（控制理论与控制工程专业论文）带有时滞和不确定性的复杂网络研究.pdf

摘要 摘要 不确定动态网络是一类重要的网络系统，不确定系统主要包括两类：动态不 确定性和参数不确定性。模型不确定性一般是动态不确定性和参数不确定性的组 合，并可能出现在控制环的不同位置上。本文所研究的一类不确定动态网络系统 主要是节点的不确定性，此类不确定性是具有未知但有界的结构不确定性。本文 的具体工作如下： 首先，本文研究了具有不确定连续型线性动态网络和具有不确定离散型线性 动态网络的稳定性问题。基于稳定性理论，通过采用l y a p u n o v 函数方法分别得 到了判断连续型和离散型的稳定性的相关判据，用易于求解的线性矩阵不等式表 示出这些条件，并且通过数值仿真例子来验证相关定理的正确性。这些条件可用 于具有不同拓扑结构的不确定线性动态网络中，具有一定的理论意义。 其次，本文研究了这类不确定动态网络的时滞同步问题，其中时滞分为耦合 时滞和节点时滞两种情况。采用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法和易于求解的线 性矩阵不等式，得到了此类不确定耦合时滞动态网络和节点时滞动态网络同步的 相关条件，基于这些条件，通过l m i 工具箱，可以得到此类不确定时滞系统的 一个保守性较小的时延上界，最后也通过一个具体的数值仿真例子来说明该方法 的有效性。这些条件也可以用于具有不同拓扑结构的不确定线性动态网络中， 来研究其时滞相关问题。 最后对全文工作进行了总结，并指出了下一步可深入研究的方向。 关键词：动态网络；稳定性；同步性 a b s t r a c t a b s t r a c t u n c e r t a i nc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sa l et h ei m p o r t a n tn e t w o r ks y s t e m s t h e u n c e r t a i ns y s t e m sm a i n l yi n c l u d et w ot y p e s ：d y n a m i cu n c e r t a i n t ya n dp a r a m e t e r u n c e r t a i n t y t h em o d e l su n c e n a i n t yi st h ec o m b i n a t i o no fd y n a m i cu n c e r t a i n t ya n d p a r a m e t e ru n c e r t a i n t yi ng e n i a l ，w h i c hm a ya p p e a ro nd i f f e r e n tl o c a t i o n so ft h e c o n t r o ll o o p ac l a s so fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw i t hu n c e r t a i n t i e s ，w h i c hm a y b eu n k n o w n , t i m e - v a r y i n gb u tn o r m - b o u n d e d ，i ss t u d i e di nt h i sp a p e r t h ed e t a i l sa r e a sf o l l o w i n g ： f i r s t l y , t h ep r o b l e m so fs t a b i l i t yf o rl i n e a rc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s 弧也 e i t h e rc o n t i n u o u s t i m eo rd i s c r e t e - t i m eu n c e r t a i n t i e sa r es t u d i e d b a s e do nt h e s t a b i l i t yt h e o r y , b yu s i n gt h em e t h o do fl y a p u n o vf u n c t i o n , w eg e ts o m ec o n d i t i o n s a s s u r i n gt h es t a b i l i t yo ft h ec o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw i 廿lu n c e r t a i n t i e s t h e s e c o n d i t i o n sa r ee x p r e s s e di nt h ef o r mo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，w h i c hc a nb es o l v e d e a s i l y , a n dc a nb ea p p l i c a b l et ot h ec o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw i t l ld i f f e r e n t t o p o l o g i e s t h es i m u l a t i o ns h o w st h ee 删v e n e s so ft h ep r o p o s e da p p r o a c h s e c o n d l y , t h es y n c h r o n i z a t i o no ft h ec o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw i t hd e l a y si s a d d r e s s e d t h et i m ed e l a ym a ya p p e a re i t h e ri nt h ec o u p l eo ft h en e t w o r ko ri nt h e d y n a m i c so fe a c hn o d e s b yu s i n gt h el y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a lm e t h o d ，w e g e tt h ed e l a y - d e p e n d e n ta s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t yc r i t e r i af o rn e t w o r k s 、衍t l ld e l a y si n t e r m so fl m i s b a s e do nt h e s ec o n d i t i o n s ，b yu s i n gt h et o o l b o xo fl m i ，w ec a ng e t t h em a x i m a ld e l a yo ft h ed y n a m i c a ln e t w o r ka s s u r i n gt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t y t h e r e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i sc a l lb ea p p l i e dt ot h ed y n a m i c a ln e t w o r k sw i t i ld i f f e r e n t t o p o l o g i e sa n ds i z e s a s u m m a r yo ft h ef u l lt e x ta n dt h ed i r e c t i o n sf o rf u r t h e rs t u d i e sa r eg i v e na tt h e e n do ft h i st h e s i s k e yw o r d s ：d y n a m i c a ln e t w o r k ；s t a b i l i t y ；s y n c h r o n i z a t i o n 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写 课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作 特别声明。) 声明人( 签名) ：曾圣球 7 年月1 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () i 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“ 或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ：、宇垂饯 叩年月日 第一章绪论 1 1 复杂网络 1 1 1 复杂网络概述 第一章绪论 自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。一个典 型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来代表 真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具 有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边，有边相连的两个节点在网络中被 看作是相邻的。例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形 成的网络；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双 绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络眨1 。类似的还有电力网络、社会关系网络 n 3 棚、交通网络5 3 等等。对这些极其复杂的交互作用网络的结构和动力学的理解 已经成为2 1 世纪网络科学和生命科学的关键性研究课题和挑战之一。 一般而言，网络系统的复杂性体现在以下几个方面 ( 1 ) 结构复杂性 网络连接结构看上去错综复杂、极其混乱。而且网络连接结构可能是随时间 变化的，例如，w w w 上每天都不停地有页面和链接的产生和删除。此外，节点 之间的连接可能具有不同的权重或方向。例如，神经系统中的突触有强有弱，可 以是抑制的也可以是兴奋的。 ( 2 ) 节点复杂性 网络中的节点可能是具有分岔和混沌等复杂非线性行为的动力系统。例如， 基因网络和j o s e p h s o n 结阵列中每个节点都具有复杂的时间演化行为。而且，一 个网络中可能存在多种不同类型的节点。例如，控制哺乳动物中细胞分裂的生化 网络就包含各种各样的基质和酶。 ( 3 ) 各种复杂性因素的相互影响 实际的复杂网络会受到各种各样因素的影响和作用。例如，耦合神经元重复 地被同时激活，那么它们之间的连接就会加强，这被认为是记忆和学习的基础。 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 此外，各种网络之间也存在密切的联系，这使得对复杂网络的分析变得更为 困难。例如，电力网络的故障可能会导致i n t e m e t 流量变慢、金融机构关闭、运 输系统失去控制等一系列不同网络之间的连锁反应。 1 1 2 历史回顾 1 1 2 1 从七桥问题到小世界实验 1 8 世纪，数学家欧拉对“七桥问题的抽象和论证思想，开始了数学中图 论的研究。欧拉也因此被称为“图论之父。但在此后相当长的一段时间里，图 论没有获得足够的发展。 2 0 世纪6 0 年代，匈牙利数学家e r d 6 s 和r 6 n y i 建立了随机图理论。这被 公认为是在数学上开创了复杂网络理论的系统性研究。在2 0 世纪的后4 0 年中， e r 随机图理论一直是研究复杂网络拓扑的基本理论，其中的一些基本思想在目 前的复杂网络研究中仍很重要。 1 9 6 7 年美国社会心理学家m i l g r a m 通过“小世界实验 3 ，提出了“六度 分离推断”，即地球上任意两个人之间的平均距离为6 ，也就是说只要中间平均 通过5 个人，你就能联系到地球上的其他任何人。随后，一些数学家也对此进行 了严格的证明。如今，小世界特性已在许多网络中得到了证实。 1 1 - 2 2w s 小世界模型与n w 小世界模型 1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g t z 提出了“小世界 网络模型( w s 小世界模型) 叨， 实现了从完全规则网络到完全随机图的过渡，该模型既具有规则网络的高聚类 性，又具有类似随机网络的小的平均路径长度。其构造算法如下： ( 1 ) 从规则图开始：考虑一个含有个点的最近邻耦合网络，它们围成一个 环，其中每个节点都与它左右相邻的各k 2 节点相连，k 是偶数。( 2 ) 随机化重 连：以概率p 随机地重新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而 另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之 间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。 在该模型中，p = o 对应于完全规则网络，p = 1 对应于完全随机网络，通过 调节p 值，可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡。如图1 1 所示。 2 第一章绪论 图1 1w s 小世界模型( 随机化重连过程) 由于w s 小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性。 1 9 9 9 年n e w m a n 和w a t t s 提出了n w 小世界模型嘲，它用“随机化加边一代 替了w s 小世界模型构造中的“随机化重连 ，即在构造算法的第二步是以概率 p 在随机选取的一对节点之间加一条边。其中，任意两个不同的节点之间至多只 能有一条边，每个节点都不能有边与自身相连。在n w 小世界模型中，p = 0 对 应于原来的最近邻耦合网络，p = 1 对应于全局耦合网络。当p 足够小和足够 大时，n w 小世界模型本质上等同于w s 小世界模型。 1 1 - 2 3b a 无标度网络模型 上述模型都没有考虑到实际网络的两个重要特征：( 1 ) 增长特性：即网络的 规模不断扩大。( 2 ) 优先连接特性：即新节点更倾向于与具有较高连接度的“大 节点相连。通过近几年的研究，我们发现许多复杂网络的连接度分布函数具有幂 律形式。为了揭示幂律分布的产生机理，b a r a b 矗s 和a l b e r t 提出了无标度网络 模型( b a 模型) 。其构造算法如下： ( 1 ) 从一个具有m 。个节点的网络开始，每次引入一个新的节点，并且连到m 个 已存在的节点上，这里m m 。( 2 ) 一个新节点与一个已经存在的节点f 相连的概 率兀t 与节点f 的度屯、节点歹的度屯之间满足如下关系：1 - i t - - 轰j 。 在经过t 步后，该算法产生了一个有n = t + m o 个节点、m t 条边的网络。图 1 2 显示了m = m o = 2 时b a 模型的演化过程。 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 神乜一弋毽? 风蝉夺 图1 2b a 无标度网络的演化( 扰= m 。= 2 ) b a 模型很好地在科学研究中体现了从复杂现象中提取简单本质的特点，但 b a 模型只能生成幂指数为3 的无标度网络，而实际复杂网络的幂指数各不相 同，且大都在2 与3 之间，并且，实际网络常常具有一些非幂律特征，如指数截 断、小变量饱和等。因此，人们又对b a 模型做了各种扩展，先后提出了适应度 模型、广义无标度动态网络模型、局域世界演化模型、多局域世界演化模型等。 1 1 3 复杂网络的研究现状 近年来，对复杂网络的科学探索发生了重要的转变，复杂网络理论研究也不 再局限于数学领域。人们开始考虑节点数量众多、连接结构复杂的实际网络的整 体特性，在物理学、生物学、计算机科学、社会学以及经济学等各个不同领域掀 起了研究复杂网络的热潮，甚至于被称为“网络的新科学”哼，埘。其内容主要包 括网络的结构和性质、网络的生成机制、网络演化的动力学行为等问题。 ( 1 )网络的结构和性质 用来刻画真实网络宏观结构的基本特征量主要有平均最短距离、聚类系数、 度分布等。例如，b a 无标度网络的平均路径长度为1 2 】：o c 石l 丽o g n ，这表 明该网络也具有小世界特性；b a 无标度网络的聚类系数为n 羽： c ：竺掣陋( 竺生) 一1 - 】咝，这表明与e r 随机图类似，当网络规模 4 ( m 一1 1 。、m 7 埘+ 1 。 f 。“ 充分大时，b a 无标度网络不具有明显的聚类特征；b a 网络的度分布函数为： 尸( 七) = 丽i 2 m 面( m 丽+ 1 ) 2 肌2 j j 一，这表明b a 网络的度分布函数可由幂指数为3 的幂律函数近似描述( 图1 3 ) 4 第一章绪论 聋 图1 3b a 无标度网络模型的度分布以七) ( = 1 0 0 0 0 ) 需要指出的是，对b a 无标度网络模型的构造及其理论分析的严格性等还存在一 些不同看法。 ( 2 )网络的生成机制 人们通过不断的努力，对于网络的无标度性质、小世界性质的微观生成机制 有了一定的认识。目前，人们也开始从宏观的角度来探索复杂网络，例如，度关 联n 4 1 、团体结构、分层结构等宏观角度。 ( 3 ) 网络演化的动力学行为 研究网络中的动力学行为就是考察具有不同结构的网络中发生的各种动力 学过程的特征。人们在这方面做了很多工作。比如说，对复杂网络中流行病传播 的动力学行为的研究表明n 印，对于无标度网络来说，定义相对密度n ( f ) 是一个 度为k 的节点被感染的概率。它的平均场方程为n 刀 a p - k ( t ) = - p k ( f ) + 舭【1 一见( f ) o ( 以( ，) ) ( 1 1 ) 这里同样考虑单位恢复速度并且忽略高阶项( p k ( t ) 丸时可以得到o 的一个非 零解。由式( 1 2 ) 和式( 1 3 ) - - f n 得到 o = 去；罴1 ( 1 4 ) ( 后 乍、7 + 脚 、7 式( 1 4 ) 有一个平凡解o = 0 。如果该方程要存在一个非平凡解o 0 ，需要满足如 下条件： 一a 1 9 ( 、1 ，莓k e ( k e ( k ) 羔) i 。= o t。雨丽f 。= 0 班 即有 k p ( k ) a k ：盟a 1 t聊 从而得到无标度网络的传播临界值以为 ， 九2 而 对于幂律指数为2 专o o ，从 而五专0 ，即传播强度阈值趋于零，这就使得在无标度网络中采用减小传播强 度的方法并不能够阻止传染病爆发。而对于结构化的无标度网络而言，传播强度 阈值不为零。 对于不同结构复杂网络鲁棒性以及脆弱性的研究也是一个热点，研究指出 ( 假设去除的节点数占原始网络总节点数的比例为，用s 、z 分别表示最大连 通子图的相对大小和平均路径长度) ，e r 随机图和b a 无标度网络之间存在极 其显著的差异。无标度网络对随机节点故障具有极高的鲁棒性：与随机图相比， 最大连通子图的相对大小在相对高得多的时才下降到零，而其平均路径长度的 6 第一章绪论 增长则要缓慢得多( 图1 4 ) 。无标度网络的这种对随机故障的高度鲁棒性，来自 于网络分布的极端非均匀性：绝大多数节点的度都相对很小，而有少量节点的度 相对很大。当厂较小时，随机选取的节点都是度很小的节点，除掉这些节点对整 个网络的连通性不会产生大的影响。然而，正是这种非均匀性使得无标度网络对 蓄意攻击具有高度的脆弱性：只要有意识地去除网络中极少量度最大的节点就会 对整个网络的连通性产生大的影响( 图1 4 ) 。 | | 泐 l 油 图1 4e r 随机图和b a 无标度网络的鲁棒性和脆弱性嗽1 曲线( 匐、( c ) 对应职随机图；曲线( b ) 、( d ) 对应酣无标度网络l 方块对应随机故障；圈点对应蓄意攻击 再者，对于复杂网络上的同步现象也是一项重要的研究课题。人们已观测到 的同步现象包括夏日夜晚青蛙的齐鸣、萤火虫的同步发光，心肌细胞和大脑神经 网络的同步1 蛇，剧场中观众鼓掌频率的逐渐同步陇3 ，等等。目前，人们对复 杂网络的完全同步判据研究比较多，比如对一般连续时间耦合网络完全同步判据 的研究，考虑一个由个相同的节点构成的连续时间耗散耦合动态网络，其中 第f 个节点的状态方程为眨3 , 2 4 1 ： 毫= 厂( ) + c 口扩h ( x ，) ( 1 5 ) j f f i l 式中，x i = ( n ，0 孙，x ；“) 孵”为节点f 的状态变量；常数c 0 为网络的耦合 7 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 强度；日( ) ：吼”- - 吼“为各个节点状态变量之间的内部耦合函数，也称为各节 点的输出函数，这里假设每个节点的输出函数是完全相同的；耦合矩阵 彳= ( 口i f ) 吼胍表示网络的拓扑结构，满足耗散耦合条件口口= 0 。如果当 t - - 时有 x l ( t ) - - - x 2 ( t ) 专- - x ( f ) 一s ( t ) ( 1 6 ) 就称动态网络( 1 5 ) 达到完全( 渐近) 同步。由于耗散耦合条件，同步状态s ( t ) 孵4 必为单个孤立节点的解，即满足j ( f ) = 厂( j ( f ) ) 。这里s ( f ) 可以是孤立节点的平衡 点、周期轨道，甚至是混沌轨道。对状态方程式( 1 5 ) 关于同步状态s ( f ) 线性化， 可等价于 式中r 。为矩阵a 的特征值。 巩= o f ( s ) + c 2 k d h ( s ) r l t ，k = 1 9 2 9o * * n( 1 7 ) 判断同步流形稳定的一个常用判据要求方程式( 1 7 ) 的横截l y a p u n o v ( 李雅普若夫) 指数全为负值嘶之刀。在方程式( 1 7 ) 中，只有仇和, l - 与i 后相关。考虑到当矩阵a 为 非对称阵时，其特征值可能为复数，故此定义主稳定方程( m a s t e rs t a b i l i t y e q u a t i o n ) 如下： 夕= 【d f ( s ) + ( 口+ i f l ) d h ( s ) l y( 1 8 ) 该方程的最大l y a p u n o v 指数三一是变量口和的函数，称为动力网络式( 1 5 ) 的 主稳定函数( m a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o n ，m s f ) 1 2 3 , 2 5 , 2 8 - 3 0 。给定一耦合强度c ，在 ，) 复平面上可以对应地找到固定的一点c 以，该点所对应的三一的正负号反映了该 特征模态的稳定性( 负号表示稳定，正号表示不稳定) 。如果与以对应的所有的 特征模块都稳定，那么在该耦合强度下整个网络的同步流形( 1 6 ) 是稳定的。下面 举个数值例子来说明。 以混沌r s s s l e r 振子作为网络的节点，第f 个孤立振子方程为 第一章绪论 j j ”一( 0 2 + 0 ”) j j 2 = x 1 ) 十叫” 妒= 6 + 咒”c ) 过x o 耦合，这时内部耦台函数可以用矩阵形式l0 001 0 0 描述。系统的主稳定函 1 0 0 0 j 数曲线如图1 5 所示，其中细虚线表示的是负l y a p u n o v 指数曲线，细实线为正 l y a p u n o v 指数曲线，黑点为具有1 0 个r s s s l c r 振子的环形网络，图1 5 中小图是 r 6 s s l e r 系统，l 。 0 。假定卢= 0 ，则随着口的减小( 即耦合强度c 在增大) ， 当超过一特定阂值后，三一减小为负值，再继续减小d 值r 当口再小于另一个闽 值时l 嘣再次为正。这个例子说明，耦合强度太弱或太强都可能使得整个耦合网 图1 5x ( 1 耦台r # s s l e r 系统的主稳定函数 人们除了用主稳定函数方法去研究复杂网络同步流形的稳定性外，还运用 l y a p u n o v 函数方法和l m i ( 线性矩阵不等式) 方法来研究。然而经过大量的研究， 缮p 磷 _ _ 扎凝 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 人们慢慢发现网络的拓扑结构在决定网络动态特性方面起很重要的作用。例如， 尽管已有的结果表明，在一定条件下，足够强的耦合可以导致网络中节点之间的 同步口，但这一结果无法解释为什么即使在弱耦合的情况下许多实际的复杂网络 仍呈现出较强的同步化趋势。 此外，人们还运用牵制控制思想对具有无标度拓扑结构的复杂( 混沌) 动力 网络的控制上研究日2 。3 5 1 发现，牵制控制利用无标度网络结构的非均匀性，有针对 地对网络中的少数关键节点施加反馈控制，由此牵一发而动全身，从而能够将规 模庞大的复杂动态网络稳定到平衡点，获得很高的控制效率。 1 2 本文主要工作 由于实际系统中存在着不确定性因素，对于研究不确定线性系统的相关问 题，将对实际系统的控制要求、控制性能的实现都有很大的影响，对控制系统的 设计和应用，也具有实际的指导意义，而且这也是不确定系统理论本身完善和发 展的需要。因此对于不确定系统的研究有其自身的迫切需要。 目前，人们广泛地对复杂网络的稳定性、同步性、牵制控制等动力学行为 的相关问题做出了研究。然而有些复杂网络系统中存在着不确定因素，对其研究 具有一定的实际意义。众所周知，时滞现象大量存在于各种工程中，时滞常常是 导致系统不稳定或性能恶化的一个重要原因，因此研究不确定复杂网络问题时， 把时滞也考虑在内，使得研究的对象更加贴切于实际，从而具有更大的实际意义。 基于以上的分析，本文主要研究了具有不确定因素复杂网络的相关问题。 概述如下： 第二章给出了论文研究理论的基础，包括不确定性的定义和l y a p u n o v 稳定 性。第三章研究了具有不确定线性连续型和离散型复杂网络的稳定性，结合使用 l y a p u n o v 函数方法和l m i 方法来对其的研究，得到了一些相关定理，最后进行 了数值仿真。第四章研究了具有不确定线性连续型耦合时滞复杂网络的同步问题 和具有不确定线性连续型节点时滞复杂网络的同步问题。第五章对全文进行了总 结，并指出本文存在的一些不足及今后需深入研究的一些问题，展望了复杂网络 下一步的发展。 l o 第二章论文研究的理论基础 第二章论文研究的理论基础 2 1 不确定性的定义 一个复杂的动态模型必须用一个相对简单的模型来描述，而这样一个简化模 型和实际对象之间的差距称为模型不确定性。除了在模型简化过程会带来不确定 性外，对系统特性认识的不够，系统环境的变化、元器件的老化、物理参数的漂 移，随时间变化等因素所带来的系统的变化也会导致模型不确定性的产生。 由于在实际控制过程中，被控对象很难用一个准确的数学模型来描述，即系 统模型中总存在着不确定性。不确定性的存在意味着即使知道输入信号，也无法 准确地预计出系统的输出信号，也就无法对控制系统进行分析与综合。数学模型 中不确定性的描述是多种多样的，主要分为非结构不确定性和结构不确定性。 ( 1 ) 非结构不确定性是指模型与不确定性之间的相互关系是不明确的，其描 述可以分为以下几类： a ) 加法不确定性，即一个实际控制对象的传递函数模型可以描述为 只( j ) = p ( s ) + ( s ) ( 2 1 ) 其中只0 ) 为被控对象的实际数学模型，尸( s ) 为被控对象的标称模型，( j ) 表示为模型中的加法不确定性。 b ) 乘法不确定性，即一个实际控制对象的传递函数模型可以描述为 只( s ) = ，+ ( s ) 尸( j ) ( 2 2 ) 当用以上两种方法描述系统的不确定性时，有时为了便于处理问题，有可能 会将一个难于处理的较小集合放大，因此不可避免带来一定的保守性。 c ) 基于规范化互质分解描述的不确定性，即一个实际控制对象的传递函数模 型可以描述为 只o ) = 【 ，o ) + 肼o ) 】- 1 【o ) + 0 ) 】 ( 2 3 ) 其中肘( s ) 和a ( s ) 分别表示为互质矩阵m ( s ) 和n ( s ) 的稳定性摄动。 ( 2 ) 结构不确定性是指具有已知结构的参数含有不确定性，如测量误差、元 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 器件老化、线性近似等引起的参数变化。对于状态空间描述的模型，系统的实际 参数可以描述为 么( ，( f ) ) = 么+ 4 ( ，( f ) )( 2 4 ) 其中么表示系数矩阵的标称值，为实数矩阵；鲋( r ( f ) ) 表示有界时变的不确定 性，有三种描述方法： a ) 参数结构不确定性：鲋( ，( f ) ) ：壹( 0 4 ，k ( f ) i 1 ； i = 1 b ) 块结构不确定性：鲋( ，( f ) ) ：杰d f ，( f ) e ，忪，( f ) l l 1 ； i = i c ) 结构不确定性：a a ( r ( t ) ) = d a ( t ) e ，忪( f ) i i 1 模型不确定性也可分为以下两类： 1 )动态不确定性：例如在线性模型中忽略的动态特性，由于慢时变特 性的忽略、输入中的非线性等因素导致的动态行为的变化； 2 1参数不确定性：一些难于精确刻画的物理参数，或者在运行过程中 发生变化但难以刻画其变化规律的参数。例如，机械系统中的阻尼 系数和弹性系数、飞行装置中的空气动力学系数、电路中的电容和 电感等。 不确定性的其他特性包括是否为线性、是否为时变等等。模型不确定性一般 是动态不确定性和参数不确定性的组合，并可能出现在控制环的不同位置 上。例如，在系统的执行器上可能出现动态不确定性，在某些传感器的系数 上可能出现参数不确定性等。 2 2l y a p u n o v 意义下的稳定性介绍 对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定 常的，那么有许多稳定性判据，如r o u t h - h u r w i t z 稳定性判据和n y q u i s t 稳定性 判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性 判据就将不再适用。 1 2 第二章论文研究的理论基础 本节所要介绍的l y a p u n o v 函数方法是确定非线性系统和线性时变系统的最 一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。 2 2 1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如f 非线性系统 文= f ( x ，f )( 2 5 ) 式中x 为n 维状态向量，f ( x ，t ) 是变量毛，恐，毛和f 的刀维向量函数。假设在 给定初始条件下，式( 2 5 ) 有唯一解o ( t ；x o ，t o ) ，且当t = t 。时，x = x o 。于是 o ( t o ；x o ，t o ) = x o 在式( 2 5 ) 的系统中，如果存在向量t 使得 f ( x 。，f ) 三0 ( 2 6 ) 成立，则称x e 为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的，也就是说 f ( x , t ) = 血，则当a 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态t = 0 ；当 a 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，则有一个或 多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解( 对所有t ，总存在x = t ) 平衡 状态的确定不包括式( 2 5 ) 的系统微分方程的解，只涉及式( 2 6 ) 的解。 任意一个孤立的平衡状态( 即彼此孤立的平衡状态) 或给定运动x = 矽( f ) 都 可通过坐标变换，统一化为扰动方程宝= 7 ( 譬，f ) 之坐标原点，即7 ( o ，f ) = o 或 茸= 0 。在本节中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状 态的稳定性问题。这种所谓“原点稳定性问题”，由于使问题得到极大简化，又 不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是l y a p u n o v 的一个重要贡献。 2 2 2l y a p u n o v 意义下的稳定性定义 下面首先给出l y a p u n o v 意义下的稳定性定义，然后回顾某些必要的数学基 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 础，以便在下一小节具体给出l y a p u n o v 稳定性定理。 定义2 1 设系统 莺= f ( x ，f ) ， f ( x 。，f ) 兰0 之平衡状态t = o 的日邻域为 i x - - x 。忙h 其中，h 0 ， l i 1 l 为向量的2 范数或欧几里德范数，即 i i x - - x e 1 = 【( z l - - x k ) 2 + ( x 2 - - x 2 。) 2 + + ( x 一一x n e ) 2 】2 类似地，也可以相应定义球域s ( 6 ) 和s ( 6 ) 。 在h 邻域内，若对于任意给定的0 0 ，不管这两个实数多么小， 在s ( a ) 内总存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开s ( e ) ，那 么平衡状态x e = o 称为不稳定的。 图2 1 ( a ) 、( b ) 和( c ) 分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定 性的典型轨迹。在图2 1 ( a ) 、( b ) 和( c ) 中，球域s ( 回制约着初始状态，而球域s p ) 是起始于而的轨迹的边界。 注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除 非s ( c ) 对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。 此外，在图2 1 ( c ) 中，轨迹离开了s ( e ) ，这说明平衡状态是不稳定的。然而 却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在s p ) 外的某个极 限环( 如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋 于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确) 。 带有时滞和不确定性的复抽同络研究 图2 1 ( 8 ) 稳定平衡状态及一条典型轨迹：( b ) 渐近稳定平衡状态及一条典型轨 迹：( c ) 不稳定平衡状态及一条典型轨迹 上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析， 是最低限度的要求。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。 实际上，在其它文献巾还有另外的定义。 对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般 只考虑吸引区为有限范围的渐近稳定。 虽后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与l v a p u n o v 意义下的稳定性概念是有一定的区别的。例如，在经典控制理论中只有渐近稳定 的系统才称为是稳定的系统，而仅在l y a p u n o v 意义下是稳定的，但却不是渐近 稳定的系统，被称之为不稳定系统。 2 2 3l y a p u n o v 稳定性理论 1 8 9 2 年，a ml y a p u n o v 提出了两种方法( 称为第一法和第二法) ，用于确 定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。 第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤，也称为间接 法。 第二法不需求出微分方程的解，也就是说，采用l y a p u n o v 第二法可以在 不求出状态方程解的条件下，确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时 变系统的状态方程通常十分困难，因此这种方法显示出极大的优越性。第二法也 称为直接法。 尽管采用l y a p u n o v 第一法分析非线性系统的稳定性时，需要相当的经验和 四啊 第二章论文研究的理论基础 技巧，然而当其它方法无效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。 ( 1 ) l y a p u n o v 第一法 。 基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值， 最后根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性。 设非线性系统的状态方程为 宕= f ( x ，f ) ， ( t ，f ) 三0 或写成 毫= z ( 五，x 2 ，毛，f ) ， f = l ，2 ，刀 将非线性函数z ( ) 在平衡状态t = o 处附近展成t a y l o r 级数，则有 z ( _ ，珏，彬) ：f o + 婺五十掣电+ ox 1ox ， + 导五矗+ z ( 西，屯，f ) 【，工以 式中，o 为常数，o f , o x _ ，为一次项系数，且z ( 五，x 2 ，毛，f ) 为所有高次项之 和。 由于，( o ，0 ，0 ，t ) = f i o 兰0 ，故线性化方程为 文= a x 其中 4 ：8 f ( x 一, t ) ： d x l 为j a c o b i a n 矩阵。 线性化方程( 忽略高阶小量) ，是一种十分重要且广泛使用的近似分析方法。这是 因为，在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困 难，所以经常使用线性化系统近似它。 然而这样做是否正确? 我们知道，线性( 化) 系统与非线性系统具有根本的 区别，如非线性系统才会出现自振、突变、自组织、混沌等，因此一般说来，关 1 7 硝一一纸；一纸朔一吼一；一如锁一铂一铂；纸一纸 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 于线性化系统的解和有关结论是不能随意推广到原来的非线性的。现在我们把问 题的范围缩小，只考虑t = 0 的稳定性问题，并提出在什么条件下，可用线性化 系统代替原非线性系统? l y a p u n o v 证明了三个定理，给出了明确的结论。应该 指出，这些定理为线性化方法奠定了理论基础，从而具有重要的理论与实际意义。 定理2 1 ( l y a p u n o v ) 如果线性化系统的系统矩阵彳的所有特征值都具有 负实部，则原非线性系统的平衡状态t = 0 总是渐近稳定的，而且系统的稳定性 与高阶导数项无关。 定理2 2 ( l y a p u n o v ) 如果线性化系统的系统矩阵a 的特征值中，至少有一 个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态t = 0 总 是不稳定的。 定理2 3 ( l y a p u n o v ) 如果线性化系统的系统矩阵彳有实部为零的特征值， 而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态无= 0 的 稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方 程来表征原非线性系统的稳定性了。 上述三个定理也称为l y a p u n o v 第一近似定理。这些定理为“线性化”提供 了重要的理论基础，即对任一非线性系统，若其线性化系统关于平衡状态艺= o 渐 近稳定或不稳定，则原非线性系统也有同样的结论。但对临界情况，则必需考虑 高阶导数项。 ( 2 ) l y a p u n o v 第二法 由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量( 正定函数) 连续 减小( 这意味着总能量对时间的导数为负定) ，直到平衡状态时为止，则此振动 系统是稳定的。 l y a p u n o v 第二法是建立在更为普遍意义的基础上的，即如果系统有一个渐 近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着 时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统， 毕竟还没有一个定义“能量函数 的简便方法。为了克服这个困难，l y a p u n o v 定义了一个虚构的能量函数，称为l y a p u n o v 函数。当然，这个函数无疑比能量 第二章论文研究的理论基础 更为一般，且其应用也更广泛。实际上， 性定理( 见定理2 4 和2 5 ) 的假设条件， 十分困难) 。 任一纯量函数只要满足l y a p u n o v 稳定 都可作为l y a p u n o v 函数( 其构造可能 l y a p u n o v 函数与而，石2 ，x f 1 t 有关，我们用y ( 五，x 2 ，x 。，f ) 或者v ( x ，t ) 来表示l y a p u n o v 函数。如果在l y a p u n o v 函数中不含t ，则用v ( x z ，x 2 ，x 。) 或 y ( 曲表示。在l y a p u n o v 第二法中，v ( x ，t ) 和其对时间的全导数 矿似f ) = d v ( x ，t ) d t 的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性 或不稳定性的准则。这种间接方法不必直接求出给定非线性状态方程的解。 1 、关于渐近稳定性 可以证明：如果x 为n 维向量，且其纯量函数v ( x ) i e 定，则满足 y ( 工) = c 的状态x 处于以维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，这里c 为正 常数。此时，随着一0 0 ，上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果c l t o 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数v ( x ，t ) ，且满足以下条件： l 、v ( x ，t ) 是正定的； 第二章论文研究的理论基础 2 、v ( x ，t ) 是负半定的； 3 、九( f ；而，t o ) ，f 】对于任意t o 和任意x o o ，在t t o 时，不恒等于零，这里， ( f ；而，t o ) 梳t o 帝t t a x o 出发的轨迹或解； 4 、当俐专o o 时有矿(