（控制理论与控制工程专业论文）多分裂波形松弛方法的理论研究与应用.pdf

多分裂波形松弛方法的理论研究与应用 摘要 微分方程初值问题在很多领域都有着重要的应用。波形松弛法 主要用于大规模常微分方程和微分代数方程的数值求解，其主要思 想是把原来的大规模系统分解成许多规模较小的子系统，然后对每 个子系统分别单独求解。因此，它非常适合于并行计算该算法也是 一种迭代法，但它是在函数空间上迭代，即在每一步迭代过程中所 包含的是波形( 时间函数) ，而不是标量。 首先，本文给出线性微分初值问题的基本波形松弛迭代格式， 以及收敛性理论，同时在此基础上，给出一类微分动力系统的波形 加速超松弛算法及其收敛性。 其次，本文给出一类微分初值问题的波形松弛多分裂算法及其 收敛性，并研究了系统的重叠块分解多分裂波形松弛算法，接着研 究了积分微分代数方程的多分裂波形松弛算法。 另外，本文考虑了一维对流反应扩散方程，讨论其s c h w a r z 波 形松弛算法的适定性以及收敛性问题，进而对算法进行了修正，提 出了该类方程的最优s c h w a r z 波形松弛算法，对该算法的适定性以 及收敛性进行了理论证明，得到了相应的结论。 最后，本文运用预处理波形松弛对一类微分动力系统构造了预 处理动力迭代算法，并对其误差进行了分析，同时将重叠分裂引入 到预处理波形松弛方法中，证明了算法的加速收敛性。本文还就各 数值方法进行了比较，给出了相应的数值示例。 关键词：初值问题，并行算法，并行多分裂，预处理波形松弛，s c h w a r z 波形松弛，波形松弛方法，重叠块分解多分裂波形松弛 m u l t s p l i t i n gw a v e f o r mr e l a x a t i o n m e t h o d sw i t ht h e o r i e sa n d a p p l i c a t i o n s a b s t r a c t a ni n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nh a si m p o r t a n t a p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s w a v e f o r mr e l a x a t i o n ( w r ) i sa ni t e r a t i v e m e t h o df o r n u m e r i c a l l ys o l v i n gl a r g es p a r s es y s t e m so fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( o d e ) a n dd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e ) t h ek e yi d e ao fi ti st os o l v et h es y s t e mo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb yi n t e g r a t i n gas e q u e n c eo fs u b s y s t e m si nf e w e rv a r i a b l e s w i t h i na ni t e r a t i o n p r o c e d u r e h e n c e ，t h i sk i n do fm e t h o dc a nb e r e g a r d e da san a t u r a le x t e n s i o no ft h ec l a s s i c a lr e l a x a t i o nm e t h o d sf o r s o l v i n gl i n e a rs y s t e m so fa l g e b r a i ce q u a t i o n s ，w i t hi t e r a t i o nv e c t o r s c o n s i s t i n go ff u n c t i o n si nt i m e ( w a v e f o r m ) i n s t e a do fs c a l a rv a l u e s ab a s i cw a v e f o r mr e l a x a t i o ni t e r a t i o no ft h el i n e a rd i f f e r e n t i a l i n i t i a lv a l u ep r o b l e mw a sf i r s t g i v e ni n t h i st h e s i s a sw e l la st h e c o n v e r g e n c et h e o r y w h a t r e l a x a t i o na l g o r i t h mo fa c o n v e r g e n c et h e o r e m w a sa l s og i v e ni sa n c l a s so fd if f e r e n t i a l a c c e l e r a t e dw a v e f o r m p o w e rs y s t e ma n di t s s e c o n d l y , w ed i s c u s s t h e m u l t i s p l i t t i n g w a v e f o r mr e l a x a t i o n a l g o r i t h mo fac l a s s o fd i f f e r e n t i a li n i t i a lv a l u e p r o b l e m a n di t s c o n v e r g e n c e a n d ，w es t u d ya no v e r l a p p i n gb l o c kd e c o m p o s i t i o n a l g o r i t h mf o rm u l t i - s p l i t t i n gw a v e f o r mr e l a x a t i o no ft h es y s t e m ，a n d t h e nw es t u d yt h e i n t e g r o d i f f e r e n t i a la l g e b r a i ce q u a t i o n so fm u l t i s p l i t t i n gw a v e f o r mr e l a x a t i o na l g o r i t h m r n -j 一 1h l r d l y ，o n e - d i m e n s i o n a lc o n v e c t i o n - r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n w a sa n a l y z e di nt h i sa r t i c l ea n dt h ew e l l p o s e dw a sd i s c u s s e da sw e l la s t h ec o n v e r g e n c eo fi t ss c h w a r zw a v e f o r mr e l a x a t i o na l g o r i t h m t h e ni t m o v e st ot h er e v i s i o nt ot h ea l g o r i t h ma n dp r o p o s e st h eb e s ts c h w a r z w a v e f o r mr e l a x a t i o na l g o r i t h mf o rt h i se q u a t i o n ，w h i c hw e l l p o s e da n d c o n v e r g e n c ea r ed i s c u s s e dw i t ht h e o r e t i c a lp r o o fa n dc o r r e s p o n d i n g c o n c l u s i o n s f i n a l l y , t h i s a r t i c l ec o n s t r u c t st h ep r e t r e a t m e n tp o w e ri t e r a t i v e a l g o r i t h mf o rac l a s so fd i f f e r e n t i a lp o w e rs y s t e mb yu t i l i z i n g t h e p r e t r e a t m e n tw a v e f o r mr e l a x a t i o na n da n a l y z e si t se r r o r t h e nw h a tw a s i n t r o d u c e di st h e o v e r l a p p i n gs p l i t t ot h e p r e t r e a t m e n t w a v e f o r m r e l a x a t i o nm e t h o da n dt h i sa l g o r i t h m sc o n v e r g e n c ew a sa l s op r o v e d w h a t sm o r e ，v a r i o u sn u m e r i c a lm e t h o d sw e r ec o m p a r e da n d c o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a le x a m p l e sw e r ea l s og i v e ni nt h ea r t i c l e k e yw o r d s ：i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，p a r a l l e l m u l t i s p l i t t i n g ，p r e c o n d i t i o n i n g w a v e f o r m w a v e f o r mr e l a x a t i o n ，w a v e f o r mr e l a x a t i o n m u l t i s p l i t t i n gw a v e f o r mr e l a x a t i o n i i i a l g o r i t h m ，p a r a l l e l r e l a x a t i o n ， s c h w a r z m e t h o d ，o v e r la p p i n g 符号说明 玎扮维复空间 矩阵么的转置 矩阵么的2 范数 矩阵彳的转置共轭 矩阵么的行列式值 矩阵彳的f r o b e n i u s 范数 矩阵彳的谱半径 2 黼忙 o 其中r 是q 上的一个椭圆型微分算子。事实上将上述方程进行半离散化，即仅 做函数空间离散，就可以得到一阶微分方程的初值问题，对这个初值问题可以 用波形松弛法进行求解。用波形松弛方法可以求解的偏微分方程还有半导体模 拟方程，扩散方程和n a v i e r s t o k e 等1 2 2 - 2 4 1 。 对波形松弛法的研究，目前已有许多文献和结果，其中最早的收敛性分析 是由l e l a r a s m e e ，r u e h l i ，s a n g i o v a n n i v i n c e n t e l l i 和w h i t e 等给出的 5 , 6 , 1 8 , 19 l 。他 们主要讨论了非线性初值问题 m ) 戈= f ( x ，f ) ( 1 6 ) 的波形松弛方法。当t o ，t 】时，在一定条件下他们证明了j a e o b i 波形松弛法和 g a u s s s e i d e l 波形松弛法的收敛性。这些结果主要是基于对连续函数空间上的 范数进行指数加权后，形成的波形松弛方法所对应的迭代算子是一个收缩算 子，从而由波形松弛法所产生的迭代函数列收敛到初值问题( 1 - 6 ) 的解。随 后m i e k k a l a 和n e v a n l i n n a 对一类特殊但比较常见的线性常系数初值问题 p 血= 儿) ( 1 7 ) i 工( o ) = 而，t 0 的波形松弛法进行了系统的讨论，并给出了一系列的收敛性理论。对于这种微 分方程，波形松弛法的迭代格式为 p + 絮。k m 扣。川力 ( 1 - 8 ) ix o ( o ) = x o ，t 0 其中a = m d 一j ，当这个矩阵分裂分别为j a c o b i 分裂，g a u s s s e i d e l 分裂和s o r 分裂时，所对应的波形松弛法即为j a c o b i 波形法、g a u s s s e i d e l 波形法和s o r 波形法。在定条件下，m i e k k a l a t 2 5j 和n e v a n l i n n a t 2 6 1 证明了这些算法与线性方 程组a x = b 的相应算法有着同样的收敛性质。之后m i e k k a l a 将波形松弛法运用 到了微分代数方程的数值求解中。 对于线性常系数微分代数方程 7 陕西科技大学硕士学位论文 臌+ a x = 厂 ( 1 - 9 ) 其中召是个奇异矩阵，m i e k k a l a 讨论了波形松弛法的收敛性质。在一定条件下， 给出了谱半径的表达式，并且在b 是对角阵的假定下，得到了一些常见波形松 弛法的收敛结果 2 7 - ”i 。j a c k i e w i c za n dk w a p i s z t 3 0 1 和b u r r a g e 3 1 】在后来考虑了一类 特殊的非线性微分代数方程 x 2 【x ，x ，y ， ( 1 1 0 ) 【y = g ( - r ，z ，y ，f ) 的波形松弛法。 近几年，波形松弛法也被用来求解二阶微分方程、延迟微分方程、泛函微 分方程以及v o l t e r r a 型积分方程等，详细结果可以参见文献 3 2 3 4 】。波形松弛 法的高效并行性 a s 4 0 ) 使得它非常适合于求解大规模初值问题 4 1 4 ，】，但该算法的 一个主要缺点是收敛速度较慢，如何提高波形松弛法的收敛速度已成为波形算 法研究中最活跃的方向之一t “】。近年来，许多关于线性代数方程组【 4 9 的加速 技术被推广到了波形松弛法( 5 0 巧，l 。目前，对微分方程初值问题 5 4 1 的研究，已经 扩充到微分方程边值问题】、高阶微分方程的初值以及边值问题1 5 5 1 、时滞微分 方程【5 6 】、微分代数方程f 5 7 ，以及泛函微分方程【5 8 删等上来，用波形松弛方法研究 偏微分方程1 6 4 巧s j 的数值解也有许多文献。在波形松弛方法基础上发展起来的优 化s c h w a r z 方法1 6 9 - 7 9 是求解微分方程的有效工具。最近用多分裂波形松弛方法 【”8 2 】求解微分方程是一个加速收敛的有效途径。 1 3 本文研究工作及结构 本文将波形松弛方法应用到一些微分初值问题，得到了重叠块分解多分裂 波形松弛算法，s c h w a r z 波形松弛算法，以及预处理波形松弛方法，并对他们 的收敛性进行了研究和讨论。文章的内容可以概括为以下几方面： ( 1 ) 第一章对波形松弛方法进行概述，详细地介绍了波形松弛方法、背景 和现状，第二章中将波形松弛基本理论的研究做一总结，包括了基本波形松弛 算法，基本波形松弛算法的收敛性等；再对波形加速超松弛算法及其收敛性的 基本理论作一简单阐述。 ( 2 ) 第三章中先研究了波形松弛多分裂算法及其收敛性分析，在这些方法 上进一步研究了重叠块分解多分裂波形松弛；最后研究了积分微分代数方程的 多分裂波形松弛。 ( 3 ) 第四章中先研究了s c h w a r z 波形松弛算法、算法适定性及其算法收敛 性，在此基础上，研究了最优s c h w a r z 波形松弛算法、算法适定性及其算法收 多分裂波形松驰方法的理论研究及应用 敛性。并结合仿真结果对该算法进行了分析。第五章中对预处理动力迭代算法 及其算法收敛性分析误差分析、重叠分裂做了详细地研究。 ( 4 ) 第六章中，我们通过数值示例在m a t l a b 环境下对前面各章所论述的 数值算法进行比较，并结合仿真结果对算法进行了分析。第七章是对波形松弛 理论研究的小结，并指明今后研究的方向。 9 陕西科技大学硕士学位论文 2 波形松弛基本理论 本章首先给出线性微分初值问题的基本波形松弛迭代格式，以及收敛性理 论 2 5 ，3 2 ，同时在此基础上，给出一类微分动力系统的波形加速超松弛算法及其 收敛性。 2 1基本波形松弛算法及其收敛性 2 1 1基本波形松弛算法 考虑微分初值问题 j 臌( ) + 血( ) = 心) ( 2 1 ) 【x ( o ) = x o ，t 0 其中，彳，曰是常数矩阵，且曰是非奇异的，由微分初值理论知识可知，如果f ( t ) 在 o ，刀上连续，则对于任意的初始值在 0 ，r 上存在惟一解。 令a = m a m ，b = m n 一，且m 曰是非奇异的，则( 2 1 ) 可以写成 戈0 ) + l 工o ) = 虬j o ) + n a x ( t ) + f ( t ) ( 2 - 2 ) 其波形松弛算法描述为 肛戈似+ 鼍x i l l2 + 虬+ f ( 2 - 3 ) if ”( o _ ) = 而 显然( 2 3 ) 在收敛性质和计算复杂性依赖于矩阵么，曰的分裂，对应于不 同的分裂也将产生不同的迭代算法。其中很自然也很典型的一类分裂方法就是 将彳和曰分裂成相同的形式。 表2 1 矩阵彳，曰的不同分裂 t a b l e2 1d i f f e r e n ts p l i t t i n go fm a t r i xaa n db 分裂法m b n b m t n a 1 ， 1r d 1 ， 1 ， r i c h a r d s o n 一一一拶一一1 一以 国缈国 缈 j a c o b i d bl b + u8见l a 七u d 8 一l bu bd 一l g a u s s s e i d e l d 8 一u8厶d 一u al s o r d b l b坐+ 1n 7 1 - - 0 ) 色+ 一一 功国缈国 1 0 多分裂波形松驰方法的理论研究及应用 注：1 、d j ，一l ，一叽和珐，一厶，一分别为矩阵4 ，曰对角部分， 角及严格上三角部分；2 、当b = ，时，在所有的分裂中令m 口= i ，= 0 2 1 2 基本波形松弛算法的收敛性 线性常微分方程初值问题( 2 1 ) 的解可以表示为【：s 】 x ( f ) = e - b - t a t x o + f e w a ( , - o b 一1 厂o ) a s 严格下三 ( 2 4 ) 同样的，我们可以类似的写出( 2 3 ) 的解 x ( f ) = i c x ( k - d ( f ) + ( f ) ( 2 5 ) 其中 r it c x ( t ) = m 二1 名x o ) + k x ( f ) 唧) = e - m m a t ( 1 - m - n 1 n b ) x o + f 州j - o 埘m ) a s 【k 工( f ) = fp 坼1 也卜。 靠1 ( n a - m _ 1 ) 石( s ) d s 令s ( f ) = x o ) 一x ( t ) 为第k 步的迭代误差函数，其中x ( f ) 是初值问题( 2 1 ) 的精确解，则有 m 口童( f ) + m 占o ) = m 营一1 ( f ) + m g 一1 o ) ( 2 6 ) 即占( f ) = 昭扣1 o ) ，所以( 2 3 ) 收敛的充要条件是算子r 的谱半径p ( k ) 肿旯，算子盯一k 存在有界逆算子 ； ( c ) p = s u ph ，其中盯( 彭) 是算子r 的谱。 e 口【誓j 下面我们在一些特定的赋范空间上讨论算子k 的性质。首先考虑定义在有 限时间区间上的连续函数空间c ( 【o ，明) 上的范数i i x l t2 , o , m ot 豁l i x ( ，) i i 引理2 1 2 若算子r 定义在连续函数空间c ( o ，丁】) 上，则茁有界，且 陕西科技大学硕士学位论文 户( 1 e ) = p ( m ；n b ) 这个引理说明，当l e 在有限时间区间 o ，刀上迭代时，其收敛性质仅与矩阵 曰的分裂有关，特别地，当b = ，时，p ( 1 e ) = 0 ，即此时的波形松弛法永远都具 有超收敛性。 引理2 1 3 设矩阵曰1 彳的所有特征值都具有正实部，则算子l e 在上。( o ，) 上 有界当且仅当矩阵肘；1 m 的所有特征值都具有正实部。 引理2 1 4设算子l e 定义在三。( o ，o o ) t ：，如果矩阵m 二1 蚂的所有特征值都具 有正实部，则 p ( 1 e ) = s u pp ( k ( z ) ) = m a xp ( k ( f 孝” 其中，l e ( z ) = ( z m 口+ m 一) _ 1 ( z + 眠) 为算子l e 的l a p l a c e 变换。 引理2 1 5设矩阵4 ，b 均为h e r m i t e 正定矩阵，算子l e 定义在三。( o ，) 上， 如果( 2 - 2 ) 中的和心都为h e r m i t e 正定矩阵，则p ( 1 e ) 1 的充要条件是矩 阵2 m 口一曰和2 m a 一彳均为h e r m i t e 正定矩阵。 下面我们就最常见的j a c o b i 、g a u s s s e i d e l 和s o r 波形法来讨论它们的收 敛性质。分别记l e ，l e g s ，i e s o r 为j a c o b i ，g a u s s s e i d e l 和s o r 波形法的迭代算 子，则它们的核的l a p l a c e 变换分别为 l e 。( z ) = ( z d b + 眈) _ 1 ( z ( 匕+ u b ) + ( l + u , 4 ) ) l e 甜( z ) = ( z ( 见一l b ) + ( 见一厶) ) 卅0 + 乩) k 跚( z ) = ( z 0 6 0 见一岛) + 正6 0 巩一l ”叫( z 0 孑+ ) + 0 孑见+ ) )国彩 当b = i 时 l e 。( z ) = ( z ，+ 见) _ ( 乙+ ) 1 e g s ( z ) = ( z ，+ ( 见一l ) ) 。1 以 r 跚( z ) = ( z i + ( 丢见一l ) ) 。( z 半n ( 等岛+ 玑) )国 国缈 如果r 定义在连续函数空间c ( o ，明) 上，则根据引理2 1 2 有 p ( 1 e ，) = p ( 珥1 ( 厶+ ) ) ( 2 7 ) p ( r 岱) = p ( ( 协一厶) _ ) ( 2 - 8 ) p ( 1 e s o r ) ：p ( ( 2 d b 一厶) 一t ( 半见+ ) ) ( 2 9 ) 定理2 1 1 1 3 2 1如果r 定义在连续函数空间c ( o ，丁 ) 上，j a c o b i 、g a u s s s e i d e l 和s o r 波形松弛算法收敛的充要条件是p ( 一) l ，p ( 1 e c s ) 1 ，p ( k 蚴) 0 令a = m n ，( 2 1 0 ) 的波形松弛算法为 f 夕 o ) + 切陟似o ) = n x ( t - d o ) + 厂o ) x 似o ) = p y o ) + ( 1 一) x 似。1 ( f ) ( 2 11 ) l x ( o ) = y ( o ) = 其中，是松弛因子。由线性常微分方程组的求解公式可知，( 2 11 ) 的解为 工o ) = 唧x ( k - t ) o ) + p o ) ( 2 - 1 2 ) 其中 i 砩x ( f ) = 1 3f be o - o u n x ( s ) d s + ( 1 一) x ( f ) 【o p ( t ) = f l ( e - a t x ( o ) + e t - o u f ( s ) 凼) 令a = d l u ，d ，屯，一u 为矩阵a 对角部分， 角部分，则( 2 1 0 ) 的点波形加速超松弛算法为 x ( f ) = 0 黝伽z o ) + 尸删伽( f ) 其中 严格下三角及严格上三 ( 2 - 1 3 ) i c p w a o r x ( t ) = f l p ( $ - - t 吖。( 厂，国) x ( j ) 幽+ ( 1 一) x o ) ( 2 14 ) 【o p w a o r ( f ) = ( p 刎珊工( o ) + p 叫眦埘邝) 凼) 显然，由于点波形加速超松弛算法含有三个自由参数，c o ，从而使 其灵活性和实用性大大增强。适当调整这些参数还可以加快算法的收敛速度， 另外，特殊选取参数组( 厂，彩，) 为( o ，1 ，1 ) ，( 1 ，1 ，1 ) ，( y ，7 ，1 ) ，( o ，1 ，) ，( 1 ，1 ，) ，( y ，y ，) ， 则可得到一系列实用而有效的j a e o b i ，g a u s s s e i d e l ，s o r 和外推j a c o b i ， g a u s s s e i d e l ，s o r 波形算法等 5 4 ，7 6 1 。 陕西科技大学硕士学位论文 2 2 2 、彼形加速趟松魁算纭阴收鳜住 易知( 2 1 2 ) 收敛的充要条件是怖的谱半径小于1 。基于上述讨论，可得 如下结论： 定理2 2 1 若当正整数后1 ，i l c k l l t - - e t l m l 剑鲁睦时，则p ( 砷= ! 觋( 胪1 1 ) = 。， 其中触( f ) = f p ( 州) 肘m o ) a s = f p 一谢服( f s ) a s ，i l x l l t = 黝愀f ) ” 证明：先用归纳法证明i 卜t x ( ，) 0 e , h ( in 七i i ! t ) + 当k = l 时， 脚) l i _ 酬p 州帅) 出4 s 蜊u pf l l e o 其中，l c p ( z ) = ( 力+ m ) q n 是算子r 的l a p l a c e 变换。 定理2 2 3 1 2 7 1 设彳是h e r m i t e 正定矩阵，分裂a = m n 中的矩阵m ，均 是h e r m i t e 矩阵，且m 是正定矩阵，则当矩阵2 m a 正定时，波形松弛算法收 敛到( 2 一1 ) 的唯一解。 定理2 2 4 | 2 9 1 设矩阵彳是主对角线元素大于0 的非奇异日矩阵，当参数y ， 国， 满足o y 彩， o 国 南o 石_ 忑未丽 时， 波形加 速超松弛算法收敛到( 2 - 1 ) 的唯一解。其中，砗删o r ( z ) = ( 二，+ m ( y ，缈) ) n ( r ，c o ) c c ， 结合定理定理2 2 2 到定理2 2 4 ，容易得到如下定理： 定理2 2 5 设a 是日矩阵，如果7 ，国满足0 厂s 缈，0 缈1 ，则 ( a ) p ( l ) 1 当且仅当p ( 邱删珊) 1 ； ( b ) p ( 以) 1 ( p ( 酢删咖) 1 ) 当且仅当彳是肘矩阵； ( c ) 若p ( ) 1 ，则p ( 碎删d 詹) 1 一国+ 印( 厶) ； ( d ) 若p ( l ) 1 ，则p ( 砗黝锄) l 一缈+ 印( ) ； ( e ) p ( 酢删衄) 1 0 9 ； ( f ) p ( l ) = 0 当且仅当p ( 砟删伽) = l - m 证明：因为= 1 ，所以 p ( 砗，删伽) = s u pp ( 酢删珊( z ) ) r e ( z ) z 0 首先证明 p ( 怖删伽) = p o c ( r ，国) ) ( 2 1 5 ) 其中，r ( y ，) = m ( y ，o j ) 一n ( y ，国) ，由定义显然有p ( 砟时。足) p ( r ( r ，c o ) ) ，只要证 户( 唧黝衄) p ( r ( r ，缈) ) ，由于d 0 ，当r e ( z ) o 时有l ( z ，+ d ) - 1 l d ，且 1 5 陕两科技大学硕士学位论文 ( ，一7 ( z ，+ 。) 。1 三) i = i 芝i = o ( 7 ( z ，+ 。) 。1 三) l ii l ( y ( z l + d ) 叫三) i 0 ，我们定义以- d - 1 ( l + u ) + e e e t = l + t e e t ，其中， p = ( 1 ，1 ，1 ) t ，显然以是非负不可约的，且当p ( l ) 1 ，对于充分小的s 有 以比。= p ( 以) ”占，则， x ( r ，彩) = ( ，一y d 1 三) - 1 ( ( 1 一缈) ，+ ( 缈一，) d - 1 l + c o d u ) u 。 = ( ，一c o ( i - r d - 1 三) - 1 ( i - d 1 ( 三+ 【厂) ) ) 甜。 ( ，- r o ( i y d - 1 三) - 1 ( ，一j d ) u 占 = ( j - e o ( 1 - p ( j 。) ) ( ，一y d 。1 工) - 1 ) 托。 ( 1 一缈+ 髓矽( 以) ) 甜。 且p o c ( r ，国”1 一彩+ 印( 以) ，又觋p ( 以) 2 p ( 以) ，所以当占一。时，有 p ( x ( r ，国) ) l 一国+ 政) p ( l ) 所以结论( c ) 成立。 另外，由于以0 ，所以p ( 以) 是矩阵以的一个特征根。设v 是p ( l ) 所对应 的特征向量，且v 0 ，则容易验证 j ( r ，c o ) v = ( 1 一c o + c o p ( j ) ) 1 ， 其中， i j ( r ，彩) = ( ，一a d - 1 三) 一( ( 1 - c o ) i + ( c o r ) d - 1 l + r o d - 1 u ) 1 口： 一上一一 i l - t o + o j p ( j ) 1 6 多分裂波形松驰方法的理论研究及应用 所以1 一缈+ 印( l ) 是矩阵j ( r ，c o ) 的一个特征值，即有 l 一缈+ 玫) p ( 以) p ( j ( r ，” 如果p ( 以) 1 ， 则口厂，且( i - a d - 1 三) - 1 l 时，有( f ) = 霞”而o ) + 霞烈f ) ，其中 i = o 霞”甜( f ) = 毛k 气丘气“( f ) = l ，2 = 1= i 定理3 2 4 令“矿= 石 矿，其中”( f ) = f o s ) “o ) a s ，则 霞”“( f ) = p 。( f s ) “o ) a s 证明：当刀= 1 时，有 1 9 陕西科技大学硕士学位论文 也( f ) = 善l 与脚一帕) 凼= f ( t - s 川凼 假设n = k 时成立，则，l = k + l 有 霞m u ( t ) = r ( r ”“( f ) ) = 霞( 驴+ ( f s ) 材( s ) 凼) = f 后。一s ) r 石旷( s v ) d v d s = f - c 石。一s ) 矿( s y ) a s “( v ) d v 令w = s v 代入上式，则 “( f ) = f f c ( ( t - v ) - w ) k ：矿( w ) d w u ( v ) d r = f 屠矿( f v ) 铭( 1 ，) d r = f 石 + 1 r o v ) “( v ) d r 定义3 2 3宗义范数 r 2 q m v a x ，。l 材 则有 l i i , , 1 1 r c ， 三 同时定义c = q ，并假设0 蜀峙e ，则有 1 = 1 钏r = ：e 足理3 2 5 看令 f c ( t ) = 局岛o ) ，毫“( f ) = e i k ；u ( t ) 则有 阢，) 蚓p 矿旧阢恤篙，i i k ”l l _ c 。t r 一 证明：由于 p ( r ) i = l 厩加。1 r ( ，) i = 陋) 一) ( 蚺i 胙( ，一s ) 护叫( s ) i 西 多分裂波形松驰方法的理论研究及应用 i ：m rp 矿o ) l d s 弓舻川r ( s ) i 出 蚓魄s u p l l 霞”i i r = s u p l e 【s u 咿p h r = l 】陋( f ) l l e 【0 ，r 】。 。 = s u p su，pmr=it e or 1f 石矿。一s ) “( j ) 毋i ，7 1 棚 l s u p s u ，p r ，if 旷。一s ) 0 甜i i h r 击i r = i t e 0 ii ，r 】棚 ”。 = s u p 舻( ) l 西 t e 0 ，t 】”。 = ，滁肛( v ) l d v t l e 【o ，1 ”。 p 志咖 盟 n ! 所以有 阢恤肛哪旧阢归篱申蚣孚 成立。 定理3 2 6 多分裂算子拧阶近似值的误差边界为 0 x 一吒0 r ( c 刀t ! y ( e x p ( c t ) l l o o l l r + i i x o l l r ) 证明：由于 卜毛b 瑞善胁( r ) 一霞”( f ) i - ，则可以取 m i = m 2 = e l = 其中o 墨，s 2 1 21 o 一121 0 1 2 o01 o o o 0o oo 一1o 2o oo ooooo ooooo oo21o ool21 oo o一12 1 o 0oo o1o00 0 0 s l 00 000 s 2 0 ooo0o 一1 1 1 1 - 1 ，x ( o ) = ooooo 0o100 oloo0 ooooo 0o 0 oo ， j r , = ，n 2 = 互= 0 00o0 0 o o 0 o 0 o0o o o0 0o1 oo oo o o o ooo ooo0o 01ooo oo0 oo oo o oo ooo ooo 001 一西 ooo oo oo 00 1 一s 2 0 oo o01 3 4 积分微分代数方程的多分裂波形松弛算法1 1 3 - 我们经常要解决电路模拟和力学等工程应用中出现的线性动力系统的初 值问题，这些动力系统一般由积分微分代数方程来描述，具有下面的形式： 陕两科技大学硕士学位论文 。f x c r ，出+ ( 苫三) 鲁c ，+ ( 三另) x o ，= 厂c ， 。3 一。， i xl ( o ) = ( xi ) o ，t 【0 ，t j 此处d r ，m ，a r m “，b r z ，c r 掣j l l ，n r 也期2 ，其中m 和是 非奇异矩阵，并且n l + ，z 2 = n 在系统( 3 11 ) 中t 是时间变量， 0 ，t 是给定的有限 区间，f ( t ) = ( z ) ( f ) ，( 以) ( f ) r r 一，z ( f ) r 和五( f ) r ”z 是 o