（工程力学专业论文）FGM板与均匀板的静动态响应解之间的线性转换关系.pdf

一 k 、 k p k l i n e a rt r a n s f o r m a t i o nr e l a t i o n s h i p so ft h es t a t i ca n dd y n a m i cr e s p o n s e s b e t w e e nf u n c t i o n a l l yg r a d e da n dh o u m o g e n o u sp l a t e s b y g a oy i n g b e ( l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rl is h i r o n g m a y , 2 0 1 1 j 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期：如 年月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 导师签名： e l 期：- z o f f 年 日期：溯厂年 莎月- f 日 月7 日 j ， 目录 目录 一 摘要。 i a b s t r a c t 。 第1 章绪论。1 1 1 功能梯度材料介绍1 1 2 功能梯度材料的物理性能参数表征3 1 2 1 等效物性参数3 1 2 2 材料空间分布形式的近似描述。4 1 3f g m 板的结构力学研究现状5 1 4 本论文的研究内容7 第2 章经典理论下f g m 圆板与均匀圆板静动态响应之间的相似转换关系8 2 1 弓i 言8 2 2 问题的数学模型9 2 2 1 几何方程9 2 2 2 物理方程。1 0 2 2 3 运动方程1 1 2 2 4 控制方程1 2 2 3 静动态解之间的相似转换关系1 2 2 3 1 弯曲问题1 2 2 3 2 屈曲问题1 3 2 3 3 自由振动问题1 3 2 4 边界条件。1 4 2 4 1 周边可移简支。1 4 2 4 2 周边自由1 5 2 5 数值结果与讨论。1 5 2 6 本章小结2 0 第3 章一阶剪切理论下f g m 圆板与均匀圆板弯曲解之间的线性转换关系2 l 3 1 引言2 1 1 j 目录 3 2 问题的基本方程。2 2 3 2 1 几何方程2 2 3 2 2 物理方程2 2 3 2 3 平衡方程2 4 3 2 4 解的相似转换关系。2 5 3 3 具体问题的求解2 7 3 3 1 均布载荷作用下周边简支圆板的解答2 7 3 3 2 均布载荷作用下周边夹紧圆板的解答2 7 3 3 3 径向位移的确定。2 8 3 3 4 等效内力的解答一2 8 3 4 本章小结2 9 第4 章任意形状f g m 板与均匀板静动态解之间的相似转换关系 4 1 引言3 0 4 2 问题的基本方程3 1 4 2 1 几何方程3 1 4 2 2 物理方程一3 2 4 2 3 运动方程：3 3 4 2 4 解的相似转换关系。3 5 4 3 数值结果与讨论3 6 4 4 本章小结3 9 第五章结论与展望。 4 1 1 本文结论4 1 2 工作展望4 1 参考文献 致谢 附录a攻读硕士学位期间发表的论文 1 1 4 3 摘要 摘要 功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ，f g m ) 作为一种新型的非均匀复合材 料，由于其新颖的可设计性和传统复合材料无法比拟的优良性能，已成为许多新型结构 所选用的材料。因此，功能梯度结构的力学行为研究也受到人们的重视。本文选择材料 性质沿厚度连续变化的功能梯度板为研究对象，分别基于经典理论和一阶剪切理论，研 究了功能梯度板与相应的均匀板的静动态解响应之间的相互关系，得到了一些既具有新 意又便于工程应用的理论结果。主要工作包括以下三个方面： 1 在轴对称变形假设下，基于经典板理论分析了功能梯度圆板的弯曲、屈曲和自 由振动响应与相应的均匀圆板的响应之间的相互关系。通过理论推导，发现功能梯度圆 板与均匀圆板的挠度控制方程之间存在相似性，由此得到了两种不同材料圆板的解答之 间的相似转换的解析关系。从而将非均匀圆板的求解转化为同样尺寸、载荷工况和边界 条件下的均匀圆板的求解以及转换系数的计算问题。 2 基于以上工作，近一步研究了一阶剪切理论下功能梯度圆板与均匀圆板的弯曲 解之间的相互关系。首先通过消去面内和横向位移，得到了关于转角的控制微分方程， 并根据微分方程相似理论得到了功能梯度圆板与均匀圆板的转角之间的相似转换关系。 然后利用横向平衡方程和经典理论下挠度的相似转换结果，最终得到了一阶剪切理论下 功能梯度圆板的挠度与经典理论下均匀圆板的挠度之间的线性转换的解析表达式。从 而，可将功能梯度圆板在一阶剪切理论下的弯曲问题求解转化为相应均匀薄圆板在经典 理论下的弯曲问题的求解以及转换系数的计算问题。结果还表明，在考虑了一阶剪切变 形后，功能梯度圆板的挠度与均匀圆板的挠度之间并不存在严格的相似转换关系。 3 基于经典板理论，在直角坐标系下进一步研究了功能梯度与均匀板的静动态解 响应之间的关系。首先基于经典板理论建立位移形式的功能梯度板的弯曲、屈曲和自由 振动控制方程。然后，通过引入面内位移势函数消去面内位移耦合项，得到只用挠度函 数表示的控制微分方程。通过分析功能梯度板与均匀板的控制方程之间的相似性，最终 得到弯曲挠度、临界载荷以及固有频率解答之间的相似转换关系。 关键词：功能梯度板；经典理论；一阶剪切理论；弯曲；屈曲；自由振动；相似转 换 j j 摘要 a bs t r a c t f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ( f g m ) a san e wt y p e o fi n h o m o g e n e o u sm a t e r i a l ， b e c a u s eo fi t si n n o v a t i v ed e s i g na b i l i t ya n dt h ee x c e l l e n tp e r f o r m a n c et h a tt h et r a d i t i o n a l c o m p o s i t em a t e r i a l sc a nn e v e rm a t c h ；i th a sb e c o m eak i n do fs e l e c t e dm a t e r i a lt ob eu s e di n n e ws t r u c t u r e s s o ，m o r ea t t e n t i o n sh a v e b e e np a i do nt h er e s e a r c ho fm e c h a n i c a lb e h a v i o r so f f g ms t r u c t u r e s i nt h i sp a p e r ，w ea r eg i v i n gt h em a t e r i a lp r o p e r t i e so ff g mp l a t e sc h a n g i n g c o n t i n u o u s l ya l o n gt h et h i c k n e s sd i r e c t i o n ，t h er e l a t i o n s h i p so ft h e s t a t i ca n dd y n a m i c r e s p o n s e sb e t w e e nf g mp l a t e sa n dt h o s eo fu n i f o r mp l a t e sw e r ei n v e s t i g a t e d ，b a s e do nt h e c l a s s i c a lp l a t et h e o r y ( c r oa n dt h ef i r s t - o r d e rs h e a rd e f o r m a t i o nt h e o r y ( f s d t ) r e s p e c t i v e l y t h e r e f o r e ，s o m ei n n o v a t i v en u m e r i c a lr e s u l t sw h i c hc a nb eu s e di ne n g i n e e r i n gc o n v e n i e n t l y w e r eo b t a i n e d t h em a i nr e s e a r c hi n c l u d i n gt h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： 1 u n d e rt h ea s s u m p t i o no fa x i s y m m e t r i cd e f o r m a t i o n ，t h ei n t e r r e l a t i o n so fb e n d i n g , b u c k l i n ga n df r e ev i b r a t i o nb e t w e e nf g m c i r c u l a rp l a t e sa n dt h o s eo fh o m o g e n o u sc i r c u l a r p l a t e sw e r es t u d i e db a s e do nt h ec p t as i m i l a r i t yo ft h ed i s p l a c e m e n t - t y p eg o v e r n i n g e q u a t i o no ff g mp l a t e sw i t ht h a to fh o m o g e n o u sp l a t e sw a s f o u n db yt h e o r e t i c a ld e r i v a t i o n t h e r e f o r e ，a n a l o g o u st r a n s f o r mr e l a t i o n sb e t w e e ns o l u t i o n so ft w od i f f e r e n tc i r c u l a rp l a t e s w e r ed e r i v e di na n a l y t i c a lf o r m s a sar e s u l t ，t h es o l u t i o no ff g mc i r c u l a rp l a t e sc a nb e t r a n s f o r m e dt ot h ec a l c u l a t i o no ft h es a m eh o m o g e n o u sc i r c u l a rp l a t e ，a n dt oc o m p u t et h e n o n h o m o g e n o u st r a n s i t i o np a r a m e t e ru n d e rt h es a m es i z e ，l o a d i n g sa n db o u n d a r y c o n d i t i o n s 2 o nt h eb a s e so fa b o v ew o r k s ，t r a n s f o r m a t i o nr e l a t i o n s h i p so fb e n d i n gs o l u t i o n s b e t w e e nf g ma n dh o m o g e n o u sc i r c u l a rp l a t e sw e r ef u r t h e rs t u d i e db a s e do nt h ef s d t f i r s t ， b yd e l i m i t i n gt h ei n p l a n ea n dt r a n s v e r s a ld i s p l a c e m e n t s ，t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n sf o rt h e r o t a t i o n a la n g l e so ff g mc i r c u l a rp l a t e sw e r eo b t a i n e d a n da c c o r d i n gt ot h es i m i l a r i t yt h e o r y o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，l i n e a r l yd e p e n d a n tr e l a t i o n s h i po fr o t a t i o n a la n g l e st h a te x i s t s b e t w e e nf g mc i r c u l a rp l a t ea n dh o m o g e n o u so n ew a sf o u n d t h e nt h r o u g ha n a l y z i n gt h e e q u i l i b r i u me q u a t i o n si nt h et r a n s v e r s ed i r e c t i o na n dt h ea n a l o g o u st r a n s f o r m a t i o nr e l a t i o no f t h ed e f l e c t i o n sb a s e do nt h ec it , al i n e a rr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed e f l e c t i o n so ff g m c i r c u l a rp l a t eb a s e do nf s d ta n dt h a to fh o m o g e n o u so n eb a s e do nt h ec p t w e r ef i n a l l y d e r i v e d a sar e s u l t ，s o l u t i o n sf o rs t a t i cb e n d i n gb a s e do nt h ef s d to fan o n - h o m o g e n o u s c i r c u l a rp l a t ec a nb er e d u c e dt ot h a tb a s e do nt h ec p to fah o m o g e n o u so n ea n dt h e c a l c u l a t i o no ft h et r a n s f o r m a t i o nf a c t o r s t h er e s u l ta l s os h o w st h a tt h e r ea r e te x i s tas t r i c t h 摘要 t r a n s f o r m a t i o nr e l a t i o n s h i po ft h ed e f l e c t i o n sb e t w e e nf g m c i r c u l a rp l a t eb a s e d0 1 1 f s d ta n d t h a to fh o m o g e n o u so n e 3 b a s e do nt h ec p t ，t h er e l a t i o n so fs t a t i ca n dd y n a m i cr e s p o n s e sb e t w e e nf g mp l a t e s a n dh o m o g e n o u sc i r c u l a rp l a t e sw e r ef u r t h e rs t u d i e di nt h er e c t a n g u l a rc o o r d i n a t es y s t e m f i r s t l y , g o v e r n i n ge q u a t i o n sf o rb e n d i n g ，b u c k l i n ga n df r e ev i b r a t i o no ff g mp l a t e sw e r e e s t a b l i s h e d t oe l i m i n a t et h ec o u p l i n gt e r mo fi n - p l a n ed i s p l a c e m e n tb yi n t r o d u c i n gi n 。p l a n e d i s p l a c e m e n tp o t e n t i a lf u n c t i o n ，s ot h ed i s p l a c e m e n t t y p eg o v e r n i n ge q u a t i o n s o ff g m p l a t e w e r ed e r i v e d a tl a s t ，a n a l o g o u st r a n s f o r mr e l a t i o n so fb e n d i n gd e f l e c t i o n ，c r i t i c a ll o a da n d n a t u r a lf r e q u e n c yb e t w e e nf g mc i r c u l a rp l a t e sa n dt h o s eo fu n i f o r mc i r c u l a rp l a t e sw e e o b t a i n e d ，t h r o u g ha n a l y z i n gt h es i m i l a r i t yb e t w e e nt h eg o v e r n i n ge q u a t i o n so ff g mp l a t ea n d t h o s eo ft h eh o m o g e n o u sp l a t e k e yw o r d s ：f g mp l a t e ；c l a s s i c a lp l a t et h e o r y ( c p t ) ；f i r s t - o r d e r s h e a rd e f o r m a t i o n t h e o r y ( f s d t ) ；b e n d i n g ；b u c k l i n g ；f r e ev i b r a t i o n ；a n a l o g o u st r a n s f o r m a t i o n i l l 硕七学位论文 1 1 功能梯度材料介绍 第1 章绪论 工程结构中的许多关键构件( 部件) ，因其特殊的工作环境和承受的荷载而对材料性 能提出了相应的特殊要求【1 。3 l ，例如：航天器在飞行过程中机体表面与空气剧烈摩擦将 产生很高的温度并伴随温度梯度的急剧变化，此时，一方面要求飞行器热障材料的主体 必须高强度、高韧性，另一方面还要求材料外表必须耐热、热导率低和抗氧化【4 刊。为 了满足特殊条件下对材料较高可靠性和特殊功能的要求，研制出一种在强温差环境下能 反复正常工作的材料，日本科学家新野正之、平井敏雄【7 ，8 】在1 9 8 4 年首次提出了功能梯 度材料的概念【9 。1 1 1 。这种材料设计的新理念就是指通过特定的材料制备工艺将不同性能 的两种或两种以上的材料按一定的设计规律组合起来，使结构的两侧分别由性能各异的 材料组成以满足不同的使用要求，中间部分结构材料的组分则连续变化以使内部界面消 失，由此得到一种全新的非均匀复合材料一功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ， f g m ) 。f g m 是一种新型的具有微观非均匀性的材料，其力学性能可以随材料在结构中 的位置而进行平滑而连续的变化。近些年来，随着科学技术的发展，功能梯度材料在核 能工程、热工机械、石油化工、生物工程等领域都有着广阔的实际工程应用前景。例如 梯度耐辐射材料在核聚变反应器的应用中表现出良好的热应力松弛效应；使用功能梯度 材料制成的地质钻探工具具有高强度、高韧性、高耐磨性等众多优点；功能梯度折射材 料在复印机透射、光纤接口中的应用，缓和了热应力并得到较好的光电效应；在人工骨 关节研究中应用功能梯度材料，使得假体与骨骼之间的结合耐用并表现出良好的生物相 容性。 功能梯度材料的提出，引起了国际学术界和工程界的广泛关注。1 9 8 7 年，日本科学 技术厅启动了国家级研究项目“关于开发缓和热应力的功能梯度材料的基础技术研 究”【1 3 】，次年成立了功能梯度材料研究会。1 9 9 3 年，日本科学技术厅又启动了“具有功能 梯度结构的能量转换材料的研究”的国家级项目【1 3 】。与此同时，在美国、法国、俄国、 德国等国家，f g m 的研究也成为材料学科研究的重点活跃方向1 1 4 l 。而我国则将f g m 项 目列入国家“8 6 3 ”重大项目计划，国家自然科学基金委员会也大力资助f g m 项刚1 5 j 。 传统的复合材料由于材料成分和性质的突然变化常常会导致明显的局部应力集中， 而功能梯度材料的力学和热学参数没有突变j 因而大大地缓解了应力集中现象。另外， f g m 板与均匀板的静动态解响应之间的线性转换关系 f g m 的设计思想是在材料的制备过程中，通过连续地控制各组分含量的分布，弱化甚 至完全消除各组分之间的界面，使材料的宏观特性( 如弹性模量、热膨胀系数等) 在空间 位置上呈现梯度变化，从而满足结构构件不同部位对材料使用性能的不同要求，这可以 充分发挥各组分材料的优势，达到优化结构整体使用性能的目的。满足了现代高新技术 对材料多功能化的要求。材料的这种梯度性质减d , t 热应力、残余应力以及应力集中系 数【1 6 1 ，从而消除了界面问题并使应力分布平缓。如前述航天飞行器中材料的热应力问题， 可以采用由金属一陶瓷构成的热应力缓和型f g m 很好地解决，高温侧采用耐热好的陶 瓷材料，在低温侧采用导热和强度好的金属材料，这类功能梯度材料中的陶瓷成分以其 较低的热传导率，产生高温热阻抗；金属成分则因为其较高的强度防止了由于高温度梯 度引起的断裂，因而具有良好的隔热性能及热应力缓和性能，并且在极高的温度梯度下 工作并能保持较好的力学性能，材料从陶瓷过渡到金属的过程中，耐热性逐渐降低，机 械强度逐渐升高，热应力在材料两侧均很小，在中部达到峰值，从而大大降低热应力【l l l 。 与普通复合材料相比而言，功能梯度材料具有许多优点【1 7 】：热应力值可减至最小，而且 适宜地控制热应力达到峰值的临界位置；对于一给定的热机械载荷作用，推迟塑性屈服 和失效的发生；抑制自由边界与界面处的严重的应力集中和奇异性；与突变的界面相比， 可以提高不同固体( 如金属与陶瓷) 之间的界面结合强度；可以通过对界面的力学性能 梯度进行调整来降低裂纹沿着或穿过界面结合的驱动力；具有可设计性，可有针对性的 改变各组份材料含量的空间分布规律，从而达到优化结构内部应力的目的。 制备功能梯度材料的工艺方法有很多，其中等离子喷涂法、粉末冶金法等主要用于 制备陶瓷与金属微粒组成的梯度材料。另外，还有物理气相沉积法( p v d ) 、激光熔覆法、 化学气相沉积法( c v d ) 、热喷射沉积法、共晶结晶法、扩散浸渗法、溶胶一凝胶法、复 合离心铸造法、离子交换法和氧化还原法、电沉积法等f 1 8 , 1 9 l 。有关制备f g m 方法更详 细的介绍，可以参见文献 2 0 2 1 】。 芒l 辑厂一l 辑 p 嘲黑黑一l 羹 11j。二。二一l续 n过 材料2 图1 1 功能梯度材料的组分梯度 2 渡 硕士学位论文 1 2 功能梯度材料的物理性能参数表征 f g m 的概念提出后，由于其材料新颖的可设计性思想和可能达到的传统复合材料 无法比拟的优良性能，引起了多国极大的关注与研究。 初期研究主要集中于材料的设计制备、机械性能和热学性能的测试等方面。主要工 作包括日本1 9 8 7 年制定的有关f g m 的一项庞大计划，研究重点是等离子喷涂法、化学 或物理气相沉积法、粉末冶金和自蔓延高温烧结合成法制备f g m ，该项计划与1 9 9 1 年完 成。此外1 9 9 5 年在德国发起了一项六年国家协调计划，涉及大量实验室的参与，重点 放在材料的制备上【1 刀。 近年来f g m 结构的力学性能研究也非常活跃，已取得多方面的研究成果。主要研 究成果涉及f g m 梁板结构的弯曲、屈曲问题、线性和非线性振动问题。 1 2 1 等效物性参数 f g m 是一种非均匀复合材料，其物性性能参数是空间坐标的函数。因此，对f g m 结构进行力学分析时，首先必须确定结构材料在空间内变化的物性参数。传统的细观力 学分析方法首先引入一个代表性体积单元，它可以表征材料的宏观特性，在每一个这样 的单元内，组份材料及其微结构为均匀分布。 图1 2 不同咒时陶瓷材料体积含量沿厚度方向的变化规律 下面列出几种常见的用于研究f g m 的细观力学模型： ( 1 ) g 合律模型：基于v o i g t 等应变假设的经典的线性混合律模型，它是根据材料 各组分的力学性能和体积分数来表达复合材料的力学性能，其使用前提是假设在变形过 程中材料的物性参数和体积律具有相等变化规律，这是最简单的细观力学模型，即 3 f g m 板与均匀板的静动态解响应之间的线性转换关系 p ；弓 ( 1 1 ) 一i i j l j - 其中，弓和巧，分别为第种组份材料的材料物性参数和体积率，且有 t 乏一1 ( 1 2 ) j 。 该方法比较粗糙，但使用方便。l e e 和e r d o g e n 2 2 1 ，f u k u i 等人【矧以及m a r k w o r t h 和 s a u n d e r s 2 4 l 用该法分析了功能梯度材料的热弹性参数。 ( 2 ) 改进的混合律模型：w i l l i a m s o n 和d r a k e 等人陋2 6 】对v o i g t 线性混合律进行改进， 用于预测功能梯度材料的弹性模量和泊松比；s a s a k i 等人【2 7 】用k e m e r 法计算了功能梯度 材料的等效体积模量和剪切模量；t a n i g a w a 2 8 1 也采用该方法获得了功能梯度材料的等效 体积模量、剪切模量、热传导率、热膨胀系数。目前已有多种形式各异的改进的的混合 率模型。 ( 3 ) 诺和平均混合物模型：也称之为r e u s s 模型，该模型与v o i g t 模型相似，前提条 件是复合材料中各个材料在受外力荷载作用时产生相同的应力，总的应变等于各个材料 产生的应变之和。 ( 4 ) m o i l t a n a k a 方法：该模型是根据组成现对应的性能和体积分数来评估材料的 整体性能。此方法原本用于颗粒增强复合材料，近年来用于f g m 的性能计算。s u m i 和 s u g a n o 2 9 j 用这种方法求得了功能梯度材料的等效材料参数；v e l 和b a t r a l 3 0 采用该方法分 析了f g m 板的三维瞬态热应力问题。 以上是基于传统细观力学理论建立的各种模型，是建立在组份材料及微结构为均匀 分布的基础上的，只有在某一相材料的体积含量明显低于其它组份材料的体积含量时才 能有效。由于f g m 微结构的不均匀性以及组份材料体积含量的大范围变化，真正适合 于功能梯度材料特点的细观力学模型目前尚未建立，还有待于人们继续探索和研究【1 5 l 。 1 2 2 材料空间分布形式的近似描述 f g m 的模拟通常需要假定其材料组成的空间分布。在考虑材料体积比在空间的变 化形式时，通常采用两种近似描述模型：体积比空间连续函数模型和分层均匀化模型。 连续函数模型：对于梁、板、壳等薄壁结构，其物性参数一般仅沿厚度方向变化， 则可以假设组份材料的体积比是厚度方向坐标的函数。在现有的研究中，多采用幂函数 型y ( z ) 一 z 2 一z ) ( 乞一乙) r 或指数函数型o ，y ) 一u o e 帆w 来表示某相成分的体积比含 4 硕士学位论文 量。e r d o g e n 3 1 i i n 和n o d a 3 2 】等采用了指数函数型分析过功能梯度材料的热、力学行为。 r e d d y 和c h i n 3 3 】在对板和圆柱的分析中采用了幂函数模型，分别为： 忡( 警) 4m 加( r - r 。 n 3 ， 其中n 是一个可变参数，其大小决定了材料组分曲线的曲率。 幂函数型和指数函数型这类连续性模型，均将功能梯度材料视为性能连续变化的非 均匀材料，这类模型由于忽略了细观结构的影响，因此误差较大，但是使用较为方便， 因而被广泛应用。 分层均匀化模型：对于薄壁结构假设功能梯度材料是由大量垂直于厚度方向的单层 组成，每一层的材料都是均匀的，但相邻两单层的材料参数稍有不同，将结构沿厚度方 向离散为大量的单层时，可近似模拟f g m 结构1 1 5 】。这时各单层的控制方程都成为常系 数的，利用边界条件及界面连续性条件即可求解。t a n i g a w a 等a t 3 4 l 采用这种模型研究了 f g m 板中的一维非定常热应力问题。但该模型的缺点是分层数很小时数值结果不够精 确；当分层数很大时，求解的计算量也会变得很大，这样计算工作既繁琐又容易导致数 值误差。 其他模型：m a r k w o r t h 等采用了二次函数式来表示组份材料空间分布模型的形式。 其形式为厂o ) - a o + a l x + 口：z 2 ，式中a i o - 0 ，1 ，2 ) 是可变参数，其值大小由外加约束条件和 优化过程本身决定。与幂函数模型相比，该模型为组份材料的空间分布提供了一个更大 的范围，并且令模型更易处理。 1 3f 6 9 板的结构力学研究现状 f g m 的兴起，将非均匀介质力学的研究带入了一个新的领域。自从功能梯度材料 面世以来，对这种材料的研究已经取得了许多成果，其中关于f g m 结构的静动态响应 研究已经形成一个新的研究方向。对于f g m 板结构力学行为的研究理论主要有各种简 化板理论和三维理论，其分析方法主要为解析方法和数值方法。 f g m 结构最基本的力学特性是静力响应，很多研究工作都是基于各种简化板理论来 分析f g m 板在机械荷载作用下的静态响应问题。马连生和赵永刚【3 5 】基于经典板理论，推 导了功能梯度圆形板在边界面内均布压力作用下的轴对称屈曲方程，并用打靶法获得数 值解；杨杰和沈惠申i 蚓采用经典板理论，研究了一对边固支、另一对边任意约束的各向 同性f g m 矩形板，在面内与横向载荷共同作用下的弯曲问题。采用一维d q 法结合 5 f g m 板与均匀板的静动态解响应之间的线性转换关系 g a l e r k i n 技术，求得了薄板弯曲的半解析解。文中的梯度模型采用沿板厚方向的幂函数 模型，并且考虑了温度变化对材料物性参数的影响；c h i 和c h u n g 3 7 ，3 8 1 基于经典板理论， 研究了周边简支的f g m 矩形板在材料性质按不同函数规律变化时的横向弯曲行为，分别 采用级数解法和有限元方法进行了求解；m a 和w a n g l 3 9 l 利用高阶剪切变形板理论，借鉴 经典板理论的求解方法，分析了f g m 圆板的轴对称弯曲和屈曲问题；刘五祥和仲政1 4 0 l 研究了正交各向异性功能梯度平板的柱形弯曲问题。假设材料参数沿板厚方向按同一函 数规律变化，在板的上下表面作用机械荷载的情况下，基于状态空间法，获得了功能梯 度平板柱形弯曲问题的级数解，同时通过算例也分析了材料参数沿板厚方向为二次幂函 数分布对平板响应的影响。c h e n g 和b a t r a 4 1 l 在其关于非均匀材料板的研究工作中也简单 论及了功能梯度材料矩形板和椭圆形板的横向弯曲；杨杰和沈惠申【4 2 】基于r e d d y 高阶剪 切板理论考虑了均匀变化的温度场对弯曲变形的影响，求得了厚板弯曲的半解析解；武 兰河和王立彬等【4 3 】基于经典板理论，假设材料性质为板厚度方向的幂函数，推导了功能 梯度材料矩形板在热荷载作用下的平衡方程和稳定方程。给出了四边简支的功能梯度板 在均匀受热时临界屈曲温度变化的封闭解，讨论了板的几何外形尺寸、相对厚度、梯度 指数以及中面变形等因素对临界屈曲温度变化的影响 f g m 板结构的动力特性研究对工程实际也有重要的指导作用。e f r a i m 和e i s e n b e r g e r 【4 4 1 考虑一阶剪切变形理论，采用精确单元法，研究了变厚度功能梯度环板在各种边界条 件下的自由振动问题；黄小林和沈惠申【4 5 l 从r e d d y 高阶剪切变形理论出发，采用f o u r i e r 级数展开法，求出了四边简支带压电层功能梯度复合材料混合层合板的自由振动及动力 响应的解析解；y a n g 4 6 i 等人基于r e d d y 高阶理论，分析了一个预加应力的功能梯度层合 板的大振幅振动行为。文中通过采用半解析方法分析了板的大振幅振动特性。杜长城和 李映辉m 研究了功能梯度矩形薄板的非线性自由振动问题。采用幂律分布规律描述功能 梯度材料沿厚度的梯度性质，基于y o nk a r m a n 理论，建立了功能梯度薄板的非线性振动 控制方程。应用g a l e r k i n 法得到了功能梯度矩形薄板的单模态非线性振动的时域常微分 方程，借助其势能函数分析了系统的周期振动状态，并获得了功能梯度矩形薄板单模态 非线性周期振动的摄动解和数值解。k i t i p o m c h a i 等【4 8 j 基于r e d d y 高阶剪切变形理论， 利用一维d o 法和g a l e r k i n 方法，获得了具有初始缺陷的功能梯度层合矩形板的非线性 自由振动的半解析解；陈伟球等【4 9 l 用状态空间法求出了四边简支的横观各向同性f g m 矩形板的自由振动频率方程，由于引入两个位移函数和两个应力函数，文中得到了两类 独立的振动形式：纯板内振动和弯曲振动；杨正光和戴瑛等【删将功能梯度三维矩形板的 6 硕士学位论文 位移变量按双三角级数展开，以弹性力学的平衡方程为基础，导出位移形式的平衡方程。 通过引入状态空间方法，考虑四边简支的边界条件，由状态方程得到了功能梯度三维矩 形板的静力弯曲问题和自由振动问题的精确解。假设功能梯度三维矩形板的材料常数沿 板的厚度方向按照指数函数的规律变化，进一步给出了功能梯度三维矩形板的自由振动 问题和静力弯曲问题的算例分析，并讨论了材料性质的梯度变化对板的动力响应和静力 响应的影响。 1 4 本论文的研究内容 本文研究了功能梯度圆板与均匀圆板静动态解响应之间的线性转换关系，具体为： 1 基于经典板理论，研究了功能梯度圆板与均匀圆板的轴对称弯曲、屈曲和自由振 动解之间的相似转换关系。在假定f g m 圆板的材料性质沿厚度以幂函数的规律变化后， 理论推导得到了以挠度函数表示的功能梯度圆板的弯曲、屈曲和自由振动控制方程。分 析了两者的控制方程之间的相似性，得到了功能梯度圆板与均匀圆板的解之间的相似转 换系数的解析表达式。在已知均匀圆板轴对称解的条件下，可将功能梯度圆板轴对称问 题的求解转化为均匀板的求解计算问题。从而为f g m 圆板的分析和求解提供便捷的途 径。 2 基于一阶剪切理论，研究了功能梯度圆板与均匀圆板轴对称弯曲解之间的线性转 换关系。通过理论分析和比较功能梯度圆板和均匀圆板在一阶剪切理论下的位移形式的 轴对称弯曲控制方程，首先发现了功能梯度圆板的转角与均匀圆板的转角之间的相似转 换关系。在假设材料性质沿板厚连续变化的情况下，给出了相似转换系数的解析表达式。 在此基础上，进一步导出了一阶剪切理论下功能梯度圆板的挠度与经典理论下均匀圆板 的挠度之间的线性关系。从而，可将功能梯度圆板在一阶剪切理论下的弯曲问题求解转 化为相应均匀薄圆板在经典理论下的弯曲问题求解以及转换系数的计算问题。 3 通过解析方法研究了经典板理论下的功能梯度矩形板的静动态解响应之间的转换 关系，并推导出相似转换系数的解析表达式。该系数集中反映了材料性质的非均匀性的 影响。从而，可将功能梯度板的静动态响应的求解转化为同样条件下均匀板的问题求解 以及似转换系数的计算问题。 7 2 1 引言 之间的相似转换关系 功能梯度板结构作为应用最广的构件类型之一，其力学行为的研究已成为固体力学 的一个活跃的研究方向。其中已有不少文献采用解析和数值方法论研究了功能梯度圆板 的静动态响应。基于经典板理论，n a j a f i z a d e h 和e s l a m i 5 2 l 采用解析法求得 f g m 圆板