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未打穿砂井地基固结理论研究 摘要 作为一种非常经济有效的地基处理方法，砂井( 包括袋装砂井、塑料排水带 等竖向排水体) 已被广泛的用于处理软土地基，砂井地基固结理论也得到了很大 的发展。但是在实际工程中某些情况下并不适合于采用打穿砂井地基，例如当软 土层太深以至于完全打穿不太经济，或施工不可能，这就引发了对未打穿砂井地 基固结理论的研究。 现有的末打穿砂井地基固结计算理论和方法都是建立在将砂井长度范围内 土层的固结视为三维轴对称、砂井底面以下土层的固结视为一维的假设下的。然 而，由于砂井的存在，即使对砂井底面以下土层而言，其固结渗流也是三维的。 为使朱打穿砂井地基固结理论更接近实际，本文针对现有理论的不足对未打穿砂 井地基固绩理论开展了进一步的研究。 通过在砂并底面以下土层中设置虚拟砂井，本文建立了能较合理考虑土中三 维渗流的未打穿砂井地基固结计算新模型，并推导了单面排水和双面排水条件下 未打穿砂井地基固结的解析解。基于本文解，通过编程计算，分析了单面和双厩 排水条件下未打穿砂井地基的固结性状，并对现有未打穿砂井地基平均固结度近 似计算方法的精度和适用的范围进行了较为详细的讨论。 本文工作表明：未打穿砂井地基的固结速率随砂并长度的增大而增大，但当 砂井长度超过一定值后，固结速率增长减慢；在现有未打穿砂井地基平均圃结度 近似计算方法中，陈根嫒建议的双层地基法与本文解最接近，谢康和改进法次之， 而h a r t 法偏小，国内常用的将砂并底砸作为其下土层排水面的简化计算法给出 的平均固结度则偏大。 关键词：软土地基；未打穿砂井；固结；单面排水；双面排水；解析解；近似计 算方法 s t u d yo nt l l ec o n s o l m a 羽【o n i 田匮o r yo f s o f ts o 。理l 噩 p a i r i i a l i y p e n e t r a t e d v e 姗c a l d r a i n s a sa i le f f i c i e n ta n de c o n o m i c a lm e t h o d v e r t i c a ld r a i n sh a v eb e e nw i d e l yu s e dt o i m p r o v e s o f t s o i la n dt h er e l a t e dc o n s o l i d a t i o nt h e o r i e sw e r ew e l l d e v e l o p e d ， h o w e v e r , t h e r ea r cs o m ec a s e si na c t u a le n g i n e e r i n gp r o j e c t sw h e r ev e r t i c a ld r a i n s c a no n l yb ep a r t i a l l yp e n e t r a t e ds i n c et h es o f ts o i ll a y e ri ss od e e pt h a ti ti si m p o s s i b l e o rn o te c o n o m i c a lt op e n e t r a t ei t t h i sr e s u l t si nt h es m d i e so nt h ec o n s o l i d a t i o n t h e o r yo fs o rs o i lw i mp a r t i a l l yp e n e t r a t e dv e r t i c a ld r a i n s t h ec o n s o l i d a t i o nt h e o r ys of a ra v a i l a b l ef o rs o f ts o i lw i m p a r t i a l l yp e n e t r a t e d v e r t i c a ld r a i n si sa l le s t a b l i s h e do nt h eh y p o t h e s i st h a tt h ec o n s o l i d a t i o no fs o i l b e y o n dt h et i po fv e r t i c a ld r a i ni st h r e ed i m e n s i o n a l 、i t l lr a d i a la n dv e r t i c a lf l o w s w h i l et h eo n eo fs o i lb e n e a t hv e r t i c a ld r a i ni so n ed i m e n s i o n a lw i mv e r t i c a lf l o wo n l y o b v i o u s l y , d u et ot h ee x i s t i n go fv e r t i c a ld r a i n ，t h r e e - d i m e n s i o n a ls e e p a g ea l s oe x i s t s i nt h es o i lb e n e a t hv e r t i c a ld r a i n i no r d e rt oo v e r c o m et h es h o r t c o m i n gi n v o l v e dw i t h t h ea v a i l a b l et h e o r ya n dt om a k ei tc l o s e rt oa c t u a lc a s e ，t h ec o n s o l i d a t i o nt h e o r yo f s o f ts o i lw i t l lp a r t i a l l yp e n e t r a t e dv e r t i c a ld r a i n si ss t u d i e df u r t h e rh e r e i n i nt h e p r e s e n tt h e s i s ，an e wc o m p u t a t i o n a lm o d e l w h i c hc a n c o n s i d e r t h r e e d i m e n s i o n a ls e e p a g ei i lt h es o i lb e n e a t hv e r t i c a ld r a i ni se s t a b l i s h e dt h r o u g h a s s u m i n gav i r t u a ld r a i ni nt h es o i lj u s tb e l o wt h et i po fa c t u a lo n e t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o n sf o rt h ec o n s o l i d a t i o no fs o f ts o i lw i t hp a r t i a l l yp e n e t r a t e dv e r t i c a ld r a i n sa r e o b t a i n e du n d e rb o t hs i n g l e - d r a i n a g ea n dd o u b l e - d r a i n a g eb o u n d a r yc o n d i t i o n s b y u s i n gt h es o l u t i o n s ，t h ea p p r o x i m a t em e t h o d ss 0f a ra v a i l a b l ef o rt h ec o m p u t a t i o no f a v e r a g ec o n s o l i d a t i o nd e g r e eo fs o f ts o i lw i t lp a r t i a l l yp e n e t r a t e dv e r t i c a ld r a i n sw e r e c o m p a r e da n dd i s c u s s e di nd e t a i l ，a n dt h ec o n s o l i d a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fs o f ts o i l w i t hp a r t i a l l yp e n e t r a t e dv e r t i c a ld r a i n sa t ei n v e s t i g a t e d i th a sb e e ns h o w nt h a tt h er a t eo fc o n s o l i d a t i o no ft h es o f ts o i lw i mp a r t i a l l y p e n e t r a t e dv e r t i c a ld 嗡ni si 1 k ：r e a s e dw i t ht h ei n c r e a s eo f t h ed r a i nl e n g t h h o w e v e r , i t i ss l o wd o w na st h el e n g t he x c e e d ss o m ee x t e n t a m o n gt h ea l la p p r o x i m a t em e t h o d s ， t h eo n ep r o p o s e db ygr c h e ni sc l o s e s tt ot h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n sg i v e nh e r e i n a n d t h e ni st h eo n eb yk h x i e w l l i l et h e c o n s o l i d a t i o nd e g r e ei su n d e r e s t i m a t e db yt h e a p p r o x i m a t em e t h o dp r o p o s e db yh a r t ，i ti so v e r e s t i m a t e db yt h eo n ec o m m o n l yu s e d i nc h i n a + k c y w o r d s ：s o f ts o i l ；p a r t i a l l yp e n e l x a t e dv e r t i c a ld r a i n s ；c o n s o l i d a t i o n ；s i n g l e d r a i n a g e ；d o u b l e - d r a i n a g e ；a n a l y t i c a ls o l u t i o n ；a p p r o x i m a t em e t h o d s h 未打穿砂井地基固结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 第一章绪论 1 1引言 软土是指沿海的滨海相、三角洲相、溺谷相、内陆平原或山区的河流相、 湖泊相、沼泽相等主要有细粒土组成的土层。这类土的主要特点是：孔隙比大( 一 般大于1 ) 、天然含水量高( 接近或大于液限) 、压缩性高、强度低、透水性差。 当以此类土层为地基时，必将引起建筑物相当大的沉降量或不均匀沉降量，而且 沉降的持续时间也较长，这些都将危及建筑物的安全或正常使用。同时，由于此 类土层强度低，地基承载力和稳定性往往达不到工程的要求。故软粘土地基通常 需要采取处理措施，而排水固结法就是处理软粘土地基的有效方法之。 排水固结法是对天然软粘土地基，预先在地基中设置竖向排水系统( 包括砂 井、袋装砂井、塑料排水带等竖向排水体) ，然后利用建筑物自身重量分级加载， 或是在场地先彳亍堆载预压或真空预压，使软土中的孔隙水加速排出，土体快速发 生固结。随着土中水的排出体发生压缩和变形，土体中孑l 隙减小，强度提高， 从而达到减少地基工后沉降和提高地基承载力的目的。 1 9 3 4 年，美国加利福尼亚公路局成功的建造了国际上第一个砂井工程 ( j o h n s o n ，1 9 7 0 ，w o o d ，1 9 8 1 ) ，标志着砂井作为排水井而真正开始用于实际工 程，砂井理论的研究也从此在世界各国相继展开。至今，排水固结法己j “泛应用 于公路、机场、堤坝和油罐等建筑物软土地基的处理，砂井地基固结理论也得到 了极大的发展和提升。 1 2 匿内外研究现状 1 2 1 打穿砂井地基固结研究现状 在砂井地基圃结研究方面，r e n l u n i c ( 1 9 3 5 ) 、c a r r i l l o ( 1 9 4 1 ) 和k a 8 a r r o n ( 1 9 4 0 一1 9 4 2 ) 都提出了仅考虑径向渗流且认为砂井排水能力为无穷大的理悲井 理论；k j e l l m a n 也称于1 9 3 7 年即导出等应变条件下的理想井理论( k j e l l m a n ， 1 9 4 8 ) ，但b a r r o n 提出的理论应用最广( j o h n s o n ，1 9 7 0 ) 。c a r r i l l o ( 1 9 4 2 ) 从数 学上证明，多向渗流时孔隙压力比等于各单向渗流时孔隙压力比的乘积( 钱家欢， 1 未打穿砂井地基固结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 1 9 9 4 ) ，因此，砂井地基中的径竖向组合渗流可分为径向和竖向渗流考虑，然后 合并，这即为著名的c a r r i 儿。定理。这一定理使已有的砂井固结理论更具有实 用意义。 1 9 4 8 年，b a r r o n 全面总结了等应变和自由应变两种极端情况下的理想井理 论，得出自由应变条件下理论解较等应变条件下理论解形式复杂但两者结果差别 不大的结论，并首次给出在这两种情况下考虑涂抹作用以及在等应变条件f 考虑 井阻作用的砂井解析理论，从而成为了国际上公认的砂井理论权威，他所建立的 砂井理论被称为经典理论( h a n s b o ，1 9 8 1 ) 。 1 9 5 5 年，日本的高木俊介提出了逐渐加荷条件下砂井地基固结的计算和分 析方法，此法较t e r z a g h i ( 1 9 4 3 ) 针对逐渐加荷固结度计算提出的近似修正法更 为精确，但此方法不仅是近似的，而且适用性更广。 1 9 5 7 年，r i c h a r t 系统的回顾了已有的砂井理论，进一步肯定了b a r t o n 得 出的自由应变和等应变两种条件下算得的结果相差无几的结论，并更深入的研究 了涂抹作用，指出涂抹作用对平均固结度的影响犹如减小了砂井的直径。r i c h a r t 的工作极大的不仅推进了等应变条件下砂井理论的更广泛应用，同时也为涂抹作 用的考虑提供了一种较为简捷的途径。 1 9 7 4 年，日本的吉国洋( o s h i k u n i ) 等人建立了更为严密的自由应变条件f 考虑井阻作用的砂井理论：1 9 8 1 年，h a n s b o 给出了等应变条件下考虑井阻作用 的新理论。此外，还有学者进行了考虑起始梯度及渗透系数在固结过程中可变等 方面的砂井理论研究( b a s a ke t a l ，1 9 7 8 ，m o s e r ，1 9 7 7 ，b h i d e ，1 9 7 9 ，s i n g h e t a l ，1 9 7 9 ) 。 1 9 8 1 年，曾国熙等提出了砂井地基若干计算方法，其中平均固结废的一个 普遍表达式的提出，使砂井地基固结度的计算得到了很大的简化，根据此式得到 的配合现场实测数据分析和反算的方法也已为我国某些规范所采纳( 曾国熙等， 1 9 8 1 ) 。 1 9 8 2 年，王贻荪对井阻作用的影响进行了研究，提出了自由应变条件下考 虑砂井阻力的折减井径法。 1 9 8 7 年，谢康和证明并提出了与c a r r i l l o 理论相适应的等应变条件下考虑 径竖向组合渗流的砂井固结方程： 2 未打穿砂井地基固结理论研究 浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 c 等+ 吒怯+ 窘 = 詈 z ， 。v 虿+ 吒l i 面+ 矿j _ 百 ( 1 2 1 j 式中q 和分别为土体的竖向和水平向固结系数；“和玎分别为砂井地基土中任 一点的超静孔压( 简称孑l 压) 和任一深度的平均孔压。 此外还有b e r r ye t a l ( 1 9 6 9 ) 、a t k i n s o ne t a l ( 1 9 8 1 ) 、r u n e s s o ne t a 】 ( 1 9 8 5 ) 、o n o u e ( 1 9 8 8 a ，1 9 8 8 b ) 、曾国熙等( 1 9 8 7 ，1 9 8 9 ，1 9 9 0 ，1 9 9 4 ) 、谢康和 ( 1 9 8 9 a ，1 9 8 9 b ，1 9 9 3 ，1 9 9 4 a ，1 9 9 4 b ，1 9 9 4 c ，1 9 9 5 ，1 9 9 9 ) 、c h e u n ge t a l ( 1 9 9 1 ) 、 l e ee t a l ( 1 9 9 2 ，1 9 9 6 ) 、谢新宇等( 1 9 9 7 ) 、潘秋元等( 1 9 9 7 ) 、朱向荣等( 1 9 9 7 ) 、 t a n gx i a o uo t a l ( 1 9 9 6 ，1 9 9 7 a ，1 9 9 7 b ，1 9 9 8 b ) 、t a n gx i a o w u ( 1 9 9 8 a ，2 0 0 0 ) 、 h o n ge t a l ( 1 9 9 8 ) 、王瑞春等( 2 0 0 3 ) 、w a n gx u s h e n ge t a l ( 2 0 0 4 ) 等国内外 岩土工作者在此方面进行了大量的研究工作，使砂井地基固结理论向更贴近实际 的方向不断发展和完善。 1 2 2 未打穿砂并地基固结研究璃状 以上综述都是对完全打穿砂井地基固结的研究。但是在某些情况下，例如软 土层太深以至于完全打穿不太经济，或者施工不可能，这就引发了对未打穿砂井 地基固结问题进行研究。 1 9 5 8 年，h a r t 等人在分析软土层底面不排水的未打穿理想井的基础上提出 了迄今仍广泛采用的未打穿砂井地基总平均固结度近似计算式，即： u = p u + ( 1 一p ) u ( 1 2 2 ) 式中玩和丑分别为打穿砂井地基和天然地基的平均固结度，分别按径竖向组合 固结理论和单向固结理论来计算；p 为砂井长度与地基软土层厚度之比，常称为 贯入度。 国内也常用式( 1 2 2 ) 对未打穿砂井地基的平均固结度进行简化计算，但对 式中玩和玩两项的定义及计算方法与h a r t 法不同。两种方法的不同之处在于： h a r t 法计算玩和玩时排水距离均取整个地基的厚度；而国内常用简化法则计算 玩时取排水距离为砂井长度，计算玩时取排水距离为下卧层厚度。计算分析表 明，未打穿砂井地基平均固结度按h a r t 法计算偏小( 偏保守) ，而按国内常用简 化法计算则偏大( 偏不安全) 。对于此问题，谢康和( 1 9 8 7 ) 提出了改进方法。 3 未打穿砂井地基崮结理论研究 浙江太学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 陈根嫒( 1 9 8 4 ) 认为国内常用简化法将砂井底面作为下卧层的透水面，使得该 水平面上的孔隙水压力不连续，即该法有不合理之处，有改进的必要。因此，陈 根嫒提出了“双层地基法”，即：首先把砂井长度范围内土层的三维固结按固结 度等效原则转化为一维同结求出该土层的等效竖向固结系数；然后，将该土层 与下卧层连在一起作为双层地基，按双层地基一维蹿结问题计算，其中下卧层采 用原状土的竖向固结系数，而砂井长度范围内的土层采用等效竖向固结系数。 1 9 9 8 年，t a n gx i a o w u 给出了未打穿砂井地基固结问题的解折解。该解是通 过将砂井长度范围内土层的固结视为三维轴对称的、下卧层的固结视为一维蛏向 的而得到的，凼而并没有考虑下卧层实际存在的三维渗流情况。 王瑞春等( 2 0 0 1 ，2 0 0 3 ) 、王市忠等( 2 0 0 0 ) 和郝玉龙等( 2 0 0 4 ) 也对未打穿砂井 地基固结问题进行了一些研究工作，但他们的工作与t a n gx i a o w u 和陈根媛的大 同小异。因此，关于末打穿砂井地基因结问题，至今尚无精确解。 1 3本文主要研究工作 综上所述，经过众多学者长期的努力工作，打穿砂井地基固结研究已较为完 善，未打穿砂井地基固结理论研究也取得了一定的进展，至今已有h a r t 法、陈 根嫒法、谢康和改进法、t a n gx i a o w u 解等。但关于这些近似计算方法和解的适 用性，至今尚无完整的比较和分析。显然，由于砂井的存在，即使对砂井底面以 下土层( 下卧层) 而言，其固结渗流也是i 维的，能考虑下卧层三维渗流的未打 穿砂井地基圆结理论更贴近实际，开展该理论的研究具有重要的理论和实际意 义。本文因此拟进行这工作，建立能较合理考虑土中三维渗流的未打穿砂弗地 基固结汁筇新模型，给出该模型的固结解析解，并咀此解为基础，对现有近似计 算方法和解进行较为完整的比较和讨论。具体工作如下： 1 建立能较合理考虑砂井底面以f 土层三维渗流的未打穿砂井地基固结的 计算新模型，并给出单霜排水条件下，末打穿砂井地基的固结解析解。 2 给出双面排水条件下未打穿砂井地基的固结解析解。 3 通过大量对比计算和分析，对现有近似计算方法和解的适用性进行较为 详细和完整的讨论。 详细和完整的讨论。 4 未打穿砂井地基固结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 4 以所得的解析解为基础，通过编程计算分析各参数对单面排水和双面排 水条件下未打穿砂井地基固结性状的影响，并对两种条件下的固结性状进行比 较。 5 未打穿砂井地基圄结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 第二章单面捧水条件下来打穿砂井地基固结计算 2 1 引言 竖向排水井( 包括砂井、袋装砂井、塑料排水带等排水体，以下统称为砂井) 地基固结理论己历经约6 0 年的研究和发展。关于单面排水条件下来打穿砂井地 基的固结问题，国内外学者已做了较多的研究，但至今尚无精确解。h a r te t a l f 1 9 5 8 ) 、陈根媛( 1 9 8 4 ) 、谢康和( 1 9 8 7 ) 等提出了近似计算方法；t a n gx i a o w ue t a l f 1 9 9 8 b ) 则在将砂井长度范围内土层( 简称为上层土) 的圃结考虑为三维轴对称、 砂井底面以下土层( 简称为下层土) 的固结考虑为一维的假设下得到了未打穿砂 井地基固结的解析解。由于砂井的存在，即使对下层土而言，其固结渗流也是三 维的，因此，如能获得能考虑下层土三维渗流的解将提高未打穿砂井地基固结讨 算的精度。本章为此建立了能较合理考虑土中三维渗流的未打穿砂井地慕固结计 算新模型，即通过在下层土中设置虚拟砂井得到了能考虑下层土三维渗流的未扪“ 穿砂井地基固结解析解。 本章内容分为三部分：第一部分绘出了考虑径竖向组合渗流条件下完全打穿 砂井地基固结方程通解的形式，并对固结方程正交性质的研究：第二部分利用完 全打穿砂井地基的固结方程的通解形式和其正交性质，得出单面排水条件下未打 穿砂井地基固结解析解；第三部分通过与已有解的比较分析，验证所得解析解的 合理性，并对已有的近似计算方法和解进行讨论。 2 2 打穿砂井地基匿结解析解 2 2 1 计算模型 2 2 1 1 计算简圈 图2 1 为完全打穿砂井地基固结计算筒图。图中h 为地基软土层厚度； 为砂井半径；b 为涂抹区半径；心为砂井影响区半径；k 为砂井的渗透系数； 为地基原状土竖向渗透系数；丘、k h 、m 。分别为涂抹区土体渗透系数、原状土水 平向渗透系数和体积压缩系数；u w 、u n 分别为上层土中砂井内任一深度的超 静孔压( 以下简称为孔珏) 、涂抹区内和未扰动区( 即原状土) 内任一点的孔压； 印。为瞬时施加的均布荷载；r 、z 为径向及竖向坐标。地基排水条件为单面排水或 6 未打穿砂井地基固结理论研究 浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 双面排水。 ， 黧l ”s “一l f f ， 量， ， k t s _ - ， ， ， ，bk 2 r 公_ j l 一2 r - 。 0 圈2 1 计算简图 2 2 1 2 崮结基本方程 基本假定： 1 ) 等应变条件成立，即假定在砂井影响范围内圆柱体土中同一水平面上 各点的竖向变形是相等的。 2 ) 土中水的渗流服从d a r c y 定律。 3 ) 任一深度处流入砂并的水量等于从砂井中向上流出的水流的增量。 4 ) 涂抹区与未扰动区土体除径向渗透系数不同外，其他性质相同。 5 ) 砂井内的径向渗流可以忽略。 6 ) 荷载一次瞬时施加，且保持为常量。 根据以上基本假定，可得到固缩基本方程如下： 堡：一巩堡( 2 2 1 ) o t”o t 、 一务( 警+ 可0 2 u , ，一瓦k , 可0 2 # = 鲁 _ r ( z 2 - 2 ) 一丘y 。4 r 盟o t + 秽c 9 2 u 一告窘= 鲁 r , 。 佗2 2 5 ) f 2 2 2 6 ) 霹：塑乒 0 ，并确定了微分方程( 2 2 1 9 ) 的 通解形式，其中关于微分方程正交性的研究，是下文求解打穿砂井地基固结解析 解和后文求解未打穿砂井地基固结解析解的基础。 2 2 2 3 方程的完整解 ( 1 ) 单面排水条件下的解 对于单面排水条件，有边界条件如下 删汕一o ，等= o z ：h ，亟：o ，堡：o 1 5 未打穿砂井地基固结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 把上述边界条件代入式( 2 2 2 8 ) ，可得 。m 。百 式中：m = t 2 m - 1 石，= 1 ，2 ， z w m ( 加s i n ( 鲁：) ( 2 2 6 4 ) 成：q 善坞三i ( 2 2 6 5 ) 成3 q 可+ 了币瓦 m 式中：巩= 砉_ n z - _ 1 g ： g = i k h 。i h ) 2 ，井阻因子。 。：量以，s i n 等e 咖 ( 2 2 6 6 ) m = l- 盯= 盖如s m 丝hs 删 ( 2 2 6 7 ) 以= 警a ， 根据初始条件，即：r = 0 ，f i - = q 。( 考虑初始孔压为均布这种情况) ，可得： 铲呈以s i n 百m z ( 2 2 6 8 ) 根据已经验证了的正交关系，上式两边同乘眺4 ，s i n l m r z ，且在区间【。，h 】上 4 = 而 o n q o s i n 再- 鲁d z 寺。 亿z 舯， 未打穿砂井地基固结理论研究 浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 嘞。墨砉s 砸争 铲吼呈矗扣争甜 虬= 吼薹矗c 鲁c h 毒一争吲寺s 洫争肘 ( 2 2 7 0 ) r 2 2 7 1 ) 0 r f 2 2 7 2 ) = a 。呈j i 瓦t 啡号一与，+ 惫c t n s 一石$ 2 - - 一1 + 哦云s i n 等e 哏f 进一步可得完全打穿砂井地基的平均固结度为： o = l - 土月g e 吼a z 斗互矿2 咖 ( 2 ) 双面排水条件下的解 同理，对于双面排水条件，有边界条件如下 z = 。，“。= 。，可0 2 u w = 。 = 玑驴。，等= 。 把上述边界条件代入式f 2 2 2 8 ) ，可得： 吒= = 叱= 0 m 如。百 式中：m = m 石，m = l ，2 ， 故佗2 2 8 ) 式n 化为： u 垆s i l l ( 和 把式( 2 2 7 5 ) 代入式( 2 2 1 9 ) ，可得： 风= c ，可m 2 + 了2 币1 瓦 s r sr e ( 2 2 7 3 ) 佗2 7 4 ) r 2 2 7 5 ) r 2 2 7 6 ) 未打穿砂井地基周结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 式中：巩= 斋了n 2 - 1 g ，g = k h 习h 2 ：量ks i n 等p w ( 2 2 7 7 ) m = l门 面= 砉以s i n 百m z g 硼 ( 2 2 7 8 以= 警k 根据初始条件，即：t = o ，玎= q 。( 考虑初始孔压为均布这种情况) ，可得： 吼= 墨钏n t 他- - 7 9 ) 根据已经验证了的正交关系，上式西边同乘以以s m 鲁，且在区间【o ，】。j 二 碟券扣棚。 s o ， 丽确薹寺1 _ ( _ 矿】s i i l 丝h e 碱78 1 ) 圹薹矗寺h 棚强i n 争甜( 2 , 2 8 2 ， 旷暗晶i t 等c k 毒一乞2 2 ，删寺，删 i n 争 。量矗c 昙一等巾一等心， b ：斟， 去【1 + 1 ) 啊n 百m g e 哦 ，s 1 8 未打穿砂井地基固结理论研究 浙江太学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 故双面排水条件下完全打穿砂井地基的平均固结度为： 阳一上h 毛q o _ 1 _ 薹嘉忡1 ) m 妒。( 2 2 8 5 ) 2 3 单面捧水条件下未打穿砂井地基固缭解折解 2 3 1 数学模型 2 3 1 1 简化计算模型 为考虑未打穿砂井地基中下层土的三维渗流，假设下层土也拥有一半径为 的虚拟砂井，该虚拟砂井的渗透系数与地基原状土相同。则可得图2 2 所示的 计算简图。 图中日为地基软土层厚度；l 为上层土厚度( 即砂井长度) ；为砂井半径； h 为涂抹区半径； 为砂井影响区半径；k 为真实砂井的渗透系数；岛为地基原 状土竖向渗透系数，同时也是虚拟砂井的渗透系数；k 、m 分别为涂抹区土 体渗透系数、原状土水平向渗透系数和体积压缩系数；“。ni t s l 、b l n l 分别为上层 土中砂井内任一深度的超静孔压( 以下简称为孔压) 、涂抹区内和未扰动区内任 一点的孔压；“。2 、u 2 分别为下层土中虚拟砂井内任一深度的孑l 压和士体内任一 点的孔压；q o 为瞬时施加的均布荷载；r 、z 为径向及竖向坐标。地基为单面排水。 t ， 纛 z ， ， b ks t ， j， tp 量 不透承 ， 2 r 仝、7 7 一2 f - _ _ r 图2 2 计算简图( 单面捧水) 2 3 1 2 固结方程和求解条件 基本假定：单面排水条件下未打穿砂井地基固结的基本假定，除了需要满足 1 9 未打穿砂井地基固结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 在上层士与下层土的边界面上满足渗流连续条件以外，其余与完全打穿砂井地慕 固结的基本假定相同。 根据基本假定，可得到固结基本方程如下： 孥：吨譬 ( f - 1 ，2 ) ( 2 3 1 ) o zu l 当0 z l w 时，上层土( 含砂井) 的固结方程( 考虑涂抹作用) 为： 一k , 一1 0 u , , + 磐一置粤：监 洲( 2 3 2 ) h 、ro r o r 2 k 玉2 a t 。”5 一蔓0 _ o u , l + 百0 2 d n l 卜笠粤：鱼r ( 2 3 3 ) 凡、，加1o r 2 凡如2 o t5 一、 井周的流量连续方程： 0 2 u 。一 出2 式中瓦为上层土中任一深度平均孔压，即 巧= ；i 乏圭丽壁2 万旭一卉+ 譬2 刀m 。，咖) 同理，当l z h 时，下层土( 含虚拟砂井) 圆结方程为 旦立：一生 a z 2 o ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 曼婆：监。r ( 2 凡a z 2 o t ”2 式中磁为下层士中任一深度平均孔压，即 玩2 而1 t 2 丌删：咖 边界条件为： ，= t ：掣= o ，婴= o o rd r r = ：t 孥= _ c d u o t o r o r 2 0 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 忙 数加 颤一k2 0 忙 他石 未打穿砂井地基固结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 ，= ：“= u n l r = 0 ：“，l = “训，u 2 = “。2 z = 0 ： “。1 = 0 ，甄= 0 z ：h ：錾：0 ，墨：0 比也 渗流连续条件为： z = l w ：“w l = “w 2 = = l w ：一l d l = 一l d 2 z = k ：k 挈= t 窭堕 o寥07 ：l ：晏：拿 出 初始条件为： t = 0 ，甄= 玩= 4 1 0 ( z ) = q o 2 3 2 圃绣万程求群 由上下土层的固结方程可推得与单层砂井相同的固结方程( 2 2 1 6 ) ，参照该 方程的解的形式( 2 2 3 1 ) 和( 2 2 3 2 ) ，可假设u 甄( i = l ，2 ) 的表达式如下： “w r = r n = l 如【d * ts n ( 屯，寺) + k 一。8 ( 以- 寺) 盯 月 + c 。，s i n h ( 孝，勺+ 叱c o s h ( 岛。丢) p 仉 ( 2 3 9 ) j 瓦= 墨以 ( 1 + 争 s i 以，与h + k c o s ( 屯寺) 】 “ 吼 爿 f 2 3 1 0 、 + ( 1 _ 等) 【c m js i r 瓤厶寺) + 叱c o s h ( 厶。言) 】 e 氓， 式中： 巩= ( n 2 - 1 瓦2 石k h 了h 2 = 丁n 2 - 1 是 2 l 未打穿砂井地基固结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 p = 鲁 g j = 鲁( 等2 ；k w l = “k w 2 = 丸 厚：和乒乒h 挣驴柚寿冬譬；旷譬表叶k ，- ( n 2 - 1 ) - f l q = , 耻o n 詈+ 鲁k s 一争鲁+ 嘉 和一嘉唼击 妇 f a 2 = ( 1 i l 以一3 而r 2 + 去( 1 一嘉) 因为在任意时n t ，渗流连续条件和均成立，即在z = k 处，“。= ”。， 瓦= 一u 2 ， 因此必须有： 既，= 成：= 成 ( 2 3 1 1 ) 把边界条件代入式( 2 3 9 ) 和( 2 3 1 0 ) ，且由于a 0 ( 否则解为零) ，可得 6 胛1 + 以l = 0 ( 1 + 乌b i n l + ( 1 一与以。：0 吼 q l 联立( 2 3 1 2 ) 和( 2 3 1 3 ) 式，得 ( 麓，+ 靠。) 矗。= 0 因为。+ 。 0 ，因此： 6 卅。= 0 ，屯。= 0 故式( 2 3 9 ) 和( 2 3 1o ) 可简化为： “。l = z 。l ( z ) 瓦( f ) = 4 9 w m l ( ：) p 喁 m = lm = l ， 甄= 乙l ( = ) 已( f ) = 以g 。( z ) e 一 。 f 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) f 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) r 2 3 1 6 ) ( 2 3 1 7 ) 来打穿砂井地基同结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 式中 l ( f ) = e 一以。 乙。l ( z ) = 厶g ( z ) 1 ( z ) = u r a ls i n ( 丸t 旁+ c m - s i n h ( 軎m 旁z 乙( z ) = a , g 一( z ) g m l ( z ) = 1 ( 1 十争s 岖旁+ 一( 1与rsinh(毛，旁1 月 同理把边界条件，代入( 2 3 9 ) 和( 2 3 1o ) 式，可得： 式中： “。：= 宝z 。，：( z ) 艺( ，) = 是4 , g 。：o ) e - 风。 瓦= 量z ：( z ) l ( f ) = 量以g 。：( z 弦一射 m = lm = l 疋( r ) = e 一以7 乙。2 ( ：) = 4 9 ( z ) 舡m ：篙挈等m 。) _ k 丽石虬q ：蕊砭严 ( 2 ，3 1 8 、 ( 2 3 1 9 ) 乙2 ( z ) = 如g m 2 ( z ) 刈+ 争娑孕蝴一争酉e o s h 善2 0 - h ) 利用渗流连续条件以及( 2 3 1 6 ) ( 2 t 3 1 9 ) 式，可得： s i n ( 和) + c ms i 岷舻k ：竺絮产竺訾芝产( 2 ，2 0 ) 啪+ 等) s 瓤和) 坞1 ( 1 一争s i 呱和)璃砀 也o + 争掣峨。一争酱 f 2 3 2 1 ) 未打穿砂井地基圃结理论研究浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 k 【l 1c o s ( 1 p ) + l 厶lc o s h ( 岛1 纠 = k 屯：以：墅掣c o s 一屯z 厶：壁鬻c o s n nl c 。， 嘣1 + 篮r i c o s c 和h l ( 1 一鲁锄c 和， 纪。、 坪1 n ，” 也叶鲁掣c o s吨”卺鬻c o s n ( g2吼氐2叩2 m ， 联立( 2 3 2 0 ) ( 2 3 2 3 ) 式，可得系数日。、6 帕、和必须满足的矩阵 方程，即： s x 7 = 0 ( 2 3 | 2 4 ) 式中： s = s l is 1 2 $ 2 1 $ 2 2 $ 3 1 $ 3 2 s 4 1 $ 4 2 s 1 3s 1 4 s 2 3s 2 4 $ 3 3 曲4 $ 4 3s 4 4 x = 【口。，k ：屯。】 矩阵s 的各元素为： s 1 1 = s i n ( 丸1 p ) 一c o s 丸2 ( 1 一p ) 】 s 1 3 一盖石一 s 1 2 = s i n h ( 厶i p ) c o s h 2 ( 1 一力】 屯一蕊莳 j 3 1 = k w 厶lc o s ( & t p ) 屯2 = k 厶lc o s h ( 掌1 p ) 一掣 矗。；( 1 + 益) 乃，c 。s ( 厶。p ) 硫 锨z 篱 声2 s 4 2 = ( 1 一兰韭) 岛c o s h ( ( 。1 p ) r h o 一厶 力 一蜓 厶 越l 。訾 m 一 批 ：号：氩矾益砚坠如 力 k m埘絮 峨 - | 扭 ：哼：孙碣莲冼 未打穿砂井地基固结理论研究 浙江大学硕士学位论文2 0 0 6 年3 月 叫+ 争丸：掣c o s玑2划一鲁鬻 显然，要使方程s x = 0 有不全为零的解，必须满足： d e t s = 0 f 2 3 2 5 ) 由于以。，磊，九：，厶：由以唯一确定，故式( 2 3 2 5 ) 为一含风的超越方程， 并有无穷多个根。一旦获得尾，即可由式( 2 3 2 4 ) 得到系数d ，j ，6 砌，c 埘，如2 。 至此解e o , n , 有系数a 未确定，现由正交性来确定4 的值。在上节中已经得 到下列正交关系式： f ( 以一成) z 坍乙出= c v 【( 一z ：乙+ 乏五) + 了l _ 鲁( 一z ：。z 一+ z ：。- z w 。) 】o ( 2 3 2 6 ) 由上式可得： m ，。( 凡一成) z 珥。z m 。d z = 去晦( 一乏- z 枘一乏- t 乙t ) + 窘音( 一乏。z w 。一z ：“z 。l ( 2 3 2 7 ) 帆伫( 以一以，) 乙：z 。d z = 去氓( 一乏：z 卅：+ 乙+ ：z m z ) + ；鲁( 一乏。：z w 一十乏m z 一) 】l ：( 2 3 2 8 ) 联立( 2 3 2 7 ) 和( 2 3 2 8 ) 式，且利用边界条件和，以及渗流连续条件 ，可得： m ，皆( 成一尾) 乙。z m 。出+ 圪( 成一成) 乙2 z m 2 d z = 0 ( 2 3 2 9 ) 由上式可知，当成以，时， m , j o z z m 。乙，出+ 佩芝乙：乙：d z = 0 ( 2 3 3 0 ) 利用初始条件和( 2 3 1 3 0 ) 式可得： u o ( z ) = 甄( z ) = z 。l ( z ) = 4 9 m 。( z ) ( 2 3 3 1 ) u 0 ( 2 ) = 瓦( z ) = z m ：( z ) = 以g 。：( z