（控制理论与控制工程专业论文）线性矩阵不等式在控制中的应用.pdf

埘! f 学位论义搁世 摘要 3 9 8 1 5 2 奉论文研究了杠挎：制领域运用线性知阵小等式的力法，着重研究了叫滞小 确定系统的控制问题。史， ；包捎以卜内弈： 1 第2 常讨论了保i l j 性能控制问题。一j 确定系统含有多重时滞，通过渡i j 滞状态反馈控制器，使系统稳定。 2 在第：j 章巾，论文讨论了j 【，。控制问题，证明了能保证系统稳定，并目系统的 h 性能指标小于某个给定值的条件定理。 3 在第4 章中讨论了时滞不确定系统基于状念观测器的动态输出反馈实现仰 捧稳定的问题。给了使系统存具有定个确定1 陀的俏况卜，保持稳定的 观测器设汁力法。 4 在第5 章t h 仑义叫论了依赖时滞的稳定。陀问题，并研究了具有输入时滞的 滞厉系统的状态反馈控制l u j 题。 火键州：线一p l - a 1 婀彳：等j ，时滞小确定系统，侏小陀能控i 扎曾捌；控制，f f ( 帧 时滞 硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t i ti ss t u d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o nt ou s el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i nt h e c o n t r o la r e at h ed i s s e r t a t i o nf o c u s e so nc o n t r o lp r o b l e m so fu n c e r t a i nl i n e a rt i m e - d e l a y e ds y s t e m s t h em a i n r e s u l t sc a nb el i s t e da sf e l l l o w s ： 1 i nc h a p t e r2 ，t h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e mi s d i s c u s s e d i tm a k e st h e u n c e r t a i ns y s t e m s ，w h i c hh a v em u l t i p l ed e l a y s ，s t a b l eb yd e s i g n i n gs t a t e d e l a y e d f e e d b a c kc o n t r o l l e r s 2 i nc h a p t e r3 ，t h ed i s s e r t a t i o nm a i n l yd i s c u s s e s h 。c o n t r o lp r o b l e m s i tp r o v e s t h et h e o r e mt h a tg u a r a n t e e st h es y s t e m ss t a b l ea n ds m a l l e rh 。p e r f o r m a n c e i n d e xt h a na g l v e n n u m b e r 3 i n c h a p t e r4 ，t h e d i s s e r t a t i o nd i s c u s s e st h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i z i n go f u n c e r t a i n m u l t i - d e l a ys y s t e m s v i ao b s e r v e r - - b a s e d d y n a m i co u t p u t f e e d b a c k c o n t r o ll a w , a n dp r o v e sam e t h o dt od e s i g na c o n t r o l l e rt ok e e pt h es y s t e m ss t a b l e 4 i nc h a p t e r5 ，t h ed e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yo ft i m e d e l a y e ds y s t e m si sd i s c u s s e d i tc o n s i d e r st h e s y s t e m s w i t h i n p u td e l a y s a n dp r e s e n t sam e t h o df o rs t a t e f e e d b a c kc o n t r 0 1 l e r s k e y w o r d s ：l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , u n c e r t a i nt i m e d e l a y e ds y s t e m ，g u a r a n t e e dc o s t c o n t r o l ，r o b u s tc o n t r o l ，d e l a y d e p e n d e n t i i 硕i 学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 线性矩阵不等式发展的概述 1 1 1 引言 在现代控制理论中，人们常用李雅普诺夫方程和黎卡提方程来描述特定的 系统，并求解控制器。而近年来，随着凸优化理论的不断发展和计算机功能的 不断强化，线性矩阵不等式这一工具在控制设计中日益受到重视，被认为是李 雅普诺夫和黎卡提方程的补充和替代。与以往的控制设计方法相比，线性矩阵 不等式方法具有以下特点： 1 通用性：一类系统分析与综合的问题可以通过l m i 的形式来解决，并且可 以方便地添加约束条件。 2 ，可解性：要计算的问题具有凸函数的形式，可以得到有效地解决。大量的 系统分析和综合问题都可以用l m i 的形式表示，根据有界实引理，最终转 化为可解的凸问题。 1 1 2 线性矩阵不等式发展的历史 线性矩阵不等式即l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t y ，简称l m i 。用线性矩阵不 等式( 朋) 对动态系统进行分析，这要追溯到一百多年以前。1 8 9 0 年前后， 李雅普诺夫发表了他的早期著作，也就是现在著名的李雅普诺夫理论。书中指 出当且仅当存在一个正定矩阵p 满足a r p + p a 0 ，a p + p a 0 ，然后解关于矩阵j p 的线性方程a 7j ) + p a = 一q 。如果系统是稳定 的，我们可以证明尸是正定的。总的来说，用来分析动态系统稳定性的第一个 矩阵不等式就是李雅普诺夫不等式，它可以得到解析解( 通过求解一组线性力。 程组) 。 二十世纪4 0 年代，在l m i 的发展史上树立起了第二座里程碑。在苏联， l u r e p o j t n i k o v 和另外一些研究者把李雅普诺夫方法应用于控制工程中一些特 定的实际问题上，如：推进器中带有非线性的控制系统的稳定性问题。虽然它 们本身并不呈矩阵不等式的显式形式，但它们的稳定性准则呈线性l m i s 的形 式。这些不等式可化简为便于“手算”的多项式不等式( 只适用于小系统) 。许 多研究者对于把李雅普诺夫理论应用于控制工程中一些重要且较复杂的实际问 题表示深感兴趣。在l u r e1 9 5 1 年的出版物介绍中，他这样写道“6 0 多年前李 雅普诺夫所提出的观点，至今仍被认为是脱离实际应用的，而此书首要的目的 就是为了更正这一点，说明此观点将可能成为解决现代工程中棘手问题的有效 手段”。总的说来，l u r e 等人第一个把李雅普诺夫法应用于实际的控制工程问 题中。这些l m i s 可通过手算来分析求解，当然这只局限于( 二、三阶) 小系 统的求解。 材理论的另一个飞跃则是在二十世纪6 0 年代初期y a k u b o v i c h 、p o p o v 和 k a l m a n 等研究者成功地运用正实( p r ) 准则，把l u r e 问题中l m l s 的解化为 简单的图形标准，这就产生了波波夫准则、圆准则、t s y p h i n 准则等一系列的 变形。这些准则可应用于高阶系统，但无法有效地扩展到包含有两个及两个以 上非线性方程的系统中。 早在二十世纪6 0 年代初，人们就认识到l m i s 在控制系统中起到了重要作 用，尤其是y a k u b o v i c h 。我们从他1 9 6 2 1 9 6 5 年的一系列论文中就可以清楚地 发现这一点，如：1 9 6 2 年的t h e s o l u t i o n o f c e r t a i nm a t r i x i n e q u a l i t i e s i n a u t o m a t i cc o n t r o l t h e o r y ，1 9 6 5 年的t h em e t h o do fm a t r i x i n e q u a l i t i e s 颅卜学位论文第l 章绪论 i nt h e s t a b i l i t yt h e o r yo f n o n l i n e a rc o n t r o l s y s t e m s 。 二十世纪6 0 年代后期，正实定理及其扩展定理成为了研究的重点，人们 发现它与无源性观点，和z a m e s ，& 彩p 馏提出的小增益准则以及二二次型最优 控制都相关。到了1 9 7 0 年，人们发现j 下实定理中的a “不仅可通过图解的方 法求解，还可通过特定的代数黎卡提方程( a r e ) 求解。1 9 7 1 年，在关于二 次型最优控制的论文中，j c w i l l i e m s 给出了如下不等式， 47 b p ，+ 尸p + ac + op b ：c 7 1 。b 。尸+ c r l 并指出通过研究线性黎卡提方程爿p + p a 一( p b + c 7 ) r 。( p + c ) + q = o 的对称 解可解此不等式，而上面方程的解可通过特征分解相关的h a m i t o n i a n 矩阵得 到。这一关系在苏联发现的更早，在那里a r e 被称为l u r e 分辨方程。 到1 9 7 1 年，研究者们已掌握了几种求解特定形式的l m i s 的方法，如直接 法( 适用于小系统) ，图解法，和通过求解李雅普诺夫或黎卡提方程的方法。 从我们的观点来看，这些方法只能求解特定形式的l m i ，且得到的都是近似解 或解析解( 大多数研究者和工程师认为黎卡提方程有解析解，这是因为从其工 作量上一眼便可看出，用于求解的标准算法完全是根据问题的规模确定的，而 不是由问题所涉及的数据确定的。当然，对于五阶或更高阶的系统，它就无法 通过有限步的计算来求解了) 。 在w i l l e m st 9 7 1 年的论文中，有这样一段引述：现在我们还未发现 f ，最基 本的特性，但探究其能否在计算数学领域得以发展将是件十分有意义的事( 这氅 w i l l e m s 提到的l m i 和论文中所指的l m i 略有不同) 。 “系统与控制理论中提出的l m i s 可用凸最优问题来表示，而凸最优问题 适于计算机求解。”这段文字标志着l m i 理论的又一进步。虽然这只是一段简 单的叙述，但它导出了一些重要结论，其中最重要的一点是我们可以由此求解 许多无法得到解析解的l m l s 。这一观点是通过许多研究者的努力才逐步建立 起来的。p y a t n i t s m i 和s k o r o d i n k i i 可以说是最早清楚而完整地得出这一观点的 研究者。他们把l u r 。e 提出的问题( 扩展到多次非线性的情况) 化简为包含有 3 硕l 学位论文第l 章绪论 a 的凸最优问题，再通过椭圆法进行求解。p y a t n i t s k i i 和s k o r o d i n k i i 是我们 所知道的最早将李雅普诺夫方法化为凸最优形式，并提供了算法( 已被证实) 来求鼹此最优化问题的研究者。 这里我们还要介绍另外的一些先驱者。h o r i s b e r g e r 和b e l a y e r 在1 9 7 6 年 的论文中也提到了二次型李雅普诺夫方程，同时还由此证明线性系统的稳定性 是一个包含l m l s 的凸问题。其实，利用计算机对李雅普诺夫方程进行研究已 不是一个新想法了，例如，s c h u l t z 在1 9 6 5 年的论文中就早已提到这一想法了。 利用内点法这一强大而有效的算法来求解系统和控制理论中的l m i ，这是 l m i 理论最具实际意义的一次飞跃。1 9 8 4 年，n k a n n a k a r 向人们介绍了一种 新型的用于解决关于多项式一时间( p o l y n o m i a l t i m e ) 的线性规划问题的算法， 该算法似乎类似于椭圆算法，但又与椭圆算法不大相同，并且它在实际应用中 非常有效。n k a n n a k a r 的算法把研究重点集中于线性和( 凸) 二次型规划的算 法上。1 9 8 8 年，n e s t e r o v 和n e m i r o v s k i i 把内点法又向前推进了一步，把它直 接应用于包含l m i s 的凸问题。 虽然，在这一领域中仍然有许多工作需要我们去完善，但一些针对l m i 问 题的内点法已经被应用于控制理论中所产生的各种特定的l m i 问题，并且我们 发现这些算法是十分有效的。 最后，总结一下l m i s 在控制领域中发展的主要历程川： 1 8 9 0 年，出现了第一个l m i ，通过李雅普诺夫方程可以得到李雅普 诺夫m 盯的解析解。 2 0 世纪4 0 年代：李雅普诺夫方法被应用于实际的控制工程问题中，人 们可以通过手算求解小型的l m i s 。 2 0 世纪6 0 年代初期：正实定理提供了用图解技术求解另些l m i s 问 题的基础。 2 0 世纪6 0 年代后期：人们注意到同一类的l m i s 可以通过解a r e 求 解。 2 0 世纪8 0 年代初期：人们认识到通过计算机这一工具，许多的l m i s 都可以通过凸规划来求解。 4 堡! ：兰垡堡兰 整! 皇堕堡一 2 0 世纪8 0 年代后期：用于求解l m i s 的内点法得到不断发展。 1 2 统一的控制器设计方法 1 2 1l m i 的基础和典型问题 l m i 的通用形式一般是以如下的矩阵函数h ) 形式给出 f ( x ) = f o + x i e + + x 卅f 卅 o 其中f ( i = o ，l ，埘) 是给定的实对称阵，x 是包含小个输入x ( i = 1 ，2 ，肌) 的r ”空间的实矢量，由于矢量变量x 呈线性，因而不等式 ( 1 2 1 1 ) 被称为线性矩阵不等式( l m i ) 。 举例来说： a x + x a 7 0 ( 1 2 1 2 ) ( l 2 1 ，2 ) 式可以表示为( 1 2 1 1 ) 式，( z ) 0 的形式， 即 m ，= 言一倒纠肌 定义x = x t x l + 工2 2 2 十+ x 。x 。，x ，( i = 1 ，2 ，m ) 是h 仃的对称矩 阵的基，矢量工由x ，z 。构成。相应的( 1 2 1 1 ) 式中的f ，( i = 0 ，1 ，m ) 辨卜。o ，x 0 = 0 o 在控制系统的分析与综合问题中有三种典型的l m i 问题。( 在下面的讨 论中，月( ) 、口( 。) 、“) 和尺) 都是( 1 2 1 1 ) 式的矩阵仿射函数，c 是r ”空间中 给定的( 常) 矢量) 5 硕 。学位论文 第1 章绪论 凸可行性问题( c f p )寻找一个x r ”，使得f ( x ) 0 凸最小化问题( c m p )寻找最小的c7 x ，要求满足 f ( x ) 0 ，其中x r 准凸最小化问题( q m p ) 寻找最小的 ，要求满足 l 五4 ( x ) b ) 彳( x ) 0，其中z r ” fc ( x ) 0 在基于上m 的控制系统分析与综合的结构体系中，如果某一个问题可化为 上面列出的三种典型l 打问题中的一种，我们就认为该问题是可解的。举例来 说，如果一个最优控制问题的代价函数可由c m p 或q m p 的形式来表示，则我 们认为该最优控制问题可解，且最优控制器可由c m p 或o m e 求解得到。 值得注意的是，c m p 和q m p 最重要的特性在于它们的局部最小值同时也 就是全局最小值。因此，一种算法只要它能得到一个局部的解，实际上就是得 到了c m p 或q m p 的全局最优解。就是这一局部全局特性，促使我们把控制 问题转化为凸( 准凸) 的最小化问题。 1 2 2 控制问题化为堋i 问题 考虑如图1 2 2 1 所示的反馈控制系统，其中p 是一个给定的线性时不变 模型，c 是待设计的控制器。模型p 和控制器c 的状态空间表示如下： - 6 硕l 学位论文 第1 章绪论 a b l b 2 c ld l ld 1 2 c 2 d 2 1 d 2 2 m 工 w “ 其中x e r “，x 。r t 分别是模型和控制器的状态变量。把两个式子组合起来， 就得到了闭环系统的状态空间描述： 隙x c ! 乏批 其b = 主 是闭环系统的状态变量。 且陋c o ，d o ，给定比 例系数y o ，则下列情况是等价的： ( i ) 爿。是稳定的，且l 陋一门肚一心k ， ( i i ) 存在x 。， o 使得l g 忍 a c t x c l + x d 餐 l群 o ，有界实引理的情况( i ) 恒成立。 有界实引理与有界实黎卡提不等式间事实上是一种等价关系。为了说明两 者间的关系，还要引入s c h u r 补充定理。 s c h u r 补充定理l ：设a 斤为对称阵，则有 瞄耻铮剐肛s r 化简不等式( i 2 3 1 ) ，设s = l = r 。e d ，由s c h u r 补充定理得： 卜琵：鬻h 乏p 琳。z 编斗珲 硕1 学位论文第1 章绪论 当d 。= 0 ，y = 1 时( 选择一种最简单的情况加以说明) ，不等式( 1 2 3 2 ) 为 i4 d “+ x c ：x 4 i ，十b “册：翟c s jl 0 ， 比例系数y o ，要求找到如( 1 2 2 2 ) 式所示的控制器，且满足有界实引理 的情况( i ) 。 由有界实引理可以发现该问题相当于寻找满足( 1 2 3 1 ) 式和x ， 0 的 矩阵k 的代数问题。 把( 1 2 2 4 ) 代入( 1 2 3 1 ) ，则 即 x x c l + xc | 公x d e j c l x 。， 豆 + 一皿 d i b l d l 。 一俄 b 2 k c 2 x 。， d 1 2 k c2 x d 0 a x c j + xc t 密xc 盎 g x 。t一归 缺戡。 + 0 0 0 b l d l 。 一侬 b 2 k c 2 x “ d 1 2 k c 2 x d 0 b 2 k d2 1 d 1 2 k d 2 o + 9 0 b 2 k d 2 0 d 1 2 k d 2 00 0 乱险圳a 。】 0j 硕l 学位论义第l 章绪论 令b uv 7 瓠。t + xd x 。| e j c - x “一归 l 雪?哪 ! 5 ： 0 ，比例系数， o 均给定，则下列情况是等价的 ( i ) 存在控制器k 使得闭环系统稳定， 且i l - l 2 p r 。1 坨忆厂 ( i i ) 对某些。 0 ，存在满足式( 1 2 3 j ) 的控制器参数 矩阵世 ( i i i ) 存在x 。 0 使得u 1 q u ” 0 ，矿“q v “7 o ，i i f i i 0 并足够大且r = 0 ) ，代入式 ( 1 2 3 7 ) 求出控制器参量x 。下面我们研究的重点是如何得到满足要求的 x c | 。 考察不等式( 1 2 3 6 ) ，其中q 关于x 。，呈线性，u 与爿。不相关，因 而不等式u 1 q u ” 0 是x d 的l 盯，但由于y 关于x d 也呈线性，而v “则 是x 。的非线性形式，所以一般说来v “q 矿” 0 关于x 。呈非线性。事实 上，可以发现y “q 矿“ 0 是x l 的l m i ( 下面证明) 。因此，不等式( 1 2 3 6 ) 并不是变量x 。的凸问题，但文中提出我们可通过求解一个凸问题来构造满 足要求的x d 。 为此，我们引入式( 1 2 2 5 ) 中定义的增广矩阵结构，并引入新变量， y ，将求解x 。化为一个求解关于矩阵对( x ，y ) 的凸三m 问题。具体而言， 选定己，1 和y “， 硕士学位论义 第1 章绪论 如啡 ( 球k 肚雠 0 ：0 ： 0 ：厶： 010 i 并定义”，一，矩阵以一x 。= ： ，j = ：习 这里对旨无关项，它可以为任意形式。把( 1 2 3 9 ) ，( 1 2 3 1 0 ) 代入不 等式( 1 2 3 6 ) ，并根据增广矩阵的结构化简得： 降 1 a x 七x a t 碱 c 1 x一正 i并d j 删十爿7j ， b ? y c 洲爰 一皿儿o y b 、c ： 一皿d i d l l一芦 且满足 矧。 o 。 1 2 4 全维控制器设计 至此，我们可以发现最初的比例日。控制问题，先通过有界实引理得出其 约束条件对应的矩阵不等式( 1 2 3 1 ) 1 2 92 _re_，_，_rlr_i o k 0 o o t 冈卜1j 000 1，j 00_ lll l，i o一oo o 一0 l。 0 pi 薯见o 1，j 1j 凹磁o p，。，l 坝j j 学位论文第1 章绪论 a d xc l + xce 琏? c c l x c t b c i q ， 一俄 0 它是关于x 。和足的隐式不等式。然后根据状态空问的表示形式，显化该 不等式，得式( 1 2 3 5 ) q + u k v + ( u k v ) 7 0 其中【qu 矿7 】= 弛+ 置，五7x o , 6 i 宣；息；x c t g 髟一皿a 。；巨：；0 鲆觑一球j 0 j 岛 再根据定理1 2 3 1 ，把含有两个矩阵变量的不等式化为关于。的不等式 ( 1 2 3 6 ) ：u 1 9 u 1 0 ，v “q y “7 0 但由于其中不仅q 与x 。相关，mv 中也有与x 。，相关的，所以不等式( 1 2 3 6 ) 关于工。是非凸的。最后利用增广矩阵的结构，引入矩阵对( z ”，把问题化为关 于矩阵对的三个l m l s ： 疗1 q 疗1 7 0 矿“q 。旷“7 o ，i = n 表示 时滞个数，d 。是其中的最大值。( ，) 是状态向量初始化函数。 x ( t ) = 妒( f ) ，t 一d 。，0 表示x ( f ) 中的j v 个t 都在【一d 一，0 】的范围内。系统的不 确定性具有范数有界的形式1 1 3 1 ： 鲋曲纠， = d f ( t ) e e 2e d , 】 ( 2 2 2 ) 其中d ，e 。，e 2 ，e d 是已知实常数矩阵，f ( t ) 是未知勒贝格可测矩阵函数，并 满足 f 1 ( r ) f ( f ) 兰i 系统的二次性能指标j 2 且工7 ( f ) s x ( f ) + u 7 ( t ) r u ( t ) d t ( 2 2 3 ) 0 s ，r 是有适当维数的给定正定对称阵。 设线性时变系统的动态方程为 1 8 硕士学位论文第2 章时滞不确定系统的时滞状态反馈控制 x ( t ) = a ( t ) x ( t ) + b ( t ) u ( t ) y ( t ) = c ( t ) x ( t ) 其中，x ( f ) 为n 维状态向量，u ( t ) 为m 维控制向量，y ( r ) 为，维输出向量；a ( t ) b ( f ) ，c ( f ) 为维数适当的时变矩阵，其各元分段连续且有界，在特殊情况下可 以是常数阵a ，b ，c 。假定0 o ，q + h f e + e 7 f 7 h 7 1 o ，使 q + s 2 删7 + 占一2 e 7 r e 0 引理2 2 2 ( s c h u r 补充定理) ”1 ：设q ，r 为对称阵，则有 眵习，。营剐廿s r 令石= a ，+ a a ，否= b + a b 则( 2 2 1 ) 式化为 ；( f ) ：盈( r ) + n 【w 爿x ( 卜d 。) 】+ 瓦( f ) 本文的目的是设计静态多重状态时滞反馈控制器，控制律 n “( f ) 2 缸( ，) + k ，x ( t d ，) 使系统( 2 2 1 ) 的保持稳定，并且性能指标( 2 2 3 ) i = l 小于某一给定值。 2 3 稳定性条件和控制器的设计： 首先考虑系统( 2 2 1 ) 使用静态时滞状态反馈控制器构成闭环系统后，闭 环系统保持稳定，并且满足二次型性能指标的条件。 定理2 3 1 ：静态反馈”( f ) = 缸( r ) + k ，x ( t 一吐) 满足上述要求的条件是 i = l 存在正定对称实矩阵e r ”使得 ( a i + b k l ) 7 鼻 ( a + b k ) 7 只 - 2 0 - 一土p 1 0 力 一脒+ 一a讯 丽只 n 只 堡圭兰垡堡奎笙! 童堕堂至堕室墨堕塑堕堂鉴查垦塑笙型一 这里= 只( j + 百k ) + ( j + 百k ) 7 鼻+ s + 鼻+ k r k + k r r k j _ l 证明：由反馈“( f ) ，式( 2 2 1 ) 变为 。a ) ：( j + 一b k ) 。( r ) + n 【( 石+ 一b k ，扛( f d 。) 】 选取李雅普诺夫函数 y ( z ) ：x ) 只川) + 专兰卜) 鼻柙) 出 1 l = l f d 多( x ) = 二7 ( f ) 舅坤) + x w ) 只二( f ) + 专薯h ) 鼻加) 叫7 0 t ) 只川一z ) 】 1 = 2 x 7 ( f ) 鼻x ( f ) + 吉酽( f ) 只z ( f ) _ x t ( r _ d 。) 鼻x ( f _ d ，) 1 v l = l ：2 x r ( f ) 只 ( j + 百k ) x ( f ) + n 【( 万+ 一b k ，) x ( t - d ，) 】) + x 7 0 ) 只x ( f ) 一专善叭卜取卜啪1 e = z ( f ) x ( t d 1 ) x ( t d ) n 一一一一 z - s k 7 r k - z k r r k 。只( 4 + b j r i ) p l ( a u + b k u ) ( 4 + b k l ) 1 e ( 爿+ b k ) 1 鼻 ( 矩阵中未标注项为零) 如上所定义，故 一p n ? - 2 l - 专弓 群一 ril百_lll 硕士学位论文第2 章时滞不确定系统的时滞状态反馈控制 矿( x ) x 7 ( ，) ( 一s k7 r k 一k , r r k ，) ( f ) 0 ( 2 3 1 ) j _ l 所以闭环系统渐近稳定3 1 。并且对( 2 3 1 ) 从0 到t 求积分，得 一一n 肷+ 善砰胀脚 川嗍硼h 7 ( 0 ) 啊o ) + 专姜，飞耻( f ) 防一 专喜愀渺 闭环系统稳定，r o 。时，x 7 ( 丁) 弓x ( 即寸。，专善，7 ( f ) 鼻x ( f 瑚_ 。， 故 zr ( f ) ( s + 足7 r k + 喜k j r k , ) x ( t ) d t 0 ，矩阵 w ，暇，孵”“，对称正定矩阵h 孵”，使得下列不等式成立： 2 2 硕上学位论文第2 章时滞不确定系统的时滞状态反馈控制 a m l i m i 一! “ | v m r m 3 m 2 h m d m l m ；h h m ；i 一土日m ：。， n 。 m 2 一d 这里a = a h + b w + 彳日+ b w 7 + 6 d d 7 m = a l h + b 暇 m l n = a n h + b wq m 2 l = e a , h + e 2 彤 m 2 = e a 。h + e 2 m 3 = e l h + e 2 n m = 矽+ 形 一s 日 一r 一1 o 使下式成立 f 只d 只d m 雕 即为如下不等式 + 占一陋。+ e ：ke 巩+ e 2 k ，e 如+ e 2 k r 木 慝 g i + e 2 ke d , + e 2 k i i 也- ； 吆 0 一e “+ e 2 k 】 o n 其中o = 只( 彳+ 丑k ) + ( 4 + b k ) 7 e + 鼻+ s + k 7 r k + k r j r k 。+ i = l 胡d d 7 只+ s 一1 ( e 1 + e 2 i c ) 7 ( e i + e 2 k ) 2 4 - 硕士学位论文第2 章时滞不确定系统的时滞状态反馈控制 、壬，l l = 鼻( 彳l + b k l ) + 占一1 ( e i + e 2 足) 7 ( e 矾+ e 2 k 1 ) 甲l = 鼻( 彳+ b k ) + 一1 ( e l + e 2 芷) 7 ( e a 。+ e 2 k ) 甲2 l = 一l e , + o r - i ( e a + 如世i ) 7 ( + e 2 k 。) = 占一1 ( 日+ e 2 k i ) ( e 如+ 易“) 甲3 = 一面1 p i + 占一1 ( e “+ e 2 足) 7 ( e “+ e ，2 k 。) 运用引理( 2 2 2 ) s c h u r 补充定理可得 a 0 l l o j 一丙1 p , j o o 一专只o o 0 3 0 2 l一0 2 一8 1 is 一1 ，一只_ 0 4 一r 这里a = 只( 4 + b k ) + ( 一十b k ) 鼻+ 胡d d 7 只 0 l i = 鼻( 4 l + b k l ) 0 l = p i ( a + b k ) 0 2 l = 玩+ e 2 k 1 0 l n = e d w + e l k n 0 3 = e l + e 2 k 0 4 = k + k ， 上式前后同乘以 2 5 o ， 凹昵； o 硕士学位论文第2 章时滞不确定系统的时滞状态反馈控制 同时注意到( 只1 ) 7 = 只- 。，令h = e - i ，w = 础，彬= 墨只1 即可得到命题结果。 式( 2 3 2 ) 是关于s ，彬，h 的线性矩阵不等式，同时满足凸函数的要求， 可以用凸优化的方法求解，如交变投影法，势位下降法，以及内点法等等1 2 】1 。 可以看出如果不使用时滞状态反馈，只需令( 2 3 2 ) 式中的形为零，能得出 类似的结论。利用m a t l a b 中的l m i 工具箱可以方便地求解。以上证明了对于 给定性能指标设计控制器的方法，利用凸优化方法还可以最小化保证性能控制 的性能指标。下面证明最小化给定系统性能指标的优化方法。 定理2 3 3 ：对于雨性能指标( 2 2 3 ) 的司用( 2 2 1 ) 式描述的糸统，如 下列的优化问题可解 r a i n a + t r ( m ) i )同( 2 3 2 ) 式 i i ) 卜矿( o l o l ( o )一日j ，p 爿 。 则存在口，占，w ，彬，m 使性能指标最小化。t r ( ) 表示矩阵的迹， 专姜扣八唧划。 硕上学位论文第2 章时滞不确定系统的时滞状态反馈控制 证明：由i i ) 得庐7 ( o ) 一( o ) 口，i i i ) 得l r h 一1 l m ，并且 专善n 一0 少，1 艇渺2 专善n r c 埘。1 舛，硪 刮专喜r 一弘川， = t r ( l l 。h “、 0 ，q + l i f e + e 7 f 7 h 7 o ，使 q + e 2 h h 7 + 占。e 7 r e 。营删廿s r 弋 引理3 3 3 ：对具有适当维数的实矩阵和：，下列不等式成立 ? 2 + ；l a ；l + a - 1 t 2 2 ， a 0 3 4 以控制器的设计 定理3 4 1 ：当上述状态方程( 3 3 1 ) 式中w ，( ，) ；o ，d ，h 0 时，如果下列不 等式成立则闭环系统( 3 3 2 ) 式渐近稳定：存在矩阵 0 p 7 = p r ，o 0 ，x 0 v ( x ，f ) = o ，x = 0 多( x ，) ：x r ( t ) p x ( t ) + x r ( t ) p x ( o + x 7 ( t ) q t x ( t ) 一 x t ( ，一d ) q , x ( t d ) + x 7 ( f ) q 2 x ( f ) 一x t ( f h ) q 2 x ( t 一 ) = x 7 ( f ) p ( 石+ 五) + ( 石+ 一b o f ) 7 p + q 。+ 鲮】x ( r ) + x 7 ( t ) p a l x ( t d ) + x 7 ( t ) p 瓦f x ( t 一矗) + x 7 0 d ) 石7 ( f ) + x t ( t - h ) f 7 瓦2 p x ( t ) 一x 7 ( f d ) q l x ( r d ) 一x 7 ( 卜们q 2 x ( t 一向) = x ( f ) 尸( 石+ 耵) + ( 石+ 一b o f ) 7 p + q l + q 2 p a lp b , f 石7 p q l 0 f 7 瓦7 p 0 一q 2 x ( f ) = i x 7 0 ) ，x 7 ( f d ) ，x 7 ( r 一 ) 】7 x ( f ) 如果上述矩阵小于零，t i p ( 3 4 1 ) 式成立，则v ( x ，) 小于零，闭环系统( 3 3 2 ) 渐近 稳定，故定理得证。 注意到如果厶，a a 。，a b o ，e 等于零，定理( 3 4 1 ) 依然成立，定理( 3 4 1 ) 是一般性的结论。 定理3 4 2 ：闭环系统( 3 3 2 ) 渐近稳定，且i l 乙牝y ，y 0 ，d ，h 0 的 条件是存在矩阵0 y 7 = 】，r ，0 讲= q r “”，0 0 ，匕( ，) 0 用( 3 4 5 卜 3 4 7 ) 式重写( 3 4 4 ) 式得 p x 7 ( f l ，c o ) + 【7 ( f l ，国) 】p y , ( f l ，c o ) 一e ( ，c o ) 一e e y - 2 p d d 7 尸一m = o 上式前乘x 7 ( ，一) ，后乘x ( f l ，c o ) ，整理得 p x ( f l ，c o ) + z 7 ( ，一o g ) p y 。2 x 7 ( f l ，一o ) ) p d d 7 p x ( f l ，珊) = 3 7 硕士学位论文 第3 章时滞刁；确定系统的h 。控制 x 7 ( ，一) 【_ ( ，) + y 2 ( ，c o ) + e 7 e + m x ( f l ，c o ) 进一步化简得 d 7 p x ( f l ，o ) d + d7 x 7 ( f l ，c o ) p d y 。2 d 7 x 7 ( ，- o ) p d d7 1 p x ( p ，) d 一 ，2 ，= 一，2 i + d 7 x 7 ( f l ，一c o ) y , ( f l ，c o ) + r a p ，) + e7 e + m l x ( f l ，) d 一【归一y - i d 7 p x ( f l ，一r e ) d 7 【芦一y - i d 7 p x ( f l ，一) d 】_ d 7 x 7 ( f l ，- o ) ) e 7 1 e + x ( f l ，c o ) d 一y2 ，+ d 7 x 7 ( f l ，一c o ) r , ( f l ，c o ) + e ( p ，c o ) + m i x ( f l ，c o ) d 因为一【矽一，- 1 d 7 p x ( p ，一c o ) d 7 i t 一y - t d 7 p x ( p ，一) d 】0 则一y2 ，+ d 7 x 7 ( f l ，一c o ) r , ( f l ，c o ) + 匕( ，c o ) + m i x ( p ，) d + 砭( + ，) t 。( + ，) 0 整理得 咒( + j m ) t ：。( f l + j o e ) y2 ，一d 7 x 7 ( ，- c o ) + 【k ( ，( - d ) + 匕( ，) + m i x ( p ，) d y2 ， 即 t 。忆y 可知( 3 4 3 ) 式可保证闭环系统渐近稳定，且忱。忆，。 令y = p ，s = f y ，q l = j p 。1 q i p ，q = p - 1 易j p ，同时( 3 4 3 ) 式前后同乘以 尸一，得 z r + r 石7 + 礤+ s r 瓦7 + q + q ，+ z y q ；1 r _ + 百磁1 s 酉7 + 陋7 e y + 7 - 2 d d 7 o 即 3 8 硕士学位论文第3 章时滞不确定系统的h 。控制 a o y + y - o7 + 耶+ s 7 瓦7 + q + g y e 7 e y s r 瓦 d 7 7 y a l 所以定理3 4 2 得证。 b l s d a l y 000 一o ；0 0 0 一，2 1 0 00 一q 定理3 4 3 ：如果存在矩阵0 y 7 = y r “。，0 0 7 = q r 0 o ，q + h f e + e 7 f 7 h 7 o ，使 q + 占2 h h 7 + g - 2 e 7 r e 。删廿s r 4 3 状态观测器的设计 定理4 3 1 ：对于系统( 4 2 1 ) ，采用式( 4 2 2 ) 、( 4 2 3 ) 给出的状态 观测器，闭环系统渐近稳定得充分条件是：存在正定对称实矩阵 尸：，只r ”。“，k r ，l r “。7 ，使得 i le + 纠l ( f ) 】0 2 l l 4 。+ a a l ( f ) 】7 e 一最 【彳l + a a l ( f ) 】7 置l o ( 4 3 1 ) lo ：墨【4 + a a i ( f ) o ， l l = a + 爿( f ) 7 日+ 眉【一十爿( f ) 】+ 【b + a b o ) 】1 鼻+ 鼻【b + a b ( t ) + b 0 2 = 一鼻【b + a b ( t ) k + 【4 ( f ) + a b ( t ) k 2e 0 3 = a l c a b ( t ) k 。e