（岩土工程专业论文）层合和水平分层介质的动力响应及波的传播特性研究.pdf

摘要 这篇研究报告给出分别出弹性、压电和热释电材料组成的层合空心圆柱和空 心球在径向变形情形的弹性动力学解。对于弹性材料组成的层合空心圆柱和空心 球，首先利用静动迭加法，将解分解为满足非齐次边界条件的准静态解和满足齐 次边界条件的动态解两部分，然后利用状态空间法确定出准静态解，再运用分离 变量法和正交展开技术求得动态解，最终获得原问题的解。对于压电和热释电材 料组成的层合弹性空心圆柱和空心球，首先从电学运动方程及电位移连续条件， 得到含一个未知时间函数表示的电位移表达式，然后通过改写方程，边界条件和 初始条件，采用与层合弹性空心圆柱和空心球相似的方法进行求解，再结合电势 边界条件和连续条件，将原问题归结为一个时间函数的第二类v o l t e r r a 积分方程， 运用插值法给出此积分方程的解，最终获得层合压电和热释电空心圆柱和空心球 的动力学解。 运用广义射线理论，研究了水平分层介质的瞬态响应。在求取射线积分解的 数值计算过程中，采用了将具有相同积分路径的射线组合后统一积分的技术，可 以大大节省数值计算时间。利用广义射线法，分析了半无限体，弹性板，一弹性 层覆盖于半无限体介质，两层弹性层覆盖于半无限体介质的瞬态响应。 研究了水平分层介质中的导波，分析了自由一自由边界板中波的模态形式， 详细分析了自由一固定边界板中的导波并与自由一自由边界板中的导波作了比 较。理论上分析了理想界面双层板中波的传播特性，并与已有结果和数值结果作 了比较。讨论了半无限体上覆盖弹性层介质中波的传播特性。 在用广义射线法求得射线积分响应的基础上，结合表面波频谱分析法研究了 半无限体、自由一自由板和一层半介质的弥散曲线，给出了一些初步的探索结果。 关键词：弹性动力学解；空心圆柱；空心球；层合；水平分层介质；广义射线理 论；瞬态响应；弹性波；弥散曲线：表面波频谱分析法 a b s t r a c t t h ee l a s t o d y n a m i cs o l u t i o n so fm u l f i l a y e r e dh o l l o wc y l i n d e ra n dh o l l o ws p h e r e c o m p o s e d b yp u r e l ye l a s t i c ，p i e z o e l e c t r i ca sw e l la sp y r o e l e c t r i cm e d i au n d e rt h es t a t e o fr a d i a ld e f o r m a t i o na r ed e v e l o p e di nt h i sr e p o r t f o rm u l t i l a y e r e dp u r e l ye l a s t i c h o l l o wc y l i n d e ra n dh o l l o ws p h e r e t h es o l u t i o ni sd e c o m p o s e di n t oq u a s i - s t a t i ca n d d y n a m i cp a r t sa n dt h e nd e a l tw i t hi n d e p e n d e n t l y t h eq u a s i s t a t i cp a r t ，w h i c hs a t i s f i e s t h ei n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i so b t a i n e db ym e a i l so fs t a t es p a c em e t h o d a n dt h ed y n a m i cp a r t w h i c hs a t i s f i e st h eh o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s i s d e r i v e db ym e a n so ft h es e p a r a t i o no fv a r i a b l e sm e t h o da n do r t h o g o n a le x p a n s i o n t e c h n i q u e f o rm u l t i l a y e r e dp i e z o e l e c t r i ca n dp y r o e l e c t r i ch o l l o wc y l i n d e ra n dh o l l o w s p h e r e t h ee l e c t r i cd i s p l a c e m e n ti sf i r s te x p r e s s e db ya l lu n k n o w nf u n c t i o no f t i m eb y v i r t u eo ft h ec h a r g ee q u a t i o no fe l e c t r o s t a t i c sa n dc o n t i n u o u sc o n d i t i o no ft h ee l e c t r i c d i s p l a c e m e n ta tt h ee a c hi n t e r f a c e t h e nt h eb a s i ce q u a t i o n s b o u n d a r yc o n d i t i o n sa s w e l la si n i t i a lc o n d i t i o n sf o rm e c h a n i c a lf i e l da r er e w r i t t e nb yu t i l i z i n gt h eu n k n o w n t i m ef u n c t i o n b yf o l l o w i n gt h es i m i l a rp r o c e d u r ef o rs o l v i n gt h ee l a s t o d y n a m i c p r o b l e mo fm u l t i l a y e r e d p u r e l ye l a s t i ch o l l o wc y l i n d e ra n dh o l l o ws p h e r ea n d u t i l i z i n gt h ep r e s c r i b e de l e c t r i cp o t e n t i a la tt h ei n t e r n a la n de x t e r n a is u r f a c e sa sw e l l a st h ec o n t i n u o u sc o n d i t i o n so fe l e c t r i cp o t e n t i a la tt h ee a c hi n t e r f a c e as e c o n dk i n d v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o no ft h et i m ef u n c t i o ni st h e nd e r i v e da n dt h ei n t e r p o l a t i o n m e t h o di ss u c c e s s f u l l yi n t r o d u c e dt os o l v et h ei n t e g r a le q u a t i o n t h ed y n a m i c s o l u t i o n so fm u l t i l a y e r e dp i e z o e l e c t r i ca n dp y r o e l e c t r i ch o l l o wc y l i n d e ra n dh o l l o w s p h e r ea r ec o m p l e t eo b t a i n e da tt h ee n d t h et r a n s i e n tr e s p o n s e so fs t r a t i f i e dm e d i aa r ei n v e s t i g a t e db ya p p l y i n gt h e g e n e r a l i z e dr a ym e t h o d a ne f f e c t i v ew a yt h a tt h er a yi n t e g r a t i o nw i t ht h es a l n e i n t e g r a lp a t h si si n c o r p o r a t e da u t o m a t i c a l l ya n de x e c u t e do n l yo n c ei sd e v e l o p e d b y w h i c ht h ec o m p u t a t i o nc o s tf o rt h et r a n s i e n tr e s p o n s e si sd e c r e a s e dg r e a t l y t h e m e t h o de n h a n c e st h en u m e r i c a lr e a l i z a t i o no ft h eg e n e r a l i z e dr a yt h e o r yf o rl o n g h i s t o r yr e s p o n s e s n u m e r i c a lr e s u l t sf o rh a l f - s p a c em e d i a , e l a s t i cp l a t e o n el a y e r o v e r l a y i n gh a l f - s p a c em e d i a ，t w oe l a s t i cl a y e r so v e r l a y i n gh a l f - s p a c em e d i aa r e p r e s e n t e d t h eg u i d e dw a v e si n s t r a t i f i e dm e d i aa r ea l s oi n v e s t i g a t e d w a v ep r o p a g a t i o n p r o p e r t i e si nf r e e f i x e dp l a t ea r es t u d i e di n d e t a i la n dt h ec o m p a r i s o n sb e t w e e nt h e d i s p e r s i o nc u r v e so ff r e e f i x e dp l a t ea n dt h o s eo ff r e e f r e ep l a t ea r ep r e s e n t e d w a v e p r o p a g a t i o np r o p e r t i e s i nt w o - l a y e r e dp l a t ea r ei n v e s t i g a t e dt h e o r e t i c a l l ya n dt h e d i s p e r s i o nr e l a t i o n si no n ee l a s t i c1 a y e ro v e r l a y i n gh a l f - s p a c em e d i aa r ed i s c u s s e d b r i e f i y o nt h eb a s i so ft r a n s i e n tr e s p o n s e so fr a yi n t e g r a lb yu s i n gg e n e r a l i z e dr a y m e t h o d s p e c t r a la n a l y s i so fs u r f a c ew a v e sm e t h o di si n t r o d u c e dt oi n v e s t i g a t et h e d i s p e r s i o nc u r v e so fh a i fs p a c e ，f r e e f r e ep l a t ea n do n el a y e ro v e r l y i n gh a l fs p a c e m e d i a s o m ei n i t i a le x p l o r a t i o n sa n dr e s u l t sa r ep r e s e n t e d k e y w o r d s ：e l a s t o d y n a m i c s ；h o l l o wc y l i n d e r ；h o l l o ws p h e r e ；m u l t i l a y e r e d ；s t r a t i f i e d ； g e n e r a l i z e dr a ym e t h o d ；t r a n s i e n tr e s p o n s e ；e l a s t i cw a y e ；d i s p e r s i o nc u r v e ；s p e c t r a l a n a l y s i so fs u r f a c ew a v e s 第一部分层合空心圆柱和空心球的瞬态响应 第一章层合空心圆柱和空心球的瞬态响应 1 1 引言 随着科技的发展和工程应用的需要，层合结构由于具有改善结构的刚度和重 量之比、改善结构的强度和重量之比以及提高结构的耐久性等优点而在现代工程 设计中占有重要的地位【，因此对层合结构的研究也就成为一个重要的研究领 域，特别在层合结构的动力响应方面的研究，更是个热点。 对于层合空心圆柱和柱壳的弹性动力学问题，b e s p a l o v a 等【3 j 研究了层合柱 壳的三维自由振动：w a n g 和g o n g | 4 】给出了层合各向同性空心圆柱的弹性动力 学解；w a n g 钉还研究了有初始界面应力的两层各向同性空心圆柱的弹性动力学 问题；l a m 和l o y 6 1 研究了旋转层合柱壳的自由振动；s h a r m a 等【1 1 研究了装有 流体的层合正交各向异性圆柱壳的自由振动：l o y 和l a i n t7 l 在三维弹性理论的基 础上研究了层合厚壁柱壳的自由振动；l a m 和q i a n n 讨论了层含柱壳的自由振 动；最近，y i n 和y u e 9 1 给出了层合空心圆柱内外表面均受随时间变化压力作用 情形的轴对称平面应交弹性动力学解。 在层合圆柱热弹性动力学方面的研究，o o t a o 等【l o j 给出了层合各向同性圆 筒的轴对称、准静态热应力解；k h d e i r t “j 分析了层合柱壳内的热应力；w a n g 1 2 】 给出了有初始层间应力的层合各向同性圆筒受热冲击作用的热弹性动力学解； j a n e 和l e e ”】给出了无限长空心圆柱的准静态热应力解；h u n g 等1 1 4 】讨论了有 初始层间应力的层合各向同性圆筒的轴对称、准静态热应力响应问题；l e e 等 1 5 】 给出了层合空心圆柱的准静态热应力解；w a n g 和d i n g 1 6 】给出了层合空心圆柱 在热载荷作用下考虑了惯性项的动态解析解。 对于层合空心球的球对称弹性动力学问题，j i a n g 等i l7 】研究了层合各向同性 空心球三维问题的自然频率，c h e n 和d i n g ”1 研究了层合球面各向同性空心球 的自由振动。w a n g 等【1 9 】等研究了层合球面各向同性厚壁球壳内应力波的传播， s t a v s k y 和g r e a n b e r g 2 州以及d i n g 和w a n g l 2 l j 还研究了层合正交各向异性空心球 的自由振动。d i n g 2 2 给出了层合空心球在机械载荷作用下考虑了惯性项的动态 解析解。 在层合空心球的热弹性动力学方面，z h a n g 和h a s e b e l 2 3 1 曾利用d a l e m b e r t 解研究了由两种材料组成的空心球的球对称瞬态热应力。最近，w a n g 等 2 4 】对于 多层空心球的热弹性动力学问题作了进步研究并给出了其解析解。 本章给出一种求解同时受机械和热载荷作用层合空心圆柱和空心球在纯径 向变形情形动态响应的解析方法。求解时将位移解写成准静态解和动态解两部分 的迭加，并首先运用状态空间法，利用边界条件和界面上位移和应力连续条件确 定出准静态解，然后运用分离变量法和特征函数展开技术，利用齐次边界条件、 界面上位移和应力连续条件以及初始条件，解出动态解部分，最终可求得位移和 应力响应。 1 2 基本方程 考虑一由 层材料组合而成的空心圆柱和空心球，其内边界的半径为r 0 = 口 1 外边界的半径为= b ，中间各分界面的半径由内到外依次为( f = l ，2 ，n 一1 ) ， 见图1 。 图1 1 层合空心圆柱和空心球的几何图 本章中研究的是空心圆柱的轴对称平面应变问题和空心球的球对称问题f 即 空心圆柱和空心球的纯径向变形问题) 。在下面的讨论中，对于空心圆柱，我们 在柱坐标系( r ，0 ，：) 中研究；对于空心球，我们则在球坐标系( r ，0 ，妒) 中研究。对 于热弹性动力学问题，其第i 层的不为零的位移分量有0 ) = “玖 f ) ，则第i 层 一。r ) 的本构关系可简写为 仃，( 0 一- - 水掣+ 础坐一雕秒( 州) 只、：、 ( 正交各肉异性空心圆柱)( 1 1 a ) 仃鲁：出掣+ 出生r o l 国( 州) ，一“ ” 仃箩：搿掣+ 2 移坐雕 ( ，f ) ， ! n 7 m ( 球面各向同性空心球)( 1 i b ) 明；出掣+ ( 翊+ c ；】) 望一卢 徊( 州) ，1 ”。 式中蝼( ，= 毋) 分别是第j 层的应力分量，嘲和爵分别为第f 层材料的弹性常 数和热模量， ( r ，r ) 是第f 层的温度变化量。在本构关系( 18 ) 和( 1 b ) 中，分别 省略了碟和0 - 。0 ) 的关系式，这是因为对于轴对称平面应变空心圆柱的动力学问 题，仃；( ，= - ，8 ) 确定后，仃蓼也即可确定；而对于球对称空心球的动力学问题， 础= 仃茹。第i 层的运动方程为 警+ x 半0 - 0 u ) 等， z ， 2 式中p ”为第j 层材料的密度，k 取值为1 和2e 空心圆柱情形k = 1 ，空心球情 形k = 2 。边界条件为 叮：0 ，f ) = q o ( t ) ，仃0 ( 6 ，f ) = 吼( r ) ，( 1 3 ) 式中q o ( r ) 和q 。( t ) 分别为作用于空心圆柱和空心球内外表面的应力。假设层合空 心圆柱和空心球在各界面上理想接合，则各层间的连续条件为 仃，u + i ( ，r ) = d 磐( ，r ) ， ：”1 ( 1 ，r ) = 秽( ，f ) ，( f = 1 , 2 ， 一1 ) ( 1 4 ) 初始条件为 “：( ，o ) = 皤p ) ，女：( r ，o ) = 曙( r ) ，( f = l ，2 ，- ，挖) ，( 1 5 ) 式中叫( r ) 和瑶( r ) 是已知关于坐标，的函数，而符号上一点表示对时间t 求偏 导数。为方便计算起见，引入无量纲量 q 0 ) = 器，档= 筹，。c ( o 。= 筹，如= 筹，彬= 拳，2 嚣，档2 嚣，一。2 嚣，如2 嚣，硝k 笋， 础= 器，础= 黑u r 。 1 1 待云，鲁= 扣o ，1 ，栅， = 茄泸棚胁m = 番一q ：廖， u 。 n 警，风5 瓣q o ，岛2 淼，皤= 而u ( o = 最， 式中a j 。为第一层( 最内层) 的径向热膨胀系数，瓦为一已知参考温度。利用式 ( 1 6 ) ，式( 1 1 ) ( 1 5 ) 可分别化为如下形式 哪( i ) 一- - 4 0 害；+ 二x _ ( 0 一础r m g ，。x ? i 、j ，、 ( 空心圆柱) 仃5 f ) = 竽+ 如娑一r 协) ，”一“ 竺蓑乏嚣u ( o 吐 阑 甜哦等+ 娥+ 啦) t 吨吼，f ) ，、 警+ k 华卅等， ( 1 7 a ) ( 1 7 b ) ( i 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1o ) ( 1 1 1 ) 1 3 求解方法 首先将式( 1 7 ) 和( 1 8 ) 改写为如下形式 式中 等i 慧v “u + c 控v 盒u 留嚣c 蜘嘲可”= 西之”一p 拦驴”( ，f ) 。 ? = 盘v “。+ 2 也”卢罄f “1 ( ，7 ) ， ( 空心球1 掣= 锡v u “+ ( c 臻+ c ；茹) “o 一鹾2 f “心，f ) ，。 。 v 夥，捌= p ：宁等( 空心圆柱) v 掣忱罐护刊p 等( 空心球) 妒= 扣 扩= 到。，v = 素 ( 1 1 2 a ) ( 1 1 2 b ) ( 1 1 3 a ) ( 1 1 3 b ) 利用式( 1 1 4 ) 的前两式，边界条件( 19 ) 和连续条件( 1 1 0 ) 可分别改写为 ，( 岛，f ) = 。p 。o ) ? ( 。，r ) = 毛见( f ) ， ? 一( 磊，f ) = 艺? ( 毒，f ) ，7 0 + i ) ( 眚，r ) = h 。( ，fj ( f = 1 , 2 ，一，n 一1 ) ( 1 1 4 ) r 1 1 5 1 n 1 6 1 1 3 1 静动送加法 用静动迭加法，将位移解和应力分成两部分h ，令 “= “，+ “，z 夕= 翟+ 2 ，芏g = 岔+ 盆， ( 1 1 7 ) 式中”? ，霉和掣是准静态解，它们满足下列方程 裴鬈答：篓_ 搿c 蜘蚴 碟) = 啦甲一岛础 厂“( ，、 。、。 荔：攒：掣i 嚣：嚣。皤nc 蛳韵 n m ， 掣= c v ”，+ 【c t 畦凳) * ，一鹾0 f 。( ，t k 、 v 三一三= o ，( 空心圆柱) ( 1 1 9 a ) v z 霉+ 等一2 嚣= 0 ，( 空心球) ( 11 9 b ) 掣( 岛，f ) = 。艮( t ) ，翟( 善。，f ) = 。只，( f ) ，( 1 2 0 ) i 警”( 盏，r ) = 翟( 。，f ) ，“”( 鲁，t ) = “；。( 岳，f ) ，o = 1 , 2 ，一、h 1 ) ( 1 2 1 ) 将式( i1 7 ) 代入式( 1 1 2 ) - ( 1 1 6 ) 和( 1 1 1 ) ，并注意到式( 1 1 8 ) - ( i _ 2 1 ) ，得“? ，三善 和耳? 满足下列方程 三留= 巧如v “? + 0 “扩，三酱= ：v 蟛+ c ”，( 空心圆柱) z 等= d ；b v “+ 2 c f 易“护，嚣= c f 墨v “+ ( c 盟+ c ) “，( 空心球) 譬= d ；b v ”? + 2 d 0 “扩，豁= 巧盘v ”+ ( c 盟+ c ) “扩，( 空心球) ( 12 2 a ) ( 1 2 2 b ) v 三箩一z d = p g 弩2 ( 蟛+ 7 ) ，( 空心圆柱) ( 1 2 3 a 、 v 等+ 譬一2 z a = 群瞥2 ( 鳄+ 趟) ) ，( 空心球) ( 1 2 3 b ) 等( 毛，f ) = 0 ，嚣( 乞，r ) = o n 2 4 ) 譬1 ( 每，f ) = 箸( ，r ) ，蟛+ 7 ( ，f ) = “5 j ( 鲁，r ) ，( f = 1 ，2 ，n 一1 ) n 2 5 ) “她，o ) = “救 ) 一“乳，秽( = 识 ) 一吼 ，o ) ，( f - 1 ，2 , - - - , n ) ( 1 2 6 ) 1 - 3 2 用状态空i 司法求准静态解 由式( 1 1 8 ) 和( 1 1 9 ) 可导出 v x “( # ，r ) = i n m 】 x ( ；，r ) + 扫弦m 缯，r ) ， f 1 2 7 。1 式中 陬和，) 2 能器i n 0 ) = 瞄豺制， z s ， 簇彩。糍毒兹臻飞( 1 2 9 a )o = 。：) ，6 f 。= 础0 盘，醒n ：6 f ，) d 一趔2 。u 四仕 箍) - 碱9 ( 0 ：( 0 i 搿崭- r ( 0 1 甄o ) 驽：戮篙攀c 蛳靴( i , 2 9 b ) 。= 2 o ：) 一，6 f “一，。，。，啦。) = 2 群，：一趔2 o z 儿、耶 式( 1 2 7 ) 的解为 x “售，r ) = i t ( ) 】( x 皤+ r ) j + p 仰馐，r ) j ) ，n 3 0 1 式中 队扯。燃叭酬= f 。即洲p d 叩， ( 。3 1 ) 连续条件( i 2 1 ) 可写为 忸竹1 ( 和) = 忸( 钾) ，( f _ 1 ，2 ，n 一1 ) ，n 3 2 、 令式( 1 3 0 ) 中 = ，并重复运用式( 1 3 2 ) 可得 x “( 毒，r ) j = 【1 皿( 彘，r ) + 妇( f ) ) ，o ：1 ，2 ，功，n 3 3 1 陋j = 陋m 】，妇( r ) = 杰匦，p c 州( 靠，。) ， 刖：n 阢，胁：l ，2 ，n 1 3 当f = 玎时，利用边界条件( i 2 0 ) ，由式( 1 3 3 ) 可得 z ：| ：篆写) _ 瞄；髫雌g p 嗡o ( r 芦) ) + 荟斟 n s s ， 【毛a ( r ) j 【础破j 【f 1 ( r ) ， ( 1 3 5 由式( 1 3 s ) 的第二式，- i 解f 4 ( 岛，r ) = 睡a ( r ) 一嘎；岛p 0 0 ) 一垡”( r ) 奶扎 ( 1 珀j 利用式( 1 3 3 ) ，可将式( 1 3 写成如下形式 畿州嬲矧峪 般辨 m ，、 艄洲菩嬲 ， 利用式( 1 3 6 ) ，由式( 1 3 7 ) 的第一式可导出 甜p ( ，f ) = 矗( ，f ) + 石( ) 风0 ) + 矗( ) a p ) ， ( 1 3 8 ) 式中 咖础( 归一”柙晦妒奇4 0 - 1 。) 卜 搿p 坝和卜嚣j ， m 。，、 融舻岛舻一嚣酬礤+ p 荀h 2 2 ( n ) 叫搿 ， = 南嘲叫粕) 棚。”粕n 下面给出确定【r g ) 】的方法，按c a y l e y - h a m i l t o n 定理，有下列等式， r m ( ) 】= g j - i y 1 = 耳。1 ( ) i + 耳1 ( ) 【】， ( 1 4 0 ) 式中i 是单位阵。可以由下列方程确定砭”) 和目o ( ；) ， ( i i , 一，f “：鹾) ( ) + 雹目。( ) ，售盏，。芦7 = 届7 ( ) + 砑e ( ) ， ( 1 4 1 ) 式中硝。和硝分别为【。】的两个特征根，有 掣；耸攀巡型掣， 舻墼掣+ 巫型掣 由式( 1 4 1 ) 可解得 霹) ( 伊南眇“芦l 硝1 ( i f 、h 芦j ( 1 4 3 ) 日气驴南硌知卜眠一，州 1 3 3 用分离变量法和初参数法求动态解 将式( 1 2 3 ) 代入式( 1 2 3 ) ，有 等+ 吉警一俐7t 萼_ 2 = 筹o ) i a 2 s _ 1 + 等卜堋橘 a 4 砷 笛21 葛l q l d bq 1 趴a f 2 西2j ” ” 等乓警一 z 警 等= 襞( 警+ 等净阑n 蛳，西2 。 筋l 。瑞 2 础l 曲2 加2j 。一“ 并引入新变量 “g ( ，f ) = w ) ( ，r )( 1 4 5 a ) 西( ，f ) = 一1 ：w ( 毒，f )( 1 。4 5 b ) 将式( 1 4 5 ) 代入式( 1 4 4 ) 并利用式( 1 3 8 ) ，有 等+ 吉警每= 专i 等+ 笔笋蝴t ，掣a t 憎心，学| a 2 a 2 c j a f 2a f 2 77 2 7 a r 2 ( 1 4 6 ) 式中 c i = y 4 ( 0 d ，硝 h = d 易c f ， 酣( ，r ) = 矗o ( ，r ) ，硝。( ) = 彳o ( ) ， ( 1 4 7 ) ，、 ，、 ( 空心圆柱)( 1 4 8 a ) ( ) = 矗。( ) ， 。 “2 2 ( c ；：i ! d + 如一例跏吁，( 空心踟4 8 b ) 或o ( ，f ) = 善 f o o ，f ) ，g o ( ) = 5 0 1 ) ，或。( 毒) = # j f 2 “( ) ， 利用分离变量法，令 w 。( ，r ) = r 。( i ( ) q 。( r ) ， ( 1 4 9 ) 式中q 。( f ) 待定。按照特征函数展开技术，由式( 1 4 6 ) 左边的表达式，可以看 出碟( ) 应是，。( 女括) 和，( 砖 ) 的某一种线性组合，其中 0 和匕，( ) 是第一和 第二类，阶贝塞尔函数，而 = ，c ，( 1 5 0 ) 式中是正实数。将式( 1 4 9 ) 代入式( 1 4 5 ) ，然后代入式( 1 2 2 ) 的第一式，得 “5 f ) ( ，r ) = 麟( ) n ，扣) ，三署( ，f ) = 仃笋( ) q 。( f ) ，( 空心圆柱) ( 1 5 1 a ) 硝( ，r ) = 一4 硝( ) q 。( r ) 三砦( ，r ) = 一5 仃：( ) n 。o ) ，( 空心球) ( 1 5 1 b ) 式中 盯：( ) = p “( v ) 碟( 专) ， ( 1 5 2 ) 而微分算子p ( v ) 如下式所示 尸“1 ( v ) = c ；b v + 碰) d( 空心圆柱) ( 1 5 3 a ) p “1 ( v ) = 4 v + ( 2 c f 是- = 0 ，( 空心球)佗2 2 b 1 掣( 氏，f ) = o p o ( f ) ，挈( 。，r ) = 眚。n ( r ) ，( 2 2 3 ) ( ，r ) = 翟( ，t ) ，“( ，f ) = “乳 ，f ) ( f = 1 , 2 ，n 一1 ) ， ( 2 2 4 ) 再利用式( 2 2 0 ) ，可从方程( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) ( 2 8 ) 导出动态解西， 箸和留的控制方程和定解条件( 2 2 5 ) ( 2 2 9 ) 。 骝黔慧嚣c 灿蚴 z s 的 黧：爨擒戮警蹦c 空心球) 兽= 2 硝+ 4 蠹v 蟛1 、一7 v 等一嚣= 声 2 ( 移+ 迸。1 ) ，( 空心圆柱) v 嚣+ 髫一2 z 。u ) = 万7 2 ( 彰+ 越) ( 空心球) ( 2 2 5 b ) ( 2 2 6 a ) r 2 2 6 b 1 当( 岛，r ) = 0 ，等( 。，r ) = 0( 2 2 7 ) z 。o + ”( 售，r ) ；留，r ) ，“”( 专，i ) = “，( 售，r ) ( f = 1 , 2 ，n 一1 )( 2 2 8 ) “，( ，o ) = 越( ) 一“乳 ，o ) ，妒( ，o ) = 碍( ) 一( ，o ) ( f _ l 纠2 - n ) ( 2 2 9 ) 2 _ 3 _ 3 状态空间法求准静态解 将式( 2 1 5 ) 的第二式改写为 v “：”= 口f o “：。+ 口 。：+ 口；”叩( r ) + n ；。訇f “( ，f ) ，( 空心圆柱) v 以”= 口 。越”+ o 管+ 。r ( o + 口；”伊“( ，f ) ，( 空心球) ( 2 - 3 0 a ) f 2 3 0 b ) 式中 一一k 毪，= 壶，掣= 豢，一- 7 等 ( 2 f 3 ，) 式中，空心圆柱k = 1 ；空心球k = 2 。将式( 2 2 d 的第一式代入式( 2 2 2 ) ，并利 用式( 2 3 0 ) ，可得 v ：= o ：。+ 口j 翟+ 口踟( f ) + 1 伊7 赠，f ) ，( 空心圆柱) v 譬= 硝。“：+ 霹翟+ t 7 ( f ) + 。4 - c ( ，f ) ，( e e 心球) 式中 描薯篇：摹嚣二础，c 蜘啪口= 4 i ) d “一础，口 o = c ：；名西”一础，、 f 2 3 2 a ) ( 2 3 2 b ) ( 2 3 3 a ) r 2 3 3 b ) 式( 2 3 0 ) , n ( 2 3 2 ) 可联立写成 v x 。( ，r ) ) = x ( ，r ) ) + 。抑0 ) + 日 f ( ，f ) ，( 空心圆柱) ( 2 3 4 a ) v x ( ，f ) ) = i n f 】 x ( ，f ) ) + 0 ”，r t ( ，r ) + i - ( 4 r f ( ，r ) ，( 空心球) ( 2 3 4 b ) 式中 c ；，r ，= 篓莲：汁r ，= 墓：筹：) 口。，= 筹：) ，t “；= 筹： ，犯s s ， 式( 2 3 4 ) 解为 x ( ，f ) ) = i t 7 ( 眚) 】( x “( h ，f ) + g 。( 眚) 叼0 ) + f 7 ( ，r ) ) ) ， ( 2 3 6 ) 式中 丁o ( ) 是个2 x 2 矩阵， g 。( ) 和矿( ，r ) 是有两个元素的列向量， p ( 毒) 】= 皓 。少叫， 妒g ，r ) = fi t m ( f ) 】一t ( 日m r g ，。) d 芎， ( 2 37 ) g ( ) ) = f r ( f ) 】。 一派曲( 空心圆柱)( 2 3 8 a ) g ( ) ) = f ，i t ( f ) 】_ 】 1 儿2 姑( 空心球) ( 2 3 8 b ) 球 b 空 一k材硼捌m， i i 知科 k i | 西 碟k 、啮 碰，一 十瞄雠 = = 西罐 连续条件( 2 2 3 ) 写为 ( x ”1 ( ，f ) ) = x ( o ( ，f ) ( f = 1 , 2 ， 一1 ) ， ( 2 3 9 ) 令式( 2 | 3 6 ) 中 = 鲁并重复运用式( 2 ，3 9 ) ，有 x ( 眚，r ) ) = 【月+ 。 i x 1 ( 考o ，f ) ) + m 叩( r ) + y “( f ) ( f = l ，2 ，一，刀) ，( 2 4 0 ) 式中 r ( o ：阮】，舡 = 窆匿，k ( 。) ) ， “ r 2 4 1 、 】，o ) ) ：主b n p t m ，( 毛，r ) ) ，融，】= f l c r ( 旬) 】：1 ，2 ，n 、 m - 1 j = j 从式( 2 4 1 ) 知，旧。 是个2 x 2 矩阵， 必o ) 和 y “( f ) ) 是有两个元素的列向量。 当i = n 时，利用边界条件( 2 2 3 ) ，由式( 2 4 0 ) 可得 ( 2 4 2 ) 甾莲薹；) i m 黑；i - , j r 落蘸黑蠢 ，m 叫鬻孙( f ) + 麓崭 佻蝌p l 可h l ( il ) 掣蝴 ) 卜代) p l 器掣蝴 ) 1 小舻岛归l 器础m 孙- 一器砑t , 7 ， 0 儿川 0 0 耳瑶 ，、l + p御 佃研： m m r，、，l + “h ， j 幻0 ( 饽 ” o 越 i u n 砖端押m 列 且日 0 ) p 0批弧 2 3 4 分离变量法求动态詹筚 将式( 2 2 5 ) 代入式( 2 2 6 ) ，有 警+ 盟a 4 一番等= 嚣i 等+ 等p 心啪 亿4 ，曲 葛2 毒品 2 生la r2 。折2j 一 、 掣a 4 + 詈警一 z 警弦嚣隧+ 等卜阑b 。，b ，2 a l 易j 2c ；翌l 新2 加2j 。一。“、 引入新变量 “? ( ，r ) = w ( 。( ，f ) ，( 空心圆柱) ( 2 4 8 a ) “? ( ，r ) = 4 - _ w ( 。( ，f ) ，( 空心球) ( 2 4 8 b ) 利用式( 2 4 8 ) 和式( 2 4 5 ) ，式( 2 4 7 ) 可化为 筹乓警一耖= 专i 等+ 笋叫气。，警】_ 。， 式中 c = 属飘尹， ( 2 5 0 ) “= 、：磊i 7 西，薪4 1 ( ，r ) = 彳1 ( ，r ) ，g p ( ) = 矗( ) ，( 空心圆柱) ( 2 5 1 a ) = f i 匿：i j i ；! ：趸曩，西。c ；，r ，= ； 石c ；，r ，硝c ；，= ； 矗。c ；h 空心球， ( 2 5 1 b ) 利用特征函数展开技术，令 “? ( ，f ) = 硝( ) q ( f ) m = l ( 2 5 2 ) 式中f l ( r ) 待定，碟( ) 函数可用初参数法确定，具体的确定方法与层合弹性空 心圆柱和空心球情形完全相同，可参见本报告第一章1 3 3 节，在表达式方面， 只需将微分算子p u ) ( v ) 替换式( 2 5 3 ) 即可。 尸“( v ) = 羚v + ：) ( 空心圆柱)( 2 5 3 a ) 尸o ( v ) = c 3 3 d ”- + ( 2 翥一乞2 ) ( 空心球)( 2 5 3 b ) 且同样可以证明硝( ) 有如下的正交性质d s ，即 矽f 锹( ) 矽( ) d = 厶， ( 2 5 4 ) 式中6 。，是k r o n e e k e r 符号和 厶= 丢喜愕陲黝 2 一警2 ( i ) 嗽r 甜幽f 雨亿s s ， 将式( 2 5 2 ) 代入式( 2 4 9 ) ，可得 豁 訾喇啪， 一笋钟警 式( 2 5 5 ) 和( 2 5 6 ) 中的意义与本报告第一章1 3 3 节相同。 可以由式( 2 5 6 ) 导出如下方程 旦：! 堕十。2 乙p ) ；g 。o ) ( 掰：1 ，2 ，。) d f 。 式中 利用式( 2 5 4 ) f 2 5 7 ) 钆( f ) = q l m ( f ) + 1 2 。玎( f ) ， = 去摹陲叫：，鳅如胖 d ； ， b s s ， k = 一百1 善n 万伪聃阳伽争 方程( 2 5 7 ) 的解为 g ( r ) = ( o ) c 。s ，+ 警s i i l r + 寺f ( p ) s i l l o p ) 印 ( 2 5 9 ) 利用( 2 2 0 ) ，( 2 4 5 ) 和( 2 4 8 ) ，由式( 2 2 9 ) 可得， 碟( ) j 乙( o ) = “：。( ) 一g o ( ，o ) - g ；o ( ) 叩( o ) ， = ( 2 6 0 ) 碟1 ( ) 西二( o ) = “o ( ) 一科。( ，o ) 一或。( ) 听( o ) 式中 “。( ) = 罐。( ) v 。( ) = v 5 0