念。 他定义一种扭曲函数来改变风险分布概率，通过改变后的概率分布度量风险，由 此产生了一类新的风险度量函数型风险度量。并通过选择特殊的扭曲函数说 明v a r 可转变为函数型风险度量。随后，w a n g l 5 l l j 和y o u n g l 6 1 ( 1 9 9 8 ) 研究函数 型风险度量的性质，提出很多的新的风险度量方法，比如双重幂变换d p ( d u a l p o w e r ) 、比例机会变换p h ( p o s i t i v eh a z a r dr a t e ) ，并通过选择特殊的扭曲函数说 明v a r 、t v a r 可转变为函数型风险度量，c t e 不能转变为函数型风险度量。1 9 9 8 年h u r l i m a n n 通过对扭曲函数研究提出一种新的扭曲函数l 0 0 k b a c k 扭曲函 数。r o c k a f e l l a r 和u r y a s e v ( 2 0 0 0 ) 、g e r b e r 和s h i u ( 2 0 01 ) 、s c h w e i t z e r ( 2 0 01 ) 对扭 曲函数型函数风险度量进行进一步研究，分析各种函数型风险度量所满足的条 武汉理一i ：人学硕士学位论文 件。l a n d s m a n 和s h e r r i s ( 2 0 0 1 ) 提出了一种称之为调整后的确定性等价的风险度 量，并对这种度量和期望效用度量及基于扭曲函数的风险度量按照风险度量的性 质进行了比较和讨论。w a n g l 7 i i 引( 2 0 0 0 ，2 0 0 2 ) 介绍一类特别的扭曲算子，用这类 特别的扭曲算子定义王氏扭曲函数，并用于金融定价和保险风险中。 w a n g 和y o u n g ( 2 0 0 0 ) 、d h a e n e e ta 1 ( 2 0 0 0 ) 通过a r t z n e rj 引f 1 9 9 9 ) 提出的一致 性风险度量条件研究函数型风险度量的一致性。h a r d y 和w i r c h l l o l i l ( 2 0 0 1 ，2 0 0 2 ) 研究函数型风险度量与一致性和随机占优的关系。证明凹扭曲函数是一致性的充 分必要条件，严格凹扭曲函数是二阶随机占优一致性的充分必要条件。得出函数 型风险度量是一致的当且仅当扭曲函数是凹的，并将这个结论运用于v a r 、c t e 、 t v a r 和王氏保费理论研究。a c e r b i t i l z ( 2 0 0 2 ) 讨论一致函数型风险度量与风险厌 恶的关系。m i c h e lv e r l a i n e ( 2 0 0 3 ) 用最大熵理论讨论一致性函数型风险度量，利用 扭曲原始核概率论证一致风险度量相当于概率权重函数p w f ，用p r e l e c 方法估 计扭曲函数和测量不同程度消费者的一致风险度量。 2 0 0 4 年d h a e n ee t a l1 1 3 1 证明函数型风险度量服从正齐次性，单调风险可加 性，单调性，平移不变性。论证e s 不是函数型风险度量。此外还研究函数型风 险度量的一种特殊的子集凹函数型风险度量，证明v a r 不是凹函数型风险 度量，t v a r 是凹函数型风险度量。随后与v a n d u f f e l 等人将函数型风险度量方法 运用于度量偿付资本。m a d a n 和u n a l ( 2 0 0 4 ) 、d h a e n ee ta 1 ( 2 0 0 4 ) 、g o o v a e r t s 和 l a e v e n ( 2 0 0 6 ) 研究凹函数型风险度量的次序，提出凹扭曲函数保持停损次序，即 t v a r 也保持停损次序，并给出证明。通过研究凹扭曲函数与停损次序的关系， 得到凹扭曲函数满足次可加性，是一致性风险度量。t v a r 满足次可加性是一致 性风险度量，v a r 、c t e 和e s 不满足次可加性不是一致性风险度量。 a c e r b ia n ds i m o n e t t i ( 2 0 0 2 ) a n db a s s e t te ta 1 ( 2 0 0 4 ) 采用谱风险度量法和函 数型风险度量法求解最优投资组合问题。2 0 0 3 年d o n a l dl ，m c l e i s h 和r m a r k r e e s o r t 研究扭曲概率和r e o 之间的关系。指出扭曲概率和最优相关熵r e o 都 是改变分稚的测度，其中r e o 是用于不完全市场的金融资产风险定价，而扭曲 概率用于风险管理的保险j x l 险定价。虽然运用领域不同，但可以通过扭曲概率解 决最优熵问题。 b a l b a s 、g a r r i d o 、m a y o r a l ( 2 0 0 6 ) 总结了函数型风险度量的性质特征。c h r i s t i a n g o u f i e r o u x 和w 西“u 1 14 l l l 5 ( 2 0 0 6 ) 通过柯西效用期望理论对函数型风险度量进行 灵敏度分析，得到计算函数型风险度量渐进分布函数的一般表达式，并运用于 v a r 、t v a r 和p h 函数型风险度量中。 h e n r y kg z y l 和s i l v i am a y o r a l 1 6 。( 2 0 0 6 ) 、a l e x a n d r e m o h a m e d 和j e a n p a u l ( 2 0 0 7 ) 研究函数型风险度量和谱风险度量的关系，证明函数型风险度量和谱风险 4 武汉理t 大学硕十学位论文 度量是等价的。2 0 0 7 年f a b i ob e l l i n i 和c a m i l l ac a p e r d o n i 研究一致函数型风险 度量和高阶随机占优。他们得到只有一致函数型风险度量和3 阶随机占优是相一 致的。a l e j a n d r ob a l b a s 、j o s eg a r r i d o 和s i l v i am a y o r a l1 1 7 1 对函数型风险度量进行 进一步研究，提出了扭曲j x l 险新的性质以此避免产生矛盾的风险度量结果。 1 2 2 国内研究现状 随着国际上对金融风险度量的重视和国外学者对函数型风险度量的逐步深 入，国内也丌始对函数型风险度量进行研究，国内的文章主要集中在介绍国外学 者的研究成果，而国内对于函数型风险度量的研究成果还是比较少，大多数学者 对函数型风险度量的研究仍是在于比较度量优劣方面。 2 0 0 5 年石媛昌，韩立岩在金融风险度量方法的新进展中介绍了一些当前比 较流行的风险度量工具，并从扭曲函数的角度考察风险度量，指出它们和传统方 法的区别。随后，石媛昌1 1 3 i 借鉴w a n g 提出的保险定价领域的一种基于扭曲函数 的风险度量方法，把金融风险作为概率扭曲变换的期望进行讨论，给出了c v a r 的扭曲函数表示，并对v a r 、c v a r 、p h 和d p 等新的基于扭曲函数的风险度量 方法进行归纳和总结，最后通过不同证券投资组合的风险分析来说明基于扭曲函 数的风险度量的计算，探讨了这一类风险度量的特征和有效性，得出利用扭曲函 数方法计算风险，投资者可以根据自己对风险的态度来选择合适的扭曲函数和相 应的参数，从而能恰当的反映投资者的风险回避程度。 2 0 0 6 年孟生旺和董仲奇1 1 9 1 在假定了损失服从p a r e t o 分布的条件下对v a r 、 t v a r 、p h 、d p 、b e t e 变换和王氏风险度量进行比较，给出选择风险度量方法的 一种参考依据。对于扭曲函数来讲，v a r 的变换函数有一个间断点不满足一致性 要求，t v a r 对应的变换函数相对平滑，但仍然存在一个转折点，所以t v a r 虽 然满足一致性要求，但在某些特殊情况下不能有效区分不同的风险水平。而其他 的变换函数都是平滑函数，因此它们对应的风险度量方法也就是具有更加优良的 性质。从信息利用的角度看v a r 仅仅是一个分位数，对损失分布函数的信息利 用最不充分，t v a r 仅仅使用了损失分布右尾超出v a r 的一部分信息，而其他基 于各种变换函数的风险度量方法都利用了损失分布包含的所有信息。因此，风险 度量方法的具体选择要结合损失分布的特点、管理的需要和人们的感性认识。当 高端损失显得非常重要时，选择对损失分布的右尾赋予较大权重的风险度量方法 就是一种明智之举。 2 0 0 7 年，邱强和徐云1 2 0 l 在函数型j x l 险度量的一致性文章中证明了扭曲函数 满足一致性的充要条件，并将函数型风险度量和v a r 、c t e 作比较，通过特殊 地数值计算得出v a r 和c t e 都不能揭示出风险的差异以及他们对资本金的不同 武汉理一t ：人学硕十学位论文 要求，因此仅满足一致性原则的风险度量工具并不是最理想的，而w t 不仅满足 一致性且扭曲函数还满足一一对应，故可以区分风险的差异，更符合投资者的心 里感受，由此得到评价一种函数型风险度量好坏的标准不仅要看选择的扭曲函数 的性质，还要看扭曲函数是否满足一致性和一一对应性，即风险度量不仅要满足 一致性还要全面使用损失分布包含的所有信息。 1 3 本文研究内容及论文组织情况 1 3 1 本文的主要研究思路、结构和方法 本文对风险度量进行全面阐述，详细分析函数型风险度量模型，研究扭曲函 数和函数型风险度量的性质特征，并对函数型风险度量进行数值分析，由数值计 算产生的矛盾结果修正扭曲函数，最后对扭曲函数的参数进行估计，使之能够良 好的捕捉投资者对高风险事件的回避态度。本文的组织结构安排如下： 介绍了函数型风险度量在国内外的发展和运用情况，分析本文的研究目的和 意义；第二章介绍各类风险度量模型及各自的特点和关系，从而进行对比研究； 第三章阐述的函数型风险度量的基本概念，详细介绍函数型风险度量的性质和存 在条件，最后给出函数型风险度量的数值分析回顾了几个经典的扭曲函数，对这 些扭曲函数进行比较，并通过选取扭曲函数对函数型风险度量进行数值分析，对 得到的矛盾结果进行分析，修正扭曲函数；第四章分析参数扭曲函数和非参数扭 曲函数，对它们进行估计检验；第五章对本文做出总结，阐述论文在写作和研究 过程中获得的理论成果和遇到的有待进一步深入研究的问题。 1 3 2 论文的特点和创新之处 本文主要应用函数型风险度量方法，对投资风险进行模型实证研究。在消化 现有文献的基础上，本文拟采用以下研究方法：用理论联系实际，实证分析结合 规范分析，定性分析结合定量分析、以定量分析为主。 本文的主要创新之处在于： l ：在函数型风险度量的框架下，选取多种扭曲函数进行风险度量，根据度 量产生的矛盾对扭曲函数进行修正分析。 2 ：对于同一条件下，对表达形式各异的函数型风险度量进行比较，得到选 择风险度量函数的一种参考依据。 3 ：提出应用扭曲函数对分布函数进行修正的两种方法参数修正方法和 非参数修正方法，以便更好地拟合厚尾。 6 武汉理一1 ：人学硕十学位论文 第2 章函数型风险度量模型 风险度量的方法随着金融市场的不断发展而日新月异。本章的主要目的就是 从数学的角度来介绍为适应现代金融市场而提出的度量风险的主流模型及各自 的特点和关系，从而进行对比研究。 2 1 函数型风险度量 从数学的角度讲，凡是涉及到度量的问题，实际上就是建立一个被度量对象 所组成的集合到实数集的映射。物体质量的度量就是建立了一个这样的映射，连 以前被认为不可能度量的热能也是这样建立映射的。因此，从这个意义上讲，风 险的度量也应如此建立映射。 众所周知，风险的本质特征是不确定性，由此我们可以用随机变量来描述风 险。设r 是由随机变量组成的集合，即风险组成的集合。这样，建立的风险度量 方法其实就是建立一个从1 1 到实数集r 的映射。即对栅f ，x 代表损失或收 益，按照映射的对应法则，在实数集r 中都应有唯一一个实数与之对应，而这 个实数就是风险度量值。 定义2 11 3 1 ：任何风险x 组成的集合r ，其风险度量可以表示为函数 p ：f 争r ， p ( x ) = 倒= ；。t d f x ( t ) ( 2 一1 ) 假定风险x 是随机变量，其( 累积) 分布函数为足( 力= p ( x 力，足( x ) 是 非负、非递减和右连续的函数，足( 一) = 0 ，兄( + o 。) = l 。另外，定义生存函数 s x ( x ) = 1 一足( x ) 。 引理2 1 ：给出定义式( 2 - 1 ) 的变换式 j 一 p ( x ) = e x = 一i 足( t ) d t + 【( 1 一忍o ) ) 出 ( 2 - 2 ) 卜枷 或 ，冈 p ( x ) = e x = 一i ( 1 一s x ( f ) ) 出+ 【s x ( t ) d t ( 2 3 ) 卜 u 证明：由生存函数定义可知( 2 - 2 ) 式和( 2 3 ) 式是等价的。 下证( 2 - 2 ) 式成立。 e x = 广t d f x ( t ) = 卜一ot d f x ( t ) + f t d f x ( t ) 而 。l i r af 。t d f x ( f ) = 0 ，。l i mf t d f x ( t ) = o 7 武汉理i ：人学硕十学位论文 另外 则 那么 故 而 故 峨( f ) 纠e 峨( f ) = 彳瓦( f ) 5 o f t d f x ( t ) bf d f x ( t ) = b ( 1 一只( 曰) ) o 1 i ma f ( a ) = 0 ，! i m b ( 1 一f ( b ) ) = 0 a - o o廿 f ：o t d f x ( t ) = 峨( 圯一曩( f ) 以 = 一，1 i m 一。t f x ( t ) 一f 。f x ( t ) d t = 一f o f x ( t ) d t l o 小 r 删巳( f ) = 一r 搿( 1 一足( f ) ) = - t ( 1 一只( ，) ) l ：+ f ( 1 一瓦( f ) ) 出 一l i m t ( 1 一目( f ) ) + 【( 1 一f x ( t ) ) d t 2 j ：( 1 - o j 以( f ) ) 班 ，u p ( x ) = 倒= 一b ( f ) 西+ r ( 1 一f x ( t ) ) d t 定理2 1 ：对于任意的风险x ，其风险度量都可以表示为 p ( x ) = f s ；( q ) d q ( 2 4 ) 证明：令g = s x ( x ) 0 , 1 一足( f ) 砍= 峨( ) 一1 ) d t = r ( 鸟一1 ) 冽( g ) = ( g 一1 ) s ? ( g ) ? 们一f ( o ) s ；( q ) d q = l w ( 口) 由 j c o ( 1 一只( f ) ) 也= f s x ( f ) 以= f ( o ) q d s x ( q ) = 冽( 巩。) 一。) s ；( q ) d q = = f ( o ) s x , ( q ) d q 1。， p ( x ) = e x = 一f 。of x ( t ) d t + j ：( 1 - 只( f ) ) 出 = f ( o ) w ( g ) 由+ r s ，( q ) d q = f s x ( q ) d q 8 武汉理一1 ：人学硕十学位论文 另外，对函数型风险度量而言，任何能被人们所认可的风险度量都应当符合 以下两条标准： 有效性。这是风险度量最重要和最基本的要求，也是一个风险度量能够合格 的基本标准。所谓有效，是指它能够提供一种令人信服的数量指标，用以标度风 险对行为人作用的大小。通常说风险大小，当然应当指行为人面对风险时所感到 它对自己或他人所起作用或影响的大小。而这种作用或影响，不可能纯粹是正向 的价值或着总可给人们带来某些好处；相反，它可能是人们不得不面对的那种由 潜在损失所带来的威胁和危害。显然，要标准标度风险的大小，首先要准确标度 危害性的大小。 适用性。这是指所用度量不仅能在特殊类型的风险中用于准确计量风险造成 危害作用的大小，还能在一般类型的风险中用于准确计量这种所谓的风险的大 小。显然，在风险度量使用中，所需的限制条件越少越好，若不需附加任何限制 条件那将更好。 2 2 主流风险度量模型 风险度量的研究一值不断，现今风险度量方法的主流仍是v a r 。本章首先简 单介绍在险价值v a r ，提出它的主要缺陷忽略了风险极端尾部事件，没有对 风险的信息进行全面讨论。然后从这点出发，通过现在风险度量的发展趋势，详 细讨论此问题的解决方案。 2 。2 1 在险价值v a r 在险价值v a r 是1 9 9 3 年由g 一3 0 成员国推荐和1 9 9 4 年j p 摩根集团在考察 衍生产品的基础上提出的。v a r 一经提出，就由于它的简便性使其成为当前最流 行的一种金融风险度量。所谓v a r 是指在市场正常的波动情况下，对衍生金融 工具可能损失的一种统计测度。其计算方法多样而灵活，理论也很简单，而且能 够很好地与其他模型相结合，从而更好地刻画各种情形下的风险。 用v a r 模型度量风险，首先要确定头寸的持有时间和置信水平；其次，要 对处于风险的价值v a r 作出判断。其中，持有时间是计算v a r 的时间范围，确 定持有时问要考虑资产组合的流动性、资产组合头寸保持不变假定以及收益回报 率服从正态分布假设等因素；而置信水平的确定则要考虑到风险资本需求和监管 要求。巴赛尔委员会规定的持有时间标准为1 0 天，置信水平为9 9 ，不同的银 行机构可以根据自身情况选择不同的持有时间和嚣信水平，比如花旗银行选择的 持有时间为3 0 天、置信水平为9 5 4 。 v a r 的基本含义是指一定的置信水平下某一特定的时期内给定的衍生金融 武汉理t 入学硕十学位论文 工具可能遭受的最大的损失，或者是说在一个给定的时期内一个衍生金融工具的 下跌以给定的概率一般不会超过的水平。p h i l i p p ej o r i o n 给出的权威说法是“在 正常的市场条件下，给定的置信区间的一个持有期内的最坏的预期损失”。 在给定持有期【o ，t ，置信水平o f o ，1 】( 例如取o f = 9 9 ) 下随机变量x 的 v a r 风险度量用数学式可表达为： 砌心= 巧1 ( 口) ( 2 5 ) 这晕的足1 缸) 是只( x ) 的反函数，它是非递增和左连续函数。若i n f = 佃， 则巧1 缸) = i n f x r i f ( x ) o f ) ，即砌心= i n f x r l f x ( x ) o f ) ，此表达式说明损 失的概率是不会超过1 一口的。对于离散的分布，有p ( x v a 心) v a 心】 ( 2 6 ) 显然c 暖= v a r y , + 研x 一妇r 口i x v a 吸】，在同一置性水平下c 甄玩心。 尾部条件期望c t e 不仅反应了损失的概率，还反应超出v a r 部分的期望损失值， 因此优于v a r 。加拿大的财政部门的监管体制就决定用c t e ( o 9 5 ) 来度量资金要 求。然而它只考虑超出v a r 的高端部分的损失，却忽略低于v a r 低端部分的损 失，换句话就是没有对整个损失分布进行考虑。 若x 的分布是离散时，h a r d y ( 2 0 0 1 ) 给出了它的另一种数学表达式： 1 t v a r , , = j 二iv a r q 由 l 一口一 ：v a r , ，+ e ( x v a r y ) e x v a r , ， x v a r y ( 2 7 ) l 一“ 条件风险价值指在置信度为口的情况下，时间t 内超过收益分布尾部1 - 口部 分的期望值，用公式可表示为： c v a r 。( x ) = e x l x v a 心】 ( 2 8 ) t a s c h e ( 2 0 0 2 ) 提出c v a r 也可由下面优化问题的解来表示： 1 c v a r 。= i n f a + _ _ 二一e x 一口】+ ：a r ) i a 至于c v a r 值的计算，由c v a r 的定义很难计算出c v a r 值，这是因为在c v a r 的定义中涉及到v a r 这个参数，并且这个参数又是内生的，因此给计算造成了 武汉理工大学硕十学位论文 很大困难。在实际的计算过程中，c v a r 值是通过构造辅助函数计算而出的。这 种方法可以在不先求出v a r 值的情况下得到c v a r 值，并且在求出c v a r 值的同 时也可以得到v a r 值。c v a r 值的求解其实是一个线性规划问题，国外研究者在 实证分析时大多采用c p l e x 软件来完成，这样能很快地得到结果，并且比v a r 值的计算更加简便。 尾部期望短缺e s 用公式可表示为： 咋 圾何) = 一( 1 以幽) 巧 ( 2 9 ) 0 其实，c v