（应用数学专业论文）混沌系统的几类同步问题的研究.pdf

摘要 摘要 非线性科学的研究不仅具有科学意义，而且具有广泛的应用前景。时至今日，非线 性动力学在理论上有许多进展，在应用方面也取得了大量的成绩。混沌问题是非线性科 学的核心问题之一，且其中同步问题的研究是重要的研究方向。由于混沌同步在工程技 术、军事等各方面的重大价值及其良好的应用前景，近些年来一直是非线性科学研究的 热点。本文首先简单介绍了混沌的控制、同步的起源、现状与典型方法；然后研究了一 些混沌系统的完全同步、投影同步、线性广义同步等问题。内容包括基于非线性控制器 的一类混沌系统的完全同步、新混沌系统自适应的投影同步、参数不确定的一类混沌系 统的特殊线性广义同步以及参数不匹配的统一混沌系统的滑模控制同步。研究工作概括 如下： ( 1 ) 、根据l o r e n z 、r i js s l e r 等混沌系统的特点，研究一类二次项不含有平方项的混 沌系统。利用l y a p u n o v 稳定性理论，设计一种非线性控制器，有效地实现了此类单向 耦合的混沌系统间的完全同步。 ( 2 ) 、在参数不确定的情况下，研究一个新混沌系统的投影同步。借助l y a p u n o v 稳 定性等理论，设计不含系统参数的控制器和参数自适应法则，实现了新混沌系统的投影 同步化。 ( 3 ) 、在前面研究的基础上，进一步探索混沌系统的线性广义同步的情况。在系统参 数不确定时，根据线性广义同步函数与驱动系统的线性部分系数矩阵的相关性，设计了 非线性反馈控制器以及参数自适应律，实现了主从系统的线性广义同步。根据l y a p u n o v 稳定性定理和b a r b a l a t 引理，严格证明了该定理的正确性。对于具体的混沌系统，控制 器还可以进一步简化。 ( 4 ) 、对于统一混沌系统，在参数不匹配的情况下采用滑模控制技术，设计一种新的 自适应滑模控制器，实现了该混沌系统的同步化。所作的理论分析和数值仿真均有力地 证明了这种新的控制方法的有效性。 本文对所有研究的问题给出了数值仿真例子，仿真结果均很好地验证了相应的理论 分析结果。 关键词：混沌系统；混沌同步；投影同步；自适应同步；l y a p u n o v 稳定性；线性 广义同步 a b s t r a c t a b s t r a c t t h er e s e a r c ho nn o n l i n e a rd y n a m i c sn o to n l yh a ss i g n i f i c a n c eo fs c i e n c e ，b u ta l s oh a sg o o d b a n a u s i cp r o s p e c t s i th a sb e e ng e t t i n g a l o n gw e l lw i t ht h e o r ya n da p p l i c a t i o n c h a o si so f l eo f t h ec o r eo fn o n l i n e a rd y n a m i c s , a n dt h eg f e a tv a l u e n e s sa n dg o o d p r o s p e c t so fc h a o s s y n c h r o n i z a t i o ni ne n g i n e e r i n ga n dt e c h n o l o g y ，m i l i t a r ya n do t h e ra r e a si sah o ts p o to f n o n l i n e a rs c i e n c er e s e a r c ha t a i lt i m e s i nt h ep a p e r , ab r i e fi n t r o d u c t i o nt oh i s t o r i c a l b a c k g r o n d ，r e s e a r c hp r o g r e s sa n dt y p i c a lm e t h o d sa b o u tc h a o s ，c h a o t i cc e n t r e la n d s y n c h r o n i z a t i o ni sg i v e nf i r s t l y t h e nt h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h e s t u d yo n s y n c h r o n i z a t i o nf o rac l a s so fc h a o t i cs y s t e m s t h er e s e a r c hi n c l u d e sc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n o fac l a s so fc h a o t i cs y s t e m sb a s e do nn o n l i n e a rc o n t r o l ，p r o j e c t i v es y n c h r o n i z d t i o nf o ra h y p e r - - c h a o t i cs y s t e m sw i t hu n k n o w np a r a m e t e r s ，s p e c i f i cl i n e a rg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n f o rac l a s so fc h a o t i cs y s t e mw i t hu n k n o w n p a r a m e t e r sa n dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni n d u c e db y s l i d i n g 。m o d ec o n t r o lf o ru n i f i e dc h a o t i cs y s t e mw i t hp a r a m e t e rm i s m a t c h e s 。t h er e s e a r c h f o c u s e sm a i n l yo nt h ef o l l o w i n g s ： ( 1 ) 、ac l a s so fc h a o t i cs y s t e m si se x t r a c t e df r o ml o r e n zs y s t e ma n ds oo n b a s e do n l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , an o n l i n e a rc o n t r o l l e ri sd e s i g n e df o r t h ec o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n o ft h ec o u p l e dc h a o t i c s y s t e m s ( 2 ) 、o nm cb a s i so ft h e o r yo fc o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ，p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o ni s s t u d y e db a s e do na d a p t i v ec o n t r 0 1 f o rt h en e wc h a o t i cs y s t e m 。t h en o n l i n e a rc o n t r o la n dt h e a d a p t i v ep r i n c i p l eo fp a r a m e t e r sm a k et h em a s t e r - s l a v e s y s t e mp r o j e c t i v eg e n e a r l i z e d s y n c h r o n i z a t i o nu n d e rt h ec o n d i t i o no fu n c e r t a i np a r a m e t e r s b yt h el y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r y , w ep r o v et h a tt h et h e o r yo ft h ec h a o t i cs y s t e mi sr i g h t ( 3 ) 、l i n e a rg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nf o rac l a s so fc h a o t i cs y s t e mw i t hu n k n o w n p a r a m e t e r si si n v e s t i g a t e d f o rt h ec l a s so fc h a o t i cs y s t e m s ，o nt h eb a s i so ft h ec o r r e l a t i o n b e t w e e nl i n e a r l y g e n e r a l i z e df u n c t i o na n dc o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h ed r i v es y s t e m ，sl i n e a r s e g m e n t ，t h el i n e a rc o n t r o la n dt h ea d a p t i v ep r i n c i p l eo fp a r a m e t e r sm a k et h ed r i v e r e s p o n s e s y s t e ml i n e a rg e n e a r f i z e ds y n c h r o n i z a t i o nu n d e rt h ec o n d i t i o no fu n c e r t a i np a r a m e t e r s b vt h e l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n db a r b a l a tl e m m a , t h et h e o r yo ft h ec h a o t i cs y s t e mp r o v e st ob e r i g h t f o rc o n c r e t ec h a o t i cs y s t e m s ，t h ec o n t r o l l e ri sa b l et ob es i m p l e r ( 4 ) 、u s i n gt h es l i d i n gm o d ec o n t r o lt e c h n i q u e ，an e wa d a p t i v ec o n t r o ll a wi se s t a b l i s h e d w h i c hr e a l i z e dt h e s y n c h r o n i z a t i o no ft w ou n i f i e d c h a o t i cs y s t e m sw i t h p a r a m e t e r m i s m a t c h e s b o t ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds i m u l a t i o nh a v eb e e n p r e s e n t e dt ov e r i f yt h e v a l i d i t yo ft h ed e v e l o p e dc e n t r e ls c h e m e f o ra l lt h e o r e t i c a l r e s u l t s ，w e p r o p o s e sn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sw h i c hi l l u s t r a t e st h e c o r r e s p o n d i n gt h e o r e t i c a lr e s u l t s k e y w o r d s ：c h a o t i cs y s t e m ；c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n ；a d a p t i v e s y n c h r o n i z a t i o n ；l y a p u n o vs t a b l i t y ；l i n e a rg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 签名：李竺自日 期：塑乞耋乏旦兰矽 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进彳于检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存、汇编掣位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签名：勉导师签名：签名：碰导师签名： h 第一章绪论 第一章绪论 非线性科学是一门研究非线性现象共性的科学，被誉为2 0 世纪自然科学的“三大 革命”之一。科学界认为：对它的研究不仅具有科学意义，而且具有广泛的应用前景。 时至今日，非线性动力学在理论上有许多进展，在应用方面也取得了大量的成果。可以 说，非线性动力学的应用几乎渗透到自然科学和社会科学的每一领域，其研究涉及对确 定性与随机性、有序与无序、偶然与必然、量变与质变、整体与局部等数学范畴和哲学 概念的再认识，深刻地影响着人们的思维方法。一般认为，非线性科学主题包括：混沌、 分岔、分形、孤立子与复杂性等的研究。 1 1 混沌概述 1 1 1 混沌理论的产生、发展与意义 混沌问题是非线性科学的核心问题之一，它的发展过程基本上反映了非线性科学的 发展轨迹。1 9 世纪末，数学家j h p o i n c a r c 在研究保守系统天体力学时1 1 】，发现了三体 引力互相作用时可以产生惊人的复杂性，一个确定的动力学方程的某些解具有不可预见 性，这实质上就是“混沌现象”。1 9 5 4 年，概率论大师a n k o l m o g o r o v 等人提出了k a m 定理【2 j ，揭示了近可积保守系统的非周期运动产生机制，该定理被认为是创建混沌理论 的第一个历史性突破。1 9 6 3 年，美国气象学家e l o r e n z 在研究区域小气候、求解他所 提出的模型方程时首先发现了“蝴蝶效应1 3 】，即系统长期行为对初值微小变化具有高 度敏感依赖性，这一发现被认为是现代混沌学研究的第二个突破性进展。在以后的十几 年间，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰学者f t a k e n s 提出用混沌描述湍流形成机理1 4 1 ； 美籍华人学者李天岩和美国数学家j a y o r k e 在其l i y o r k e 定理【5 】中用数学语言描述混 沌的特征；分形几何学的提出，对研究混沌的几何特征提供了方法。1 9 7 7 年在意大利召 开的第一次混沌国际会议标志着混沌学的正式诞生。f e i g e n b a u m 常数 6 1 的发现，把混沌 学研究从定性分析推进到了定量计算的阶段，成为现代混沌学研究的又一个里程碑。 9 0 年代初，美国数学家e o t t 、c g r c b o g i 、j a y o r k e 和l m p e c o r a 、t l c a r r o l l 分 别取得了混沌控制与混沌同步的突破性进展【7 棚，并由此在全世界掀起了“混沌控制与 同步 热。由于在物理、化学、生物、保密通信等领域的潜在应用，混沌控制与同步引 起了人们的极大兴趣，科学工作者在理论和实验上都做了大量的工作，取得了丰硕的成 果【9 。1 4 1 。目前，已发展到对复杂动力学网络的混沌控制与同步的研究。我们相信在今后 相当长的时间内有关混沌问题的研究仍将是一个令人瞩目的热点。 1 1 2 混沌的基本特征 粗略地认为，混沌是服从确定性规律但是有随机性的运动。所谓服从确定性规律， 是指系统的运动可以用确定的动力学方程表述，而不是像噪声那样不服从任何动力学方 程。运动具有随机性，是指不能像经典力学中的机械运动那样由某时刻状态可以预言以 后任何时刻的运动状态。自然界中存在许多的混沌现象，一些数学家、物理学家深入研 江南大学硕士学位论文 究了一些混沌现象，并建立了一大批有关混沌的数学模型。其中经典的有：离散的混沌 系统l o g i s t i c 映射、h e n o n 映射，连续的混沌系统l o r e n z 系统【3 1 、c h u a 电路和c h e n 系 统等。 迄今人们对混沌的认识，与其他复杂现象相比，混沌运动有其独特的特征，主要有： ( 1 ) 、混沌运动是决定性和随机性的对立统一，即它具有随机性但又不是真正的或完 全的随机运动。混沌运动是在确定性系统中发生的，它服从确定的动力学规律。混沌振 荡虽具有随机性且不是规则的，但其运动不是完全杂乱无章的；虽然混沌运动在较长时 间进程中不能对其运动作出预言，但是在较短的一定的时间范围内预言还是可能的。 ( 2 ) 、混沌运动对初始状态的敏感依赖。混沌系统初值的微小变化经过一定时间后可 导致系统运动过程的显著差别。在混沌动力学中，这种对初始条件的敏感依赖性被形象 地称为蝴蝶效应，蝴蝶效应正是区别混沌同其他确定性运动的最重要标志。 此外，混沌运动还具有有界性、遍历性、分维性、标度性与普适性。 1 1 3 混沌的定义 尽管科学界对混沌已经认真的研究了近半个世纪，但由于混沌系统的奇异性和复杂 性，从不同的角度理解会有不同的内涵，因此至今尚无一个公认的统一的定义。这里介 绍的是两种被普遍接受的定义。 定义1 1l i y o r k e 定义1 5 】 闭区间，上的连续自映射厂 ) 如果满足下列条件，便可确定它有混沌现象： ( 1 ) 厂的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对v x ，y e s ，当z y 时，有l i m s u p l r 4 ) 一，“( y ) l o ； ( i i ) 对v x ，y e s ，当x ，l y 时，有l i m m f l f “o ) 一厂“0 ，) i o ； ( i i i ) 对v x e s 和，上的任一周期点y ，有u e s u p l f ”o ) 一，“( y ) | o 。 这是第一次赋予混沌这个词以严格的科学定义式。后来，1 9 8 3 年r h d a y 提出一 个混沌系统应具有以下三种特征【1 5 】：第一，存在所有阶的周期轨道：第二，存在一个不 可数集合，该集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是 两种状态交替出现，而且该集合不存在渐近周期轨道；第三，混沌轨道具有高度的不稳 定性。 定义1 2d e v a n e y 定义【1 6 l 设y 是一个度量空间，一个连续映射厂：y y 称为y 上的混沌，如果 ( 1 ) 厂是拓扑传递的，即对v 上的任意开集x ，l ，存在k 0 ，厂( x ) n y a ； ( 2 ) 厂的周期点在y 中稠密； ( 3 ) 厂对初值敏感依赖，即存在6 0 ，对任意的 0 和任意的x e v ，在x 的邻 域内存在y 和自然数n ，使得d ( f “o ) ，4 ( y ) ) 6 。 这个定义反映了混沌的基本特征。 2 第一章绪论 1 2 混沌控制与同步概述 1 2 1 混沌控制概况 自2 0 世纪6 0 年代以来，计算机技术的飞速发展极大地促进了非线性科学的蓬勃发 展，人们对混沌在自然科学各个领域的表现及其运动规律已经有了较全面的认识。但混 沌运动的基本特征之一是运动轨道的不稳定性，2 0 世纪9 0 年代之前人们虽然认识到混 沌存在的客观性，但由于它的不稳定性和长时间发展趋势的不可预报性，则认为它是一 种“有害现象，因此人们想尽办法尽量回避这类“有害”的现象。 但人们还是想控制混沌，用它来为人类服务，混沌的控制便成了人们普遍关注的问 题。也就是说，如何利用混沌研究成果服务于人类已成为非线性科学发展提出的新的重 要课题之一。利用混沌的前提是驾驭它，也就是控制混沌。1 9 8 9 年a h u b l e r 首次提出 混沌可以被控制的现象。次年，e o t t 、g g r e b o g i 和j y o r k e 提出控制混沌的思想，并基 于混沌轨道是由无穷多不稳定周期轨道构成的基本性质，提出了一种参数微扰法控制混 沌运动的具体实施办法，即现在称之为的o g y 方法。从此，混沌控制这一研究方向的 理论和实验以及应用上的进展异常迅猛。 1 2 2 混沌控制的典型方法 3 2 】 按控制的目的可将混沌控制分两类。一类是根据实际需要，将混沌吸引子中的某条 不稳定周期轨道进行稳定化控制，即对给定的一个混沌吸引子，只对系统作小的扰动就 能够得到某个预期的周期行为。这种控制不改变系统原有的周期轨道。另一类则是通过 控制或驱动，只求得到所需的周期轨道，或将混沌抑制掉，这类控制将改变系统动力学 行为。下面简单介绍几种混沌控制的典型方法，重点介绍自适应控制方法。 l 、o g y 控制法 o g y 控制法是一种比较有效地控制混沌运动的方法，它是建立在混沌吸引子中嵌有 无数条不稳定周期轨道的理论基础上，利用混沌运动的初值敏感性与遍历性，给混沌运 动系统的参数施加含时小扰动，把在无穷多不稳定周期轨道中所期望的那个不稳定周期 轨道稳定住，使系统或处于不动点或作有规律的周期运动，达到控制混沌的目的。 2 、自适应控制法 自适应控制混沌是根据自适应控制原理发展而来的，由b a h u b e r m a n 等人提出， 后来s s i n h a 等人进一步发展了这种方法。它是通过参量的调整来控制系统，使混沌系 统达到所需要的运动状态，而这种调节是依靠目标输出与实际输出之间的差信号来实 现。 考虑一个离散系统，在”时刻设输出变量为只，目标输出为吒，巳是实际输出和目 标输出以之间的差。一种简单的控制策略是：只将差信号与系统的某个控制参量联系起 来，构成如下的自适应系统： 3 江南人学硕十学何论文 iy 川= ，( 只，e ) 只+ = 只一k a ( e ) 【巳+ 。= 儿+ i d 川 这罩j ，r = ( m ，3 29o ，儿) ，d7 = ( 西，畋，丸) ，f7 = ( 互，e ，f ) ，只为控制参量尸r ，k 为 自适应控制机制的强度，g ( 巳) 仅仅是e 的函数。简单地说，自适应控制方法就是利用差 信号巳调节系统的控制参量，逐步地使实际输出量与预定的目标输出量的差值趋近于 零。 除此之外，还有延迟反馈控制法、正比于系统变量的脉冲控制法。 1 2 3 混沌同步的概念 同步是自然界中的一种基本现象。所谓的混沌同步指的是两个或多个系统( 其中至 少有一个系统处于混沌状态) ，在外部驱动或者相互耦合的作用下，从不同的初始条件 出发，它们的部分或全状态变量随时间演化时具有某种程度上的一致性。研究人员相继 发现了各种不同类型的同步：完全同步【3 7 4 6 、5 3 1 、广义同步 1 9 - 2 2 】、投影同步【2 3 m 】、相同 步【2 5 2 6 1 、时滞同步【2 7 1 等。 2 0 0 0 年，b r o w n 和k o c a r e v 对各种混沌同步给出了如下统一的定义： 定义1 3 对于系统 j i t = f ( x , y ，f ) x e 职1 ，r 一 ( 1 1 ) 【j c ，= g ( x , y ，f ) “ 令z = ( x ，j ，) r ，称系统( 1 1 ) 的轨道矽( z ，f ) 关于性质织和纯同步，如果存在与时间无关 的映射h ：r ”r ”一r 肿”，使得 l i m 愀织，哆) 忙。 由上述定义，根据h ，纹，吼的不同情况可以给出不同类型的同步定义。下面列出本 文涉及的两种类型的同步定义。 定义1 4 对于系统 j 孟= 厂( x ，y ) x r 一，y 尺一 ( 1 2 ) 【夕= g ( x ，y ) “ 称系统( 1 2 ) 的两个子系统达到完全同步，如果朋2 疗，且有! 受f f z ( f ) 一y ( ，) 8 = 0 。 定义1 5 称系统( 1 2 ) 的两个子系统关于性质h 广义同步，如果存在连续映射 h ：尺“一r “，使得l ，i m 。怕( x ( f ) ) 一y ( f ) i i = 0 。 本文涉及的投影同步和线性广义同步是广义同步的特殊情况，其概念分别在以后章 节详细给出。 广义混沌同步的概念首先是由r u l k o v 等【1 9 】提出的。从保密通信等实际应用的角度 看，按照混沌的广义同步方式构造的用于加密的密钥序列有更高的抗破译强度，因而广 义同步具有更优越的应用价值。 4 第一章绪论 1 - 2 4 混沌同步的主要方法与基本原理 同步现象不仅在自然界广泛存在，而且它在实际应用中是非常重要的，尤其进入2 0 世纪9 0 年代以来，l m p e c o r a 和p l c a r r o l l 提出相同混沌子系统问，在不同的初始条 件下，通过某种驱动或耦合，仍然可以实现混沌轨道的同步化。他们提出了一种混沌同 步的方法，并在电子线路上首次观察到混沌同步现象，极大地推动了混沌同步的理论研 究，拉开了利用混沌的序幕。下面，仅就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原 理作简要介绍，并详细介绍驱动响应的同步方法。 1 、驱动响应的同步方法【3 2 j 驱动响应( d r i v e r e s p o n s e ) 的同步方法是由p e c o r a 和c a r r o l l 首次提出，其方法如 下：将一个n 维动力学自治系统分解成三部分： 矿= f ( v ，) o n 维)( 1 3 a ) 应一g ( v ，) 仅维)( 1 3 b ) 西一h ( v ，万) ( z 维)( 1 3 谚 这里m + 七+ z = n 。我们称式( 1 3 口) 和式( 1 孙) 为驱动部分，而( 1 3 c ) 称为响应部分，其中 ，是驱动信号。从( 1 3 c ) 复制出一个响应系统： 西一 ( 肛，可) ( 1 4 ) 当给o ) 及7 0 ) 以相同的驱动信号，在t = t o 时刻，虽然在一般情况下 0a o j ( t o ) i l - l i 7 ( t o ) 一晚) i l 乒0 ( t o ) 是瓴) 的近邻) ，但当t 一时，则有 0 ( f ) i | = l i ( f ) - c o ( t ) l l o 。换句话说就是，在驱动信号作用下，两个响应系统的混沌轨 道，从开始不同，经历若干时间以后两条轨线完全重合起来。 利用线性稳定性理论，计算条件l y a p u n o v 指数，给出同步定理：只有响应系统( 1 4 ) 的所有条件l y a p u n o v 指数都是负值时，才能达到响应系统( 1 4 ) 与驱动系统( 1 3 ) 的 同步。建立混沌信号驱动系统的稳定性分析理论，对响应系统的稳定性进行了分析，得 到混沌同步的判据。 2 、主动被动同步方法 注意到，驱动响应的同步方法需要将系统进行特定的分解，这将在实际应用中受到 较大的限制，缺乏灵活性。鉴于此不足之处，l k o c a r o v 和u p a f l i t z 提出了一种改进的 拆分法：将自治的动力学系统改写成非自治形式，选取一个驱动变量，并复制一个相同 的非自治系统，再把两者作差，运用线性稳定性的分析法或l y a p u n o v 全局渐近稳定方 法，达到稳定的条件。 3 、变量反馈控制的同步方法 这种同步方法是由p y r a g a s 提出【研，他借鉴于非线性连续混沌系统反馈控制法的思 想设计出的同步方案。 1 3 主要数学理论 系统的稳定性分析是混沌同步分析的一个重要部分，而本文分析系统稳定性的方法 5 江南大学硕士学位论文 主要是：l y a p u n o v 提出的稳定性理论与b a r b a l a t 的极限性定理。 1 3 1b a r b a l a t 引j 哩1 2 2 1 引理1 1 ( b a r b a l a t 引理) 如果，o ) 是一致连续，且脚j 1 厂( ) p p 是有界的，则有 l i m ，o ) - 0 成立。 1 3 2l y a p u n o v 稳定性定理【硎 由于，通过坐标变换通常可以将系统的平衡状态转移到状态空间的坐标原点处， 所以研究系统的平衡状态的稳定性，我们只需要分析坐标原点处的平衡状态的稳定性。 设系统 七一( x )， ( 1 5 ) 其中状态向量，；( 而，x 2 ，) 彤，? 掣一彤是连续向量函数。这里的“， 表示x 的转置。设原点而为系统( 1 5 ) 的平衡状态，为判定原点处的稳定性，我们首先 给出以下定义： 定义1 6 令y o ) 为区域d 一 z ? i m d 且为常数，l i i l 表 示范数，而且y o ) 为正定向量函数，则称矿卜) 为l y a p u n o v 函数。 定义1 7v ( x ) 沿系统( 1 5 ) 的解的全导数为：， 吩) 一掣；砉掣鲁一砉掣 6 ， 定理1 2 ( l y a p u n o v 稳定性定理) 若对于系统( 1 5 ) ，存在l y a p u n o v 函数矿仁) ， 有： 唯) 一砉掣川 n 7 ) 则系统( 1 5 ) 在点处是局部渐近稳定的。如果d 是整个掣空间，那么系统( 1 5 ) 在点处是全局渐近稳定的。 1 4 文章主要内容 本文简单介绍了混沌的控制、同步的起源、现状与典型方法，详细研究了一些混沌 系统的同步，其中包括完全同步、投影同步和广义同步，并辅助于反馈控制、自适应控 制和滑模控制等研究方法。研究内容主要包括以下几个方面： 本文的第二章根据l o r e n z 、r i is s l e r 等混沌系统的特点，研究一类二次项不含有平 方项的混沌系统。借助l y a p u n o v 稳定性理论，设计一种非线性控制器，有效地实现了 此类耦合混沌系统间的同步。数值仿真表明了方法的正确性和有效性。 在第三章中，在前人的研究基础上，我们研究自适应的投影同步的情况。对于一个 的新混沌系统，在参数不确定的情况下，设计简单的控制器以及参数自适应法则，实现 6 第一章绪论 了新混沌系统的投影同步化。借助l y a p u n o v 稳定性定理与b a r b a l a t 引理，严格证明了 该定理的正确性。从完全同步推广到投影同步，此方法是文献【4 9 】中方法的拓展。通过 数值仿真，不仅证实了定理的正确性，而且可以辨识出未知参数与原参数的关系。 第四章在前面研究的基础上，进一步探索一类混沌系统在参数不确定时线性广义同 步的情形。在参数不确定的情况下，根据线性广义函数与驱动系统的线性部分系数矩阵 的相关性，设计了非线性反馈控制器以及参数自适应律，实现了主从系统的线性广义同 步。对于具体的混沌系统，控制器还可以进一步简化。以l o r e n z 系统为例，仿真实验 结果也说明了方法的有效性。 第五章研究了参数不匹配的统一混沌系统的滑模控制的同步问题。采用滑模控制技 术，设计了一种新的自适应滑模控制器，实现了两个参数不匹配的统一混沌系统的同步 化。文章中所作的理论分析和计算机仿真结果都有力地证明了这种新的控制方法的正确 性和有效性。 最后，第六章对全文作了一个总结，并对今后的研究工作给出了一些方向。 7 第二章一类混沌系统的混沌同步 第二章一类混沌系统的混沌同步 混沌是非线性动态系统中的一种特殊现象。它揭示了自然界及人类社会中普遍存在 的复杂性、确定性与随机性的统一，有序与无序的统一。对混沌系统的同步控制既有理 论意义又有实际意义，所以，如何控制混沌使其服务于人类成为全新的研究课题。自o t t 等【7 】提出o g y 方法以来，对混沌控制与同步的研究越来越引起人们的广泛关注。近年来， 人们已提出了多种控制混沌同步的方法。混沌同步在物理、化学、生物学科中均有应用， 尤其在混沌保密通信领域1 3 8 1 有着广泛的应用前景。 本章研究的一类混沌系统( 系统方程中不含有平方项) 具有很强的代表性，人们所 熟悉的r i is s l e r 等混沌系统均具有这种特点。基于l y a p u n o v 稳定性理论，我们设计了一 个非线性控制器，可以有效地实现此类混沌同步的目的。通过对r i is s l e r 系统和l 豇系统 的数值仿真，进一步证实了定理的正确性与有效性。 2 1 基本概念 考虑一类混沌系统作为驱动系统，其数学模型为： x = f ( x ) 一m q ) z + 似x ，+ cf j ( 2 1 ) 式中：x 一“，工2 ，) 为状态变量，m ( a ) 为n 维参数矩阵，n o , ) x ；x j 为nx l 维非 线性状态向量，c e r “是常数变量。 式( 2 1 ) 通过u 耦合之后的响应系统，如下： 矿ag ( y ) = f ( y ) + u( 2 2 ) 上式中u 一 。，比2 ，, 。) r 亦为反馈控制器。 设e ( t ) = y g ) 一x q ) ，贝0 有： 定义2 1 如果系统式( 2 1 ) 与系统式( 2 2 ) 的解满足：l i m e ( t ) = 0 ，那么称系统式( 2 2 ) i 与系统式( 2 1 ) 通过控制器u 达到完全同步。 由于系统式( 2 1 ) 是混沌的，因此其运动状态敏感地依赖于初始条件( 相应地，系统 式( 2 2 ) 亦如此) ，从而即使系统式( 2 1 ) 与系统式( 2 2 ) 的初始状态有很小的误差，它们 的动态行为也会随时间的推移而变得相差很大，因此若要使系统式( 2 2 ) 与系统式( 2 1 ) 的达到完全同步，则要恰当地设计系统间的耦合信号，作为一种控制变量引入系统中。 2 2 理论结果 由于r i is s l e r 系统、l o r e n z 系统等大部分混沌系统方程均不含有平方项，所以式( 2 1 ) 具有很好的代表性。我们设计控制器u ： u ；一似q ) + e 弦- n ( 1 u ) ( 1 ；i e f + x f q ) e 是甩l i 维单位矩阵 ( 2 3 ) 定理2 1 对于混沌系统式( 2 1 ) 与式( 2 2 ) ，当反馈控制器u 取为式( 2 3 ) 时， 误差系统渐近稳定，即系统式( 2 1 ) 与式( 2 2 ) 达到完全同步。 证明根据e ( t ) - - y ( t ) 一x o ) ，有 9 江南大学硕士学位论文 d ( t ) - y ( t ) 一戈( f ) 一c o ) 一e ( x ) ( 2 4 ) 设l y a p u n o v i 函数：v 一三e r g ，则有 二 矿e r d 一( g ( y ) 一f ( x ) ) ( y x ) 2 一e r e 竺：笠丝幺苫鱼 缸乒 k 0 0 鱼j 2 噍 ( 3 1 0 ) 则矩阵q 是正定的，从而矿p ) so ，且q 的最小特征值k 。( q ) s l i q j | ，所以有 矿s k ( q ) l l e l l 2 ，即得到y o ) sy m ( 口) f ，由b a r b a l a t 引理知：鲫忙o ) 0 = o 成立。所以， 驱动系统( 3 1 ) 和响应系统( 3 2 ) 达到投影同步。 图3 1 ：七= 5 时驱动响应系统的混沌吸引子的比较 f j g3 1 ，n l ec o m p a r i o no fa t t r a c t o rb e t w e e nd r i v es y s t e ma n dr e s p o n s es y s t e mw i t hk = 5 1 7 江南大学硕士学位论文 3 2 数值仿真 采用四阶r u n g e - - - k u t t a 法进行数值仿真。为了保证驱动系统为混沌态，我们选取 “未知”参数a 一4 2 5 ，b = 2 4 ，c = 1 3 ，d = 2 0 ，ht 5 0 ，厂一4 0 ，响应系统中不确定参数的初始 值取为：a l ( 0 ) 一4 0 ；2 j l ( o ) 一2 0 ；q ( o ) ；1 0 ；d 1 ( o ) - - 1