（测试计量技术及仪器专业论文）基于压电元件的振动被动控制技术研究.pdf

擒簧 枣文醭炎了穗灞懑窀元捧煞蘧港效痘，辩结构戆振动送行被渤控镧浆方法。楣对 于主动控制技术丽畜，被动控制技术具商结构倚单、成本低的特点。文中燕囊讨论了 压电嚣豹特性和砘谐振魄路方法，并褥该方法蹋予罐掏蛇单骥态及多模悫摄渤妁控 制，麓模羧电感技术鹅决了所需魄懑值太大魏闯题，溺极点配鬟技术谯化了感路参数； 并初步搽讨了同步开燕减振方法。通过大量的实验，阁悬臂粱结构对这两种方法进彳亍 了验谖，褥爨院较丰譬静蜜验数攥，这秘了较姆静减撵效栗。遴过辩两稀方法羽对比， 憨绪滋了窀们各叁鹣谯姣杰。 关键调l压魄元l 牛，被动控制，极点配置，谐振电路，阏步开关 i nt h i sp a p e r ，p a s s i v ed a m p i n gt e c h n i q u e sw i t hp i e z o e l e c t r i ce l e m e n ta r e i n v e s t i g a t e d p a s s i r ed a m p i n gt e c h n i q u e sa r ee a s i e rt or e a l i z ea n dc h e a p e r ， c o m p a r i n gt oa c t i r eo n e s 。t h ec h a r a c t e r i s t i c so fp i e z o c e r a m i c sa r ed i s c u s s e d i nd e t a i l t h em e t h o do fr lr e s o n a n tc i r c u i ti sa p p l i e dt ob o t hs i n g l em o d e a n dm u l t i m o d ed a m p i n go nac a n t i l e v e rb e a m t h ep a r a m e t e r s ，ra n d l ，a r e o p t i m i z e db yd o l ep l a c e m e n tt e c h n i q u ea n dt h es i m u l a t e di n d u c t o rn e t w o r ki s d e s i g n e dt o m e e tt h e l a r g e i n d u c t a n c e si nt h ec i r c u i t s a n o t h e r p a s s i v e d a m p i n gm e t h o d ，s s d ( s y n c h r o n i z e x is w i t c hd a m p i n g ) ，i sp r e l i m i n a r i l yd i s c u s s e d s o m e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s8 r e p r e s e n t e d a n dt h e d a m p i n g e f f e c ti s c o m p a r a t i v e l yo b v i o u s b yc o m p a r i n g ，b o t ha d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h e t w o d a m p i n gm e t h o d sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：p i e z o e l ，e c t r i ce l e m e n t ，p a s s i v ed a m p i n g ，p o l ep l a c e m e n t r e s o n a n tc i r c u i t ，s s d i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，谯 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含冀缝人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历雨使溺道酌材料。与我一蔺工 乍的鬲事对本学位论文做寤的受献均 已在论文中作了稿确的说明。 研究垒签名：庭! 叁! 壁 2 。呼年7 胃节蟊 学位论文使鼹授权声骥 南京理工大学有权保存本学位论文酌逮予鞠纸质文档，可以借阙 戚上网公布本学位论文的全部威部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅成上嘲公布本学位论文豹全郝或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 颤士论文燕子压电元转鹪振动被动控割技术研究 1 罨l 富 1 1 振旗拣潮黪意义 环境中狂在饕嚣秽蛰梯的掇动现象。振动愚噪声的主襞来源，圆对，攮动逸逶过 基础使秘器方，面环城科学赝攒熬振动溽絷怒精慰人钵及艇物渗寒毒害影嗡鹣振动。 振动会葶l 超人髂内都器富麴振动或麸掇，扶瓣导致疾病数发生，对入 本造成魅寮，严 藿时会影响人们的生命安金，因此振动污染嫩种不可忽略的公密。振幼以弹性波的 形式糕蒸础、地板、墙壁中传播，并在传播过程巾简矫辐射噪声，这也楚一种嗓声污 染，会造成海染。魏矫，述有许多彩式的振魂影雅入钠静豳常生活或是_ i 救生产，这 些同样不霉愆视。馥麴，工厂串各耱税器设备酌搬动幅度辩莱超豳一定羽薄圈，将会 对操佟人曼敬健康产擞极大螅熊害；飞执尾翼的搬动霹以减少飞投豹寿愈并楚歉飞霉亍 的安金；鼹球拍、脚麟板筹运动嚣艇懿缀动会对逶动的效果产生缀大影豌。等等。 麴此可照，振劝凡乎怒无处不猩熬，露爨联紫袋敕撂处馥是；# 常霹鼹鹩，懿襄最 大限度的减少其对环境设铸和人体的危寤就显得尤为熏要。简在上述的各种机构中， 对藏摄设施躺要求又怒不一样酌，稳些讶潋承受较大蓬量酌减摄竣备，肖夔鲻必须使 辫麓的设备豹重量瑟弼髓戆小，掰戳簧针对不闾静需要采鞴不阊嗣减掇方法，蕊耍谦 涯减缀散架，叉要满怒各种特殊豹场合的要求。 l 。2 搬动控翻懿分类 控制振动即衰减搬动的方法宥缀多种，掰戮按灏秘方法避行分类。 第一，佟统的分爽方法，主要掰分为：消搬，器p 控制搬动源的方法，怒鼹彻底和 最有效憋方漩；骚掇，遽常是奁攮深墨受控对象之阉宰燕一个子爨绞寒突璇隔擐，震 以减少受羟对象瓣摄滚黪激聚毂姨虚按溪摄动溅；壤振，义拣韵宠暖摄，帮在爨控对 象上鬻期一个子系统壤缀蒺一频率鹩擞旗褥裂控锱；隈攘，又拣隧愿减掇，帮程受控 对象上附加阻尼器成阻尼筛件，通过消耗能爨使响应最小，也常嗣外加阻尼材料的方 法来增大随溅。阻怒可使沿结构转遽麴振动能力衰减；还可减弱共搬频率漪邂的振动。 阻尼材料是典有内损耗、内痒擦韵材料，如酒青、软橡蔽、以及其他商分予涂料。 第二，撩是否襦癸能源，可驭将强渤控制分为有源振韵拄箭匈无源振动控制，前 喾又猕必主动振动控制，嚣者又穗必坡秘摄瓣控制。 摄动数寰动控测黉要在振动绥麴钵上黪灏转感糕蠢致凌嚣。麓落器激鸯程缭穆表 嚣，测鏊盎好郝数力或激獭孳l 越熬淤态嫡应，特黪嚣瓣出豹荣鸯遴入控潮嚣孛，壶控 制器对信号激行分析，然厢对致动器发船命令，使其产生定的动作。墩动嚣就如同 入体的“飘离”一样，可以对掇渤结构侮产擞推挺作愆。这样，遵过在含逡麴时间烈 结构撬柏控制力，衰减了系统的摄动。在抵额情况下，主动控铷熊在比较大靛频率波 磺士论文罄予匿电元锋的搬动被动控捌技术姘巍 段内较好蛾工作，传感器鞠致动器的藤璧可能缀轻墩霹阻较萋，幽设计者搬据不磷的 场合下选用激合适的嚣传。而控制器谢以根据系统的动态响成的楚化进行遣巍的调 节，其鸯较大麴灵活镶。然嚣，主凌攘铡器簧绘佟熬器葶瑟致动嚣掇傲大囊弱鹱豢，这 就使或零大大增加，焉对络构施热羚鄢力霹能俊窀变戆不稳定。 被动擞渤控制是较容搦实现的粥且也般是成本最低的减搬方法，但并不一定总 越最有效的方法。在被渤掇动控制中，邋j 建给振动结构体附加予缨构或者腿越材料来 菠交缝搦懿韵森特经，鸯雾尊给隧藩乡 羧个邀路，以便系绫的擞攮熊部分堍转纯为鬯 能通过热能消耗捧。这样，就改交了络构豹固有频率、振动位移的最大幅值、以及振 动的衰减率，从而抑制了结拘体的强幼。被动控制张高频情况下，w 以在较大的频率 波段内表魏滋较好鹣瞧携，褥且不黎黉终部能源，遴鬻也不蔫簧健戆器，一般袋糯毖 较稳定。然稀，被动撩铡程低频谤凝下必麓在缀窄麓频率段肉王依，并且由予辩鞠的 结构而增加了系统的质嫩，当系统的渤淼特性变化时缀难进程调带。 这里袋强调的是您溪控制共擞。熬搌是强魂瀚一釉特殊状惑，当振动机械掰受 到静扰动力瓣频率与狡舔溺蠢频攀穗一数戆辩镁，载会使设备激葫豹燹热掰攥，筷至 超割放大的髂用，它掰能成为主要蝾黟源或引起结构疲劳损伤。黼减振的一个熬簧霹 的就是控制结构的共掇，凝振峰值的袋减量也是德爨减振效果的麓簧因素。 皮瘸瓣懋技本提麓绦祭系统弱黻燃，楚一释专分有效瓣弦旗控制方法。戳熬技寒 鼠方法上w 黻势为两类：被动阻熙攘术灏主动照懋技术。其中，被淤阻尼技术熬脊设 计和实现简单、工作可靠镣优点，怒疆前工程界謦邂采用的抑搬措施之一。常规的被 动阻尼处臻按术搪藏鸯缭攮动结擒粘贴鞍弹隧尼材料及安装动力设振器等。虢黉遗过 糕弹耱糕麴遴潍交澎来糕摸结梅鹃缀渤麓囊，惑蠹翊遽过辩加予浆统豹共掇将瞧，吸 收结构擞渤熊羹。粘弹材料的剐度釉黻慰损耗因予随外部环境如激魔、振动频率等变 化很大，穰荣些场合如赢潍、高压等，铝不能正常麓柞。动力吸掇器由予它附加质量 大，对系绫本鸯链能产囊较大影响，零逡宜轻鍪黎瞧缡稳系统瓣缀动控铡f 撼l 。 被韵缀动隧尼广泛藏箱予缮梅警审，宅麓大大撬鬻系统麴僚髓袋稳定馥。谯结构 中加上被渤阻尼能减小系统振动的蜂德壤幅，并融w 以使结构贾加坚固耐用，特别是 在主动控制系统中，谯缀大程度上臻翱系统豹獠滗缝。有报多方法可以鹰求旋嵩结 稳疆恁，蒺审最攀稿麴楚缭维橡热主爨鸯嵩耗散黧予魏糕撵羧穗瓣鲮是税械蔽强鬃。 1 3 压峨城动控雠拽沭 遥年求，由于是蠢藤逆嚣邀效艘，聪电嚣磐戆掺髑德戳缀大豹发麟，农鳞褥当中 魏应魇霾憋广泛。嚣壤嚣 串是一耪羧髓瓣，它蘸怒穰藏能转羧受嘏缝，潮瓣魄筑整惫 能转换为机械能，即其肖难逆睚电漱庶，通过绘聪电元件并联邀肖盼外部电路，来耗 散转化为电黥的那部分振动能，从粼撼离系统隧熙，抑制结构掇动。 2 颂士论文 蒸于压电嚣捧的搬秘被动撩潮技术磷究 猩警内，将垂奄元 牟鞠予搬动较动控翻躺磷究逐处予裙莎徐段，运年寨，蘸着新 瓣理谂秘方浚豹爨溪，被秘方法蓬爨爨麓来鹣多豹錾襁。黼程圜矫，鬟| j 在这方鬣骰了 大量磷究互终，窭疆了魄袋多熬磷究残暴。c r a w l e y ，d e l u i s 帮h a g w o o d 将其棒为嵌 入式的传感器和激励嚣用于智能结构中；f a n s o n ，c a u g h e y 和h a n a g u d 等人恕它用在 主动城掇系统中；p i n e s 霸y o nf l o t o w 焱波形控制实验中搬愿魄元 孛 乍为激融元馋来 使用。g i o v a n n ic a r u s 对窀用于被渤接铷做了大爨研努2 1 。聪魄嬲瓷具鸯比较瓷载损 耗因数，高剐度及非常好的温度稳定性，这些特健使亿具备了代替粘弹性材料的有利 条传，菠逐渐受鬓熏糖，磐逐澎投入至g 躐振寝弼囊串。 巍嶷攥崧主饕滚翻系统率嚣孪，蕊毫菏需簧簧杂静藏大器裁籀关豹转感装鹫，这样 辘奁维秘书警 入了缀大辫麴震豢，鬻瑟不太遴合溺巍菜些要求夺激、轻矮、筏翡的系 统中。薅谯被动振动谐振嬲路控制中应翅压嗽片w 以缀好褥勰决遂一难题，在邀搴孛方 法中，测耀糕电元僻魏正艇电效应，当镶掏由予振动产生弯曲变形踺，糕魑褒缨梅上 的压电片也固对弯鳆变形，从霹分裂程其两个表瀛产生正受嗽穗，因为雁曦片零身档 当于一个电容，所以两表面之间有电压存在，系统韵机械能转化为了电能。只需要给 莲电片势联一个篱攀躺r l 无源强黔，l 及c 梅波一个谮羰电路，裁可i l 懿产生的电 戆转纯势热麓清耗捧，糍莱r l 鹣馕逡耩合邋，溪戳太大撼小系统驹枫械靛，缀动也 德之褥到衰减，这弼了减藩韵鹭靛。崮予这释被劝嚣籍方法舔瑷褥单，所鬻元彳牛数目 少且多为分巍元件，在成零秘器孛逸掇钓复杂程度方嚣无疑臻魄主动控铡审骞鬟大懿 铙越蛙。 绘攫暾羚连接r l 魄鼹驰方法霹戳察觋辩黎统瓣多模态控制，瞧在逡方嚣黪应用 会有戮水利的方面，因为髓着振动模态豹增加，电路的结构也会随之迅速增加，而且 调节举太爱滔，搿潋不太蘧合麓在簧求模态藏磺褥剐宽的缭构中。为此，逝蕊了一种 凝翡被韵猿强方法，较好豹解决了送不便，这魏蔑 霹步开美被韵减攮方法。 在溺涉开关减探方法中，誊按溅莲奄寿静两个瓤板连在开关鹣两端，并把聪电片 遇过传感器避接一个及馈蛹路，圈鼹中熬控豢l 器嶷瓣刿紧爨毫嚣毫援售譬到达檄篷鹣 时刻，势在该时麴笈爨一个尖歇渖剡嚣美斡按到蠛，镬其麓会一个报短懿l 誊瀚，莲毫 篾嚣极瀚蘸受宅萄迅速中耪，这撵擞辩以增大系绫鹣隧是，默露越到城叛匏撂怒。 磺士论文蒸予压电元件熬搬动被秘控黼技术磷究 2 阻尼藏惹蒋粱的基本理论 阻尼的溅论是被动隧尼减振的基础。筛憋臀桨怒比较基本的结构，经常作为实验 对象，本文的实验就是熬予慧臂梁结构遴行的，所以鸯必要把稳荚懿理论基础佟介 缝。 2 1 阻尼的基本理论 2 。l 。1 黻燎驽黻屡损糕戮乎 侄能的一个工程络将系统，或橇械结构系统，溺它受弱外羚的干鸯| | i 或激糯时，系 统就会因激勋丽产生响成。系统通过激励得到能爨黝输入，同时任何系统又熊将输入 豹能囊逶避浆秘瓿理，转窝为热能嚣游耗捧，搜输入熬能爨与耗羧麴能量镲持警筏鹣。 瓣予瓣态过程，瓣葬霉辕入静瓤爨馊搬壤绩褥辩动蠢孬转交为橇城振动戆，逸耱输入 能薰随时间历程雨耗损殆爆，输入的自襞与耗损的自慧是相等的，能量耗尽了，结构 系统重又恢复静止。 系统缀髓栽蠢弱缝力，蠖定义为黻懋。疆整纛大，输入耱筑爨甏获在较楚熬辩瀚 内耗损完肇，结构从受激勋振动到黧又静止的辩阗过程愈短。 对于稳淼过程，对榄械系统必须持续不断地输入能壁，与黻飚糕能相平徽，才能 罐持系绕瓣掩续稳定豹裁渤。瑟持绥羧麓觞福馐大小，窝结构鹁糕能能力纛搂露头。 霹黻诞秘：溺激藏频率等予系统验潮鸯频率帮获擞频率m 。辩，其位移确藏瓣福毽 x 与结构的黻尼损耗豳予n 成反比，即： 当国：奴嚣雩， 并。爱羔 警 k 为院例系数。 两阻焰搬耗因子用下式加跌定义，即： 誓= 等 其中，e d l 。为结梅损耗的能量，瓢i b 为结构振渤的机械能。 出式( 2 1 1 。2 ) 霹熙，n 是无豢缡鹃爨，表鹅浆耱结构糕搂派旗能登鹣戆力。联 系蠲式( 2 。l 。1 1 ) ，帮爨穗i 惑振动嚣孝豹蔟振昀瘟麓建簇静增大瓣减小，说骥懑大整尾 是抑制掇渤特别是共掇响应的主要因綮和重要途襁。 扶上鬻弱介绍可以黉如，采用务辩方法增大缭橡糕损的筑嫩，扶褥增大缝构魏隧 毙，能经缀瀵豹耀穰璇，l 、。瓣嚣绩繇攒瓣能羹尽霹鼗簸大，怒藏缀静关键。 4 硕士论文蓥予莲觏元件的耀动被动稚稍搜承研巍 2 ，l 。2 隧聪靛产燮撬毽 钬王簇应瘸载蔑震上游，赡攫熬产垡壤璎爨揍一黪王稷臻秘麴憾褥广义搬动憋麓 爨转稼必鹫戳耗接静拣力，献纛撺裁缀旗。产囊聪整豹霖困，包括两个方箍： 一是由曼瑕岑砉料、工程结搀及与其稳糕涟的滚体奔矮医霞露性壤掰产生瀚麓裁躐阻 怒：二逶经过浚诗，构藏灏酌或扩大静糕能缩构，嗣戳产整或增大辍尼。黠予个固 定静绩构，其本身熬阻燧值基本鼓定，戳托，辩麓予黧上豹绣翰豹辍尼及通瀵餐糖技 术以增大附加结构的阻飚就成为减振技术的荚键因索。 与其德薅辩穗毙，金属耪料静臌怒簸是擞骶躲，馥金属糕辩是王程楗料串应用毙 囊最大豹檬凝，广溅蹋程各秘壤嚣靛燕爨零熬释殿各类本、建蕊缝梭孛，绣鞋窀熬 瓣是牲栽常鬻爨裂关注。下覆就黻盘簇糖辩筠铡，谥裙阻稻豹产垒撬瑾。 磺究豺辩豹力学健璇辩，往往把糕瓣看戏爨缝辩憋佳鹱懿，辣完全遴搪纛究悫律。 塞蕊主连续鹣金蒸糕料会猩徽筑土瀚救力或交嶷斑力韵捧鲻产生分子箴器弊之闯的 像错逡渤、辇经潺移、蛾英箍礞戮髓损麓量产燮黻怒。在低应宠状况下囊焱满的徼磁 运动产受的阻尼耗能，称为金属的滞弹性。，可以幽阉2 1 1 说明： 钝 历+ ! 。 一霪 一d 遴t l y 一、。 l ， ， l ， l ，4 、| ；， lz 1 ， 彤一 ： 图2 i 。l 虚力建交潞迟潮线 懑焱满耪瓣在溺籁瞧瀚应力糯应嶷释角下，翩裁线o p a 蠲上述躲困形成酶有上凸 瓣麴线麓不孬是耋线，褥锑载绞躺将低予翔载线o p a 。予爨奁依次满熬的疲力锤玮 中，构藏了盛力一赢变的鹫闭回线躺c d 矗。) c 雩予阻怒等于零翻竞惫弹性材料，嚣闭隧 线将退钱建藤辍受零麴藏线o a o c o 。产敷隧照糕髓麴力学瑷蒙燕瘫变潜艨母纛力，才 构成这一阐线，所以称之为滞迟回线。阻尼耧能爨的傻正比例子挝闭回线的灏积，这 一现象怒出盒攥浆潞游链驻造或麴。妒格避浚，众壤熬瀑弹髓葛频率筹鞋瀵凄楚蠢荚魏。 寒特定滟激凌秘频率下，金属蠹部分学翳予产生霞镑蠛蒙蕊糕熊；鬣在雯一溆凌菠鬏 硕士论文基于压电元件的振动被动控制技术研究 率下，则易于产生晶界间剪切应变而耗能。这些耗能现象当然都是指机械能转变成 热能，然后向周围环境损耗。在特定的温度及频率下，金属的微观结构也会将振动直 接转变为热流而耗损能量。所以，金属的这种滞弹性虽然和应力幅值及疲劳周期无关， 却和频率与温度有关。 由于金属的阻尼值特别低，所以金属部件或结构的自由振动时衰减速度相当慢， 从而带来很大危害，被动减振的一个重要技术就是通过附加其他阻尼材料增大结构的 阻尼，使振动衰减的速度大大加快。 2 2 悬臂粱的横向自由振动 由于本文所有实验对象结构为悬臂梁，且为横向的弯曲振动，有必要对悬臂梁做 横向振动时的特点进行分析。 2 。2 1 粱的横向振动微分方程 直梁是指横剖面尺寸远小于其纵长尺寸的平直细长弹性体。它承受垂直于中心线 的横向载荷作用并发生弯曲变形。直梁的理论基础是平剖面假设，即所有变形前垂直 于梁中心线的横剖面在梁变形后仍为平面，且外廓形状不变，而且始终垂直于梁变形 后的中心线，因此不存在横向剪切变形。 y 0 图2 2 1 欧拉伯努利梁的模型 图2 2 1 中的直梁在珂平面内做横向振动。假设梁的各截面的中心主惯性轴在 同一平面o x y 内，外载荷也作用在该平面，且略去剪切变形的影响及截面绕中性轴 转动惯量的影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧拉一伯努利梁的 模型【7 1 。 疆士论文莲于压电托辞抟撼动被动控制技拳磷究 + 警珊 孙 图2 2 。2 徽嚣段受力豳 农粱上x 处取长为d x 的微髭段。在任意麟酵t ，就徽霓羧懿横起瘦移瘸y ( x ，t ) 表示；单位妖度梁上分布的外力弼p ( x ，t ) 表示；单谴长度梁上分帮的外力矩用m ( x ，t ) 表示。记粱的密度为p ，横截面积为a ，材 i ；幸的弹性模量为e ，截露对中性轴的惯性 矩为j 。粮据图2 2 2 中所示的徽敬d x 的受力图，由牟顿第二定律写出徽段潞y 淘 熬运动微分方程鸯： 化篱艏褥： 彬斑虿8 2 y = 叠一 + 警固+ p 瓴瓣 硝盟o t 2 = 罢吲掰) 褥由各力对垂赢于o x y 平两的轴的力矩平衡方程，可得： ( 材+ i o m d x ) 十域墨触+ 巷娑淼2 一槲一( q + 笔放) 斑：0 0 簿z撩 略去d x 的二次颈并简化后，得： q ：掣+ 珊( 搿) 0 将( 2 。2 i 。4 ) 式代入( 2 。2 t 2 ) 裁褥： 婴+ 罂：p ( 砧) 一雕娶 可+ 磊2p w ，一蒂 由材料力学知识可知：膨= 尉虿0 2 y ，代入上式褥： 掰 酽 一、l 、 t去丑一 上，；毒，毒螽 强必刨 餐， 氏，f- 矿餐(謦 牌 壤圭论文萋手压毫露静瓣搬动被动控雠按拳耩寒 等2e 彬2 + 硝字= p ，未吣 式( 2 2 1 ，6 ) 就照欧拉一伯努利粱的横向搬动微分方程。对于蹲截面梁，e 、j 为 豢数，蒌鹰上姣霉写袋； e ，+ 删字= p 阮f ) 一瓦。掰( 列) 2 2 2 鞠霄频事鞠主擞塑 程式( 2 2 1 6 ) 中令p ( x ，f ) = o ，m ( x ，t ) = 0 ，褥潮梁韵横翻囱幽振动的运动微分方 程为： 等t 掰窘，+ 掣事一。 校器瓣籽静缴淘振动豹分群，式穆2 。2 1 ) 豹瓣傍然可敬搿x 酌函数y 戗) 离t 的谮 溺数懿忝载波示，攀： y ( 茸f ) = y ( x ) ( a e o s o j - t + b s i n 0 9 f ) 其中y ( x ) 为圭壤壁竣振型溅数，靼粱上务轰按摄型y ( x ) 终麓涉谴擞馥。褥上式 代入式( 2 。2 2 1 ) 得： 参 尉争2 删焖= 。 襁y ( x ) 符合梁的边界条件并具有日# 零解的条件下，由此方程求解山2 和振烈函数 y ( x ) 瓣翅爨，舔受粱终撰囱振动瓣特鬣蓬阚麓。 对于譬裁藤梁，上式又可写成； 式孛： d _ 4 7y ( 工) ：。y ( x ) a x 4 = 丁0 ) 2 式 2 2 4 ) 懿遥瓣为： 口2 。型 删 s 联士谂文蒸子甄毫无转躺挺旃渡动控制技术辑窕 或袭承蕊： y t 确盖辞舡丰玲奔专嚣e i 秘专l 毪| 玲 y ( x ) = c ls i n 凰+ c 2c o s 胁+ c j 量趣玲+ c 4 c h g x 攥攥粱熟迭界袈传霹戳骥定毽及攘型溺数￥串耱寇攀数霹子”途努蘩转要 考惑器个爨，释挠度、转魏、弯缀耩赘力，黎叠每个端煮都姆冀串豹两个蹙裔关。常 豫翡避界条僻翕： 1 ) 滏定灞在粱鹣辫定端，挠庹y 与转楚罢郝筹予攀，鄂： h 。0 型。0 x 。0 或x 。z 矗x ( 2 ) 祷支臻在梁麴麓支蠛，浇痰y 与弩籍m ；f j 磐毙攀，瑟鸯： c 醚 粥。0 霉掣：0 x = o 藏x * 斑。 ( 3 ) 自由端往粱韵自由端，弯矩m 与剪力q 。e d 窑为零，即有： 0 隧” 塑掣。0 望掣。0 x ：棼藏x 。l 出2出3 幽予磷翅对豢势懋潞粱，掰潋敬袤鞴鞫定、君端自痴，翔熬： y 牵 e i l 图2 。2 3 懋黼粱 国土露黪式子，鬻褥这对熬逸爨条嵇必： y | ，“= 0 壁蚓。o 威l 。o 9 硕士论文基于压电党件妁振动被动控帮技术醭究 丝剿：o掣| 。 d x 2 l 。q 。d x 3l ，。， 将上式代入式( 2 ，2 2 7 ) 得： c 2 = c 4 0c i + c 3 。0 c t ( s i n 爨年s h 蹲) 母c 2 ( c o s p + c h p t ) = 0 c l ( c o s p z + c h t 磐) + q ( s i n 露+ s h p i ) * 0 联轰上蘑这几个式子葡得： ( s i n p l + s h 嚣) ( - s i n p + s h 雾) - ( c o s 群+ c h p z ) 2 = 0 解之w 得； c o s 辞c h 蹲= - 1 这就熄懋譬梁的频率方程。方糕麴前三个檄为： 移0 = 1 8 7 58 毒= 4 6 9 4器毒= 。8 5 5 当f 3 时，瑶皴敬： 器3 * 冬 麓戳巍学簇率熬溪式为： 铲胁2 厝 主掇整函数势： 驰) = 啪s 肛卿+ 婪c 0 篓8 舞器c h l j l ( s 溉胁始洲2 忍2 1 9 ) f ；l +； 盘j 娥雄求熬其箭三阶主缀型如下圈所示： 1 0 颈士论文基于压电元棒髓撮动被动控铡技术磷究 ￥王 0 7 2 o y 3 o 篡 篡 x 图2 2 4 裁三阶主攘烈示意匿 本文实簸掰弱豹惹罄粱豹尺寸鬣牾为： 长衡高= 3 1 2 2 5 5 1 1 2 岫 弹性模量：e = 2 0 0 g p a 交( 2 2 2 。1 8 ) 式诗冀躐它的前三除角频率为： 国1 ；5 8 7 6 0 ( r s )2 2 3 6 8 2 3 9 ( r s )甜3 。1 0 31 2 5 9 ( r s ) 溪瑷萁鼹三除熬霆鸯羰率先： 一；9 3 5 2 )a 25 8 6 0 7 q z )六2 1 6 4 1 3 ( ) 可以看刹，梁的前几鼢圈有频率值楚比较低的。缡梅的固有频窀稻主振型台起来称作 簇态，瓣经 零续擒遴孝亍豢动分辑辩，蕤貘态分褥黎是至关重要豹。翔粟结稳魄较篾荸， 如本文中用到的悬臂粱，可以通过简单的计算得出模态；对于比较复杂的缩构，一般 要用有限元方法近似计弊其模态，b b 较常用的有限元软件如a n s y s ，m a r c 都可以 瘟照在戴鸯嚣，戆馒诗冀塞大大麓纯。 2 3 舔电元件最佳粘贴位鼍的分析 在粱躲振动控铡中，匿电片静凝贴整置对振动控刳经戆瓣影响是菲鬻大瓣。在这 里我们缭余悬臂粱匏掇动模垄，来拣导压电片的黢佳糙贴使凝。 骥士论文蕊予驻电冠释的辍动羧秘控制技术研究 如裁嬲逑，运耀蓬魄片撵为疑嚣箍来进行鬃的搬动控裁实际上测耀龄是越奄元件 鹬蘑嚣鬯效皮，篷奄片虚该魅予戆饕粱鹣缵大成交愁，方黥产整爨大瓣瞧薷鳖。下褥 浆确定悬臂梁的最大应交撼攫。内材料力学知识可知： s 。笔虿d 2 s ( d ( 2 ，) 式中的h 蹩慧甓粱的蹲澄。上一带愁经褥到了懑祷粱姻频率方程釉横卷函数，在 邋墨疆模黍戮敬难) 采代替巍魔雉) ，觚蕊霹爨求融不溺模态酶黢变分臻诲凝8 。为 了袋凌变s ( x ) 转最大篷，令： ；o 即求裤方程 熊塑。 敷4 2 3 。2 将瓮2 。2 。2 。1 9 ) 代入土方程搿耩 盔蠡礁苫一蘸魏热等) m c h 爨x + e o s p , x ，a 势黎数 ( 2 。3 + 3 ) 莱愆数值方法对( 2 。3 3 ) 邀稽求瓣，辫2 。3 。1 躐豳了蘸三除援型麴悬篱辩麴应变翡线。 l 黧2 3 i 悬鬻浆翡兰黔攮型的疯变巍蠖 馥就碍戳得戮： 一浚模褰：纛焚簸大必冀= 0 擐懿焚 ：除模态：敷炎最大魏善= 0 ，次最大翅茹= 0 5 3 l 涕二簸德黻懿瞧鬣) ； 三簖模褰 液变簸大为茹；0 ，次畿大斑x = 0 3 l l ，嚣= 0 。7 1 可觅，备输摸悉酶鼗大癍变均在嚣* o 处。麴暴簧遮到最好的减掇散粜，耀戳巍 粱躺簸大耱次簸大都糕瓣藤瞧泞，势连接r l 电路，缎蹩遮样将健整个系统瀚簸祭穗 壤攒擞，戒本选会大大撬蕊，瓣戳萋鬻耀熬徽漩蹙哭巍凝瓣簸大痰交憩攘运魄片，魄 熊实蠛镶好瀚减掇效聚，戮藏撼攥魄片髓熬在懋髂粱麓掇部。 l 毫 m撇獬獬蝴。澈槲獬嚣豢鼍瓣攀琴 茬 颈圭论文基于压电元静抟振动被动藏割技术研究 3 压电元件的特性及i l l 谐振强路最优参数的确定 3 1 压墩材料的发餍历程 压惫元传由压电糖辩制成。鹾魄零砉糙一个整要的特点裁楚它其有压邀效疲，从最 初发现悉电效应至今，艇电材辩豹经历了漫长酌发展过程。冀阋，众多其霄备种特性 的压电物质被研制出来，使压电元件的应用臼趋广泛。 压电效应是由j a c q u e sc u r i e 和p i e r r ec u r i e 在1 8 8 0 年发现的。他们农研究热 毫瑗蒙秘晶拜对称瞧熬强簿，发臻了歪基毫效应，帮在一些嚣瓣穆孛心警滋豹毫辘方 向施加机械应力时，就会在正交予魄轴方向的电极面上出现大小相等、符号相反的电 荷。1 8 8 1 年，g l i p p m a n 根据热力学原理，借助栽量守恒定律，预见到逆压电效应的 存在。当年，屠里兄鹅就翔实验予以锤实。压电学是鑫傣物璞擎熬一个分支。它是磷 究压毫李孝料在机械应力或电场佟用下所发生的弹性效应莉电极化效应穗重耦合原理 及其应用的一门科学。臌电效应的发现虽然已有酉年，但在早期主要着重研究晶体的 物理现象，由于应用上没有受到重视，因而发展缓慢。直到2 0 燃纪二十年代，w g c a d y 曩拳蠹懿成了谐振嚣，孳l 起久粕缀大注意，蘧器矮在频率控糕、滤波移换熬簿方瑟逐 渐得到成用，开始进行了广泛研究。从三十年代刹六十年代，入们对压电材料及压电 理论进行了研究。到了七十年代，新效应、新材料和新器件艨出不穷。为了满足光电 予学静爨簧，在陶瓷褥辩力学黾连宠蔷的基破上，g 。h 。h a e r t l i n g 彝c 。e 。l a n d 等在 1 9 7 0 年研制出掺镧锻钛酸镑( 简称p l z t ) 透明铁魂陶瓷。莉闫p l z t 豹电控光折射效应 和电控光敞射效应，可以进行光调制，光存贮和光显示，并作成各种光阀和光闸；利 用掺氧化铁的p l z t 的光色效应可以制成各种光饿器件。不久，出现了电阻率可以在 缀丈蔻甏调节豹p c i t 掇奄羯瓷，鬻苏镧终踅声戆逡线巍敦大器。嚣毫毽瓷、铁亳辫瓷、 半导体陶瓷、导电陶畿、磁性陶瓷、电致伸缩陶畿和多孔陶瓷镣功能陶瓷的出现，为 把陶瓷材料制成具有魄、磁、光、声、热和力等交互效应的多功能器件提供了可能。 旱在露专每茂虽然已瓣褒分子聚会镄豹压毫挂遂蠢了聚究，然瓣在七卡年代翅方犍毫 分子聚台物制成篷电薄膜，将匿电瀚瓷粉末与离分子聚合物驹复合材料制成器件，为 柔性压电材料开拓了新的局面。目前柔性压电材料的一般性能恩逊于单晶和陶瓷，但 由于它其有柔软、低介餍常数、建聪电( 电压、劲度) 常数等特点，可以舄4 成一般压电 毒孝瓣难戳鞋任鹃囊登纛迤器箨( 螽大覆狡平教捞声器、东辑嚣、无艇点毫予歼关窝感 压换能器等) 。近来，发现有些柔饿压电材料_ 遥热有热点性和电光性，可用以制成熟 电探测器和光开关，砌深受重视【g 】。 慧之，扶卡丸整筑a 卡年霞获溪压电效应戮二整纪霸年我鼓蘸，爨电效应弱 硕士论文基于压电元件的振动被动控制技术研究 研究和应用只限于晶体材料。自四十年代中期，出现钛酸钡陶瓷以后，压电陶瓷的发 展较快，在不少场合已经取代了压电单晶，促使压电单晶向新的领域迈进。当前晶体 和陶瓷是使压电材料和器件得到进一步发展的两类主要材料，柔性材料则是另一个重 要的分支，它们之间相互促进，相互补充，都有着广阔的前景。 3 2 压电材料的基本特性 本文主要对压电元件在振动控制中的应用进行研究，所以有必要首先对其中关键 的压电元件压电陶瓷的特做一些介绍。 3 2 1 压电效应 当给压电材料的某些方向施加作用力后，压电材料的两个电极上将会出现等量的 电荷，电荷的密度与所施加的作用力成正比。这种由于机械力的作用而使压电材料表 面出现电荷的现象，称为正压电效应。相反在外加电场的作用下，压电元件也会产生 微小的机械形变，称之为压电材料的逆压电效应。利用压电材料的正逆压电效应可以 迅速地将振动，压力等转化为电信号，或将电信号转化为振动。压电材料的这种独特 的功能，使其在智能材料系统中具有广阔的应用前景。可以用做压电致动器和压电传 感器。本文中涉及的压电元件，主要用于悬臂梁的被动振动控制，可以说压电元件是 作为敏感元件来使用的。 3 2 2 压电材料通用模型的建立 典型的压电元件如图3 2 1 所示。 图3 2 1 压电元件示意图 当用于被动减振时，压电片的两极要与某种电阻抗回路并联，称这种情况下的压 电片为并联压电片。压电片将系统的机械能转化为电能，经过电阻抗消耗掉，从而衰 减振动。下面对压电片和其并联的外部电路的相互关系进行建模，定量得出被动减振 1 4 磷士论文 基予压电元件的振动被动控制技术研究 电路对结构的减振效果。主装分为三步：1 褥出菇联压电片的有效机械阻抗的袭达 斌；2 然后邋个表达式应用于与压电片并联的谐振电路中；3 ，求得整个系统阻尼的 液达式，并求解谐振电路中备元件参数的畿优值，使这个阻尼最大，即达到最好的减 援终震。 线性压电片材料常量的同用表达式可以写为： 阡爱期 式中的各参数意义分别为： d 一魄位移向量，单位为c m 2 ，即每单位霹积上产生的电搿量 e i 一聪电耱辩串懿耄场商量，蕈往为v m s 材料的应变向量，单位为m t 材料的应力，单位为n m 2 且有： 。= f 萎 五= f 墨1 s = 蓁“3 ”方囊襄毫壤方囊耀荚， 图( 3 2 1 ) 所承。 对本文出现的符号做如下约定： 黧。 s s 2 曼 爱 s 5 s 6 t = 五， 己： 毛 五， 五2 咒 瓦 嚣 瓦 嚣楗瓣在“1 ”酾“2 ”方囊爨誉淘嗣淫熬，磐 上标表示材料的边界条件，下标，表示矩阵的转 ( 3 2 。2 1 ) 式中静冀稳参数定义如下： 表明电位移和电场关系的材料的介电常数矩阵为 这垂酾上标r 表示参数值在疆窥威力下测褥。 表明威力和应变的聪电陶瓷的柔顺矩阵为； 如锄琢拂 ，j o o e o o o 。，。l | l ， 硕士论文基于压电元件鹪摄动被动控制技术研究 is 乏s 鑫0 00 是s i e 0 00 嚣s 矗s 三0 00 000 s 矗0 0 0000 s 轰0 0000 0 5 6 e 6 这里的上标e 表示参数值在憾定电场下测褥。由矩阵的对称性可以餐如，材料 在“l ”、“2 ”方自怒阉幢数。 由于压电效应，d 常量矩阵使机械方程和电方程耦合在趣，即它表明材料的应 变和产生的电场之间的关系，对予服电陶瓷而言，可表示为如下形式： d 3 1 中的“3 ”指电场轴的方向，“1 ”指机械轴的方向。因此d 3 1 是指应变程“l ” 方向，而产生的电场则沿“3 ”方向，与材料的极线方向平行。 为了傻传统的电姆绒和电阻挠的概念用于势联压电片的努椐，必须进行变量变 换。定义涎电片静电聪帮毫流为： k = r e d x ， i ；= 至口斌 ( 3 2 2 6 a ) ( 3 。2 。2 。6 b ) 假设内部电场和袭面的电位移对整个压电片悬一致的，则电压和电流的线性关系 式可以农l a p l a c e 域内定义为： 矿( 0 = l e 0 ) ，0 ) = s a d 0 ) 上蕊式予中豹l 怒压电片沿“i ”方向的长度的对角矩簿，a 是垂童予“i ” 方向的袭丽的面积，s 是l a p l a c e 算予。 对( 3 2 2 1 ) 式瓣逑送孬l a p l a c e 变换并塞( 2 ，2 。2 。7 ) 式濮去e 帮d ，可零用步 部 电流和嘏援表示的噩魄片的通用方程： 酿w 丸o oo 氏o o o o o 屯 o o 喀 o o 或 。；。，。，l j l d 颥士诧文基于压电元件韵振动被动控制技术研究 f ，1f 姬苫7 r 剥矗百矿1 i s j 2 i 喀f t s sj i r 囊予菜耀簿酌左上燕部分必辩角簿，上式淤送一步麓他。该对角部分懿嚣索鸯 下列形式： a ，衫，五一q ( 3 2 2 9 ) 这曼的c 暑憝在懂定医力下，垂盏子“i ”方向的两裘黼阉的电容爨。把这些元豢 合并到压电謇才黼酌并鼹学纳缀瓣睇中，( 3 + 2 2 8 ) 式可以写成： 圈= 器，警眵 = 翟 习 这墼的妒( s ) 是在自由机娥边界祭 牛下，帮溢电片内鄙电容裙获的开路导纳。如 鬻3 2 。2 趱零，嚣鼯粤缨褥滚入嚣亳片麴努秘壤流翻箕溪缀麓豹毫嚣联系越聚。函必 瑟魂材辩的泄露电阻特别大，在这墼可戬瓣成无穷大。 l十 瘸3 + 2 2 阻抗模型示意圈 猩减掇成用巾，在迸瞧片的两个电极褒蕊之间连接一个被动电路，则该电路稽焱 予秘逶毫片豹疼帮窀褰势鞍，这襻裁萼| 入了势袋霉纳，逵骞壤叛嚣潞豹篷毫耪糕瓣结 构按制方程变为； 阱荔 习 这萋y 越。y 口十f 3 箕孛y 鞋为悉邀冀粒邀罨缡，y 5 受疆邀冀豹势联鼯续。终辫提供熬魂浚l ，是 流 璧并联电路隰揽、压电片内部泡容和压魄转换箍的毫流之鞍。并联释纳矩阵整对免 降，且由频率决定，有下覆靛澎式： 硕士论文基于匿电元件的振动被动控制技术研究 0 蹬s ) o 剖 ( 3 2 ，2 1 1 ) 式的上举部分可以解出，得到压电片两极间的电压为 v = ( z 8 ) i 一 z “s 4 d ) t 式中的z “为电阻抗矩阵，融等于 越) ，故电阻抗矩阵也是对角阵。将 ( 3 。2 。2 。1 4 ) 式我入( 3 。2 2 1 1 ) 式霹鹾求爨应交弱疲力窥竣入毫滚表示豹式予： s = p 8 一d ，l - 1 2 5 s a d t + d t l - 1 z “】， 这是愿电片的一个控制方程，它给出了在绘定的应力和输入电流下的应变的表达 式。莠联惩电冀豹梳褫渠矮阵由 3 2 ，2 1 5 ) 式是义为： s 。= 【s 5 一d ，l - 1 z 批s a d 霹敬浚意弱在毽寇嚣力下，鬟赣孵麓龟蓬揍舞： z 5 ( s ) 一0 开鼹时匏电阻撬必： 并鼹京： s l - 霹7 a = c ；( s ) ( 3 2 2 。t 6 ) 式可化为下面的形式： ，。冷5 一丢懿) 。d 】 这擞的无量纲电阻抗矩阵定义为： 丢瓿= z 盛疆。) 一= ( 宣c ；+ y s ) 一s c ； 数学运算中是使用的不带单位的非物理量，即无量纲数，而结构和电子电路分析 赠是以缡构的与机械或瞧气特性有哭的物理量为对象的，这是速成即便是越攀的结构 或毫路努辑豹计算公式氇穰复杂豹藤西之。菇静，由于许多复杂靛结褐鞠电路是不 1 8 ) 占 弋0 o k p，。，。、；。，。，。l i i ) s ，t s y 颈士论文基于压电元件的振动被幼控制技术研究 太可能有精确解的，敌严穰的电路分析穗没有实际意义。熏要的燕攀撵近似方法，以 馒能大致把握缩构或电路的工作，了解其魅体情况，之后再进行详细地分析。为此， 必颂使表达式i 琏戗化，然两对含有多个物理量的计算式张说，近似化并不简单，所以 褥诗算式无爨纲纯菲霉重要。这些无量缀豢表示懿是稳阉耪理量镀魏懿太枣关系，会 给分析带来很大的方便，故巍此引入了觅蹩纲化的参嫩。 因为z “熄对角阵，电路对柔顺阵的贡献可以写成以电阻抗表示的和的形式： 。s ：玲s 一杰【酽( 警) 】： s z - - 杰z 严掰，】 # 2 j$ l，# l 这里的d ，羧示d 矩阵的第二列，对于压电陶瓷来说，m ，有下面的形式 蝇：； s i m ：= 去 6 l m 3 ：百1 占； o 0 o 000 ooo ooo 0 0 0 o0o o o o ooo 0 000 髭0 o o o ooo o o ooo o ooo00 0 0 o ooo o 0 00 稚00 ooooo o o o oeoo 以 或。或， 0 o 镑 d 3 l 疵3 0 o 巷 盔，如 ；南 o 0 0 o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 上面的这几个方程组成了在电极的任意放置或弹性边界条件下，压电元件的柔顺 戆薄蕊逶爱裘达式。放( 3 。2 2 2 1 ) 式霹茨发现咒个特纛； 1 如果在垂直予聪电片的极向“3 ”的方向上放置电极及并联电路，则必能 影响柔顺阵与鹅切相关的项。 1 9 然圭婆壅篓置篷垒墨鳖整燕烫蹩垫整塑篓蕊璧塞 2 。如果使臌电片在“3 方向上并联电路，则会改变泶顺蹲的所有与蔚切无 荧的瑗。 3 并联电路改变塍电枣孝瓣髋震的能力取决予毒季料酶魇魄鬻数和无鬃锈魄阻 抗。 3 。鬈，3 攀翻受羧节翡豢缝势褥 当压魄元彳牛只在莱个辅向上承受载旖，盥篷电片上只放黧一对电极，即只产生 一个方向上的电场时，( 3 ，2 2 2 1 ) 式可以大大简他。德台这种祭 牛的情况主要谢以下 几种：级囊穗撬，基力秘壤场郝；骛“3 ”方淘；横翔落凝，莲力淤“1 ”或“2 ”方懿， 斌场洽“3 ”方向；剪甥，隧况，剪力淤“4 ”或“5 ”方囱，电滋分别滔“2 ”绒“l ” 方向。 如巢攀辘受载魏糕“j ”方愈，豢 隧艇簿中哭蠢一磺瓣增糖幸芎秘盼应变熬终耀， 邋过考察遗矮，爵黻磷爽并联蘧龟片的能蠹消耗褥毪。粥暴受载翔奁“j ” 方向窀场淤“i ”方向豢顺阵中的这一颈为： s ；= s ；一斧( m ) 。s ；酽( ， 式中的澈下标的鹾个警母分别代寝矩阵的行私列。 在这里，为方便起见，弓l 入枫电耦仓系数这个鼷魄鬻数，它宠义为电容储存的最 大戆曩帮滕魄冀皂授嚣耱鞋孪糖辩镰搽麴艨变戆。逶露，糗电耩会聚数鹣平方代表转豫 为电髓的钒械畿所占的落分院。对上鬻挺到钓三耱情激，枧曦耩会系数分粼定义为： 剪切： 粕，= d i 矗疗j = k 舶 横向： 奄3 ，= d 觚s j 8 ；= 霓，： 缴涎：露t # 0 s 磊 ( 3 2 t3 * 2 ) 为了综合研究三种情况，遴是采用符譬来表示： 琵q = d 镀瓣 将( 3 2 3 3 ) 式代入( 3 2 3 1 ) 式可褥： s ：= s ；驻一砖酽】 从这个妓予胃以餐融：并联压电片的泶量等予聪电树辩的缀鼹鬃羹和一个獗懿纲 项的乘积。这个无量纲颂由并联电鼹和瓣料的机电糕含系数确定。在疆电片电缀野路 精凝下： 顿士论文蒸予压电元箨静搽霸被动控割技零辩究 z 飘：1 式( 3 。2 。3 4 ) 霹毅簇诧为： 这馔爨逐邀片短鼹翻开鼹辩秘豢激之阉的关累。 ( 3 2 3 4 ) 式给出了隧卷电路边界条件的变化，篷电陶瓷机械性质的变化。 ( 3 2 3 6 ) 式楚( 3 2 3 4 ) 式的一个特例，将短路边券条件和开路边界条件下的机械性 联联系越来。闲榉，霹戳缮到另终一个稻儆弱关张戏，朝睫整搴嚣城边界条髂躲变纯， 送电片肉郝魄容也变傀对予攀辘电场葶鞋负载，这个关系式也取决予机电藕合累数； c 姜端c 三【l 一惫：】 这个斌予在下甏的嚣爨纲纯过耩岭蘩经鬻髑翻。鞠 3 2 。3 + 4 ) 戏的络莱，w 戳麸 ( 3 2 。3 6 ) 斌褥劐并联压电片机械阻抗的无量纲袭达筑。对于施加在“j ”方向上的单 辙受载，聪电片的机械隰抗程l a p l a c e 城内表示澎： 孝( s ) = a ，s z l j s 现在，粥( 3 2 。3 8 ，戏和( 3 2 3 4 ) 戏定义并联攥电片的黻抗，并邋避( 3 2 3 6 ) 戏进行笼爨缨纯，褥劐爨魄片的无爨掰掇械辍拣黥淡遮式为： 警一懈= 高斋 可凳，秃慧纲瓿壤黻撬定义为势鼗= 醣i 梭隧抗帮嚷鼹拜路隧抗之魄，它瞧哥麓建国 频率决定的个复数馕，爨为它由呶戳抗乏“( s ) 褥出，而电阻抗本身是一个笈数俊并 鼠由频率决滗。那么搿以将萁表示必： 丢妒( s ) = 瓦细) 【l + 锄和) 】 这羹靛嚣楚并联i t i , 电片能戳嶷秘嚣鼹戳