（岩土工程专业论文）半球形沉积谷场地土对瑞雷波三维散射问题的研究.pdf

北京交通大学硕士学位论文 摘要 从大量震害调查中已经发现，复杂的局部场地条件，即地形与地 质的不均匀，对抗震不利。尤其在沉积谷场地中由于沉积盆地的聚焦 放大作用，沉积谷附近的地震动比均匀平坦场地要大得多。而最为典 型的例子当属1 9 8 5 年的墨西哥地震。此次地震中造成巨大震害的原因 就是r a y l e i g h 波入射时墨西哥盆地内聚焦放大作用造成的。本文针对 这一问题，基于弹性动力学和b i o t 饱和多孔介质动力学理论，得到2 种解析解，并进行了不同影响因素的分析研究。具体成果如下： 1 把半球形沉积谷和周围半空间场地分别用具有不同弹性模量和不 同半径的球坐标描述，利用f o u r i e r b e s s e l 级数展开法，在频域 内给出了半空间中半球形沉积谷场地在平面r a y l e i g h 波入射下三维 散射问题的解析解，并利用这一解析解计算分析了入射波频率，场 地软硬对场地内地表位移幅值的影响； 2 用b i o t 饱和多孔介质动力学理论模拟半球形两相饱和土沉积谷， 用单相介质弹性动力学理论模拟周围半空间场地，同样利用f o u r i e r b e s s e l 级数展开法，给出了半球形饱和土沉积谷场地在平面 r a y l e i g h 波入射下三维散射问题的解析解，并利用这一解析解计算 分析了入射波频率、场地特征对地表位移幅值的影响，并与已有的 三维半球形沉积谷场地在单相介质中的散射问题进行了对比分析。 通过对这两种复杂局部场地条件下r a y l e i g h 波的研究分析，本文得 到了一些对工程实践很有指导意义的结论。 关键词：半球形沉积谷b i o t 饱和多孔介质动力学理论三维散射 解析解r a y l e 噜h 波 北京交通大学硕士学位论文 m 蛐ys e i s m i cr c c o r d s 蛐dt h c o r e t i c a l 锄a l y s i si n 凼c a t et h a ti n b g i l l a rs u f f a c c 忡p h y柚dg c o i o 酉c a j c o n d i t i o n s m a y h a v e s i 俨谢c 柚te 疵c t 皿t h e 锄p ：衄c a d o n0 fs e i s m i cg 哪dm o t i 叩 删 g e n e 陆 c 0 哪t r a t e dd 删g et o b u n d i n g 柚do t h 盯c i v ne n g i 北e 血gs t n l c n i 黼e s p e d a l l yi nt h ea l l u v 湖v a e y s ，t h e e a n h q u a k em o t i o no ft h es 蚍w h e 砖t h ee a n h q u a k ed i s 够t e ri sm o 比v e 坤i sl a f 萨 t h 弛t h e f l a tq rr c g l l l a rs 蚍a t 蹭i c a le x a m p k f o r t h c 即1 0 9 i c a lc o n d i 虹。鹪i s 岫 c a r t h q u a k ei nm c x j c 0c i t ，i n 、柚j c ht h em i n r e a s o nf o r t h eg 陀a td 锄a g e si st h a tt h e i n c i d e mr a y l e i g hw a v e u dt h ea m p l 墒c a t i o no fs e i s m i c 掣d u n dm o 廿o nb yt h e m e x i c o v a l l e y 1 1 l i sp a p e fw i i ld i s c u s s 呐ot y p eo fi r r e g l l l 盯g r o 岫d n d i 曲n s f i r s t l y ，t h eh e m i s p h e r i c a lv a l l e yi s 伽p 0 do f 叩e p h a s o n ，衄db o t ht h e d c p o s “蛆dt b eh a l fs p a a 把s i m i i l a t e db y e 1 船n cs i n g l e - p h a 辩m e d i a t h e 而删p 卜成獬“s c i i e se x p a 粥i o nt e 虻h n i q u ei su s e dt 0g e tt h e 粕a l y t i cs o l u t i o n 拍e 瑚u i 乜0 f s u r f a d i s p l a c e m e n t 鲫叩l i t u d e sa f cp r c s e n t c d a n dt h ee 雠e c t so f 五呛q m n c y a n dt h ep r o p e r t yo ft h e 且c yo t h e 眦f f a d i s p l a 脚t 锄p ：陆d e sa 碍d i s 伽s d s e c o n d l y ， t h et h r e e _ d i i n e 地i o n a l s n e i i n g 粕dd i 曲a 一咖o f p l a n e r a y l e 蛐硼v e sb ya 鞠t i l m t e d h e m i s p h e i i c a la l l u v i a lv a n e yi ss t i l m e di nt h i sp a p e r t h ev a l l e y j ss j m u j 咖db yb i o id ) ，n a n l i c l h e o f y 如fs a 岫t e dp o f o u s m e d i a ，柚d 山e h a l fs p a i sa 鼯u m c dt ob ea nc l 舔虹cs i l l 2 她- p h 嬲em e d i a t h ef b “啦r - f ，e 鼬e f r i e s e x p a 璐i t 洲q u e i sa 1 ：u d h e m t og e t t h e 衄a l y t i c l l i 吐。璐0 n t h e b a 辩o f t h c s o l u t i m 屿山es 盯f a d i s p h 舢ta m 邮t i l d e sa md i s s d ，a n dt b ee 插e c 虹o f i n c i d c n tw a v 髂h 弓q u 曲c y 柚dt h ef b a t l i r co fd e p o s i to nt h es m f a c ed i s p l 们黜n t a m p l i t u d e sa r es h i d i e d ，t o o t h f o l l g ht h e s t u d i e s t h i sp a p e rg e t sas e f i e so fu f u l f e s u l s 彻t h eb a o ft h c 柚a l y d c a | l u d 彻sm e n t i o n e da b o v c a n dm ei n v 鼯吐g a d o no n t b e 越t i l r c 粕dt h ep h y s i c a lm c c h a n i s m0 f e a n h q 帆k cm o 咖s0 fl h e1 0 c a li f f c 鲫l 盯s i t e ， t h en 呲i i l 删t sw 盯eg i 啪t 0i l l 璐t r a t et h a tt h e 母o u d dm o t i 0 璐0 fl h e h e n i i s p h e r i c a iv a e y to n l yd e p e n d t h ed i i m n s 浏e 鼹饥q u 朋c yo ft h ei n c i d e n t w a v c s ，b u ta i d e p e n do np f o p e r t yo ft h e nd e p i t s a tt h cs a n 地幽e ，w ec o 唧a i e t h ea b em 乩山s 砌t h ee x i g t e n t 咖d u s i 衄sa b o u tt h es c a 协b i i l l g 舡i dd i 缶a c 妇o n i h ei m g l l 重盯柚d i n p l e x1 0 c a ls i t c k e yt o r d s ：ah e m i s p h e r i c a lv a l l e y ，h u i ds a t l l r a t e dp o r 0 璐m e d i u m ，c o m p l e x1 0 c a l s i 把， t h f e e - d i m e s i o a ls c a t t e r i g柚dd i m a c i o n ，a n a l y t i c a ll u t j o ， r a y l e i g h _ w a v e s i i 北京交通人学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 我国幅员辽阔，地形复杂多变，局部场地条件也较为普遍。 伴随着我国经济建设的迅速发展，将会有大量的桥梁、管道、公 路等建设工程项目。由于我国从东到西的广大地区地质和地形条 件变化复杂，且很多地区位于高烈度地震区，建设项目难以避免 复杂场地的影响。因此对于这种复杂场地对地震波的放大作用及 其地震反应分析一直受地震工程和岩土地震工程界瞩目。本文将 对r a y l e i 曲波入射的情况进行一些研究。 场地地震反应问题是地震工程学中重要问题之一，主要是研 究局部场地条件对各种地震波传播的影响。所谓的复杂的局部场 地条件主要考虑以下两个方面：首先是局部场地地形的影响：其次 局部地质构造变化的影响( 它包括竖向变化与水平向变化) 。如 存在沉积谷、地下孔洞和土介质分层等情况。对实际震害的研究 表明，地形和地的不均匀性对地震波的传播影响很大，通常会引 起地面运动的放大和缩小，以及震害分布区域化，因此对建筑物 的抗震很不利。墨西哥城就曾于1 9 8 5 年由于复杂局部场地条件的 影响而遭受巨大震害损失。1 9 8 5 年9 月1 9 日在距墨谣哥城4 0 0 公里 以外的墨指根洲的海岸发生里氏8 1 级的地震，2 1 日又发生里氏 7 5 级强烈余震，两次地震给震中地区造成了中等程度的震害，但 却给位于软粘土沉积盆地上的墨西哥城造成了严重的震害和巨大 北京交通大学硕士学位论文 的经济损失。其震害程度不仅极大地超过周围地区，而且比震 中区还严重。对于这次地震的研究表明，盆底鸡眼的地震动被放 大了6 倍甚至更多，地震波在三维盆地内的聚集放大效应是造成灾 害严重的根本原因”1 。1 9 9 4 年的n o r t h “d g e 地震中，s a n t a m o n i c a 地区的地震烈度达到9 度，于震中附近烈度相同，烈度异常 的原因在于l o sa n g e l e s 盆地边界效应的影响0 1 。1 9 9 5 年的阪神地 震和随后的1 9 9 5 年土耳其地震、1 9 9 9 年的雅典地震等多次地震中 均出现沉积盆地效应对地震动的显著放大问题并造成严重震害。 1 9 8 8 年云南澜沧一耿马地震( 孙平善，陈达生等，1 9 8 9 ) 中， 处于柔软沉积盆地中的房屋建筑震害普遍严重。此盆地中的烈度 比盆地周围地区的烈度高2 度左右。1 9 7 6 年唐山地震( 佟恩宠等， 1 9 8 4 ) 中，在盆地地区出现了许多震害异常区，这些盆地地区的 震害分布特点是从盆地边缘到盆地中心房屋倒塌率高，并在盆地 中心形成了一个震害异常区。实测地震记录和理论分析都表明， 震害较重的场地，多为复杂局部场地，其地震动比平坦场地大。 这说明复杂局部场地条件对地震动的影响不容忽视。 因此，研究复杂场地条件下的地震反应一方面是为已发生地震 的地面运动的局部放大或缩小以及空间变化等做出理论上的解 释，另一方面是对将来地震发生时地面运动特征进行预测，以便 给地震小区化等工作提供理论依据，为今后的地震防治工作提供 更加科学的保障。由此可见，无论从理论分析或从工程应用上来 说，复杂局部场地动力反应的求解都是一项重要的研究课题。 1 2 国内外研究现状 北京交通大学硕士学位论文 对于局部不规则地形、地质对地震的影响一直是地震工程研究 的一个重要课题，迄今为止，国内外学者就此问题进行了大量的 科学研究，并取得了巨大成果：建立了可用于一些实际场地和地 形分析的数学模型以及分析局部地形和地质构造对地震动的影响 的方法。极大地推动了复杂场地地震动的研究工作。 1 2 1 理论分析方法 复杂局部场地或不均匀场地对地震波传播得影响问题的分析 方法总体上分为两大类：理论分析方法和模型试验方法。理论分 析方法也可以称为数学方法，它通过对描述问题机理的数学模型 的计算分析来研究问题。而模型试验方法是一种物理方法，它通 过对物理模型的试验分析来研究问题。这里重点介绍理论分析方 法。 理论分析方法可以分为解析方法和数值方法。其中理论分析法 包括有限差分法、有限单元法、边界积分法和离散波函数法等。 原则上讲，数值法可以适用于各种形状的不规则场地。关于场地 数值解法很多，这里不一一赘述。 原则上讲数值解法可以解决各种复杂场地的动力响应问题， 可以用以各种复杂场地条件，但是解析解法在分析问题的本质和 和影响因素等方面有着数值法难以比拟的作用，而且解析解法还 可以用来校验数值法的精度和收敛性。因此，为了建立更有效、 更直观的分析方法而将解析解法和数值解法结合起来的发展趋势 是值得提倡的。 1 2 2 现存解析法研究成果 北京交通大学硕士学位论文 解析方法研究波传播问题很早以前就出现了，它包括分类变量法，积 分变换法、复变函数法、波函数展开法等。它适用于研究均匀、线弹性小变 形介质中的波传播问题。对于非均匀介质内波动问题的研究，由于实际的介 质力学模型比较复杂性，很难用解析方法进行分析研究。不规则地形和地质 构造对地震波的散射问题可以查到的解析解有：平面s h 波入射下二维半圆 形凹陷场地( 1 h f l m a c ，1 9 7 3 ) 和平面s h 波入射下二维半圆形沉积河谷场 地( 恤n ，1 9 7 1 ) 、平面s h 波入射下二维半椭圆形凹陷场地( w b n g 和 t r i f l l i l a c ，1 9 7 4 a ) 和平面s h 波入射下二维半椭圆形沉积河谷场地( w b n g 和m a c ，1 9 7 4 b ) ，平面s h 波入射下二维圆弧形凹陷场地( y u 和u ， 1 9 9 5 ) 和平面s h 波入射下二维圆弧形沉积河谷场地( t 0 d o m v s k a 和k e ， 1 9 9 1 ) ：平面p 波入射下二维圆弧形凹陷场地( c a o 和k e ，1 9 9 0 ) ，平面s v 波入射下二维圆弧形凹谷场地( k e 和c ，1 9 8 9 ) ，平面r a y l e i g h 波入射 下二维圆弧形凹陷场地( 1 b d o r o v s k a 和k e ，1 9 9 0 ) ，圆弧形沉积河谷场地 在平面p 波入射下的响应( 梁建文等，2 0 0 h ) 。圆弧形层状沉积河谷地对入 射平面p 波的散射解析解( 梁建文等，2 0 0 1 b ) ：三维半球形凹陷场地( k e ， 1 9 8 2 ) 和三维半球形沉积谷( k e ，1 9 8 4 ) 对s h ，s v 和p 波入射时的散射 解析解。饱和土沉积谷场地对平面p 波的散射( 李伟华，赵成刚2 0 0 3 ) ， 圆弧形凹陷饱和土场地对平面p 波散射问题的解答( 李伟华，赵成刚2 0 0 2 ) ， 饱和土半空间中圆柱形孔洞对平面p 波的散射( 李伟华，赵成刚2 0 0 4 ) ，饱 和土沉积谷场地对平面s p 波的散射问题的解析解( 李伟华，赵成刚2 0 0 4 ) ， 三维半球形凹陷饱和土场地对平面p 波散射问题的解析解( 董俊，赵成刚 2 0 0 5 ) ，半球形凹陷饱和土半空间对平面s v 波三维散射问题的解析解( 董 俊，赵成刚2 0 0 5 ) 。 1 2 3 理论分析模型 实际的工程场地地质条件极为复杂，全面了解一个特定场地的 地质构造本身就是一项非常困难的工作，即使得到了介质的分布、 边界条件和材料性质等地质细部构造，在理论分析中也难以通盘 北京交通大学硕士学位论文 考虑。因而在实际分析计算中通常将复杂局部场地结构用简化的 力学模型代替。在目前的地震工程研究中常采用以下三种力学模 型： l 局部地形模型 局部地形模型是复杂场地对地震动影响问题中采用的一种最 简单的模型。它仅考虑一种介质局部边界几何形状的变化对地震 动的影响。 2 局部地下地质构造模型 局部地下地质构造模型可以考虑两种或两种以上介质之间的 相互作用，常见的是弹性半空间上局部覆盖长度有限的单层或多 层软弱沉积层。这是一种常见的地下场地情况。因此，人们非常 注意这种类型场地条件对地震动的影响。 3 复杂地质构造模型 由于实际工程场地地质条件相当复杂，局部地形与局部地下 地质构造往往同时存在，并且相互影响。随着计算方法的发展和 完善，越来越多的研究者采用复杂的地质构造模型来研究它们对 地震动的影响。 目前来看，大多数地震波影响的研究中多数均采用局部地形 模型，而实际情况下场地土多为两相或者三相介质组成的复杂介 质。因此把软土沉积盆地简化为单一介质是不够科学合理的。因 此，本文采用局部地下地质构造模型和复杂地质构造模型来研究 地震波的影响，力求使模拟结果更加符合实际。 1 3 本论文的研究目标 目前，用弹性动力学理论和两相饱和多孔介质b i o t ( 1 9 5 6 ) 动 北京交通大学硕士学位论文 力方程分析复杂的局部场地或局部不规则场地问题大多只限于p 波和s v 波，对瑞雷波入射到较为复杂场地情况的三维分析研究还 很少见，本论文将首次给出基于b i o t 动力方程和弹性动力学理论 的r a y l e i g h 波入射复杂局部场地的一些三维散射解析解。 1 3 1 复杂局部场地r a y l e i g h 波入射的三维散射问题的解析解 本文将在b i o t 饱和多孔介质动力学理论和弹性动力学理论的 基础上，利用f o u r i e r - b e s s e l 级数展开法，得到下列各种情况下 r a y l e i g h 波散射问题的解析解：( 1 ) 半球形单项介质沉积谷场地 对平面r a y l e i g h 波的三维散射解析解；( 2 ) 半球形饱和土沉积谷 场地对平面r a y l e i g h 波的三维散射。 1 3 2 含饱和土的复杂局部场地地震动的影响因素研究 在解析解的基础上，给出数值解算例，从研究具有沉积层的复 杂局部场地的地震动特性的本质和物理机制的入手，定性和定量 地研究入射波的频率、沉积层的材料性质等因素对复杂的局部场 地或局部不规则场地地震动特性的影响。找出影响复杂局部场地 条件地震响应的主要因素。 1 4 本文研究内容 平面r a y l e i g h 波入射三维半球形的沉积谷地解析解的研究目 前国内外尚无人给出研究成果。本文将在此方面有所突破。此外， 本文在解析解的基础上进一步运用数值方法给出了在入射条件和 场地条件对地表震动的影响的具体算例，并且与现存的半球形沉 积谷场地对平面p 、s v 波等的散射问题解析解、同样地形条件下 北京交通大学硕士学位论文 单项介质沉积谷对r a y l e i 酿波入射的解析解进行了对比研究，从 而定性的分析出了平面r a y l e i 卧波入射三维半球形的沉积谷地的 独特地震动分布特征。 北京交通大学硕士学位论文 第二章饱和土中弹性波的基本理论 及波函数展开方法 2 1 o t 两相饱和多孔动力学理论 1 9 5 6 年b i o t 建立了的流体饱和多孔介质的动力方程，为之后 的有关流体饱和多孔介质的波动理论的研究奠定了理论基础。 b i o t 理论的实质是将连续介质力学应用于流体饱和多孔介质这一 两相材料体系，并分别考虑了流体和固体骨架的应力应变关系及 其运动。根据b i o t 理论，流体饱和多孔介质在动荷载扰动下，会 产生三种波：两种压缩波( 第一压缩波p 。波和第二压缩波p 。波) 和一种剪切波，这三种波都是考虑了固相和液相的耦合运动。 在b i o t 的理论中，第一压缩波和剪切波与单相弹性介质的压 缩波和剪切波类似，能量耗散小，波幅几乎没有衰减，在离扰动 源很远的地方仍能观测到；与之相反，第二压缩波固相与液相异 相运动，为耗散型波，波幅衰减快，只有在扰动源附近或不均匀 界面散射时的界面附近才能观测到。p 1 0 n a ( 1 9 8 0 ) 通过试验验证 了第二压缩波的存在，从而证明了b j o t 动力理论的科学与合理性。 继b i o t 之后，国内外许多学者从不同角度对该问题进行过研 究( 详见赵成刚，1 9 9 8 ) ，些学者还采用基于热力学公理的混合 物理论来研究流体饱和多孔介质中的波( h s i e h 和y e w ，1 9 7 3 ； b o w e n ，1 9 7 8 ；p r e v o s t ，1 9 8 0 等) ，给出了与b i o t 理论一致的的 动力方程( m e i 和f o c a ，1 9 8 1 ；李亮和赵成刚，2 0 0 3 ) ，实际上所 有的这些研究都在一定程度上证实了b i o t 理论的正确性，并促进 了它的应用。目前b i o t 理论已被广泛的应用于分析流体饱和多孔 介质中波的传播、透射与反射以及动力分析等问题。本文的研究 亦是以此理论为基础展开的。 2 2 波动方程 为了建立流体饱和多孔介质方程，b i o t 两相饱和多孔动力学 理论假定： ( 1 ) 土骨架是理想弹性多孔连续介质，土颗粒可压缩 ( 2 ) 孔隙水可压缩，在土中流动服从广义d a r c y ( 达西) 定律 北京交通人学硕士学位论文 ( 3 ) 土体具有统计各向同性且均匀，其孔隙相互连通 ( 4 ) 孔隙尺寸远小于波长： ( 5 ) 不计温度等因素影响。 根据上述假定及应力应变关系，流体饱和多孔介质的动力平衡 方程可以表示为： 胛2 “+ v + k + 州- ( n - 軎+ n ：害) + 。瞄警) c a ， 咄协】，卜軎呐：害m 詈一詈) c ，b ， 式中和分别为固体骨架和孔隙水的位移：e 折0 ) 和 s 。柳似) 分别为固体骨架和孔隙流体的体积应变；n ，( 1 一一) 几+ 几， p 一p ，+ “和p 1 2 一儿为动力质量系数，其中凡和p ，分别为固体 骨架和孔隙流体的质量密度，p d 为描述流固两相耦合的附加质量 密度，一为两相介质的孔隙率；6 为与渗流有关的系数，6 一胛2 肚( _ 为流体的绝对粘度，n 为孔隙率，丘为渗透系数) 。 由于介质具有统计各向同性，压缩波和剪切波是不耦合的，他 们遵循独立的传播方程。由斯托克斯( s t o k e s ) 一亥姆霍兹 ( h e l l i i h 0 1 t z ) 矢量分解定理为：任何_ 个足够平滑的矢量场可以 分解为无旋场和无散场两部分。由此固体骨架和孔隙流体的位移 矢量可以分解为： “= g r a d 妒+ c u r l 妒 = g r a d h + c u r l g ( 2 a ) ( 2 b ) 式中和妒分别为固体骨架部分的标量势函数和矢量势函数；巾和 平分别为流体部分的标量势函数和矢量势函数。 将( 2 ) 代入( 1 ) 可以得到 3 l e 中 一 一 p 酗 。一甜。一酏 占 6 + 一 知一护南一舻 m 他 + + 塑护咖 m 舶 9 i _ m m v v q 足 + + 庐 妒 可 v p q 卣波 p 寸 镕 北京交通大学硕士学位论文 郴潲：陋誊彝：二_ 假设波的势函数具有简谐时间变量，各势函数可以表示为 驴皇驴b ，y ，z k 一研，中中g ，y ，z k 一研， 妒= 妒g ，。一“，一v k y ，：k 一“ 将( 5 ) 代入( 3 ) 得： 对土骨架： 一v 4 驴+ 2 曰v 2 妒+ n ，4 c v 妒= o ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 此处，一l 声曰一q 2 ，占一p n 詹+ p 2 2 尸一2 p 1 2 口，c - p n 户2 2 一p 三；p ， + 2 p ， 、为拉梅动力常数。 则方程( 6 ) 可写为： ( v 2 + i 三协一o ( 户1 ，2 ) 此时p 波的波数： k ，一( 户1 ，2 ) 4 j 瞰的撼- 后磊( ：，= l 2 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) 考虑到两类p 波的存在，方程( 7 ) 的解表示为： 驴= 卉+ 屯( 1 0 ) 对于液相的位势写为： 日一日1 + 2 - ，1 丸+ ，2 如 此处有： 俨笔涝c 胤z ， ， 北京交通大学硕士学位论文 j 司样万法对s 坡，将( 5 ) 代八( 4 ) 得： 对壬骨架：( v 2 + i ；渺_ o( 1 3 ) 式中知一嚣户1 ，2 ) 为s 波波数，且唯一户字为s 波波速。 同理，可以得到流体部分s 波的势函数：g ，加 此处的液相参与系数，3 _ 一老。 2 3 动力质量系数 一 为确定b i o t 动力方程中的质量参数，b e r r y m a n ( 1 9 8 0 ) 提出 如下关系 n l 。( 1 一n x 风+ z r p ，) p 2 2 。n f d p ， ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中：。p ，是由于固体颗粒在流体中振动而产生的质量；k 为弯曲 系数( t o r u o s i t yp a r a i n e t e r ) 。f ，的值可以通过在流体中运动的固 体骨架的微观模型来计算，对球形固体颗粒f ，；o 5 。由此可得到： n l 一( 1 一n ) 岛+ n 也一1 ) 所 n 2 - m 魄一1 ) p ， b 1 + 。( 三兰) n 2 4 材料常数的极限情况以及波动方程的简化 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 如果介质是纯流体，此时口= 1 ，在胆驴o ，胆k ，p 。2 p 1 2 = o ， p ：2 p ，方程( 1 ) 简化为小位移假定下的流体动力方程 咖出叫】唧砉， 如果介质是纯固体，此时，f o ，驴忙0 ， 方程( 1 ) 简化为单相弹性固体的波动方程 ( 1 9 ) p l l = p ，p 1 2 = p 2 2 = o ， 北京交通大学硕士学位论文 即+ ) 舯出i 。】+ 胛2 。，几乓。 甜 ( 2 0 ) 在利用b i o t 动力理论进行土动力学研究时，通常假定土颗粒是不 可压缩的，即墨一m ，此时 n = # 。 爿一昙几) + 坐上k f 舢一亏心) + ! 巧 r 。n k f 口一( 1 一一脚 2 5 应力应变关系 b i o t 模型中，土颗粒和孔隙水均为可压缩的， 分的应力一应变关系分别为如下形式： 1 2 p f 。+ d 口o e + q f ) 盯- q 口+ 月s 式中s 口= “+ r ) 2 为土骨架应变。 2 6b i o t 理论的有效性 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 固体、液体部 ( 2 5 ) b i o t 两相饱和多孔介质理论是以连续介质力学理论为基础， 假定材料是线弹性的。然而，由于多孔材料的固体颗粒和孔隙之 间是不连续的，所以连续介质力学的宏观规律往往是不适用的。 例如，当入射波长小到可以“感觉到”孔隙的存在时，就会在孔 隙表面形成散射，这样，b i o t 理论就不适用了。孔隙流体服从广 义d a r c y 定律，这是b i o t 理论的又一个假定：如果入射波频率高 于某一频率，r 时，流体在孔隙中的相对运动不属于p o i s e u i l l e 型 流动。b i o t ( 1 9 5 6 ) 指出这一频率与流体的运动粘滞系数和孔隙 的大小有关 f t l 寺 ( 2 6 ) 式中d 为孔隙直径；r 为孔隙流体的动粘滞度。当孔隙流体是水时 f 1 3 l o 一6 m 2 s ，当庐1 0 m 时，f = 1 0 4 h z ：当出2 l o m m 时， 工2 2 5 h z 。 北京交通大学硕士学位论文 2 7 球坐标系下波函数的展开 本文在三维局部不规则场地条件下采用了球坐标系。在球坐 标系下关于时间和空间的波函数为f ( r ，口，) ，波方程为： c 2 v 2 f d 2 f 珊2 ；0 在球坐标下的表达形式为 ( 2 7 ) r2 軎( r 2 詈) + 7 击嘉( 血一詈) + 7 击窘一砉害一。c z s ， 由于我们在任意时刻的波动函数展为f o u r i e r 级数的谐波形式， 因此这里可以直接研究谐波解： ，( ，8 ，妒) - ，( r ，口，妒) e 一耐 ( 2 9 ) 这里j - j ，m 地震波的圆频率，而，( ，口，) 满足h e l m o l t z 方程： ( 3 0 ) 这里的女为波数，t m ，c ，对方程( 2 9 ) 分离变量有： ，( ，口，) 一，1 ( ，) ，2 p ) ，3 ( ) ( 3 1 ) 此时，l ，2 ，3 满足一下等式： * 甜陋p 2 ) ，1 - 。 击钟a 甜卜刍) ，2 l o 警玎，3 = o ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 由( 3 4 ) 式可以看出，3 ( ) 必须是以h 为周期的函数，故而要 求系数目= m 是个整数。令p2 = v ( 1 + v x 肛= c o s 口，则( 3 3 ) 变为： z 一等嘶川一鲁胁。 ( 3 5 ) 北京交通大学硕士学位论文 该方程为连带的勒得让方程，其解为舻缸l 钟( p ) ，考虑到方程解 的完整性，在p 一1 和一1 时( 即日= 0 ，z ) ，必须有v n ，n 为整数，且秽“) 为单值的。而方程( 3 2 ) 可以化为： ，2 軎+ 扫争晒2 坷枷_ ，l = o ( 3 6 ) 这是一个球b e s s e l 函数：z ：睁l f 一1 ，2 3 4 ，分别表示四类球b e s s e l 函数和h a n k l e 函数： z 乳r ) - y ( 打) - ( 去) “2 一+ ( t ，) z ：3 ( 七，) - “曩t ，) - ( 寺) ”日：兢( t r ) z h t r ) - ：2 ( t ，) 一( 击) 1 7 2 日现( t ，) 3 7 其中 o ) 、只0 ) 和吃1 o ) 、丸2 o ) 分别为第一类、第二类球b e s s e l 函数和第一类、第二类球h a l l l c e i 函数， ( 功、k 和以1 ( 功、巩2 o ) 分别为第一类、第二类b s e l 函数和第一类、第二类h a n k e l 函数，t 为波 数。 最后，由以上分量的解可得到方程( 1 9 ) 的一个谐波解为： z ：( 七r ) 只，( f ) ：等小妒c x p ( 一f f ) ( 3 8 ) 此处f 。1 2 ，3 ，4 ，m o l 2 ，3 且有m h 。 本文就是利用求坐标系下的波动方程谐波解的叠加来模拟复杂局 部场地中的各种地震波势函数分量的。 北京交通大学硕士学位论文 第三章r a y l e i 曲波简介及本文对 r a y l e i 曲波的处理方法 3 1r a y l e i g h 波简介 r a y l e i g h 波一种常见的界面弹性波，是沿半无限弹性介质自 由表面传播的偏振波。由r a y l e i 曲于1 8 8 7 年首先指出其存在 而得名，地震学中称其为r 波或l 波。 r a y l e i g h 波在表层附近，质点的运动轨迹为椭圆：在离表面 为o 2 个波长的深度以下，其运动轨迹仍为椭圆，但运动方向与 表层相反。在自由表面上，质点沿表面法向的位移约为切向 的1 5 倍。r a y l e i 曲波的波速与频率无关，只与介质的弹性常 数有关，为同介质中横波波速的0 8 6 2 o 9 5 5 倍。在震中附近， 不出现r a y l e i g h 波。从震源射出的纵波在离震源距离 为c 。 c ；一c ；后才形成r a y l e i g h 波；由震源射出的横波在离震源 距离为c 。 c ；一c ；后才形成r a y l e i g h 波。其中c 。为瑞利波波速； 由为震源深度；c 1 、c 2 分别为纵波和横波波速。r a y l e i g h 波沿 二维自由表面扩展，在距波源较远处，其摧毁力比沿空间各方向 扩展的纵波和横波大得多，因而它是地震学中的主要研究对象。 3 2 入射r a y l e i g h 波分析 设入射波为平面r a y l e i 曲波沿x 轴方向从半空间表面入射， 其频率为。，可以看作由p 波、s v 波两部分组成，在x z 平面内 波势函数可以表示为： 妒( z ，：) 1 4 e x p 【( 洼r 工一心z ) 一j t 】 妒( x ，z ) = 皿e x p ( 北一一h ：) 一f “ ( 1 ) ( 2 ) 其波长为k 。抽k ，一2 c 一为r a y l e i g h 波波数，i 表示虚数 t 为时间坐标，这里 匕一詹乏舻后巧 ( 3 ) 式中k ，口分别为入射r a y l e i 曲波中p 波、s v 波部分的波数 北京交通大学硕士学位论文 在下面的分析中略去时间因子e x p ( 一i c ot ) ，相应其波是函数 可简化为： ( x ，z ) - 4e x p 一一叱= ) 】 妒o ，z ) 鼠e l p ( 谴2 x 一屹孑) 】 ( 4 ) r a y l e i g h 波为表面波，其自身满足应力边界条件，因此在半 空间表面没有反射波产生。 下： 在直角坐标系( x ，y ) 下，以波势函数表达的应力求解公式如 吒- 嘶脚磐一袅州：塞+ 警一鲁， 由半空间表面上2 q ：，可得以下关系式： 耻鬻4k = 厚一o s ，嘞 此外，r a y l e i 曲方程为： c z - 分悸再 ( 7 ) 其中靠、。，分别表示r a y l e i g h 波及其s 波、p 波的波速。 一般情形下q 与泊松比y 有关，此处设泊松比为：r - o ，由 以上r a y l e i g h 方程可得： ”厅n ， 在弹性半空间中，直角坐标系下r a y l e i g h 波势函数( 4 ) 在 球坐标系下可以按第二章方法展开成如下f o u r i e r b e s s e l 级数 形式( 上脚标，表示入射) ： = 碟 ，) 掣( ) s m 妒 mh 1 6 北京交通大学硕士学位论文 妒o - 屯，础j 魄j r ) 鼍( 芦) 面j ，i 妒 展开系数趔，螋的计算参阅文献 7 。 在以下各章节的地震分析中，r a y l e i g h 波均采用以上势函数 级数展开形式加以分析研究。 1 7 北京变通大学硕士学位论立 第四章半球形沉积谷场地对入射 平面r a y l e i g h 波的三维散射解析解 本章将利用单相介质动力学理论分别模拟三维半球形沉积谷 地和周围半空间场地，略去阻尼项的影响，推导出了兰维半球形 沉积谷场地在平面r a y l e i 曲波入射下散射问题的解析解。通过求 解无穷维方程组，确定了局部场地的三维波场分布，给出了半球 形沉积谷场地地表位移分量的解析解答。分析了入射波频率和场 地不同软硬特性对场地地震动的影响。 4 1 场地模型与基本方程 i 耻i d e n tp l 眦t 町1 。i i h 册 图l 模型 图2 球坐标系 图l 所示模型为一镶嵌在弹性半空问中的半球形沉积谷场地 图l 所示模型为一镶嵌在弹性半空间中的半球形沉积谷场地 一1 8 北京交通大学硕士学位论文 半球形沉积谷地的半径为口，其半空间和沉积谷介质均为均匀、各 向同性的弹性介质，两种介质中由于土的弹性参数不同，因而 r a y l e i 譬h 波在两种介质中的传播速度不同。 结合其几何特点该模型的描述选用空间球坐标( ，只毋) ( 见 图2 ) 。本文为便于研究地表位移，还同时采用了直角坐标系。两 坐标系具体关系如图2 所示。 由第二章波动方程在球坐标下波函数的展开方法可知，球坐 标系下由p 波、s v 波、s h 波势函数分别可用妒、妒、z 来表示， 他们引起的沿r ，日，方向的位移、应力公式由文献【1 8 】分别给出如 下： 位移： 应力： 川2 川一軎删昙已- ，v 2 州 一胛2 驴+ ：p e 詈+ ；鲁，铊p ；言【_ 主尹黔 俐专景等毒岛掣川2 删 一胛2 驴+ z c 去素畴b 静+ ；警+ 吉o o t 。等， 协患警一击专等， 协z 矗差等毒芦笋- r v 2 小半等， 一芋t 斋号争等r 三万警 丝缈 矿一a等去 州正， 坐羧1 鍪一 争争 北京交通大学硕十学位论文 一r 吉c 赤鼍，+ 等唔岛掣- ，v 2 小警”杀号等， 驴：肛去嘉一志静+ 肛号篙笋号号筹 一击杀仁穹掣川2 小志篙竽 以p 去高一焉静 + p 等等专等+ 寿百警， + 2 “玎l _ 堕盟一旱生旦堑酗 ( 2 ) r 。s i n 口d 鳓rr 。s i n 口打鲫。 4 2 场地中的波场分析 由第三章可知：在无限弹性半空间中，直角坐标系下的 r a y l e i g h 波势函数可在球坐标系下展开成如下f o l l r i c r b e s s e l 级 数形式( 为简便起见，以下各式略去时间因子c x “一f 耐) ) ( 上脚标 i 表示入射) ： 一础 r 蛘( 肛) c o s m 妒 妒o 一t ，曰2 ，( t ，r ) 掣( p ) s i n m 妒 ( 3 ) 展开系数础，础的计算参阅文献【7 】 当r a y l e i 曲波传播到沉积谷交界面时，会发生反射和透射， 反射波有p 波、s v 波、s h 波三种形式，透射波也同样由以上三 种形式的波组成。这些反射波和透射波均可表示为以下球坐标下 的波函数用： 反射波( 上脚标r 表示反射) ： - 碍墨3 。r ) 掣( 卢) 0 0 s m 妒 妒o = 口器墨”代，) 掣( 肛) s i n m 伊 z o = 础窄r ) 掣( p ) c o s m 妒 ( 4 ) 北京交通大学硕士学位论文 透射波可表示为( 上脚标，表示透射) ： 盯= 乏f 魄r ) r ( 弘) c o s m 妒 妒“一础斧盹r ) 掣( ) s i n m 妒 z n 一c 凹背心r ) 芹( 一) c o s m 妒 ( 5 ) 式中m t n - 啦2 掣，琳删) 、 以l 础碟，) 为其波势函数的展开 系数，h 1 ，k l ，分别是半球谷中p 波、s v 波的波数。以上势函数都是 满足各自的波动方程的： 一 p 1 ，2 “1 旷他冀j - o ( 6 ) 透射部分地震波由于沉积谷中存在自由表面边界( z = 0 ) ，因 而会在覆盖层表面发生散射。沉积谷覆盖层散射部分地震波势函 数可表示为如下形式( 上脚标f 表示沉积谷自由表面边界的散射) ： ”一碟露“，) 芹( 芦) c o s m 妒 妒”- 岛珥? 膏盹r ) 掣( ) s i m 妒 z 。一c 譬z 1 ( 毛r ) 芹( 肛) c o s 妒 ( 7 ) 式中ms 栉= o ，1 ，2 ， 、妒m 、z t ，) ) 分别满足波动方程( 1 4 ) 。 以上几式中 列，础，础) 、 以碟，碟1 ) 、 碟，碟、碟) 为波 展开系数，此九个系列未知数为待定系数，可由边界条件确定下 来。 4 3 空间总波场、总位移场、总应力场 此时整个三维波场空间任一点最终的位势函数、位移场及应 力场分布可表示为： 墼尘兰窒鱼! ! 土壑垒! 总标量势函数( ) ：= + ( 8 a ) 北京交通大学硕十学位论文 总矢量势函数( 妒( o ) ) ：妒o ) 一妒p ) + 妒( z ”- z o 位移： “呻h + h 7 应力： 口( 0 ) 一一+ 一 ( 8 d ) 远堡垒白i ! 堑12 总标量势函数：f n = + ) 总矢量势函数： hu ： 妒a ) = 妒( ，) + 妒( )z ( d = x ( ， + z 伊) 位移： “o i “7 + “7 应力： 盯( 1 ) - 仃，+ 盯7 4 4 边界条件 问题的边界条件： ( 8 b ) ( 8 c ) ( 9 a ) ( 9 b ) ( 9 c ) ( 9 d ) 在半球形沉积谷交界面上，位移和应力连续，得 h ( l “+ “= + 矿= “m d ( o ) = 盯+ 盯，鲁盯+ 盯；盯 1 ) ( 1 0 a ) 将边界条件( 1 0 ) 在球坐标三个方向展开得： 在r = 口： h ，o = o ，h f 町t 0 0“r 一暑“1 0 盯( 帮- 椰盯即- m叮0 ) 却- 椰 ( 1 0 b ) 在沉积谷地自由表面( z =