（固体力学专业论文）金属板材滚弯塑性成形的数学模型研究.pdf

摘要 ， f i 金属板材的滚弯成形是一种传统工艺，在现代工业中有着极其广泛的应用并 发莽着重要的作用剧用不同的弯板机系统可以不同程度地实现所需的板材弯曲 曲率和板材形状y | 本丈首先介绍了板材滚弯塑性成形的过程和在工业上的应用，然后介绍了板 材塑性弯曲的工程理论和数学理论在此基础上，介绍了一个板材滚弯过程的塑 性小变形弯曲模型 随后，本文引进了一个平面应变板条的弹塑性大变形弯曲模型以及由此导出 的控制微分方程解析解，这是基于理想塑性材料所作的讨论；推广至一般应变硬 化材料的情况，也可以得到相应的控制微分方程解析解 以上是前人所作较为突出的x - 作，作者在这些较高的起点上作了进一步的研 究本文在对板材夹持型滚弯成形过程分析的基础上，系统地研究了一般应变硬 化板材的夹持型多次滚弯成形过程的弯曲模式，导出了指数律应变硬化材料在每 次成形过程的加卸载弩矩一曲率显式关系对已知机械功率的弯板机，为了获得预 定曲率的板材，建立了相应的方程用来计算所需滚弯成形过程的最小次数和每次 的残余曲率对板材的每次边缘弯曲模式，建立了板材弹塑性大变形的控制微分 方程，并将问题解析地归结为对一代数方程的数值求解本丈还研究了与多次滚 弯成形的边缘弯曲模式生产过程相关的物理量并以图例示出 关键词：k 建蚴滚弯成形 板材边缘弯曲模式 薄板弹塑性大变形 a b s t r a c t t h em e t a lp l a t er o l l b e n d i n gp r o c e s si sat r a d i t i o n a lt e c h n o l o g y i ti sw i d e l y u s e da n dh a si m p o r t a n te f f e c ti nm o d e r ni n d u s t r y t h ew a n t e db e n dc u r v a t u r e a n db e n ds h a p e sc a nb eg o ta td i f f e r e n td e g r e eb yu s i n gd i f f e r e n tr o l lb e n d i n g s y s t e m a tf i r s t ，t h et h e s i si n t r o d u c e st h ep l a s t i cr o l l b e n d i n gp r o c e s so fp l a t ea n d t h ea p p l i c a t i o n so fi tt oi n d u s t r y t h e ni ti n t r o d u c e st h ee n g i n e e r i n gt h e o r ya n d t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fp l a s t i cb e n d i n go fp l a t e b a s e do ni t ，i ti n t r o d u c e sa s m a l le l a s t o p l a s t i cd e f l e c t i o nm o d eo fp a t eb e n d i n gp r o c e s s l a t e r , t h et h e s i si n t r o d u c e sat a r g ee l a s t o p l a s t i cb e n d i n gd e f l e c t i o nm o d e o fap l a n es t r a i np l a t es t r i pa n dt h ec a l c u l a t e da n a l y t i c a ls o l u t i o n so fr e l e v a n t g o v e r n i n gd i 舱r e n t i a le q u a t i o n s t h ed i s c u s s i o ni sb a s e do nt h ei d e a l l yp l a s t i c m a t e r i a l e x t e n d e dt o g e n e r a l s t r a i n h a r d e n i n gm a t e r i a l ，t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o n so fr e l e v a n tg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a na l s ob eg o t t h ea b o v ea r et h eo u t s t a n d i n gw o r ko fp r e c u r s o r sa n dt h et h e s i sm a k e s f a r t h e rs t u d yo nt h eb e t t e rf o u n d a t i o n s b a s e do nt h ea n a l y s e so fp i n c h t y p e p l a t er o l l b e n d i n gp r o c e s s t h eb e n d i n gm o d e so fg e n e r a is t r a i nh a r d e n i n g p l a t eu s i n g p i n c h - - t y p em u l t i - - p a s sr o l l - - b e n d i n gp r o c e s s a r es t u d i e d s y s t e m a t i c a l l y a ne x p l i c i tr e l a t i o n s h i po fb e n d i n gm o m e n t p l a t ec u r v a t u r ef o r p l a t em a d eo fe x p o n e n t i a is t r a i nh a r d e n i n gm a t e r i a i i ni o a d i n ga n du n l o a d i n g s t a g e so fe a c hp a s si sd e v e l o p e d t h er e l e v a n te q u a t i o nt oc a l c u l a t ei h e m i n j m u ml i m eo fp a s s e sr e q u i r e di nb e n d i n gad e s i r e dc u r v a t u r eo fp l a t eb ya g i v e np l a t er o l l - b e n d e rw i t hk n o w np o w e rh a sb e e ne s t a b l i s h e d t h eg o v e r n i n g d i 仟e r e n t i a ie q u a t i o n sf o ri a r g e e l a s t o p l a s t i cd e f l e c t i o n o fp l a t ei ne a c h e d g e b e n d i n gm o d e sa r ee s t a b l i s h e d t h ep r o b l e mi sr e d u c e da n a l y t i c a l l yt oa n u m e n c a ie v a l u a t i o no fa na l g e b r a i ce q u a t i o n t h ep h y s i c a lq u a n t i t i e sr e l e v a n t t ot h ee d g e b e n d i n gm o d e so ft h em u l t i p a s sf o r m i n gp r o d u c t i o np r o c e s sw e r e s t u d i e da n ds h o w n g r a p h i c a l l y k e y w o r d s ：p i n c h - t y p em u l t i p a s sr o l l b e n d i n gp r o c e s so fp l a t e s ，p l a t ee d g e b e n d i n gm o d e s ，l a r g ee l a s t o p l a s t i cd e f l e c t i o no ft h i np l a t e s i i 笙二雯 堡塑堕变望壁堕丝垫墨笪坌一 第一章板材滚弯塑性成形过程简介 板材滚弯过程是由2 4 个辊轮组成的弯板系统，在送进板材的同时对其作 连续弯曲加工滚弯过程广泛应用于圆筒形、局部圆筒形、圆锥形和部分圆锥形 等板材产品的成形制造( 图1 一1 ) 一般来说板材滚弯成形的弯曲半径较大，制件 截面的曲率相等，但由于可以相对于板材的送进量将辊轮的位置作适当的变化， 因此也能够制作四边形、椭圆形、其它非圆断面的筒形件，以及用于圆筒形或非 圆断面筒形件的凸缘加工和由带料制作异性环、型材的弯曲加工等，还可以用于 宽平板的小曲率复杂曲面的成形，是一种用途极广颇有潜力的成形方法本章简 要介绍板材滚弯成形过程的应用和研究情况仁o ”， 1 1 辊式弯板机 用于滚弯的设备称为辊式弯板机( b e n d i n gr o 1 ) 或滚弯机( r o l b e n d e r r o l lb e n d i n gm a c h i n e ) ，见图i - 2 辊式弯板机一般分为只用刚性辊轮 的三辊或四辊弯板机以及用刚性辊轮和弹性辊轮的二辊弯板机两种类型就弯曲 机构而言，三辊弯板机和四辊弯板机没有本质的差别，只是后者有多方面的使用 性能，便于操作，而前者由于价格便宜而被广泛采用图卜2 中，用斜线箭头表 示可动辊轮的移动方向，用弧线箭头表示驱动辊轮的回转方向辊轮的驱动方式 和移动方法可以有多种多样，一般仅对固定辊轮作回转驱动，但也可以驱动所有 的辊轮以使送迸板料更为准确，这对薄板弯曲尤为如此， 图i - 2 a ) 为二辊弯曲板料由于弹性辊轮的压力作用连续地绕在刚性辊轮上 面从而使其成形为圆筒形用耐磨橡胶可制成弹性辊轮为改变制件直径，可在刚 性辊轮上套以适当直径的导向环进行弯曲加工与三辊，四辊弯曲相比，二辊弯 曲的优点是：1 ) 不需端部弯曲，加工速度快；2 ) 在一次行程中有作高精度成形的 可能；3 ) 板料即使是经过冲孔、切口、起伏成形等加工，也不致产生折裂及不规 则翘曲等；4 ) 不产生皱折，不在制件表面造成划痕：5 ) 如果把辊轮的压下量取大， 即使两辊轮的间距有所变动而制件的直径也不发生变化，因此设备精度不是很高 也行，使用的是简单的装置等等另一方面，二辊弯曲的缺点是：1 ) 由于相对于 制件直径的每个变化都需要制作导向环，因此不适用于多品种小批量生产：2 ) 不能作厚板的加工 按照辊轮的配置方式，三辊弯板机和四辊弯板机一般可以分为角锥型和夹紧 型两大类角锥型弯板机( 图1 - 2 b ) ) 是使位置固定的两个下辊轮作回转运动送进 板材，用处于中心位置的上辊轮的压下量来决定板材的曲率对向型弯板机( 图 卜2 c ) ) 是在上下两个夹持辊轮之间送进板材，下辊轮向上推进压紧板材，上辊轮 回转将板材向前送进，侧辊轮使板材弯曲偏置型弯板机( 图卜2 d ) ) 是将上下辊 轮在左右方向微微错开的- g e 结构而复合型三辊弯板机( 图卜2 e ) ，l 一2 f ) ) 是使 蔓= 童堡塑堕窆望丝堕丝堇堡箜坌 角锥型的两个下辊轮分别可作上下移动从而兼有角锥型和夹紧型两种性能，称为 央紧一角锥型结构图l 一2 9 ) 所示结构用于部分圆筒形零件的制造，不要求上辊 轮某一侧的轴承具有可拆卸性用来取出成形后的整圆筒由于弯板的曲率不大， 允许在上辊轮结构上作支承以增大弯曲刚度，可以用细长的辊轮制造弯曲线很长 的零件 复合型四辊弯板机( 图l - 2 h ) ) 是在角锥型三辊弯板机的一侧加上一个斜动 辊轮，使此附加辊轮作斜向移动，也可以当作简单的矫正设备使用夹紧型四辊 弯板机( 图卜2 i ) ) 是在对向夹紧型三辊弯板机的一侧再加上一个侧辊轮的结构 万能型四辊弯板机( 图 - 2 j ) ) 是随着辊轮配置方式的变更，既可作为夹紧型和角 锥型的三辊弯板机，也可以作为矫正设备使用的结构形式，这一结构虽说价格昂 贵但使用范围很广图l - 2 k ) 为立式三辊弯板机图卜2 1 ) 为夹紧型三圆锥形辊轮 弯板机，用于制造小型圆锥形件 i 2 三辊和四辊弯板机的弯曲成形机理 用辊轮将平板材弯曲成圆筒形时，板材的首端和末端由于弯曲变形不足，往 往残留下平直段为了获得正圆断面的弯曲件，必须作端部弯曲图卜3 表示用夹 紧型辊式弯板机滚弯板材的过程先作端部弯曲开始时将侧辊轮3 置于下面的 位置，把板材从左边送入进而在两夹持辊轮之间板材端部被牢牢夹住接着使侧 辊轮上升，板材的右端被弯曲至所要求的曲率在将板材取出并转移到夹紧辊轮 右侧的同时，变换板材的方向从左端换到右端将侧辊轮3 固定在所要求的弯曲 加工位置之后，从右边先将板材弯曲过的一端送入夹紧辊轮，就这样使其全部通 过，弯曲即进行完毕 图卜4 为夹紧型一角锥型三辊弯板机和夹紧型四辊弯板机作端部弯曲的机 理首先从右边插入板材，由上下夹紧辊轮和右侧辊轮以相同于夹紧型三辊弯板 机的原理对板材左端作端部弯曲随后降下右侧辊轮，使左侧辊轮上升至要求位 置之后，驱动夹紧辊轮将板材向左送进，利用两夹紧辊轮和左侧辊轮的作用使得 弯曲得以完成在经由几次通过进行弯曲的情况下，作过上述那样的左端端部弯 衄之后，将两个侧辊轮下降到与下夹紧辊轮同一水平面上，进而将板材向左送进 直至板材的右端正好处在被两夹紧辊轮夹住的位置，再将左侧辊轮推上去进而对 板材的右端作端部弯曲象这样完成了两端部弯曲之后，再顺次将左右两侧辊轮 升起，将板材向左右交替送进就可以进行弯曲总之，与夹紧型三辊弯板机比较， 夹紧型四辊弯板机省去了将板材用起重机吊起来从辊轮的一侧转移至另一侧以 改变扳材方向的操作，提高了效率 图i 一5 所示的角锥型三辊弯板机，是在两个下辊轮之间放进了可作上下运动 的压料板，从而有作端部弯曲可能的一种结构用此设备，首先将扳的一端牢牢 丝二垦堡堑堕变望壁盛垄整焦堡堡 地夹在压料板和上辊轮之间，接着把一个下辊轮推上去作端部弯曲，再将压料板 退回使下辊轮回转并在送进板材之后即对另一端以同样方法进行弯曲在此之 后退回压料板进行一般的圆筒形弯曲 1 ： 辊轮的挠度和板材的桶状变形 滚弯加工之后，制件不能变成为直圆筒，而是在中间部分形成鼓凸状的桶形 这种现象是由于弯曲加工时板材的变形抗力致使辊轮产生挠度，因而出现在圆筒 中间部分辊轮的中心间距大于两端的现象，弯曲半径越小越容易发生这种现象 就是以相同的半径弯曲，加在夹紧型三辊弯板机辊轮上的力也大于加在角锥型三 辊弯板机辊轮上的力，所以夹紧型三辊弯机辊轮的挠度也要大一些 为了防止桶状变形，就有把辊轮中部做得粗一些的结构形式，并将此结构叫 做“凸面辊”但是这种方法仅对特定尺寸范围内的板材才有效作为防止辊轮挠 曲的方法，可使用支承辊然而对于成形后的工件完全包住上辊轮的情况，支承 辊是不能使用的，所以仅用这种方法就不能制作太长的筒形件 对于细长管件成形用的滚弯机，为消除加工中辊轮的挠曲，就采用预先在辊 轮上给出与变形方向相反的挠度，例如可以对上辊轮臆以挠曲上辊轮的两端超 出轴承进一步向外延伸，在其端部利用油压施加向上的作用力从而在辊轮上造成 向下凸起的翘曲效果如果采用这一方法，需要相应于板材的材质、尺寸以及弯 曲半径给出要求的翘曲量 1 4 圆锥形筒的成形 在辊轮的两端轴承可作分别位移的特殊的角锥型滚弯机上，可在辊轮两端 变化上辊轮相对于下辊轮的送进量，或是将两个下辊轮张开成“八”字形，或者 是将这两种方式合并使用而对于夹紧型滚弯机则是使侧辊轮相对于两夹紧辊轮 而倾斜板料先切成成形圆锥筒予以展开的扇形为使成形得以准确进行，加工中 板料必须围绕扇形中心回转因此，板料在辊轮轴线方向就不能有所偏移，垂直 于辊轮轴线方向板料的送进速度必须与从圆锥顶点算起的距离成比例但是，当 其为圆柱形辊轮时，辊轮的圆周速度在轴向上是一致的，因此如果辊轮和板料 之间不出现滑移，这条件就不能得到满足，仅仅是使辊轮倾斜，板材就不能充 分地回转作为解决这一问题相应的措施，通常在靠近辊轮端部的位置设置一个 丰r 件，限制板材内侧边缘的运动至于薄板时，即使不使辊轮倾斜，只是以此制 动措施也能得到正圆断面的锥形件如果在板材上画出数条圆锥形母线，那么， 通过观察加工过程中母线与角锥型滚弯机的上辊轮与夹紧型滚弯机的夹紧辊轮 是否平行接触，就能起到判断成形效果好坏的作用 第一蠹板材滚弯塑性成形过程简介 口 锅炉外舛 水骨，气体管道输油营 蛰 电动机壳体 b ) 啊锥形精 c ) 油车油槽 d ) 局靠圆懈局部卿雉形 f ) 翼形环 ( 坯科：带科) e ) 7 ；= ：= = = = = 矽 船舶外亮 一岳习 士： 内凸糠 暑潭鼙 彝 缩任 g ) 图卜l 滚弯成形产品实例 4 中中中申中中 汐多粱暑 期皇， 第一章板材滚弯塑性成形过程简介 二幌 兰辊，l l 傩型 四辊 立式讨e 每帆 啊傩滚奇机 夹紧型 董各型 两峭开启的成形 造船f 1 i 帆等) 复合型 c 兼作矫正设备 夹幕型 万能型 图1 2 辊式弯板机的类型 5 第一童板材滚弯塑性成形过程简介 图卜3 夹紧型三辊弯板机工作机理 瘫蕊 融 图卜4 夹紧型角锥型三辊弯板机 和夹紧型四辊弯板机工作机理 6 蔓二童堡丝蓬奎望丝堕垄堇墅尘一 莆嵩番 a ) 静 d )e ) 图卜5 具有端部弯曲功效的 用压料板的三辊弯板机 第二章板的塑性弯曲工程理论 较窄的板或梁在弯曲时无宽度方向的应力，即为平面应力状态；而较宽的板 在弯曲时宽度方向就会有应力存在，为平面应变状态记p 为板中面弯曲半径，t 为板厚，b 为扳宽一般，q = b2 i p t 9 时为宽板模型在弯曲中，如果无径向应 力存在，则为薄板：如果有径向应力存在，则为厚板径向应力是否存在，主要 看相对弯曲半径p t 当相对弯曲半径小于3 5 时，才有径向应力存在 宽的厚板的弯曲为三维应力状态，相关的理论称为板的塑性弯啦数学理论， 在第三章介绍；窄的薄板的弯曲为一维应力状态，相关的理论”。”1 2 5 称为板的塑 性弯曲工程理论，或工程梁理论，在本章介绍 2 1 梁的塑性弯曲工程理论 图2 一l a ) 是一个剖面为任意剖面形状的梁，其拉应力与压应力曲线如图 2 一l d ) 设梁经受纯弯曲变形，平剖面仍保持为平面，应变沿厚度呈线性变化 s ：y l p ( 图2 l b ) ) ，p 为曲率半径，y 为厚度方向坐标剖面的弯矩为 m = f a y p ( y ) d y ，盯= 厂( 占) 为应力应变关系将它们代入弯矩公式，得 m = p 2 e 屈( y ) ，( g ) 甜s + p 2 j ? 成( _ y ) 六( g 弦d s ( 2 - 1 ) 式中 土：鱼量 ( 2 2 ) ot 足标c 表示拉伸，g 表示压缩屈( y ) 和屈( y ) 为剖面形状方程，中性层的位置，由 其以上的拉力等于以下的压力的条件来确定，即 r 层( y ) ：( 占) d 占= e 。f l o ( y ) f 。( 占) d 占( 2 - 3 ) 对于宽度为6 的矩形剖面，m = b p 2 r ，( s ) 丽s 十b p 2 r 丘( s ) a i s ，这里 r ：( 占) d s = r z ( 占) d 占 中性层位置由( 2 3 ) 式确定当z ( 占) = 工( 占) ，即拉力曲线与压力曲线相同 时，中性层与重心轴线重合一般当载荷增加时，中性层越来越偏离重心轴工程 梁理论假设其与重心轴重合，这样( 2 = - i ) 变为： m = 2 b p 2s o i ( s ) e d e ( 2 - 4 ) 第二翥板的塑性弯曲工程理论 式中占l = s ，；s 。= ；一 z p 对于应力应变关系f ( e ) ，有两种假设可用一种是当压应力应变特性为未知 时，可设厂( s ) = 丘( f ) = ：( s ) ；当两者不同而都是已知数时，可设 l 厂( s ) = 圭 正( 占) + ：( s ) ，这样可以简化计算 以上是对于梁或窄板而言对于宽板，则属于平面应变，而不是平面应力， 因其宽度方向的变形受到了限制对于板的弹性弯曲，其宽度方向所受的限制等 于提高了刚度，即将惯性矩提高了1 ( 1 1 2 ) 倍，y 为泊松比 当最大弯矩卸去后，板将发生回弹，最终的曲率半径可用下式确定： 上：上一上：一m ( 2 - 5 、 一一 p ? p ，pep ，e 1 式中r 表示回弹后的剩余曲率，p 表示塑性，e 表示回弹，f 为弹性模量，为剖 面惯性矩 2 2 板材塑性弯曲成形时应力应变状态特点 2 2 1 应力状态特点 板材成形大都可以认为是在一种平面应力状态下进行的，沿着厚度方向应力 为零，或者数值较小，可以忽略不计如果以d 。，( 简作o m a ) 代表板面内绝对值 较大的应力，盯m m 。，( 简作盯。) 代表板面内绝对值较小的应力，则比值口：垒可 盯m 以用来表示板材成形时的应力状态特点因为i 盯。“i 仃。i ，所以a 的变化范围为 一l 口1 按照盯。与盯。的可能取值，板材的应力状态可以划分为拉一拉型、 拉一压型、压拉型和压一压型四种至于单向拉、单向压或纯剪，则可视为特 殊情况 利用应力奠尔圆中应力l o d e 参数y 。和主应力仃。盯：d r ，的关系 。：亟! 止型：堕二型一l o l 一吒 o t 0 3 可以确定口和k 之间的关系 1 在拉一拉应力状态时：0 口1 ，盯。一o 1 盯。寸0 2 , 0 斗毋 9 璺三兰堡箜望堡翌些三堡墨堡 一 v 一2 ( c r y , - 一0 ) 一1 ：廷l ：2 口t ( 2 6 ) 。 盯- 0盯m d 2 在压一压应力状态时：0 s d 1 , 0 叶盯l ，盯。，一盯2 ，盯。- 4c r 3 ，一；塾! z1 2 1 ：旦盎! 生一1 ：一( 2 a - 1 ) ( 2 - 7 ) 。0一盯。口i。 3 在拉一压应力状态时：一1 口0 ，盯。_ 盯l ，0 - - + 仃z ，盯。斗吒 vl：二三殳一l一(28)o-2(0-cr,) i + a 盯m 一盯m 盯m d 一仃f 1 口 4 在压一拉应力状态时：一ls 口0 ，盯，叶盯1 ，0 jc r 2 ，盯。一c r 3 v 一2 ( 0 - o - ) 一1 ：二堡! 1 1 竺 ( 2 9 ) o 。一d 忡 d i o m 口 1 一q 2 2 2 应变状态特点 板材成形变形特点集中表现为板厚的变化因为塑性变形体积不变 晶+ f ：+ 毛= 0 ，利用板面内两个主应变的比例关系即可对板材的变形性质作出 判断如果以占。，( 简作占。) 代表板面内绝对值较大的主应变，占。，( 简作s 。，) 代表板面内绝对值较小的主应变，则比值= 三堕可以用来表示板材成形时的应 占舢 变状态特点因为i s 。，i j g 。f ，所以的变化范围为一1 1 按照f 。与占。，的 可能取值，板材的应变状态可以划分为拉拉型、拉一压型、压一拉型与压一压 型四种至于单向拉伸、单向压缩、纯剪和平面应变，则可视为特殊情况 利用应变莫尔圆中应变l o d e 参数k 和主应变占。s ：岛的关系： 。：堕兰塑兰趔：刿一l q 一占3占l 一占3 可以确定和k 之间的关系 所以 1 在拉拉应变状态时：s 。一q ，占。，斗占2 ，厚向应变s 。_ 毛= 一( + f 。) k = 警e r n a 七惫= 辫 一占fz 占。+ 占。，2 + 一蔓三兰堡塑望垡! 堕三矍堡兰一 2 在拉压应变状态时： 当一l 声一0 5 时，f ，m _ 占l 占r 2 ，。， 占3 v = 2 ( e ，一f 。) s m 口一占m 7 3 ( e 。+ 。，) 占咖一s m ：- 3 ( 1 + 3 )( 2 1 1 ) l 一口 当一0 5 0 时，占。 占l ，占。，占2 ，占，占3 v f = 3 在压一拉应变状态时 2 ( e 。一占，) 占脚一占 1 _ 堡：旦 ( 2 一t 2 ) 1 2 e 。+ s 。，2 + 当一1 p 一0 5 时，占。 占l ，占，占2 ，占。手3 2 ( 一占砌)3 ( 厶。+ s 。) m e r n d【一s o ：幽 ( 2 1 3 ) l p 当一0 5 0 时，占，寸占1 ，_ 占2 ，f 瑚。岛 v s =! 亟l 二鱼! 一f =! ! ! ! 一：二望 占，一。一2 s 。一厶。2 + p 4 在压一压应变状态时：e ，- s l ，s ，。os 2 ，s 。一s 3 v f = 2 ( 靠，一s 。) 占，一占d ( 2 - 1 4 ) 一l ：坠：坐( 2 一t 5 ) 一2 9 , a 一。，2 + p 塑三兰堡箜望壁兰堕三墨堡整l 一 中 6 ( y ) a ) 梁的剖面 b ) 应变分布 c ) 应力分布 u 么 飞 o _ = 一 f 。( ) 钐 t ， d ) 应力应变关系 图2 一l 梁的弯曲应力与应变 ft ( ) 。1。，11。l，l 一塑三兰 堡堕望丝变堕墼兰堡垒 _ _ - _ _ j _ _ _ h 一一 第三章板的塑性弯曲数学理论 3 i无应变硬化的三维纯塑性弯曲 以下的讨论忽略板材在加载时的弹性变形，视其为塑性弯曲。2 “ 3 1 1 应力状态 在扳的三维应力纯塑性弯曲中，设仃。为切向( 板长度方向) 应力，仃，为径 向( 板厚度方向) 应力，为横向( 板宽度方向) 应力板在弯曲中，宽度的变 化实际上可以认为等于零，由平面应变条件得盯：= ( q + 0 5 ) 2 这样，l i s e s 屈 服条件为h 一吒? = 吒，其中吒为板材屈服应力图3 - l 所示是弯曲部分横剖 j 面的一个单元，夹角为d 口切向应力盯、在中性层以外是拉应力，以内是压应力， 拉为正b 4 i s e s 屈服条件为( 外区为曲率半径大的区域) 外区：盯1 6 = 睾仃，+ 矿 ( 3 一1 ) 内区：d l 。= 一去盯，+ 仃3 。 ( 3 2 ) 吖j 半位苋厦早兀削平衡力程口j 与刀 ( 码+ d c r 3 ) ( r , + d r ，) d 口一吧尺，d c z - 2 c r i 积，s i “t d 口= o ( 3 - 3 ) 由于角度d 口很小，可令s i n d 2 a = 警，代入整理( 3 3 ) 得 d c r 3 。= ( 仃。一盯，。) 丁d r y ( 3 4 ) 将( 3 1 ) 代入( 3 4 ) ，得 岷。= 扣鲁 s ， 积分，用r ，= r 。时盯。= 0 的条件，得外区径向应力的表达式 = 万2o , i n 惫 s ) 玛a 万万 q 呻 o i b = 老o - ( 1 + l n 争( 3 - 7 )2 万葛 第三章板的塑性弯曲数学理论 由盯：。：；( 仃，。+ c r 3 b ) ，得 由内区单元的平衡方程得 = 扣c 扣乏，盯z a 。万吒j “n 爵 d r ， d a h = ( 盯l 。一寸h ) ” ( 3 - 8 ) ( 3 9 ) 联立( 3 - 2 ) 得： 峨。= 一扣鲁 积分，用r y = r 时o j 。= o 的条件，得内区径向应力的表达式 =万203a c r l n 鲁- - a2 万万 吒= 一万2 卅，n 等 由仃：。= i 1 ( 盯。+ 盯。) ，得 吒一扣c 扣务 ( 3 一1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 3 1 2 中性层半径 在弹性理论中，把弯曲时正应力和正应变都等于零的一层称为中性层，位置 与剖面的重心重合在塑性理论中，如将弯曲看作是线性的应力应变状态，这种 说法仍然是正确的但实际上，在塑性弯曲中应力中性层、应变中性层以及剖面 重心互相间都不重合由于外区拉应力小于内区压应力( 绝对值) ，中性层必然 位于重心之下随着弯曲程度的增加，应力中性层向曲心内移应变中心层由于原 来积累的变形，其内移总是滞后于应力中性层 应力中性层可根据静力条件求解在纯弯曲中，横剖面上没有外力作用，这 个条件可表示为 f = 吼d r ，= o 代入内外区的应力方程并积分，解得应力中性层半径 p = 4 r 。r 6 以厚度f 除以方程两边，得应力中性层相对半径 = 氘 式中p = p i t ，= r 。t ，= r 6 t ( 3 - 1 4 ) ( 3 一1 5 ) f 3 一1 6 ) 4 笪三童堡塑望壁蔓堕墼堂! 丝 应变中性层可用塑性弯曲前后体积不变的条件求出设板宽度为b ，如图3 - 2 弯曲前的体积矿：6 ，弯曲后的体积= ( r f 一孵) 詈6 由弯曲前后体积相等， 得，。l b ：( 尺：一尺：) 等6 由应变中性层的长度等于剖面原始长度，即2 风口这 样由体积不变的条件得应变中性层曲率半径 胪譬等( 3 - 1 7 ) 或应变中性层相对曲率半径 “：拿善( 3 - 1 8 ) 为了得到应力中性层和应变中性层与厚度变薄之间的关系，以r 。= r 。+ f 代 入，捂理后得应力中性层曲率半径 和应变中性层曲率半径 p ：蹈p 。她+ ；) 2 一； 风瑚。丢+ 象 ( 3 - 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) 式中f 为现时厚度，“为初始厚度由( 3 - 2 0 ) 可以看出，当弯曲曲率很小时，f = “， 应变中性层与重心重合由( 3 1 9 ) 可以看出，在这种情况下，应力中性层的位置也 在重心之下，即向曲心有移动 3 1 3 厚度的减薄 弯曲后板厚度有所变薄，当曲率半径很小时，由目视就可以观察出来为了 确定其变薄量，可以利用两个条件：1 ) 弯曲前后体积不变，2 ) 内外边层应变绝对 值的增量与它们到应变中性层的距离成正比 图3 3 所示为中心角在弯曲中由口增加到口+ d a 时，其几何尺寸的变化根 据体积不变的条件，可得 ( 霹一群) 导： ( r + d j r 。) 2 一( 月。+ d r 。) 2 】譬等 ( 3 2 1 ) z二 整理后得 一d a ：型竺! 二冬塑! ! ( 3 2 2 ) * 一 、j ， a r ：一r ： 第二个条件可用以下关系式表示( p 。z p ) ： d 8 br 6 一p d e 。户一r 。 ( 3 - 2 3 ) 蔓三雯堡塑望竺变堕墼堂堡燮l 一 式中d e b 和d 口。分别为外层和内层切向应变绝对值的增量对于外边而言，应变增 量等于原始长度与最后长度之间的差 d e b = ( r 6 一d r 6 ) ( 口十d 口) 一r b a ( 3 2 4 ) 内边的应变增量绝对值为 d e 。= r 。d 一( r 。- d r 。) ( 口+ d 口) ( 3 2 5 ) 将( 3 2 4 ) ，( 3 2 5 ) 代入( 3 2 3 ) 整理，并将( 3 一t 5 ) 中p 值代入，得齐次微分方程 ( 凡丽一r 。缸忑十民r 。+ 月：) 姐。一( 月：一r b 扛忑+ r 。缸忑+ r r 。) a r 。= o ( 3 - 2 6 ) 记r 。= 氓。，代入( 3 2 6 ) 并积分得 l 毗- 1 n 等一n ( 1 w ) “n c 2 7 ) 或 r 。= 羽+ 涤 ( 1 _ 屠t + 万r b ) 积分常数c 由见o o 时，f r 。= o 及t = t o 的条件，确定为c = 一鲁 将c 和= + 叩代入( 3 2 8 ) ，得板材弯曲后相对厚度7 7 = t t 。的控制方程 ( 3 2 8 ) ，7 3 + ，72 ( 4 厂口一1 ) + 7 ( 4 0 4 r 十o 2 5 ) - 4 4 = 0 ( 3 2 9 ) 将任何已知的值代入( 3 2 9 ) ，即可以求得相应的7 7 值及屹，成，尸只有在相对 弯曲半径很小时，中性层的位移和厚度的减小才比较显著当相对弯曲半径大于 3 5 时，可认为厚度没有变化，中性层与重心重合 3 1 4 弯矩和应变 根据外力和内力的平衡条件，可以确定弯矩的大小为了简化计算，在计算 中用外力及内力对曲率中心的力矩，而不是对中性层的力矩，这样对计算结果并 无影响由图3 一l ， m = 6 j ：q r y d r y ( 3 3 0 ) 或 m = m 6 一m 。= 6 r 5 r ，d r y 一6 吒r ，d r ，( 3 - 3 1 ) 塑三量堡塑望堡! 堕塑兰望笙一 将应力值代入并积分，使用p = 瓜，得 m ：去即( 华) 2 吖j 将一r 6 一r 。= r l t o 代入上式，得 ( 3 - 3 2 ) m ：篓盯。 ( 3 3 3 ) 2 3 由上式可以看出，由于厚度随着相对弯曲半径的减小而减小，弯矩也随着减小 在塑性理论中，应变可用三种形式来表示，即延伸率，剖面收缩率和实际应 变弯曲时，外边和内边的延伸率分别为( 图3 2 ) ： 吒：生鱼，瓯：r o - p o 一 ( 3 3 4 ) 舻警恺= 警 弯曲时，两边的切向应变为： = 1 n 瓦r b ，f 。= 一l n p 尺。o 3 2 应变硬化板材的纯塑性弯曲 忽略弹性变形的塑性应变硬化的板材，应力应变关系的线性模型可 仃，= o i o + d s ( 3 - 3 6 ) ( 3 3 7 ) 表为 ( 3 3 8 ) 式中盯，为应力强度，c r 0 为初始屈服强厦，s 。为匝爻强厦，d 力应父馒化糸数村 于我们的情况有 咿拿盯。 。，t地生(3-39)-o-3q 2 了盯l 一。m i 3 2 1 应力状态 类似( 3 - 1 ) 和( 3 - 2 ) ，切向应力为 ：委( c r o 例n 生) 怕。( 3 - 4 0 ) q 。2 舌p o 十脚n 杀卜气a 盯，。= 一了2 3 一+ d i n r p 2 。) + 盯。 ( 3 4 1 ) 率 蝴上妒 面 = 别 刹 妙分 示 率 表 缩 来 收 率 边 悼 内 延 和 过 边 通 外 以 的 可 时 ， 曲 时 弯 伸 此 拉 因 第三章 堡塑望垡皇堕塑堂堡堡 一 单元的平衡方程仍可用( 3 3 ) 表示，得 =：盯0+olnn,do3。) 鲁 ( 3 - 4 2 ) 5 ：i 瞄q 动 积分后得 民： 竺+ d f l n r ，坐，72 素( c r o j i 彻j m 0 0 百- - - y = 去c 甜妒c a 。， 根据自由表面的条件，得积分常数 一万2 ( 引蚶詈1 1 1 2 ( 3 - 4 4 ) 代叫( 3 - 4 3 ) ，得径向应力表达式 = 一去t n 鲁+ 罢c t n - 风r a _ b 一- n 2 去， c 。q s ， 和切向应力 = 万2 【引- 一- n r b + 詈( 2 1 n 瓦g b - l n 2 p r a 。_ b + l n - r 风y ) ( 3 - 4 6 ) 在平面应变条件下宽度方向的横向应力等于其他两个主应力之和的一半，即 = 击c ；一n 惫，+ 罢c h 瓦r b t n 2 瓦r b + n 2 去，c s a ， 类似地，由内区的单元平衡方程得 峨一扣圳n 务鲁 a s ， 积分后得 = 一去c j 鲁一。，n 瓦r y d r y 一击( 叫卟扣c a 9 ) 一君p 舭r 一手m 2 署卜。 。4 引 由自由表面应力边界条件得 一去- n 卺+ 詈c 心去- i n 生p o ， c 。- s o ， c r 3 a 一意p o l n i + 亏( i n 2 意 二) 】 3 。5 一一笙三童 堡塑望竺竺塑墼兰堡笙 _ _ - _ - _ 一一 = 一去( + ，n i rv 卜i d ( z n 磊r y 一，n 风r a + n 2 去) 】( 。吲) 和 吒一去hc ；+ - n 乏，一i dc ，n 鲁一t n 2 等+ tn - 风r l y c 。锄， 3 2 2 中性层半径 应力中性层根据横剖面上所有正向力之总和等于零，求得 f = e 盯d r ，= i ；no ；。d r ，+ 丘d r ，= o ( 3 - 5 3 ) 将切向应力代入，得 鱼l n 墼+ l n 堕l n r b r a ：o ( 3 5 4 ) d p zr ，p i 用应力中性层相对半径p 可表示为 p = 瓜( 萼) “ ( 3 _ 5 5 ) 式中n ：旦1 n 垒 2 盯o0 对( 3 5 4 ) 加以分析可以看出，每项的前一个因子都是正值，因此只有两项的 后一个因子中有一个是负值时方程才能成立即是说，只要分母p 2 或露有一个 大于r 。r 。时，就可以满足根据弯曲时中性层内移的普遍现象，总是应力中性层 曲率半径p 小于应变中性层曲率半径p 。，即p - r 6 r a 和 p , r 6 r 。 因此可以得出结论：在三维纯塑性弯曲中，应变硬化效应使应力中性层更靠 近曲率中心也可以这样解释，在弯曲中外边长，内边短，因此内区的应变相对 得说总比外区大些，因此中性层必须内移，才能保持平衡有应变硬化时，这种 现象必然表现得更强烈由于受拉的外区增大，受压的内区缩小，即变薄量大于 变厚量，因而厚度减小在有应变硬化时，这一现象也更加显著 由于求应变中性层半径的( 3 1 7 ) 与求外边半径的( 3 2 9 ) 所根据的条件对于 有应变硬化的弯曲仍然是适用的，故该两式对有应变硬化的弯曲仍保留原来的形 式 3 2 3 弯矩 弯矩可按内外力的力矩平衡条件确定 m = m b + m ，= b 。b ry d r ，+ b i ：oc r l d r y d ry ( 3 - 5 6 ) 第三章板的塑性弯曲数学理论 将切应力公式代入并积分得 m 争。c 学n 。c 半2 2 z n 晤一华州。瑚， 将上式用相对半径表示为 m = 去和詈埘椭序一孚，伊s s ， 3 3 回弹 以上所描述的塑性弯曲过程为加载过程，而卸去载荷的过程( 即弯矩由m 减 少为零) 为弹性变形过程当载荷卸去后，变形体的体积和形状得到了部分恢复， 这种现象称为回弹或回跳回弹量的大小可以由反弯矩作用下的弹性恢复应力 和弹性变形来确定弹性恢复应力与塑性弯曲终了时应力的代数和，即为残余应 力 对于梁的纯弯曲，在弹性理论中一般可以不考虑径向应力的作用，因其对切 向应变和应力大小的影响不大对回弹时所涉及的弹性变形问题，我们也引用这 个条件因此，回弹时的切向应变一般可表示为( 图3 4 ) ( r ，p 1 ) a a p = o 一 r a 式中p ，为梁弹性弯曲时的中性层半径弹性应变与弹性应力由h o o k e 定律 e = 盯e 联系，有 占。p 1 ) a a 盯= 。一 r y 口 ( 3 - 5 9 ) ( 3 - 6 0 ) 利用作用于剖面上所有正应力总和为零的条件，即可确定回弹时矩形剖面的中性 层半径即 y f = b 譬o d r , = a a 口e b 。 凡r 掣呱= 。 得 旷警2 壶 r 。r 。 回弹角可以根据内外力的力矩平衡条件确定设m 为外加力矩 m = 6 r 积，积， 将( 3 - 6 0 ) 代入得 m = e b 。a c ti r 。6 ( r ，一p 。) d r ， ( 3 - 6 1 ) ( 3 6 2 ) ( 3 6 3 ) ( 3 - 6 4 ) 第三章板的塑性弯曲数学理论 积分后得 肘：墨丝 墼2 2 p ( r 。一r 。) = e b t a a ( r 。一n ) ( 3 - 6 5 ) 口2口 式中r 。= ( j r 。+ r 。) 2 ，是梁的平均半径由上式得回弹角的表达式为 口= m 瑾 e b t ( r 。一p 1 ) 板回弹后的半径，可由内边的应变方程表示 a a ( p i r 。) = 口o r o 。一础。 将口= 口。十a a 代入得 ( 3 - 6 6 ) ( 3 - 6 7 ) r 旷r a + i p l ( 3 - 6 8 ) 将口值代入上式得 只“2 尺。+ z 否瓦页：m 二r i i 而 ( 3 6 9 ) 当弯曲半径很大时，可设岛= r m 由于y 值与月。相比较也可以忽略，令 r ，= 如+ y z 以，这样( 3 6 0 ) 化为