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数控机床运动精度测试技术及装置研究 机械电子工程专业 研究生姚幽然指导教师黎亚元 开放式数控系统是当今数控技术的主流，其最大的特点就是满足数控功能 基础上的开放性、可互换性、可移植性和可伸缩性。本文在分析了当前国内外 数控生产的基础上，针对两个方面进行了研究。 一是对开放式数控系统中的插补模块进行了研究。插补模块是数控技术中 的核心技术，它的好坏直接影响着数控加工技术的优劣，是目前数控技术急需 提高和完善的环节之一。本文针对目前对复杂曲线和曲面加工的迫切要求，对 当前流行的曲线插补及其数学模型进行了研究，分析了其可行性及精度。并且 在现有算法的基础上提出一种参数曲线恒速插补算法。对此算法展开讨论，进 行精度分析，并提出改进方案。 二是针对在生产和调试中遇到的普遍性问题精度检测与误差分析，提 出了开展这方面研究的重要性和必要性。并且开发研制了基于d s f 的数控系统 插补精度测试仪。该测试仪可以对底层模拟信号和数字信号进行实时检测，并 通过c a n 总线实现采样数据的远程传输。 关键词：开放式数控机床，插补，c a n ，精度测试 t h er e s e a r c ho fc n c s y s t e mo nm o t i o np r e c i s i o n t e s ta n di t si n s t r u m e n t e l e c t r i c a la n dm e c h a n i c a le n g i n e e r p o s t g r a d u a t ey a oy o u r a i l s u p e r v i s o rl i 扬y u a n o p e na r c h i t e c t u r en cs y s t e mi sc u r r e n t l yt h em a i nt r e n di nt h e 丘e l do fn c t e c h n o l o g y a n dt h em o s ts i g n i f i c a n tc h a r a c t e r i s t i c si s o p e l l ，i n t e r e o n v e r t i b i l i t y , e x p a n s i b i l i t y , n a t u r a l i z a t i o na n dr e t r a e t i l i t y t 1 l i sp a p e rs t u d i e dt w oa s p e c t so nt h e b a s i so f a n a l y z i n gt h ea n dn cm a c h i n i n gb e t w e e nd o m e s t i ca n do v c l _ s e a s o n ei ss t u d y i n gt h ei n t e r p o l a t i o nm o d u l eo fo p e na r c h i t e c t u r en cs y s t e m i n t e r p o l a t i o nm o d u l ei st h ec o r et e c h n i q u ei nn ct e c h n o l o g y i t sq u a l i t yw i l la f f e c t t h ea b i l i t vo fn cs y s t e md i r e c t l y , a n di ti st h em a i nt a e h et h a tt ob ei r e p r o v e da n d c o m p l e t e di nd i r en e e d i nt h ea r t i c l e ，f a s h i o nc u r v ei n t e r p o l a t i o ni sr e s e a r c h e da n di t s f e a s i b i l i t ys t u d ya n dd e c i s i o na r ea n a l y z e di no r d e rt om e e tt h eu r g e n tr e q u 打e m e n ti n t h em a c h i n i n go fc o m p l e xc u r v e sa n ds u r f a c e s a tl a s t , t h ee d i m rp o s e d 锄 i n t e r p o l a t i o np r i n c i p a lf o rp a r a m e t r i cc u r v ew i t hc o m t a n ts p e e do nt h eb a s i so f e x i s t i n ga l g o r i t h m n l ee d i t o ra n a l y z e dt h ep r e c i s i o no f t h en e wa l g o r i t h ma n dp o s e 孤i m p r o v e dp r o j e c t t h eo t h e ri st h a tt h e r ea r es o m eg e n e r a lp r o b l e m si nm a c h i n i n ga n dd e b u g g i n g s ot h i sp a p e rp o s e dt h ei m p o r t a n c ea n dn e c e s s i t yi nt h er a s e a r c ho f t h ea s p e c t f i n a l l y , w ed e v e l o p e d 瓶i n t e r p o l a t i o nt e s ta n de o n 仃o li n s t r u m e n to fn cs y s t e mo nt h eb a s i s o f d s p 1 1 l i si n s t r u m e n tc a nt e s ts i m u l a t es i g n a la n dn l l m e r a ls i g n a lo f b o a o ml e v e l i n r e a l - t i m e 。a n di ta l s oc a nr e a l i z el o n g - d i s t a n c et r a n s m i s s i o nb yc a nb u s , k e y w o r d s ： o p e n a r c h i t e c t u r en cs y s t e m ，i n t e r p o l a t i o n ，c a n ，p r e c i s i o nt e s t 西华大学硕士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在继承了往届研究生的研究成果，在导 师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢的地方，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得西华大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在西华大学读书期间在导师指导下取得的，论文成 果归西华大学所有，特此声明。 作者签名嵌檄d 7 年歹月2 - 日 导师签名 占旯- 61 3 西华大学硕士学位论文 l 概述 1 1 数控技术的发展及现状 1 1 i 数控技术国内外现状 l 、开放结构的发展 数控技术从发明到现在，已有近5 0 年的历史。按照电子器件的发展可分为 五个发展阶段：电子管数控，晶体管数控，中小规模i c 数控，小型计算机数控， 微处理器数控；从体系结构的发展，可分为以硬件及连线组成的硬数控系统、 计算机硬件及软件组成的c n c 数控系统，后者也称为软数控系统：从伺服及控 制的方式可分为步进电机驱动的开环系统和伺服电机驱动的闭环系统。数控系 统装备的机床大大提高了加工精度、速度和效率。人类发明了机器，延长和扩 展人的手脚功能：当出现数控系统以后，制造厂家逐渐希望数控系统能部分代 替机床设计师和操作者的大脑，具有一定的智能，能把特殊的加工工艺、管理 经验和操作技能放进数控系统，同时也希望系统具有图形交互、诊断功能等。 首先就要求数控系统具有友好的人机界面和开发平台，通过这个界面和平台开 放而自由地执行和表达自己的思路。这就产生了开放结构的数控系统。机床制 造商可以在该开放系统的平台上增加一定的硬件和软件构成自己的系统。目前， 开放系统有两种基本结构：( 1 ) c n c + p c 主板：把一块p c 主板插入传统的c n c 机器中，p c 板主要运行实时控制，c n c 主要运行以坐标轴运动为主的实时控制。 ( 2 ) p c + 运动控制板：把运动控制板插入p c 机的标准插槽中作实时控制用，而p c 机主要作非实时控制。开放结构在9 0 年代初形成；对于许多熟悉计算机应用的 系统厂家，往往采用第( 2 ) 方案。但目前主流数控系统生产厂家认为数控系统最 主要的性能是可靠性，象p c 机存在的死机现象是不允许的。而系统功能首先追 求的仍然是高精高速的加工。加上这些厂家长期已经生产大量的数控系统：体 系结构的变化会对他们原系统的维修服务和可靠性产生不良的影响。因此不把 开放结构作为主要的产品，仍然大量生产原结构的数控系统。为了增加开放性， 主流数控系统生产厂家往往采用( 1 ) 方案，即在不变化原系统基本结构的基础上 增加一块p c 板，提供键盘使用户能把p c 和c n c 联系在一起，大大提高了人 机界面的功能比较典型的如f a n u c 的1 5 0 1 6 0 1 8 0 2 1 0 系统。有些厂家也把这 要竺查堂堡主堂垡垒茎 种装置称为融合系统( f u s i o ns y s t e m ) 。由于它工作可靠，界面开放，越来越受到 机床制造商的欢迎。 2 、软件伺服驱动技术 伺服技术是数控系统的重要组成部分。广义上说，采用计算机控制，控制 算法采用软件的伺服装置称为“软件伺服”。它有以下优点：( 1 ) 无温漂，稳定性 好。( 2 ) 基于数值计算，精度高。( 3 ) 通过参数对设定，调整减少。( 4 ) 容易做成a s i c 电路。7 0 年代，美国g a t t y s 公司发明了直流力矩伺服电机，从此开始大量采 用直流电机驱动。开环的系统逐渐由闭环的系统取代。但直流电机存在以下缺 点：( 1 ) 电动机容量、最高转速、环境条件受到限制；( 2 ) 换向器、电刷维护不方 便。交流异步电机虽然价格便宜、结构简单，但早期由于控制性能差，所以很 长时间没有在数控系统上得到应用。随着电力电子技术的发展，1 9 7 1 年，德国 西门子的b l a s c h k e 发明了交流异步机的矢量控制法；1 9 8 0 年，德国人l e o n h a r d 为首的研究小组在应用微处理器的矢量控制的研究中取得进展，使矢量控制实 用化。从7 0 年代末数控机床逐渐采用异步电机为主轴的驱动电机。如果把直流 电机进行“里翻外”的处理，即把电驱绕组装在定予，转子为永磁部分，由转 子轴上的编码器测出磁极位置，这就构成了永磁无刷电机。这种电机具有良好 的伺服性能。从8 0 年代开始，逐渐应用在数控系统的进给驱动装置上。为了实 现更高的加工精度和速度，9 0 年代，许多公司又研制了直线电机。它由两个非 接触元件组成，即磁板和线卷滑座：电磁力直接作用于移动的元件而无需机械 连接，没有机械滞后或螺距周期误差，精度完全依赖于直线反馈系统和分级的 支承，由全数字伺服驱动，刚性高，频响好，因而可获得高速度。但由于它的 推力还不够大，发热，漏磁及造价也影响了它的广泛应用。对现代数控系统， 伺服技术取得的最大突破可以归结为：交流驱动取代直流驱动、数字控制取代 模拟控制、或者把它称为软件控制取代硬件控制。这两种突破的结果产生了交 流数字驱动系统，应用在数控机床的伺服进给和主轴装置。由于电力电子技术 及控制理论、微处理器等微电子技术的快速发展，软件运算及处理能力的提高， 特别是d s p 的应用，使系统的计算速度大大提高，采样时间大大减少。这些技 术的突破，使伺服系统性能改善、可靠性提高、调试方便、柔性增强。大大推 动了高精高速加工技术的发展。 2 西华大学硕士学位论文 3 、c n c 系统的连网 数控系统从控制单台机床到控制多台机床的分级式控制需要网络进行通 信：网络的主要任务是进行通信，共享信息。这种通信通常分三级：( 1 ) 工厂管 理级。一般由以太网组成。( 2 ) 车间单元控制级。一般由d n c 功能进行控制。通 过d n c 功能形成网络可以实现对零件程序的上传或下载；读、写c n c 的数据： p l c 数据的传送；存贮器操作控制；系统状态采集和远程控制等。更高档次的 d n c 还可以对c a d ，c a m 心a p p 以及c n c 的程序进行传送和分级管理。c n c 与通信网络联系在一起还可以传递维修数据，使用户与n c 生产厂直接通信。进 而把制造厂家联系一起，构成虚拟制造网络。( 3 ) 现场设备级。现场级与车间单 元控制级及信息集成系统主要完成底层设备单机及f o 控制、连线控制、通信连 网、在线设备状态监测及现场设备生产、运行数据的采集、存储、统计等功能， 保证现场设备高质量完成生产任务，并将现场设备生产运行数据信息传送到工 厂管理层，向工厂级提供数据。同时也可接受工厂管理层下达的生产管理及调 度命令并执行之。因此，现场级与车间级是实现工厂自动化及c d 垤s 系统的基础。 传统的现场级大多是基于p l c 的分布式系统。其主要特点是现场层设备与控制 器之间的连接是一对一，即一个f o 点对设备的一个测控点。所谓i ，0 接线方式 为传递4 2 0 m a ( 模拟量信息) 或2 4 v d c ( 开关量信息k 这种系统的缺点是：信息 集成能力不强、系统不开放、可集成性差、专业性不强、可靠性不易保证、可 维护性不高。现场总线是以单个分散的、数字化、智能化的测量和控制设备作 为网络节点，用总线相连接，实现相互交换信息，共同完成自动控制功能的网 络系统与控制系统。因此，现场总线是面向工厂底层自动化及信息集成的数字 网络技术。现场总线技术的主要特点为；它是数控系统通信向现场级的延伸、 数字化通信取代4 2 0 m a 模拟信号、应用现场总线技术，要求现场设备智能化( 可 编程或可参数化) ：它集现场设备的远程控制、参数化及故障诊断为一体：由于 现场总线具有开放性、互操作性、互换性、可集成性，因此是实现数控系统设 备层信息集成的关键技术。它对提高生产效率、降低生产成本非常重要。目前 在工业上采用的现场总线有p r o f i b u s - d p ，s e r c o s ，j p c n 1 ，d c v i c o n o t ，c a n h t e r b u s s 。m a r c o 等。有的公司还有自己的总线，比如f 心c ( 发那科) 的 f s s b ，i o l i n k ( 相当于j p c n 一1 ) ，y a s k a w a 的m o t i o n l i n k 等。 西华大学硕士学位论文 4 、功能不断发展和扩大 n c 技术经过5 0 年的发展，已经成为制造技术发展的基础。这里以f a n u c 最先进的c n c 控制系统1 5 i 1 5 0 i 为例说明系统功能的发展。这是一台具有开 放性，4 通道、最多控制轴数为2 4 轴、最多联动轴数为2 4 轴、最多可控制4 个 主轴的c n c 系统。其快速移动速度与分辨率关系如下表 快速移动速度r r d m i n分辨率l m 2 4 0l 1 0 0o 1 1 0 o 0 1 1 o o o l 它的技术特点反映了现代n c 发展的特点： 开放性： 系统可通过光纤与p c 机连接，采用w i n d o w 兼容软件和开发环境。功能以高 速、超精为核心，并具有智能控制。特别适合于加工航空机械零件，汽车及家 电的高精零件，各种模具和复杂的需5 轴加工的零件。1 5 i 1 5 0 主具有高精纳 米插补功能；即使系统的没定编程单位为l u m ，通过纳米插补也可提供给数字 伺服以l n m 为单位的指令，平滑了机床的移动量，提高了加工表面光洁度，大 大减少加工表面的误差。当分辨率为0 0 0 1 r a m 时，快速可达2 4 0 m m i n 速度：系 统还具有高速高精加工的智能控制功能：( 1 ) 预计算出多程序段刀具轨迹，并进 行预处理。( 2 ) 智能控制机床的机械性能，可按最佳的允许进给率和最佳的允许 加速度操作，使机床的功能得到最大的发挥。以便降低加工时间，提高效率， 同时提高加工精度。( 3 ) 系统可在分辨率为l n m 时工作，适用于控制超精机械。 高级复杂的功能： 1 5 i 1 5 0 i 可进行各种数学的插补，如直线、圆弧、螺旋线、渐开线、螺旋渐 开线、样条等插补。也可以进行n u p m s ( n o nu n i f o r mr a t i o n a lb a s i ss p l i n e ) 插补。 采用n u r b s 插补可以减少n c 程序的数据输入量，减少加工时间，特别适用于 模具加工。m j r b s 插补不需任何硬件。 4 西华大学硕士学位论文 强力的联网通信功能：适应工厂自动化需要，支持标准f a 网络及d n c 的连接。 ( 1 ) t 厂干线或控制层通信网络：由p c 机通过以太网控制多台1 5 i 1 5 0 i 组成的 加工单元，可以传送数据、参数等。( 2 ) 设备层通信网络：1 5 i 1 5 0 i 采用加 l i n k ( 与日本标准j p c n i 相对应的一种现场总线。( 3 ) 通过r s - _ 4 8 5 接口传送 加信号；或且也可采用p r o f i b u s d p ( 符合欧洲1 标准e n 5 0 1 7 0 ) 以1 2 m b p s 进行 高速通信。 具有高速内装的p m c ( 有的厂商称为i l c ) ，以减少加工的循环的时间； ( 1 ) 梯形图和顺序程序由专用的p m c 处理器控制，这种结构可进行快速大规模顺 序控制。( 2 ) 基本p m c 指令执行时间为：o 0 8 5 p s ；最大步数：3 2 ，0 0 0 步。( 3 ) 可以用c 语言编程；3 2 位的c 语言处理器可作为实时多任务运行；它与梯形图 计算的p m c 处理器并行工作。( 4 ) 可在p c 机上进行程序开发。 先进的操作性和维修性： ( 1 ) 具有触摸面板，容易操作。( 2 ) 可采用存储卡改变输入输出 1 1 2 ，数控技术的发展趋势 l 、智能化 2 、网络化 3 、集成化 4 、微机电控制系统 5 、数字化 1 2 数控插补技术的发展及现状 在实际加工中，被加工工件的轮廓形状千差万别，严格说来，为了满足几 何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成，对 于简单的曲线数控系统可以比较容易实现，但对于较复杂的形状，若直接生成 会使算法变得很复杂，计算机的工作量也相应地大大增加，因此，实际应用中， 常采用- - d , 段直线或圆弧去进行拟合就可满足精度要求( 也有需要抛物线和高次 曲线拟合的情况) ，这种拟合方法就是“插补”，实质上插补就是数据密化的过 程。 西华大学硕士学位论文 插补的任务是根据进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干个 中间点的坐标值，每个中间点计算所需时间直接影响系统的控制速度，而插补 中间点坐标值的计算精度又影响到数控系统的控制精度，因此，插补算法是整 个数控系统控制的核心。 目前应用的插补算法主要分脉冲增量插补和数据采样插补两类。 脉冲增量插补算法的特点是每次插补结束只产生一个行程增量，以一个个 脉冲的方式输出。 脉冲增量插补是行程标量插补，每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲 的方式输出。这种插补算法主要应用在开环数控系统中，在插补计算过程中不 断向各坐标轴发出互相协调的进给脉冲，驱动电机运动。一个脉冲所产生的坐 标轴移动量叫做脉冲当量。脉冲当量是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加 工精度选定，普通精度的机床一般取脉冲当量为：0 。0 1 m m ，较精密的机床取1 或o 5 。采用脉冲增量插补算法的数控系统，其坐标轴进给速度主要受插补程 序运行时间的限制，一般为1 3 m r a i n 。脉冲增量插补主要有逐点比较法、数据 积分插补法等。逐点比较法最初称为区域判别法，或代数运算法，或醉步式近 似法。这种方法的原理是：计算机在控制加工过程中，能逐点地计算和判别加 工偏差，以控制坐标进给，按规定图形加工出所需要的工件，用步进电机或电 液脉冲马达拖动机床，其进给方式是步进式的，插补器控制机床。逐点比较法 既可以实现直线插补也可以实现圆弧等插补，它的特点是运算直观，插补误差 小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，速度变化小，调节方便，因此在两个坐标 开环的c n c 系统中应用比较普遍。但这种方法不能实现多轴联动，其应用范围 受到了很大限制。 数据采样插补法，或称为时间分割法。它尤其适合于闭环和半闭环以直流 或交流电机为执行机构的位置采样控制系统。这种方法是把加工一段直线或圆 弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间隔( 或插补周期) 。 每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计算，算出在这一时间间隔内各坐标 轴的进给量，边计算，边加工，直至加工终点。 6 西华大学硕十学位论文 2 现代插补技术及其精度分析 引言 数控技术和c a d c a m 技术的问世与发展，极大地推动了工业的发展，使 机械加工进入自动化的时代。它解决了传统方式难以解决的复杂零件的制造问 题；其准确、高效，高速的自动化手段，改变了以往机械工业中的周期长、效 率低的局面：其柔性的工作方式。能充分适应多品种、小批量的现代化生产方 式，从而大大提高了对现代化工业装备需求的能力。所以说，数控技术使得机 床功能产生了质的飞跃，它的广泛应用，极大地推动了制造业的发展，成为现 代制造技术中的基石。 曲线曲面的加工，即复杂形状、复杂线形的加工，如飞机的机翼、汽车流 线型覆盖件、成型模具型腔、汽轮机叶片等许多具有复杂外形型面的零件。由 于很难用解析方法表达它们的特征，常采用列表曲面描述。传统的c n c 机床只 具有直线、圆弧等简单解析曲线的插补功能，加工不规则曲线轮廓零件时，数 控加工程序的制备只有通过离线编程才能完成，即在离线编程计算机上借助 c a d c a m 系统建立列表曲线的样条插值或拟合函数曲线，数控编程结果以逼近 样条曲线的若干顺序连接的微小直线段的插补代码来体现，这就是列表曲线的 传统c a d c a m 插补方法呻m 1 1 ，如图2 1 所示。这种传统的c a d c a m 插补方 法十分复杂，编程误差大，需要c a d c a m 系统向数控系统传输大量数控代码 信息，零件精度和进给速度、通讯加载间无法避免会出现尖锐冲突，加工精度 和进给速度严重受限 1 2 1 基于以上问题，人们在现有算法的基础上不断的提出新的插补算法及数学 模型以满足生产需要。本文在后续内容中将详细介绍有关方面的发展现状及本 文作者提出的一些看法和观点。 西华大学硕士学位论文 c a d c a mc n c 列袭盛鲮迸给速度 f i 9 2 1t r a d i t i o n a li n t e q l a t i o nw a yo f c a d c a m 图2 1 传统的c a d c a m 插补方法 2 1 插补算法的分类 在数控机床上，各种轮廓加工都是通过插补计算实现的，插补计算的任务 就是对轮廓线的起点到终点之间在密集的计算出有限个坐标点，刀具沿着这些 坐标点移动，来逼近理论轮廓。 目前应用的插补算法可分为两大类；脉冲增量插补和数字采样插补。 2 1 1 脉冲增量插补 脉冲增量插补算法的特点是每次插补结束只产生一个行程增量，以一个个 脉冲的方式输出给步进电机。这类插补的实现方法比较简单，通常只用加法和 位移即可完成插补，故其易用硬件实现，且运算速度很快：目前也有用软件来完 成这类算法的，但仅适用于一些中等精度( 0 0 1 m m ) 或中等速度( 1 3 m m i n ) 要求 的c n c 系统。因这类算法通常需要大约2 0 余条指令，如果c p u 时钟为5 m h z ， 那么计算一个脉冲当量的时间约为4 0 l s ，当脉冲当量为l g m 时，可以达到的极 西华大学硕士学位论文 限速度为1 5 m r a i n ；如果要两个或两个以上的坐标时，速度还将进一步降低。 当然。可用损失精度的办法来提高速度。 脉冲增量插补方法很多，应用较为广泛的有逐点比较法和数字积分法。 ( 一) 逐点比较法 逐点比较法是早期数控机床广泛采用的方法，又称代数法、醉步伐，适用 于开环系统。 插补原理及特点： 原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数 计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下 一步的进给方向。每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终 点判别四个步骤组成。逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它 曲线插补。 特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量。脉冲输出均匀，调节方便。 ( 二) 数字积分法 数字积分法即用数字积分的方法计算刀具沿各坐标轴的位移，数字积分法 又称数字微分分析( d d a ) 法。数字积分法具有运算快、脉冲分配均匀、易于实 现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点，近年来得到了较多的应用。其 缺点是速度调节不便，插补精度需要采用一定措施才能满足。由于计算机具有 较强的计算功能和灵活性，采用软件插补时上述缺点易于克服。 2 1 2 数字采样插补 数字采样插补( 也称数字增量插补) 是在规定的时间( 称作插补时间) 内， 计算出个坐标方向的增量值( i x ，a y ，a z ) 、刀具所在的坐标位置及其他一些 需要的值。这些数据严格的限制在一个插补时间内( 如4 m s ) 计算完毕，送给伺 服系统，再由伺服系统控制移动部件运动。移动部件也必须在下一个插补时间 内走完插补计算给出的行程，因此数据采样插补也称作时间标量插补。 由于数据采样插补法是用数值量控制机床运动的，因此，机床各坐标方向 的运动速度与插补运算给出的数值量和插补时间有关。根据计算机运行速度和 加工精度的不同，有些系统得插补时间选用1 2 m s 、1 0 2 4 m s 、8 m s 、4 m s 、2 m s 等等，对于运行速度较快的计算机，有的选得更小。现代数控机床的迸给速度 9 西华大学硕士学位论文 已超过1 5 m m i n ，达到3 0 m m i n ，有些已到6 0 m m i n 。机床进给速度越快，插补 时问按越短。 对于采用数据采样插补的c n c 装置，重要的问题是如何选择插补周期。 插补周期的选择：l 州 ( 一) 插补周期与插补运算时间的关系 一旦选定了插补算法，则完成该算法所需的最大的指令条数也就确定。根 据最大指令条数可以大致确定插补运算所占用c p u 的时间t c p u ，一般来说，插 补周期必须大于插补运算所占用的c p u 时间，这是因为当系统进行轮廓控制时， c p u 除了要完成插补外，还必须实时地完成其他的一些工作，如显示、监控甚 至精插补。插补周期t 必须大于插补运算时间与完成其他实时任务所需时间之 和。 ( 二) 插补周期与位置反馈采样的关系 插补周期和采样周期可以相同，也可以不同。如果不同，则一般插补周期 是采样周期的整数倍。 2 2 传统c n c 插补的不足 随着c a d 技术的日益普及，复杂轮廓零件的设计、制造已普遍采用 c a d c a m c n c 技术。参数化曲线、曲面由于其一系列独特的优点已成为复杂 型面零件在o d 系统中的一种通用描述形式。然两在数控加工领域，目前的 c n c 机床通常只有直线、圆弧及螺旋线等少数几种插补功能，复杂型面、曲面 轮廓零件的数控加工必须借助于c a m 离线编程系统，将c a d 生成的待加工零 件的曲线、曲面轮廓离散成大量微段直线或圆弧来进行编程加工，其过程如图 2 - 2 所示。 这不仅繁琐，还存在一些不可避免的缺陷”卅1 ： 始终存在着拟合精度与生成数据之间的一对矛盾，精度提高一倍，程序量 增大2 倍。而n c 程序量要受到c n c 系统程序存储空间的限制，即使采 用d n c 技术，n c 程序量太大也会导致编程系统与c n c 系统之间的通讯负 荷加重，降低整个系统的可靠性。 l o 西华大学硕士学位论文 f i g2 2w a d i t i o n a lm a c h i n i n gm e t h o do f c o m p l e xp a r t 图2 2 复杂轮廓零件加工的传统方法 在加工的工艺方面，将曲线离散成短直线，破坏了零件轮廓曲线的一阶导 数连续性，影响了零件表面的光滑性，还会引起这些离散点处的数控加工 速度不稳定，对加工过程和制造质量产生不良影响。 从制造效率方面，采用大量的微小线段逼近零件的轮廓曲线，会导致零件 的加工速度难以达到编程要求的进给速度。这是由于直线插补在起、止点 具有速度升降功能而引起的。线段越短，这种影响越明显。因而降低了零 件生产效率，限制了数控加工效益的充分发挥。 因此，研究新型的插补算法，提高c n c 的轨迹功能，简化加工信息，不仅 对c n c ，而且对c a d ，c a m 整体性能的提高都极为关键。臼、美、德等国对此 作了大量研究，如f a n u c l 5 m 等扩展了三次样条曲线插补功能，美国的n g c 计划也将样条曲线作为重要功能之一【”。 本文在以下各节对更为通用的参数化曲线的直接插补技术进行了系统研 究，并对影响插补性能的参数进行了分析。 2 3 插补算法中较新的数学模型 数控加工与数控编程理论实质上是曲线、曲面几何学在机械制造业的一种 应用。在数控加工中，不仅会遇到简单曲线( 如直线、圆弧、( 椭) 球面等) 的描 述及其数学处理问题，在飞机、轮船、汽车等的设计和制造过程中，还常常会 西华大学硕士学位论文 遇到复杂曲线、曲面的描述及其数学处理问题。这里所说的复杂曲线，指的是 形状比较复杂，不能用二次方程来描述的曲线，即通常所说的自由曲线。 在自由曲线上通过测量得到离散离散的型值点，这些点就代表了所测得曲 线。如何将其用解析式来近似表达，已有多种数学方法。早期的有拉格朗日插 值法、最小二乘逼近和伯恩斯坦逼近等方法，他们在理论上虽然比较成熟，但 计算量大，数值稳定性差，对自由曲线的拟合能力弱。目前比较常用的是b 样 条曲线，b e z i e r 曲线和n u r b s 曲线，他们比早期的方法有了较大的进步，具有数 值稳定性好，对自由曲线的拟和能力强，光顺性好，处理速度快等优点，特别 是n u r b s 曲线更加灵活，逼近程度更好，被认为是c a d 、c a m 中最有前途的曲 线模型，下面将对这下曲线作详细的介绍。 2 3 1b e z i e r 曲线基本理论 1 定义 给定空间n + 1 个点的位置矢量只o = 0 , 1 ，”) ，则b e z i e r 参数曲线上各点坐 标的插值公式是： p o ) = 窆只马，( f ) ， ，【o ，l 】 其中，p i 构成该b e z i e r 曲线的特征多边形，晚。( f ) 是n 次b e m s t e i n 基函数： ( f ) = 掣( 1 叫厂2 志“( 1 叫y 。“_ o 1 ，川) 0 0 = 1 0 1 = 1 b e z i e r 曲线实例如图2 - 3 所示。 p 3 p ；dp 2 f i 9 2 3t h r i c eb e z i e rc u ” 图2 - 3 三次b e z i e r 曲线 生产中多用三次b e z i e r 曲线，这时曲线方程为： 西华大学硕士学位论文 p ( i ) = b a t ) e , = ( 1 - t ) 3 昂+ 3 t ( 1 一f ) 2 只+ 3 t 2 ( 1 一f ) b + f 3 e d o t 1 ) 2 b e z i e r 曲线的性质 ( 1 ) 端点性质 a 曲线端点位置矢量 由b e r n s t e i n 基函数的端点性质可以推得，当t - - o 时，p ( o ) - p o ：当t = l 时， p ( 1 ) = p n 。由此可见，b e z i e r 曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终 点重合。 b 切矢量 因为p ，( f ) - - - - 1 杰只b - i o l - i o ) 一层川( f ) 】：n n 只& 。( f ) ，其中只：。一只， 所以当f = 0 时，p 7 ( o ) = n ( 只一只) ，当f = l ，p 7 ( 1 ) = 栉( 只一只- ) ，这说明b e z i e r 曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向 一致。 c 二阶导矢 p ( f ) = n 印一1 ) ( 最：一2 最。+ 只) 马一( f ) 当f = 0 时，p ”( o ) = n ( n - 1 ) ( p 2 2 只+ 昂) 当f = l 时，p ”( 1 ) = n ( n - 1 ) ( p , 一2 只i + 只一2 ) 上式表明：2 阶导矢只与相邻的3 个顶点有关，事实上，r 阶导矢只与( r + 1 ) 个相 邻点有关，与更远点无关。 将p 7 ( o ) 、p ( o ) r p 7 ( 1 ) 、p ( 1 ) 代入曲率公式七( f ) ：p ( t ) _ _ x r p ( t ) ，可以得到 i p 7 ( ，) i b e z i e r 曲线在端点的曲率分别为： 耍兰查兰堡主堂堡丝茎 邶，= 孚背 筇i f p p 犷 硼，= 孚， 掣 玎l ，p pv d k 阶导函数的差分表示 1 1 次b e z i e r 曲线的k 阶导数可用差分公式为： 沪志萎 张 f o , 1 1 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义： 岔只= 岔“最。一时。只 例如：o 只= 只 】只= 0 曩。一o 只= 气一只 2 只= l & ，一1 只= 曩：- 2 & + 只 ( 2 ) 对称性 由控制顶点只= 只- ，( f = 0 , 1 ，n ) ，构造出新b e z i e r 曲线，与原b e z i e r 曲线形 状相同，走向相反。因为： c + ( f ) = 只b l 。( f ) = 只一，b l ，( f ) = 只一，b “。( 1 一f ) = 毋马，( 1 一f ) ，t e 0 ，l 】 这个性质说明b e z i e r 曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。 ( 3 ) 凸包性 由于丑“( f ) s l ，且o s 马，。( f ) s l ( o s f l ，i = 0 1 j 1 ) ，这一结果说明当f 在 o l 】区间变化时，对某一个f 值，p ( o 是特征多边形各项顶点毋的加权平均，权 因子依次是b 。在几何图形上，意味着b c z i e r 曲线p ( f ) 在，e o ，1 】中各点是控 制点只的凸线性组合，即曲线落在只构成的凸包之中，如图2 - - 4 所示a 1 4 西华大学硕士学位论文 f i g z 4b e z i e rc u i n ew i t ht h ec h a r a c t e r i s t i c sc o n v e xh u l l 图2 - 4b c z i c r 曲线凸包性 ( 4 ) 几何不变性 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。b c z i c r 曲线的位置与形状与 其特征多边形顶点p i ( i = 0 ，l ，柚的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有： 杰只b j ( f ) = pe ，( 詈 ( 参变量”是，的置换) j - o 口一 ( 5 ) 变差缩减性 若b e z i e r 曲线的特征多边形p o p i p n 是一个平面图形，则平面内任意直线 与p ( t ) 的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩 减性质。此性质反映了b e z i e r 曲线比其特征多边形的波动小，也就是说b e z i e r 曲线比特征多边形的折线更光顺。 ( 6 ) 仿射不变性 对于任意的仿射变换a ： r 月1 彳( 【p ( f ) 】) = 爿 只气( f ) = 4 只既( f ) l i - 0j 即在仿射变换下，p ( t ) 的形式不变。 2 3 2b 样条曲线的基本理论 以b e m s t e i n 基函数构造的b e z i e r 曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足： 其一是b e z i e r 曲线或曲面不能作局部修改；其二是b e z i e r 曲线或曲面的拼接比 较复杂。1 9 7 2 年，g o r d o n 、r i e s e n f e i d 等人提出了b 样条方法，在保留b e z i e r 方法全部优点的同时，克服了b e z i e r 方法的弱点。 登兰奎堂堡主堂垡丝茎 1 定义 与b e z i e r 曲线得定义方法类似，b 样条曲线方程定义为： p ( 力= 只“( f ) 其中，毋( f = 0 , i ，n ) 是控制多边形的顶点，m j ( f ) ( f = o ，1 ，n ) 称为k 阶( k - 1 次) b 样条基函数，其中每一个称为b 样条，它是一个称为节点矢量，即非递 减的参数t 序列t ：t o s f m 所决定的k 阶分段多项式，也即为k 阶 ( k - 1 次) 多项式样条。 b 样条有多种等价定义，在理论上较多地采用截尾幂函数的差商定义。我们 只介绍作为标准算法的d eb o o r - c o x 递推定义，又称为d eb o o r - c o x 公式。约定 0 0 = 0 。 删= 嚣嘉钒1 ( f ) = 羔舻兰托) 该递推公式表明：欲确定第i 个k 阶b 样条 。( ，) ，需要用到，+ p ，+ 。共 “1 个节点，称区间【f f ，f ，+ 。】为m 。( f ) 的支承区间。曲线方程中，n + 1 个控制顶点 p a l = o , l ，帕，要用到n + 1 个k 阶b 样条m i o ) 。它们支撑区间的并集定义了 这一组b 样条基的节点矢量r = 【f o ，f l ，气。】。 2 性质 ( 1 ) 局部性 由于b 样条的局部性，k 阶b 样条曲线上参数为t “f ，f 。l 】的一点p ( f ) 至多 与k 个控制顶点弓u = f 一七+ l ，f ) 有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的 西华大学硕士学位论文 第i 个控制顶点只至多影响到定义在区间( ，+ 。) 上那部分曲线的形状，对曲线的 其余部分不发生影响。 ( 2 ) 连续性 p ( t ) 在，重节点f ，( _ j f n ) 处的连续阶不低于( k l 一，) 。整条曲线p ( t ) 的 连续阶不低于( k - l - 0 。) ，其中。表示位于区间( - ，+ ) 内的节点的最大重 数。 ( 3 ) 凸包性 p ( f ) 在区间 f ，t “。) ，k - i s i s n 上的部分位于七个点墨，只的凸包c 内，整个曲线则位于各凸包g 的并集u g 之内 ( 4 ) 分段参数多项式 p ( f ) 在每一区间纯，“) ，k - i i 月上都是次数不高于k - 1 的参数，的多项 式，p o ) 是参数f 的七一1 次分段多项式。 ( 5 ) 导数公式 由b 样条基的微分差分公式，有： (f)=窆(f)m帆(f)=旷)封导鲁卜(f)irk-i,t+lpi te ti-o t , l oi - - i l i + k 】 ( f ) = i 只心( f ) | - 只7 耻( f ) = ( | 一1 ) l ；等k ( f ) 】 ljli 一jj ( 6 ) 变差缩减性 设平面内n + 1 个控制顶点晶，置，只构成b 样条曲线p ( t ) 的特征多边形。在该 平面内的任意一条直线与p ( t ) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个 数。 ( 7 ) 几何不变性 b 样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。 ( 8 ) 仿射不变性 对任一仿射变换a ： 彳( 【p ( f ) 】) = 饥只m ( f ) ， f 【f i ，t 。】 即在仿射变换下，p ( f ) 的表达式具有形式不变性 1 7 堕兰盔堂堡主堂垡堡窒。 一一。 ( 9 ) 直线保持性 控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化为一条直线。 o o ) 造型的灵活性 用b 样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况，如图2 - 5 所示。对 于四阶( 三次) b 样条曲线尸( f ) 若要在其中得到一条直线段，只要只，& 。，& ：，兄， 四点位于一条直线上，此时以f ) 对应得t 。，s f 0 ，其余戗0 。 b 样条基函数的推导公式为 r 蛐) = ：i 鬟虹咋+ l 蹦加薏去酬小老案小) ( 2 1 ) 节点列u = 【。，”柑+ l 】，对于非周期n u r b s 曲线将两端点的重复度取为 k + l ，即o = l = = “。，n “= i , h + 2 = = , n + “l 。 由上可推出，v i _ v ，= ( 甜+ i 一 i